JP2004200632A - 位置検出方法、露光方法及び露光装置、デバイス製造方法、並びにプログラム及び情報記録媒体 - Google Patents

Abstract

【課題】物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求める。
【解決手段】複数のマークを計測して得られるｎ個の実測位置情報の中から、ｋ個の仮異常値と（ｎ−ｋ）個の仮正常値との情報の組み合わせを複数抽出する。次いで、抽出した各組み合わせに対応する統計モデルそれぞれについて、所定のモデルパラメータ及びＡＩＣの算出、並びに該ＡＩＣに基づくモデルの確からしさの推定を行う（ステップ１２４、１３２、１４０）。次に、その推定結果に基づいて、全統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択し、その選択された統計モデルのモデルパラメータを、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するためのモデル式のモデルパラメータの統計的に最も妥当な値として決定する（ステップ１４２）。
【選択図】 図４

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、位置検出方法、露光方法及び露光装置、デバイス製造方法、並びにプログラム及び情報記録媒体に係り、更に詳しくは、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法、該位置検出方法を用いる露光方法及び露光装置、これら露光方法及び露光装置を用いるデバイス製造方法、並びに露光装置の制御用コンピュータに前記位置検出方法を実行させるプログラム及び該プログラムが記録された情報記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
近年、半導体素子等のデバイスの製造工程では、ステップ・アンド・リピート方式、又はステップ・アンド・スキャン方式等の露光装置、ウエハプローバ、あるいはレーザリペア装置等が用いられている。これらの装置では、基板上に規則的（マトリックス状）に配列された複数のチップパターン領域（ショット領域）の各々を、基板の移動位置を規定する静止座標系（すなわちレーザ干渉計によって規定される直交座標系）内の所定の基準点（例えば、各種装置の加工処理点）に対して極めて精密に位置合わせ（アライメント）する必要がある。
【０００３】
特に、露光装置では、マスク又はレチクル（以下、「レチクル」と総称する）に形成されたパターンの投影位置に対して基板（半導体ウエハやガラスプレート等）を位置合わせ（アライメント）するに際して、製造段階のチップでの不良品の発生による歩留りの低下を防止するため、その位置合わせ精度を常に高精度かつ安定に維持しておくことが望まれている。
【０００４】
通常、露光工程では、ウエハ上に１０層以上の回路パターン（レチクルパターン）を重ね合わせて転写するが、各層間での重ね合わせ精度が悪いと、回路上の特性に不都合が生じることがある。このような場合、チップが所期の特性を満足せず、最悪の場合にはそのチップが不良品となり、歩留りを低下させてしまう。そこで、露光工程では、ウエハ上の複数のショット領域の各々に予めアライメントマークを付設しておき、ステージ座標系上におけるそのマーク位置（座標値）を検出する。しかる後、このマーク位置情報と既知のレチクルパターンの位置情報（これは事前測定される）とに基づいてウエハ上の１つのショット領域をレチクルパターンに対して位置合わせ（位置決め）するウエハアライメントが行われる。
【０００５】
ウエハアライメントには大別して２つの方式があり、１つはウエハ上のショット領域毎にそのアライメントマークを検出して位置合わせを行うダイ・バイ・ダイ（Ｄ／Ｄ）アライメント方式である。もう１つは、ウエハ上のいくつかのショット領域のみのアライメントマークを検出してショット領域の配列の規則性を求めることで、各ショット領域を位置合わせするグローバル・アライメント方式である。現在のところ、デバイス製造ラインではスループットとの兼ね合いから、主にグローバル・アライメント方式が使用されている。特に現在では、ウエハ上のショット領域の配列の規則性を統計的手法によって精密に特定するエンハンスト・グローバル・アライメント（ＥＧＡ）方式が主流となっている（例えば、特許文献１、特許文献２等参照）。
【０００６】
ＥＧＡ方式とは、１枚のウエハにおいて予め特定ショット領域として選択された複数個（３個以上必要であり、通常７〜１５個程度）のショット領域のみの位置座標を計測し、これらの計測値から統計演算処理（最小二乗法等）を用いてウエハ上の全てのショット領域の位置座標（ショット領域の配列）を算出した後、この算出したショット領域の配列に従ってウエハステージをステッピングさせていくものである。このＥＧＡ方式は計測時間が短くて済み、ランダムな計測誤差に対して平均化効果が期待できるという長所がある。
【０００７】
ここで、ＥＧＡ方式で行われている統計処理方法について簡単に説明する。ウエハ上のｍ（ｍ≧３なる整数）個の特定ショット領域（「サンプルショット領域」又は「アライメントショット領域」とも呼ばれる）の設計上の配列座標を（Ｘ_ｎ、Ｙ_ｎ）（ｎ＝１、２、……、ｍ）とし、設計上の配列座標からのずれ（ΔＸ_ｎ、ΔＹ_ｎ）について次式（１）で示されるような線形モデルを仮定する。
【０００８】
【数１】

【０００９】
さらに、ｍ個のサンプルショット領域の各々の実際の配列座標の設計上の配列座標からのずれ（計測値）を（Δｘ_ｎ、Δｙ_ｎ）としたとき、このずれと上記線形モデルで仮定される設計上の配列座標からのずれとの残差の二乗和Ｅは次式（２）で表される。
【００１０】
【数２】

【００１１】
そこで、この式を最小にするようなパラメータａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆを最小二乗法などの統計演算により求めれば良い。ＥＧＡ方式では、上記の如くして算出されたパラメータａ〜ｆと設計上の配列座標とに基づいて、ウエハ上の全てのショット領域の配列座標が算出されることになる。
【００１２】
ところで、上記のＥＧＡ方式のウエハアライメントでは、マークの欠陥などの影響で、著しく精度の悪い計測値が混入する場合があるが、このような場合、その精度の悪い計測値の影響を軽減して上記のパラメータａ〜ｆを算出することが、ショット領域の配列座標を精度良く求めるためには好ましい。従来、このような精度の悪い計測値の影響を軽減する方法として、以下のような方法が提案されている。
【００１３】
第１の方法として、計算された統計モデルからのフィッティング残差に閾値を設定し、絶対値がその閾値以上大きい計測値は異常値として除外し、残りの正常値だけでモデルを計算し直す方法がある（例えば、特許文献３参照）。
【００１４】
第２の方法として、予め除外数を決定し、（計測数−除外数）個の集合を作る組み合わせの数だけモデルを仮定し、これらモデルに対応する計測値の標準偏差（フィッティング残差）をモデルの確からしさの指標値とし、その確からしさの指標値によって重み付け平均を取ったモデルを採用する方法がある（例えば、特許文献４参照）。
【００１５】
【特許文献１】
特開昭６１−４４４２９号公報
【特許文献２】
特開昭６２−８４５１６号公報
【特許文献３】
特開平８−９７１２３号公報
【特許文献４】
国際公開第００／４９３６７号パンフレット
【００１６】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記第１の方法では、残差の絶対値を閾値として使用するため、正常値集合のばらつきに依存して閾値を変更する必要があるが、そのような閾値の変更を適切に行う簡易な方法が見当たらない。
【００１７】
一方、上記第２の方法では、そのような閾値の変更の困難性はなく、定性的にいわゆる跳びショット（他のショット領域のアライメント誤差（計測誤差）と比べて特にアライメント誤差が大きなショット領域）の影響を軽減することができる。この第２の方法では、モデルの確からしさをフィッティング残差によって評価している。しかるに、正常値集合から残差最大の計測値を除外すると標準偏差は必ず小さくなる。この点を考慮すると、第２の方法は、必然的に除外数を固定したモデルに適用した場合にのみ効果を発揮すると考えられるが、除外数の妥当性を考慮することができないという不都合があった。
【００１８】
本発明は、かかる事情の下になされたもので、その第１の目的は、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることができる位置検出方法を提供することにある。
【００１９】
また、本発明の第２の目的は、物体上の複数の区画領域に精度良くパターンを形成することができる露光方法及び露光装置を提供することにある。
【００２０】
また、本発明の第３の目的は、デバイスの生産性を向上させることができるデバイス製造方法を提供することにある。
【００２１】
また、本発明の第４の目的は、露光装置の制御用コンピュータによって実行され、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることを可能とするプログラム及び該プログラムが記録された情報記録媒体を提供することにある。
【００２２】
【課題を解決するための手段】
請求項１に記載の発明は、物体（Ｗ）上の複数の区画領域（ＳＡ_ｕ，ｖ）の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る計測工程と；前記各実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定工程と；前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択工程と；前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出工程と；を含む位置検出方法である。
【００２３】
本明細書において、「マークの実測位置情報」は、マークの座標値に限らず、マークに関する位置情報であって統計処理に適切な情報であれば如何なる情報であっても良い。また、物体上の複数のマークの配置（又はレイアウト）と複数の区画領域の配置（又はレイアウト）との間には、一定の関係があることは必要であるが、区画領域それぞれに対応してマークが設けられていることまでは必要ではない。要は、複数のマークの検出結果に基づいて複数の区画領域の位置情報が得られれば良い。
【００２４】
これによれば、計測工程において、物体上に複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る。すなわち、このｎ個の実測位置情報を用いることにより、統計的な手法により前記モデル式のｍ個の未知パラメータを決定することが可能である。
【００２５】
次いで、推定工程において、ｎ個の実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する。そして、選択工程において、上記の統計モデルの確からしさの推定結果に基づいて、確からしさが推定された少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択し、算出工程において、その選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する。
【００２６】
すなわち、各統計モデル間において確からしさが比較され、その比較結果に基づいて比較された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルが選択されることとなる。従って、ｎ個の実測位置情報が従う統計モデルの最尤推定が自動的に行われ、ｎ個の実測位置情報についての正常値及び異常値の区別を行う際の困難性を伴うことなく、尤も確からしい、すなわち尤も妥当な統計モデルを機械的に選択することが可能となり、その選択された統計モデルに対応する未知パラメータとモデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を精度良く算出することができる。従って、本発明の位置検出方法によれば、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００２７】
この場合、請求項２に記載の位置検出方法のごとく、前記推定工程は、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する工程と；前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する工程と；を含むこととすることができる。
【００２８】
これによれば、前記推定工程において、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値（異常値と仮定した値）と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の仮正常値（正常値と仮定した値）との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する。この場合、いずれの組み合わせについても、仮正常値の数（ｎ−ｋ）は、ｍ＜ｎ−ｋ≦ｎを満たす。すなわち、仮正常値の位置情報のみで、前述のモデル式のｍ個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【００２９】
そこで、その抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する。これにより、仮異常値の数、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数の値の如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【００３０】
そして、上記の統計モデルの確からしさの推定結果に基づいて、確からしさが推定された少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する。すなわち、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさが比較され、その比較結果に基づいて比較された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルが選択されることとなる。従って、前述の除外数の決定が自動的に行われ、その決定に伴なう困難性とは無縁となる。
【００３１】
請求項３に記載の発明は、物体（Ｗ）上の複数の区画領域（ＳＡ_ｕ，ｖ）の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する工程と；前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する工程と；前記推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法である。
【００３２】
これによれば、物体上に複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個（統計的な手法により前記モデル式のｍ個の未知パラメータを決定することが可能な数）の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る。
【００３３】
次いで、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値（異常値と仮定した値）と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の仮正常値（正常値と仮定した値）との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する。この場合、いずれの組み合わせについても、仮正常値の数（ｎ−ｋ）は、ｍ＜ｎ−ｋ≦ｎを満たす。すなわち、仮正常値の位置情報のみで、前述のモデル式のｍ個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【００３４】
そこで、その抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する。これにより、仮異常値の数、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数の値の如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【００３５】
そして、推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する。すなわち、推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値が推定されるので、より確からしい統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には大きな重みが付され、確からしさが劣る統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には小さな重みが付されて重み付け平均演算が行われる。このため、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算が行われ、未知パラメータの統計的に妥当な値が推定される。従って、除外数の決定に伴う困難性とは無縁であるとともに、未知パラメータの統計的に妥当な値を機械的に推定することが可能となり、その推定された未知パラメータの値とモデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を精度良く算出することができる。従って、本発明の位置検出方法によれば、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００３６】
この場合において、請求項４に記載の位置検出方法の如く、前記推定されたモデルの確からしさに基づいて前記抽出した各組み合わせに対応する少なくとも２つの統計モデルを、２つの集合に分類する工程を更に含み、前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程では、前記分類の結果、より確からしい統計モデルの集合に属する統計モデルに対応する情報のみを、前記重み付け平均演算に用いることとすることができる。
【００３７】
上記請求項３に記載の位置検出方法において、請求項５に記載の位置検出方法の如く、前記統計モデルの確からしさを推定する工程では、ｋの値が小さい統計モデルから順に前記モデルパラメータの算出と確からしさの推定とを行い、前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程では、前記推定の結果、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルの確からしさを示す規準と、ｋ＝ｋ１＋α（αは自然数）に属する全統計モデルのうち最も確からしい統計モデルの確からしさを示す規準との差が所定の閾値以下である場合、ｋ＝ｋ１＋αに属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルに対応する情報のみを、前記重み付け平均演算に用いることとすることができる。
【００３８】
上記請求項２〜５に記載の各位置検出方法において、前述のモデルの確からしさを示す規準としては種々の規準が考えられ、この規準に応じてモデルの確からしさも種々の概念を用いて表すことができる。例えば請求項６に記載の位置検出方法の如く、前記規準は、仮正常値の位置情報から求められる前記各統計モデルの残差及び該統計モデルのパラメータ数に対して確からしさを単調に減少させる関数であり、前記統計モデルの確からしさは、上記関数と所定の事前確率との積であることとすることができる。あるいは、請求項７に記載の位置検出方法の如く、前記規準は、カルバックライブラー情報量（Ｋｕｌｌｂａｃｋ−Ｌｅｉｂｌｅｒ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ：ＫＬＩ）のデータ数倍であり、前記モデルの確からしさは、カルバックライブラー情報量の前記データ数倍の符号反転の指数関数及びこの関数と所定の事前確率との積のいずれかであることとすることができる。あるいは、請求項８に記載の位置検出方法の如く、前記規準は、赤池情報量規準（ＡＩＣ：Ａｋａｉｋｅ’ｓ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ）であり、その値をＡＩＣとした場合に、前記統計モデルの確からしさは、−ＡＩＣ／２の指数関数及び該関数と所定の事前確率との積のいずれかであることとすることができる。なお、本明細書においては、赤池情報量規準の略称ＡＩＣを、該情報量規準の値としても用いるものとする。
【００３９】
上記請求項６〜８に記載の各位置検出方法において、請求項９に記載の位置検出方法の如く、前記事前確率は、過去に得られた前記実測位置情報に基づいて求められる異常値の起こり得る確率であることとすることができる。
【００４０】
上記請求項２〜５に記載の各位置検出方法において、請求項１０に記載の位置検出方法のごとく、前記規準は、前記未知パラメータの数及び前記実測位置情報の数に関して前記統計モデルの確からしさを単調に減少させる関数を含む規準であることとすることができる。かかる場合には、統計モデルの確からしさを単調に減少させる関数の大きさが、未知パラメータの数だけでなく、実測位置情報の数（データ数）によっても左右されるようになり、本発明の位置検出方法のように、混合分布モデルの確からしさを推定する場合においても、例えば未知パラメータ数の多いモデルを選択する傾向が強くなるような、前記規準によるモデル推定の偏りをデータ数による成分で補正することができるようになるので、結果的にそのモデルの確からしさをより精度良く推定することができるようになる。
【００４１】
この場合、請求項１１に記載の位置検出方法のごとく、前記関数は、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が無いという仮説を帰無仮説とし、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が有るという仮説を対立仮説として尤度比検定を行った場合の有意水準が所定の水準以下となるような関数であることとすることができる。かかる場合には、ｎ個の実測位置情報の中に異常値が無い（帰無仮説）のに有るという過誤（第１種の過誤）を犯す確率である有意水準を所定の水準以下に抑制するような関数、例えば帰無仮説と対立仮説との間の尤度比検定の際の両者の対数尤度比の閾値の半分としているので、第１種の過誤を犯す確率を低減し、統計モデルの確からしさの推定を行うことができるので、統計モデルの確からしさを精度良く推定することができるようになる。
【００４２】
この場合、請求項１２に記載の位置検出方法のごとく、前記関数は、前記未知パラメータの数に関する比例関数であることとすることができる。かかる場合には、前記関数を未知パラメータの数に比例させ、未知パラメータと実測位置情報との組合せ数が多数あっても、帰無仮説と、その帰無仮説に最も近い対立仮説（例えば異常値が１つあるいは異常値の確率密度モデルが１つの統計モデル）とで例えば、シミュレーション等でその比例係数を算出しておけば、実際に統計モデルの確からしさの推定を行う際には、未知パラメータの数とその比例係数との積によって確からしさの規準のバイアス補正を行うだけで、その関数を帰無仮説と対立仮説との間の尤度比検定を行う際の閾値の半分に近似させることができるので、統計モデルの推定に要する時間を短縮することができるようになる。この場合、請求項１３に記載の位置検出方法のごとく、前記規準は、ベイジアン情報量規準であることとすることができる。
【００４３】
請求項２に記載の位置検出方法において、請求項１４に記載の位置検出方法の如く、前記確からしさを推定する工程では、ｋの値が小さい統計モデルから順に、前記全てのモデルパラメータの算出及び前記確からしさの推定を行い、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルの確からしさの規準が、ｋ＝ｋ１＋α（αは自然数）に属する全統計モデルのうち最良のモデルの前記確からしさの規準よりも良い場合に、前記統計モデルの確からしさの推定演算を終了し、それまでに確からしさが推定された全ての統計モデルのうちの最良の統計モデルを選択することとすることができる。かかる場合には、検出精度を殆ど低下させることなく、計算時間を短縮することが可能となる。
【００４４】
上記請求項２〜１４のいずれか一項に記載の位置検出方法において、請求項１５に記載の位置検出方法のごとく、前記統計モデルは、前記仮正常値が属する正規分布と、その正規分布とは標準偏差が同一で平均値が異なる前記各仮異常値に対応する正規分布との混合分布であることとすることができる。また、請求項１６に記載の位置検出方法のごとく、前記統計モデルは、前記仮正常値が属する正規分布と、その正規分布とは平均値が同一で標準偏差が異なる前記仮異常値が属する正規分布との混合分布であることとすることができる。
【００４５】
上記請求項１に記載の位置検出方法において、請求項１７に記載の位置検出方法のごとく、前記推定工程では、前記各実測位置情報が前記確率密度分布モデルへの帰属度を示す事後確率に基づいて前記統計モデルのモデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、そのモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行することによって、モデルパラメータが異なる少なくとも２つの統計モデルの確からしさを推定し、前記選択工程では、最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択することとすることができる。
【００４６】
これによれば、推定工程において、それらの実測位置情報が従う統計モデルを、複数の確率密度分布モデルの線形結合からなる混合分布モデルとして、各実測位置情報が各確率密度モデルに所属する事後確率の算出、その事後確率に基づいて決定されるモデルパラメータの推定値の算出、さらにその推定値による前述の事後確率の算出を繰り返すことによって、統計モデルの尤度が単調に増加することが保証されている処理、いわゆるＥＭ（Ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ）アルゴリズムを実行することによって統計モデルのモデルパラメータの最適解を逐次接近的に求める。このようにすれば、誤差を含む各実測位置情報を、正常値と異常値とに完全に区別せず、その所属を確率論的に取り扱うことができるようになるため、それらの実測位置情報が従う統計モデルを精度良く推定することができる。
【００４７】
この場合、請求項１８に記載の位置検出方法のごとく、前記各確率密度分布モデルは、互いの標準偏差が同一で平均値が異なる正規分布であることとしても良いし、請求項１９に記載の位置検出方法のごとく、前記各確率密度分布モデルは、互いの平均値が同一で標準偏差が異なる正規分布であることとしても良い。
【００４８】
請求項２０に記載の発明は、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；前記ｎ個の実測位置情報を全て仮正常値とした場合の前記モデル式のモデルパラメータの値を算出し、算出されたモデルパラメータを用いた前記モデル式の計算によって得られるｎ個の位置情報とそれらに対応する前記各実測位置情報との残差を実測位置情報毎に算出する工程と；前記ｎ個の実測位置情報のうち、前記残差の大きさが大きい方から上位ｋ番目までの実測位置情報を、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値とみなし、該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを各ｋの値についてそれぞれ１つずつ抽出する工程と；前記抽出した組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、その確からしさを推定する工程と；前記推定結果に基づいて、前記統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択し、その選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法である。
【００４９】
これによれば、同一の仮異常値の数を有する統計モデルのうち、全ての実測位置情報が正常値であると仮定した場合に算出されるモデルパラメータに基づくモデル式の計算によって得られるｎ個の位置情報と、それらに対応する各実測位置情報との残差が最も大きい統計モデルだけについて、確からしさを推定する。かかる場合には、仮正常値と仮異常値との全ての組合せについての統計モデルの確からしさを算出する必要がなくなるので、検出精度を殆ど低下させることなく、計算時間を短縮することが可能となる。
【００５０】
請求項２１に記載の発明は、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；前記ｎ個の実測位置情報を全て正常値と仮定した場合の前記モデル式のモデルパラメータの値を算出し、算出されたモデルパラメータを用いた前記モデル式の計算によって得られるｎ個の位置情報とそれらに対応する前記各実測位置情報との残差の絶対値を実測位置情報毎に算出する工程と；前記ｎ個の実測位置情報のうち、異常値として除外されていない実測位置情報の中で前記残差の絶対値が最大である実測位置情報について、正常値の絶対最大値の分布に従うのが尤もらしいとする尤度と、異常値の分布に従うのが尤もらしいとする尤度とを比較した結果、その実測位置情報が前記異常値の分布に従うのが尤もらしいと判断した場合には、その実測位置情報を異常値として除外する処理を、その実測位置情報が正常値の絶対最大値の分布に従うのが尤もらしいと判断されるまで、前記残差の絶対値が大きい順に実行する工程と；異常値として除外されなかった正常値を用いて算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法である。
【００５１】
これによれば、ｎ個の実測位置情報にそれぞれ対応する各実測位置情報との残差の絶対値に基づいて、そのｎ個の実測位置情報の中で、残差の絶対値が最大である実測位置情報が、正常値の絶対最大値の分布に含まれるのか、異常値の分布に含まれるのかをそれらの尤度によって判断する。その判断において、異常値の分布に含まれる場合には、その実測位置情報を正常値集合から除外し、正常値の絶対最大値の分布に含まれる場合には、その実測位置情報と、残差の絶対値がその実測位置情報よりも小さい実測位置情報とを正常値として確定することができる。従って、本発明の位置検出方法によれば、ｎ個の実測位置情報の中から正常値を、統計的手法を用いて精度良く抽出することができるようになるため、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００５２】
請求項２２に記載の発明は、物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光方法であって、請求項１〜２１のいずれか一項に記載の位置検出方法により前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する工程と；前記検出した位置情報に基づいて、前記物体を移動して前記各区画領域を露光する工程と；を含む露光方法である。
【００５３】
これによれば、請求項１〜２１のいずれか一項に記載の位置検出方法により複数の区画領域の所定点と位置合わせに用いられる位置情報を検出するので、その位置情報を簡易にかつ精度良く検出される。そして、この精度良く検出された位置情報に基づいて、物体を移動して物体上の複数の各区画領域を露光する。従って、物体上の複数の区画領域が所定点、例えば露光基準位置（パターン転写位置）などに対して精度良く位置合わせされるように物体が移動され、複数の区画領域が露光される。従って、物体上の複数の区画領域に精度良くパターンを形成することが可能となる。
【００５４】
請求項２３に記載の発明は、リソグラフィ工程を含むデバイス製造方法であって、前記リソグラフィ工程では、請求項２２に記載の露光方法を用いることを特徴とするデバイス製造方法である。
【００５５】
請求項２４に記載の発明は、物体（Ｗ）上の複数の区画領域（ＳＡ_ｕ，ｖ）を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置であって、マークを検出するマーク検出系（ＡＳ）と；前記物体が載置されるステージと；前記ステージの位置を計測する計測装置（１８）と；前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、該複数のマークを、前記ステージを順次移動して前記マーク検出系を用いて順次検出し、その検出結果と各マーク検出時の前記計測装置の計測結果とに基づいて前記ｎ個の実測位置情報を算出する検出制御系（２０）と；前記各実測位置情報の確率分布モデルとしての複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定装置と；前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択装置と；前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出装置（２０）と；前記算出装置で算出された位置情報に基づいて、前記ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する露光制御系（２０）と；を備える露光装置である。
【００５６】
これによれば、検出制御系において、物体上に複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る。すなわち、このｎ個の実測位置情報を用いることにより、統計的な手法により前記モデル式のｍ個の未知パラメータを決定することが可能である。
【００５７】
次いで、推定装置において、ｎ個の実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する。そして、選択装置において、上記の統計モデルの確からしさの推定結果に基づいて、確からしさが推定された少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択し、算出装置において、その選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する。
【００５８】
すなわち、各統計モデル間において確からしさが比較され、その比較結果に基づいて比較された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルが選択されることとなる。従って、ｎ個の実測位置情報が従う統計モデルの最尤推定が自動的に行われ、ｎ個の実測位置情報についての正常値及び異常値の区別を行う際の困難性を伴うことなく、尤も確からしい、すなわち尤も妥当な統計モデルを機械的に選択することが可能となり、その選択された統計モデルに対応する未知パラメータとモデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を精度良く算出することができる。従って、本発明の位置検出方法によれば、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００５９】
そして、露光制御系が、算出装置で算出された位置情報に基づいて、ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する。この場合、上記の如く精度良く検出された位置情報に基づいて、物体上の複数の区画領域が所定点、例えば露光基準位置（パターン転写位置）などに対して精度良く位置合わせされるように物体が移動され、複数の区画領域が露光される。従って、物体上の複数の区画領域に精度良くパターンを形成することが可能となる。
【００６０】
この場合、請求項２５に記載の露光装置のごとく、前記推定装置は、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する抽出装置と；前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する装置と；を備えることとすることができる。
【００６１】
これによれば、抽出装置は、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値（異常値と仮定した値）と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の仮正常値（正常値と仮定した値）との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する。この場合、いずれの組み合わせについても、仮正常値の数（ｎ−ｋ）は、ｍ＜ｎ−ｋ≦ｎを満たす。すなわち、仮正常値の位置情報のみで、モデル式のｍ個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【００６２】
そこで、確からしさを推定する装置は、前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する。これにより、仮異常値の数、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数の如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【００６３】
次いで、選択装置が、そして、上記の統計モデルの確からしさの推定結果に基づいて、確からしさが推定された少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する。すなわち、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさが比較され、その比較結果に基づいて比較された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルが選択されることとなる。従って、前述の除外数の決定が自動的に行われ、その決定に伴なう困難性とは無縁となる。
【００６４】
上記請求項２４に記載の露光装置において、請求項２６に記載の露光装置のごとく、前記推定装置は、前記各実測位置情報の前記複数の確率分布モデルへの帰属度を示す事後確率に基づいて前記統計モデルのモデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、そのモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行し、前記選択装置は、最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択することとすることができる。
【００６５】
これによれば、推定装置において、それらの実測位置情報が従う統計モデルを、複数の確率密度分布モデルの線形結合からなる混合分布モデルとして、各実測位置情報が各確率密度モデルに所属する事後確率の算出、その事後確率に基づいて決定されるモデルパラメータの推定値の算出、さらにその推定値による前述の事後確率の算出を繰り返すことによって、統計モデルの尤度が単調に増加することが保証されている処理、いわゆるＥＭアルゴリズムを実行することによって統計モデルのモデルパラメータの最適解を逐次接近的に求める。このようにすれば、誤差を含む各実測位置情報を、正常値と異常値とに完全に区別せず、その所属を確率論的に取り扱うことができるようになるため、それらの実測位置情報が従う統計モデルを精度良く推定することができる。
【００６６】
請求項２７に記載の発明は、物体（Ｗ）上の複数の区画領域（ＳＡ_ｕ，ｖ）を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置であって、マークを検出するマーク検出系（ＡＳ）と；前記物体が載置されるステージ（ＷＳＴ）と；前記ステージの位置を計測する計測装置（１８）と；前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、該複数のマークを、前記ステージを順次移動して前記マーク検出系を用いて順次検出し、その検出結果と各マーク検出時の前記計測装置の計測結果とに基づいて前記ｎ個の実測位置情報を算出する検出制御系（２０）と；前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する抽出装置（２０）と；前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する推定装置（２０）と；前記推定装置で推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出装置（２０）と；前記算出装置で算出された位置情報に基づいて、前記ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する露光制御系（２０）と；を備える露光装置である。
【００６７】
これによれば、検出制御系が、物体上に複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、該複数のマークを、前記ステージを順次移動して前記マーク検出系を用いて順次検出し、その検出結果と各マーク検出時の前記計測装置の計測結果とに基づいて前記ｎ個（統計的な手法により前記モデル式のｍ個の未知パラメータを決定することが可能な数）の実測位置情報を算出する。
【００６８】
次いで、抽出装置は、前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値（異常値と仮定した値）と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の仮正常値（正常値と仮定した値）との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する。この場合、いずれの組み合わせについても、仮正常値の数（ｎ−ｋ）は、ｍ＜ｎ−ｋ≦ｎを満たす。すなわち、仮正常値の位置情報のみで、前述のモデル式のｍ個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【００６９】
そこで、推定装置は、前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する。これにより、異常値の数、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数の如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【００７０】
そして、算出装置は、推定装置で推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する。すなわち、推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値が推定されるので、より確からしい統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には大きな重みが付され、確からしさが劣る統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には小さな重みが付されて重み付け平均演算が行われる。このため、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算が行われ、未知パラメータの統計的に妥当な値が推定される。この場合、未知パラメータの統計的に妥当な値を機械的に推定することが可能となり、その推定された未知パラメータの値とモデル式とに基づいて物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を精度良く算出することができる。
【００７１】
そして、露光制御系が、算出装置で算出された位置情報に基づいて、ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する。この場合、上記の如く精度良く検出された位置情報に基づいて、物体上の複数の区画領域が所定点、例えば露光基準位置（パターン転写位置）などに対して精度良く位置合わせされるように物体が移動され、複数の区画領域が露光される。従って、物体上の複数の区画領域に精度良くパターンを形成することが可能となる。
【００７２】
請求項２８に記載の発明は、リソグラフィ工程を含むデバイス製造方法であって、前記リソグラフィ工程では、請求項２４〜２７のいずれか一項に記載の露光装置を用いて露光を行うことを特徴とするデバイス製造方法である。
【００７３】
請求項２９に記載の発明は、物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置で用いられるプログラムであって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る計測手順と；前記各実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定手順と；前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択手順と；前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出手順と；を、前記露光に先立って前記露光装置の制御用コンピュータに実行させるプログラムである。
【００７４】
このプログラムが露光装置の制御用コンピュータにインストールされると、制御用コンピュータが、上記各手順を実行する。これにより、請求項１に記載の位置検出方法が、制御用コンピュータによって実行される。従って、請求項１と同様に、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００７５】
この場合、請求項３０に記載のプログラムのごとく、前記推定手順として、
前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する手順と；前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する手順と；を前記制御用コンピュータに実行させることとすることができる。
【００７６】
また、上記請求項２９に記載のプログラムにおいて、請求項３１に記載のプログラムのごとく、前記推定手順として、前記各実測位置情報が前記確率密度分布モデルに所属していたとする事後確率に基づいて前記モデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、計算されるモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行することによって、モデルパラメータが異なる少なくとも２つの統計モデルの確からしさを推定する手順を、前記選択手順として、最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択する手順を前記制御用コンピュータに実行させることとすることができる。
【００７７】
請求項３２に記載の発明は、物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置で用いられるプログラムであって、前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る手順と；前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する手順と；前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する手順と；前記推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する手順と；を前記露光に先立って前記露光装置の制御用コンピュータに実行させるプログラムである。
【００７８】
このプログラムが露光装置の制御用コンピュータにインストールされると、制御用コンピュータが、上記各手順を実行する。これにより、請求項３に記載の位置検出方法が、制御用コンピュータによって実行される。従って、請求項３と同様に、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【００７９】
上記請求項３０又は３２に記載の各プログラムにおいて、請求項３３に記載のプログラムの如く、前記規準は赤池情報量規準であり、その値をＡＩＣとした場合に、前記統計モデルの確からしさは、−ＡＩＣ／２の指数関数及び該関数と所定の事前確率との積のいずれかであることとすることができる。
【００８０】
上記請求項３０又は３２に記載のプログラムにおいて、請求項３４に記載のプログラムのごとく、前記規準は、前記未知パラメータの数及び前記実測位置情報の数に関して前記統計モデルの確からしさを単調に減少させる関数を含む規準であることとすることができる。
【００８１】
この場合、請求項３５に記載のプログラムのごとく、前記関数は、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が無いという仮説を帰無仮説とし、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が有るという仮説を対立仮説として尤度比検定を行った場合の有意水準が所定の水準以下となるような閾値のほぼ半分となる関数であることとすることができる。
【００８２】
この場合、請求項３６に記載のプログラムのごとく、前記関数は、前記未知パラメータの数に関する比例関数であることとすることができる。
【００８３】
この場合、請求項３７に記載のプログラムのごとく、前記規準は、ベイジアン情報量規準であることとすることができる。
【００８４】
請求項３８に記載の発明は、請求項２９〜３７のいずれか一項に記載のプログラムが記録されたコンピュータによる読み取りが可能な情報記録媒体である。
【００８５】
【発明の実施の形態】
≪第１の実施形態≫
以下、本発明の第１の実施形態を図１〜図１０に基づいて説明する。
【００８６】
図１には、本発明の第１の実施形態に係る露光装置１００の概略構成が示されている。この露光装置１００は、ステップ・アンド・スキャン方式の投影露光装置である。この露光装置１００は、照明系１０、マスクとしてのレチクルＲを保持するレチクルステージＲＳＴ、投影光学系ＰＬ、物体としてのウエハＷが搭載されるウエハステージＷＳＴ、マーク検出系としてのアライメント検出系ＡＳ、及び装置全体を統括制御する主制御装置２０等を備えている。
【００８７】
前記照明系１０は、例えば特開平６−３４９７０１号公報等の開示されるように、光源、オプティカル・インテグレータを含む照度均一化光学系、リレーレンズ、可変ＮＤフィルタ、可変視野絞り（レチクルブラインド又はマスクキング・ブレードとも呼ばれる）、及びダイクロイックミラー等（いずれも不図示）を含んで構成されている。オプティカル・インテグレータとしては、フライアイレンズ、ロッドインテグレータ（内面反射型インテグレータ）、あるいは回折光学素子などが用いられる。
【００８８】
この照明系１０では、回路パターン等が描かれたレチクルＲ上で、レチクルブラインドで規定されたスリット状の照明領域（Ｘ軸方向に細長い長方形状の照明領域）部分を照明光ＩＬによりほぼ均一な照度で照明する。ここで、照明光ＩＬとしては、ＫｒＦエキシマレーザ光（波長２４８ｎｍ）などの遠紫外光、ＡｒＦエキシマレーザ光（波長１９３ｎｍ）、あるいはＦ_２レーザ光（波長１５７ｎｍ）などの真空紫外光などが用いられる。照明光ＩＬとして、超高圧水銀ランプからの紫外域の輝線（ｇ線、ｉ線等）を用いることも可能である。
【００８９】
前記レチクルステージＲＳＴ上にはレチクルＲが、例えば真空吸着により固定されている。レチクルステージＲＳＴは、リニアモータ、ボイスコイルモータ等を駆動源とする不図示のレチクルステージ駆動部によって、照明系１０の光軸（後述する投影光学系ＰＬの光軸ＡＸに一致）に垂直なＸＹ平面内で微少駆動可能であるとともに、所定の走査方向（ここでは図１における紙面内左右方向であるＹ軸方向とする）に指定された走査速度で駆動可能となっている。
【００９０】
レチクルステージＲＳＴのステージ移動面内の位置はレチクルレーザ干渉計（以下、「レチクル干渉計」という）１６によって、移動鏡１５を介して、例えば０．５〜１ｎｍ程度の分解能で常時検出される。ここで、実際には、レチクルステージＲＳＴ上にはＹ軸方向に直交する反射面を有する移動鏡とＸ軸方向に直交する反射面を有する移動鏡とが設けられ、これらの移動鏡に対応してレチクルＹ干渉計とレチクルＸ干渉計とが設けられているが、図１ではこれらが代表的に移動鏡１５、レチクル干渉計１６として示されている。なお、例えば、レチクルステージＲＳＴの端面を鏡面加工して反射面（移動鏡１５の反射面に相当）を形成しても良い。また、レチクルステージＲＳＴの走査方向（本実施形態ではＹ軸方向）の位置検出に用いられるＸ軸方向に伸びた反射面の代わりに、少なくとも１つのコーナーキューブ型ミラーを用いても良い。ここで、レチクルＹ干渉計とレチクルＸ干渉計の少なくとも一方、例えばレチクルＹ干渉計は、測長軸を２軸有する２軸干渉計であり、このレチクルＹ干渉計の計測値に基づきレチクルステージＲＳＴのＹ位置に加え、θｚ方向（Ｚ軸回りの回転方向）の回転量（ヨーイング量）も計測できるようになっている。レチクル干渉計１６からのレチクルステージＲＳＴの位置情報（ヨーイング量などの回転情報を含む）はステージ制御装置１９及びこれを介して主制御装置２０に供給される。ステージ制御装置１９では、主制御装置２０からの指示に応じて、レチクルステージＲＳＴの位置情報に基づいてレチクルステージ駆動部を介してレチクルステージＲＳＴを駆動制御する。
【００９１】
レチクルＲの上方には、Ｘ軸方向に所定距離隔てて一対のレチクルアライメント顕微鏡２２（但し、図１においては紙面奥側のレチクルアライメント顕微鏡２２は不図示）が配置されている。各レチクルアライメント顕微鏡２２は、ここでは図示が省略されているが、それぞれ露光光ＩＬと同じ波長の照明光にて検出対象のマークを照明するための落射照明系と、その検出対象のマークの像を撮像するための顕微鏡とを含んで構成されている。顕微鏡は結像光学系と撮像素子とを含んでおり、この顕微鏡による撮像結果（すなわちレチクルアライメント顕微鏡２２によるマークの検出結果）は主制御装置２０に供給されている。この場合、レチクルＲからの検出光をレチクルアライメント顕微鏡２２に導くための不図示の偏向ミラーが移動自在に配置されており、露光シーケンスが開始されると、主制御装置２０からの指令に基づいて不図示の駆動装置により偏向ミラーはそれぞれレチクルアライメント顕微鏡２２と一体的に露光光ＩＬの光路外に退避される。
【００９２】
前記投影光学系ＰＬは、レチクルステージＲＳＴの図１における下方に配置され、その光軸ＡＸの方向がＺ軸方向とされている。投影光学系ＰＬとしては、両側テレセントリックで所定の縮小倍率（例えば１／５、又は１／４）を有する屈折光学系が使用されている。このため、照明系１０からの照明光ＩＬによってレチクルＲの照明領域が照明されると、レチクルＲの回路パターンの照明領域部分の縮小像（部分倒立像）が投影光学系ＰＬを介してウエハＷ上の前記照明領域に共役な投影光学系の視野内の投影領域に投影され、ウエハＷ表面のレジスト層に転写される。
【００９３】
前記ウエハステージＷＳＴは、投影光学系ＰＬの図１における下方で、不図示のベース上に配置されている。このウエハステージＷＳＴ上にウエハホルダ２５が載置されている。このウエハホルダ２５上にウエハＷが例えば真空吸着等によって固定されている。
【００９４】
ここで、ウエハステージＷＳＴは、実際には、不図示のリニアモータ等によってＸＹ面内で自在に駆動されるＸＹステージと、該ＸＹステージ上に載置され、ウエハホルダ２５を投影光学系ＰＬの光軸ＡＸ方向（Ｚ軸方向）及び光軸に直交する面に対する傾斜方向に不図示の駆動系（ボイスコイルモータなどを含む）を介して駆動するＺチルトステージとを備えている。このように、ウエハステージＷＳＴは、複数のステージから構成され、駆動系もそれぞれ設けられるが、以下においては、ウエハステージＷＳＴは、図１のウエハステージ駆動部２４により、Ｘ、Ｙ、Ｚ、θｚ（Ｚ軸回りの回転方向）、θｘ（Ｘ軸回りの回転方向）、及びθｙ（Ｙ軸回りの回転方向）の５自由度方向に駆動可能な単一のステージであるものとして説明する。なお、残りのθｚ方向については、ウエハステージＷＳＴ（具体的には、ウエハホルダ２５）を回転可能に構成しても良いし、このウエハステージＷＳＴのヨーイング誤差をレチクルステージＲＳＴ側の回転により補正することとしても良い。
【００９５】
前記ウエハステージＷＳＴ（正確にはＺチルトステージ）の側面には、位置計測装置としてのウエハレーザ干渉計（以下、「ウエハ干渉計」という）１８からのレーザビームを反射する移動鏡１７が固定され、外部に配置されたウエハ干渉計１８により、ウエハステージＷＳＴのＸ方向、Ｙ方向及びθｚ方向（Ｚ軸回りの回転方向）の位置が例えば、０．５〜１ｎｍ程度の分解能で常時検出されている。
【００９６】
ここで、ウエハステージＷＳＴ上には、実際には、Ｘ軸方向に直交する反射面を有するＸ移動鏡とＹ軸方向に直交する反射面を有するＹ移動鏡とが設けられている。また、これに対応して、ウエハ干渉計もＸ移動鏡、Ｙ移動鏡にそれぞれレーザ光を照射してウエハステージＷＳＴのＸ軸方向、Ｙ軸方向の位置をそれぞれ計測するＸ軸干渉計、Ｙ軸干渉計がそれぞれ設けられている。
【００９７】
本実施形態では、Ｘ軸及びＹ軸干渉計は測長軸を複数有する多軸干渉計で構成され、ウエハステージＷＳＴのＸ、Ｙ位置の他、回転（ヨーイング（Ｚ軸回りの回転であるθｚ回転）、ピッチング（Ｘ軸回りの回転であるθｘ回転）、ローリング（Ｙ軸回りの回転であるθｙ回転））も計測可能となっている。
【００９８】
このようにウエハ干渉計、及び移動鏡はそれぞれ複数設けられているが、図１ではこれらが代表的に移動鏡１７、ウエハ干渉計１８として示されている。ここで、例えば、ウエハステージＷＳＴの端面を鏡面加工して反射面（移動鏡の反射面に相当）を形成しても良い。
【００９９】
また、ウエハステージＷＳＴ上のウエハＷの近傍には、基準マーク板ＦＭが固定されている。この基準マーク板ＦＭの表面は、ウエハＷの表面と同じ高さに設定され、この表面には少なくとも一対のレチクルアライメント用基準マーク、及びアライメント検出系ＡＳのベースライン計測用の基準マーク等が形成されている。
【０１００】
前記アライメント検出系ＡＳは、投影光学系ＰＬの側面に配置された、オフアクシス方式のアライメントセンサである。このアライメント検出系ＡＳとしては、例えばウエハ上のレジストを感光させないブロードバンドな検出光束を対象マークに照射し、その対象マークからの反射光により受光面に結像された対象マークの像と不図示の指標の像とを撮像素子（ＣＣＤ）等を用いて撮像し、それらの撮像信号を出力する画像処理方式のＦＩＡ（Ｆｉｅｌｄ Ｉｍａｇｅ Ａｌｉｇｎｍｅｎｔ）系のセンサが用いられている。なお、ＦＩＡ系に限らず、コヒーレントな検出光を対象マークに照射し、その対象マークから発生する散乱光又は回折光を検出する、あるいはその対象マークから発生する２つの回折光（例えば同次数）を干渉させて検出するアライメントセンサを単独であるいは適宜組み合わせて用いることは勿論可能である。このアライメント検出系ＡＳの撮像結果が不図示のアライメント信号処理系を介して主制御装置２０へ出力されている。
【０１０１】
制御系は、図１中、主制御装置２０及びこの配下にあるステージ制御装置などによって主に構成される。主制御装置２０は、ＣＰＵ（中央演算処理装置）、ＲＯＭ（リード・オンリ・メモリ）、ＲＡＭ（ランダム・アクセス・メモリ）等から成るいわゆるマイクロコンピュータ（又はワークステーション）を含んで構成され、装置全体を統括して制御する。
【０１０２】
主制御装置２０には、例えばハードディスクから成る記憶装置、キーボード，マウス等のポインティングデバイス等を含んで構成される入力装置、及びＣＲＴディスプレイ（又は液晶ディスプレイ）等の表示装置（いずれも図示省略）、並びにＣＤ（ｃｏｍｐａｃｔ ｄｉｓｃ），ＤＶＤ（ｄｉｇｉｔａｌ ｖｅｒｓａｔｉｌｅ ｄｉｓｃ），ＭＯ（ｍａｇｎｅｔｏ−ｏｐｔｉｃａｌ ｄｉｓｃ）あるいはＦＤ（ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｄｉｓｃ）等の情報記録媒体のドライブ装置４６が、外付けで接続されている。ドライブ装置４６にセットされた情報記録媒体（以下では、ＣＤであるものとする）には、後述するフローチャートで示されるウエハアライメント及び露光動作時の処理アルゴリズムに対応するプログラム（以下、便宜上、「特定プログラム」と呼ぶ）、その他のプログラム、並びにこれらのプログラムに付属するデータベースなどが記録されている。
【０１０３】
主制御装置２０は、例えば露光動作が的確に行われるように、前述の特定プログラムに従った処理を実行し、例えばレチクルＲとウエハＷの同期走査、ウエハＷのステッピング等を制御する。
【０１０４】
具体的には、前記主制御装置２０は、例えば走査露光時には、レチクルＲがレチクルステージＲＳＴを介して＋Ｙ方向（又は−Ｙ方向）に速度Ｖ_Ｒ＝Ｖで走査されるのに同期して、ウエハステージＷＳＴを介してウエハＷが前述の照明領域に共役な投影領域に対して−Ｙ方向（又は＋Ｙ方向）に速度Ｖ_Ｗ＝β・Ｖ（βはレチクルＲからウエハＷに対する投影倍率）で走査されるように、レチクル干渉計１６、ウエハ干渉計１８の計測値に基づいて不図示のレチクルステージ駆動部、ウエハステージ駆動部２４をそれぞれ介してレチクルステージＲＳＴ、ウエハステージＷＳＴの位置及び速度をそれぞれ制御する。また、ステッピングの際には、主制御装置２０ではウエハ干渉計１８の計測値に基づいてウエハステージ駆動部２４を介してウエハステージＷＳＴの位置を制御する。
【０１０５】
さらに、本実施形態の露光装置１００は、投影光学系ＰＬの最良結像面に向けて複数のスリット像を形成するための結像光束を光軸ＡＸ方向に対して斜め方向より供給する不図示の照射系と、その結像光束のウエハＷの表面での各反射光束を、それぞれスリットを介して受光する不図示の受光系とから成る斜入射方式の多点フォーカス検出系を備えている。この多点フォーカス検出系としては、例えば特開平６−２８３４０３号公報などに開示されるものと同様の構成のものが用いられ、この多点フォーカス検出系の出力が主制御装置２０に供給されている。主制御装置２０では、この多点フォーカス検出系からのウエハ位置情報に基づいてステージ制御装置１９及びウエハステージ駆動部２４を介してウエハステージＷＳＴをＺ方向及び傾斜方向に駆動する。
【０１０６】
次に、上述のようにして構成された本実施形態の露光装置１００により、ウエハＷに対して第２層目（セカンドレイヤ）以降の層の露光処理を行う際の動作について説明する。
【０１０７】
前提として、ドライブ装置４６にセットされたＣＤ−ＲＯＭ内の特定プログラム及びその他のプログラムは、記憶装置にインストールされているものとする。さらに、そのうちのレチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムが、主制御装置２０内部のＣＰＵによって記憶装置からメインメモリにロードされているものとする。
【０１０８】
まず、不図示のレチクルローダにより、レチクルステージＲＳＴ上にレチクルＲがロードされる。このレチクルロードが終了すると、主制御装置２０（より正確には、ＣＰＵ）では、レチクルアライメント及びベースライン計測を前述のレチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムに従って以下のようにして実行する。
【０１０９】
すなわち、主制御装置２０では、ウエハステージ駆動部２４を介してウエハステージＷＳＴ上の基準板ＦＭを投影光学系ＰＬの直下の所定位置（以下、便宜上「基準位置」と呼ぶ）に位置決めし、基準板ＦＭ上の一対の第１基準マークと対応するレチクルＲ上の一対のレチクルアライメントマークとの相対位置を前述の一対のレチクルアライメント顕微鏡２２を用いて検出する。そして、主制御装置２０では、レチクルアライメント顕微鏡２２の検出結果と、その検出時の干渉計１６、１８の計測値とをメモリに記憶する。次いで、主制御装置２０では、ウエハステージＷＳＴ及びレチクルステージＲＳＴを、それぞれ所定距離だけＹ軸方向に沿って相互に逆向きに移動して、基準板ＦＭ上の別の一対の第１基準マークと対応するレチクルＲ上の別の一対のレチクルアライメントマークとの相対位置を前述の一対のレチクルアライメント顕微鏡２２を用いて検出する。そして、主制御装置２０では、レチクルアライメント顕微鏡２２の検出結果と、その検出時の干渉計１６、１８の計測値とをメモリに記憶する。次いで、上記と同様にして、基準板ＦＭ上の更に別の一対の第１基準マークと対応するレチクルアライメントマークとの相対位置関係を更に計測しても良い。
【０１１０】
そして、主制御装置２０では、このようにして得られた少なくとも２対の第１基準マークと対応するレチクルアライメントマークとの相対位置関係の情報と、それぞれの計測時の干渉計１６、１８の計測値とを用いて、干渉計１６の測長軸で規定されるレチクルステージ座標系と干渉計１８の測長軸で規定されるウエハステージ座標系との相対位置関係を求める。これにより、レチクルアライメントが終了する。
【０１１１】
次いで、主制御装置２０では、ウエハステージＷＳＴを前述の基準位置に戻し、その基準位置から所定量、例えばベースラインの設計値だけＸＹ面内で移動して、アライメント検出系ＡＳを用いて基準板ＦＭ上の第２基準マークを検出する。主制御装置２０では、このとき得られるアライメント検出系ＡＳの検出中心と第２基準マークの相対位置関係の情報及び先にウエハステージＷＳＴが基準位置に位置決めされた際に計測した一対の第１基準マークと対応する一対のレチクルアライメントマークと相対位置関係の情報と、それぞれの計測時のウエハ干渉計１８の計測値とに基づいて、アライメント検出系ＡＳのベースライン、すなわちレチクルパターンの投影中心とアライメント検出系ＡＳの検出中心（指標中心）との距離（位置関係）を算出する。
【０１１２】
次いで、主制御装置２０では、不図示のウエハローダの制御系にウエハＷのロードを指示する。これにより、ウエハローダによって、ウエハＷがウエハステージＷＳＴ上のウエハホルダ２５上にロードされる。ここで、本実施形態では、ウエハＷのロードに先立って、不図示のプリアライメント装置により、ウエハＷは、その回転ずれと中心位置ずれが高精度に調整されており、いわゆるサーチアライメントが不要となっているものとする。
【０１１３】
このような一連の準備作業が終了すると、主制御装置２０では、前述のレチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムをメインメモリからアンロードするとともに、前述の特定プログラムをメインメモリにロードする。以後、この特定プログラムに従って、ウエハアライメント、ここではＥＧＡ方式のウエハアライメント及びウエハＷ上の各ショット領域に対する露光が行われる。
【０１１４】
以下、このＥＧＡ方式のウエハアライメント及び露光動作について、上記特定プログラムに従って実行される、主制御装置２０内のＣＰＵの処理アルゴリズムを示す図３〜図５のフローチャットに沿って適宜他の図面を参照しつつ説明する。
【０１１５】
前提として、ウエハＷ上には、図２に示されるように、前層までの処理工程で複数（例えばＮ個）のショット領域ＳＡ_ｕ，ｖがマトリック状の配置で形成されるとともに、隣接するショット領域間の１００μｍ幅程度のストリートライン上に、ウエハアライメントＸマーク（ウエハＸマーク）ＭＸ_ｕ，_ｖ、ウエハアライメントＹマーク（ウエハＹマーク）ＭＹ_ｕ，_ｖがそれぞれ形成されている。このうち、ウエハＸマークＭＸ_ｕ，_ｖのＸ位置は、ショット領域ＳＡ_ｕ，_ｖ（の中心Ｃ_ｕ，_ｖ）のＸ座標に設計上一致し、ウエハＹマークＭＹ_ｕ，_ｖのＹ位置は、ショット領域ＳＡ_ｕ，_ｖ（の中心Ｃ_ｕ，_ｖ）のＹ座標に設計上一致するようになっている。すなわち、設計上は、ウエハＸマークＭＸ_ｕ，_ｖのＸ位置とウエハＹマークＭＹ_ｕ，_ｖのＹ位置とにより、ショット領域ＳＡ_ｕ，_ｖ（の中心Ｃ_ｕ，_ｖ）の位置座標が求められるようになっている。
【０１１６】
この場合、ウエハＸマークＭＸ_ｕ，_ｖとしては、例えばＸ軸方向を周期方向とするラインアンドスペースマークが用いられ、ウエハＹマークＭＹ_ｕ，_ｖとしては、例えばＹ軸方向を周期方向とするラインアンドスペースマークが用いられている。これらのマークとしては、一例としてラインパターンを３本有するマークが用いられているが、ラインパターンの数は何本でも良い。
【０１１７】
ところで、ウエハＷに形成されたウエハＸマーク、ウエハＹマークが、設計位置からずれる（すなわちショット領域ＳＡが設計値からずれる）のは、ウエハステージＷＳＴの移動位置を規定するウエハステージ座標系（Ｘ，Ｙ）と設計座標系であるショット領域の配列座標系すなわちウエハ座標系（α，β）との不整合が原因であり、かかる不整合が生じる主要因は、次の４つであると考えられる。
【０１１８】
▲１▼ウエハの回転：これはウエハステージ座標系（Ｘ，Ｙ）に対するウエハの座標系（α，β）の残留回転誤差θで表される。
▲２▼ウエハステージ座標系（Ｘ，Ｙ）の直交度：これはＸ軸方向及びＹ軸方向のウエハステージＷＳＴの送りが正確に直交していないことにより生じ、直交度誤差ｗで表される。
▲３▼ウエハ座標系（α，β）におけるα軸方向及びβ軸方向の線形伸縮（ウエハスケーリング）：これはウエハＷが加工プロセス等によって全体的に伸縮することである。この伸縮量はα軸方向及びβ軸方向についてそれぞれウエハスケーリングＲ_Ｘ及びＲ_Ｙで表される。ただし、α軸方向のウエハスケーリングＲ_ＸはウエハＷ上のα方向の２点間の距離の実測値と設計値との比、β軸方向のウエハスケーリングＲ_Ｙはβ方向の２点間の実測値と設計値との比で表すものとする。
▲４▼ウエハ座標系（α，β）のステージ座標系（Ｘ，Ｙ）に対するオフセット：これはウエハＷがウエハステージＷＳＴに対して全体的に微小量だけずれることにより生じ、オフセット量Ｏ_Ｘ，Ｏ_Ｙで表される。
【０１１９】
上記の▲１▼〜▲４▼の誤差要因が加わった場合、ウエハ座標系（α，β）における設計上の位置（ＤＸ，ＤＹ）に転写されるパターンは、次式（３）によって求められるウエハステージ座標系（Ｘ，Ｙ）上の位置（ＥＸ，ＥＹ）に転写されることになる。
【０１２０】
【数３】

【０１２１】
なお、実際の転写にあたっては、上記の誤差要因以外にも様々な誤差要因があると考えられるので、位置（ＥＸ，ＥＹ）は予想転写位置として位置づけられる。
【０１２２】
一般に、直交度誤差ｗ及び残留回転誤差θは微小量であるとみなして良いので、式（３）中の三角関数を１次近似で表した次の式（４）によって、設計上の転写位置（ＤＸ，ＤＹ）と予想転写位置（ＥＸ，ＥＹ）とが関係付けられることになる。
【０１２３】
【数４】

【０１２４】
なお、以下の説明では、式（４）は次の式（５）のような形式でも表すことにする。
【０１２５】
【数５】

【０１２６】
ここで、
ａ＝Ｒ_Ｘ …（６）
ｂ＝−Ｒ_Ｘ・（ｗ＋θ） …（７）
ｃ＝Ｒ_Ｙ・θ …（８）
ｄ＝Ｒ_Ｙ …（９）
ｅ＝Ｏｘ …（１０）
ｆ＝Ｏｙ …（１１）
である。
【０１２７】
すなわち、ショット領域ＳＡ_ｕ，_ｖの配列を一義的に規定するＥＧＡパラメータは、ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、及びｆの６つのパラメータであるということができる。
【０１２８】
ここで、前述したサンプルショット領域（アライメントショット領域）に付設されたウエハアライメントマーク（以下、「サンプルマーク」とも呼ぶ）、すなわち前述のウエハＸマークＭＸ_ｕ，_ｖ、ウエハＹマークＭＹ_ｕ，_ｖのうちの、選択された各ｈ個、合計２ｈ（＝ｎ）個のサンプルマークＭ_ｑ（ｑ＝１、２、……、ｎ（ｎ＞６））の設計上の位置座標のうちの、ウエハＸマークのＸ座標は、該マークが付設されたショット領域中心のＸ座標と一致し、ウエハＹマークのＹ座標は、該マークが付設されたショット領域中心のＹ座標と一致している。従って、これらのサンプルマークの配列座標を用いて統計演算により求められる、ウエハマークの配列座標は、ショット領域の配列座標と正確に一致する。
【０１２９】
従って、以下ではサンプルマークのＸ座標、Ｙ座標が、それらのマークが付設されたサンプルショット領域の座標を示すものとして、サンプルショット領域の設計上の配列座標を（Ｘ_ｐ、Ｙ_ｐ）（ｐ＝１、２、……、ｈ）とし、設計上の配列座標からのずれ（ｄＸ_ｐ、ｄＹ_ｐ）について、次式（１２）、（１３）で示されるような前述の式（１）と等価な線形モデルを仮定する。
【０１３０】
ｄＸ_ｐ＝ａ・Ｘ_ｐ＋ｂ・Ｙ_ｐ＋ｅ ……（１２）
ｄＹ_ｐ＝ｃ・Ｘ_ｐ＋ｄ・Ｙ_ｐ＋ｆ ……（１３）
【０１３１】
なお、本実施形態では、サンプルショット領域として、同一直線状に位置しないｈ＝８個のショット領域がウエハＷの全領域に渡って予め選択されているものとする。また、この８個のサンプルショット領域に付設されたＸ，Ｙ両方のサンプルマーク（合計２ｈ＝ｎ（＝１６）個のサンプルマーク）について、計測が行われるものとする。
【０１３２】
但し、上の仮定は、説明の便宜上からのもので、サンプルマークの数は、ＸマークとＹマークとを必ず含み、全てのＸマーク、全てのＹマークがともに同一直線状になく、全体として７個以上であればその数は問わない。すなわち、前述の式（５）又は式（１２）及び式（１３）などを用いる場合、サンプルショット領域は、少なくとも４個以上であれば良い。
【０１３３】
以下、フローチャートに沿って説明する。まず、図３のステップ１０２において、後述する異常値の数（除外すべきサンプルマークの数）を示すカウンタｋを「０」に初期化するとともに、サンプルショットの番号を示すカウンタｐを「１」に初期化する。なお、本実施形態で説明する異常値は、実際の異常値（跳びショットの計測値）であるかどうかに拘わらず、異常値として仮定した値、すなわち仮異常値であるが、以下においては、単に「異常値」と記述するものとする。同様に、正常値は、実際の正常値であるかどうかに拘わらず、正常値として仮定した値、すなわち仮正常値であるが、以下においては、単に「正常値」と記述するものとする。
【０１３４】
次のステップ１０４では、第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＸマークＭＸ_ｐがアライメント検出系ＡＳの検出視野（撮像視野）内に位置する目標位置へウエハステージＷＳＴを移動するようにステージ制御装置１９に対して指示する。この指示に応じてステージ制御装置１９では、ウエハ干渉計１８の計測値をモニタしつつウエハステージ駆動部２４を介してウエハステージＷＳＴを上記目標位置へ移動する。
【０１３５】
次のステップ１０６では、その第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＸマークＭＸ_ｐを、アライメント検出系ＡＳを用いて撮像する。この撮像の結果、不図示のアライメント処理装置からアライメント検出系ＡＳの指標中心を基準とするウエハＸマークＭＸ_ｐのＸ位置座標ＸＭ_ｐ（ここでは、ＸＭ_１）が主制御装置２０に送られる。この場合、アライメント処理装置では、ウエハＸマークＭＸ_ｐの撮像信号に基づいて、ウエハＸマークＭＸ_ｐの各ラインパターンの両端のエッジ位置を、公知のスライス法、あるいは最大傾斜位置検出法などの手法により検出する。次いで、アライメント処理装置では、検出した各ラインパターンの両端のエッジ位置の平均値を該ラインパターンの位置とし、全てのラインパターン位置の平均値を算出する。そして、アライメント処理装置では、この算出した平均値を、指標中心を基準とする値に変換して、上述のＸ位置座標ＸＭ_ｐとして主制御装置２０に供給する。なお、ウエハＸマークの位置の検出方法自体は、上記の他にも公知の種々のマーク位置検出方法の適用が可能であるため、これ以上の詳細な説明は省略する。
【０１３６】
次のステップ１０８では、第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＸマークＭＸ_ｐのウエハステージ座標系上におけるＸ位置ｘ_ｐ、すなわちこの場合ウエハＸマークＭＸ_１のＸ位置ｘ_１を、アライメント検出系ＡＳの撮像結果であるＸ位置座標（ＸＭ_１）とその検出時のウエハ干渉計１８の計測値とに基づいて算出するとともに、ウエハＸマークＭＸ_１のＹ座標値として当該サンプルショット領域の設計上のＹ座標値（Ｙ_ｐ＝Ｙ_１）を用いて、第１番目のウエハＸマークの位置座標を（ｘ_１、Ｙ_１）として、不図示のメモリに記憶する。
【０１３７】
次のステップ１１０では、第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＹマークＭＹ_ｐがアライメント検出系ＡＳの検出視野（撮像視野）内に位置する目標位置へウエハステージＷＳＴを移動するようにステージ制御装置１９に対して指示する。この指示に応じてステージ制御装置１９では、ウエハ干渉計１８の計測値をモニタしつつウエハステージ駆動部２４を介してウエハステージＷＳＴを上記目標位置へ移動する。
【０１３８】
次のステップ１１２では、その第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＹマークＭＹ_ｐを、アライメント検出系ＡＳを用いて撮像する。この撮像の結果、不図示のアライメント処理装置からアライメント検出系ＡＳの指標中心を基準とするウエハＹマークＭＹ_ｐのＹ位置座標ＹＭ_ｐ（ここでは、ＹＭ_１）が主制御装置２０に送られる。この場合も、アライメント処理装置では、前述のウエハＸマークの場合と同様の処理を行う。
【０１３９】
次のステップ１１４では、第ｐ番目（ここでは第１番目）のサンプルショット領域のウエハＹマークＭＹ_ｐのウエハステージ座標系上におけるＹ位置ｙ_ｐ、すなわちこの場合ウエハＹマークＭＹ_１のＹ位置ｙ_１を、アライメント検出系ＡＳの撮像結果であるＹ位置座標（ＹＭ_１）とその検出時のウエハ干渉計１８の計測値とに基づいて算出するとともに、ウエハＹマークＭＹ_１のＹ座標値として当該サンプルショット領域の設計上のＸ座標値（Ｘ_ｐ＝Ｘ_１）を用いて、第１番目のウエハＹマークの位置座標を（Ｘ_１、ｙ_１）として、不図示のメモリに記憶する。
【０１４０】
次のステップ１１６では、カウンタｐを参照してｐ＝ｈであるか否かを判断することにより、ｈ個（８個）のサンプルショット領域におけるウエハＸマーク及びウエハＹマークの位置座標の検出が完了したか否か判断する。この場合、第１番目のサンプルショット領域におけるマークの位置座標の検出が終了したのみなので、ここでの判断は否定され、ステップ１１８に移行してカウンタｐを１インクリメント（ｐ←ｐ＋１）した後、ステップ１０４に戻る。
【０１４１】
その後、ステップ１１６の判断が肯定されるまで、上記ステップ１０４→１０６→１０８→１１０→１１２→１１４→１１６→１１８のループの処理、判断を繰り返して、第２番目〜第ｈ番目のサンプルショット領域のウエハＸマークＭＸ_２〜ＭＸ_ｈの位置座標（ｘ_２、Ｙ_２）、（ｘ_３、Ｙ_３）、……、（ｘ_ｈ、Ｙ_ｈ）、及びウエハＹマークＭＹ_２〜ＭＹ_ｈの位置座標（Ｘ_２、ｙ_２）、（Ｘ_３、ｙ_３）、……、（Ｘ_ｈ、ｙ_ｈ）を、ウエハＸマークＭＸ_１及びウエハＹマークＭＹ_２と同様にして順次検出（算出）し、メモリに記憶する。
【０１４２】
そして、ｈ個（８個）のサンプルショット領域のマークの位置座標の検出、記憶が終了すると、ステップ１１６の判断が肯定され、図４のステップ１２０のｋ＝０に対応するＸ側、Ｙ側の統計モデルのＡＩＣ（赤池情報量規準）を算出するサブルーチンに移行する。なお、以下の説明では、上述のようにして得られたサンプルマークの座標値（ｘ_１、Ｙ_１）、（ｘ_２、Ｙ_２）、（ｘ_３、Ｙ_３）、……、（ｘ_ｈ、Ｙ_ｈ）、及び（Ｘ_１、ｙ_１）、（Ｘ_２、ｙ_２）、（Ｘ_３、ｙ_３）、……、（Ｘ_ｈ、ｙ_ｈ）を、サンプルマークの計測値とも呼ぶものとする。
【０１４３】
このステップ１２０のサブルーチンでは、図６に示されるように、まず、ステップ２０２において、ｎ＝２ｈ＝１６個全てのサンプルマークの位置座標（実測位置情報）を用いて、前述のＥＧＡパラメータ（ａ〜ｆ）を演算して、不図示のメモリに記憶する。
【０１４４】
以下、このＥＧＡパラメータの算出について簡単に説明する。この場合、サンプルショット領域としては、ｈ＝ｎ／２（＝８）個のショット領域が選択されているので、それらのサンプルショット領域の設計値（Ｘ_ｐ、Ｙ_ｐ）を、前述の式（１２）、（１３）にそれぞれ代入して、ＥＧＡパラメータ込みで、サンプルショット領域の設計上の配列座標からのずれ（ｄＸ_ｐ、ｄＹ_ｐ）（ｐ＝１〜ｈ）を求める。
【０１４５】
次いで、先に検出した各サンプルショット領域についてウエハＸマークのＸ座標ｘ_ｐ（ｐ＝１、２、……、ｈ）、及びウエハＹマークのＹ座標ｙ_ｐ（ｐ＝１，２、……、ｈ）によって定まるサンプルショット領域の実際の配列座標（ｘ_ｐ、ｙ_ｐ）の設計上の配列座標からのずれ（εＸ_ｐ、εＹ_ｐ）を求め、次式（１４）で示される、ずれ（εＸ_ｐ、εＹ_ｐ）と上記線形モデルで仮定される設計上の配列座標からのずれとの残差の二乗和Ｅが最小となるＥＧＡパラメータａ_０，ｂ_０，ｃ_０，ｄ_０，ｅ_０，ｆ_０を最小二乗法により求める。すなわち、式（１４）によって求められるＥを、６個のパラメータａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆそれぞれで偏微分したものを０として得られる６つの方程式から成る連立方程式を解くことによって、ＥＧＡパラメータａ_０，ｂ_０，ｃ_０，ｄ_０，ｅ_０，ｆ_０を求める。
【０１４６】
【数６】

【０１４７】
上述の説明から明らかなように、本実施形態では、ウエハＸマークからはＸ位置、ウエハＹマークからはＹ位置のみを実測位置情報として検出している（すなわち、ウエハＸマークのＹ位置、ウエハＹマークのＸ位置としては設計値をそのまま用いている）ので、パラメータａ_０，ｂ_０，ｅ_０は、ｈ個のウエハＸマークからなるサンプル集合（Ｓ_Ｘとする）から得られ、パラメータｃ_０，ｄ_０，ｆ_０は、ｈ個のウエハＹマークからなるサンプル集合（Ｓ_Ｙとする）から得られたものと考えても問題ない。
【０１４８】
そこで、次のステップ２０４では、サンプル集合Ｓ_Ｘの要素である各ウエハＸマークの分布を示す統計モデル、サンプル集合Ｓ_Ｙの要素である各ウエハＹマークの分布を示す統計モデルを算出し、メモリ内に記憶する。ここでは、ｈ個のウエハＸマーク、ｈ個のウエハＹマークの全てを正常値と考えている、すなわち前述の除外数ｋ＝０の場合であるから、実測値の誤差（εＸ_ｐ）、（εＹ_ｐ）は、正規分布に従うものと仮定する。
【０１４９】
すなわち、次式（１５）、（１６）であらわされるような統計モデルを算出し、メモリ内に記憶する。
【０１５０】
ｄＸ_ｐ＝ａ_０・Ｘ_ｐ＋ｂ_０・Ｙ_ｐ＋ｅ_０＋εＸ_ｐ
＝ａ_０・Ｘ_ｐ＋ｂ_０・Ｙ_ｐ＋ｅ_０＋Ｎ（０，σ_Ｘ ^２） ……（１５）
ｄＹ_ｐ＝ｃ_０・Ｘ_ｐ＋ｄ_０・Ｙ_ｐ＋ｆ_０＋εＹ_ｐ
＝ｃ_０・Ｘ_ｐ＋ｄ_０・Ｙ_ｐ＋ｆ_０＋Ｎ（０，σ_Ｙ ^２） ……（１６）
ただし、Ｎ（μ，σ^２）は、平均値μ、分散σ^２の正規分布である。
【０１５１】
ここで、分散σ_Ｘ ^２、σ_Ｙ ^２は、次式（１７）、（１８）のように表される。
【０１５２】
【数７】

【０１５３】
ここで、σ_Ｘ、σ_Ｙは、それぞれ、式（１５）、（１６）の統計モデルの標準偏差である。
【０１５４】
次のステップ２０６では、それぞれ式（１５）、（１６）で表されるＸ側、Ｙ側の統計モデル（Ｍ_Ｘ、Ｍ_Ｙとする）のＡＩＣを算出し、メモリ内に記憶する。
【０１５５】
ここで、ＡＩＣについて簡単に説明する。計測によってモデルが得られたとき、これが真の分布と一致する対数尤度を表す量として、カルバックライブラー情報量（ＫＬＩ）がある。ＫＬＩのデータ数（ｎ）倍の、モデルを表現するパラメータ数の増加に伴う偏りを修正した推定値（の２倍）がＡＩＣである。統計モデルＭのＡＩＣは、次式（１９）で表される。
【０１５６】
ＡＩＣ（Ｍ）＝−２ＭＬＬ（Ｍ）＋２ｋ …（１９）
ここで、ＭＬＬ（Ｍ）は統計モデルＭの下での最大対数尤度であり、ｋは統計モデルＭの未知パラメータの数である。
【０１５７】
正規分布の最大対数尤度は意味をもたない定数項を除いて、次式（２０）で表される。
【０１５８】
ＭＬＬ（Ｍ）＝−ｈｌｏｇσ …（２０）
ここで、ｈは計測値の数、σは統計モデルＭの標準偏差（パラメータの１つ）である。
【０１５９】
従って、統計モデルＭのＡＩＣは、次式（２１）で表される。
【０１６０】
ＡＩＣ（Ｍ）＝２ｈｌｏｇσ＋２ｋ …（２１）
上述の如く、ｋは統計モデルＭの未知パラメータの数であるから、厳密に言えば、ｋはＥＧＡパラメータの数、正常値の分布により定まる平均値、及び分散（又は標準偏差）をも含むものであるが、本実施形態では、便宜上、ｋは前述の異常値の数ｋ、すなわちカウンタｋの値であるものとして説明する。このようにしても、ＥＧＡパラメータ、正常値の分布により定まる平均値、及び分散（又は標準偏差）などは、後述するＡＩＣを用いた比較の対象となるいずれの統計モデルにも含まれているので、何ら問題はない。
【０１６１】
すなわち、ステップ２０６では、統計モデルＭ_Ｘ、Ｍ_Ｙのそれぞれについて上式（１９）を用いて、ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ）＝２ｈｌｏｇσ_Ｘ、及びＡＩＣ（Ｍ_Ｙ）＝２ｈｌｏｇσ_Ｙが算出され、メモリ内に記憶される。その後、メインルーチンのステップ１２２（図４参照）に戻る。
【０１６２】
ステップ１２２では、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）するとともに、異常値として除外すべきマークの番号を規定するカウンタｉを「１」に初期化する。
【０１６３】
次のステップ１２４では、ｋ＝１に対応する（異常値を１つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。
【０１６４】
このサブルーチン１２４では、まず、図７のステップ２１０において、第ｉ番目（ここでは、第１番目）のウエハＸマークの計測値を除く、ウエハＸマークの計測値の副集合Ｓ_Ｘｉ（この場合Ｓ_Ｘ１）を作成し、メモリに記憶する。
【０１６５】
次のステップ２１２では、上記ステップ２１０で作成した副集合Ｓ_Ｘｉ（この場合Ｓ_Ｘ１）の要素である（ｈ−１）個のウエハＸマークの計測値を用いて、前述のステップ２０２と同様の手順で最小二乗法を用いて式（１２）中の未知パラメータａ、ｂ、ｅの推定値ａ_ｉ、ｂ_ｉ、ｅ_ｉ（この場合、ａ_１、ｂ_１、ｅ_１）を算出する。
【０１６６】
次のステップ２１４では、第ｉ番目（ここでは第１番目）ウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘｉ（この場合Ｍ_Ｘ１）を算出し、メモリに記憶する。
【０１６７】
ここで、異常値を含む統計モデルを、以下のように仮定する。
ａ） 前述の如く、正常値の計測値の誤差の分布は正規分布に従う。
ｂ） 各異常値の分布も、それぞれが平均値μ_ｉとなる正規分布（集合の要素は１つである）に従う。異常値の集合（要素は１つだが）の分散（及び標準偏差）は正常値と同じであると仮定する。
【０１６８】
上記の仮定によれば、異常値の数を１としたときの統計モデルＭ_Ｘｉは、次式（２２）で表される。
【０１６９】
【数８】

【０１７０】
ここで、分散σｘ_ｉ ^２は、次式（２３）のようになる。
【０１７１】
【数９】

【０１７２】
この場合のΣは、ｐがｉ以外の場合の総和をとることを意味する。また、この分散σｘ_ｉ ^２の計算には、不偏分散（正常値の数、ｈ−１で除算した分散）を用いず、最尤推定による分散（全計測点数ｈで除算した分散）を用いる。なお、異常値の数による偏りは、ＡＩＣのパラメータ数に依存する項で補正される。
【０１７３】
また、異常値の分布は、平均値μ_ｉ、分散σ_Ｘｉ ^２の正規分布に従うものとする。
【０１７４】
従って、上記統計モデルＭ_Ｘｉを式で表すと、次式（２４）のように表すことができる。
【０１７５】
Ｍ_Ｘｉ＝Ｍ（μ_Ｘｉ、σ_Ｘｉ、μ_ｉ） …（２４）
上式において、μ_Ｘｉは、次式（２５）で表される正常値の計測値の平均値である。なお、σ_Ｘｉは、統計モデルＭ_Ｘｉの標準偏差、すなわち、上記式（２３）で表される分散の平方根である。
【０１７６】
Μ_Ｘｉ＝ａ_ｉ・Ｘ_ｐ＋ｂ_ｉ・Ｙ_ｐ＋ｅ_ｉ …（２５）
【０１７７】
すなわち、この場合のステップ２１４では、第１番目のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする次式（２６）で示される統計モデルＭ_Ｘ１が、算出され、メモリ内に記憶される。
【０１７８】
Ｍ_Ｘ１＝Ｍ（μ_Ｘ１、σ_Ｘ１、μ_１） …（２６）
【０１７９】
次のステップ２１６では、上記ステップ２１６で算出した統計モデルＭ_Ｘｉ（この場合Ｍ_Ｘ１）のＡＩＣを算出し、メモリに記憶する。
【０１８０】
この結果、メモリ内には、次式（２７）で示されるＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１）が記憶される。
【０１８１】
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１）＝−２（ｈ−１）ｌｏｇ（ｈ−１）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘ１＋２…（２７）ここで、最後の項の２は、異常値（の平均値μ_ｉ）の数である１の２倍という意味である。
【０１８２】
次のステップ２１８では、カウンタｉを参照して、その値数ｉがｈ（＝８）であるか否かを判断する。この場合、カウンタｉ＝１であるから、ここでの判断は否定され、ステップ２２０に移行して、カウンタｉを１インクリメント（ｉ←ｉ＋１）した後、ステップ２１０に戻る。以後、ステップ２１８における判断が肯定されるまで、ステップ２１０→２１２→２１４→２１６→２１８→２２０のループの処理、判断を繰り返す。
【０１８３】
これにより、▲１▼第２番目、第３番目、……、第ｈ番目のウエハＸマークの計測値を除く、ウエハＸマークの計測値の副集合Ｓ_Ｘ２、Ｓ_Ｘ３、……、Ｓ_Ｘｈの作成、記憶、▲２▼これらの副集合Ｓ_Ｘｉ（ｉ＝２〜ｈ）の要素である（ｈ−１）個のウエハＸマークの計測値を用いたＥＧＡパラメータの推定値ａ_ｉ、ｂ_ｉ、ｅ_ｉ（ｉ＝２〜ｈ）の算出、▲３▼第ｉ番目のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘｉ＝Ｍ（μ_Ｘｉ、σ_Ｘｉ、μ_ｉ）（ｉ＝２〜ｈ）の算出、記憶、並びに▲４▼上記統計モデルＭ_Ｘｉ＝Ｍ（μ_Ｘｉ、σ_Ｘｉ、μ_ｉ）（ｉ＝２〜ｈ）についてのＡＩＣの算出、記憶が行われる。この結果、メモリ内には、ｉ＝１〜ｈについて、
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）＝−２（ｈ−１）ｌｏｇ（ｈ−１）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉ＋２…（２８）が記憶される。
【０１８４】
このようにしてＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）（ｉ＝１〜ｈ）の算出が終了すると、ステップ２１８における判断が肯定され、メインルーチンのステップ１２６（図４参照）にリターンする。
【０１８５】
このステップ１２６では、メモリ内に記憶されているｋ＝１に対応するＸ側の統計モデルＭ_Ｘｉ＝Ｍ（μ_Ｘｉ、σ_Ｘｉ、μ_ｉ）（ｉ＝１〜ｈ）の中から尤も確からしい統計モデルを選択する。
【０１８６】
このステップ１２６における選択は、ＡＩＣに基づいて、次のようにして行われる。
【０１８７】
一般に、ＡＩＣでは、その値が小さいほどその統計モデルが確からしいと判断され、尤度（統計モデルの確からしさ）は、ｅｘｐ（−ＡＩＣ／２）に比例すると考えることができる。すなわち、
統計モデルの尤度∝（１／σ）^ｎ×ｅｘｐ（−ｋ）
が成り立つ。パラメータ数（ｋ）が多ければ標準偏差は小さくなるので（１／σ）^ｎは大きくなるが、パラメータを増やしたことにより尤度はｅｘｐ（−ｋ）だけ低下する。
【０１８８】
従って、ステップ１２６では、ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）（ｉ＝１〜ｈ）の中から最小であるＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）_ｍｉｎを選択し、そのＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）_ｍｉｎに対応する統計モデルを選択する。
【０１８９】
次のステップ１２８では、ステップ１２６で選択した１つの異常値を含む統計モデルのＡＩＣであるＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）_ｍｉｎと、前述のステップ２０６で算出された全計測値が正常値であると見なした場合の統計モデルＭ_ＸについてのＡＩＣ（Ｍ_Ｘ）＝２ｈ・ｌｏｇσ_Ｘとの間に、
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）_ｍｉｎ＜ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ）
の関係が成り立つか否かを判断することにより、統計モデルの確からしさが改善したか否かを判断する。そして、この判断が否定された場合、すなわち統計モデルの確からしさが改善していない場合には、後述するステップ１４２にジャンプする。この一方、ステップ１２６の判断が肯定された場合、すなわち統計モデルの確からしさが改善している場合には、ステップ１３０に進む。
【０１９０】
ステップ１３０では、異常値として除外すべき１つ目のマークの番号を規定する前述のカウンタｉを「１」に初期化するとともに、異常値として除外すべき２つ目のマークの番号を規定するカウンタｊを「２」に初期化する。同時に、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）する。
【０１９１】
次のステップ１３２では、ｋ＝２に対応する（異常値を２つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。
【０１９２】
このサブルーチン１３２では、まず、図８のステップ２２２において、第ｉ番目（ここでは、第１番目）と第ｊ番目（ここでは、第２番目）のウエハＸマークの計測値を除く、ウエハＸマークの計測値の副集合Ｓ_Ｘｉｊ（この場合Ｓ_Ｘ１２）を作成し、メモリに記憶する。
【０１９３】
次のステップ２２４では、上記ステップ２２２で作成した副集合Ｓ_Ｘｉｊ（この場合Ｓ_Ｘ１２）の要素である（ｈ−２）個のウエハＸマークの計測値を用いて、前述のステップ２０２と同様の手順で最小二乗法を用いて式（１２）中の未知パラメータａ、ｂ、ｅの推定値ａ_ｉｊ、ｂ_ｉｊ、ｅ_ｉｊ（この場合、ａ_１２、ｂ_１２、ｅ_１２）を算出する。
【０１９４】
次のステップ２２６では、第ｉ番目（ここでは第１番目）と第ｊ番目（ここでは第２番目）のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘｉｊ（この場合Ｍ_Ｘ１２）を算出し、メモリに記憶する。
【０１９５】
この場合の統計モデルは、前述のｋ＝１の場合と基本的には同様の仮定のモデルであるが、異常値を複数含むので、それらの異常値は平均値μ_ｉ、μ_ｊの分布（集合の要素は１つである）をするとともに、それらの異常値同士は、相関がなく、また同じ分布に属すると考えないものとする。
【０１９６】
上記の統計モデルＭ_Ｘｉｊは、正常値の計測値が、次式（２９）で示される分布をする。
【０１９７】
ｄＸ_ｐ＝ａ_ｉｊ・Ｘ_ｐ＋ｂ_ｉｊ・Ｙ_ｐ＋ｅ_ｉｊ＋Ｎ（０，σ_Ｘｉｊ ^２） …（２９）
ここで、分散σ_Ｘｉｊ ^２は、次式（３０）のようになる。
【０１９８】
【数１０】

【０１９９】
この場合のΣは、ｐがｉ、ｊ以外の場合の総和をとることを意味する。
【０２００】
また、各異常値の分布は、それぞれ平均値μ_ｉ、分散σ_Ｘｉｊ ^２の正規分布、平均値μ_ｊ、分散σ_Ｘｉｊ ^２の正規分布に従う。
【０２０１】
従って、上記統計モデルＭ_Ｘｉｊを式で表すと、次式（３１）のように表せる。
【０２０２】
Ｍ_Ｘｉｊ＝Ｍ（μ_Ｘｉｊ、σ_Ｘｉｊ、μ_ｉ、μ_ｊ） …（３１）
上式において、μ_Ｘｉｊは、次式（３２）で表される正常値の計測値の平均値である。また、σ_Ｘｉｊは、統計モデルＭ_Ｘｉｊの標準偏差、すなわち、上記式（３０）で表される分散の平方根である。
【０２０３】
Μ_Ｘｉｊ＝ａ_ｉｊ・Ｘ_ｐ＋ｂ_ｉｊ・Ｙ_ｐ＋ｅ_ｉｊ …（３２）
【０２０４】
なお、統計モデルＭ_ＸｉｊのＡＩＣは、以下の（３３）式で表される。
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊ）＝−２（ｈ−２）ｌｏｇ（ｈ−２）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉｊ＋２・２ …（３３）
【０２０５】
まず、ステップ２２６では、第１番目、第２番目のウエハＸマークの計測値を異常値とする。すなわち、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする次式（３４）で示される統計モデルＭ_Ｘ１２が算出され、メモリ内に記憶される。
【０２０６】
Ｍ_Ｘ１２＝Ｍ（μ_Ｘ１２、σ_Ｘ１２、μ_１、μ_２） ……（３４）
【０２０７】
次のステップ２２８では、上記ステップ２２６で算出した統計モデルＭ_Ｘｉｊ（この場合Ｍ_Ｘ１２）のＡＩＣを算出し、メモリに記憶する。
【０２０８】
この結果、メモリ内には、上述の式（３２）に基づく次式（３５）で示されるＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１２）が記憶される。
【０２０９】
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１２）＝−２（ｈ−２）ｌｏｇ（ｈ−２）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘ１２＋４ …（３５）
ここで、４は、異常値（の平均値μ_ｉ、μ_ｊ）の数である２の２倍の意味である。
【０２１０】
次のステップ２３０では、カウンタｊを１インクリメントした（ｊ←ｊ＋１）後、ステップ２３２に進んでカウンタｊを参照して、ｊ≦ｈであるか否かを判断する。この場合、ｊ＝３であるからここでの判断は肯定され、ステップ２２２に戻る。以後、ステップ２３２における判断が否定されるまで、ステップ２２２→２２４→２２６→２２８→２３０→２３２のループの処理、判断を繰り返す。
【０２１１】
これにより、▲５▼第１番目と第ｊ番目（ｊ＝３〜ｈ）のウエハＸマークの計測値を除く、（ｈ−２）個のウエハＸマークの計測値から成る副集合Ｓ_Ｘ１３、Ｓ_Ｘ１４、……、Ｓ_Ｘ１ｈの作成、記憶、▲６▼これらの副集合Ｓ_Ｘ１ｊ（_ｊ＝３〜ｈ）の要素である（ｈ−２）個のウエハＸマークの計測値を用いたＥＧＡパラメータの推定値ａ_１ｊ、ｂ_１ｊ、ｅ_１ｊ（ｊ＝３〜ｈ）の算出、▲７▼ｊ＝３〜ｈそれぞれの場合に関する、第１番目と第ｊ番目とのウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘ１ｊ＝Ｍ（μ_Ｘ１ｊ、σ_Ｘ１ｊ、μ_１、μ_ｊ）の算出、記憶、並びに▲８▼上記統計モデルＭ_Ｘ１ｊ＝Ｍ（μ_Ｘ１ｊ、σ_Ｘ１ｊ、μ_１、μ_ｊ）（ｊ＝３〜ｈ）についてのＡＩＣの算出、記憶が行われる。
【０２１２】
そして、統計モデルＭ_Ｘ１ｈのＡＩＣの算出が終了すると、ｊ＞ｈとなってステップ２３２の判断が否定され、ステップ２３４に移行する。
【０２１３】
ステップ２３４では、カウンタｉを１インクリメント（ｉ←ｉ＋１）した後、ステップ２３６に進んでカウンタｉを参照して、ｉ≦ｈ−１が成立するか否かを判断する。この場合、ｉ＝２であるからここでの判断は肯定され、ステップ２３８に移行する。
【０２１４】
ステップ２３８では、カウンタｊをｉ＋１に設定（ｊ←ｉ＋１）した後、ステップ２２２に戻る。以後、ステップ２３２における判断が否定されるまで、ステップ２２２→２２４→２２６→２２８→２３０→２３２のループの処理、判断を繰り返す。これにより、上記▲５▼〜▲８▼の処理が、ｉ＝２の場合について行われ、第２番目と第ｊ番目とのウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘ２ｊ＝Ｍ（μ_Ｘ２ｊ、σ_Ｘ２ｊ、μ_２、μ_ｊ）（ｊ＝３〜ｈ）についてのＡＩＣがメモリ内に記憶される。
【０２１５】
このようにして、ｉ＝２、ｊ＝ｈの場合の統計モデルＭ_Ｘ２ｈのＡＩＣの算出が終了すると、ステップ２３２における判断が否定され、ステップ２３４に移行して、カウンタｉを１インクリメントする。次のステップ２３６では、前述と同様の判断が行われるが、このときｉ＝３なので、ここでの判断は肯定され、ステップ２３８に移行する。このステップ２３８では、カウンタｊをｉ＋１＝４に設定した後、ステップ２２２に戻り、以後ステップ２３６における判断が否定されるまで、上記ステップ２２２以下の処理、判断を繰り返す。
【０２１６】
このようにして、ｋ＝２の場合の_ｈＣ_２＝ｈ（ｈ−１）／２（＝２８）個全ての統計モデルＭ_Ｘｉｊ＝Ｍ（μ_Ｘｉｊ、σ_Ｘｉｊ、μ_ｉ、μ_ｊ）についてのＡＩＣの算出が終了してｉ＝ｈとなると、ステップ２３６における判断が否定され、このサブルーチンの処理を終了して、メインルーチンのステップ１３４（図４参照）にリターンする。このとき、メモリ内には、統計モデルＭ_Ｘｉｊのそれぞれについての上述の式（３３）で示されるＡＩＣが記憶された状態となっている。
【０２１７】
ステップ１３４では、前述のステップ１２６と同様にして、それぞれの統計モデルのＡＩＣに基づいて、メモリ内に記憶されているｋ＝２に対応する_ｈＣ_２個のＸ側の統計モデルＭ_Ｘｉｊ＝Ｍ（μ_Ｘｉｊ、σ_Ｘｉｊ、μ_ｉ、μ_ｊ）の中から尤も確からしい統計モデル、すなわちＡＩＣが最小となる統計モデルを選択する。この統計モデルのＡＩＣを、ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊ）_ｍｉｎと記述する。
【０２１８】
次のステップ１３６では、ステップ１３４で選択した統計モデルのＡＩＣと、前述のステップ１２６で選択された統計モデルのＡＩＣとの間に、ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊ）_ｍｉｎ＜ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）_ｍｉｎの関係が成り立つか否かを判断することにより、統計モデルの確からしさが改善したか、否かを判断する。そして、この判断が否定された場合、すなわち統計モデルの確からしさが改善していない場合には、後述するステップ１４２にジャンプする。この一方、上記ステップ１３６の判断が肯定された場合、すなわち統計モデルの確からしさが改善している場合には、ステップ１３８に進む。
【０２１９】
ステップ１３８では、前述のカウンタｉを「１」に、カウンタｊを「２」に、それぞれ初期化するとともに、異常値として除外すべき３つ目のマークの番号を規定するカウンタｌを「３」に初期化する。同時に、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）する。
【０２２０】
次のステップ１４０では、ｋ＝３に対応する（異常値を３つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。
【０２２１】
このサブルーチン１４０では、まず、図９のステップ２４２において、第ｉ番目（ここでは、第１番目）、第ｊ番目（ここでは、第２番目）及び第ｌ番目（ここでは、第３番目）のウエハＸマークの計測値を除く、ウエハＸマークの計測値の副集合Ｓ_Ｘｉｊｌ（この場合Ｓ_Ｘ１２３）を作成し、メモリに記憶する。
【０２２２】
次のステップ２４４では、上記ステップ２４２で作成した副集合Ｓ_Ｘｉｊｌ（この場合Ｓ_Ｘ１２３）の要素である（ｈ−３）個のウエハＸマークの計測値を用いて、前述のステップ２０２と同様の手順で最小二乗法を用いて式（Ａ）中の未知パラメータａ、ｂ、ｅの推定値ａ_ｉｊｌ、ｂ_ｉｊｌ、ｅ_ｉｊｌ（この場合、ａ_１２３、ｂ_１２３、ｅ_１２３）を算出する。
【０２２３】
次のステップ２４６では、第ｉ番目（ここでは第１番目）、第ｊ番目（ここでは第２番目）及び第ｌ番目（ここでは第３番目）のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘｉｊｌ（この場合Ｍ_Ｘ１２３）を算出し、メモリに記憶する。
【０２２４】
この場合の統計モデルは、前述のｋ＝２の場合と同様の仮定のモデルである。
【０２２５】
上記の統計モデルＭ_Ｘｉｊｌは、正常値の計測値が、次式（３６）のように表される。
【０２２６】
ｄＸ_ｐ＝ａ_ｉｊｌ・Ｘ_ｐ＋ｂ_ｉｊｌ・Ｙ_ｐ＋ｅ_ｉｊｌ＋Ｎ（０，σ_Ｘｉｊｌ ^２）…（３６）
ここで、分散σ_Ｘｉｊｌ ^２は、次式（３７）のようになる。
【０２２７】
【数１１】

【０２２８】
この場合のΣは、ｐがｉ、ｊ、ｌ以外の場合の総和をとることを意味する。
【０２２９】
また、３つの異常値は、それぞれ平均値μ_ｉ、分散σ_Ｘｉｊｌ ^２の正規分布、平均値μ_ｊ、分散σ_Ｘｉｊｌ ^２の正規分布、平均値μ_ｌ、分散σ_Ｘｉｊｌ ^２の正規分布に従うものとする。
【０２３０】
従って、上記統計モデルＭ_Ｘｉｊｌを式で表すと、次式（３８）のように表せる。
【０２３１】
Ｍ_Ｘｉｊｌ＝Ｍ（μ_Ｘｉｊｌ、σ_Ｘｉｊｌ、μ_ｉ、μ_ｊ、μ_ｌ） ……（３８）
上式において、μ_Ｘｉｊｌは、次式（３９）で表される正常値の計測値の平均値である。また、σ_Ｘｉｊｌは、統計モデルＭ_Ｘｉｊｌの標準偏差、すなわち、上記式（３９）で表される分散の平方根である。
【０２３２】
μ_Ｘｉｊｌ＝ａ_ｉｊｌ・Ｘ_ｐ＋ｂ_ｉｊｌ・Ｙ_ｐ＋ｅ_ｉｊｌ …（３９）
【０２３３】
なお、統計モデルＭ_ＸｉｊｌのＡＩＣは、以下の（４０）式で表される。
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊｌ）＝−２（ｈ−３）ｌｏｇ（ｈ−３）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉｊｌ＋２・３ …（４０）
【０２３４】
すなわち、この場合のステップ２４６では、第１番目、第２番目及び第３番目のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする次式（４１）で示される統計モデルＭ_Ｘ１２３が算出され、メモリ内に記憶される。
【０２３５】
Ｍ_Ｘ１２３＝Ｍ（μ_Ｘ１２３、σ_Ｘ１２３、μ_１、μ_２、μ_３） …（４１）
【０２３６】
次のステップ２４８では、上記ステップ２４６で算出した統計モデルＭ_Ｘｉｊｌ（この場合Ｍ_Ｘ１２３）のＡＩＣを前述のステップ２０６と同様にして算出し、メモリに記憶する。
【０２３７】
この結果、メモリ内には、次式（４２）で示されるＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１２３）が記憶される。
【０２３８】
ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ１２３）＝−２（ｈ−３）ｌｏｇ（ｈ−３）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘ１２３＋６ …（４２）
ここで、６は、各異常値の正規分布（の平均値μ_ｉ、μ_ｊ、μ_ｌ）の数である３の２倍の意味である。
【０２３９】
次のステップ２５０では、カウンタｌを１インクリメントした（ｌ←ｌ＋１）後、ステップ２５２に進んでカウンタｌを参照して、ｌ≦ｈであるか否かを判断する。この場合、ｌ＝４であるからここでの判断は肯定され、ステップ２４２に戻る。以後、ステップ２５２における判断が否定されるまで、ステップ２４２→２４４→２４６→２４８→２５０→２５２のループの処理、判断を繰り返す。
【０２４０】
これにより、ａ．第１番目、第２番目及び第ｌ番目（ｌ＝４〜ｈ）のウエハＸマークの計測値を除く、（ｈ−３）個のウエハＸマークの計測値から成る副集合Ｓ_Ｘ１２４、Ｓ_Ｘ１２５、……、Ｓ_Ｘ１２ｈの作成、記憶、ｂ．これらの副集合Ｓ_Ｘ１２ｌ（ｌ＝４〜ｈ）の要素である（ｈ−３）個のウエハＸマークの計測値を用いたＥＧＡパラメータの推定値ａ_１２ｌ、ｂ_１２ｌ、ｅ_１２ｌ（ｌ＝４〜ｈ）の算出、ｃ．ｌ＝４〜ｈそれぞれの場合に関する、第１番目、第２番目及び第ｌ番目のウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘ１２ｌ＝Ｍ（μ_Ｘ１２ｌ、σ_Ｘ１２ｌ、μ_１、μ_２、μ_ｌ）の算出、記憶、並びにｄ．上記統計モデルＭ_Ｘ１２ｌ＝Ｍ（μ_Ｘ１２ｌ、σ_Ｘ１２ｌ、μ_１、μ_２、μ_ｌ）（ｌ＝４〜ｈ）についてのＡＩＣの算出、記憶が行われる。
【０２４１】
そして、統計モデルＭ_Ｘ１２ｈのＡＩＣの算出が終了すると、ｌ＞ｈとなってステップ２５２の判断が否定され、ステップ２５４に移行する。
【０２４２】
ステップ２５４では、カウンタｊを１インクリメント（ｊ←ｊ＋１）した後、ステップ２５６に進んでカウンタｊを参照して、ｊ≦ｈ−１が成立するか否かを判断する。この場合、ｊ＝３であるからここでの判断は肯定され、ステップ２５８に移行する。
【０２４３】
ステップ２５８では、カウンタｌをｊ＋１に設定（ｌ←ｊ＋１）した後、ステップ２４２に戻る。以後、ステップ２５２における判断が否定されるまで、ステップ２４２→２４４→２４６→２４８→２５０→２５２のループの処理、判断を繰り返す。これにより、上記ａ〜ｄの処理が、ｉ＝１、ｊ＝３の場合について行われ、第１番目、第３番目と第ｌ番目とのウエハＸマークの計測値を異常値とし、残りのウエハＸマークの計測値を正常値とする統計モデルＭ_Ｘ１３ｌ＝Ｍ（μ_Ｘ１３ｌ、σ_Ｘ１３ｌ、μ_１、μ_３、μ_ｌ）（ｌ＝４〜ｈ）についてのＡＩＣがメモリ内に記憶される。
【０２４４】
このようにして、ｉ＝１、ｊ＝３、ｌ＝ｈの場合の統計モデルＭ_Ｘ１３ｈのＡＩＣの算出が終了すると、ステップ２５２における判断が否定され、ステップ２５４に移行して、カウンタｊを１インクリメントする。次のステップ２５６では、前述と同様の判断が行われるが、このときｊ＝４なので、ここでの判断は肯定され、ステップ２５８に移行する。このステップ２５８では、カウンタｌをｊ＋１＝５に設定した後、ステップ２４２に戻り、以後ステップ２５６における判断が否定されるまで、上記ステップ２２２以下の処理、判断を繰り返す。これにより、ｉ＝１の場合で、ｊ＝５〜ｈ−１の場合について、前述のａ〜ｄの処理が行われる。
【０２４５】
そして、ｉ＝１、ｊ＝ｈ−１、ｌ＝ｈの場合の統計モデルＭ_{Ｘ１（ｈ−１）ｈ}のＡＩＣの算出が終了すると、ｊ＝ｈとなって、ステップ２５６における判断が否定され、ステップ２６０に進んでカウンタｉを１インクリメント（ｉ←ｉ＋１）した後、ステップ２６２に進む。
【０２４６】
ステップ２６２では、カウンタｉを参照して、ｉ≦ｈ−２が成立するか否かを判断する。この場合、ｉ＝２であるから、ここでの判断は肯定され、ステップ２６４に進んで、カウンタｊにｉ＋１を設定するとともに、カウンタｌにｉ＋２を設定した後、ステップ２４２に戻り、以後ステップ２６２における判断が否定されるまで、上記ステップ２４２以下の処理、判断を繰り返す。
【０２４７】
このようにして、ｋ＝３の場合の_ｈＣ_３＝ｈ（ｈ−１）（ｈ−２）／３（＝１６８）個全ての統計モデルＭ_Ｘｉｊｌ＝Ｍ（μ_Ｘｉｊｌ、σ_Ｘｉｊｌ、μ_ｉ、μ_ｊ、μ_ｌ）についてのＡＩＣの算出が終了し、ｉ＝ｈ−１となると、ステップ２６２における判断が否定され、このサブルーチンの処理を終了して、メインルーチンのステップ１４２（図４）にリターンする。このとき、メモリ内には、統計モデルＭ_ＸｉｊｌのそれぞれについてのＡＩＣ、すなわちＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊｌ）＝２（ｈ−３）ｌｏｇ（ｈ−３）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉｊｌ＋６（ｉ＝１〜ｈ−２、ｉ＜ｊ＝２〜ｈ−１、ｊ＜ｌ＝３〜ｈ）が記憶されている。
【０２４８】
図４のステップ１４２では、それまでに算出した全てのＸ側統計モデルの中からＡＩＣが最小の統計モデルを選択して、その統計モデルのモデルパラメータａ，ｂ，ｅ推定値をＥＧＡモデル式のパラメータａ，ｂ，ｅの推定値として決定した後、図５のステップ１４４に移行して、前述のカウンタｋ、カウンタｉをともに、「１」に初期化した後、ウエハＹマークＭＹ_ｐの計測値を用いて、ステップ１４６〜ステップ１６４の処理を行う。このステップ１４６〜１６４の処理は、前述したＸ側の処理（ステップ１２４〜１４２）と全く同様であるので、詳細説明は省略する。
【０２４９】
この場合、ステップ１６４において、それまでに算出した全てのＹ側統計モデルの中からＡＩＣが最小の統計モデルが選択され、その統計モデルのモデルパラメータｂ，ｅ，ｆの推定値がＥＧＡモデル式のパラメータｂ，ｅ，ｆの推定値として決定される。これにより、ＥＧＡ方式のウエハアライメントが終了する。
【０２５０】
以上により、前述の式（１２）、（１３）のモデルパラメータａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ（式（５）のＥＧＡモデル式のパラメータ）の全てが決定され、各ショット領域の設計上の配列座標（ＤＸ、ＤＹ）を、式（１２）、（１３）又は式（５）に代入することにより、ウエハＷの各ショット領域の配列座標（ウエハステージ座標系上の配列座標、すなわち予想転写位置（ＥＸ、ＥＹ））が求まることとなる。
【０２５１】
そして、次のステップ１６６では、上記のウエハアライメントの結果に基づいて、ウエハＷ上の各ショット領域に対する露光動作を行うサブルーチンに移行する。
【０２５２】
このサブルーチンでは、まず、図１０のステップ２７２において、ショット領域の番号を示すカウンタｓを「１」に初期化する。
【０２５３】
次のステップ２７４において、前述のウエハアライメント結果に基づいて算出した第ｓ番目（この場合第１番目）のショット領域の配列座標、すなわち前述の予想転写位置（ＥＸ，ＥＹ）と、前述のベースラインの計測結果とに基づいて、当該ショット領域に対する露光のための加速開始位置（走査開始位置）にウエハＷを移動するとともに、レチクルステージＲＳＴを加速開始位置に移動し、前述した走査露光を行って、レチクルＲ上の回路パターンをウエハＷ上の第ｓ番目（この場合第１番目）のショット領域に転写する。
【０２５４】
次のステップ２７６では、カウンタｓを参照して、ｓ＞Ｎであるか否かを判断して、全てのショット領域に対する露光が終了したか否かを判断する。ここでは、ｓ＝１であるからここでの判断は否定され、ステップ２７８に移行して、カウンタｓを１インクリメントした後、ステップ２７４に戻る。その後、ステップ２７６における判断が肯定されるまで、ステップ２７４→２７６→２７８の処理、判断を繰り返して、第２ショット領域〜第Ｎショット領域に対して、ステップ・アンド・スキャン方式でレチクルＲ上の回路パターンを転写する。
【０２５５】
そして、このようにして、ウエハ上のＮ個のショット領域に対する露光が終了すると、本ルーチンの一連の処理を終了する。但し、実際には、この１枚目ウエハの露光が終了すると、ウエハ交換が行われ、次のウエハ以降のウエハに対して上記と同様の処理が行われることは言うまでもない。
【０２５６】
これまでの説明から明らかなように、本実施形態では、検出制御系、抽出装置、推定装置、選択装置、算出装置及び露光制御系が、主制御装置２０、より具体的にはＣＰＵとソフトウェアプログラムとによって実現されている。すなわち、ＣＰＵが行うステップ１０２〜１１８の処理によって検出制御系が実現され、ステップ１２０、１２４、１３２、１４０、１４６、１５４、及び１６２の処理によって抽出装置及び推定装置が実現され、ステップ１４２及び１６４によって選択装置及び算出装置が実現され、ステップ１６６の処理によって露光制御系が実現されている。なお、上記のＣＰＵとソフトウェアプログラムとによって実現された構成分の少なくとも一部をハードウェアによって構成することとしても良い。
【０２５７】
以上詳細に説明したように、本実施形態に係る露光装置及びその位置検出方法（ＥＧＡ方式のウエハアライメント）によると、主制御装置２０（検出制御系）が、ウエハＷ上に複数のショット領域（区画領域）に対応して形成された複数のマーク（ＭＸ_ｕ，ｖ、ＭＹ_ｕ，ｖ）の中からウエハＷ上の複数のショット領域の所定点（この場合、レチクルパターンの投影位置と既知の位置関係にある各ショット領域の露光のための加速開始位置）との位置合わせに用いられる位置情報を算出するためのモデル式（式（５）又は式（１２）、（１３））の未知パラメータの総数ｍ（６個）よりも多いｎ＝２ｈ個（本実施形態では１６個）の位置情報が得られる複数のマーク（サンプルマーク）を選択し、該複数のサンプルマークを、ウエハステージＷＳＴを順次移動してアライメント検出系ＡＳを用いて順次検出し、その検出結果と各サンプルマーク検出時のウエハ干渉計１８の計測結果とに基づいてｎ個（１６個）のサンプルマークのウエハステージ座標系上での位置情報（実測位置情報）を算出する。
【０２５８】
次に、主制御装置２０（抽出装置）は、前記ｎ個の実測位置情報、すなわちｈ（＝８）個のウエハＸマークの位置情報とｈ（＝８）個のウエハＹマークの位置情報それぞれの中から、異常値の数ｋ＝０に対応する位置情報の組み合わせ、すなわち８個のＸ側の正常値と８個のＹ側の正常値の位置情報（又は１６個の正常値の位置情報）、異常値の数ｋ＝１に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち１個の異常値と７個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_１通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）、異常値の数ｋ＝２に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち２個の異常値と６個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_２通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）、異常値の数ｋ＝３に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち３個の異常値と５個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_３通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）を順次抽出する。この場合、いずれのＸ側、Ｙ側の組み合わせについても、正常値の数（８−ｋ）は、３＜８−ｋ≦８を満たす。すなわち、正常値の位置情報のみで、モデル式（１２）、（１３）の各３個、総計６（＝ｍ）個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【０２５９】
そこで、主制御装置２０（推定装置）は、前記抽出された位置情報の組み合わせ毎に対応する統計モデル（これは上記未知パラメータをモデルパラメータとして含む）それぞれについて、正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準であるＡＩＣを算出し、その算出したＡＩＣを用いて、確からしさ（統計モデルの確からしさ）を推定する。これにより、異常値の数ｋ、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数ｋの如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【０２６０】
次いで、主制御装置２０（選択装置）は、上記の推定結果に基づいて、確からしさを推定した統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデル（この場合、ＡＩＣが最小となる統計モデル）を選択する。
【０２６１】
従って、本実施形態によると、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさが比較され、その比較結果に基づいて比較された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルが選択される。この結果、従来から課題となっていた前述の除外数の決定が不要となり、その決定に伴う困難性とは無縁であるとともに、尤も確からしい、すなわち尤も妥当な統計モデルを機械的に選択することが可能となる。
【０２６２】
そして、主制御装置（算出装置）は、選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータ（ａ、ｂ、ｅ）及び（ｃ、ｄ、ｆ）と前記モデル式（１２）及び（１３）とに基づいて、ウエハＷ上の複数のショット領域の前述の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を算出する。
【０２６３】
従って、本実施形態の露光装置及びその位置検出方法によると、尤も妥当な統計モデルに対応する未知パラメータとモデル式とに基づいてウエハ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を精度良く算出することができる。この結果、ウエハＷ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を簡易にかつ精度良く求めることが可能となり、ＥＧＡウエハアライメントを簡易かつ精度良く行うことが可能となる。
【０２６４】
また、本実施形態に係る露光装置１００によると、露光の際には、主制御装置２０（露光制御系）が、上述のＥＧＡウエハアライメントによって精度良く算出された位置情報（ショット領域の配列座標）に基づいて、ウエハステージＷＳＴを介してウエハＷを移動して、各ショット領域を露光する（ステップ・アンド・スキャン方式の露光を行う）。すなわち、上記の如く精度良く検出された位置情報に基づいて、ウエハＷ上の複数のショット領域が所定点、例えば露光基準位置（この場合各ショット領域の露光のための加速開始位置）に対して精度良く位置合わせされるようにウエハＷが移動され、複数のショット領域が露光される。従って、ウエハＷ上の複数のショット領域に精度良く重ね合わせてレチクルパターンを形成することが可能となっている。
【０２６５】
また、本実施形態では、前述の如く、ｋの値が小さい統計モデルから順に、全てのモデルパラメータの算出及び統計モデルの確からしさの推定を行うとともに、ステップ１２６（及びステップ１４８）、及びステップ１３６（及びステップ１５８）などで、ｋ＝ｋ１（例えばｋ１＝０又は１）に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルのＡＩＣが、ｋ＝ｋ１＋１に属する全統計モデルのうち最良の統計モデルのＡＩＣよりも小さい場合に、統計モデルの確からしさの推定演算を終了し、それまでに確からしさが推定された全ての統計モデルのうちの最良の統計モデルを選択することとしている（ステップ１４２（及びステップ１６４））。このため、ＥＧＡモデルパラメータの算出から除外する位置情報の数を増やしていっても統計モデルの確からしさが期待できない場合には、それを認識した段階で統計モデルの確からしさの推定演算が打ち切られることになる。従って、無意味に計算時間を費やすのを防止することができるとともに、計算時間の短縮が可能となる。
【０２６６】
なお、本実施形態では、ｋの値を１ずつ増加させるアルゴリズムを採用しているが、計測点数（サンプルショット数）によってはｋの値を２あるいは３ずつ増加させるアルゴリズムを採用しても良く、このような場合には、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルとｋ＝ｋ１＋α（α＝２又は３など）に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルとの確からしさの比較を行い、その結果に応じて推定演算の続行、打ち切りを決定することとしても良い。
【０２６７】
但し、上述したモデルの確からしさの改善の判断、その結果に基づく推定演算の続行、打ち切りの決定などは、必ずしも行わなくても良い。すなわち、ステップ１２６、１２８、１３４、１３６などは省略しても構わない。
【０２６８】
また、前述のように、本実施形態では、各異常値は、それぞれが平均値であり、標準偏差が、正常値分布の標準偏差と同じである別々の正規分布にそれぞれ従うとし、それらの正規分布の標準偏差は、正常値の正規分布の標準偏差と同一であると仮定（以下、この仮定を「仮定Ａ」と呼称する）し、異常値を含む統計モデルをその混合分布として規定した。
【０２６９】
しかしながら、本発明はこれに限定されるものではなく、異常値を含む統計モデルは、その他の仮定に基づくものであっても良い。
【０２７０】
例えば、異常値を含む統計モデルＭを以下の条件に基づいて仮定することができる（仮定Ｂ）。
ａ） 前述の如く、正常値の計測値の誤差の分布は正規分布に従う（これを正規分布Ａ（μ_Ａ、σ_Ａ ^２）とする）。
ｂ） 異常値集合も正規分布に従う（これを正規分布Ｂ（μ_Ｂ、σ_Ｂ ^２）とする）が、その平均値μ_Ｂは正規分布Ａ（μ_Ａ、σ_Ａ ^２）の平均値と同一（これを単にμとする）であり、その標準偏差σ_Ｂは、正規分布Ａの標準偏差σ_Ａよりも著しく大きい（σ_Ａ《σ_Ｂ）。
【０２７１】
例えば、統計モデルＭｘについて、ｈ個の計測値に含まれる異常値の数がｋであったとすると、その確率密度関数ｍ（ｘ）は、以下の式（４３）で表される。
【０２７２】
【数１２】

【０２７３】
なお、各正規分布Ａ，Ｂの平均値μ、標準偏差σ_Ａ、σ_Ｂの最尤推定値は、以下の式（４４）、（４５）、（４６）で表される。ただし、以下の式では、計測値ｘ_１〜ｘ_ｈのうち、ｘ_１〜ｘ_ｈ−ｋを正常値であるとし、ｘ_{ｈ−ｋ＋１}〜ｘ_ｈを異常値であるとしている。
【０２７４】
【数１３】

【０２７５】
なお、上述の式（４４）に示されるように、平均値μは、正常値の平均値とする。
【０２７６】
さらに、この統計モデルＭ_ｘのＡＩＣは、以下の式（４７）で表される。
【０２７７】
【数１４】

【０２７８】
なお、式（４７）においては、ｋ≧１の場合には、ｋ＝０の場合よりも、未知パラメータの数が２つ増加するため（異常値の数ｋ及び正規分布Ｂの標準偏差σ_Ｂが増える）、最後の項に２・２が追加されている。なお、統計モデルＭ_ｙのＡＩＣも、統計モデルＭ_ｘのＡＩＣと同様、式（４７）によって算出される。
【０２７９】
この統計モデルにおいても、主制御装置２０は、本第１の実施形態と同様に、前記ｎ個の実測位置情報、すなわちｈ（＝８）個のウエハＸマークの位置情報とｈ（＝８）個のウエハＹマークの位置情報それぞれの中から、異常値の数ｋ＝０〜３にそれぞれ対応する位置情報の組み合わせを順次抽出し、抽出された位置情報の組み合わせ毎に対応する統計モデルそれぞれについて、正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準であるＡＩＣを算出する。そして、主制御装置２０は、その算出したＡＩＣを用いて、確からしさ（統計モデルの確からしさ）を推定し、その推定結果に基づいて、確からしさを推定した統計モデルのうちから最も確からしい統計モデル（この場合、ＡＩＣが最小となる統計モデル）を選択すれば良い。
【０２８０】
また、上記実施形態では、ｈ個の計測値のうち、ｋ個（ｋ＝１〜３）の異常値を取るすべての組合せ（_ｈＣ_ｋとおり）についてＡＩＣを求めたが、本発明はこれに限定されるものではなく、全計測値の中から異常値の候補となる計測値を特定し、ＡＩＣの算出回数を削減して、演算時間を短縮するようにしても良い。
【０２８１】
例えば、まず、主制御装置２０は、全計測値が正常値である場合（ｋ＝０）のＥＧＡパラメータ（ａ_０，ｂ_０，ｃ_０，ｄ_０，ｅ_０，ｆ_０）を計算し、実際の配列座標（ｘ_ｐ、ｙ_ｐ）（ｐ＝１、２、……、ｈ）の中で、最も残差が大きかった計測値、すなわち最も尤度を下げている計測値を抽出する。そして、主制御装置２０は、その計測値を異常値として特定した場合のＡＩＣを算出する。さらに、主制御装置２０は、前述の残差最大の計測値とともに、２番目、さらには３番目に残差が大きかった計測値を異常値として含む統計モデルを順次作成し、それぞれのＡＩＣを算出する。そして、各ｋ毎にそれぞれ算出されたＡＩＣの値を比較して、最も妥当な統計モデル、すなわちＡＩＣの値が最も小さい値を決定する。このようにすれば、異常値数毎のＡＩＣの算出回数が１回ずつとなるので、ＡＩＣの算出回数を削減して、演算時間を短縮することができる。
【０２８２】
なお、上述した一連のＡＩＣの算出式は、種々の変形を加え得る。例えば、ＡＩＣの算術式を以下の式（４８）に示されるように変更しても良い。
【０２８３】
【数１５】

【０２８４】
ここで、式（４８）では、本第１の実施形態において用いたＡＩＣの算出式の未知パラメータの項の値を補正係数ηで補正することができるようになっている。式（４８）は、ηの値を０とすれば、それらのＡＩＣの算出式と等価となる。なお、実際には、ηの初期値を０とし、必要に応じてηの値を調整するようにしても良いが、ηの値を調整するに際し、過去に得られた実測位置情報に基づいて求められた異常値の起こり得る確率（事前確率）や、統計モデルの選択の間違いによる過誤などを考慮することとしても良い。
【０２８５】
≪第２の実施形態≫
次に、本発明の第２の実施形態を、図１１〜図１３に基づいて説明する。この第２の実施形態に係る露光装置は、ＥＧＡ方式のウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置２０内のＣＰＵの処理アルゴリズムが前述の第１の実施形態と相違するのみで、装置構成などは、第１の実施形態の露光装置１００と同一になっている。従って、以下においては、重複説明を避ける観点から上記の相違点を中心に説明する。また、同様の趣旨から同一若しくは同等の構成部分について同一の符号を用いるとともに、その説明を省略するものとする。
【０２８６】
以下、本第２の実施形態の露光装置により、ウエハＷに対して第２層目（セカンドレイヤ）以降の層の露光処理を行う際の動作について説明する。
【０２８７】
前提として、ドライブ装置４６にセットされたＣＤ−ＲＯＭ内のＥＧＡ方式のウエハアライメント及び露光動作に関する特定プログラム及びその他のプログラムは、記憶装置にインストールされているものとする。さらに、そのうちのレチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムが、主制御装置２０内部のＣＰＵによって記憶装置からメインメモリにロードされているものとする。
【０２８８】
まず、不図示のレチクルローダにより、レチクルステージＲＳＴ上にレチクルＲがロードされる。このレチクルロードが終了すると、主制御装置２０（より正確にはＣＰＵ）により、レチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムに従って、前述と同様の手順で、レチクルアライメント及びベースライン計測が実行される。次いで、主制御装置２０により、不図示のウエハローダの制御系を介してウエハＷがウエハステージＷＳＴ上のウエハホルダ２５上にロードされる。
【０２８９】
このような一連の準備作業が終了すると、主制御装置２０では、前述のレチクルアライメント及びベースライン計測処理のプログラムをメインメモリからアンロードするとともに、前述の特定プログラムをメインメモリにロードする。以後、この特定プログラムに従って、ＥＧＡ方式のウエハアライメント及びウエハＷ上の各ショット領域に対する露光が行われる。
【０２９０】
以下、このＥＧＡ方式のウエハアライメント及び露光動作について、上記特定プログラムに従って実行される、主制御装置２０内のＣＰＵの処理アルゴリズムを示す図１１〜図１３のフローチャートに沿って説明する。
【０２９１】
この場合も前提として、ウエハＷ上には、図２に示されるように、前層までの処理工程で複数（例えばＮ個）のショット領域ＳＡ_ｕ，ｖがマトリック状の配置で形成されるとともに、隣接するショット領域間の１００μｍ幅程度のストリートライン上に、ウエハアライメントＸマーク（ウエハＸマーク）ＭＸ_ｕ，_ｖ、ウエハアライメントＹマーク（ウエハＹマーク）ＭＹ_ｕ，_ｖがそれぞれ形成されているものとする。
【０２９２】
なお、本第２の実施形態においても、異常値は、実際の異常値（跳びショットの計測値）であるかどうかに拘わらず、異常値として仮定した値、すなわち仮異常値であるが、以下においては、単に「異常値」と記述するものとする。同様に、正常値は、実際の正常値であるかどうかに拘わらず、正常値として仮定した値、すなわち仮正常値であるが、以下においては、単に「正常値」と記述するものとする。
【０２９３】
まず、図１１のステップ３０２において、異常値の数（除外すべきサンプルマークの数）を示すカウンタｋを「０」に初期化するとともに、サンプルショットの番号を示すカウンタｐを「１」に初期化する。
【０２９４】
次いで、ステップ３０２→３０４→３０６→３０８→３１０→３１２→３１４→３１６→３１８のループにおいて、前述のステップ１０２〜１１８のループと同様の処理、判断が行われ、このループの処理を、ｈ回（８回）繰り返すことにより、ｈ個（８個）のサンプルショット領域のマークの位置座標の検出、記憶が終了する。その後、図１２のステップ３２０に移行する。
【０２９５】
ステップ３２０では、ｋ＝０に対応するＸ側、Ｙ側の統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理が行われる。このサブルーチンの処理は、前述の第１の実施形態のステップ１２０と全く同様である（図６参照）。このステップ２２０の処理により、前述の式（１２）、（１３）のｋ＝０に対応する統計モデルＭ_Ｘ、Ｍ_Ｙ及びこれらのモデルのＡＩＣ（ＡＩＣ（Ｍ_Ｘ）、ＡＩＣ（Ｍ_Ｙ））がメモリ内に記憶される。
【０２９６】
ステップ３２２では、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）するとともに、異常値として除外すべきマークの番号を規定するカウンタｉを「１」に初期化する。
【０２９７】
次のステップ３２４では、ｋ＝１に対応する（異常値を１つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。このサブルーチンの処理は、前述のステップ１２４と全く同様である（図７参照）。これにより、前述の式（２４）で表される統計モデルＭ_Ｘｉ（ｉ＝１〜ｈ）及び式（２７）で表されるその統計モデルのＡＩＣであるＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉ）（ｉ＝１〜ｈ）が、メモリ内に記憶される。
【０２９８】
ステップ３３０では、異常値として除外すべき１つ目のマークの番号を規定する前述のカウンタｉを「１」に初期化するとともに、異常値として除外すべき２つ目のマークの番号を規定するカウンタｊを「２」に初期化する。同時に、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）する。
【０２９９】
次のステップ３３２では、ｋ＝２に対応する（異常値を２つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。このサブルーチンの処理は、前述のステップ１３２と全く同様である（図８参照）。これにより、前述の式（３５）で表されるｋ＝２に対応するＸ側統計モデルＭ_Ｘｉｊ（ｉ＝１〜ｈ−１、ｉ＜ｊ＝２〜ｈ）及び該統計モデルに対応するＡＩＣ、すなわちＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊ）＝−２（ｈ−２）ｌｏｇ（ｈ−２）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉｊ＋４（ｉ＝１〜ｈ−１、ｉ＜ｊ＝２〜ｈ）が記憶される。
【０３００】
次のステップ３３８では、前述のカウンタｉを「１」に、カウンタｊを「２」に、それぞれ初期化するとともに、異常値として除外すべき３つ目のマークの番号を規定するカウンタｌを「３」に初期化する。同時に、カウンタｋを１インクリメント（ｋ←ｋ＋１）する。
【０３０１】
次のステップ３４０では、ｋ＝３に対応する（異常値を３つ含む）Ｘ側統計モデルのＡＩＣを算出するサブルーチンの処理を行う。このサブルーチンの処理は、前述のステップ１４０と全く同様である（図９参照）。これにより、前述の式（３９）で表されるｋ＝３に対応するＸ側の統計モデルＭ_Ｘｉｊｌ（ｉ＝１〜ｈ−２、ｉ＜ｊ＝２〜ｈ−１、ｊ＜ｌ＝３〜ｈ）、及び該統計モデルに対応するＡＩＣ、すなわちＡＩＣ（Ｍ_Ｘｉｊｌ）＝−２（ｈ−３）ｌｏｇ（ｈ−３）＋２ｈｌｏｇσ_Ｘｉｊｌ＋２・３（ｉ＝１〜ｈ−２、ｉ＜ｊ＝２〜ｈ−１、ｊ＜ｌ＝３〜ｈ）がメモリ内に記憶される。
【０３０２】
次のステップ３４２では、この時点でメモリ内に記憶されている全てのＸ側統計モデルの中から、ｋ＝０に対応するＸ側統計モデルＭ_Ｘと、該統計モデルＭ_ＸよりＡＩＣが小さな、すなわち、より確からしい統計モデルとを選択する。これは、前述の如く、尤度（統計モデルの確からしさ）は、ｅｘｐ（−ＡＩＣ／２）に比例すると考えることができるので、ＡＩＣの小さいモデルほど尤度が大きい、すなわちより確からしいとの前提に基づくものである。
【０３０３】
このステップ３４２の処理により、ｋ＝０、ｋ＝１、ｋ＝２及びｋ＝３に対応する全てのＸ側の統計モデルが、確からしさが統計モデルＭ_Ｘと同等以上の第１グループと、確からしさが統計モデルＭ_Ｘより小さな第２グループとに分類され、より確からしい第１グループに属する全ての統計モデルが選択されることになる。
【０３０４】
次のステップ３４３では、ステップ３４２で選択した全ての統計モデル、すなわち、上記第１グループに属する全ての統計モデルの事後確率を重みとして、重み付け演算により、モデルパラメータａ，ｂ，ｅの推定値ａ_００、ｂ_００、ｅ_００を決定する。すなわち、ベイズ推定の手法により、モデルパラメータａ，ｂ，ｅを推定する。
【０３０５】
これを更に詳述すると、各統計モデルＭの事後確率Ｐ（Ｍ｜Ｘ）は、次式のように表すことができる。
【０３０６】
Ｐ（Ｍ｜Ｘ）＝Ｐ（Ｘ｜Ｍ）・Ｐ（Ｍ）
ここで、Ｘは計測結果であり、Ｐ（Ｘ｜Ｍ）は、確率密度関数、すなわち統計モデルの尤度Ｌ（Ｍ｜Ｘ）である。また、Ｐ（Ｍ）は統計モデルＭの事前確率である。
【０３０７】
従って、ステップ３４３では、次式（４９）〜（５１）に基づいて、モデルパラメータａ，ｂ，ｅを推定することになる。
【０３０８】
【数１６】

【０３０９】
本実施形態では、基本的には、想定した全ての統計モデルの事前確率は等しく、想定しない統計モデルの事前確率は零とする。従って、重みは、統計モデルの尤度Ｌ（Ｍ｜Ｘ）そのものとなる。
【０３１０】
しかるに、統計モデルの尤度は、ｅｘｐ（−ＡＩＣ（Ｍ）／２）に比例するので、上式（４９）〜（５１）のＬ（Ｍ｜Ｘ）に、ｅｘｐ（−ＡＩＣ（Ｍ）／２）を、それぞれ代入して、上述の重み付け平均演算を行うことにより、ｋの値（異常値の数、すなわち除外数）が異なる統計モデル相互間における重み付け平均演算により、モデルパラメータａ，ｂ，ｅの推定値ａ_００、ｂ_００、ｅ_００を決定することができる。
【０３１１】
次のステップ３４４（図１３）では、前述のカウンタｋ、カウンタｉをともに、「１」に初期化した後、ウエハＹマークＭＹ_ｐの計測値を用いて、ステップ３４６、３５２、３５４、３６０、３６２、３６４、３６５の処理を行う。このステップ３４６〜３６５の処理は、前述したＸ側ステップ３２４〜３４３の処理と全く同様であるので、詳細説明は省略する。
【０３１２】
この場合、ステップ３６４において、次式（５２）〜（５４）の重み付け平均演算により、モデルパラメータｃ、ｄ、ｆの推定値ｃ_００、ｄ_００、ｆ_００が決定される。これにより、ＥＧＡ方式のウエハアライメントが終了する。
【０３１３】
【数１７】

【０３１４】
以上により、前述の式（１２）、（１３）のモデルパラメータａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ（式（５）のＥＧＡモデル式のパラメータ）の全てが決定され、各ショット領域の設計上の配列座標（ＤＸ、ＤＹ）を、式（１２）、（１３）又は式（５）に代入することにより、ウエハＷの各ショット領域の配列座標（ウエハステージ座標系上の配列座標、すなわち予想転写位置（ＥＸ、ＥＹ））が求まることとなる。
【０３１５】
そして、次のステップ３６６では、上記のウエハアライメントの結果に基づいて、ウエハＷ上の各ショット領域に対する露光動作を行うサブルーチンに移行する。このサブルーチンの処理は、前述のステップ１６６（図１０参照）と全く同様であるので詳細説明は省略する。
【０３１６】
この場合も、上記ステップ３６６の処理、すなわち１枚目ウエハの露光が終了すると、ウエハ交換が行われ、次のウエハ以降のウエハに対して上記と同様の処理が行われる。
【０３１７】
これまでの説明から明らかなように、本実施形態では、検出制御系、抽出装置、推定装置、算出装置及び露光制御系が、主制御装置２０、より具体的にはＣＰＵとソフトウェアプログラムとによって、実現されている。すなわち、ＣＰＵが行うステップ３０２〜３１８の処理によって検出制御系が実現され、ステップ３２０、３２４、３３２、３４０、３４６、３５４、及び３６２の処理によって抽出装置及び推定装置が実現され、ステップ３４２及び３４３並びにステップ３６４及び３６５によって算出装置が実現され、ステップ３６６の処理によって露光制御系が実現されている。なお、この場合においても、上記のＣＰＵとソフトウェアプログラムとによって実現された構成分の少なくとも一部をハードウェアによって構成することとしても良い。
【０３１８】
以上説明したように、本第２の実施形態に係る露光装置及びその位置検出方法によると、主制御装置２０（検出制御系）は、前述の第１の実施形態と同様の手順で、ウエハＷ上の複数のショット領域の所定点（この場合、レチクルパターンの投影位置と既知の位置関係にある各ショット領域の露光のための加速開始位置）との位置合わせに用いられる位置情報を算出するためのモデル式（式（５）又は式（１２）、（１３））の未知パラメータの総数ｍ（６個）よりも多いｎ＝２ｈ個（本実施形態では１６個）のサンプルマークのウエハステージ座標系上での位置情報（実測位置情報）を算出する。
【０３１９】
次に、主制御装置２０（抽出装置）は、前記ｎ個の実測位置情報、すなわちｈ（＝８）個のウエハＸマークの位置情報とｈ（＝８）個のウエハＹマークの位置情報それぞれの中から、異常値の数ｋ＝０に対応する位置情報の組み合わせ、すなわち８個のＸ側の正常値と８個のＹ側の正常値の位置情報（又は１６個の正常値の位置情報）、異常値の数ｋ＝１に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち１個の異常値と７個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_１通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）、異常値の数ｋ＝２に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち２個の異常値と６個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_２通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）、異常値の数ｋ＝３に対応する位置情報の組み合わせ（すなわち３個の異常値と５個の正常値とから成るそれぞれ_８Ｃ_３通りのＸ側の位置情報の組み合わせ及びＹ側の位置情報の組み合わせ）を順次抽出する。この場合、いずれのＸ側、Ｙ側の組み合わせについても、正常値の数（８−ｋ）は、３＜８−ｋ≦８を満たす。すなわち、正常値の位置情報のみで、モデル式（１２）、（１３）の各３個、総計６（＝ｍ）個の未知パラメータを統計的手法により決定することが可能である。
【０３２０】
そこで、主制御装置２０（推定装置）は、前記抽出された位置情報の組み合わせ毎に対応する統計モデル（これは上記未知パラメータをモデルパラメータとして含む）それぞれについて、正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準であるＡＩＣを算出し、その算出したＡＩＣを用いて、確からしさ（統計モデルの確からしさ）を推定する。これにより、異常値の数ｋ、すなわち未知パラメータの決定から除かれる除外数ｋの如何にかかわらず、抽出した組み合わせに対応する全ての統計モデルについて、未知パラメータを含む全てのモデルパラメータが算出されるとともに、確からしさが推定される。
【０３２１】
そして、主制御装置２０（算出装置）は、推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する。
【０３２２】
すなわち、推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値が推定されるので、より確からしい統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には大きな重みが付され、確からしさが劣る統計モデルに対応する未知パラメータの算出値には小さな重みが付されて重み付け平均演算が行われる。このため、前述の除外数（自由度）が同じ統計モデル間のみならず、除外数が異なる統計モデル間においても確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算が行われ、未知パラメータの統計的に妥当な値が推定される。従って、未知パラメータの統計的に妥当な値を機械的に推定することが可能となり、その推定された未知パラメータの値とモデル式とに基づいてウエハ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を精度良く算出することができる。
【０３２３】
そして、主制御装置（算出装置）は、選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータ（ａ、ｂ、ｅ）及び（ｃ、ｄ、ｆ）と前記モデル式（１２）及び（１３）とに基づいて、ウエハＷ上の複数のショット領域を前述の所定点と位置合わせするのに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を算出する。
【０３２４】
従って、本実施形態の露光装置及びその位置検出方法によると、ウエハ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を精度良く算出することができる。この結果、ウエハＷ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を簡易にかつ精度良く求めることが可能となり、ＥＧＡウエハアライメントを簡易かつ精度良く行うことが可能となる。
【０３２５】
また、本第２の実施形態に係る露光装置によると、露光の際には、主制御装置２０（露光制御系）が、上述のＥＧＡウエハアライメントによって精度良く算出された位置情報（ショット領域の配列座標）に基づいて、ウエハステージＷＳＴを介してウエハＷを移動して、各ショット領域を露光する（ステップ・アンド・スキャン方式の露光を行う）。すなわち、上記の如く精度良く検出された位置情報に基づいて、ウエハＷ上の複数のショット領域が所定点、例えば露光基準位置（この場合各ショット領域の露光のための加速開始位置）に対して精度良く位置合わせされるようにウエハＷが移動され、複数のショット領域が露光される。従って、ウエハＷ上の複数のショット領域に精度良く重ね合わせてレチクルパターンを形成することが可能となっている。
【０３２６】
また、本第２の実施形態では、推定されたモデルの確からしさに基づいて抽出した位置情報の各組み合わせに対応する統計モデルを、ステップ３４２、３６４の処理により、Ｘ側の統計モデル、Ｙ側の統計モデルのそれぞれについて、ｋ＝０に対応する統計モデル以上に確からしい第１グループと、残りの統計モデルから成る第２グループとの２つの集合に、それぞれ分類し、その分類の結果より確からしい第１グループに属する統計モデルに対応する情報のみを、ＥＧＡパラメータの推定値の演算（前記重み付け平均演算）に用いることとしているので、第１、第２グループに属する全ての統計モデルに対応する情報を用いる場合に比べて、より精度の高いＥＧＡパラメータの算出が可能となっている。但し、必ずしもこのようにする必要はなく、確からしさを推定した全ての統計モデルに対応する情報を用いて重み付け演算を行っても良い。すなわち、ステップ３４２、３６４の分類及び選択処理は省略しても良い。
【０３２７】
なお、上記第２の実施形態と同様に、統計モデルの確からしさを推定する工程では、ｋの値が小さい統計モデルから順にモデルパラメータの算出と確からしさの推定とを行う場合に、前記推定の結果、ｋ＝ｋ１（ｋ１は、例えば０、１、２のいずれか）に属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルのＡＩＣと、ｋ＝ｋ１＋１に属する全統計モデルのうち最も確からしい統計モデルのＡＩＣとの差を算出し、その差を所定の閾値と比較することとしても良い。そして、この比較の結果、前記差が閾値以下である場合には、ｋ＝ｋ１＋１に属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルに対応する情報のみを、前記重み付け平均演算に用いて、ＥＧＡパラメータを算出することとしても良い。
【０３２８】
勿論、計測点数（サンプルショット数）によってはｋの値を２あるいは３ずつ増加させるアルゴリズムを採用する場合には、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルとｋ＝ｋ１＋α（α＝２又は３など）に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルとのＡＩＣの差を、所定の閾値と比較することとしても良い。
【０３２９】
なお、上記第２の実施形態では、想定した全ての統計モデルの事前確率は等しいものとしたが、これに限らず、例えば過去に処理したウエハについて、異常値の数ｋ＝０、ｋ＝１、ｋ＝２、ｋ＝３などの統計モデルがどの位の確率で採用されたかを記憶しておき、その記憶結果に基づいて、ｋの値毎にその採用された確率を事前確率としても良い。あるいは、異常値数だけでなく、異常値がウエハ上のどこで発生するかに傾向があることを考慮して、異常値が同数のモデル同士でも、計測結果の選択の仕方、異常値、正常値の仮定の仕方に応じて事前確率に差をつけることとしても良い。
【０３３０】
また、上記第２の実施形態では、異常値を含む統計モデルＭの仮定として仮定Ａを採用したが、上記第１の実施形態と同様に、仮定Ｂを採用するようにしても良い。
【０３３１】
≪第３の実施形態≫
上記第１の実施形態では、各計測値を、正常値及び異常値のいずれか一方に明確に区別した統計モデルを適用した。そのようにしたのは、このような統計モデルを採用すれば、その統計モデルの確からしさを推定する計算が容易となるなどの利点があるからである。しかしながら、本発明では、各計測値を、正常値と異常値とに明確に区別せず、混合分布モデルのそれぞれの分布の重なり具合も考慮し、各計測値の正常度及び異常度を確率的に取り扱うことによって、位置情報をより精度良く求めることも可能である。ここでは、その方法について、本発明の第３の実施形態として説明する。
【０３３２】
この第３の実施形態に係る露光装置は、ＥＧＡ方式のウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置２０内のＣＰＵの処理アルゴリズムが前述の第１の実施形態と相違するのみで、装置構成などは、第１の実施形態の露光装置１００と同一になっている。従って、以下においては、重複説明を避ける観点から上記の相違点を中心に説明する。また、同様の趣旨から同一若しくは同等の構成部分について同一の符号を用いるとともに、その説明を省略するものとする。
【０３３３】
以下、本第３の実施形態の露光装置により、ウエハＷに対して第２層目（セカンドレイヤ）以降の層の露光処理を行う際の動作について説明する。本第３の実施形態の露光装置では、まず、図３〜図９に示された各ステップを、上記第１の実施形態で説明したのとほぼ同様に実行する。ここでは、本第３の実施形態においては、図４のステップ１４２の代わりに、図１４に示されるサブルーチン１４２’を実行し、図５のステップ１６４の代わりに、同じく図１４に示されるサブルーチン１６４’を実行する点が上記第１の実施形態と異なっているので、ここでは、上記第１の実施形態と共通する動作については、説明を省略する。すなわち、図１４を参照して、サブルーチン１４２’及びサブルーチン１６４’における動作についてのみ説明する。
【０３３４】
上記第１の実施形態で説明したように、ステップ１４０（又はステップ１２８、ステップ１３６）を実行した後では、それまでに算出した全てのＸ側統計モデルの中からＡＩＣが最小の統計モデルが選択可能な状態となっている。本第３の実施形態では、ステップ１４０実行後に、この選択された統計モデルに基づいて、モデルの確からしさを単純増加させるＥＭアルゴリズムを用いて各計測値の正常度及び異常度を確率的に取り扱い、統計モデルの推定精度をさらに高める。
【０３３５】
本第３の実施形態においても、上記第１の実施形態における仮定Ａ及び仮定Ｂと同様に、統計モデルについてある程度の仮定を設ける必要がある。そこで、本第３の実施形態では、ステップ１４０までの動作が、仮定Ａの下で実行されていた場合には、サブルーチン１４２’においても、仮定Ａとほぼ同等の仮定により得られる混合分布モデルに基づいてＥＭアルゴリズムを実行し、ステップ１４０までの動作が、仮定Ｂで実行されている場合には、サブルーチン１４２’においても、仮定Ｂとほぼ同等の仮定により得られる混合分布モデルに基づいて、ＥＭアルゴリズムを実行する。すなわち、前述の仮定Ａは、統計モデルを、標準偏差が同一であり、平均値が異なる混合正規分布モデルとしているので、仮定Ａの場合には、ＥＭアルゴリズムに用いる統計モデルを次式で仮定する。
【０３３６】
【数１８】

【０３３７】
ただし、Ｋ＝１，２，…ｋ＋１であり、ｋは異常値数である。すなわち、上式（５５）では、平均値がμ_１で標準偏差がσである正規分布を正常値が従う分布とし、その後、異常値が従う分布がｋ個ある（平均値がそれぞれμ_２〜μ_Ｋで、標準偏差がすべてσの分布）ものとし、π_ｉを、各分布の重みとする。これによれば、π_１Ｎ（μ_１，σ^２）が、各計測値の正常度を示す確率密度関数モデルとなり、π_２Ｎ（μ_２，σ^２）〜π_ＫＮ（μ_Ｋ，σ^２）が、各計測値の異常度を示す確率密度関数モデルとなる。
【０３３８】
また、仮定Ｂは、その統計モデルを、標準偏差が異なり、平均値が同一である混合正規分布モデルとしているので、仮定Ｂの場合には、ＥＭアルゴリズムに用いる統計モデルを次式で仮定する。
【０３３９】
【数１９】

【０３４０】
ただし、Ｋ＝１，２である。すなわち、上式（５６）では、平均値がμで標準偏差がσ_１である正規分布を正常値が従う分布とし、平均値がμで標準偏差がσ_２である正規分布を異常値が従う分布とする。π_ｉは、各分布の重みである。これによれば、π_１Ｎ（μ，σ_１ ^２）が、各計測値の正常度を示す確率密度関数モデルとなり、π_２Ｎ（μ，σ_２ ^２）が、各計測値の異常度を示す確率密度関数モデルとなる。なお、以降では、各計測値ｘ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）についての各分布Ｎ（）を、成分ｈ（ｘ_ｔ；μ_ｉ ^｛ｓ｝，σ_ｉ ^２｛ｓ｝）として表すものとする。｛ｓ｝は、ＥＭアルゴリズムによる統計モデルのパラメータの再帰回数（サイクル数）を示す。
【０３４１】
まず、図１４に示されるように、ステップ５０１において、再起回数をカウントするカウンタｓを「０」に初期化する。
【０３４２】
次に、ステップ５０３において、パラメータ群θ^｛ｓ｝＝（π_ｉ ^｛ｓ｝，μ_ｉ ^｛ｓ｝，σ_ｉ ^｛ｓ｝，…）をθ_０に初期化する。なお、θ_０の各パラメータの値には、選択された統計モデルの各パラメータを用いる。すなわち、仮定Ａの場合には、
【０３４３】
【数２０】

【０３４４】
の組み合わせがパラメータ群θ_０としてθ^｛ｓ｝に設定され、仮定Ｂの場合には、
【０３４５】
【数２１】

【０３４６】
の組合せがパラメータ群θ_０としてθ^｛ｓ｝に設定される。なお、式（５７）〜式（６３）においては、計測値のうち、ｘ_１〜ｘ_ｈ−ｋが仮正常値であり、ｘ_{ｈ−ｋ＋１}〜ｘ_ｈが仮異常値であるものとしている。
【０３４７】
次に、ステップ５０５において、計測値ｘ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）が、混合分布モデルのどの分布にどの程度所属するかを示す確率τ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝を、次式を用いて算出する。
【０３４８】
【数２２】

【０３４９】
なお、τ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝は、各計測値ｘ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）が各成分に属する事後確率である。
【０３５０】
次に、ステップ５０７において、上式により求めたτ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝に基づいてパラメータ群θの推定値θ^{｛ｓ＋１｝}を求める。すなわち仮定Ａの場合には、
【０３５１】
【数２３】

【０３５２】
【数２４】

【０３５３】
【数２５】

【０３５４】
を算出し、仮定Ｂの場合には、
【０３５５】
【数２６】

【０３５６】
【数２７】

【０３５７】
【数２８】

【０３５８】
を算出する。なお、これまでの仮定Ｂの表記にならって、σ_Ａ ^２＝σ_１ ^２、σ_Ｂ ^２＝σ_２ ^２とすると、μ_ｉ ^{｛ｓ＋１｝}は、下式のようになる。
【０３５９】
【数２９】

【０３６０】
次に、ステップ５０９において、新しく推定されたパラメータ群θ^{｛ｓ＋１｝}の統計モデルの対数尤度を、次式を用いて求め、その対数尤度を記憶装置に記憶する。
【０３６１】
【数３０】

【０３６２】
次に、ステップ５１１では、カウンタｓをインクリメントし（ｓ←ｓ＋１）、ステップ５１３では、カウンタｓの値が所定の値以上となった否か、あるいは、上式で表される対数尤度Ｌ（ｘ，θ）の向上量が所定の値以下となったか否かを判断する。カウンタｓの値が所定の値以上でなく、対数尤度Ｌ（ｘ，θ）の向上量が所定の値以上である間は、この判断は否定され、処理は、ステップ５０５に戻る。ここでは、まだ、ｓ＝１であり、対数尤度Ｌ（ｘ，θ）が収束しておらず、その向上量もまだ、所定の値以上であったとして、ステップ５０５に戻るものとする。
【０３６３】
以降、ステップ５１３において、カウンタｓの値が所定の値以上となるか、対数尤度Ｌ（ｘ，θ）の向上量が所定の値以下となるまでステップ５０５→ステップ５０７→ステップ５０９→ステップ５１１→ステップ５１３→ステップ５０５のループ処理を繰り返し実行する。ＥＭアルゴリズムでは、このループ処理が繰り返されることによって対数尤度が単調増加することが保証されている。
【０３６４】
ステップ５１３において、カウンタｓの値が所定の値以上となるか、あるいは対数尤度Ｌ（ｘ，θ）の向上量が所定の値以下となった場合、その判断は肯定され、処理はステップ５１５に進む。
【０３６５】
ステップ５１５において、最終的に推定されたパラメータθ^｛ｓ｝を用いて、ＥＧＡパラメータａ，ｂ，ｅを推定した後、図５のステップ１４４に移行して、前述のカウンタｋ、カウンタｉをともに、「１」に初期化した後、ウエハＹマークＭＹ_ｐの計測値を用いて、ステップ１４６〜ステップ１６２の処理を行う。このステップ１４６〜１６２の処理は、前述したＸ側の処理（ステップ１２４〜１４０）と全く同様であるので、詳細説明を省略する。また、ステップ１６２（または、ステップ１５０、ステップ１５８）実行後、前述したように、サブルーチン１６４’を実行するが、サブルーチン１６４’は、前述したＸ側のサブルーチン１４２’とほぼ同様であるので（ただし、ステップ５１５では、Ｙ側統計モデルのパラメータθについてＥＭアルゴリズムが実行され、ＥＧＡパラメータｂ，ｅ，ｆが推定される）、詳細説明を省略する。サブルーチン１６４’では、結果的に、ＥＭアルゴリズムによってパラメータθ^｛ｓ｝が推定され、その統計モデルのモデルパラメータｂ，ｅ，ｆの推定値がＥＧＡモデル式のパラメータｂ，ｅ，ｆの推定値として決定される。これにより、ＥＧＡ方式のウエハアライメントが終了する。以降の、露光動作も、上記第１の実施形態と同様に行われる。なお、ステップ５１５において、パラメータａ〜ｆを求める際には、計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）についてのそれぞれの正常値及び異常値への所属している確率を示す統計モデルを用いているので、上記第１の実施形態のように、計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）の中から異常値をリジェクトして、パラメータａ〜ｆを求める必要がないことはいうまでもない。
【０３６６】
なお、本第３の実施形態のように、ＥＭアルゴリズムを用いてπ_ｉまで推定する場合には、これも未知パラメータ数にカウントする必要がある。すなわち、仮定Ａの場合には、ＡＩＣの計算時における、異常値数ｋに対する未知パラメータ数は、その２倍（２ｋ）となり、仮定Ｂの場合には、異常値数ｋ＝０の場合には増加しないが、ｋ＞０の場合には、未知パラメータ数は、やはり２倍（２ｋ）としてＡＩＣの式を計算する必要がある。
【０３６７】
以上詳細に説明したように、本第３の実施形態に係る露光装置及びその位置検出方法（ＥＧＡ方式のウエハアライメント）によると、サブルーチン１４２’，１６４’において、計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）が従う統計モデルを、複数の確率密度分布モデルの線形結合からなる混合分布モデルとして、計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）が各確率密度分布モデルに所属する事後確率τ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝の算出、その事後確率τ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝に基づいて決定されるモデルパラメータの推定値の算出、さらにその推定値による前述の事後確率τ_ｉ，ｔ ^｛ｓ｝の算出を繰り返すことによって、統計モデルの尤度Ｌ（ｘ，θ）が単調に増加することが保証されている処理、いわゆるＥＭアルゴリズムを実行することによって統計モデルのモデルパラメータの最適解を逐次接近的に求める。このようにすれば、誤差を含む計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）を、正常値と異常値とに完全に区別せず、その所属を確率論的に取り扱うことができるようになるため、計測値ｘ_ｔ，ｙ_ｔ（ｔ＝１〜ｈ）が従う統計モデルを精度良く推定することができる。従って、本実施形態の露光装置及びその位置検出方法によると、尤も妥当な統計モデルに対応する未知パラメータとモデル式とに基づいてウエハ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を精度良く算出することができる。この結果、ウエハＷ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報（ショット領域の配列座標）を簡易にかつ精度良く求めることが可能となり、ＥＧＡウエハアライメントを簡易かつ精度良く行うことが可能となる。
【０３６８】
なお、本第３の実施形態では、推定するパラメータ群θの初期値θ_０を、上記第１の実施形態で最終的に求めた統計モデルのパラメータとしたが、本発明は、これに限定されるものではなく、パラメータ群θの初期値θ_０は、どのような値が設定されていても良い。ただし、ＥＭアルゴリズムは、統計モデルの最尤推定値の単調増加を保証しているが、その最尤推定値が局所解に収束していまう可能性も有しているため、本第３の実施形態のように、ある程度、精度良く、最尤推定値に近いθ_０を初期値として設定するのが望ましい。
【０３６９】
なお、上記第１〜第３の実施形態では、情報量規準ＡＩＣを用いて各統計モデルＭ_ｘ、Ｍ_ｙの確からしさを推定したが、他の情報量規準、例えばベイジアン情報量規準（Ｂａｙｅｓｉａｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ：ＢＩＣ）を用いて、それらの確からしさを推定するようにしても良い。上述した統計モデルＭのＢＩＣは、次式（７３）で表される。
【０３７０】
ＢＩＣ（Ｍ）＝−２ＭＬＬ（Ｍ）＋ｋｌｏｇｈ …（７３）
ここで、ＭＬＬ（Ｍ）は、統計モデルＭの下での最大対数尤度であり、ＡＩＣと同様に、ＭＬＬ（Ｍ）＝−ｈｌｏｇσである。ｋは統計モデルＭの未知パラメータの数であり、ｈは、計測値の数である。ＢＩＣは、第２項（未知パラメータの項）がＡＩＣと異なっており、ＢＩＣでは、第２項に、計測値の数というファクタを含んでいるので、ＡＩＣよりも、パラメータ数の多い統計モデルを選択する傾向が低減されるように設定されている。ＡＩＣ、ＢＩＣのような情報量規準（これを例えばＢＣＬＬ（Ｂｉａｓ Ｃｏｒｒｅｃｔｅｄ Ｌｏｇ Ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ）と記述する）の一般式は、次式（７４）で表される。
【０３７１】
ＢＣＬＬ（Ｍ）＝−２ＭＬＬ（Ｍ）＋ｆ（ｋ，ｈ） …（７４）
【０３７２】
情報量規準として、第２項が定式化されたＡＩＣ、ＢＩＣ以外を用いる場合には、第２項の関数ｆ（ｋ，ｈ）をどのように定めるかが問題となるが、このような情報量規準による確からしさの推定は、尤度比検定と等価であるので、ｆ（ｋ，ｈ）は、シミュレーションによってＬＲＴＳ（Ｌｉｋｅｌｙｈｏｏｄ Ｒａｔｉｏ Ｔｅｓｔ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃ：尤度比検定統計量）の帰無分布から定めれば良い。なお、帰無仮説（異常値無しモデル）の尤度をＬ_０とし、対立仮説（異常値有りモデル）の尤度をＬ_１とすると、ＬＲＴＳは、
【０３７３】
【数３１】

【０３７４】
となり、この帰無分布とは、帰無仮説（異常値無しモデル）を真のモデルとした時の上記統計量の分布となる。この量がある閾値を超えたときに対立仮説（異常値有りモデル）を採用する方法が尤度比検定である。この閾値を超える確率は、異常値が無いのに有ると間違ってしまう第１種の過誤を犯す確率、すなわち有意水準（危険率）である。上述したＡＩＣ、ＢＩＣは、この尤度比検定の閾値を定めたものとなっており、それらの第２項は、有意水準が例えば０．０５程度になるように、その閾値の２倍となっている。したがって、情報量規準として、ＢＣＬＬを用いる場合にも、ｆ（ｋ，ｈ）の大きさを、閾値の２倍となるようにすれば良い。
【０３７５】
したがって、ｆ（ｋ，ｈ）を決定する際には、シミュレーションによって閾値を決定する。まず、異常値無しモデルとしての１つの正規分布に従う乱数を発生させ、異常値有りモデルと異常値無しモデルとの混合モデルについてＥＧＡ計算を行ったうえで、ＬＲＴＳを計算し、有意水準が０．０５程度となるような閾値を決定し、大きさがその半分となる条件を満たす関数をｆ（ｋ，ｈ）として決定する。
【０３７６】
なお、上述の条件を満たす関数を決定するための、未知パラメータ数をｋと計測値数ｈとの全ての組合せについて上述のようなシミュレーションを行うのは、処理に時間を要するので、ｆ（ｋ，ｈ）の代わりに、第２項を、未知パラメータの数と、その比例係数（ｈの関数）との積、すなわちｋ・ｆ（ｈ）で近似するようにしても良い。このようにすれば、異常値が無いという帰無仮説に対する最小の対立仮説である「異常値が１つである」あるいは「異常成分が１つである」といったモデルに対してシミュレーションを実行してｆ（ｈ）を決定し、その他のモデルに対しては、そのｆ（ｈ）に未知パラメータの数を、そのｆ（ｈ）に掛け合わせて、情報量規準のバイアス補正を行なえば良い。
【０３７７】
また、上記第１〜第３の実施形態では、統計モデルの確からしさを示す規準として、ＡＩＣ（Ｍ）を用いるとともに、統計モデルの確からしさがｅｘｐ（−ＡＩＣ（Ｍ）／２）である場合について説明したが、本発明がこれに限定されるものではない。ＡＩＣが、計算を容易にするために、カルバックライブラー情報量（以下、「ＫＬＩ」と略称する）に大胆な近似を用いて導出された量であることから明らかなように、統計モデルの確からしさを示す規準としてＫＬＩ（Ｍ）を用いるとともに、統計モデルの確からしさが、関数ｅｘｐ（−ＫＬＩ（Ｍ））及び該関数と前述の所定の事前確率の積とのいずれかであることとしても良い。
【０３７８】
あるいは、統計モデルの確からしさを示す規準として、前述の仮正常値の位置情報から求められる各統計モデルの残差及び該統計モデルのパラメータ数に対して確からしさを単調に減少させる関数（これは、前述の式（４７）、式（４８）で表される関数などを含む）を用いるとともに、統計モデルの確からしさが、上記の単調減少関数と所定の事前確率との積であることとしても良い。
【０３７９】
また、ＡＩＣやＫＬＩ等の規準を用いることなく、他の統計的手法、例えば順序統計を用いることとしても良い。この順序統計を用いる方法について簡単に説明する。
【０３８０】
この方法では、まず、全計測値が正常値である場合（ｋ＝０）のＥＧＡパラメータ（ａ_０，ｂ_０，ｃ_０，ｄ_０，ｅ_０，ｆ_０）を計算し、実際の配列座標（ｘ_ｐ、ｙ_ｐ）（ｐ＝１、２、……、ｈ）を、残差の絶対値が小さい順に入れ替え、その順にｘ_ｉ（ｉ＝１〜ｈ、｜ｘ_１｜≦｜ｘ_２｜≦・・・≦｜ｘ_ｈ−１｜≦｜ｘ_ｈ｜）、ｙ_ｉ（ｉ＝１〜ｈ、｜ｙ_１｜≦｜ｙ_２｜≦・・・≦｜ｙ_ｈ−１｜≦｜ｙ_ｈ｜）とする。そして、残差の絶対値が最大である計測値が、正常値の絶対最大値分布に属しているとみなすか、異常値の正規分布に属しているとみなすか、どちらが尤もらしいのかを検出し、異常値に属しているのが尤もらしいと判断した場合には、その計測値を異常値とみなし、正常値集合から除外していく処理を、正常値の最大値の分布に属しているのが尤もらしいと判断する計測値が表れるまで、残差が大きい順に実行する。
【０３８１】
この順序統計による方法についてさらに詳細に説明する。なお、Ｘ側の統計モデルとＹ側の統計モデルとでは処理が同一であるため、ここでは、Ｘの統計モデルのみを処理対象とした場合のみ説明する。正常値集合が正規分布に従うとすると、正常値の絶対最大値の分布ｆ_ａｂｓ（ｘ）は、以下の式（７５）によって表される。
【０３８２】
【数３２】

【０３８３】
すると、正常値の絶対最大値の確率密度関数ｆ_{ａｂｓ，ｎ，ｎ}（ｘ）は、以下の式（７６）によって表される。
【０３８４】
【数３３】

【０３８５】
なお、Ｆ_ａｂｓ（ｘ）は分布関数であり、ｆ_ａｂｓ（ｘ）を［−∞，ｘ］の範囲で積分したものである。一方、計測値ｘ_ｉを異常値であるとみなした場合の確率密度関数ｇ１（ｘ_ｉ）を、その計測値ｘ_ｉを平均値とし、標準偏差を正常値とする正規分布に従うものとする。
【０３８６】
この方法では、まず、ｋ＝１とし、残差が最も大きかった計測値ｘ_ｈ−ｋ（ここではｘ_ｈ）が、絶対最大値分布に従うのか、異常値分布に従うのか、いずれが尤もらしいのかをその尤度比を示す以下の式（７７）によって判断する。
【０３８７】
【数３４】

【０３８８】
ここで、｛ｘ_ｉ｝の表記は、その関数の標準偏差をｘ_１〜ｘ_ｉの標準偏差から推定することを意味している。すなわち、ｋ＝１の場合には、異常値分布に従うとした場合の尤度は、ｘ_１〜ｘ_ｈ−１の標準偏差から推定され、正常値の絶対最大値分布に従うとした場合の尤度は、ｘ_１〜ｘ_ｈの標準偏差から推定されることによって、Ｌ_１／Ｌ_０が算出される。そして、Ｌ_１／Ｌ_０の値が１以上の場合、その計測値ｘ_ｈは、正常値の絶対最大値ではなく、異常値であることが尤もらしいということになる。その場合には、計測値ｘ_ｈが正常値集合から除外される。
【０３８９】
そして、ｋの値がインクリメントされ（ｋ←ｋ＋１）、計測値ｘ_ｈ−１について、上述の式（７７）が演算される。そして、その結果（Ｌ_２／Ｌ_１）の値が１以上であった場合、その計測値ｘ_ｈ−１が、異常値として計測値から除外される。
【０３９０】
以降、式（７７）の結果が１より小さくなるまで、ｋがインクリメントされ、計測値ｘ_ｈ−ｋについて式（７７）が実行され、結果的に、正常値及び異常値の判別が完了する。そして、異常値として除外されなかった計測値を用いて算出されたパラメータ（ａ〜ｆ）と式（５）等のモデル式とに基づいてウエハアライメントに用いられる位置情報が算出される。
【０３９１】
この順序統計を用いた方法によれば、ｎ個の計測値の中から正常値を、統計的手法を用いて精度良く抽出することができるようになるため、ウエハアライメントに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることが可能となる。
【０３９２】
また、上記第１〜第３の実施形態では、各サンプルショットにおいてペアとなっているウエハＸマーク、ウエハＹマークの実測位置情報を計測し、その計測の結果得られたＸ計測値、Ｙ計測値とを完全に分離して扱い、Ｘ計測値を用いて統計的に推定された式（１２）のモデルパラメータの推定値と、Ｙ計測値を用いて統計的に推定された式（１３）のモデルパラメータとを最終的に使用するものとした。しかしながら、これに限らず、Ｘ計測値、Ｙ計測値をセットで取り扱っても良い。この場合には、例えば残差（分散）の計算に際して、Ｘ計測値に基づく分散とＹ計測値に基づく分散との和を、トータルの残差とするとともに、同一のショット領域のＸ計測値とＹ計測値の両方を同時に除外することとすれば良い。
【０３９３】
また、上記各実施形態では、アライメント方式を、投影光学系を介することなくウエハ上のアライメントマークの位置を直接計測するオフアクシス方式としたが、投影光学系を介してウエハ上のアライメントマークの位置を計測するＴＴＬ（スルー・ザ・レンズ）方式や、投影光学系を介してウエハとレチクルとを同時に観察するＴＴＲ（スルー・ザ・レチクル）方式を採用することも可能である。なお、ＴＴＲ方式の場合には、サンプルアライメントでは、観察時において、レチクルに形成されたレチクルマークとウエハに形成されたウエハマークとのずれが零となるときのウエハマークの位置を検出する。
【０３９４】
また、上記各実施形態では、ウエハ上の複数のショット領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報として、各ショット領域の座標を算出したが、これに限らず、ショット領域間のステップピッチや、レチクルに対するウエハの位置を算出しても良い。
【０３９５】
なお、上記各実施形態では、本発明がスキャニング・ステッパ（スキャナ）に適用された場合について説明したが、これに限らず、例えばステップ・アンド・リピート方式の静止型露光装置、ステップ・アンド・スティッチング方式の露光装置などにも適用することができる。
【０３９６】
露光装置の用途としては半導体製造用の露光装置に限定されることなく、例えば、角型のガラスプレートに液晶表示素子パターンを転写する液晶用の露光装置や、プラズマディスプレイや有機ＥＬなどの表示装置、薄膜磁気ヘッド、マイクロマシン及びＤＮＡチップなどを製造するための露光装置にも広く適用できる。また、半導体素子などのマイクロデバイスだけでなく、光露光装置、ＥＵＶ露光装置、Ｘ線露光装置、及び電子線露光装置などで使用されるレチクル又はマスクを製造するために、ガラス基板又はシリコンウエハなどに回路パターンを転写する露光装置にも本発明を適用できる。
【０３９７】
また、上記各実施形態の露光装置では、露光用照明光は、Ｆ_２レーザ光、ＡｒＦエキシマレーザ光、ＫｒＦエキシマレーザ光などの紫外パルス光や、ｇ線（波長４３６ｎｍ）、ｉ線（波長３６５ｎｍ）などなどに限らず、ＥＵＶ光、あるいは電子線やイオンビームなどの荷電粒子線などでも良い。
【０３９８】
また、ＤＦＢ半導体レーザ又はファイバーレーザから発振される赤外域、又は可視域の単一波長レーザ光を、例えばエルビウム（又はエルビウムとイッテルビウムの両方）がドープされたファイバーアンプで増幅し、非線形光学結晶を用いて紫外光に波長変換した高調波を用いても良い。また、投影光学系は縮小系のみならず等倍系あるいは拡大系でも良いし、屈折系のみならず反射屈折系あるいは反射系でも良い。
【０３９９】
また、上記各実施形態では、露光装置におけるウエハ上の位置合わせマークの位置検出及びウエハの位置合わせの場合を説明したが、本発明の位置検出方法は、レチクル上の位置合わせマークの位置検出やレチクルの位置合わせに用いることもでき、更に、露光装置以外の装置、例えば顕微鏡等を使用した物体の観察装置、工場の組み立てライン、加工ライン、検査ラインにおける対象物の位置決め装置等における物体の位置検出やその物体の位置合わせに用いることもできる。
【０４００】
≪デバイス製造方法≫
次に上述した露光装置及びその露光方法をリソグラフィ工程で使用したデバイスの製造方法の実施形態について説明する。
【０４０１】
図１５には、デバイス（ＩＣやＬＳＩ等の半導体チップ、液晶パネル、ＣＣＤ、薄膜磁気ヘッド、マイクロマシン等）の製造例のフローチャートが示されている。図１５に示されるように、まず、ステップ４０１（設計ステップ）において、デバイスの機能・性能設計（例えば、半導体デバイスの回路設計等）を行い、その機能を実現するためのパターン設計を行う。引き続き、ステップ４０２（マスク製作ステップ）において、設計した回路パターンを形成したマスクを製作する。一方、ステップ４０３（ウエハ製造ステップ）において、シリコン等の材料を用いてウエハを製造する。
【０４０２】
次に、ステップ４０４（ウエハ処理ステップ）において、ステップ４０１〜ステップ４０３で用意したマスクとウエハを使用して、後述するように、リソグラフィ技術等によってウエハ上に実際の回路等を形成する。次いで、ステップ４０５（デバイス組立てステップ）において、ステップ４０４で処理されたウエハを用いてデバイス組立てを行う。このステップ４０５には、ダイシング工程、ボンディング工程、及びパッケージング工程（チップ封入）等の工程が必要に応じて含まれる。
【０４０３】
最後に、ステップ４０６（検査ステップ）において、ステップ４０５で作成されたデバイスの動作確認テスト、耐久テスト等の検査を行う。こうした工程を経た後にデバイスが完成し、これが出荷される。
【０４０４】
図１６には、半導体デバイスにおける、上記ステップ４０４の詳細なフロー例が示されている。図１６において、ステップ４１１（酸化ステップ）においてはウエハの表面を酸化させる。ステップ４１２（ＣＶＤステップ）においてはウエハ表面に絶縁膜を形成する。ステップ４１３（電極形成ステップ）においてはウエハ上に電極を蒸着によって形成する。ステップ４１４（イオン打ち込みステップ）においてはウエハにイオンを打ち込む。以上のステップ４１１〜ステップ４１４それぞれは、ウエハ処理の各段階の前処理工程を構成しており、各段階において必要な処理に応じて選択されて実行される。
【０４０５】
ウエハプロセスの各段階において、上述の前処理工程が終了すると、以下のようにして後処理工程が実行される。この後処理工程では、まず、ステップ４１５（レジスト形成ステップ）において、ウエハに感光剤を塗布する。引き続き、ステップ４１６（露光ステップ）において、上で説明したリソグラフィシステム（露光装置）及び露光方法によってマスクの回路パターンをウエハに転写する。次に、ステップ４１７（現像ステップ）においては露光されたウエハを現像し、ステップ４１８（エッチングステップ）において、レジストが残存している部分以外の部分の露出部材をエッチングにより取り去る。そして、ステップ４１９（レジスト除去ステップ）において、エッチングが済んで不要となったレジストを取り除く。
【０４０６】
これらの前処理工程と後処理工程とを繰り返し行うことによって、ウエハ上に多重に回路パターンが形成される。
【０４０７】
以上説明した本実施形態のデバイス製造方法を用いれば、露光工程（ステップ４１６）において上記実施形態の露光装置及び露光方法が用いられるので、精度良くレチクルのパターンをウエハ上に重ね合わせ精度良く転写することができる。この結果、高集積度のデバイスの生産性（歩留まりを含む）を向上させることが可能になる。
【０４０８】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明に係る位置検出方法によると、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることができるという効果がある。
【０４０９】
また、本発明の露光方法及び露光装置によると、物体上の複数の区画領域に精度良くパターンを形成することができるという効果がある。
【０４１０】
また、本発明のデバイス製造方法によると、デバイスの生産性を向上させることができるという効果がある。
【０４１１】
また、本発明のプログラム及び情報記録媒体によると、露光装置の制御用コンピュータによって実行され、物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を簡易にかつ精度良く求めることを可能とするプログラム該プログラムが記録された情報記録媒体が提供される。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施形態に係る露光装置の構成を概略的に示す図である。
【図２】ウエハ上のショット領域及びこれに付設されたアライメントマークの配置の一例を示す図である。
【図３】第１の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その１）である。
【図４】第１の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その２）である。
【図５】第１の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その３）である。
【図６】図４のステップ１２０のサブルーチンにおける処理の一例を示すフローチャートである。
【図７】図４のステップ１２４のサブルーチンにおける処理の一例を示すフローチャートである。
【図８】図４のステップ１３２のサブルーチンにおける処理の一例を示すフローチャートである。
【図９】図４のステップ１４０のサブルーチンにおける処理の一例を示すフローチャートである。
【図１０】図５のステップ１６６のサブルーチンにおける処理の一例を示すフローチャートである。
【図１１】第２の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その１）である。
【図１２】第２の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その２）である。
【図１３】第２の実施形態に係る露光装置における、ウエハアライメント及び露光動作の際の主制御装置内ＣＰＵの処理アルゴリズムを示すフローチャート（その３）である。
【図１４】本発明の第３の実施形態に係る露光装置におけるＥＭアルゴリズムの処理を示すフローチャートである。
【図１５】本発明のデバイス製造方法の実施形態を説明するためのフローチャートである。
【図１６】図１５のステップ４０４の具体的処理の一例を示すフローチャートである。
【符号の説明】
Ｗ…ウエハ（物体）、ＳＡ_ｕ，ｖ…ショット領域（区画領域）、１００…露光装置、ＡＳ…アライメント検出系（マーク検出系）、ＷＳＴ…ウエハステージ（ステージ）、１８…ウエハレーザ干渉計（計測装置）、２０…主制御装置（検出制御系、抽出装置、推定装置、選択装置、算出装置、露光制御系）、１００…露光装置。

Claims (38)

1. 物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、
   前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る計測工程と；
   前記各実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定工程と；
   前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択工程と；
   前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出工程と；を含む位置検出方法。
2. 前記推定工程は、
   前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する工程と；
   前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する工程と；を含むことを特徴とする請求項１に記載の位置検出方法。
3. 物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、
   前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；
   前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する工程と；
   前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する工程と；
   前記推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法。
4. 前記推定されたモデルの確からしさに基づいて前記抽出した各組み合わせに対応する少なくとも２つの統計モデルを、２つの集合に分類する工程を更に含み、
   前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程では、前記分類の結果、より確からしい統計モデルの集合に属する統計モデルに対応する情報のみを、前記重み付け平均演算に用いることを特徴とする請求項３に記載の位置検出方法。
5. 前記統計モデルの確からしさを推定する工程では、ｋの値が小さい統計モデルから順に前記モデルパラメータの算出と確からしさの推定とを行い、
   前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程では、前記推定の結果、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルの確からしさを示す規準と、ｋ＝ｋ１＋α（αは自然数）に属する全統計モデルのうち最も確からしい統計モデルの確からしさを示す規準との差が所定の閾値以下である場合、ｋ＝ｋ１＋αに属する全統計モデルのうちの最も確からしい統計モデルに対応する情報のみを、前記重み付け平均演算に用いることを特徴とする請求項３に記載の位置検出方法。
6. 前記規準は、仮正常値の位置情報から求められる前記各統計モデルの残差及び該統計モデルのパラメータ数に関して確からしさを単調に減少させる関数であり、前記統計モデルの確からしさは、上記関数と所定の事前確率との積であることを特徴とする請求項２〜５のいずれか一項に記載の位置検出方法。
7. 前記規準は、カルバックライブラー情報量のデータ数倍であり、前記モデルの確からしさは、カルバックライブラー情報量の前記データ数倍の符号反転の指数関数及びこの関数と所定の事前確率との積のいずれかであることを特徴とする請求項２〜５のいずれか一項に記載の位置検出方法。
8. 前記規準は赤池情報量規準であり、その値をＡＩＣとした場合に、前記統計モデルの確からしさは、−ＡＩＣ／２の指数関数及び該関数と所定の事前確率との積のいずれかであることを特徴とする請求項２〜５に記載の位置検出方法。
9. 前記事前確率は、過去に得られた前記実測位置情報に基づいて求められる異常値の起こり得る確率であることを特徴とする請求項６〜８のいずれか一項に記載の位置検出方法。
10. 前記規準は、前記未知パラメータの数及び前記実測位置情報の数に関して前記統計モデルの確からしさを単調に減少させる関数を含む規準であることを特徴とする請求項２〜５のいずれか一項に記載の位置検出方法。
11. 前記関数は、
    前記ｎ個の実測位置情報に異常値が無いという仮説を帰無仮説とし、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が有るという仮説を対立仮説として尤度比検定を行った場合の有意水準が所定の水準以下となるような関数であることを特徴とする請求項１０に記載の位置検出方法。
12. 前記関数は、前記未知パラメータの数に関する比例関数であることを特徴とする請求項１１に記載の位置検出方法。
13. 前記規準は、ベイジアン情報量規準であることを特徴とする請求項１２に記載の位置検出方法。
14. 前記確からしさを推定する工程では、ｋの値が小さい統計モデルから順に、前記全てのモデルパラメータの算出及び前記確からしさの推定を行い、ｋ＝ｋ１に属する全統計モデルのうちの最良の統計モデルの確からしさの規準が、ｋ＝ｋ１＋α（αは自然数）に属する全統計モデルのうち最良のモデルの前記確からしさの規準よりも良い場合に、前記統計モデルの確からしさの推定演算を終了し、それまでに確からしさが推定された全ての統計モデルのうちの最良の統計モデルを選択することを特徴とする請求項２に記載の位置検出方法。
15. 前記統計モデルは、前記仮正常値が属する正規分布と、その正規分布とは標準偏差が同一で平均値が異なる前記仮異常値に対応する正規分布との混合分布であることを特徴とする請求項２〜１４のいずれか一項に記載の位置検出方法。
16. 前記統計モデルは、前記仮正常値が属する正規分布と、その正規分布とは平均値が同一で標準偏差が異なる前記仮異常値が属する正規分布との混合分布であることを特徴とする請求項２〜１４のいずれか一項に記載の位置検出方法。
17. 前記推定工程では、
    前記各実測位置情報が前記確率密度分布モデルへの帰属度を示す事後確率に基づいて前記統計モデルのモデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、そのモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行することによって、モデルパラメータが異なる少なくとも２つの統計モデルの確からしさを推定し、
    前記選択工程では、
    最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択することを特徴とする請求項１に記載の位置検出方法。
18. 前記各確率密度分布モデルは、互いの標準偏差が同一で平均値が異なる正規分布であることを特徴とする請求項１７に記載の位置検出方法。
19. 前記各確率密度分布モデルは、互いの平均値が同一で標準偏差が異なる正規分布であることを特徴とする請求項１７に記載の位置検出方法。
20. 物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；
    前記ｎ個の実測位置情報を全て仮正常値とした場合の前記モデル式のモデルパラメータの値を算出し、算出されたモデルパラメータを用いた前記モデル式の計算によって得られるｎ個の位置情報とそれらに対応する前記各実測位置情報との残差を実測位置情報毎に算出する工程と；
    前記ｎ個の実測位置情報のうち、前記残差の大きさが大きい方から上位ｋ番目までの実測位置情報を、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の仮異常値とみなし、該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを各ｋの値についてそれぞれ１つずつ抽出する工程と；
    前記抽出した組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、その確からしさを推定する工程と；
    前記確からしさが推定された統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択し、その選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法。
21. 物体上の複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を検出する位置検出方法であって、
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る工程と；
    前記ｎ個の実測位置情報を全て正常値と仮定した場合の前記モデル式のモデルパラメータの値を算出し、算出されたモデルパラメータを用いた前記モデル式の計算によって得られるｎ個の位置情報とそれらに対応する前記各実測位置情報との残差の絶対値を実測位置情報毎に算出する工程と；
    前記ｎ個の実測位置情報のうち、異常値として除外されていない実測位置情報の中で前記残差の絶対値が最大である実測位置情報について、正常値の絶対最大値の分布に従うのが尤もらしいとする尤度と、異常値の分布に従うのが尤もらしいとする尤度とを比較した結果、その実測位置情報が前記異常値の分布に従うのが尤もらしいと判断した場合には、その実測位置情報を異常値として除外する処理を、その実測位置情報が正常値の絶対最大値の分布に従うのが尤もらしいと判断されるまで、前記残差の絶対値が大きい順に実行する工程と；
    異常値として除外されなかった実測位置情報を用いて算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する工程と；を含む位置検出方法。
22. 物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光方法であって、
    請求項１〜２１のいずれか一項に記載の位置検出方法により前記複数の区画領域の所定点と位置合わせに用いられる位置情報を検出する工程と；
    前記検出した位置情報に基づいて、前記物体を移動して前記各区画領域を露光する工程と；を含む露光方法。
23. リソグラフィ工程を含むデバイス製造方法であって、
    前記リソグラフィ工程では、請求項２２に記載の露光方法を用いることを特徴とするデバイス製造方法。
24. 物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置であって、
    マークを検出するマーク検出系と；
    前記物体が載置されるステージと；
    前記ステージの位置を計測する計測装置と；
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、該複数のマークを、前記ステージを順次移動して前記マーク検出系を用いて順次検出し、その検出結果と各マーク検出時の前記計測装置の計測結果とに基づいて前記ｎ個の実測位置情報を算出する検出制御系と；
    前記各実測位置情報の確率分布モデルとしての複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定装置と；
    前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択装置と；
    前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出装置と；
    前記算出装置で算出された位置情報に基づいて、前記ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する露光制御系と；を備える露光装置。
25. 前記推定装置は、
    前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する抽出装置と；
    前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する装置と；を備えることを特徴とする請求項２４に記載の露光装置。
26. 前記推定装置は、
    前記各実測位置情報の前記複数の確率分布モデルへの帰属度を示す事後確率に基づいて前記統計モデルのモデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、そのモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行し、
    前記選択装置は、
    最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択することを特徴とする請求項２４に記載の露光装置。
27. 物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置であって、
    マークを検出するマーク検出系と；
    前記物体が載置されるステージと；
    前記ステージの位置を計測する計測装置と；
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、該複数のマークを、前記ステージを順次移動して前記マーク検出系を用いて順次検出し、その検出結果と各マーク検出時の前記計測装置の計測結果とに基づいて前記ｎ個の実測位置情報を算出する検出制御系と；
    前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する抽出装置と；
    前記抽出された各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する推定装置と；
    前記推定装置で推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出装置と；
    前記算出装置で算出された位置情報に基づいて、前記ステージを介して物体を移動して、前記各区画領域を露光する露光制御系と；を備える露光装置。
28. リソグラフィ工程を含むデバイス製造方法であって、
    前記リソグラフィ工程では、請求項２４〜２７のいずれか一項に記載の露光装置を用いて露光を行うことを特徴とするデバイス製造方法。
29. 物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置で用いられるプログラムであって、
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る計測手順と；
    前記各実測位置情報が従う複数の確率分布モデルの線形結合から成る少なくとも２つの統計モデルを推定し、その確からしさを推定する推定手順と；
    前記推定結果に基づいて、前記少なくとも２つの統計モデルのうちから尤も確からしい統計モデルを選択する選択手順と；
    前記選択された統計モデルに対応する前記算出された未知パラメータと前記モデル式とに基づいて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する算出手順と；を、前記露光に先立って前記露光装置の制御用コンピュータに実行させるプログラム。
30. 前記推定手順として、
    前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値と仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する手順と；
    前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する手順と；を前記制御用コンピュータに実行させることを特徴とする請求項２９に記載のプログラム。
31. 前記推定手順として、
    前記各実測位置情報が前記確率密度分布モデルに所属していたとする事後確率に基づいて前記モデルパラメータの最尤推定を行い、最尤推定されたモデルパラメータに基づいて、前記事後確率を再計算する処理を、計算されるモデルパラメータによって決定される統計モデルの確からしさの変動が収束するまで繰り返し実行することによって、モデルパラメータが異なる少なくとも２つの統計モデルの確からしさを推定する手順を、
    前記選択手順として、
    最終的に推定された統計モデルを、尤も確からしい統計モデルとして選択する手順を前記制御用コンピュータに実行させることを特徴とする請求項２９に記載のプログラム。
32. 物体上の複数の区画領域を順次露光して各区画領域に所定のパターンを形成する露光装置で用いられるプログラムであって、
    前記物体上に前記複数の区画領域に対応して形成された複数のマークの中から前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出するための所定のモデル式の未知パラメータの数ｍよりも多いｎ個の位置情報が得られる複数のマークを選択し、それらのマークを検出してｎ個の実測位置情報を得る手順と；
    前記ｎ個の実測位置情報の中から、ｋ（０≦ｋ＜ｎ−ｍ）個の異常値と仮定した仮異常値と該ｋ個の仮異常値を除外した（ｎ−ｋ）個の正常値仮定した仮正常値との位置情報の組み合わせを少なくとも２つ抽出する手順と；
    前記抽出した各組み合わせに対応する、前記未知パラメータをモデルパラメータとして含む少なくとも２つの統計モデルそれぞれについて、前記仮正常値の位置情報のみで求められる前記未知パラメータを含む全てのモデルパラメータを算出するとともに、前記モデルパラメータに関連する統計モデルの確からしさを示す規準を用いて、確からしさを推定する手順と；
    前記推定された各統計モデルの確からしさに応じた重みを用いた重み付け平均演算により前記未知パラメータの統計的に妥当な値を推定し、その推定した未知パラメータの値と前記モデル式とを用いて前記複数の区画領域の所定点との位置合わせに用いられる位置情報を算出する手順と；を前記露光に先立って前記露光装置の制御用コンピュータに実行させるプログラム。
33. 前記規準は赤池情報量規準であり、その値をＡＩＣとした場合に、前記統計モデルの確からしさは、−ＡＩＣ／２の指数関数及び該関数と所定の事前確率との積のいずれかであることを特徴とする請求項３０又は３２に記載のプログラム。
34. 前記規準は、前記未知パラメータの数及び前記実測位置情報の数に関して前記統計モデルの確からしさを単調に減少させる関数を含む規準であることを特徴とする請求項３０又は３２に記載のプログラム。
35. 前記関数は、
    前記ｎ個の実測位置情報に異常値が無いという仮説を帰無仮説とし、前記ｎ個の実測位置情報に異常値が有るという仮説を対立仮説として尤度比検定を行った場合の有意水準が所定の水準以下となるような閾値のほぼ半分となる関数であることを特徴とする請求項３４に記載のプログラム。
36. 前記関数は、前記未知パラメータの数に関する比例関数であることを特徴とする請求項３５に記載のプログラム。
37. 前記規準は、ベイジアン情報量規準であることを特徴とする請求項３６に記載のプログラム。
38. 請求項２９〜３７のいずれか一項に記載のプログラムが記録されたコンピュータによる読み取りが可能な情報記録媒体。

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