DE238499C - - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT.

Die Erfindung betrifft ein optisches Planimeter zur Bestimmung der mittleren Ordinate einer registrierten Kurve, zur Berechnung beliebig großer, ebener Flächen und Momente, ferner zum selbsttätigen Aufzeichnen von Mittelwertkurven und Hyperbeln sowie zum Vergrößern und Verkleinern von Figuren. Das Planimeter besteht aus einem mit Führungsrad und einem Längsfaden versehenen Fahrrahmen und einer auf diesen senkrecht gestellten spiegelnden und zugleich durchsichtigen Fläche. Das von der spiegelnden Fläche entworfene Bild des Schnittpunktes einer auf einer Papieranlage dargestellten oder vorher auf dem Kartenblatt aufzutragenden horizontalen Linie mit dem wandernden Faden am Fahrrahmen dient als Umfahrungspunkt. Die spiegelnde Fläche kann auch durch eine kleine, kreisähnliche, spiegelnde Scheibe in konstanter Höhe über dem Papier ersetzt werden.

In den Zeichnungen ist der Apparat dargestellt, und zwar zeigt Fig. 1 einen senkrechten Schnitt, Fig. 2 eine Aufsicht, Fig. 3 eine Seitenansicht. Die Fig. 4 bis 7 dienen zur Erläuterung des Meßverfahrens. Als Fahrarm des Planimeters dient ein an zwei Stellen durchbrochener Rahmen α b, an dem bei b ein scharfrandiges Rädchen r oder auch eine Schneide angeordnet ist. Unter dem langen Teil des Rahmens α ist ein farbiger Seidenfaden f oder ein dünner Draht gespannt. Der Fahrarm besitzt bei c einen drehbaren Handgriff oder Flügel und darunter sowie bei d kleine Stützen oder glattrandige Rädchen, während sich der Rahmen bei b auf das Rädchen r stützt. Hier trägt der Rahmen noch die Brücke h mit der spiegelnden Glasfläche s und unten in der Fadenverlängerung das Plättchen i mit Indexstrich. Das Rädchen ist durch die Hemmungsschraube t arretierbar. Die Brücke h ruht entweder seitlich neben den Ächsenlagern oder in der Verlängerung von f auf dem Unterteil b und besitzt eine Öffnung zum Einsetzen einer Ziehfeder. Die spiegelnde Fläche s ist ein farbiges Planglas oder ein teilweise durchbrochener, mit Silber belegter Spiegel. Der Rahmen mit Faden ist durch eine Linealkante ersetzbar. Besteht er aus einer durchsichtigen Masse, so kann die Fadenlinie /*durch einen Strich bezeichnet werden. Bei Verwendung von zwei Rädern r mit gemeinsamer Achse müssen beide gegenüber dem Rollplanimeter in der Drehung unabhängig sein. Das Planimeter ist justiert, wenn die auf der Fadenlinie f senkrechte Achse des Rädchens durch die Verlängerung der Spiegelebene geht und diese auf der Unterlage senkrecht steht.

In Fig. 4 steht der Apparat auf einer für die Bestimmung der mittleren Ordinate einer registrierten Kurve geeigneten Papierunterlage f in der Anfangsstellung. Das Rädchen R befindet sich in der Mitte zwischen der Marke i und der vom Faden / geschnittenen Linie I, welche dem Rande von fi parallel und seitlieh geschweift ist. Das Instrument ist ein

Umfahrungsplanimeter wie das Polarplanimeter, obgleich sein Fahrarm keinen Fahrstift besitzt. Dieser wird aber ersetzt durch den »optischen Umfahrungspunkt c U, nämlich das Bild des Schnittpunktes der festen Linie I mit dem wandernden Faden f, welches von dem Auge B durch die spiegelnde Glasfläche s hindurch bei i klar gesehen wird. Dieser Bildpunkt U markiert sich so scharf, daß man mit ihm

ίο eine Kurve ebensogut umfahren kann wie mit einem Fahrstift, wobei es einerlei ist, an welcher Stelle das Auge in die Glasfläche (Fig. i) hineinsieht. Will man nun die Kurve k (Fig. 4) auswerten, so schiebt man das Papier p

15. mit dem Planimeter, dessen Rädchen in dem durch einen kleinen Kreis bezeichneten Punkt R steht, so über den Registrierstreifen, daß der Rand des Papiers in die Richtung der Ordinatenachse und die Marke ungefähr in den Anfangspunkt der Kurve fällt. Führt man den Apparat mittels des Griffes c, so nimmt das Auge B sofort hinter dem Glase auch eine Bewegung des »optischen Ümfahrungspunktes« U wahr. Findet diese so statt, daß U dem Lauf der Kurve wie der Fahrstift eines Planimeters folgend bis an den Endpunkt U₁ gelangt ist, so hat, ohne daß der Rechner darauf achtet, das Instrument seine Endlage R₁ S₁ erreicht. Dreht man den Fahrarm herum, bis der Faden f durch den Kreis R geht, so wird das Resultat, die mittlere Ordinate, falls der Registrierstreifen mit Einteilungen versehen ist, an dieser Teilung mit Hilfe des Index i abgelesen oder aber durch Abgreifen mit Zirkel und Maßstab ermittelt. Bei der Drehung des Fahrarms arretiert man das Rädchen in R₁ durch einen Druck auf die Schraube t (Fig. 2), um eine Verschiebung des Apparats zu verhindern.

Bildet der Faden f in der Lage R R₁ (Fig. 4 und 5) einen größeren Winkel mit FR, so muß zum Zwecke der Korrektion der Fahrarm um einen kleinen Betrag in der Eigenrichtung vorgeschoben werden, der auf der Papieranlage graphisch dargestellt ist. Eine entsprechende Korrektion kann auch der Ablesung bei i zugefügt werden.

Auch als Linearplanimeter ist ■ das Instrument verwendbar, da der Flächeninhalt (Fig. 5) der Figur

FUkU₁J E =

= ^. E J. (EF₁+J U₁).

Bevor die einfache Berechnungsart der Flächen, die nur von Kurven begrenzt sind, zur Sprache kommt, mag das bisherige elementar bewiesen werden.

In Fig. 5 sei U der Anfangspunkt der auszuwertenden Kurve k. Das Planimeter stehe auf der Papieranlage p in der Anfangslage, sein Rädchen berühre in R das Papier und F R sei der Faden f, welcher die Linie I, die Ordinatenachse, in F rechtwinklig schneidet. Steht der Spiegel über R senkrecht, so entwirft er von F ein Bild U, den optischen Befahrungspunkt, welcher nach den Brechungsgesetzen von R ebenso weit entfernt ist wie F. Bewegt man das Planimeter durch Drehen und Schieben ein wenig, so daß der Befahrungspunkt von U nach dem sehr nahe gelegenen Punkt D der Kurve gelangt, so hat der Faden f näherungsweise die Lage C R angenommen.

Nun ist der unterhalb des Zuges FUkU₁ liegende Flächenteil gleich CDkU₁, weil U und D Spiegelbilder von F. und C sind und somit näherungsweise

¹ — * " ■ go

und ACRF annähernd gleich DUR. Läuft der »optische Umf ahrungspunkt« in differentialem Sinne stetig von U über D durch die Kurve k nach U₁, so ist die Fläche:

FUkU₁JE = F₁U₁JE = F₂J₁JE. ^8s

Da aber die Parallelogramme FUHE und F₂M H E flächengleich sind, ist auch

M J₁JH = UkU₁J H.

Wenn LM = LJ₁, so ist das Lot von L auf Abszisse H J die gesuchte mittlere Ordinate, und es bestehen die Gleichungen:

R₁ L + L J₁ = R₁ M + 2R M

LJ₁ = R₁M+ R₁L.
Durch Subtraktion folgt:

R₁L = ZRM-R₁L oder R₁L = R M.

Ist F₂ J₁ nur wenig (φ /_ I5°) gegen die Abszissenachse geneigt, so wird

RM = RU,

so daß L mit dem Index i des Planimeters zusammenfällt, während streng

iL — RM-RU.
Da R U konstant ist, wird

iL = RU

COS φ

während die Formel für eine Korrektion der mittleren Ordinate ist:

Δ = R U (tg φ — sin φ).

Auf p wird zweckmäßig i L und Δ graphisch dargestellt. Es ist auch ersichtlich, daß I nur von F₁ bis F₂ eine Gerade sein muß, da andernfalls R₁F₁ F₂ nicht gleich R₁ J₁ U₁ ist.

Die Flächenberechnung krummlinig begrenzter Figuren auf einer dazu bestimmten Anlage p ist aus Fig. 6 ersichtlich. F U ist die konstante Anfangsstellung des Planimeters. Die Fig. k wird mit dem »optischen Umfahrungspunkt« U umfahren bis zur Endstellung des Apparates F₁ U. Der Flächeninhalt von k wird an der für den betreffenden Maßstab auf p dargestellten Skala (Fig. 6 mit I₁,

ίο t₂, t_s bezeichnet) im Schnittpunkt mit f oder z. B. am Index i abgelesen, so daß jede Multiplikation fortfällt. Auch genügt eine einzige Skala für alle Maßstäbe, wenn auf F R die verschiedenen Indexstellungen des Planimeters für verschiedene Maßstabsverhältnisse markiert ist, oder wenn verschiedene, einander parallele Linien I benutzt werden. Wichtig ist, daß die Flächensumme mehrerer Figuren, die auf der Karte getrennt liegen, an der Skala abgelesen werden kann, ohne die einzelnen Flächen ermitteln zu müssen. Nach Befahrung der ersten Figur verschiebt man die Papieranlage mit dem Apparat, bis der »optische Umfahrungspunkt« in den Umfang der zweiten Figur fällt usw. Die Flächensumme wird wieder an der entsprechenden Skala abgelesen.

Theoretisch erklärt sich die Berechnung so, daß der Endpunkt CZ₁ mit U (Fig. 5) zusammenfällt. Nach Fig. 6 wird Fläche

k= AFF₁U = -FU-FF₁.

Bei konstantem F U wird die Fläche eine Funktion der Variabein F F₁ und kann am Schnittpunkt von f mit t oder an einem Index abgelesen werden.

Dann ist zu erwähnen, daß das Instrument auch als Stangenplanimeter ohne Benutzung des optischen Teils gebraucht werden kann, wenn man den Fahrstift des ersteren durch eine Marke am Faden ersetzt.

Zur Berechnung von statischen Trägheitsmomenten und Momenten beliebigen Grades wird nicht die ganze Glasfläche Fig. 1, sondern nur eine in konstanter Höhe s (Fig. 7) liegende kreisähnliche, spiegelnde Fläche oder kleiner Metallspiegel verwendet. Die zu berechnende Fig. k liegt nicht in der Ebene von /, sondern in einer Höhe ν (Fig. 7) über (oder unter) ihr. Es sei η der »optische Umfahrungspunkt«. Dann ist das Verhältnis

: 1 = η : ι,

wenn der Quotient mit η bezeichnet wird, konstant. In der Draufsicht (Fig. 5) ist also

FR: UR = F₁R₁: U₁R =n.
Nach optischer Umfahrung der Kurve von U bis U₁ wird das Moment η ten Grades für die Fläche F U k U₁ P nach der Formel gefunden :

dy.

Bei geschlossener Kurve k ist F an Stelle von P zu setzen, da U und U₁ zusammenfallen.

Die perspektivische Berechnung größerer Flächen (z. B. bei der Verwendung als Ledermeßmaschine) gestaltet sich folgendermaßen: Das Planimeter liege auf einer Tischfläche in einer bestimmten Höhe über dem Fußboden, auf dem sich das zu berechnende Flächenstück (Leder, Fell) befindet. Dem an der Skala nach dem Umfahren ermittelten Resultat anhaftende Ungenauigkeiten werden beseitigt, wenn das Flächenstück in umgekehrter Lage zum zweiten Male befahren und mit dem ersten Resultat gemittelt wird.

Als Zeichenapparat wird das Planimeter mit einer Ziehfeder versehen, die in der Brücke h steckt und entweder den Rand des Rädchens anfeuchtet oder bei seitlicher Lagerung desselben selbst zieht und die Mittelwertkurve q (Kurve der mittleren Höhen) zu einer registrierten Kurve k (Fig. 5) zeichnet.

Die Kurve q wird eine Hyperbel, wenn k eine gerade Linie ist, so daß das Planimeter einen guten Hyperbelzirkel darstellt. Sind nämlich von der Hyperbel die beiden Asymptoten und ein beliebiger' Punkt gegeben, so bringt man ihn in die Fadenlinie f des Planimeters, betrachtet die eine Asymptote als feste Linie I, die andere als die Kurve k und befährt optisch. Das Rädchen bzw. die Ziehfeder oder ein Bleistift zeichnen dann eine genaue Hyperbel, eine Eigenschaft, die sich technisch zweckmäßig zum Entwerfen graphischer Hilfstafeln verwerten läßt und dem sogenannten Integraphen nicht zu eigen ist.

Bewegt man den Fahrarm um das arretierte Rädchen R über eine Figur (Polygon) hinweg, so läßt sie sich punktweise im Verhältnis η : ι (Fig. 7) in die Ebene N U ver- no kleinert übertragen, wenn deren Grenzpunkte der Reihe nach in die Fadenlinie F R fallen und im Bilde U markiert werden.

Claims (2)

1. Patent-An Sprüche:

   i. Optisches Planimeter, dadurch gekennzeichnet, daß auf einem mit Führungsrad und einem Längsfaden versehenen Fahrarm eine senkrecht gestellte, spie-

   gelnde und zugleich durchsichtige Fläche angeordnet ist, und daß das von der spiegelnden Ebene entworfene Bild des Schnittpunktes einer auf einer Papieranlage (Fig. 4) dargestellten oder aber auf dem Kartenblatt aufzutragenden Linie mit dem wandernden Faden am Fahrrahmen als Umfahrungspunkt dient.
2. 2. Optisches Planimeter nach Anspruch 1 zur Bestimmung des statischen und Tragheitsmoments von Momenten höheren Grades und zur Verwendung als Flächenmeßmaschine, dadurch gekennzeichnet, daß die spiegelnde Fläche durch eine kleine, kreisähnliche, spiegelnde Scheibe in konstanter Höhe über dem Papier ersetzt ist.

   Hierzu 1 Blatt Zeichnungen,