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Linse für elektromagnetische Wellen
| Füi- sc1ir l«irze elcktromagnetische Wellen, ins- |
| besondere für ZentitncterNvellen, sind Linsen be- |
| kannt, die aus parallel zueinander angeordneten |
| Hohlleitern Testehen. Die Länge der Hdhl),eiter .ist |
| dabei durch die Begrenzungsflächen der Linse be- |
| stimmt, von deinen eine vielfach eben ist, während |
| die andere im allgemeinen eine Kegelschnittfläche |
| darstellt. Da die Phasen;geschwindigkeit der |
| elektruinagnetischen Wellen in den Hohlleitern |
| größer ist als ihre Geschwindigkeit @im freien Raum, |
| so ist der Brechungsexponent einer solchen Linse |
| kleiner als i. Umgekehrt wie bei den optischen |
| linsen müssen daher Sammellinsen eine konkave, |
| Zcrstretitingslinsen eine konvexe Gestalt haben. |
| Die Vergrößerung der Phasengeschwind igkeit |
| iin Hohlleiter, wellenoptisch ,gesehen also in der |
| Linse, ist gleichbedeutend mit der Verkleinerung |
| des sog. Phaseimnaßes, d. 1i. der Winkeldrehung, |
die die Feldvektoren der elektromagnetischen Wellen in der Längeneinheit des Fortpflanzungsweges
erfahren. In einem Hohlleiter bestimmter Weite sind Vergrößerung der Phasengeschwindigkeit
und Verkleinerung des, Phasenmaßes jedoch nicht für alle Wellen gleich groß. Bei
sehr hohen Frequenzen ist - die Änderung gegenüber den im Raum auftretenden Werten
verhältnismäßig gering. Je kleiner .die Frequenz wird, um. so stärker .wird die
Abweichung, und .bei einer von der Weite des Hohlleiters abhängigen (Frequenz, der
sog. Grenefrequenz wg, wird die Phasengeschwindigkeit unend,lich, das Phasenmaß
Null. Auch theoretisch ist ,damit die Übertragung dieser und noch kleinerer Frequenzen
.durch diesen Hohlleiter unmöglich geworden, während man praktisch ,im allgemeinen
schon oberhalb der Grenzfrequenz an die Grenze der Übertragbarkeit kommt.
Die
im vorstehenden geschilderte Tatsache stehlt nichts anderes dar als die aus der
Lichtoptik längst bekannte Erscheinung, daß der Brechungsexponent einer aus einem
bestimmten Stoff aufgebauten Linse nicht frequenxunabhängig ist. Sie führt zu dem
ebenfalls lange bekannten sag. chromatischen Fehler der Linsen, dessen Korrektion
in der Optik im allgemeinen dadurch erzielt wird, d.aß man Linsen rverschiedener
iBrenruweiten aus Stoffen mit verschiedenen Brechungsexponenten @im Strahlengang
hintereinander anordnet.
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Nach der Erfindung wind der chromatische Fehler bei Linsen für elektromagnetische
Wellen in wesentlich einfacherer Weise dadurch behoben, daß man den Brechungsexponenten
nicht über die ganze Fläche einer Linse gleich groß macht. Er wird vielmehr nach
einer aus bekannten Gesetzmäßigkeiten sich ergebenden Funktion. des Albstandes von
der Mittelachse ;bzw. vom mittleren Strahl verändert oder, wenn die Linse für Brennlinien
statt für Brennpunkte eingerichtet ist, nach. einer Funktion des. Abstandes vion
einer durch die Linsenmitte gelegten Ebene. Zur Änderung des Brechungsexponenten
stehen dabei verschiedene Mittel zur Verfügung. Man kann z. B. die Schachtweite
der die Linse aufbauenden Hohlleiter mit wachsendem Abstand nen der Mittelachse
verändern oder in die einzelnen Hohlleiter zusätzliche phasendrehende Mittel einbauen,
die so bemessen sind, daß die spezifische Phasendrehung der Hohilleiter je nach
ihrem Abstand von der Mittelachse eine andere ,ist. Unter spezifischer Phasendrehung
ist dabei die Winkeldrehung der Feldvektoren einer Welle in einem Hohlleiter, dividiert
durch die Länge dieses Hohlleiters, verstanden. Als solche phasendrehende Mittel
'haben sich sog. kapazitia-e Blenden geeignet erwiesen, d. h. also aus zwei Metal'Istegen
bestehende Querwände im Hohlleiter, die einen senkrecht zum elektrischen Vektor
liegenden, Spalt zwischen sich einschließen. Durch. Änderung der Zahl und der Spaltbreiten
dieser Blenden lassen sich ;belieibige Werte der spezifischen Phasendrehung herstellen.
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Bei einer Ausführungsform der Erfindung bemißt man nun alle Hohlleiter
einer Linse so, daß die Gesamtphasendrehungen, die durch sie hervorgerufen werden"
über die ganze Linsenfläche übera,111 .gleich groß sind!. Es hat sich gezeigt, daß
man auf ,diese Weise Linsen erhält, deren Oberflächen Hyperbeln von wesentlich.
geringerer Krümmung sind, als sie die .bei den gewöhnlichen monochrornatischen Linsen
erforderlichen Hyperbe'lfläehen aufweisen. Das ibedeutet, daß die Linsendicke mit
wachsendem Durchmesser wesentlich langsamer zunimmt, so .daß das Volumen und damit
das Gewicht einer solchen Linse, kleiner gehalten werden kann als das einer monochromatischen
Linse gleichen Durchmessers. Das läßt sich insbesondere bei Verwendung zusätzlicher
phasendrehender Mittel verhältnismäßig leicht erreichen, wie die.im folgenden gegebene
genauere Darstellung zeigt. .
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Es ist hierbei zunächst von einer Anordnung ausgegangen, wie sie in
,Fi.g. i schematisch gezeichnet ist: Die Linse L hat auf der einen Seite eine ebene,
auf der anderen Seite eine konkave Begrenzungsfläche. Der Mittelpunkt, O des eingezeichneten
Koordinatensystems zy ist in den Schnittpunkt der Mittelachse. AT mit der ebenen
Begrenzungsfläche der Linse L :gelegt. B :ist ein Brennpunkt 'der
Linse, Zi ein Punkt auf der x-Achse, durch den eine senkrecht auf dieser Achse stehende
Ebene E igelegt ist. Die Linsendicke in der Mittelachse M ist mit z, bezeichnet,
der Ab-
stand des Brennpunktes B vom Koordinatenmittel, punkt O mit f. Außerhalb
der Linse herrscht das Phasenmaß des freien Raumes ao, das Phasenmaß in den Hohlleitern
der Linse ist a. Der Brechungsexponent ist also über die ganze Linsenfläche ,angenommen
zu q = a/ao.
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Der gesamte Übertragungswinkel A eines Strahls zwischen dem Brennpunkt
B und der im Abstand z, vom Koordinatennullpunkt errichteten Ebene E, d. h. also
die gesamte Phasendrehung, die die Vektoren der elektromagnetischen Welle auf diesem
Weg erleiden, läßt sich jetzt als Funktion.weier . Veränderlicher, des Abstandes
y eines Strahls von der Mittelachse und der Frequenz o, berechnen zu:
A (y, o) = aoy + az + a. (z1 - z).
Damit nun in der Ebene
E eine ebene Wellenfläche entsteht, muß der Winkel A für jeden Wert von y der gleiche
sein. Außerdem soll die Linse nun so ausgeführt sein, daß sie nicht nur für eine
Frequervz gebraucht twerdenkann. Der Winkel A muß also au U. noch für eine Nachbarfrequenz
o + d o stets der gleiche sein. Das ergibt für die gewünschte Breitbandigkeit die
beiden Bodimgungsgleichungen A (y, co) = A (o, co) und A(y,w+Ao)=A(o,o+Ao).
Es wird nun zunächst angenommen, daß zusätzliche Phasenglieder vorgesehen werden
sollen, um diese Breitbandigkeit zu erreichen. Die durch diese Phasenglieder hervorgerufene
Phasendrehung, a (y, co), die ebenfalls eine @Funktion der Frequenz o und
des Strahlabstandes y von der Mittellinie ist, erweitert die Beziehung für A zu
folgender Form: A (y, o) = aor + az + a" (z, - z) + a (y, o):
Wendet man nun auf die zweite der obern angeführten Bedingungsgleichungen für die
Broitbandigkeit den Taylorschen Satz an, so erhält man nach einigen Umformungen
und Ein(setzen der erhaltenen Gleichung in die Beziehung für A folgende Differentialgleichung
für den Phasenwinkel, a des zusätzlichen, Phasengliedes:
Diese Gleichung 1'äßt sich exakt integrieren. Ihr Integral 'lautet:
a (y, w) + az = a (o, o» + azo, und diese Formel besagt, daß die Größe der
Phasenglieder derart bemessen werden muß, .daß die gesamte Phasendrehung aller die
Linse aufbauenden Hohlleiter innerhalb des Frequenzbandes doo konstant werden muß.
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Man erhält also das überraschende Ergebnis, daß zur Erzielung einer
breitbandigen Linse nur die Konstanz der Phasendrehung über die gesamte Linsenfläche
erreicht werden muß.
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Setzt man nun zunächst einmal voraus., daß diese Konstanz der Phasendrehung
durch irgendwelche Mittel erreichbar ist, so ist jetzt zu untersuchen, welche Form
die Linsenoberfläche erhalten muß; denn wegen der durch diese Mittel beei'nflußten
Phasendrehung in den einzelnen Hohlleitern der Linse besteht die Möglichkeit, daß
die Linsenflächen geänderten Gesetzen folgen und unter Umständen sehr komplizierte
Formen erhalten müssen. Die Gleichung für die Linsenoberfläche erhält man offenibar,
wenn man die Lösung .der vorstehenden Differentialgleichung in die erste der beiden
Bedingungsgleichungen für die Breitbandigkeit einsetzt. Es ergibt sich dann:
0 - 2 f (z - zo) + (z - z.) 2, und dies stellt eine Hyperbel
dar. Das auffallendste an der erhaltenen Gleichung ist, daß das Phasenmaß a der
LinsenhohIleiter auf die Form der Oberfläche keinerlei Einfluß mehr hat. Dies erklärt
sich aus der Tatsache, claß ja mach Voraussetzung die gesamte Phasendrehung jedes
Hohlleiters unabhängig von seinem natürlichen Phasenmaß auf einen bestimmten, für
alle Hohlleiter .gleichen Wert gebracht ist. Aus Fi"g. i kann man dann unmittelbar
entnehmen, daß für diesen Fall die Phasendrehung über die Strecke r + (z1 - z) ebenfalls
stets die gleiche sein muß. Da dies Strecken im freien Raum sind, braucht die Oberfläche
der Linse also nur so geformt zu sein, daß die mit y zunehmende Länge von r durch
Verkürzung der Strecke zr - z eben wieder ausgleicht.
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Diese Fonderung wird also z. B. durch eine Oberfläche der vorgenannten
Form erfüllt. Sie kann aber, wie der Augenschein zeigt, auch erfüllt werden durch
eine konkave Kugelfläche auf der (lern Brennpunkt zugekehrten Seite einer Linse,
deren- andere Fläche erben ist. Denn dann sind alle Wege vom Brennpunkt zur Linsenoberfläche
auf der eigen und alle Wege von der Linse bis zur Ebene E auf der anderen Seite
der Linse gleich lang. Es bleibt nun noch der Nachweis zu erbringen, d.aß es tatsächlich
möglich ist, durch zusätzliche phasendrehende Mittel die erwähnte Konstanz der Phasendrehung
durch die Hohlleiber zu erreichen. ,Diese zusätzlichen Mittel müssen so besit'haffen
sein, daß sie einen Frequenzgang haben, der den Frequenzgang der Hohlleiter selbst,
den Frequenzganig ihres Phasenmaßes a, kompensiert, denn nach der zweiten Bedingung
für die 'Breitbandigkeit muß idie Phasendrehung zwischen dem Punkt Bund er Ebene
E der Fig. i auch noch für eine Frequenz o) + d to die gleiche sein wie für die
Frequenz co.
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Dia die Phasendrehung aller Strecken r + zl-z' die ja alle
gleich lang sind und in Luft verlaufen, dem normalen Frequenzgang des Raumes unterworfen,
d. h. verzerrungsfrei sind, muß die in den Hohlleitern entstehende Phasendrohung
in dem gewünschten Frequenzband frequenzunabh.ängig gemacht werden.
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Wenn man von :der offenbar einfachsten Annahme ausgeht, daß in den
am weitesten von der Linsenachse entfernten Hohlleitern kein zusätzliches Phasenglied
vorgesehen iwird,`daßdort also der zusätzliche Phasenwinkel a (ymox, co) = o ist,
so müssen die zusätzlichen Phasenglieder für die der Linsenachse näher liegenden
Hohlleiter so bemessen werden, daß die ;durch sie hervorgerufene Phasendrehung entsprechend
der Gleichung a (y, (,) = a (zmax - Z)
zunimmt. Dabei ist y eine Funktion
von z; die beiden Werte sind durch die Gleichunig für die Linsenoberfläche miteinander
verknüpft. Durch a ist die Frequenzabhängigkeit zurr Ausdruck gebracht; die Winkeldrehung
der Phasenglieder muß sich proportina'l a ändern.
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Es ist bekannt, daß man bei Hohlleitern zusätzliche Phasendreihungen
durch kapazitive Blenden erreichen kann, deren Wirkung der Einschaltung von Ouerkapazi,täten
in eine Doppelleitung entspricht. Die Fig. 2 zeigt eine solche Blende in einem quadratischen
Hohlleiter in Längsschnitt und Draufsicht. H ist der Hohlleiter, in den die zwei
Blendenstege Cl und C, eingesetzt sind. Sie schließen den Schlitz S zwischen sich
ein, der quer zum Vektor E des elektrischen Feldes der Welle liegt. Die durch eine
solche Blende hervorgerufene Wiinkeldrehung beträgt
wenn Z der Wellenwiderstiand der Leitung, C die Kapazität der Blende und c die Lichtgeschwindigkeit
ist. Die Winkeldrehung ändert sich also proportional a, d. h. die Blende 'hat den
zur Erzielung der 'Breitbandi:gkeit erforderlichien Frequenzgang.
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.Die Berechnung der erforderlichen zusätzlichen Phasenglieder ist
jetzt leicht möglich; wenn eine einzige Blende zur Erzielung der erforderlichen
Phasendrehung nicht ausreicht, kann man mehrere hintereinander anordnen. In Fig.
3 ist eine derartig ausgeführte Linse schematisch dargestellt. Die äußersten Hohlleiter
HA enthalten keine Blenden, die beiden nach innen darauffolgenden je i usw.
Im mittleren Hohlleiter Ho sind drei Blenden vorgesehen.
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Wie eingangs erwähnt, ist die Weite des Hohlleiters maßgebend für
die Abweichung des Phasenmaßes einer bestimmten Frequenz vom Phasenmaß im freien
Raum. Bei genügend großer Weite kann man das Phasenmaß im Hohlleiter in erster Näherung
gleich dem Phasenmaß im Raum setzen.
Sorgt man also dafür,, daß
die Weite des Hohlleiters genügend groß ist" daß also die Grenzfrequenz genügend
weit unter dem Betriebsfrequenzband liegt, so kann man die Wirkung des Hohlleiters
selbst auf die Wellen vernachlässigen. Die im Hohlleiter selbst stattfindende Phasendrehung
ist also genau so groß wie auf einem ebenso langen Wegstück im freien Raum, d. h.
die Linsendicke und die Linsenflächen spielen überhaupt keine Rolle mehr, eine Beeinflussung
der Phasendrehung wird auf dem gesamten Weg zwischen B und E (Fig. i) nur durch
die Blenden @ bewirkt. Man kann also praktisch die wegnehmen uni nur die iBlendenstege
übriglassen. Anordnungen dieser Art zeigen die Fig. 4 und 5. Bei der Anordnung nach
Fig. 4 sind -die Höhlleiter noch :vorhanden, es ist jedoch angenommen., daß ihre
Weite so groß ist, daß die obergenannte Wirkung eintritt. Die Länge der Hohlleiter
ist also bedeutungslos geworden, sie ist nur durch die Zahl der in ihnen enthaltenen
Blenden ungefähr gegeben. Man erhält so eine konvexe Sammellinse. Bei der Anordnung
riech Fig. 5 sind .die Hohlleiter weggelassen. Die Lin»e besteht aus einzelnen Metallstreifen
M1, M2, M3, 1114, die in vier Ebenen angeordnet und in einem dielektrischen Körper
D eingebettet sind. Die Streifen Ml usw. lassen Schlitze S zwischen sich frei, deren
Weite sich aus der an der betreffenden Stelle erforderlichen Phasendrehung errechnet.
Der Einfachheit halber sind die Schilitze S alle gleich weit gezeichnet. In Wirklichkeit
schwankt im allgemeinen sowohl die Weite der Schlitze untereinander als auch die
Weite des einzelnen Schlitzes selbst.
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Die Streifen lassen sich auch durch Aufmetal,lisieren auf scheibenartige
Bauelemente herstellen, aus denen man die Linse dann schichtweise aufbauen kann.
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Es sind bereits Linsen von. ähnlichem Aufbau bekannt. Sie bestehen
aus in mehreren Ebenen hintereinander liegenden, in kleine Einzelelemente aufgelösten
Metallflächen oder Metallkörpern, insbesondere Kreisflächen. oder Kugeln, die kris.t@allgitterartig
,angeordnet sind. F'ür linear polarisierte Wellen können die kreisförmigen zu streifenförmigen
Flächen zusammengezogen werden, so daß die auf diese Weise entstandenen Linsen mit
den zuletzt beschriebenen, gemäß der Erfindung ausgeführten eine gewisse Ähnlichkeit
zeigen. Es bestehen jedoch tiefgreifende Unterschiede sowohl im tatsächlichen Aufbau
als auch in der Funktion. Die beiden Linsenarten unterscheiden sich .grundsätzlich
durch die auf die Wellenlänge der durchtretenden Strahlung bezogene Größe der Metallflächen.
Für die bekannte Anordnung wird ausdrücklich bemerkt: »Die Abstände der Elemente
der Anordnung müssen klein sein im Verhältnis zur Wellenlänge, andernfalls tritt
Diffraktion auf ... Solange diese Forderung erfüllt wird, ändert sich die
Brechkraft nicht mit der Wellenlänge, und so gebaute Linsen zeigen eine sehr breitbandige
'Frequenzcharakteristik.« Im Gegensatz dazu arbeiten die Linsen gemäß der Erfindung
in einem Gebiet, in dem der Brechungsexponent sich mit der Wellenlänge ändert, und
die 'Erfindung liegt mit darin, daß ein Weg angegeben wind, wie man diese) Änderung
des Brechungsexponenten unschädlich macherikann.
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Die im vorstehenden gegebene genauere Darstellung wurde von vornherein
auf Linsen bezogen' bei denen zusätzliche phasendrehende Mittel zur Erreichung des
Erfindungszieles verwendet werden sollten. Wie in oder Einleitung jedoch erwähnt,
kann man die Erfindung auch auf jede andere Art und Weise verwirklichen, die es
ermöglicht, den Brechungsexponenten für verschiedene Linsenbereiche verschieden
groß zu machen. Eine solche Möglichkeit ist z. B. noch dadurch gegeben, daß die
spezifische Phasendrehung in einem Hohlleiter von dessen Weite abhängig ist. Man
kann also durch Verwendung von HohLleitern verschiedener Weite ebenfalls erreichen,
:daß der Brechungsexponent einer Linse eine Funktion des Abstandes von der Linsenachse
ist.
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Bei dieser Anordnung läßt sich indessen eine ausreichende Frequenzunabhängigkeit,
also die Möglichkeit .der gleichbleibenden Beeinflussung aller Frequenzen eines
breiten Freque,nzbandies durch die Linse, nicht ohne weiteres dadurch erreichen,
@daß man die Weite der Hohlleiter so wählt, daß wiederum die Gesamtphasendreihungen
aller Hohlleiter der Linse gleich groß sind.
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Das Phasenmaß in einem Hohlleiter berechnet sich aus
mit c = Liehtgeschwindigkeit, oJ = Betriebskreisfrequenz .und to, = Grenzkreisfrequenz
des Hohlleiters. Der Frequenzgang des Phasenmaßes innerhalb eines bestimmten zu
,.übertragenden Frequenzbandes ist .daher abhängig von der Differenz zwischen Übertragungsfrequenz
und Grenzfrequenz des Hohlleiters, und zwar ist der Frequenzgang um@ so stärker,
je näher die Grenzfoquenz dem Band liegt. Bei Verwendung iverschieden weiter Hohlleiter
erhält man -also Linsen, deren einzelne Bestandteile versichiedenen Frequenzgang
haben.
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:Zur Überwindung dieser eine Lösung zunächst scheinbar ausschließenden
Schwierigkeit muß man die hier auftretende Aufgabe von einer anderen Seite aus '.betrachten.
Es ist bereits dargelegt worden, daß die Phasendrehung bei einer Anordnung nach
Fig. i auf allen iStrahltwegen zwischen -B und E die igleiche sein muß. Da jedoch
die Streeke r um einen gewissen Betrag d f größer ist als die Strecke
f, so muß die auf dem Wegstück d f zu-
stande gekommene Phasendrehung
durch eine Verringerung der Phasendrehung im restlichen Wegstück kompensiert werden..
Die Wirkung der Linse beruht also darauf, <Laß der durch die Verkürzung des Wegstückes
zwisichen Linse und Ebene E nicht wegkompensierbare üherschuß an Phasendrehung auf
dem innerhalb eines Linsenhohlleiters verlaufenden Wegstück infolge des dort herrschenden
kleineren
Phasenmaßes vernichtet wird. Nun ist, wie bereits erwähnt, das Phasenmaß Bim Hohlleiter
Das Phasenmaß im freien Raum beträgt :demgegenüber
Schließlich sei noch
gesetzt. Mit o@ = aoc und o)8 =jjaoc wird also
Das Verhältnis der Phasenmaße ist:
Die Verringerung des Phasenmaßes a im Hohlleiter gegenüber «o im Raum ist gleichbedeutend
mit einer Verlängerung der Wellenlänge i im Hohlleiter gegeniiher der Wellenlänge
Klo im Raum, lvol>ei @a = i, - a, Es ist infolgedessen
oder mit anderen Worten die \Vellenlän:ge im Holilleiter
Man kann die Wirkung der Linse also auch in folgender \Veise ausdrücken: Da die
Strecke r (heg. i) um den Betrag d f größer ist als die Strecke f, so bleibt
der Strahl auf dem Weg Über r
um einen ,gewissen Betrag hinter dem mittleren
Strahl über f zurück. Ohne die Linse würde dieser Unterscliicd auf dein ,ganzen
Weg zwischen der y-Achse und der Eibene E .gleich groß bleiben (wenn man z. B, durch
Spiegelung die Parallelrichtung leider Strahlen von der y-Achse ab erzielte, wobei
von der ja el>etifalls über die ganze Fläche des Spiegels konstanten, bei der Reflexion
auftretenden Drehung der Feldvektoren um ibo° abgesehen werden kann). Auch in der
Ebene E würde der Strahl über r finit .der gleichen Verspätung ankommen ewig an
der v,Achse. Eine der Wirkungen der Litise besteht nun darin, daß infolge der Vcrg
r Ößerung der Wellentänge im Hohlleiter diese ( t# Verspätung aufgehoben
wird. Infolige der größeren Wellettlätuge und der damit vergrößerten Phasen geschwindigkeit
der Welle ini Hohlleiter gewinnt der Strahl darin an \1'e8.
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Zur llereclinittig dieses Weggewinns C: gebt man davon aus, daß dic
\\'ellenlänige itn 1-lohlleiter um den Faktor
grtif.lcr ist als itn Raum. Uni i (l,icsctt hal:tor wergr@il.iert sich demnach die
räuniliclte I.üttgc ü des llolrlleiters gegenüber der l.:inge w,,i, die der Strahl
im Raum im gleichen 7,eitrauni zurücklegen würde. 1?s ist daher:
und der \'\@eggewittn selbst ist demnach: G -. H -- Zel = #
(I -- 1 I - )12 ). sei wird als elektrische Länge bezeichnet. Sie ist abhängig
vom Frequenzverhäl.tnis
d. h. die elektrische Länge eines Hohlleiters ähdert sich mit der Frequenz der Wellen,
und izwar ist die Änderung bei einer gegebenen Frequenzänderung um so größer, je
größer die Werte von 0 selbst sind. Diese Tatsache wurde oben bereits durch die
Fest stell'ung zum Ausdruck gebracht, daß das Phasenmaß einen vom Abstand des Frequenzbandes
von cog abhängigen Frequenzgang habe.
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Aus dieser Formulierung des Weggewinnsi G lassen sich mit Hilfe der
Fig. t' zwei wichtige Beziehungen ableiten: Einmal ergibt sich ohne weiteres,, daß
die Liinsenkontur der Gleichung: G=df+Go oder
genügen, d. h. also, daß der Weggewinn G in einem beliebigen Hohlleiter der Linse
gleich lern: Weg gewinn G" .des den kürzesten Strahl führenden Hohlleiters plus
der räumlichen Wegverlängerung d f gegenüber dem kürzesten Strahl sein muß.
Diese Gleichung stellt also, da ,
ist" die räumliche Bedingung dafür dar, daß für jeden Wert von y die elektrische
Weglänge zwischen iBretitipunkt B und Ebene E die gleiche ist,, entsprechend der
früiher @aufgestellten Forderung, daß der Übertragungswinkel zwischen B und E auf
allen Wegen gleich groß :sein muß. Wenn man nun aber für eine Linse mit verschieden
weiten Hohlleitern ,die Kontur ermitteln will, so ergibt sich natürlich zunächst,
daß für jede Frequenz c) eine andere Kontur vorhanden sein müßte, weil -ein Hoh:lle,iter
bestimmter Weite für jede Frequenz einen anderen yi-Wert besitzt. Denn es war ja
', - a)8/(07 und Hohlleiter verschiedener Weiten haben verschiedene Grenzfrequenzen.
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Weiterhin ergibt sich aus Fig. I auch, da.ß .man die iForderung nach
gleicher elektrischer Länge aller Strahlen von B nach E auch schreieben kann:
Dabei ist es unerheblich, ob C für verschiedene Frequenzen verschiedene Werte annimmt,
wenn es nur fier jede Frequenz einen konstanten Wert li:at. Faßt man die Konstanten
der ;vorstehenden Gleichung zusammen, also f + Zi - C = F(oi), so
kann nian die Gleichung auch schreiben:
In :dieser Schreibung offenbart sie am klarsten ihren physikal4schen Sinn, daß nämlich
der Weggewinn im Hohlleiter gleich sein muß der Wegverlängerung d f plus
einer zusätzlichen für bestimmte Frequenzen konstanten Mlegstrecke F(co).
Mit
Hilfe dieser sich mit der Frequenz- verändernden, bei jeder Frequenz aber über die
ganize Linsenfläche konstanten zusätzlichen Wegstrecke F (co) erkennt man jetzt,
dlaß es darauf ankommt, zu erreichen" d aß ibei einer Frequenzänderung die Änderung
des Weggewinns der Strahlen in allen Hohlleitern der Linse, d. h. über die ganze
Linsenfläche; gleich groß ist.
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Die Bedingung für die richtige Abbildung mehrerer Frequenzen erhält
man also durch Differenzieren der Gleichung für G nach co.
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Dabei erhält man:
Also lautet die Bedingungsgleichung für achromatische A#bbiil'dung:
Aus ihr und der oben aufgestellten Gleichung für die Linsenkontur
gewinnt man nun zwei Beziehungen, aus denen sich achromatische Linsen berechnen
lassen. Sie lauten:
Die erste von ihnen gibt den Zusammenhang zwischen z und d f = cp
(y), also eine Bestimmung für die Linsenkontur" wobei % und -q zunächst noch
wählbare Parameter zu sein scheinen. Die zweite legt jedoch den Wert von ri als
Funktion von d f
implizit fest, wenn, die Hohlleitertänge z, und die Hohlleiterweite
(als Funktion von %) für die Linsenmitte gewählt sind.
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Weiter kann man aus diesen beiden Beziehungen entnehmen, daß die Hohdleitenweite
von der Linsenmitte zum Linsenrand hin zunehmen muß. In beiden sind die Zählerausdriücke
stets positiv, da ii und q" nur Werte zwischen o .und i annehmen können. Zur Vermeidung
negativer Werte von z und z", die sinnlos wären, müssen also auch die Nenner stets
positiv sein. Durch Differentiation dies Nennenausdrucks nach 21 kann man nachweisen,
daß er sich im iBereich o < ,q < @i nur dann als. p"tiv ergibt, wenn ii <
iio. Der größte ii-Wert ist also in der Linsenmitte ivorhanden, d. h. Ilmax
= ylo i nach außen zu werden die ig-Werte der Hohlleiter kleiner,
die Hohlleiterweiten größer. Die äußersten Hohlleiter einer Linse haben also die
größte Weite und den Wert
Aus der Gleichung für die Linsenkontur ergibt sich
* dann, idaß für Linsen, ,deren Hohlleiter nach außen ,weiter werden, auch die Hohlleiterlängen
z ,mit zunehmendem Abstand von der Linsenmitte wachsen; ,demnach sind solche Linsen
Konffzavl irrsen. .
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Für die Berechnung einer Linse ist es nun wichtig,, daß es ,zu jedem
Wert ivon limax = iio einen günstigsten Wert qm;" gibt, bei dem d ie Linsendicke
am Rand am kleinstenbleibt. An sich sind die beiden Werte r/max und iimin einer
Linse frei wählbar, doch erhält man bei ungünstiger Wahl von Amin eine nach außen
sehr rasch an Dicke zunehmentde Linse. Man ermittelt den günstigsten Wert qmjn in
bekannter Weise nach Differentiation der Gleichung
Für einige Werte Noon q" sich ergebende Werte von y)'m;n und zmax/Afmax sind in
der folgenden Tabelle zusammengestellt.
| "l 0 I 0 195 @. o,g o,85 (
o'8o 1 0 ,75 I 0,70 |
| rl,min o,83 0,75 o.69 o,63 0,58 0.535 |
| z)nnx%dfmax 6.7 12,5 21,0 32 51 83 |
Diese Werte zeigen, .daß man günstigere Linsenformen erhält, wenn, man schon q,
möglichst groß wählt. Man wird es so groß machen, wie es mit Rücksicht auf das zu
übertragende Frequenzband physikaliisch noch sinnvoll ist, damit, die niedrigste
Bandfrequenz den notwendigen Abstand von der Grenzfrequenz auch des Hohlleiters
geringster Weite behält.
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An einem Beispiel sei die Berechnung einer Sammellinse mit Hohlleitern
verschiedener Weite gezeigt. Gesucht werden die Abmessungen einer Linse mit der
Brennweite f = io .1o und dem Durchmesser D = 2 R = io 2.o. Das Öffnungsverhältnis
der Linse ist also i : i. Mit- .1o ist die Wellenlänge im Raum der Mittelfrequenz
U) des zu übertragen den Bandes bezeichnet, dessen Breite -f- 5% -betragen soll.
.
Ein günstiger @a-Wert für diese Verhältnisse ist o,9. Danach ergibt
sich = 0,75. Es wird
A f"." =vfl -1- R2-
f = I,I8 A,. Hieraus
erhält man als Linsendicke am Linsenrand zmax
- 1 fmax
' 12,5 =
14,7 4
und in der Linsenmitte
Für die dazwischenliegenden Linsenbereiche berechnet man aus der Gleichung
die Werte von A f und aus
die Werte von z, also die Linsendicke. Die punktförmige Berechnung isst vorteilhaft,
weil sich die Linsenkontur explizit nicht in handlicher Form darstellen läßt. Man
erhält so folgende Werte:
| y I 4f I #i I z |
| 0 0 0,9 = % 6,74 = z. |
| A" 0,05 ZO o,896 6,9 2, |
| 2 A" o,198.1, o,883 7,5 4 |
| 3 4 0,4404 0,858 8,652, |
| 4 A. 0,77 0 4 0,817 1o,8 A, |
| 5 A" = R 1,204 0,750 = I)@min 14,7 Ao |
In Fig. 6 ist die so berechnete Linse maßst'äblich dargestellt. Wie man sieht, stört
ihre große Dicke. Man kann sie verringern, wenn man. das Offnungsverhä,l.tnis 2
R/f verkleinert. So würde z. B.. bei f = io Aa und R = 2,5 .1o, also bei einem Offnungsverhältnis
1 :2, der Wert
d fmax
= 0,3o8 ,1, und dadurch zmax
= 3,85 Aa
und z,
= 1,75 A, schon viel günstigere Abmessungen liefern. Mit der Verkleinerung
der Linsenfläche geht aber das Bündelungsvermögen der Linse stark zurück.
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Es ist :daher besser, zur Verringerung der Dicke die Linse in der
bekannten Weise stufenförmig aufzubauen. In so einfacher Weise wie bei monochromatischen
Linsen mit konstanter Schachtweite ist das hier allerdings nicht möglich. Bei den
monochromatischen Linsen 'kann man an -der Stelle, all der die Wegverlängerung 4
feiner vollen Wellenlänge entspricht, die Linsendicke auf den Wert z, zurückspringen
Jassen, der auch im Linsenmittelpunkt vorhanden ist. Bei breitbandigen Linsen geht
das deswegen nicht. weil die Bedingung d f = A an einer Stelle ja immer nur
für die Wellenlänge einer Frequenz erfüllt sein kann; während flir alle anderen
Frequenzen eines Bandes dort dann stets d f A ist. Man muß also neue Bedingungen
für die Sprungstelle finden.
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'Es sei angenatnmen, der Sprung erfolge an der Stelle y1, wobei die
Linsendicke von z1 auf z2 und der Hohlleiterparameter il von 171 auf 172 sich ädere.
Für die mittlere Frequenz des zu übertragenden Bandes läßt sich wieder die Bedingung
für die elektrischen Längen in Linse und Luft aufstellen. Phasengleichheit der Strahlen
ist aber auch dann erreicht, wenn sich die elektrischen Längen zweier Strahlen um
A, oder ganzzahlige Vielfache davon unterscheiden.
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Man kann also schreieben:
Differenziert man diese Gleichung wieder nach co, wobei man beachten @muß, daß wohl
z1 und z2 ivon to unabhängige Größen sind, A. dagegen sich mit 1/c0 ändert, so erhält
man als Zusatzbedingung:
Bei ,der .punktweisen Berechnung der Linsenkontur und der Hohl.leiterweitenbeginnt
man nun in der Linsenmitte, indem man für den mittleren Hohlleiter z, und y)" frei
wählt, und geht schrittweise nach außen, bis der Wert rj mirs erreicht ist. Dort
nimmt man den Sprung .vor, wobei man z2 und ii, aus den vorstehenden Gleichungen
bestimmt. sDabei wird man in der Regel' n = i setzen, und die Werte z1 und % erhält
man dadurch, daß man die punktweise Berechnung der unabgesetzten Linse bis zu der
Stelle weiterführt, an der diese Werte durch die neuen Werte z2 und % ersetzt werden
sollen. Für die Berechnung der Kontur und der Hohlleiterweiten des abgesetzten Stückes
tritt in den Formeln z2 und ii, an die Stelle von z, ,und iia und für
d f ist d f - d f1 einzusetzen, wobei d f1 der Wert von
d f an der Sprungstelle ist.
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Man erhält so eine Linse aus mehreren konzentrisch ineinander angeordneten
Teillinsen, eon denen jedoch nur die innerste, zuerst berechnete das günstigste
17 .. "" besitzen wird. Auf die vorstehend beschriebene Weise wird man es
kaum erreichen, da die zweite Teillinse ,mit dem gleichen @max beginnen wird wie
die erste. Um bei allen Teillinsen das .gleiche il."" und das gleiche Verhältnis
iimin @)max, also die geringste Dicke .der Gesamtlinse, zu erhalten, muß man etwas
anders vorgehen. Dies sei an einem Zahlenbeispiel gezeugt.
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Wie bei der vorhin berechneten Linse wird angenommen, daß iia = o,9
und daher rj m1" = 0,75
sein soll. An den Sprungstellen zwischen den
Teillinsen soll also jeweils ;die vorhergehende Teillinse mit einem Hohlleiter aufhören,
der den Wert o,75 aufweist, die folgende Teillinse mit einem Hohlleiter beginnen,
.der den Wert ii = o,9 hat.
Durch Elimination :von nio aus den beiden
oben aufgestellten Gleichungen
Für die Werte q1 = 0,75 und n2 = 170 = 0,9 ergibt sich daraus:
Aus der ersten der beiden abens,tehenden Gleichungen kann man damit zi=F8@,6E.1t..lo
oder für yt = I z1 = 8,66 2, berechnen.
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Aus der Gleichung
erhält man andererseits, wenn man auch hier die Werte jia = o,9 und q _ @j m;" =
0,75 einsetzt, Glas Verhältnis
sowie z3 = 2,I9 ' z2 = 2,I9 ' 0,396z, = 2,I9 ' o,396 -8,66Ä, = 7,54
Ferner
kann man aus der weiter oben abgeleiteten Beziehung zwischen z bzw. z, und
d f errechnen: d f1 = o,696A4 für die erste, und d f 3 = 1,304
für die zweite Sprungstelle.
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Eine aus zwei Teillinsen auf die vorstehende Weise berechnete Linse
ist in Fi.g. 7 ebenfalls maßstäblich dargestellt. Die wichtigsten Werte dieser Linse
sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt, die Zwischenwerte nicht berechnet,
der genaue Verlauf der Teillinsenkonturen zwischen den Endpunkten also geschätzt.
| 4f I 1 |
| 0 0 0,9 3,96 Ao = z. |
| 3,8 2, o,696 A, 0,75 8.66 A, = z1 # Sprung- |
| 3,8 Ao 0,696 Ao 0,9 3,43 Ao = zz stelle |
| 5,254 = R 1,30 A, 0#75 7,5 Ao = z3 |
Die maximale Dicke dieser Linse ist trotz des etwas größeren Öffnungsverhältnisses
wesentlich kleiner als die der Linse nach Yig.6
bemerkenswert ist vor allem auch die Verringerung von z, = 6"7.1a bei der einfachen
auf z,
= 3,96 A, .bei der abgesetzten Linse.
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Als Linsen mit Hohlleitern verschiedener Weite lassen sich besonders
gut Zylinderlinsen ausführen, die nur in einer Richtung bündeln sollen. Sie können
dann aus einfachen Blechen zusammengesetzt werden. Konstruktiv ebenso einfach sind
Rundstrahler für horizontal polarisierte Wellen nach diesem Prinzip aufzubauen.
Sie bestehen, wie Fig. 8 zeigt, nur aus ringförmigen, in verschiedenen Abständen
übereinander angeordneten Platten verschiedener Durchmesser.
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Weiterhin Tassen sich Linsen für Wellen, bei denen das elektrische
Feld ringförmig und der magnetische Vektor @in radialer Richtung verläuft, auf diese
Weise sehr leicht 'herstellen; sie bestehen aus koaxialen Met@al,lizylindern verschiedener
Durchmesser und Längen.
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Konstruktiv :wesentlich schwieriger ist eine Linse für linear polarisierte
Wellen undBündelung in horizontaler und vertikaler Richtung herzustellen. Denn hierbei
bereiten die verschiedenen Weiten der Hohlleiter Schwierigkeiten. In Fig. 9 sind
zwei mögliche Ausführungsbeispiele schematisch dargestellt. In der oberen Hälfte
ist in Draufsicht in Achsenrichtung eine Linse gezeigt, bei der die. Veränderung
der Hohlleiterweite durch gekrümmte Bleche erzielt ist. iDie untere Hälfte der Fig.
9 zeigt dagegen eine Linse, .die aus im Abstand der maximalen Hohlleiterweite voneinander
angeordneten Blechen besteht und bei der die engeren Teile der Hohlleiter durch
Blecheinlagen oder Blechverstärkungen hergestellt sind. 'Die theoretisch. durch
die Blechverdickungen entstehende Stoßdämpfung heim Eintritt der Welle in die Linse
und bei ihrem Austritt aus der Linse ist verhältnismäßig bedeutungslos, weil die
Variation von n klein und der Wellenwiderstand 'in der Linse ohnehin 'höher ist
als der in Luft.