TOPOLOGÍA
Curso 2014/2015
Prof. Marta Macho Stadler
Facultad de Ciencia y Tecnologı́a-Zientzia eta Teknologia Fakultatea
Universidad del Paı́s Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea
2
Marta Macho Stadler
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencia y Tecnologı́a
Universidad del Paı́s Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea
Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa
e-mail: marta.macho@ehu.es
http://www.ehu.es/∼mtwmastm
Tlf: 946015352
Fax: 946012516
Portada: Escultura de la serie Garabatos en el aire
Mikel Varas, http://www.mikelvaras.com
“Qué clásico: dos curvas discutiendo por su circunferencia”
La vida que ya no pesa
En una inmediatez sin esfuerzo.
Sin compromiso
un conformismo sin contradicciones
un vacı́o que desentierra nombres propios.
El desahucio de una poesı́a
que mira cada vez más despacio.
“De cara a la pared”
Mikel Varas
Índice general
Introducción
0.1. ¿Qué es la topologı́a? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3. Organización de este documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Repaso de algunas nociones básicas
1.1. Nociones de Lógica . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Sı́mbolos y conectores . . . . . . .
1.1.2. Los objetos del razonamiento . . .
1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes
1.1.4. Los métodos de demostración . . .
1.2. Teorı́a de conjuntos . . . . . . . . . . . . .
1.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . .
1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . .
1.5. Propiedades de los números reales . . . . .
1.6. Cardinalidad de conjuntos . . . . . . . . .
1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Espacios topológicos
2.1. Topologı́a . . . . . . . . . . . .
2.2. Conjuntos abiertos y cerrados . .
2.3. Base y subbase de una topologı́a
2.4. Entornos y bases de entornos . .
2.5. Distancia. Espacios métricos . .
2.6. Bolas abiertas y cerradas . . . .
2.7. Problemas . . . . . . . . . . . .
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Índice general
3. Conjuntos en espacios topológicos
3.1. Interior de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Clausura de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Puntos de acumulación y puntos aislados. Conjunto derivado
3.4. Frontera de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Continuidad
4.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Homeomorfismos. Propiedades topológicas . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Sucesiones en espacios métricos: convergencia y continuidad secuencial
4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Construcción de espacios topológicos
5.1. Subespacios . . . . . . . . . . . . .
5.2. Aplicaciones combinadas . . . . . .
5.3. Embebimientos . . . . . . . . . . .
5.4. Topologı́a producto. Proyecciones .
5.5. Topologı́a cociente. Identificaciones
5.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . .
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6. Compacidad
6.1. Espacios y conjuntos compactos . . .
6.2. Productos de espacios compactos . . .
6.3. Compacidad secuencial . . . . . . . .
6.4. Compacidad en espacios de Hausdorff
6.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Conexión
7.1. Espacios y subconjuntos conexos .
7.2. Componentes conexas . . . . . .
7.3. Conexión por caminos . . . . . .
7.4. Componentes conexas por caminos
7.5. Problemas . . . . . . . . . . . . .
Bibliografia
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101
Introducción
LOS TRONCOS que contienen cuartetos de cuerda
llevan siglos esperando a alguien
que sepa pulsar las cuerdas desde el interior
de la corteza.
“Las flores de alcohol”
Sofı́a Rhei
0.1.
¿Qué es la topologı́a?
... Además de aquella parte de la geometrı́a que trata sobre cantidades y que se ha estudiado en todo tiempo con gran dedicación, el primero que mencionó la otra parte, hasta
entonces desconocida, fue G. Leibniz, el cual la llamó geometrı́a de la posición. Leibniz
determinó que esta parte se tenı́a que ocupar de la sola posición y de las propiedades
provenientes de la posición en todo lo cual no se ha de tener en cuenta las cantidades,
ni su cálculo... Por ello, cuando recientemente se mencionó cierto problema que parecı́a
realmente pertenecer a la geometrı́a, pero estaba dispuesto de tal manera que ni precisaba la determinación de cantidades ni admitı́a solución mediante el cálculo de ellas, no
dudé en referirlo a la geometrı́a de la posición...
L. Euler
En contraste con el álgebra, la geometrı́a y la teorı́a de los números, cuyas genealogı́as
datan de tiempos antiguos, la topologı́a aparece en el siglo XVII, con el nombre de analysis situs, es decir, análisis de la posición.
La topologı́a se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes, cuando son plegadas, dilatadas, contraı́das o deformadas, de modo que no aparezcan
nuevos puntos o se hagan coincidir puntos diferentes. Ası́, la transformación permitida
5
6
Introducción
presupone que hay una correspondencia biunı́voca entre los puntos de la figura original y
los de la transformada, y que la deformación hace corresponder puntos próximos a puntos
próximos. Esta última propiedad se llama continuidad, y lo que se requiere es que la
transformación y su inversa sean ambas continuas: trabajamos con homeomorfismos.
En topologı́a se trabaja con los mismos objetos que en geometrı́a, pero de modo distinto: las distancias o los ángulos no son importantes, ni siquiera la alineación de los puntos.
En topologı́a, un cı́rculo es equivalente a una elipse; una bola no se distingue de un cubo:
se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente equivalentes, porque se pasa de
una al otro mediante una transformación continua y reversible.
0.2.
Un poco de historia
En 1679, G. Leibniz (1646–1716) publica su famoso libro Characteristica Geometrica, en el que –en términos modernos– intenta estudiar más las propiedades topológicas
que las puramente métricas de las figuras. Insiste en que, aparte de la representación
coordenada de figuras, “se necesita de otro análisis, puramente geométrico o lineal, que
también defina la posición (situs), como el álgebra define la magnitud”.
Los matemáticos en el siglo XVIII muestran poco interés en la topologı́a, con la excepción de L. Euler (1707–1783) cuyo genio comprende todas las matemáticas. En 1736,
Euler publica un artı́culo con la solución al famoso Problema de los puentes de Königsberg, titulado “Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis”. El tı́tulo ya indica
que Euler es consciente de que está trabajando con una clase diferente de matemática, en
la que la geometrı́a ya no es importante.
El siguiente paso en esta liberación de la matemática también se debe a Euler. En
1750 escribe una carta a C. Goldbach (1690–1764) en la que da la famosa fórmula de
Euler para un poliedro: v − l + c = 2, donde v es en número de vértices, l es el número
de lados y c el número de caras del poliedro. Esta fórmula de asombrosa simplicidad,
parece que fue olvidada por Arquı́medes (287 AC–212 AC) y R. Descartes (1596–1650),
aunque los dos escribieron extensamente sobre poliedros: para los matemáticos anteriores
a Euler, parecı́a imposible pensar en propiedades geométricas sin que la medida estuviera
involucrada. Euler publica los detalles de esta fórmula en 1752 en dos artı́culos, donde
da una demostración basada en la disección de sólidos en rodajas tetraédricas. Euler
pasa por alto algunos problemas en su prueba; por ejemplo, supone que los sólidos son
convexos.
A.J. Lhuilier (1750–1840) continúa el camino iniciado por Euler con su fórmula poliédrica. En 1813, publica un importante trabajo, donde indica que la fórmula de Euler
es falsa para sólidos con asas: si un sólido tiene g asas –un asa es un toro adjuntado al
espacio–, Lhuilier prueba que la fórmula se transforma en v − l + c = 2 − 2g. Éste es el
primer resultado conocido sobre invariantes topológicos.
0.2. Un poco de historia
7
A.F. Möbius (1790–1868) publica una descripción de la banda que lleva su nombre en
1865. Intenta escribir la propiedad de unicidad de cara de la banda en términos de falta
de orientabilidad.
J.B. Listing (1802–1882) es el primero en usar la palabra topologı́a: sus ideas se deben
principalmente a su maestro C.F. Gauss (1777–1855). Listing escribe un artı́culo en 1847
titulado “Vorstudien zur Topologie”, y en 1861 publica otro artı́culo, en el que describe
la banda de Möbius –cuatro años antes que Möbius– y estudia la noción de conexión
de las superficies. Listing no es el primero en examinar las componentes conexas de las
superficies; B. Riemann (1822–1866) estudia este concepto en 1851 y de nuevo en 1857
cuando introduce las superficies de Riemann.
C. Jordan (1838–1922) publica en 1882 su “Cours d’Analyse”, que contiene pruebas rigurosas de resultados topológicos intuitivamente obvios sobre curvas en el plano,
introduciendo además otro método para estudiar la conexión de las superficies.
Listing examina la conexión en el espacio euclı́deo de dimensión tres, pero E. Betti
(1823–1892) extiende estas ideas a dimensiones arbitrarias.
E. de Jonquières (1820–1901) generaliza en 1890 la fórmula para poliedros convexos
de Euler a poliedros no necesariamente convexos.
La idea de conexión es descrita con rigor por H. Poincaré (1854–1925) en una serie
de artı́culos bajo el tı́tulo de “Analysis situs” en 1895. Poincaré introduce el concepto de
homologı́a y da una definición precisa de los números de Betti asociados a un espacio.
En relación con la conexión, Poincaré define el concepto de grupo fundamental de una
variedad y la noción de homotopı́a.
Un segundo camino en el que se desarrolla la topologı́a es a través de la generalización
de ideas de convergencia. Este proceso se inicia en realidad en 1817 cuando B. Bolzano
(1781–1848) asocia la convergencia con un subconjunto acotado infinito de números
reales, en vez de pensar exclusivamente en convergencia de sucesiones de números.
G. Cantor (1845–1918) introduce en 1872 el concepto de conjunto derivado –o familia
de puntos lı́mite– de un conjunto. Define los subconjuntos cerrados de la recta real como
aquellos conteniendo a su conjunto derivado e introduce la idea de conjunto abierto, un
concepto clave en la topologı́a de conjuntos. Y se define también la noción de entorno de
un punto.
En 1906, M. Fréchet (1878–1973) llama a un espacio compacto si cada subconjunto
infinito acotado de él contiene un punto de acumulación. Fréchet es capaz de extender la
noción de convergencia de un espacio euclı́deo, definiendo los espacios métricos. Prueba
que los conceptos de abierto y cerrado de Cantor se extienden naturalmente a espacios
métricos.
En el Congreso Internacional de Matemáticos de Roma de 1909, F. Riesz (1880–1956)
propone un nuevo acercamiento axiomático a la topologı́a, basado en una definición conjuntista de puntos lı́mite, sin un concepto de distancia subyacente. En 1914, F. Hausdorff
8
Introducción
(1868–1942) define los entornos a través de cuatro axiomas, de nuevo sin consideraciones
métricas. Este trabajo de Riesz y Hausdorff es el que da lugar a la definición de espacio
topológico abstracto.
Hay una tercera vı́a en la que los conceptos topológicos entran en las matemáticas: a
través del análisis funcional, un área que surge de la fı́sica matemática y la astronomı́a,
debido a que los métodos del análisis clásico eran inadecuados para abordar algunos tipos
de problemas.
J. Hadamard (1865–1963) introduce la palabra Z
funcional en 1903, cuando estudia los
b
funcionales lineales F de la forma F (f ) = lı́m
n→∞
f (x)gn (x)dx. Fréchet continúa el
a
desarrollo de esta teorı́a, definiendo la derivada de un funcional en 1904.
E. Schmidt (1876–1959) examina en 1907 la noción de convergencia en espacios de
funciones; la distancia se define a través un producto interior. S. Banach (1892–1945)
realiza un paso posterior en la abstracción en 1932, cuando pasa de los espacios con
producto interior a los espacios normados.
Poincaré desarrolla muchos de sus métodos topológicos cuando estudia ecuaciones
diferenciales ordinarias que provienen de ciertos problemas astronómicos. Esta colección
de métodos se transforma en una completa teorı́a topológica en 1912, con los estudios de
L.E.J. Brouwer (1881–1966).
En el artı́culo ¿Qué es la topologı́a? (revista Sigma 20, 63- 77, 2002), se amplı́a este
apartado con algunos ejemplos sorprendentes de espacios topológicos. Se puede descargar
en www.ehu.es/∼mtwmastm/sigma20.pdf.
0.3.
Organización de este documento
Este documento está organizado en siete capı́tulos, el primero de repaso de nociones
sobre teorı́a de conjuntos y los otros corresponden al temario del programa de la asignatura Topologı́a del curso 2014/2015.
Cada uno de los temas consta de definiciones, propiedades con algunas de las demostraciones más complicadas y una extensa colección de ejemplos. Al final de cada
capı́tulo aparece una relación de problemas, algunos de ellos elementales, otros ya más
elaborados, otros son una mera excusa para introducir algún ejemplo de espacio importante. En todos ellos se deben aplicar las propiedades estudiadas en la parte teórica; algunos de ellos servirán como trabajo escrito a entregar y otros como ejercicios para desarrollar en los seminarios.
Leioa, septiembre 2014
Repaso de algunas nociones básicas
Estoy empeñado
en palabras plurales.
En cuanto llegue,
te prometo dos,
redondas como dos cı́rculos.
Imposiblemente iguales.
“A palabrazos”
Mikel Varas
1.1.
Nociones de Lógica
La Lógica es una herramienta básica en Matemáticas; damos aquı́ un breve repaso de
algunos conceptos fundamentales.
1.1.1. Sı́mbolos y conectores
En matemáticas, es fundamental la utilización de sı́mbolos y conectores que sirven
para modificar o combinar sentencias.
Definición 1.1. Los siguientes sı́mbolos se llaman cuantificadores:
1) el cuantificador universal: ∀ (para todo);
2) el cuantificador existencial: ∃ (existe).
Definición 1.2. También es esencial el uso de los llamados conectores:
1) la negación: no;
2) la conjunción: ∧ (y);
1
2
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
3) la disyunción: ∨ (o);
4) la implicación: =⇒ (si –, entonces);
5) la doble implicación: ⇐⇒ (si y sólo si, es equivalente a).
El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si P
y Q son propiedades relativas a los elementos de un conjunto X (definición 1.11), para
expresar que x cumple P, se escribirá P(x). Y entonces:
Proposición 1.1. El enunciado P(x) ∨ Q(x), significa una de las tres posibilidades (mutuamente excluyentes) siguientes:
(i) P(x) y Q(x);
(ii) P(x) y no-Q(x);
(iii) no-P(x) y Q(x).
Proposición 1.2. Un enunciado se niega de la siguiente manera:
1) no-(∀x ∈ X, P(x)) es lo mismo que decir que (∃x ∈ X : no-P(x));
2) no-(∃x ∈ X : P(x)) equivale a (∀x ∈ X, no-P(x));
3) no(∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)) es lo mismo que (∃x ∈ X : no-P(x) o no-Q(x));
4) no-(∃x ∈ X : P(x) =⇒ Q(x)) es equivalente a (∀x ∈ X, P(x) 6=⇒ Q(x)).
Proposición 1.3. Cuando aparecen varios cuantificadores en un enunciado, es indiferente
el orden en el que se escriben, siempre que los cuantificadores involucrados sean del
mismo tipo. Si P(x, y) es una propiedad relativa a los elementos x e y, entonces:
1) (∀x, ∀y, P(x, y)) es lo mismo que decir que (∀y, ∀x, P(x, y));
2) (∃x, ∃y : P(x, y)) es equivalente a (∃y, ∃x : P(x, y)) .
Contraejemplo 1.1. Hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuantificadores
de distinto tipo. Por ejemplo, el enunciado (∀x, ∃y : P(x, y)) no equivale a la expresión
(∃y : ∀x, P(x, y)). En efecto, si X = N y P(x, y) es la propiedad “x ≤ y”, la primera
expresión se lee como que todo número natural posee otro mayor (que es cierta) y la
segunda significa que existe un número natural mayor que todos los demás (que es falsa).
Proposición 1.4. El cuantificador existencial y el conector disyunción se pueden intercambiar en la escritura de un enunciado, ası́ como el cuantificador universal y el conector
conjunción:
1) (∀x, P(x)) y (∀y, Q(y)) es lo mismo que (∀x, y, P(x) ∧ Q(y));
2) (∃x : P(x)) o (∃y : Q(y)) es equivalente a (∃x, y : P(x) ∨ Q(y)).
1.1. Nociones de Lógica
3
Contraejemplo 1.2. En general, no se pueden intercambiar cuantificadores y conectores
en la escritura de un enunciado:
1) la expresión (∀x, P(x) ∨ Q(x)) no equivale a (∀x, P(x)) ∨ (∀x : Q(x)). En efecto,
si X = N, P y Q son las propiedades de “ser par” y “ser impar” respectivamente,
entonces la primera expresión se lee como que un número natural es par o impar
(que es verdadera) y la segunda dice que todo número natural es par o todo número
natural es impar (que es falsa);
2) la expresión (∃x : P(x)) ∧ (∃x : Q(x)) no equivale a (∃x : P(x) ∧ Q(x)). En efecto,
tomando de nuevo el ejemplo de 1), la primera expresión se lee como que existe un
número natural par y existe un número natural impar (que es cierta), y la segunda
significa que existe un número natural a la vez par e impar (que es falsa).
1.1.2. Los objetos del razonamiento
Definir una teorı́a matemática es establecer las reglas del juego sobre los objetos manipulados, los denominados axiomas.
Definición 1.3. Un axioma es todo enunciado que:
1) sirve de fundamento para la construcción de una teorı́a;
2) se admite como cierto y no es por lo tanto objeto de discusión.
Cuando un único axioma no basta para definir una teorı́a, se pide además:
3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unos
de los otros.
Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes:
1) axioma de Euclides, que es la base de la Geometrı́a Euclı́dea: dos rectas paralelas del
plano euclı́deo no se cortan;
2) axioma de elección: dado un conjunto X, existe una función (definición 1.18) de
elección, f : P(X) − {∅} −→ X (definición 1.14), que asigna a todo conjunto A no
vacı́o, un punto distinguido f (A) = a ∈ A;
3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) (definición 1.31), tal que
todo conjunto bien ordenado (definición 1.33) admite una cota superior (definición
1.34); entonces (X, ≤) posee un elemento maximal (definición 1.32);
4) axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado.
4
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
Observación 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma.
Definición 1.4. Una definición es un enunciado que sirve para explicar o introducir una
nueva noción.
Una vez conocidos los axiomas y algunas definiciones, el juego puede comenzar,
puesto que las reglas ya se conocen.
Definición 1.5. Un teorema es un enunciado que se deduce:
1) directamente de los axiomas o
2) de los axiomas y los teoremas precedentes, y
con las reglas de deducción que se llaman demostraciones, que aseguran su validez.
Definición 1.6. A veces, se da únicamente el nombre de teorema a los verdaderamente
importantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan una
demostración muy larga, dejando el nombre de proposición al resto.
Definición 1.7. Un lema es una proposición preliminar a la demostración de un teorema.
Definición 1.8. Un corolario es una proposición que se deduce inmediatamente de un
teorema, por una demostración si no inmediata, cuando menos corta y fácil.
1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes
Definición 1.9. (La implicación) Sean X un conjunto y P y Q dos propiedades matemáticas definiendo los conjuntos A = {x ∈ X : P(x)} y B = {x ∈ X : Q(x)}
respectivamente. Si A ⊂ B (definición 1.12), todo elemento verificando P, cumple también Q. En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P =⇒ Q. Se dice también
que P es una condición suficiente de Q (para obtener Q basta con conocer P) o que Q es
una condición necesaria de P.
Definición 1.10. (La equivalencia) En las condiciones de la definición 1.9, si A = B
(definición 1.12), todo elemento verificando P cumple también Q y viceversa. En este
caso, se dice que P es equivalente a Q, y se escribe P ⇐⇒ Q. Como A = B es idéntico
a A ⊂ B y B ⊂ A, la equivalencia P ⇐⇒ Q significa las dos implicaciones P =⇒ Q
y Q =⇒ P. Es decir, las dos propiedades equivalentes P y Q caracterizan el mismo
conjunto. Observar que en tal caso P es una condición necesaria y suficiente de Q.
1.1. Nociones de Lógica
5
1.1.4. Los métodos de demostración
Hay muchos métodos de demostración, de los cuales citamos los más importantes a
continuación, usando la notación de la definición 1.9:
(i) Método de la hipótesis auxiliar: para probar que P =⇒ Q, se supone P cierta.
Esta forma de razonamiento, la más directa, es también la más conocida. De manera
práctica consiste en demostrar el teorema P =⇒ Q, donde P es la hipótesis y Q la
conclusión o tesis, suponiendo que se verifica P (la hipótesis es cierta) y ayudándose de
los axiomas y de los otros teoremas de la teorı́a demostrados anteriormente.
(ii) Disjunción de los casos: para probar que P =⇒ Q, se descompone P en la
forma P1 ∨ · · · ∨ Pn , y se prueba que para cada i ∈ {1, . . . , n}, es Pi =⇒ Q.
Es decir, se descompone el conjunto A de los elementos que cumplen P en una unión
disjunta (definición 1.13) de subconjuntos A1 , · · · , An . Entonces, se prueba que para cada
1 ≤ i ≤ n es Ai ⊂ B; y como A = A1 ∪ · · · ∪ An , se tendrá A ⊂ B.
Ejemplo 1.1. Probar que si n ∈ N, entonces n(n + 1) es par.
Demostración: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k ∈ N, tal que n = 2k,
y entonces n(n + 1) = 2k(2k + 1). Si n es impar, existe k ∈ N, tal que n = 2k + 1, y
entonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par.
(iii) Método de contraposición: para probar que P =⇒ Q, se demuestra el contrarecı́proco no-Q =⇒ no-P.
Es un primer método de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusión
A ⊂ B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (definición 1.13) verifican la inclusión B c ⊂ Ac .
Ejemplo 1.2. Probar que si n ∈ N es tal que n2 es par, entonces n es par.
Demostración: Si n ∈ N es impar, entonces n2 es impar.
(iv) Demostración por reducción al absurdo: para probar un enunciado P, se
supone su negación no-P, y se busca una contradicción en la teorı́a en la que se trabaja.
Como evidentemente se admite que esta teorı́a no admite contradicciones, la suposición no-P será falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. ¿A qué contradicción
se debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la propia
suposición no-P.
6
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
De modo similar, para probar que P =⇒ Q razonando por reducción al absurdo, se
admite lo contrario, es decir, que no-(P =⇒ Q), o lo que es equivalente, P y no-Q. Y se
busca entonces encontrar una contradicción.
(v) El contraejemplo: para probar que un propiedad matemática P es cierta para un
conjunto X, hay que probar que todos los elementos de X la verifican. Pero, se sabe que
la negación de (∀x ∈ X, P(x)) es (∃x ∈ X, no-P(x)). Ası́, para probar que esta fórmula
es falsa, basta con encontrar un elemento de X que no verifique P: esto es lo que se llama
dar un contraejemplo.
Ejemplo 1.3. Si x ∈ R, ¿es cierto que si x ≤ x2 , entonces es x ≥ 1?
Demostración: La respuesta es falsa, tomando x = −2.
(vi) La demostración por recurrencia: este tipo de demostración está ligada a la
definición del conjunto de los enteros naturales. Es una técnica útil para probar que una
propiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturales n, o para los que son iguales
o superiores a un cierto n0 . Sean n0 un entero natural y P(n) una propiedad matemática
que depende de un entero n. Para probar que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta
con probar que:
1) P(n0 ) es cierta,
2) demostrar, bajo la hipótesis de que P(n) se verifica para n ∈ {n0 , n0 + 1, . . . , k}, que
P(k + 1) es cierta.
La etapa 1) es una simple verificación y la 2) es, de hecho, el objeto de una demostración.
Ejemplo 1.4. Probar que para cada n ∈ N, 1 + · · · + n = n(n+1)
.
2
1(1+1)
Demostración: Para n = 1, es cierto que 1 = 2 . Si la propiedad se verifica para
n ∈ {1, . . . , k}, entonces: 1+2+· · ·+k+(k+1)=(1+2+· · ·+k)+(k+1)= k(k+1)
+(k+1)=
2
(k+2)(k+1)
.
2
Observación 1.2. Hay una forma débil de la demostración por recurrencia: para probar
que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta con probar que:
1) P(n0 ) es cierta,
2) demostrar, bajo la hipótesis de que P(k) se verifica para k > n0 , que P(k + 1) es
cierta.
En este caso, para probar que P(k + 1) se verifica, nos apoyamos sólo sobre la hipótesis
de que P(k) es cierta.
1.2. Teorı́a de conjuntos
1.2.
7
Teorı́a de conjuntos
Definición 1.11. Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos o puntos.
Si x es un elemento de X, se denota por x ∈ X. Análogamente, x ∈
/ X denota la “no
pertenencia” de x a X. El conjunto vacı́o ∅ es el conjunto sin elementos.
Son conjuntos importantes en matemáticas N, Z, Q, R, · · · .
Se puede definir un conjunto:
1) por extensión, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los números
naturales pares es {2, 4, 6, 8, · · · };
2) a través de una propiedad P válida en un universo U, que servirá para caracterizarlo
{x ∈ U : P(x)}. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales pares se puede
expresar por {x ∈ N : x es múltiplo de 2}.
Definición 1.12. Dados A, B ⊂ X, se dice que A está contenido en B, A ⊂ B, si para
cada x ∈ A, es x ∈ B. Y A es igual a B, A = B, si A ⊂ B y B ⊂ A.
Definición 1.13. Si A, B ⊂ X, se definen:
1) la intersección de A y B, por A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Claramente,
A ∩ B ⊂ A, B. A y B se dicen disjuntos si A ∩ B = ∅;
2) la unión de A y B, por A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Es decir x ∈ A ∪ B, si
se verifica una (y sólo una) de las condiciones siguientes:
(i) x ∈ A y x ∈ B,
(ii) x ∈ A y x 6∈ B,
(iii) x 6∈ A y x ∈ B.
Claramente, A, B ⊂ A ∪ B;
3) el complementario de A en X, por X − A = {x ∈ X : x 6∈ A}. Si no hay duda de
respecto a que conjunto se está tomando el complementario, se denota Ac ;
4) la diferencia de A y B, por A − B = A ∩ B c = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x 6∈ B}.
Proposición 1.5. Las anteriores operaciones verifican las siguientes propiedades:
1) leyes idempotentes: A ∩ A = A = A ∪ A;
2) leyes asociativas: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) y (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3) leyes conmutativas: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A;
4) leyes distributivas: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) y A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
8
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
5) identidades: A ∩ X = A = A ∪ ∅, A ∪ X = X y A ∩ ∅ = ∅;
6) propiedades del complementario: A ∪ Ac = X, A ∩ Ac = ∅, (Ac )c = A y X c = ∅;
7) leyes de De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c y (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Definición 1.14. Se llama partes de X o conjunto potencia de X al conjunto de todos los
subconjuntos de X, y se denota por P(X) o 2X . Es decir, A ⊂ X si y sólo si A ∈ P(X).
Definición 1.15. A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} es el producto cartesiano de A por
B. Sus elementos son pares ordenados.
Claramente, A × B 6= B × A. Y A × B = ∅, si y sólo si A = ∅ ó B = ∅. Dos pares
ordenados (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B, son iguales (a1 , b1 ) = (a2 , b2 ) si y sólo si a1 = a2 y
b1 = b2 . Luego, (a1 , b1 ) 6= (a2 , b2 ) si y sólo si a1 6= a2 o b1 6= b2 .
En general, dada una familia finita de conjuntos {A1 , · · · , An }, se define su producto
n
Y
cartesiano por
Ai = A1 × · · · × An = {(a1 , · · · , an ) : ai ∈ Ai , i ∈ {1, · · · , n}}. Si
i=1
Ai = A para cada i ∈ {1, · · · , n}, el producto cartesiano se denota por An .
Proposición 1.6. El producto cartesiano verifica las siguientes propiedades:
1) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C);
2) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C);
3) si C 6= ∅ y A × C = B × C, entonces A = B;
4) A × (B − C) = (A × B) − (A × C);
5) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D);
6) (A × B)c = (Ac × B c ) ∪ (Ac × B) ∪ (A × B c );
7) si B ⊂ C, entonces A × B ⊂ A × C;
8) (A × B) ∩ (C × D) = (A × D) ∩ (C × B);
9) si A, B, C y D son conjuntos no vacı́os, entonces A × B ⊂ C × D si y sólo si A ⊂ C
y B ⊂ D.
Definición 1.16. Sea I 6= ∅ un conjunto de ı́ndices. Se considera una familia de conjuntos
{Ai : i ∈ I}, y se dice que esta familia está indicada por I. Los conjuntos Ai no tienen
porque ser diferentes.
Definición 1.17. Dada una familia indicada {Ai : i ∈ I}, con Ai ⊂ X, se define:
\
1) la intersección generalizada Ai = {x ∈ X : ∀i ∈ I, x ∈ Ai }, y
2) la unión generalizada
[
i∈I
i∈I
Ai = {x ∈ X : ∃i ∈ I tal que x ∈ Ai }.
1.3. Funciones y sus propiedades
9
Si el conjunto de ı́ndices I es finito, estas definiciones coinciden con las dadas en la
definición 1.13. Se cumplen
también en este!caso las propiedades distributivas, las leyes
!c
c
[
\
\
[
c
Ai = Aci , etc.
Ai = Ai y
de De Morgan
i∈I
1.3.
i∈I
i∈I
i∈I
Funciones y sus propiedades
Definición 1.18. Dados dos conjuntos X e Y , una aplicación o función f : X −→ Y , es
una correspondencia que asocia a cada x ∈ X, un elemento y sólo uno de Y , que se
denota por f (x).
Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de aplicaciones son:
1) la aplicación identidad, 1X : X −→ X, definida por 1X (x) = x;
2) la aplicación inclusión: si A ⊂ X, iA : A −→ X, se define por iA (x) = x;
3) la aplicación constante, cy0 : X −→ Y , definida por cy0 (x) = y0 , donde y0 es un punto
fijo de Y ;
4) la i-ésima proyección coordenada, pi : A1 × · · · × An −→ Ai , definida por la igualdad
pi ((a1 , · · · , an )) = ai ;
5) la inyección diagonal, d : X −→ X n , definida por d(x) = (x, · · · , x);
6) la función caracterı́stica de un conjunto: si A ⊂ X, χA : X −→ {0, 1}, definida por
0 si x 6∈ A
χA (x) =
1 si x ∈ A
7) dada f : X −→ Y y A ⊂ X, la restricción de f a A, f |A : A −→ Y , está definida por
f |A (a) = f (a);
8) si g : A −→ Y y A ⊂ X, entonces f : X −→ Y es una extensión de g a X, si f |A = g;
una aplicación puede tener varias extensiones;
9) si f : A −→ Y y g : B −→ Y son dos aplicaciones, donde A ∪ B = X y f (x) = g(x),
para cada x ∈ A ∩ B, se puede definir la combinada de f y g, como la aplicación
h : X −→ Y definida por
f (x) si x ∈ A
h(x) =
g(x) si x ∈ B
10
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
Definición 1.19. Dada una aplicación f : X −→ Y , X se llama el dominio de f e Y es su
codominio. El grafo de f es el conjunto Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y , que en
muchas ocasiones se identifica con f .
Definición 1.20. Dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Z −→ W son iguales, cuando coinciden sus dominios (X = Z), sus codominios (Y = W ) y f (x) = g(x), para cada x ∈ X.
Por ejemplo, si f : X −→ Y es una aplicación y A ⊂ X, f y f |A no son iguales.
Definición 1.21. Dada f : X −→ Y , f (A) = {y ∈ Y : ∃a ∈ A tal que f (a) = y} es la
imagen directa de A. f (X) se llama rango de la aplicación.
Definición 1.22. Si B ⊂ Y , f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} es su imagen recı́proca.
Proposición 1.7. Dada f : X −→ Y , se verifica:
1) f (∅) = ∅, f (X) ⊂ Y y si A 6= ∅, entonces f (A) 6= ∅;
2) si A1 , A2 ⊂ X, y A1 ⊂ A2 , entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 );
!
!
[
\
[
\
3) Si Ai ⊂ X para i ∈ I, f
Ai = f (Ai ) y f
Ai ⊂ f (Ai );
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
4) si A1 , A2 ⊂ X, f (A1 ) − f (A2 ) ⊂ f (A1 − A2 ) y en particular f (X) − f (A2 ) ⊂
f (X − A2 ). Entre Y − f (A2 ) y f (X − A2 ) no hay en general ninguna relación;
5) f −1 (∅) = ∅, y puede existir ∅ =
6 B ⊂ Y , tal que f −1 (B) = ∅;
6) f −1 (Y ) = X;
7) si B1 , B2 ⊂ Y y B1 ⊂ B2 , entonces f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 );
!
!
\
\
[
[
Bi = f −1 (Bi );
8) si Bi ⊂ Y para i ∈ I, f −1
Bi = f −1 (Bi ) y f −1
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
9) Si B1 , B2 ⊂ Y , f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f −1 (B2 ), y en particular, f −1 (Y − B2 ) =
X − f −1 (B2 );
10) si A ⊂ X, A ⊂ f −1 (f (A));
11) si B ⊂ Y , f (f −1 (B)) = f (X) ∩ B ⊂ B;
12) si A ⊂ X y B ⊂ Y , f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B.
Definición 1.23. Dadas f : X −→ Y y g : Y −→ Z, se define la composición de g y f , por
g ◦ f : X −→ Z, donde (g ◦ f )(x) = g(f (x)), para cada x ∈ X.
Proposición 1.8. Sean f : X −→ Y , g : Y −→ Z y h : Z −→ W aplicaciones, entonces:
1) la composición de funciones es asociativa: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ;
1.3. Funciones y sus propiedades
2) f ◦ 1X = f y 1Y ◦ f = f ;
11
3) si C ⊂ Z, es (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C));
4) si f : X −→ Y y g : Y −→ X, en general, f ◦ g 6= g ◦ f .
Definición 1.24. Se dice que f : X −→ Y es sobreyectiva, si f (X) = Y , es decir, para
cada y ∈ Y , existe x ∈ X, tal que f (x) = y. Y es inyectiva, si dados x1 6= x2 en X, es
f (x1 ) 6= f (x2 ) (o equivalentemente, si f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 = x2 ).
Proposición 1.9. Sea f : X −→ Y , entonces:
1) B = f (f −1 (B)) para cada B ⊂ Y , si y sólo si f es sobreyectiva;
2) Y − f (A) ⊂ f (X − A) para cada A ⊂ X si y sólo si f es sobreyectiva;
3) si g, h : Y −→ Z y f es sobreyectiva, entonces g ◦ f = h ◦ f implica que h = g;
4) si g : Y −→ X y f ◦ g = 1Y , entonces f es sobreyectiva;
5) A = f −1 (f (A)) para cada A ⊂ X, si y sólo si f es inyectiva;
!
\
\
Ai = f (Ai ) para cada familia indicada de conjuntos {Ai ⊂ X}i∈I si y
6) f
i∈I
i∈I
sólo si f es inyectiva;
7) si f es sobreyectiva, entonces para cada A ⊂ X es Y − f (A) = f (X − A) si y sólo
si f es inyectiva;
8) si g, h : Z −→ X y f es inyectiva, entonces f ◦ g = f ◦ h implica que h = g;
9) si g : Y −→ X y g ◦ f = 1X , entonces f es inyectiva.
Definición 1.25. f : X −→ Y es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En tal
caso, la correspondencia definida por f −1 : Y −→ X, donde f −1 (y) = x si y sólo si
f (x) = y, es una función.
Proposición 1.10. Sea f : X −→ Y , entonces:
1) si f es biyectiva, entonces f −1 también lo es;
2) si f es biyectiva, entonces f −1 ◦ f = 1X , f ◦ f −1 = 1Y y (f −1 )−1 = f ;
3) si g : Y −→ X y g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y , entonces f es biyectiva y g = f −1 ;
4) si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son biyectivas, entonces g ◦ f lo es y además (g ◦ f )−1 =
f −1 ◦ g −1 .
12
1.4.
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
Relaciones binarias
Definición 1.26. Dado un conjunto X, una relación binaria es R ⊂ X × X. R se llama:
1) reflexiva, si para cada x ∈ X, es (x, x) ∈ R;
2) simétrica, si dado (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R;
3) antisimétrica, si (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R implica que x = y;
4) transitiva, si dados (x, y), (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R.
Definición 1.27. Una relación de equivalencia es una relación binaria reflexiva, simétrica
y transitiva. Se suele denotar por xRy en vez de (x, y) ∈ R.
Definición 1.28. Dada R una relación de equivalencia, se llama clase de x al conjunto
[x] = {y ∈ X : xRy}. El conjunto cociente X/R, es el conjunto de todas las clases de
equivalencia.
Proposición 1.11. Algunas propiedades son:
1) x ∈ [x] (x se llama representante de su clase), luego [x] 6= ∅;
2) xRy si y sólo si [x] = [y];
3) [x] 6= [y] si y sólo si [x] ∩ [y] = ∅.
Definición 1.29. Una partición de X es una familia P = {Pi : i ∈ I} de subconjuntos
no vacı́os de X, tales que:
[
(i) X = Pi , y
(ii) si Pi 6= Pj , entonces Pi ∩ Pj = ∅.
i∈I
Lema 1.12. Es equivalente dar una partición de X que una relación de equivalencia
sobre él.
Definición 1.30. Existe una aplicación canónica, p : X −→ X/R, que asigna a cada elemento x su clase de equivalencia p(x) = [x]. Se llama aplicación cociente y es sobreyectiva. Una vez dada la aplicación cociente, cada clase de equivalencia en X es precisamente
p−1 (p(x)).
Definición 1.31. Una relación ≤ sobre X es un orden parcial si es una relación reflexiva,
antisimétrica y transitiva. Se dice también que X está parcialmente ordenado. El orden
se llama total, si dos elementos cualesquiera de X son comparables por esta relación.
Definición 1.32. Si X está parcialmente ordenado por ≤, entonces:
(i) a ∈ X se llama elemento máximo de X, si para cada x ∈ X, es x ≤ a;
1.5. Propiedades de los números reales
13
(ii) a ∈ X es un elemento maximal de X, si a 6≤ x para cada x 6= a;
(iii) a ∈ X se llama elemento mı́nimo de X, si para cada x ∈ X, es x ≥ a;
(iv) a ∈ X es un elemento minimal de X, si x 6≤ a para cada x 6= a.
Ejemplo 1.5. Si X = {a, b, c} con el orden parcial a ≤ b y a ≤ c, entonces b es un
elemento maximal de X, pero no un máximo.
Definición 1.33. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo A ⊂ X no vacı́o
posee un elemento mı́nimo, se llama conjunto bien ordenado. Por ejemplo, (Z, ≤) no
está bien ordenado.
1.5.
Propiedades de los números reales
(R, ≤) es un conjunto totalmente ordenado, donde ≤ denota el orden usual en R.
Definición 1.34. Si A ⊂ R, se tiene:
1) si u ∈ R es tal que a ≤ u para cada a ∈ A, se dice que u es una cota superior de A;
2) la menor de las cotas superiores de A (es decir, u es cota superior de A y para cada z
cota superior de A es z ≥ u) es el supremo de A, y se denota sup(A);
3) si l ∈ R es tal que a ≥ l para cada a ∈ A, se dice que l es una cota inferior de A;
4) la mayor de las cotas inferiores de A (es decir, l es cota inferior de A y para cada z
cota inferior de A es z ≤ l) es el ı́nfimo de A, y se denota ı́nf(A).
Teorema 1.13. (Axioma de la cota superior) Si A ⊂ R está acotado superiormente (es
decir, existe M ∈ R, tal que M ≥ a, para cada a ∈ A), existe el supremo de A. Y en tal
caso, s = sup(A) si y sólo si:
(i) para cada a ∈ A, es a ≤ s, y
(ii) para todo ε > 0, existe aε ∈ A tal que aε > s − ε.
Del axioma anterior, se deduce que:
Corolario 1.14. Si A ⊂ R está acotado inferiormente (es decir, existe m ∈ R, tal que
m ≤ a, para cada a ∈ A), existe el ı́nfimo de A. Y entonces, i = ı́nf(A) si y sólo si:
(i) para cada a ∈ A, es a ≥ i, y
(ii) para todo ε > 0, existe aε ∈ A tal que aε < i + ε.
14
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
Teorema 1.15. R es arquimediano, es decir, el conjunto N no está acotado superiormente.
Demostración: Si lo estuviera, existirı́a r0 ∈ R, tal que n ≤ r0 para cada n ∈ N. Pero
n0 = [r0 ] + 1 ∈ N, y n0 6≤ r0 .
Del teorema 1.15 se deducen inmediatamente:
Corolario 1.16. (Propiedad arquimediana) Para todo x > 0, existe n ∈ N, tal que
0 < n1 < x.
Corolario 1.17. (Densidad de los racionales) Dados dos números reales x < y, existe
r ∈ Q, tal que x < r < y.
Demostración: Por la propiedad arquimediana (corolario 1.16), existe n0 ∈ N tal que
1
< y − x. El conjunto M = {m ∈ N : x < nm0 } es no vacı́o y está bien ordenado,
n0
0
es decir, existe m0 ∈ M tal que x < m
y x ≥ mn0 −1
. Es inmediato probar que además
n0
0
m0
< y.
n0
Corolario 1.18. (Propiedad de los intervalos de encaje) Dada {[an , bn ] : n ∈ N}, una
familia de\
intervalos cerrados y encajados (es decir, si n ≤ m, es [am , bm ] ⊂ [an , bn ]),
entonces
[an , bn ] 6= ∅.
n∈N
Demostración: Para cada m, n ∈ N, es an < bm , luego para todo m\∈ N, bm es cota
superior del conjunto A = {an }n∈N . Si p = sup(A), es claro que p ∈
[an , bn ].
n∈N
1.6.
Cardinalidad de conjuntos
Definición 1.35. Dos conjuntos se llaman equipotentes, si existe una correspondencia
biyectiva entre ellos.
Definición 1.36. X se dice finito si existe n ∈ N, tal que X es equipotente a {1, · · · , n}.
X es infinito, si no es finito, lo cual equivale a decir que es equipotente a un subconjunto
propio de sı́ mismo. X es numerable si es equipotente a N y es contable si es finito o
numerable.
Observación 1.3. Dos conjuntos finitos son equipotentes si y sólo si poseen el mismo
número de elementos. No sucede lo mismo si X es infinito: N es equipotente al conjunto
P de los números pares, y sin embargo P ⊂ N.
Lema 1.19. La relación de equipotencia es una relación de equivalencia.
1.6. Cardinalidad de conjuntos
15
Definición 1.37. A cada clase de equipotencia se le puede asignar un número cardinal,
que es un objeto matemático ω tal que existe un conjunto X con Card(X) = ω.
Definición 1.38. Un conjunto A es de potencia menor o igual que B, si existe una aplicación f : A −→ B inyectiva, con lo cual Card(A) ≤ Card(B) (equivalentemente, si
existe una aplicación f : B −→ A sobreyectiva).
Definición 1.39. Dados dos números cardinales ω1 y ω2 , se dice que ω1 ≤ ω2 , si existen
conjuntos X e Y con Card(X) = ω1 y Card(Y ) = ω2 y tales que la potencia de X es
menor o igual a la potencia de Y . Se trata de una relación de orden. Si ω1 ≤ ω2 y ω1 6= ω2 ,
se dice que ω1 es estrictamente menor que ω2 .
Proposición 1.20. Se verifican las siguientes propiedades:
1) si X es contable y A ⊂ X, entonces A es contable;
2) si X no es contable y X ⊂ Y , entonces Y no es contable;
3) si X es infinito, existe A ⊂ X, numerable y propio.
Teorema 1.21. N × N es numerable.
Demostración: Se define la siguiente relación binaria: dados (m1 , n1 ), (m2 , n2 ) ∈ N × N,
(m1 , n1 ) ≺ (m2 , n2 ) si:
1) m1 + n1 < m2 + n2 , o
2) m1 + n1 = m2 + n2 y m1 < m2 .
es un orden total, gracias al cual se pueden escribir los elementos de N × N en una lista.
La aplicación f : N × N −→ N dada por f (m, n) = 12 (m + n − 1)(m + n − 2) + m, asigna
a cada elemento (m, n) ∈ N × N el lugar que ocupa en esta lista, y es por lo tanto una
biyección.
Corolario 1.22. Del teorema 1.21 se deduce:
1) el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos contables, es contable;
2) la unión de una familia contable de conjuntos contables es contable;
3) Z y Q son numerables.
Demostración: Para probar 3), basta con usar 2). Z = N ∪ {0} ∪ −N. Además,
Q =
[
m
{ n : m ∈ Z, n ∈ N} se puede escribir como la unión numerable Q =
An , donde
An = { m
: m ∈ Z}, que es equipotente a Z.
n
n∈N
16
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
Contraejemplo 1.3. R no es numerable.
Demostración: Basta con demostrar que [0, 1] no es numerable. Si lo fuera, se escribirı́a
[0, 1] = {xn }n∈N . Se construye una sucesiónde intervalos
1 2 encajados
2 del modo siguiente:
1
x1 no puede pertenecer a los tres intervalos 0, 3 , 3 , 3 y 3 , 1 . Sea I1 = [a1 , b1 ] uno
intervalos,
tal que
x1 6∈ I1 . Se divide I1 en tres intervalos de amplitud 91 :
de estos tres
a1 , a1 + 13 , a1 + 13 , a1 + 32 y a1 + 13 , b1 . De nuevo, existe uno de ellos I2 ⊂ I1 , tal
que x2 6∈ I2 . Se continúa de manera inductiva, obteniendo una sucesión de intervalos
encajados {In }n∈N , cada In de longitud 31n y tal que xn 6∈ In . Por la propiedad de los
\
intervalos de encaje (corolario 1.18), existe p ∈
In ⊂ [0, 1], lo que es imposible.
n∈N
El Card(∅) = 0, es el cardinal mı́nimo. Sin embargo no existe un cardinal máximo:
Teorema 1.23. (de Cantor) Para cada conjunto X, Card(X) < Card(P(X)).
Demostración: Si X = ∅, Card(P(X)) = 1, pues P(X) = {∅}. Si X 6= ∅, es obvio que Card(X) ≤ Card(P(X)), porque la aplicación h : X −→ P(X) definida por
h(x) = {x} es inyectiva. Supongamos que Card(X) = Card(P(X)), es decir, existe
una aplicación f : X −→ P(X) biyectiva. Sea A = {x ∈ X : x 6∈ f (x)} ∈ P(X). Como f es sobreyectiva, existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) = A. Si x0 ∈ A, esto significarı́a
que x0 6∈ f (x0 ) = A, lo cual es imposible. Luego, es x0 6∈ A, lo cual significa que
x0 ∈ f (x0 ) = A, imposible de nuevo.
En particular, Card(N) = ℵ0 < Card(P(N)) = 2ℵ0 (notación que proviene de
la propiedad descrita en el ejercicio 9 del apartado 1.7). Puede probarse que 2ℵ0 =
Card(R) = c, que se llama el cardinal del continuo. De aquı́ se concluye que ℵ0 < c.
Desde principios de siglo, se ha intentado en vano establecer si existe un número
cardinal ℵ1 , entre ℵ0 y c. Georg Cantor (1845-1918) hace la siguiente conjetura:
Teorema 1.24. (Hipótesis del continuo) c = ℵ1 , es decir, no existe ningún conjunto A,
tal que ℵ0 < Card(A) < c.
Paul Joseph Cohen (1934-2007) establece en 1963 que la hipótesis del continuo es indecidible: añadiendo como axioma su veracidad o su falsedad, los fundamentos de la
Matemática siguen siendo coherentes.
1.7.
Ejercicios
1.- Con ayuda del lenguaje simbólico, decidir si son correctas las siguientes deducciones:
a) Los gusanos reptan. Todo lo que repta se mancha. Luego, los gusanos están sucios.
1.7. Ejercicios
17
b) Si aumenta la temperatura o cae un meteorito, los osos polares morirán de hambre. Se
sabe que los osos polares van a sobrevivir, por lo tanto, caerá pronto un meteorito.
c) Ninguna pelota de tenis es de cristal. Ningún objeto de cristal es indestructible. Luego,
ninguna pelota de tenis es indestructible.
d) Si se abandona la utilización de gasolina o se incrementa el uso de energı́a solar,
la contaminación disminuirá. Si se abandona el uso de gasolina, el paı́s entrará en
crisis. La utilización de la energı́a solar no aumentará, a no ser que no haya crisis.
Por lo tanto, la contaminación no va a disminuir.
e) Los profesores son sádicos. Algunos sádicos usan látigo. Por lo tanto, algunos profesores usan látigo.
f) Los caramelos son dulces. Ningún alimento dulce contiene sal. Luego, los caramelos
no contienen sal.
g) Los pájaros silban. Algunos habitantes de Euskadi son pájaros. Luego, algunas criaturas de Euskadi silban.
h) Si no trabajo duro, me dormiré. Si estoy preocupado, no dormiré. Por lo tanto, si estoy
preocupado, trabajaré duro.
i) Las nubes son esponjosas. Algunos objetos esponjosos son rosas. Luego, algunas
nubes son rosas.
j) Los osos polares tocan el violı́n. Los violinistas no vuelan. Por lo tanto, los osos
polares no vuelan.
k) Las tortugas ven CSI-Las Vegas. Algunas criaturas de Gálapagos son tortugas. Por lo
tanto, algunos habitantes de Galápagos ven CSI-Las Vegas.
l) Las polillas salen de noche. Algunos caminantes nocturnos son vampı́ros. Por lo tanto,
las polillas son vampı́ros.
m) Si Thor se enfada, hay tormentas. Está comenzando una tormenta. Por lo tanto, Thor
está enfadado.
n) Si en Marte hubiera grandes cantidades de agua, podrı́a haber vida. No hay grandes
extensiones de agua en Marte. Por lo tanto, no hay vida en Marte.
ñ) Los buenos polı́ticos son honestos. Juan es honesto. Juan serı́a un buen polı́tico.
o) Algunas personas no beben café. Los matemáticos son humanos. Por lo tanto, algunos
matemáticos no beben café.
18
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
p) Ningún elefante sabe tricotar. Yo no sé tricotar. Luego, soy un elefante.
q) Algunos poetas son nerviosos. Hay gente nerviosa que se come las uñas. Luego,
algunos poetas se comen las uñas.
r) Si hago estos ejercicios, aprenderé lógica. Ya he terminado de hacerlos... ¡Sé lógica!
2.- Negar los siguientes enunciados:
a) Los polı́ticos son gordos y feos.
b) Hay un matemático que sabe sumar.
c) Algunas personas de Sevilla tienen paraguas.
d) El Athletic de Bilbao ganará la Liga de fútbol.
e) Nadie en Euskadi habla swahili.
f) Al menos dos faraones egipcios eran ciegos.
g) Como mucho, la mitad de los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, son pares.
h) A veces, llueve en El Sahara.
i) Siempre hace frı́o en Groenlandia.
j) Ni Alejandro Magno, ni Julio César eran pelirrojos.
k) x ∈ A o x ∈ B.
m) x ∈ A, pero x 6∈ B.
l) x ∈ A y x ∈ B.
n) A ⊂ B.
ñ) para cada i ∈ I, es x ∈ Ai .
o) existe i ∈ I, tal que x ∈ Ai .
3.- Sea X el conjunto de los estudiantes de la Facultad de Ciencia y Tecnologı́a de la
UPV/EHU, H el conjunto de los hombres, M el de la mujeres, C el de los estudiantes que
van en coche a la Universidad, A el de los estudiantes que van en autobús a la Universidad,
E el de los estudiantes de Matemáticas y F el de los estudiantes de Fı́sicas. Describir los
siguientes conjuntos: X − H, X − M , X − C, X − A, X − E, X − F , H ∩ C, H ∩ A,
H ∩ E, H ∩ F , M ∩ C, M ∩ A, M ∩ E, M ∩ F , C ∩ A, C ∩ E, C ∩ F , A ∩ E, A ∩ F ,
E ∩ F , M ∪ H, H − M , H − C, H − A, H − E, H − F , H − M , M − H, M − C,
M − A, M − E, M − F , C − A, C − E, C − F , A − C, A − M , A − H, A − E, A − F ,
E − H, E − M , E − C, E − A y E − F .
4.- Cuatro compañeros han faltado a la clase de Matemáticas en el Instituto. Delante del
Jefe de Estudios y en presencia de su profesor, se defienden del modo siguiente:
Pedro: “No he faltado.”
Elena: “Lo admito, he faltado, pero estaba con Juan.”
1.7. Ejercicios
19
Juan: “Yo también he faltado; pero no estaba con Elena, sino con Pedro.”
Marı́a: “Yo estaba en clase, pero no he visto a Pedro.”
El profesor: “Estaba concentrado en mis cosas, pero he visto a Pedro en clase.”
¿Puedes ayudar al Jefe de Estudios, sabiendo que sólo tres de estas sentencias son ciertas?
5.- Traducir las siguientes frases del lenguaje natural en un lenguaje simbólico utilizando
una o varias propiedades P. Negar cada enunciado y traducirlo al lenguaje natural:
a) No hay amor feliz.
c) Ser o no ser.
b) Una puerta está abierta o cerrada.
d) Las verdades son fáciles de decir.
e) Prefiero la poesı́a a la novela histórica.
6.- Probar la siguiente propiedad: Si x ∈ R y para cada ε > 0, es |x| < ε, entonces x = 0.
7.- Dado el conjunto A = {a, b}, ¿son válidas las siguientes expresiones?
(i) a ∈ A; (ii) {a} ∈ A; (iii) ∅ ∈ A; (iv) {a} ∈ P(A); (v) ∅ ∈ P(A).
8.- Sean A, B y C tres conjuntos finitos, de cardinales a, b y c, respectivamente. Sea
p = Card(A ∩ B), q = Card(B ∩ C), r = Card(A ∩ C) y s = Card(A ∩ B ∩ C).
Calcular el cardinal de A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C y A ∪ B ∪ C.
9.- Se pide:
a) calcular P(X), si X = {1, 2}, X = {∅} y X = {1, 2, 3, 4};
b) probar que si Card(X) = n, entonces Card(P(X)) = 2n ;
c) probar que si A ⊂ B, entonces P(A) ⊂ P(B). ¿Es cierto el recı́proco?
10.- Si A, B ⊂ X, probar que son equivalentes las siguientes expresiones:
(i) A ⊂ B;
(ii) A ∩ B = A;
(iv) B c ⊂ Ac ;
(v) A ∩ B c = ∅;
(iii) A ∪ B = B;
(vi) B ∪ Ac = X.
11.- Probar las propiedades siguientes para conjuntos, dando un contraejemplo en el caso
de inclusión estricta:
!
!
[
\
[
\
Bi =
Bi =
a) A ∪
(A ∪ Bi ); b) A ∩
(A ∩ Bi );
i∈I
c) A ∪
\
i∈I
i∈I
i∈I
Bi
!
=
\
i∈I
(A ∪ Bi );
d)
\
i∈I
Ai ∩
\
j∈J
i∈I
Bj =
\
(i,j)∈I×J
(Ai ∩ Bj );
20
e)
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
\
Ai
i∈I
g)
\
!
Ai
i∈I
i)
[
Ai
i∈I
j)
\
Ai
i∈I
k)
\
!
!
Ai
i∈I
l)
[
Ai
i∈I
m)
\
!
!
!
Ai
i∈I
\
Bj
∪
\
Bi
×
[
Bj
\
Bj
×
\
Bi
−
[
Bj
∪
×
!
−
j∈J
i∈I
!
j∈J
j∈J
i∈I
j∈J
\
!
j∈J
(i,j)∈I×J
⊂
!
=
!
=
!
=
!
=
Bj
\
=
\
i∈I
(Ai ∪ Bi );
(Ai × Bj );
\
(Ai × Bj );
(i,j)∈I×J
\
i∈I
f)
\
(i,j)∈I 2
[
i∈I
(Ai ∪ Bj ) ⊂
(Ai ∩ Bi ) ⊂
[
(i,j)∈I 2
\
i∈I
(Ai ∪ Bi );
(Ai ∩ Bj );
(Ai × Bi );
[\
i∈I j∈J
=
h)
[
(i,j)∈I×J
!
(Ai ∪ Bj );
(Ai − Bj );
\[
i∈I j∈J
(Ai − Bj ).
12.- Para cada uno de los siguientes conjuntos de ı́ndices I y cada familia dada de conjuntos indicados por I, hallar los conjuntos pedidos:
[
a) si I = R2 y para cada p ∈ I, Sp = {p}, hallar Sp ;
p∈I
b) si I = (0, ∞) y para cada x ∈ I, Cx = [0, x], hallar
[
x∈I
Cx y
\
Cx ;
x∈I
[
c) si I = 21 , 1 y para cada r ∈ I, Br es el cı́rculo de radio r y centro (0, 0), hallar Br
r∈I
\
y Br ;
r∈I
d) si I = (0,[1) y para
\cada r ∈ I, Nr es el interior del cı́rculo de radio r y centro (0, 0),
hallar Nr y Nr ;
r∈I
r∈I
1.7. Ejercicios
21
e) si I = [1, 2] y para cada x ∈ I, Ax = [ x2 , 3x
], hallar
2
1
f) si I = N y para cada n ∈ I, An = − n1 , n , hallar
g) si I = N y para cada n ∈ I, Bn = ( n1 , 1], hallar
[
x∈I
[
An y
Bn y
n∈I
[
\
Ax ;
x∈I
n∈I
[
h) si I = N y para cada n ∈ I, Cn = (−n, n), hallar
Ax y
\
An ;
n∈I
\
Bn ;
n∈I
Cn y
n∈I
\
Cn .
n∈I
13.- Dados A, B ⊂ X, probar:
a) χA∩B = χA .χB ;
b) χA∪B = χA + χB − χA∩B ;
c) χA−B = χA − χA∩B ;
d) χAc = 1 − χA .
14.- Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones. Probar:
a) si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f también lo es, pero el recı́proco no es cierto;
b) si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g también lo es, pero el recı́proco no es cierto;
c) si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva;
d) si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f también lo es, pero el recı́proco no es cierto;
e) si g ◦ f es inyectiva, entonces f también lo es, pero el recı́proco no es cierto;
f) si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva.
15.- Sea f : X −→ Y ; probar:
a) si existe g : Y −→ X, tal que g ◦ f = 1X , entonces f es inyectiva;
b) si existe h : Y −→ X, tal que f ◦ h = 1Y , entonces f es sobreyectiva;
c) f es biyectiva si y sólo si existen g, h : Y −→ X, tales que g ◦ f = 1X , f ◦ h = 1Y y
en tal caso h = f −1 = g.
16.- Sean dos conjuntos X1 , X2 y para cada i ∈ {1, 2}, Ai ⊂ Xi . Sea pi : X1 × X2 −→ Xi
la i-ésima proyección coordenada. Probar las siguientes propiedades:
−1
−1
−1
a) A1 × X2 = p−1
1 (A1 ), X1 × A2 = p2 (A2 ) y A1 × A2 = p1 (A1 ) ∩ p2 (A2 );
b) si A ⊂ X1 × X2 , entonces A ⊂ p1 (A) × p2 (A);
22
Capı́tulo 1. Repaso de algunas nociones básicas
c) pi (A1 × A2 ) = Ai (i ∈ {1, 2}).
17.- Sean f, g : R −→ R, dadas por:
2
x si x ≥ 0
f (x) =
2 si x < 0
g(x) =
y
Se pide:
√
x si x ≥ 0
x si x < 0
a) estudiar las funciones f ◦ g, f ◦ f , g ◦ g, g ◦ f , si tienen sentido;
b) estudiar el carácter sobreyectivo e inyectivo de f , g, f ◦ g y g ◦ f ;
c) calcular f (−5, 5], g(−5, 5], f −1 (−5, 5] y g −1 (−5, 5].
18.- Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior para las funciones: f : Z2 −→ Z y g : Z −→ Z2
dadas por: f (x, y) = x2 + y y g(x) = (x, −2x).
19.- Sea f : R −→ R, dada por:
f (x) =
Se pide:
2 si x < 0
1 si 0 ≤ x ≤ 2
x − 1 si x > 2
a) estudiar si f es inyectiva o sobreyectiva;
b) calcular f ((1, 3)), f ([−2, 2]), f −1 ((0, 1)), f −1 ([−4, 4]);
c) si g : R −→ R es la aplicación g(x) = |x|, determinar f ◦g y calcular (f ◦g)−1 ((−2, 5]).
20.- Probar que la aplicación f : R − {2} −→ R − {1}, definida por: f (x) =
biyectiva y calcular f −1 .
21.- Calcular f (Ai ) y f −1 (Bi ) (i ∈ {1, 2}), para f : R −→ R, donde:
a) f (x) = x2 , A1 = (0, 2), B1 = (0, 4) y B2 = (−1, 0);
b) f (x) = x4 , A1 = (0, 2), A2 = ∅, B1 = (0, 16] y B2 = (−1, 0];
c) f (x) =
1
x
(para x > 0), A1 = N, B1 = {x ∈ R : x > 2} y B2 = N;
d) f (x) = x3 − 3x, A1 = [0, ∞), B1 = (0, 2) y B2 = {2}.
22.- Dados x, y ∈ R, utilizando el carácter arquimediano de R, probar:
a) si x > 0 e y > 0, existe n ∈ N, tal que nx > y;
b) si x > 0, existe n ∈ N, tal que 0 <
1
n
< x;
c) si x > 0, existe n ∈ N, tal que n − 1 ≤ x < n.
x+2
x−2
es
Espacios topológicos
pólenes
la música de la fórmula del volumen de la esfera,
el pálpito zigzagueante de las conjunciones,
el movimiento browniano de los signos del zodiaco vegetal
del luna quark
.
“Bestiario microscópico”
Sofı́a Rhei
2.1.
Topologı́a
La noción de topologı́a generaliza algunas de las propiedades que poseen los intervalos abiertos en la recta real, que de hecho son independientes de otras presentes en R
como la suma, el orden o la distancia.
Definición 2.1. Una topologı́a sobre un conjunto X es una familia τ ⊂ P(X) verificando:
(i) ∅, X ∈ τ ,
(ii) si A, B ∈ τ , entonces A ∩ B ∈ τ ,
[
(iii) si {Ai }i∈I ⊂ τ , entonces Ai ∈ τ .
i∈I
Los elementos de τ se llaman abiertos y el par (X, τ ) es un espacio topológico.
Ejemplos 2.1. Se introducen algunos ejemplos fundamentales:
1) sobre X, τind = {∅, X} es la topologı́a indiscreta;
2) sobre X, τdis = P(X) es la topologı́a discreta;
23
24
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
3) si X es infinito, τcof = {∅} ∪ {A ⊂ X : X − A es finito} es la topologı́a cofinita;
4) si X es infinito no contable, τcoc = {∅} ∪ {A ⊂ X : X − A es contable} es la
topologı́a cocontable;
5) si X = {a, b}, τsier = {∅, X, {a}} es la topologı́a de Sierpinski;
6) si X y A ⊂ X, τA = {∅} ∪ {B ⊂ X : A ⊂ B} es la topologı́a A-inclusión (observar
que τ∅ = τdis y τX = τind );
7) si X y A ⊂ X, τ A = {X} ∪ {B ⊂ X : A ∩ B = ∅} es la topologı́a A-exclusión
(observar que τ ∅ = τdis y τ X = τind );
8) τkol = {∅, R} ∪ {(a, ∞) : a ∈ R} es la topologı́a de Kolmogorov sobre R, y el par
(R, τkol ) es la recta de Kolmogorov;
9) τsca = {U ⊂ R : U = A∪B : A ∈ τu , B ⊂ I} es la topologı́a “scattered”(esparcida)
sobre R, y el par (R, τsca ) es la recta “scattered”;
10) los espacios métricos son espacios topológicos (ver el apartado 2.5), por ejemplo la
recta real (R, τu ).
Observación 2.1. Sobre un mismo conjunto se pueden definir distintas topologı́as, como
se ha visto en los ejemplos 2.1.
Definición 2.2. Dadas τ1 y τ2 dos topologı́as sobre X, se dice que τ1 es menos fina que τ2
(o que τ2 es más fina que τ1 ), si τ1 ⊂ τ2 . Si τ1 ⊂ τ2 o τ2 ⊂ τ1 , se dice que las topologı́as
son comparables.
Ejemplos 2.2. Algunos ejemplos de topologı́as comparables son:
1) para cada X y toda topologı́a τ sobre él, es τind ⊂ τ ⊂ τdis ;
2) sobre R, es τcof ⊂ τu y τcof ⊂ τcoc ; pero τcoc y τu no son comparables;
3) sobre R, τkol ⊂ τu ⊂ τsca .
2.2.
Conjuntos abiertos y cerrados
Definición 2.3. En (X, τ ), un conjunto A ⊂ X se dice cerrado, si su complementario
X − A ∈ τ . Denotamos por C a la familia de cerrados en (X, τ ).
El concepto de conjunto cerrado es ası́ dual –no contrario– de la noción de conjunto abierto, y una topologı́a puede especificarse a través de la familia de sus conjuntos
cerrados C, tomando complementarios.
2.3. Base y subbase de una topologı́a
25
Lema 2.1. En (X, τ ), la familia de cerrados C verifica:
(i) ∅, X ∈ C,
(ii) si F, G ∈ C, entonces F ∪ G ∈ C,
\
(iii) si {Fi }i∈I ⊂ C, entonces Fi ∈ C.
i∈I
Demostración: Basta con pasar al complementario y usar la definición 2.1.
Ejemplos 2.3. En los ejemplos anteriores de topologı́as, tenemos
1) en (X, τind ), es Cind = {∅, X};
2) en (X, τdis ), es Cdis = P(X);
3) si X es infinito, Ccof = {∅} ∪ {A ⊂ X : A es finito};
4) si X es infinito no contable, Ccoc = {∅} ∪ {A ⊂ X : A es contable};
5) si X = {a, b}, Csier = {∅, X, {b}};
6) si X y A ⊂ X, CA = τ A ;
7) si X y A ⊂ X, C A = τA ;
8) Ckol = {∅, R} ∪ {(−∞, a] : a ∈ R};
9) Csca = {U ⊂ R : B = F ∩ H : F ∈ Cus , Q ⊂ H}.
Observación 2.2. La propiedad de ser abierto o cerrado es independiente la una de la otra.
Un conjunto puede ser simultáneamente abierto y cerrado, abierto y no cerrado, cerrado
y no abierto o ninguna de las dos propiedades.
2.3.
Base y subbase de una topologı́a
Hay topologı́as que poseen demasiados abiertos y a veces es difı́cil especificarlos
todos. Por ello, se introduce el siguiente concepto:
Definición 2.4. En (X, τ ), una familia β ⊂ τ es una base de τ , si para todo U ∈ τ y para
cada x ∈ U , existe B ∈ β, tal que x ∈ B ⊂ U . Los elementos de β se llaman abiertos
básicos.
Lema 2.2. Si β es base de τ , todo abierto puede escribirse como unión de abiertos
básicos.
26
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
Demostración
: Para U ∈ τ y x ∈ U , existe Bx ∈ β, tal que x ∈ Bx ⊂ U . Claramente, es
[
U=
Bx .
x∈U
Teorema 2.3. Si β ⊂ P(X), β es base de alguna topologı́a τβ sobre X, si y sólo si:
[
(i) X =
B, y
B∈β
(ii) para cada B1 , B2 ∈ β y cada x ∈ B1 ∩ B2 , existe B3 ∈ β tal que x ∈ B3 ⊂ B1 ∩ B2 .
[
Y, en tal caso, τβ = {U ⊂ X : existe {Bi }i∈I ⊂ β : U = Bi }.
i∈I
Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de bases de topologı́a son:
1) una topologı́a es obviamente base de sı́ misma;
2) sobre X, βind = {X} es base de la topologı́a indiscreta;
3) sobre X, βdis = {{x} : x ∈ X} es base de la topologı́a discreta. Además, β =
{[a, b] : a, b ∈ R} es base de la topologı́a discreta sobre R;
4) si A ⊂ X, βA = {A ∪ {x} : x ∈ X} es base de la topologı́a A-inclusión τA ;
5) si A ⊂ X, β A = {{x} : x ∈ X − A} ∪ {X} es base de la topologı́a A-exclusión τ A ;
6) β1 = {(a, b) : a, b ∈ R}, β2 = {(a, b) : a, b ∈ Q} y β3 = {(a, b) : a, b ∈ I} son bases
de la topologı́a usual sobre R;
7) βsor = {[a, b) : a < b, a, b ∈ R} es base para una topologı́a sobre R, llamada
topologı́a de Sorgenfrey; el par (R, τsor ) se llama recta de Sorgenfrey.
! Observar que
!
[
[
[c, a) ∪
[b, d) ,
[a, b) ∈ Csor , ya que R − [a, b) = (−∞, a) ∪ [b, +∞) =
c<a
d>b
es decir, es unión de abiertos básicos.
Como se ha visto en los ejemplos 2.4, una topologı́a puede generarse a través de
diferentes bases. Esto sugiere la siguiente definición:
Definición 2.5. Dadas β1 y β2 dos bases para las topologı́as τ1 y τ2 sobre X, se dice que
β1 es más fina que β2 (β1 β2 ), si τ2 ⊂ τ1 . Y son bases equivalentes si τ2 = τ1 .
Observación 2.3. Si β1 y β2 son bases equivalentes, no tienen porque coincidir. Por ejemplo, β1 = {(a, b) : a, b ∈ Q} y β2 = {(a, b) : a, b ∈ I} son bases de la topologı́a usual
sobre R, pero no son iguales.
2.4. Entornos y bases de entornos
27
Se pueden comparar topologı́as conociendo sólo sus bases. Intuitivamente, cuanto más
pequeños sean los elementos de la base, mayores serán las topologı́as inducidas:
Teorema 2.4. Sean β1 y β2 bases para las topologı́as τ1 y τ2 sobre X, respectivamente.
Entonces, τ2 ⊂ τ1 (β1 β2 ) si y sólo si para cada B2 ∈ β2 y cada x ∈ B2 , existe
B1 ∈ β1 , tal que x ∈ B1 ⊂ B2 .
Corolario 2.5. Sean β1 y β2 bases para las topologı́as τ1 y τ2 sobre X, respectivamente.
Entonces, τ2 = τ1 si y sólo si:
(i) para cada B2 ∈ β2 y cada x2 ∈ B2 , existe B1 ∈ β1 , tal que x2 ∈ B1 ⊂ B2 , y
(ii) para cada B1 ∈ β1 y cada x1 ∈ B1 , existe B2 ∈ β2 , tal que x1 ∈ B2 ⊂ B1 .
Ejemplos 2.5. Aplicando este criterio, se comprueba que:
(i) τu ⊂ τsor ya que para cada (a, b) ∈ βu y cada x ∈ (a, b), existe [x, b) ∈ βsor tal que
x ∈ [x, b) ⊂ (a, b); y
(ii) τsor 6⊂ τu , pues para a ∈ [a, b) ∈ βsor , no existe B ∈ βu tal que a ∈ B ⊂ [a, b).
A veces, también es útil disponer de la noción de subbase:
Definición 2.6. Una familia σ ⊂ P(X) es una subbase para alguna topologı́a sobre X, si
la familia de las intersecciones finitas de elementos de σ es una base para una topologı́a
sobre X.
[
Lema 2.6. Si σ ⊂ P(X) verifica que X =
S, entonces es subbase para alguna
S∈σ
topologı́a sobre X.
Ejemplos 2.6. Algunos ejemplos de subbases son:
1) σ = {(−∞, a), (b, ∞) : a, b ∈ R} es subbase para τu sobre R;
2) σ = {(−∞, a], [b, ∞) : a, b ∈ R} es subbase para τdis sobre R;
3) toda topologı́a es subbase de sı́ misma.
2.4.
Entornos y bases de entornos
Los entornos constituyen la manera más natural de describir las topologı́as. Esta herramienta indica que sucede cerca de cada punto x, es decir, estamos dando una descripción
local alrededor de x.
28
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
Definición 2.7. N ⊂ X es un entorno del punto x en (X, τ ) si existe un abierto U ∈ τ ,
verificando x ∈ U ⊂ N . En esta definición, puede cambiarse el abierto por un abierto
básico. La familia Nx de todos los entornos de x se llama sistema de entornos de x.
Teorema 2.7. El sistema de entornos de x en (X, τ ) verifica las siguientes propiedades:
(N1) para cada N ∈ Nx , es x ∈ N ;
(N2) si N1 , N2 ∈ Nx , entonces N1 ∩ N2 ∈ Nx ;
(N3) si N ∈ Nx y N ⊂ M , entonces M ∈ Nx ;
(N4) para cada N ∈ Nx , existe M ∈ Nx , tal que N ∈ Ny para cada y ∈ M ; y además
(N5) U ∈ τ si y sólo si U ∈ Nx para cada x ∈ U .
Y recı́procamente, si a cada x ∈ X se le asigna una familia no vacı́a de subconjuntos Mx ,
verificando (N1) a (N4), y se usa (N5) para definir el concepto de “conjunto abierto”, se
obtiene una topologı́a τ sobre X, para la que Mx = Nx en cada punto.
Demostración: Sólo vamos a comprobar la igualdad Mx = Nx en la segunda parte del
teorema, el resto de la prueba es sencillo. Si N ∈ Nx , existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N .
Pero U ∈ Mx , luego N ∈ Mx por (N3). Con esto, queda demostrado que Nx ⊂ Mx .
Recı́procamente, para M ∈ Mx se define U = {y ∈ M : M ∈ My }, que es no vacı́o,
pues x ∈ U ⊂ M . Si demostramos que U ∈ τ , será entonces M ∈ Nx . Sea y ∈ U , es
decir, M ∈ My . Por (N4), existe Uy ∈ My tal que para cada z ∈ Uy es M ∈ Mz . Por lo
tanto, Uy ⊂ U y de (N2) se deduce que U ∈ My . Como esto sucede para cada y ∈ U , se
concluye que U ∈ τ .
Ejemplos 2.7. Para los ejemplos ya vistos, tenemos:
1) en (X, τind ), para todo x ∈ X, es Nxind = {X};
2) en (X, τdis ), para cada x ∈ X, es Nxdis = {N ⊂ X : x ∈ N };
3) en (X, τcof ), para todo x ∈ X, es Nxcof = {U ∈ τcof : x ∈ U };
4) en (X, τcoc ), para cada x ∈ X, es Nxcoc = {U ∈ τcoc : x ∈ U };
5) en (X = {a, b}, τsier ), Nasier = {X, {a}} y Nbsier = {X};
6) en (X, τA ), para todo x ∈ X, es NxτA = {N ⊂ X : {x} ∪ A ⊂ N };
A
7) en (X, τ A ), si x ∈ A es Nxτ = {X} y si x 6∈ A es Nx = {N ⊂ X : x ∈ N };
2.4. Entornos y bases de entornos
29
8) en (R, τsca ), es Nxsca = Nxu si x ∈ Q y Nxsca = {N ⊂ R : x ∈ N } si x ∈ I.
No son necesarios todos los superconjuntos de los entornos de un punto para obtener
una buena descripción del sistema de entornos. Bastará con una familia más pequeña:
Definición 2.8. Una base de entornos o base local de x en (X, τ ) es una familia Bx ⊂ Nx
tal que, para cada N ∈ Nx , existe B ∈ Bx tal que B ⊂ N . En cuanto se ha elegido una
base de entornos de un punto (no hay una manera única de hacerlo), sus elementos se
llaman entornos básicos. La familia {Bx }x∈X se llama sistema fundamental de entornos.
Ejemplos 2.8. Para los ejemplos ya estudiados, tenemos:
1) en (X, τind ), para todo x ∈ X, se elige Bxind = {X};
2) en (X, τdis ), para cada x ∈ X, se escoge Bxdis = {{x}};
3) en (X = {a, b}, τsier ), se toma Basier = {{a}} y Bbsier = {X};
4) en (X, τA ), para todo x ∈ X, se elige BxτA = {{x} ∪ A};
A
A
5) en (X, τ A ), Bxτ = {X} si x ∈ A y Bxτ = {{x}} si x 6∈ A;
6) en (R, τu ), se elige Bxu = {(x − ε, x + ε) : ε > 0};
7) en (R, τsor ), se toma Bxsor = {[x, x + ε) : ε > 0};
8) en (R, τkol ), se elige Bxkol = {(x − ε, ∞) : ε > 0};
9) en (R, τsca ), se toma Bxsca = Bxu si x ∈ Q y Bxsca = {{x}} si x ∈ I;
10) Nx es una base local en x en (X, τ );
11) τcof y τcoc no tienen bases de entornos destacadas.
Teorema 2.8. Sea (X, τ ) y {Bx }x∈X un sistema fundamental de entornos. Se verifica:
(B1) para cada B ∈ Bx , es x ∈ B;
(B2) si B1 , B2 ∈ Bx , existe B3 ∈ Bx tal que B3 ⊂ B1 ∩ B2 ;
(B3) para cada B ∈ Bx , existe B0 ∈ Bx , tal que para cada y ∈ B0 , existe By ∈ By tal
que By ⊂ B; y además
(B4) U ∈ τ si y sólo si para cada x ∈ U , existe B ∈ Bx , tal que B ⊂ U .
30
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
Y recı́procamente, si a cada x ∈ X se le asigna una familia no vacı́a Dx de subconjuntos
de X, verificando (B1) a (B3), y se usa (B4) para definir el concepto de “conjunto abierto”, se obtiene una topologı́a τ sobre X, para la que {Dx }x∈X es un sistema fundamental
de entornos en x.
Una forma natural de construir bases locales es la siguiente:
Lema 2.9. En (X, τ ), la familia de los entornos abiertos de un punto, Bx = Nx ∩ τ , es
una base local en x.
Proposición 2.10. (Criterio de Hausdorff) Sean τ1 y τ2 topologı́as sobre X y {Bx1 }x∈X ,
{Bx2 }x∈X sistemas fundamentales de entornos asociados. Entonces, τ1 ⊂ τ2 si y sólo si
para cada x ∈ X y cada B1 ∈ Bx1 , existe B2 ∈ Bx2 tal que B2 ⊂ B1 . En las mismas
condiciones, τ1 ⊂ τ2 si y sólo si para cada x ∈ X, es Nx1 ⊂ Nx2 .
Lema 2.11. Sea (X, τ ) y β ⊂ τ . Entonces, β es base de τ si y sólo si, para cada x ∈ X,
la familia Bx = {B ∈ β : x ∈ B} es una base local en x.
2.5.
Distancia. Espacios métricos
En el plano o el espacio sabemos perfectamente lo que es la distancia entre dos puntos.
El problema, siendo X un conjunto abstracto, es definir lo que se entiende por distancia
entre dos de sus elementos cuya naturaleza especı́fica desconocemos. Para abstraer el
concepto de distancia, hay que captar lo esencial de dicha noción, lo que da lugar a la
siguiente definición:
Definición 2.9. Dado un conjunto X 6= ∅, una métrica o distancia sobre X es una función
d : X × X −→ R, verificando:
(i) positividad: para cada x, y ∈ X, es d(x, y) ≥ 0,
(ii) propiedad idéntica: dados x, y ∈ X, d(x, y) = 0 si y sólo si x = y,
(iii) simetrı́a: para cada x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x),
(iv) desigualdad triangular: para cada x, y, z ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
La expresión d(x, y) se lee como distancia de x a y, y el par (X, d) se denomina
espacio métrico.
Observación 2.4. En la definición 2.9, si se debilita la condición (ii) reemplazándola por
(ii)* para cada x ∈ X, d(x, x) = 0,
2.6. Bolas abiertas y cerradas
31
estamos contemplando la posibilidad de que existan x 6= y en X con d(x, y) = 0. Entonces d recibe el nombre de pseudométrica.
Sobre un mismo conjunto pueden definirse distintas métricas, que dan lugar a diferentes espacios métricos.
Ejemplos 2.9. Los primeros ejemplos de espacios métricos son:
1) (X, ddis ) donde ddis es la métrica discreta sobre X:
0 si x = y
ddis (x, y) =
1 si x 6= y
2) el par (R, du ), donde du (x, y) = |x − y|, se llama la recta real y du es la distancia
usual o euclı́dea;
3) sean (X1 , d1 ), ..., (Xn , dn ) una familia finita de espacios métricos. Sean X = X1 ×
· · · × Xn y x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ X. Podemos definir tres distancias
sobre X:
a) dmáx : X × X −→ R definida por dmáx (x, y) = máx{di (xi , yi ) : 1 ≤ i ≤ n};
n
X
b) dsum : X × X −→ R definida por dsum (x, y) =
di (xi , yi );
c) du : X × X −→ R definida por du (x, y) =
s
i=1
n
X
d2i (xi , yi ), es la distancia eu-
i=1
clı́dea. La única propiedad de métrica no trivial para du es la desigualdad
triangular, que en este caso recibe el nombre de desigualdad de Minkowski
(ver el ejercicio 29 en el apartado 2.7).
2.6.
Bolas abiertas y cerradas
Definición 2.10. Sea (X, d) y r > 0. Se llama:
1) bola abierta de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r};
2) bola cerrada de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r};
3) esfera de centro x y radio r, al conjunto S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}.
Ejemplos 2.10. Damos algunos ejemplos de bolas en algunos espacios métricos:
32
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
(i) en (X, ddis ), B(x, 1) = {x}, B(x, 2) = X, B(x, 1) = X, B(x, 12 ) = {x}, S(x, 1) =
X − {x} y S(x, 2) = ∅;
(ii) en (R, du ), B(x, r) = (x−r, x+r), B(x, r) = [x−r, x+r] y S(x, r) = {x−r, x+r};
(iii) en (Rn , dmáx ), la bola B(x, r) = (x1 − r, x1 + r) × · · · × (xn − r, xn + r) es el cubo
de dimensión n, centrado en x y arista 2r;
(iv) en (Rn , dsum ), la bola B(x, r) es el cubo de dimensión n centrado en x, de arista 2r
y girado 45 grados;
(v) en (Rn , du ), B(x, r) es la bola abierta de dimensión n, centrada en x y de radio r.
Proposición 2.12. En un espacio métrico (X, d), se cumplen las siguientes propiedades:
(i) para cada x ∈ X y r > 0, es B(x, r) 6= ∅ =
6 B(x, r); pero S(x, r) puede ser vacı́a;
(ii) si 0 < r ≤ s, es B(x, r) ⊂ B(x, s), B(x, r) ⊂ B(x, s), B(x, r) ⊂ B(x, s) (si r < s)
y S(x, r) ∩ S(x, s) = ∅ si s 6= r;
(iii) B(x, r) ∪ S(x, r) = B(x, r) y B(x, r) ∩ S(x, r) = ∅;
(iv) si r1 , . . . , rn > 0, B(x, r1 ) ∩ · · · ∩ B(x, rn ) = B(x, r) y B(x, r1 ) ∩ · · · ∩ B(x, rn ) =
B(x, r), donde r = mı́n{r1 , . . . , rn }.
Observación 2.5.La intersección
\ arbitraria
de bolas no tiene porque serlo; por ejemplo,
\
1
1 1
en (R, du ),
B 0,
=
= {0}, que no es una bola.
− ,
n
n n
n∈N
n∈N
Teorema 2.13. (Propiedad de Hausdorff) En un espacio métrico (X, d), dos puntos distintos se pueden separar por bolas abiertas disjuntas.
Demostración: Sean x 6= y. Entonces d(x, y) = r > 0. Las bolas B(x, 2r ) y B(y, 2r ) son
obviamente disjuntas.
Teorema 2.14. En (X, d), la familia de sus bolas abiertas {B(x, r) : x ∈ X, r > 0} es
base para una topologı́a sobre X, τd , que se dice inducida por la métrica d.
Demostración: Hay que comprobar las condiciones del teorema 2.3:
[
(i) X =
B(x, 1), y
x∈X
2.7. Problemas
33
(ii) dadas B(x1 , r1 ) y B(x2 , r2 ) con x1 , x2 ∈ X y r1 , r2 > 0, si x ∈ B(x1 , r1 )∩B(x2 , r2 ),
es B(x, r) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ B(x2 , r2 ), donde r = mı́n{r1 − d(x, x1 ), r2 − d(x, x2 )}.
Definición 2.11. Un espacio topológico (X, τ ) es metrizable si existe una métrica d sobre
X, tal que τ = τd .
Observación 2.6. (i) Distintas métricas en X pueden generar la misma topologı́a. En
este caso, se dice que las métricas son topológicamente equivalentes;
(ii) (X, τind ) no es metrizable;
(iii) si (X, k.k) es un espacio vectorial normado, queda definida una métrica dk.k sobre
X por dados x, y ∈ X, dk.k (x, y) = kx − yk.
Ejemplos 2.11. Sobre Rn pueden definirse tres métricas inducidas por la usual sobre la
recta (ver los ejemplos 2.9). Si x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ):
a) dmáx : Rn × Rn −→ R definida por dmáx (x, y) = máx{|xi − yi | : 1 ≤ i ≤ n};
b) dsum : R × R −→ R dada por dsum (x, y) =
n
n
n
X
i=1
|xi − yi |;
c) la distancia euclı́dea du : Rn × Rn −→ R definida por du (x, y) =
par (Rn , du ) se llama espacio euclı́deo de dimensión n.
dsum (x, y),
2.7.
du (x, y),
s n
X
i=1
|xi − yi |2 . El
y dos ejemplos de dmáx (x, y)
Problemas
1.- Sea {τi }i∈I una familia de topologı́as sobre X. Se pide probar:
[
(i) τi es subbase para una topologı́a, sup(τi ), la menor que es más fina que cada τi ;
i∈I
34
(ii)
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
\
τi es una topologı́a sobre X, ı́nf(τi ), la mayor que es menos fina que cada τi ;
i∈I
(iii) si X = {a, b, c}, τ1 = {∅, X, {a}, {a, b}} y τ2 = {∅, X, {a}, {b, c}}, encontrar
sup{τ1 , τ2 } e ı́nf{τ1 , τ2 }.
2.- Una base de cerrados F en (X, τ ) es una familia de cerrados, tal que todo cerrado en
(X, τ ) se puede escribir como la intersección de de elementos de F. Se pide probar:
(i) F es base de cerrados en (X, τ ) si y sólo si β = {X − C : C ∈ F} es base de τ ;
(ii) F es base de cerrados para algún espacio topológico si y sólo si:
(a) si C1 , C2 ∈ F, C1 ∪ C2 se escribe como intersección de elementos de F, y
\
(b)
C = ∅.
C∈F
3.- Sea (X, τ ) un espacio topológico, donde X es un conjunto infinito. Para cada subconjunto A infinito de X, se sabe que A ∈ τ . Probar que τ = τdis .
4.- Dar un ejemplo de espacio topológico no discreto, en el que τ = C.
5.- Describir todas las posibles topologı́as sobre un conjunto con dos o tres puntos.
6.- Sea X un conjunto infinito y τ∞ = {U ⊂ X : X − U es infinito} ∪ {X}. ¿Es τ∞ una
topologı́a sobre X?
7.- Un espacio (X, τ ) es:
(i) de Fréchet o T1 , si para cada x 6= y, existe U ∈ τ tal que x ∈ U e y 6∈ U .
(ii) de Hausdorff o T2 , si para cada x 6= y, existen abiertos disjuntos U y V , tales que
x ∈ U e y ∈ V ; se suele decir que U y V separan x e y.
Se pide demostrar:
(i) Si (X, τ ) es T2 , entonces es T1 . El recı́proco no es cierto.
(ii) τdis , τsca , τsor y las topologı́as metrizables son T2 (luego T1 ). τcof y τcoc son T1 , pero
no T2 . τind , τsier , τkol , τA y τ A (para A 6= X, ∅) no son T1 (luego no son T2 ).
(iii) (X, τ ) es T1 si y sólo si para cada x ∈ X, es {x} ∈ C.
8.- Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. Para α, β ∈ X, se consideran los conjuntos: Vα = {x ∈ X : x < α}, Bα = {x ∈ X : x > α} y Mα,β = Bα ∩ Vβ . Se
pide:
2.7. Problemas
35
(i) probar que la familia β = {Vα , Bα , Mα,β : α, β ∈ X} es una base para una topologı́a
τord en X, llamada topologı́a del orden. ¿Es (X, τord ) T1 ? ¿Y T2 ?;
(ii) probar que el conjunto {x ∈ X : α ≤ x ≤ β} es cerrado, para cada α, β ∈ X;
(iii) si se toma R (respectivamente, N) con el orden usual, ¿cuál es la topologı́a del orden
asociada sobre R (respectivamente, N)?
(iv) en [0, 1] × [0, 1] se considera el orden lexicográfico: (a1 , a2 ) < (b1 , b2 ) si y sólo si
(a1 < b1 o a1 = b1 y a2 < b2 ). Probar que la topologı́a del orden asociado no es
comparable con la topologı́a euclı́dea de [0, 1] × [0, 1];
(v) en {1, 2} × N con el orden lexicográfico, ¿cuál es la topologı́a del orden inducida?
Describir los entornos de los puntos (x, 0) (atención al (0, 0)) y (x, 1) (atención al
(1, 1)), si x ∈ [0, 1]. Hacer lo mismo para los puntos (x, y), con x, y ∈ (0, 1).
9.- Probar que la familia β ∗ = {(a, b) : a < b, a, b ∈ Q}, es una base para τu sobre R. Sin
embargo, demostrar que la familia β ′ = {[a, b) : a < b, a, b ∈ Q} genera una topologı́a τ ′
sobre R estrictamente más fina que τu y estrictamente menos fina que τsor .
10.- En R, se considera
[ τ = {R, ∅} ∪ {(r, ∞) : r ∈ Q}. Probar que si S ⊂ R está acotado
inferiormente, es
(s, ∞) = (ı́nf(S), ∞). Concluir que τ no es una topologı́a sobre R.
s∈S
11.- Se considera τf ort = {U ⊂ R : p 6∈ U ó R − U finito}, donde p ∈ R. Probar que se
trata de una topologı́a sobre R, la topologı́a de Fort y estudiar si es T1 o T2 .
12.- En R2 , se define una familia F de subconjuntos de X, como sigue:
F = {∅, R2 } ∪ {F ⊂ R2 : F consta de un número finito de puntos y de rectas}.
Se pide probar:
(i) F es una familia de cerrados para alguna topologı́a τF ;
(ii) esta topologı́a es la menor en la que puntos y rectas son subconjuntos cerrados;
(iii) comparar τF con la topologı́a usual y la cofinita;
(iv) ¿existe alguna topologı́a sobre R2 en la que las rectas sean cerradas y los puntos no?
(v) ¿existe alguna topologı́a sobre R2 en la que los puntos sean cerrados y las rectas no?
13.- Vamos a dar una prueba topológica (debida a H. Fürstenberg en 1955) de la infinitud
de los números primos. Sobre Z se define la familia β = {Sab : a ∈ N, b ∈ Z}, donde
Sab = {an + b : n ∈ Z}. Se pide probar:
36
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
(i) Sab ∩ Scd = Srs , donde r = mcm{a, c};
(ii) β es base de una topologı́a τ sobre Z;
(iii) todo conjunto abierto es infinito;
(iv) para cada a, b ∈ Z, Sab es un conjunto cerrado;
(v) para cada entero m ∈ Z − {−1, 1} existe un primo p tal que m ∈ Sp0 ; deducir que
existen infinitos números primos.
14.- Decimos que U ⊂ N es abierto si dado n ∈ U , todo divisor de n pertenece también
a U . Probar que esta relación define una topologı́a τ 6= τdis sobre N. ¿Es (N, τ ) T2 ?
15.- Para cada n ∈ N consideremos el conjunto On = {n, n + 1, . . .}. Probar que τ =
{∅} ∪ {On }n∈N es una topologı́a sobre N. ¿Qué abiertos contienen al 1? ¿Es (N, τ ) T2 ?
16.- Sean X = {f : [0, 1] −→ [0, 1]} y AS = {f ∈ X : f (x) = 0, ∀x ∈ S} para
S ⊂ [0, 1]. Probar que la familia β = {AS : S ⊂ [0, 1]} es una base para una topologı́a τ
sobre X. ¿Es (X, τ ) T2 ?
17.- Sea X la familia de todos los polinomios de coeficientes reales y para cada n ∈ N,
sea Bn = {p ∈ X : p es de grado n}. Probar que la familia β = {Bn }n∈N es una base
para una topologı́a τ sobre X. ¿Es (X, τ ) T2 ?
18.- Para cada A ⊂ N, definimos N (n, A) = Card (A ∩ {1, 2, . . . , n}). Sea:
N (n, U )
τap = U ⊂ N : 1 6∈ U ó 1 ∈ U y lı́m
=1
.
n→∞
n
Probar que τap es una topologı́a sobre N, la topologı́a de Appert. ¿Es T2 ?
19.- Sea P la colección de los polinomios en n variables reales. Para cada P ∈ P, sea
Z(P ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : P (x1 , · · · , xn ) = 0}. Se pide:
(i) probar que {Z(P ) : P ∈ P} es una base de cerrados para una topologı́a sobre Rn ,
τzar , llamada topologı́a de Zariski;
(ii) probar que es T1 , pero no T2 ;
(iii) si n = 1, τzar = τcof . Pero, si n > 1, estas dos topologı́as son distintas.
20.- Describir los sistemas de entornos de cada punto en los espacios topológicos:
(i) X = {a, b, d, c} y τ = {X, ∅, {b}, {a, b}, {b, c, d}};
2.7. Problemas
37
(ii) X = {a, b, d, c, e} y τ = {X, ∅, {a}, {a, b}, {a, c, d}, {a, b, c, d}, {a, b, e}}.
21.- Sea (X, d) un espacio métrico. Probar que Bx = {B(x, n1 ) : n ∈ N} es una base de
entornos en x para la topologı́a inducida por la métrica.
22.- Sobre R, se considera:
(1) si x 6= 0, Bx = {(x − ε, x + ε) : ε > 0},
(2) B0 = {Bε,n : ε > 0, n ∈ N}, donde Bε,n = (−∞, −n) ∪ (−ε, ε) ∪ (n, ∞).
Probar que {Bx }x∈R es un sistema fundamental de entornos, que define una topologı́a τlac
sobre R. El par (R, τlac ) se llama recta enlazada. Comparar τlac con la topologı́a usual de
R y estudiar si es T1 o T2 .
23.- Sobre R se considera:
1) si x 6= 0, Bx = {(x − ε, x + ε) : ε > 0},
2) B0 = {(−ε, ε) − { n1 : n ∈ N : ε > 0}.
Comprobar que {Bx }x∈R es un sistema fundamental de entornos, comparar la topologı́a
generada con τu y estudiar si es T1 o T2 .
24.- Determinar si en (R, τu ) los siguientes intervalos son entornos de 0: (− 12 , 12 ], (−1, 0],
[0, 12 ) y (0, 1]. Probar que los conjuntos Q y I no pueden ser entornos de ningún punto.
25.- Para Γ ⊂ R2 , el semiplano superior cerrado, se considera:
(1) B(x,y) = {Bus ((x, y), ε) ⊂ Γ : ε > 0 “pequeño”}, para (x, y) ∈ Γ, y 6= 0,
(2) B(x,0) = {{(x, 0)} ∪ {Bus ((x, ε), ε) : ε > 0}.
Probar que {B(x,y) }(x,y)∈Γ es un sistema fundamental de entornos, que define una topologı́a
τmoo sobre Γ. El par (Γ, τmoo ) se llama plano de Moore. Comparar τmoo con la topologı́a
euclı́dea sobre Γ y estudiar si es T1 o T2 .
26.- Se considera R[0,1] = {f : [0, 1] −→ R}, y:
(i) se define U (f, F, δ) = {g ∈ R[0,1] : ∀x ∈ F, |f (x) − g(x)| < δ}, para f ∈ R[0,1] ,
F ⊂ [0, 1] finito y δ > 0. Probar que {U (f, F, δ) : F ⊂ [0, 1] finito, δ > 0} forma
una base de entornos en f para una topologı́a, τtyc , sobre R[0,1] , que se denomina
topologı́a de Tychonof ;
(ii) para f ∈ R[0,1] y ε > 0, sea V (f, ε) = {g ∈ R[0,1] : ∀x ∈ [0, 1], |g(x) − f (x)| < ε}.
Verificar que {V (f, ε) : ε > 0} forma una base de entornos en f para una topologı́a,
τca sobre R[0,1] , llamada topologı́a caja;
(iii) comparar τtyc y τca y estudiar si son T1 o T2 .
38
Capı́tulo 2. Espacios topológicos
27.- Sean Ln = {(x,
1
)
n
: x ∈ [0, 1)} si n > 0, L0 = {(x, 0) : x ∈ (0, 1)} y X =
Se considera:
∞
[
Ln .
n=0
(1) si n ∈ N y x 6= 0, B(x, 1 ) = {(x, n1 )},
n
(2) B(0, 1 ) = {U ⊂ Ln : (0, n1 ) ∈ U, Ln − U es finito},
n
(3) B(x,0) = {{(x, 0)} ∪ {(x, n1 ) : n > 0}}.
Comprobar que {B(x,y) }(x,y)∈X es un sistema fundamental de entornos sobre X.
28.- Sea X = [0, 1] ∪ {1∗ }, donde 1∗ es un punto añadido a [0, 1], tal que x < 1∗ para
cada x ∈ [0, 1). Para cada x ∈ [0, 1], los entornos básicos son los entornos usuales de x;
los entornos básicos de 1∗ son los conjuntos de la forma (a, 1) ∪ {1∗ }, donde a ∈ [0, 1).
Demostrar que definen una topologı́a τ sobre X.
29.- Dadas dos familias de números reales {ai }ni=1 , {bi }ni=1 , se pide demostrar:
(i) la desigualdad de Cauchy-Schwartz:
n
X
i=1
v
v
u n
u n
uX uX
2t
t
a
b2 ,
(ai bi ) ≤
i
i=1
i
i=1
(ii) la desigualdad de Minkowski:
v
v
v
u n
u n
u n
uX
uX
uX
t (ai + bi )2 ≤ t
a2i + t
b2i .
i=1
i=1
i=1
(iii) comprobar la desigualdad triangular en el caso de la distancia euclı́dea (ver los
ejemplos 2.9).
30.- Un espacio (X, τ ) se dice:
(i) primero numerable o CI , si todo punto posee una base local contable;
(ii) segundo numerable o CII , si existe una base contable β de τ .
Se pide probar:
(i) (X, τ ) es CI si para cada x ∈ X, existe una base local contable y decreciente;
(ii) si (X, τ ) es CII , entonces es CI ;
(iii) estudiar si son CI o CII : (X, τind ), (X, τdis ), (R, τcof ), (R, τcoc ), (X, τA ), (X, τ A ),
(R, τsor ), (R, τkol ), (R, τsca ), los espacios métricos, etc.
Conjuntos en espacios topológicos
Los labios son mı́mica
que los brazos sujetan.
Lo que las palabras abrazan
en las palabras se queda.
“Pido la palabra”
Mikel Varas
3.1.
Interior de un conjunto
En (X, τ ), si A ⊂ X, A no tiene porque ser un conjunto abierto, pero siempre contiene
conjuntos abiertos: por lo menos el conjunto vacı́o ∅. Por ello, tiene sentido definir:
Definición 3.1. Dado (X, τ ) y A ⊂ X, el interior de A es el conjunto
◦
A=
◦
[
{U ⊂ X : U ∈ τ y U ⊂ A}.
Si x ∈A, se dice que x es un punto interior de A.
◦
◦
Lema 3.1. En (X, τ ), si A ⊂ X, es A∈ τ y además A es el mayor conjunto abierto
contenido en A.
Ejemplos 3.1. Para los ejemplos ya estudiados, tenemos:
◦
◦
1) en (X, τind ), para todo A 6= X, es A= ∅ y X= X;
◦
2) en (X, τdis ), para todo A ⊂ X, es A= A;
◦
◦
3) en (X = {a, b}, τsier ), {b}= ∅ y {a}= {a};
39
40
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
◦
4) en (X, τA ), si B 6∈ τA , es B= ∅;
◦
5) en (X, τ A ), si B 6∈ τ A , es B= B − A;
◦
6) en (X, τcof ), si A 6∈ τcof , es A= ∅;
◦
7) en (X, τcoc ), si A 6∈ τcoc , es A= ∅;
◦
8) en (R, τkol ), si A está acotado superiormente, es A= ∅;
◦u
◦
9) en (R, τsca ), para A= (A ∩ I) ∪ (A ∩Q).
◦
◦
Lema 3.2. En (X, τ ), si A ⊂ B, entonces A⊂B.
Teorema 3.3. En (X, τ ), se verifican las siguientes propiedades:
◦
(I1) para todo A ⊂ X, es A⊂ A;
◦
◦
◦
(I2) para todo A ⊂ X, es A=A;
◦
z }| { ◦
◦
(I3) para todo A, B ⊂ X, es A ∩ B=A ∩ B;
◦
(I4) X= X; y además
◦
(I5) U ∈ τ si y sólo si U = U .
Y recı́procamente, dada una aplicación Int : P(X) −→ P(X), que verifica (I1) a (I4), y
si se define el concepto de conjunto abierto usando (I5), queda definida una topologı́a τ
sobre X, para la cual Int es el operador interior.
Demostración: Para la segunda parte, hay que probar que τ = {U ⊂ X : Int(U ) = U }
es una topologı́a sobre X. Para demostrar la última parte, Int(A) ∈ τ por (I2) y como
◦
Int(A) ⊂ A por (I1), se concluye que Int(A) ⊂A aplicando el lema 3.1. Por otro lado,
◦
si U ∈ τ y U ⊂ A, es U = Int(U ) ⊂ Int(A) por (I3), luego A⊂ Int(A).
Se puede caracterizar el interior de un conjunto a través de un sistema fundamental de
entornos:
Proposición 3.4. Sea {Bx }x∈X un sistema fundamental de entornos en (X, τ ), entonces
◦
es x ∈A si y sólo si existe B ∈ Bx tal que B ⊂ A.
3.2. Clausura de un conjunto
41
El interior de cualquier entorno es no vacı́o:
◦
Lema 3.5. En (X, τ ), N ∈ Nx si y sólo si N ∈ Nx . En particular, un entorno no puede
tener interior vacı́o.
3.2.
Clausura de un conjunto
Un conjunto A en un espacio (X, τ ) no tiene porque ser cerrado. Pero siempre existen
cerrados que lo contienen: por lo menos, el total X. Por esta razón tiene sentido definir:
Definición 3.2. Sea (X, τ ) y A ⊂ X. La clausura de A es el conjunto:
\
A = {F ⊂ X : F cerrado y A ⊂ F }.
Si x ∈ A, x se llama punto clausura o adherente de A.
Lema 3.6. Sean (X, τ ) y A ⊂ X. A es un conjunto cerrado, y además es el menor
cerrado que contiene a A.
Ejemplos 3.2. En los ejemplos ya estudiados, tenemos:
1) en (X, τind ), para todo A 6= ∅, es A = X;
2) en (X, τdis ), para todo A ⊂ X, es A = A;
3) en (X = {a, b}, τsier ), {b} = {b} y {a} = X;
4) en (X, τA ), si B 6∈ CA , es B = X;
5) en (X, τ A ), si B 6∈ C A , es B = B ∪ A;
6) en (X, τcof ), si A es infinito, es A = X;
7) en (X, τcoc ), si A no es contable, es A = X;
8) en (R, τkol ), si A no está acotado superiormente, es A = X;
9) en (R, τsca ), para A = (A − Q) ∪ (A
us
∩ Q).
Lema 3.7. En (X, τ ), si A ⊂ B, entonces A ⊂ B.
Teorema 3.8. En (X, τ ), se verifican las siguientes propiedades:
(C1) para todo A ⊂ X, es A ⊂ A;
42
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
(C2) para todo A ⊂ X, es A = A;
(C3) para todo A, B ⊂ X, es A ∪ B = A ∪ B;
(C4) ∅ = ∅; y además
(C5) F ∈ C si y sólo si F = F .
Y recı́procamente, dada una aplicación Cl : P(X) −→ P(X), que verifica (C1) a (C4)
(es decir, lo que habitualmente se denomina un operador clausura de Kuratowski), si se
define el concepto de conjunto cerrado usando (C5), queda definida una topologı́a τ sobre
X, para la cual Cl es el operador clausura.
Demostración: La primera parte es una simple comprobación. Para la segunda parte, basta
con probar que F = {A ⊂ X : Cl(A) = A} es la familia de cerrados para una topologı́a
τ sobre X. Entonces, U ∈ τ si y sólo si X − U ∈ F. Por (C2), es Cl(A) = Cl(Cl(A)),
luego Cl(A) ∈ F y como A ⊂ Cl(A), se deduce que A ⊂ Cl(A) por el lema 3.6. Y si
A ⊂ F ∈ C, es Cl(A) ⊂ Cl(F ) = F , por (C3), luego Cl(A) ⊂ A.
Se puede caracterizar la clausura de un conjunto a través de un sistema fundamental
de entornos:
Proposición 3.9. Sea {Bx }x∈X un sistema fundamental de entornos en (X, τ ), entonces
es x ∈ A si y sólo si para cada B ∈ Bx es B ∩ A 6= ∅.
Los conceptos de interior y clausura son duales (no opuestos), como las nociones de
abierto y cerrado:
◦
z }| {
Proposición 3.10. Sea (X, τ ) y A ⊂ X, entonces es X− A= X − A y X − A =X − A.
◦
Definición 3.3. Un conjunto D es denso en (X, τ ), si D = X, es decir, si es topológicamente grande.
Lema 3.11. Un conjunto D es denso en (X, τ ), si verifica cualquiera de las propiedades
equivalentes siguientes:
(i) D corta a cualquier abierto no vacı́o;
(ii) si F ∈ C y D ⊂ F , es F = X;
(iii) D corta a cualquier abierto básico no vacı́o;
(iv) D corta a cualquier entorno de cualquier punto;
(v) D corta a cualquier entorno básico de cualquier punto.
3.3. Puntos de acumulación y puntos aislados. Conjunto derivado
3.3.
43
Puntos de acumulación y puntos aislados. Conjunto
derivado
Definición 3.4. Fijado un sistema fundamental de entornos {Bx }x∈X en (X, τ ), x ∈ X
es un punto de acumulación de A ⊂ X, si para cada B ∈ Bx , es (B − {x}) ∩ A 6= ∅.
Al conjunto de los puntos de acumulación de A se le llama conjunto derivado de A y se
denota por A′ . Si x ∈ A − A′ , se dice que x es un punto aislado de A.
Teorema 3.12. En (X, τ ), se verifican las siguientes propiedades:
(i) si A ⊂ B, es A′ ⊂ B ′ ;
(ii) para todo A, B ⊂ X, es (A ∪ B)′ = A′ ∪ B ′ ;
(iii) ∅′ = ∅;
(iv) A = A ∪ A′ ;
(v) F ∈ C si y sólo si F ′ ⊂ F .
Observación 3.1. Por la propiedad (v) del teorema 3.12, un conjunto con derivado vacı́o
es cerrado.
Ejemplos 3.3. Para los ejemplos anteriores, tenemos:
1) en (X, τind ), para todo A 6= ∅ con más de un punto, es A′ = X y para x ∈ X, es
{x}′ = X − {x};
2) en (X, τdis ), para todo A ⊂ X, es A′ = ∅;
3) en (X = {a, b}, τsier ), {b}′ = ∅ y {a}′ = {b};
4) en (X, τA ), si B 6∈ CA , es B ′ = X − {x} cuando A ∩ B = {x} y B ′ = X en otro
caso. Y si B ∈ CA , entonces B ′ = ∅;
5) en (X, τ A ), si B tiene más de un punto, es B ′ = A y si B = {x}, es B ′ = A − {x};
6) en (X, τcof ), si A es infinito, A′ = X y si A es finito, A′ = ∅;
7) en (X, τcoc ), si A es no contable, A′ = X y si A es contable, A′ = ∅;
8) en (R, τsca ), para A ⊂ R y con las notaciones obvias, es A′ = A′u ∩ Q.
44
3.4.
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
Frontera de un conjunto
Definición 3.5. En (X, τ ), la frontera de A ⊂ X es el conjunto f r(A) = A ∩ X − A. Si
x ∈ f r(A) se dice que x es un punto frontera de A.
Lema 3.13. En (X, τ ), si A ⊂ X, f r(A) es un conjunto cerrado.
Teorema 3.14. En (X, τ ), si A ⊂ X, se verifican las siguientes propiedades:
(i) f r(A) = f r(X − A);
(ii) f r(∅) = f r(X) = ∅;
◦
(iii) A = A ∪ f r(A) =A ∪f r(A);
◦
◦
(iv) f r(A) = A− A y A= A − f r(A);
◦
(v) X =A ∪f r(A) ∪ (X − A) y esta unión es disjunta;
(vi) A es abierto si y sólo si f r(A) ∩ A = ∅;
(vii) A es cerrado si y sólo f r(A) ⊂ A.
Ejemplos 3.4. Para los ejemplos conocidos, se verifica:
1) en (X, τind ), para todo A ⊂ X propio, es f r(A) = X;
2) en (X, τdis ), para todo A ⊂ X, es f r(A) = ∅;
3) en (X = {a, b}, τsier ), f r({b}) = {b} y f r({a}) = {b};
4) en (X, τA ), si B ⊂ X es propio, f r(B) = B si B ∈ CA , f r(B) = X − B si B ∈ τA
y f r(B) = X en caso contrario;
5) en (X, τ A ), si B ⊂ X es propio, es f r(B) = A;
6) en (X, τcof ), para X infinito, f r(A) = X − A si A ∈ τcof , f r(A) = A si A ∈ Ccof y
f r(A) = X en caso contrario;
7) en (X, τcoc ), para X no contable, f r(A) = X − A si A ∈ τcoc , f r(A) = A si A ∈ Ccoc
y f r(A) = X en caso contrario;
u
◦u
8) en (R, τsca ), para A ⊂ R, es f r(A) = (B ∩ Q) − (B ∩Q).
3.5. Problemas
3.5.
45
Problemas
1.- Sea (X, τ ) un espacio topológico, A, B ⊂ X y {Ai ⊂ X}i∈I . Probar:
(i) x ∈ A′ si y sólo si x ∈ A − {x};
◦
◦
(iii) si A ∩ B = ∅, entonces A∩ B= ∅;
(iv) A ∈ τ si y sólo si ∀B ⊂ X, es A ∩ B = ∅ ⇐⇒ A ∩ B = ∅ ;
(ii) si A ∪ B = X, entonces A∪ B= X;
(v) A ∈ τ si y sólo si A ∩ B ⊂ A ∩ B, para cada B ⊂ X. Y entonces, B ∩ A = B ∩ A;
(vi) A ∩ B ⊂ A ∩ B,
◦
◦
◦ z }| {
A − B⊃A − B;
◦
z }| {
A ∪ B⊂A ∪ B,
◦
◦
i∈I
◦
i∈I
A−B ⊂ A − B
y
◦
◦
z }| {
z[}| {
\ ◦ \
Ai ⊃ Ai ,
(vii)
Ai ⊂ Ai ,
i∈I
i∈I
i∈I
[
\
\ i∈I
′
′
( Ai ) y Ai ⊃ ( Ai )′ ;
[
(A ∩ B)′ ⊂ A′ ∩ B ′ ,
[
i∈I
Ai ⊂
[
Ai ,
i∈I
\
i∈I
Ai ⊃
\
Ai ,
i∈I
[
i∈I
A′i ⊂
i∈I
(viii) ¿pueden dos conjuntos diferentes poseer el mismo conjunto derivado? ¿el mismo
interior? ¿la misma clausura? ¿la misma frontera? ¿y los cuatro a la vez?
2.- Sea X un conjunto y τ1 , τ2 dos topologı́as sobre X, tales que τ2 ⊂ τ1 . Con las no◦2
◦1
1
2
taciones obvias, probar que para cada A ⊂ X, se tiene A ⊂A y A ⊂ A . ¿Se pueden
comparar sus operadores derivados?
3.- Sea (X, τ ) un espacio topológico. Probar:
◦
(i) A= {x ∈ X : A ∈ Nx };
(ii) si X no posee puntos aislados y A ⊂ X es abierto, entonces A no posee puntos
aislados;
(iii) si x ∈ A es aislado en A, entonces x es aislado en A. ¿Es cierto el recı́proco?
(iv) si (X, τ ) es T1 y x ∈ A′ , entonces A corta a cada entorno de x en un número infinito
de puntos y el conjunto A′ es cerrado;
(v) x ∈ {y} si y sólo si Nx ⊂ Ny . Luego, Nx = Ny , si y sólo si {x} = {y};
46
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
(vi) (X, τ ) es T2 si y sólo si para cada x ∈ X, {x} =
\
N.
N ∈Nx
◦
4.- En (X, τ ), un abierto A se llama regular, si A =A y un cerrado A se llama regular si
◦
A = A. Probar:
◦
(i) si A es cerrado (respectivamente, abierto), entonces A (respectivamente, A) es un
abierto regular (respectivamente, un cerrado regular);
(ii) A es abierto regular si y sólo si X − A es cerrado regular;
(iii) si A y B son abiertos regulares (respectivamente, cerrados regulares), es A ⊂ B si
◦
◦
y sólo si A ⊂ B (respectivamente, A⊂B);
(iv) si A y B son abiertos regulares (respectivamente, cerrados regulares), entonces A∩B
(respectivamente, A ∪ B) es abierto regular (respectivamente, cerrado regular). En
general A ∪ B (respectivamente, A ∩ B) no es abierto regular (respectivamente,
cerrado regular);
(v) en (R, τu ), hay abiertos que no son regulares.
5.- Sea (X, τ ) un espacio topológico y A, B ⊂ X. Se pide probar:
(i) f r(A) = ∅ si y sólo si A es abierto y cerrado a la vez;
◦
(ii) f r(A) ⊂ f r(A) y f r(A) ⊂ f r(A);
(iii) si A ⊂ B, ¿es f r(A) ⊂ f r(B)?;
◦
z }| { ◦
◦
(iv) si f r(A) ∩ f r(B) = ∅, se verifica que A ∪ B=A ∪ B, A ∩ B = A ∩ B y
f r(A ∩ B) = (A ∩ f r(B)) ∪ (f r(A) ∩ B);
(v) en general, f r(A ∪ B) ⊂ f r(A) ∪ f r(B). Si A ∩ B = ∅, entonces se da la igualdad.
6.- Construir una tabla (con seis entradas) en que se relacionen los conceptos de conjunto
abierto, cerrado, interior, clausura, frontera y entorno.
7.- Sea D denso en (X, τ ). Probar:
(i) si U ∈ τ , entonces U ⊂ D ∩ U ;
(ii) si E ⊃ D, entonces E es también denso;
3.5. Problemas
47
(iii) si U es denso y abierto, entonces D ∩ U es denso;
(iv) la intersección finita de abiertos densos es abierto denso;
(v) si τ ′ ⊂ τ , entonces D también es denso en (X, τ ′ ).
8.- Sean Gk = {(x, y) ∈ R2 : x > y + k} y la topologı́a τ = {∅, R2 } ∪ {Gk : k ∈ R}.
Calcular el interior, el derivado y la clausura de {(0, 0)} y {(−x, x) : x ∈ R}.
9.- En ([0, 1] × [0, 1], τord ), donde la topologı́a está inducida por el orden lexicográfico,
calcular el interior, la clausura y la frontera de {( n1 , 0) : n ∈ N}, {(1 − n1 , 21 ) : n ∈ N},
{(x, 0) : 0 < x < 1}, {(x, 12 ) : 0 < x < 1} y {( 12 , y) : 0 < y < 1}.
10.- Sea (N, τap ) la topologı́a de Appert. Caracterizar sus operadores interior y clausura.
11.- En (X, τ ), se dice que A es:
(a) un Fσ -conjunto, si es la unión de una familia contable de conjuntos cerrados y
(b) un Gδ -conjunto si es la intersección de una familia contable de conjuntos abiertos.
Se pide probar:
(i) todo cerrado es un Fσ -conjunto y todo abierto es un Gδ -conjunto;
(ii) en (R, τu ), [0, 1] es un Fσ -conjunto y un Gδ -conjunto;
(iii) en (R, τu ), Q es un Fσ -conjunto, pero no es un Gδ -conjunto;
(iv) si A es un Fσ -conjunto, existe una familia contable de [
cerrados {Fn : n ∈ N}, tal
que Fk ⊂ Fk+1 para cada k ∈ N, y de forma que A =
Fn ;
n∈N
(v) si A es un Gδ -conjunto, existe una familia contable de
\abiertos {Un : n ∈ N}, tal que
Uk ⊃ Uk+1 para cada k ∈ N, y de forma que A =
Un ;
n∈N
(vi) la unión contable y la intersección finita de Fσ -conjuntos, es un Fσ -conjunto;
(vii) la unión finita y la intersección contable de Gδ -conjuntos, es un Gδ -conjunto;
(viii) el complementario de un Fσ -conjunto es un Gδ -conjunto y viceversa;
(ix) ¿quiénes son los Gδ -conjuntos en (R, τcof )?;
(x) en (R, τcoc ), todo Fσ -conjunto es cerrado y todo Gδ -conjunto es abierto;
48
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
(xi) en el espacio métrico (X, d), todo cerrado es un Gδ -conjunto y todo abierto es un
Fσ -conjunto.
12.- Sea X un conjunto y una función Φ : P(X) −→ P(X), tal que:
(a) para cada A ⊂ X, A ⊂ Φ(A);
(b) para cada A, B ⊂ X, Φ(A ∪ B) = Φ(A) ∪ Φ(B);
(c) Φ(∅) = ∅;
(d) para cada A ⊂ X, Φ(Φ(A)) = Φ(A).
Una tal aplicación se llama un operador clausura de Kuratowski. Se pide probar:
(i) si se definen los cerrados como los A ⊂ X tales que A = Φ(A), queda definida una
topologı́a sobre X, cuyo operador clausura es precisamente Φ;
(ii) si X es infinito y se define Φ(A) = A si A es finito y Φ(A) = X si A es infinito.
Comprobar que es un operador clausura de Kuratowski, y ver que topologı́a genera;
(iii) lo mismo si X = R y Φ(A) = (−∞, sup(A)];
(iv) lo mismo si para B ⊂ X, Φ(A) = A ∪ B, si A es no vacı́o. Describir los casos en
que B = ∅ y B = X;
(v) lo mismo si X = R y Φ(A) = A
está acotado;
us
u
si A está acotado y Φ(A) = A ∪ {0} si A no
(v) sean Φ1 y Φ2 dos operadores clausura de Kuratowski sobre X y sean τ1 y τ2 las
topologı́as generadas por ellos. Con las notaciones obvias, se supone que para cada
A ⊂ X, es Φ2 (Φ1 (A)) ∈ C1 . Se pide probar:
(a) Φ2 ◦ Φ1 es un operador clausura de Kuratowski;
T
(b) Φ2 ◦ Φ1 (A) = {F ⊂ X : A ⊂ F, F ∈ C1 ∩ C2 };
(c) Φ1 ◦ Φ2 (A) ⊂ Φ2 ◦ Φ1 (A), para cada A ⊂ X.
13.- Sea X un conjunto y una función ϕ : P(X) −→ P(X), tal que:
(a) para cada A ⊂ X, A ⊃ ϕ(A);
(b) para cada A, B ⊂ X, ϕ(A ∩ B) = ϕ(A) ∩ ϕ(B);
(c) ϕ(X) = X;
3.5. Problemas
49
(d) para cada A ⊂ X, ϕ(ϕ(A)) = ϕ(A).
Una tal aplicación se llama un operador interior. Se pide probar:
(i) τϕ = {A ⊂ X : A = ϕ(A)} es una topologı́a sobre X, cuyo operador interior es
precisamente ϕ;
(ii) si X es infinito y se define ϕ(A) = A si X − A es finito y ϕ(A) = ∅ en otro caso.
Comprobar que se trata de un operador interior, y ver que topologı́a genera;
(iii) lo mismo si X = R y ϕ(A) = (sup(R − A), ∞);
(iv) lo mismo si para B ⊂ X, ϕ(A) = A ∩ (X − B), si A 6= X. Describir los casos en
que B = ∅ y B = X.
14.- Sea (X, τ ) un espacio topológico. Una familia de conjuntos {Ai : i ∈ I} se llama
localmente finita, si cada x ∈ X posee un entorno que corta sólo a una cantidad finita de
los elementos de la familia. Se pide probar:
(i) si {Ai : i ∈ I} es localmente finita, también lo es la familia {Ai : i ∈ I};
(ii) si {Ai : i ∈ I} es localmente finita,
[
i∈I
Ai =
[
Ai ;
i∈I
(iii) la unión de una familia localmente finita de cerrados, es un conjunto cerrado;
[
(iv) si la familia de conjuntos {Ai : i ∈ I} verifica que Ai ∈ C, probar que entonces
es
[
i∈I
Ai =
[
i∈I
Ai .
i∈I
15.- Sea (N, τ ) el espacio topológico del problema 15 en el apartado 2.7. Calcular el
interior, el derivado y la clausura de los conjuntos {n, n + 1, . . . , n + p} y {2n : n ∈ N}.
Caracterizar los operadores clausura e interior.
16.- Sea (X, τ ) el espacio topológico del problema 16 del apartado 2.7. Calcular el interior, el derivado y la clausura de {f ∈ X : f (0) = 0} y {f ∈ X : f (0) = 1}. Caracterizar
el operador clausura en este espacio.
17.- Sea (Z, τ ) el espacio topológico del problema 13 del apartado 2.7. Calcular el interior,
la clausura y el derivado del conjunto de los números primos, N y el conjunto de los
números pares.
50
Capı́tulo 3. Conjuntos en espacios topológicos
18.- Sea (X, τ ) el espacio topológico del problema 27 en el apartado 2.7. Calcular el
interior, el derivado y la clausura de los conjuntos {( 12 , n1 ) : n ∈ N}, {( n1 , n1 ) : n > 1} y
{(x, 1) : 0 ≤ x < 21 } ∪ {( 21 , 0)}.
19.- Sea el espacio métrico ([0, 1], du ). Se divide [0, 1] en tres intervalos de la misma
amplitud, se elimina el intervalo abierto central (que se llamará intervalo abierto de tipo
1) δ = ( 13 , 23 ) y se conservan los intervalos cerrados (que se llamarán de tipo 1) ∆0 = [0, 13 ]
y ∆1 = [ 23 , 1]. Se divide cada intervalo cerrado de tipo 1 en tres intervalos de la misma
amplitud. Se eliminan de nuevo los intervalos abiertos centrales (intervalos abiertos de
tipo 2), δ0 = ( 91 , 29 ) y δ1 = ( 97 , 89 ) respectivamente, y se conservan los intervalos cerrados
(de tipo 2) resultantes ∆00 = [0, 91 ], ∆01 = [ 29 , 31 ], ∆10 = [ 23 , 97 ] y ∆11 = [ 98 , 1]. Se continúa
de este modo el proceso, obteniendo para cada n ∈ N, 2n intervalos cerrados ∆i1 ···in
de tipo n donde ij es 0 ó 1. Cada intervalo cerrado de tipo n se divide en tres partes
de la misma amplitud, conservando dos intervalos cerrados ∆i1 ···in 0 y ∆i1 ···in 1 (llamados
intervalos cerrados de tipo n + 1) y eliminando cada intervalo abierto δi1 ···in de tipo n + 1
que queda entre ellos.
\
Sea Cn la reunión de los intervalos cerrados de tipo n y C =
Cn . C se llama conjunto
n∈N
perfecto de Cantor, discontinuo de Cantor o conjunto ternario de Cantor. Se pide probar:
(i) C es cerrado y no vacı́o en ([0, 1], du );
(ii) la suma de las longitudes de todos los intervalos abiertos eliminados en el proceso es
1: en este sentido (el de la medida), el conjunto de Cantor es pequeño;
∞
X
an
donde an = 0, 2.
3n
Se concluye que C es un conjunto no contable: en este sentido (el del cardinal), el
conjunto de Cantor es grande;
(iii) todo punto de C posee una representación ternaria única
n=1
◦
(iv) C no posee puntos aislados en [0, 1] y C= ∅.
20.- Un espacio (X, τ ) se dice separable si existe D ⊂ X denso y contable. Probar que
si (X, τ ) es CII , es separable. Estudiar la separabilidad en los ejemplos del ejercicio 30
del apartado 2.7, y comprobar que no existen relaciones entre los conceptos de CI y la
separabilidad.
Continuidad
Nunca podré decidir lo que es arriba
lo que es abajo
si yo soy la manzana,
¿quién me estará mirando para saberme,
para entender el universo a partir de mi caı́da?
Alicia Newton en “Alicia Volátil”
Sofı́a Rhei
4.1.
Aplicaciones continuas
Definición 4.1. Una función entre espacios topológicos f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua en a, si para todo entorno M ∈ NfY(a) , existe N ∈ NaX , tal que f (N ) ⊂ M . Esta
definición sigue siendo válida si se reemplazan los entornos por entornos básicos. Una
función es continua en A si lo es en cada punto de A.
Proposición 4.1. Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una función. Son equivalentes:
(i) f es continua en X;
(ii) para cada x ∈ X y cada entorno M ∈ NfY(x) , es f −1 (M ) ∈ NxX ;
(iii) para cada x ∈ X y cada M ∈ BfY(x) (fijada una base local), es f −1 (M ) ∈ NxX ;
(iv) para cada U ∈ τY , es f −1 (U ) ∈ τX ;
(v) para cada U ∈ βY (una vez elegida una base), es f −1 (U ) ∈ τX ;
(vi) para cada F ∈ CY , es f −1 (F ) ∈ CX ;
(vii) para cada A ⊂ X, es f (A) ⊂ f (A);
(viii) para cada B ⊂ Y , es f −1 (B) ⊃ f −1 (B);
51
52
Capı́tulo 4. Continuidad
◦
z }| {
(ix) para cada B ⊂ Y , es f −1 (B) ⊂f −1 (B).
◦
Ejemplos 4.1. Algunos ejemplos de funciones continuas son:
1) para cada espacio (Y, τY ) y toda función f , f : (X, τdis ) −→ (Y, τY ) es continua;
2) para cada espacio (X, τX ) y toda función f , f : (X, τX ) −→ (Y, τind ) es continua;
3) toda aplicación constante f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua;
4) sean f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua y las topologı́as τX ⊂ τX′ y τY′ ⊂ τY . También
es continua la aplicación f : (X, τX′ ) −→ (Y, τY′ ).
Proposición 4.2. Sean f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ). Se verifica:
(i) si f es continua en a ∈ X y g es continua en f (a), entonces g ◦ f es continua en a;
(ii) si f es continua en X y g es continua en Y , entonces g ◦ f es continua en X.
Proposición 4.3. (Criterio de Hausdorff de comparación de topologı́as) Dos topologı́as
sobre X verifican τ2 ⊂ τ1 si y sólo si la identidad, 1X : (X, τ1 ) −→ (X, τ2 ) es continua.
4.2.
Homeomorfismos. Propiedades topológicas
Definición 4.2. Una aplicación f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es un homeomorfismo, si f es
biyectiva, continua y f −1 es continua. Se dice que (X, τX ) es homeomorfo a (Y, τY ).
Lema 4.4. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ) son homeomorfismos:
(i) f −1 : (Y, τY ) −→ (X, τX ) es un homeomorfismo;
(ii) g ◦ f : (X, τX ) −→ (Z, τZ ) es un homeomorfismo.
Corolario 4.5. La relación “ser homeomorfos” es una relación de equivalencia sobre la
familia de los espacios topológicos.
Proposición 4.6. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una función biyectiva, son equivalentes:
(i) f es un homemorfismo;
(ii) U ∈ τX si y sólo si f (U ) ∈ τY ;
(iii) F ∈ CX si y sólo si f (F ) ∈ CY ;
(iv) para cada A ⊂ X, es f (A) = f (A);
4.3. Sucesiones en espacios métricos: convergencia y continuidad secuencial
53
◦
z }| {
(v) para cada A ⊂ X, es f (A) =f (A);
◦
(vi) V ∈ τY si y sólo si f −1 (V ) ∈ τX ;
(vii) G ∈ CY si y sólo si f −1 (G) ∈ CX ;
(viii) para cada B ⊂ Y , es f −1 (B) = f −1 (B);
◦
z }| {
−1
(ix) para cada B ⊂ Y , es f (B) =f −1 (B).
◦
Definición 4.3. Una propiedad relativa a espacios topológicos se llama topológica, si se
conserva bajo homeomorfismos.
Proposición 4.7. Son topológicas las propiedades T1 , T2 , CI , CII , la separabilidad y la
metrizabilidad.
Contraejemplo 4.1. Por ejemplo, la acotación –cuando tenga sentido hablar de este concepto, lo tiene en espacios métricos– es un ejemplo de propiedad no topológica: en (R, τu ),
el intervalo (0, 1) y R son homeomorfos, el primer conjunto es acotado y el segundo no.
Observación 4.1. Desde el punto de vista de la topologı́a, dos espacios homeomorfos
son indistinguibles. La importancia de esta propiedad radica en que, cuando se trabaje con propiedades topológicas, es posible reemplazar espacios complicados por otros
homeomorfos a ellos, pero más sencillos de manejar.
4.3.
Sucesiones en espacios métricos: convergencia y continuidad secuencial
Definición 4.4. Una sucesión en X 6= ∅ es una aplicación f : N −→ X. Normalmente,
en vez de utilizar la notación funcional, se utiliza la notación con subı́ndices f (n) = xn ,
y se habla de la sucesión f o {xn }n∈N . El punto xn se llama término de la sucesión y
Rg ({xn }n∈N ) = f (N) es el rango de la sucesión.
Observación 4.2. Destacamos a continuación algunas propiedades relativas a sucesiones:
(i) la función f definiendo una sucesión no tiene porque ser inyectiva, y por lo tanto, en
una sucesión pueden existir términos iguales;
(ii) no hay que confundir el rango con la propia sucesión: si X = R, la sucesión
{xn }n∈N = {(−1)n }n∈N es la sucesión oscilante, cuyo rango es finito {−1, 1};
54
Capı́tulo 4. Continuidad
(iii) si f es constante, es decir, existe x ∈ X tal que f (n) = x para cada n ∈ N, se habla
de la sucesión constante igual a x y en este caso f (N) = {x};
(iv) si existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 es xn = x, se habla de la sucesión
semiconstante igual a x (que es constante si n0 = 1). El rango de una sucesión
semiconstante es finito, aunque el recı́proco no es cierto (por ejemplo, las sucesiones oscilantes).
Definición 4.5. Una subsucesión {yn }n∈N de la sucesión {xn }n∈N es otra sucesión definida por yn = xϕ(n) , donde ϕ : N −→ N es una función estrictamente creciente. Es decir, se
eligen elementos de la sucesión original, sin alterar el orden.
Lema 4.8. Si ϕ : N −→ N es una función estrictamente creciente, es ϕ(n) ≥ n para cada
n ∈ N.
Lema 4.9. Toda sucesión es una subsucesión de sı́ misma.
Demostración: Basta con tomar como ϕ : N −→ N la función identidad.
Lema 4.10. Una subsucesión de una subsucesión de {xn }n∈N sigue siendo una subsucesión de {xn }n∈N .
Demostración: La composición de funciones estrictamente crecientes es una función estrictamente creciente.
Definición 4.6. Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Se dice que
x ∈ X es lı́mite de {xn }n∈N , si para cada ε > 0, existe nε ∈ N tal que para cada n ≥ nε
es d(x, xn ) < ε. Se dice también que {xn }n∈N converge a x y se denota por {xn } → x.
Observación 4.3. De manera equivalente: {xn } → x si para cada ε > 0, existe nε ∈ N
tal que para cada n ≥ nε es xn ∈ B(x, ε). Esta escritura permite generalizar la definición
de convergencia a espacios topológicos: {xn }n∈N converge a x en (X, τ ), si para cada
N ∈ Nx , existe nN ∈ N, tal que para cada n ≥ nN , es xn ∈ N (pueden reemplazarse los
entornos por entornos básicos). Pero, en espacios topológicos, las sucesiones no tienen
buenas propiedades (ver problemas 35 y 36 del apartado 4.4).
Lema 4.11. Sea {xn }n∈N una sucesión en (X, d), tal que xn ∈ B(x, n1 ). Entonces, {xn }
converge a x.
Teorema 4.12. Una sucesión convergente en (X, d) lo hace de manera única.
Demostración: Supongamos que {xn }n∈N converge a dos puntos distintos, x 6= y. Sea
d(x, y) = r > 0. Por la propiedad de Hausdorff (teorema 2.13), es B(x, 2r ) ∩ B(y, 2r ) = ∅,
lo cual contradice la hipótesis de convergencia.
4.3. Sucesiones en espacios métricos: convergencia y continuidad secuencial
55
Observación 4.4. Algunos ejemplos de sucesiones convergentes son:
(i) en cualquier espacio métrico, una sucesión semiconstante converge hacia la constante
que se repite;
(ii) si (X, d) es un espacio métrico discreto y τd es la topologı́a discreta, las únicas
sucesiones que convergen son las semiconstantes;
(iii) las sucesiones oscilantes no convergen en ningún espacio métrico: en efecto dada la
sucesión {xn }n∈N , con xn = x para n par y xn = y 6= x para n impar, si {xn } → z,
para ε = 21 d(x, y) deberı́a ser xn ∈ B(z, ε) para n suficientemente grande, es decir,
x, y ∈ B(z, ε), lo que es imposible.
Teorema 4.13. En (X, d), si {xn } → x, cualquier subsucesión {xϕ(n) } → x.
Demostración: Basta con utilizar el lema 4.8.
Observación 4.5. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), la sucesión{(−1)n }n∈N no converge, pero la subsucesión de los términos pares {(−1)2n } → 1.
Observación 4.6. Algunas observaciones referentes a la convergencia de sucesiones son:
(i) si en (X, d) el rango de la sucesión {xn }n∈N es finito, existe una subsucesión constante {xϕ(n) }n∈N , luego convergente;
(ii) aunque {xn }n∈N sólo posea subsucesiones convergentes a un único punto, no se
deduce que sea convergente: en (R, du ), la sucesión {1, 2, 1, 3, . . . , 1, n, . . . } sólo
posee subsucesiones convergentes a 1, pero ella no converge;
(iii) si {xn }n∈N posee dos subsucesiones convergentes a puntos distintos, entonces ella
no converge;
(iv) cualquier reordenación de una sucesión convergente converge al mismo punto.
Teorema 4.14. En (X, d), es x ∈ A si y sólo si existe una sucesión {xn }n∈N en A tal que
{xn } → x.
Demostración: Sea x ∈ A. Para cada n ∈ N, como B(x, n1 ) ∩ A 6= ∅, existe xn ∈
B(x, n1 ) ∩ A. Hemos construido una sucesión {xn }n∈N ⊂ A que converge a x por el lema
4.11. La otra implicación es inmediata.
Definición 4.7. Una función f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es secuencialmente continua, si dada una sucesión {xn }n∈N en X que converge a un punto a ∈ X, entonces {f (xn )}n∈N
converge a f (a) ∈ Y .
56
Capı́tulo 4. Continuidad
Teorema 4.15. La aplicación f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua en x si y sólo si es secuencialmente continua.
Demostración: Si f es continua, para cada ε > 0, existe δ = δ(x, ε) > 0 tal que
f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε). Como {xn } → x, para δ existe n0 ∈ N tal que para
n ≥ n0 es xn ∈ BX (x, δ), con lo que f (xn ) ∈ BY (f (x), ε), y queda probado que
{f (xn )} → f (x). Recı́procamente, supongamos que f no es continua en x. Existe ε > 0
tal que para cada n ∈ N existe xn ∈ BX (x, n1 ) − {x} de modo que f (xn ) 6∈ BY (f (x), ε).
Hemos construido de este modo una sucesión {xn }n∈N en X que converge a x (ver lema
4.11), pero tal que {f (xn )} no converge a f (x).
4.4.
Problemas
1.- Dado un espacio topológico (X, τ ), se introducen los conjuntos
C(X) = {f : (X, τ ) −→ (R, τus ), f continua} y C ∗ (X) = {f ∈ C(X) : f es acotada}.
Se definen las funciones con dominio X y codominio R, para x ∈ X y f, g : X −→ R
(a) la suma: (f + g)(x) = f (x) + g(x),
(b) el producto: (f.g)(x) = f (x).g(x),
(c) el producto por un escalar a ∈ R: (a.f )(x) = a.f (x),
(d) el cociente: si f (x) 6= 0 para cada x ∈ X, f1 (x) =
1
,
f (x)
(e) el valor absoluto: |f |(x) = |f (x)|, y
(f) las funciones máximo y mı́nimo: m(x) = mı́n{f (x), g(x)} y M (x) = máx{f (x), g(x)}.
Se pide probar las siguientes propiedades:
(i) las anteriores operaciones son internas en C(X) y C ∗ (X);
(ii) C(X) y C ∗ (X) son álgebras sobre R;
(iii) C ∗ (X) es un espacio vectorial normado, con las operaciones suma y producto escalar y la norma kf k = sup{|f (x)| : x ∈ X};
(iv) C(X) y C ∗ (X) son retı́culos con el orden parcial: f ≤ g si y sólo si f (x) ≤ g(x),
para cada x ∈ X;
4.4. Problemas
57
(v) dados los espacios (X, τX ) e (Y, τY ), toda aplicación continua f : (X, τX ) −→ (Y, τY )
induce un homomorfismo entre las álgebras asociadas Ff : C(Y ) −→ C(X) (respectivamente, Ff∗ : C ∗ (Y ) −→ C ∗ (X));
(vi) si (X, τX ) e (Y, τY ) son homeomorfos, ¿qué relación existe entre C(X) y C(Y )?,
¿y entre C ∗ (X) y C ∗ (Y )?
2.- En un espacio topológico (X, τ ), probar:
(i) τ = τdis si y sólo si para todo (Y, τY ) y toda f : (X, τ ) −→ (Y, τY ), f es continua;
(ii) τ = τind si y sólo si para todo (Y, τY ) y toda f : (Y, τY ) −→ (X, τ ), f es continua.
3.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua y sobreyectiva. Probar que todo
abierto de (Y, τY ) es la imagen por f de un abierto saturado (U ⊂ X es saturado si existe
V ⊂ Y tal que U = f −1 (V )) de (X, τX ). Probar la propiedad análoga para cerrados.
4.- Si χA es la función caracterı́stica de A, probar
(i) χA : (X, τ ) −→ (R, τu ) es continua en x si y sólo si x 6∈ f r(A);
(ii) χA : (X, τ ) −→ (R, τu ) es continua en X si y sólo si A es abierto y cerrado.
5.- Caracterizar las funciones continuas f : (R, τu ) −→ (R, τcoc ).
6.- Dados los conjuntos finitos X = {1, 2, 3, 4, 5} e Y = {a, b} y las topologı́as sobre
ellos τX = {∅, X, {1}, {3, 4}, {1, 3, 4}} y τY = {∅, Y, {a}}, se pide:
(i) ¿cuántas funciones hay f : X −→ Y ? ¿cuántas son inyectivas? ¿Y sobreyectivas?
(ii) encontrar todas las funciones continuas f : (X, τX ) −→ (Y, τY ).
7.- Dado x ∈ R, se llama parte entera de x, [x], al mayor entero que es menor o igual que
x. Estudiar la continuidad de la función f : (R, τsor ) −→ (R, τu ), si f (x) = [x].
8.- Sean τ1 y τ2 dos topologı́as sobre X y (Y, τY ) un espacio topológico. Probar:
(i) si τ = ı́nf{τ1 , τ2 }, entonces la aplicación f : (X, τ ) −→ (Y, τY ) es continua si y sólo
si f : (X, τi ) −→ (Y, τY ) es continua, para i = 1, 2;
(ii) si τ = sup{τ1 , τ2 }, entonces la aplicación f : (Y, τY ) −→ (X, τ ) es continua si y sólo
si f : (Y, τY ) −→ (X, τi ) es continua, para i = 1, 2.
58
Capı́tulo 4. Continuidad
9.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua. Probar que para cada Fσ -conjunto (respectivamente, Gδ -conjunto) B ⊂ Y , el conjunto f −1 (B) es un Fσ -conjunto (respectivamente,
Gδ -conjunto). Para las definiciones, ver el ejercicio 11 del apartado 3.5.
10.- Encontrar una sucesión de funciones continuas {fn : (R, τus ) −→ ([0, 1], τus )}n∈N ,
cuyo supremo no sea una función continua.
11.- Sea (N, τ ) el espacio topológico del problema 14 en el apartado 2.7. Probar que
f : (N, τ ) −→ (N, τ ) es continua si sólo si (si m divide a n, entonces f (m) divide a f (n)).
12.- Una aplicación f : (X, τ ) −→ (R, τu ) es semicontinua inferiormente (respectivamente,
semicontinua superiormente), si para cada x ∈ X y ε > 0, existe V ∈ Nx tal que para
cada y ∈ V es f (y) > f (x) − ε (respectivamente, f (y) < f (x) + ε). Probar:
(i) f : (X, τ ) −→ (R, τu ) es continua si y sólo si es semicontinua inferior y superiormente;
(ii) sean las topologı́as sobre R, τkol y τscs = {∅, R} ∪ {(−∞, a) : a ∈ R}. Entonces, f : (X, τ ) −→ (R, τu ) es semicontinua inferiormente (respectivamente, semicontinua superiormente) si y sólo si f : (X, τ ) −→ (R, τkol ) (respectivamente,
f : (X, τ ) −→ (R, τscs )) es continua;
(iii) sea {fi : (X, τ ) −→ (R, τu )}i∈I una familia de aplicaciones semicontinuas inferiormente (respectivamente, semicontinuas superiormente). Se supone que I 6= ∅ y que
para cada x ∈ X el conjunto {fi (x) : i ∈ I} está acotado superiormente (respectivamente, acotado inferiormente) en R. Entonces, la aplicación f : (X, τ ) −→ (R, τu )
definida por f (x) = supfi (x) (respectivamente, f (x) = ı́nf fi (x)) es semicontinua
i∈I
i∈I
inferiormente (respectivamente, semicontinua superiormente);
(iv) si A ⊂ X, χA es semicontinua inferiormente (respectivamente, semicontinua superiormente) si y sólo si A ∈ τ (respectivamente, A ∈ C).
13.- Una función f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) se dice abierta si para cada U ∈ τX , es f (U ) ∈
τY . Y se dice cerrada, si para cada F ∈ CX , es f (F ) ∈ CY . Se pide probar:
(i) no hay ninguna relación entre las nociones de función continua, abierta y cerrada;
(ii) si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es cerrada, dado B ⊂ Y y U ∈ τX tal que f −1 (B) ⊂ U ,
existe V ∈ τY , tal que B ⊂ V y f −1 (V ) ⊂ U ;
(iii) si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es abierta, dado B ⊂ Y y F ∈ CX tal que f −1 (B) ⊂ F ,
existe G ∈ CY , tal que B ⊂ G y f −1 (G) ⊂ F .
4.4. Problemas
59
14.- Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ), probar:
(i) si f y g son abiertas (respectivamente, cerradas), entonces g ◦ f es abierta (respectivamente, cerrada);
(ii) si g ◦ f es abierta (respectivamente, cerrada) y f es continua y sobreyectiva, entonces
g es abierta (respectivamente, cerrada);
(iii) Si g ◦ f es abierta (respectivamente, cerrada) y g es continua e inyectiva, entonces
f es abierta (respectivamente, cerrada).
15.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua y abierta. Se pide probar:
(i) si Bx una base local en el punto x, f (Bx ) es base local en f (x);
(ii) si además f es sobreyectiva y β es base de τX , entonces f (β) es base de τY .
16.- f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) un función. Probar:
◦
z }| {
(i) f es abierta si y sólo si para cada A ⊂ X, es f (A) ⊂f (A);
◦
(ii) f es cerrada si y sólo si para cada A ⊂ X, es f (A) ⊃ f (A);
(iii) si f es biyectiva, es un homeomorfismo si y sólo si es continua y abierta;
(iii) si f es biyectiva, es un homeomorfismo si y sólo si es continua y cerrada.
17.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación sobreyectiva y cerrada. Probar que para
cada U ∈ τX , se verifica que f r(f (U )) ⊂ f (U ) ∩ f (X − U ).
18.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación. Probar que son equivalentes:
(i) f es cerrada;
(ii) si U ∈ τX , entonces {y ∈ Y : f −1 (y) ⊂ U } ∈ τY ;
(iii) si F ∈ CX , entonces {y ∈ Y : f −1 (y) ∩ F 6= ∅} ∈ CY .
19.- Dos espacios discretos son homeomorfos si y sólo si poseen el mismo cardinal.
20.- Dar un ejemplo de dos espacios topológicos (X, τX ) e (Y, τY ) no homeomorfos, pero
tales que exista una aplicación entre ellos, continua y biyectiva.
21.- Si n ∈ Z, se define sobre R la topologı́a τn , dada por la base βn = βu ∪ {n}. Probar
que τ1 6= τ2 , pero que (R, τ1 ) y (R, τ2 ) son espacios homeomorfos.
60
Capı́tulo 4. Continuidad
22.- Probar los siguientes enunciados:
(i) toda aplicación sobreyectiva f : (R, τcof ) −→ (R, τu ) es cerrada;
(ii) (R, τu ) y (R, τcof ) no son homeomorfos;
(iii) toda aplicación f : (R, τu ) −→ (R, τu ) biyectiva y continua, es abierta;
(iv) toda aplicación sobreyectiva f : (X, τcof ) −→ (Y, τcof ) es abierta y cerrada.
23.- Sea X 6= ∅ y p, q ∈ X. Sea A = {p} y τ A la topologı́a A-exclusión. Estudiar
la continuidad de la función f : ([0, 1], τu ) −→ (X, τ A ) dada por f (x) = p si x = 0 y
f (x) = q si x 6= 0.
24.- Probar que son homeomorfos la bola cerrada ({(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1}, τu ) y el
cuadrado ({(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}, τu ).
25.- En este ejercicio se trata de definir la proyección estereográfica:
(i) la circunferencia unidad en el plano euclı́deo es S1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 = 1}.
Dado (a1 , a2 ) ∈ S1 − {(0, 1)}, se considera la recta
quepasa por (a1 , a2 ) y (0, 1).
a1
, 0 . Se define la aplicación
Esta recta corta al eje de abscisas en el punto 1−a
2
h : (S1 − {(0, 1)}, du ) −→ (R, du ) por h(a1 , a2 ) =
meomorfismo: es la proyección estereográfica;
a1
.
1−a2
Probar que h es un ho-
(ii) Análogamente, para n ≥ 1, la esfera unidad en el espacio euclı́deo de dimensión n+1
se define por Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : x21 + . . . + x2n+1 = 1}. Probar que la
aplicación
h : (Sn − {(0, . . . , 0, 1)}, du ) −→ (Rn , du ), dada por h(a1 , . . . , an+1 ) =
a1
, . . . , 1−aann+1 , es un homeomorfismo: es la proyección estereográfica.
1−an+1
26.- Probar que el espacio euclı́deo (Rn , τu ) es homeomorfo al subespacio (En , τu ), donde
En = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn : x21 + · · · + x2n < 1}.
25.- Probar que el n-sı́mplice unidad (∆n , τu ), donde:
∆n = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 : xi ≥ 0, ∀i ∈ {1, · · · , n + 1}, x1 + · · · + xn+1 = 1},
es homeomorfo al cubo n-dimensional ([0, 1]n , τu ).
27.- Probar los siguientes enunciados:
(i) en (R, τu ), son homeomorfos todos los intervalos abiertos;
(ii) no son homeomorfos ((0, 1), τu ) y ([0, 1], τu );
4.4. Problemas
61
(iii) ((0, 1), τdis ) y ([0, 1], τdis ) son homeomorfos;
(iv) (N, τu ) y (Q, τu ) no son homeomorfos;
(v) (S1 , τu ) no es homeomorfa a ((0, 1), τu ).
28.- Probar que los espacios euclı́deos siguientes son dos a dos homeomorfos:
(i) el cilindro vertical X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1},
(ii) el plano privado del origen Z = R2 − {(0, 0)},
(iii) la corona circular W = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 4},
(iv) la esfera privada de los polos norte y sur, U = S2 − {N, S}, donde N = (0, 0, 1) y
S = (0, 0, −1),
(v) el cono privado de su vértice V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 , z > 0}.
29.- Probar que el primer cuadrante del plano ({(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}, τu ) y el
semiplano ({(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, τu ) son homeomorfos.
30.- Probar que las siguientes son propiedades topológicas:
(i) X es equipotente a N;
(ii) la topologı́a sobre X tiene el cardinal de N;
(iii) existe A ⊂ X, equipotente a N y denso;
(iv) X es metrizable;
pero, no son propiedades topológicas:
(i) la topologı́a sobre X está generada por la métrica d;
(ii) X es un subconjunto de R.
31.- Sean dos aplicaciones f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y g : (Y, τY ) −→ (X, τX ) continuas,
tales que f ◦ g = 1Y y g ◦ f = 1X . Probar que f y g son homeomorfismos.
32.- Sean f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) un homeomorfismo y g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ). Probar que
g es continua si y sólo si g ◦ f lo es.
33.- Sean f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación abierta y cerrada, una aplicación continua
ϕ : (X, τX ) −→ ([0, 1], τu ) y para cada y ∈ Y , φ(y) = sup{ϕ(x) : f (x) = y}. Probar que
φ es continua.
62
Capı́tulo 4. Continuidad
34.- Sean (X, τ ) y H(X,τ ) = {h : (X, τ ) −→ (X, τ ) : h homeomorfismo}. Se pide probar:
(i) con la composición de funciones como operación, H(X,τ ) es un grupo;
(ii) si X = [0, 1] y A = (0, 1) ⊂ X, sea ϕ : H(X,τ ) −→ H(A,τA ) definida por ϕ(h) = h|A .
Entonces, ϕ es un isomorfismo de grupos, aunque los espacios involucrados (X, τ )
y (A, τA ) no son homeomorfos.
35.- En (X, τ ) se verifica:
(i) si existe una sucesión {xn }n∈N ⊂ A que converge a x, entonces x ∈ A;
(ii) si A ∈ C, entonces para cada sucesión {xn }n∈N ⊂ A que converge a x, es x ∈ A;
(iii) si A ∈ τ , para cada sucesión {xn }n∈N que converge a x ∈ A, existe n0 ∈ N, tal que
para cada n ≥ n0 , es xn ∈ A;
(iv) si (X, τ ) es T2 , los lı́mites de sucesiones son únicos.
Además si (X, τ ) es CI , todas las implicaciones anteriores son equivalencias.
36.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una función. Probar:
(i) si f es continua es secuencialmente continua;
(ii) si (X, τX ) es CI , ambos conceptos de continuidad son equivalentes;
37.- Sean f, g : (X, τX ) −→ (Y, τY ) dos funciones. Se pide probar:
(i) si f y g son continuas e (Y, τY ) es T2 , entonces A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} ∈ CX ;
(ii) probar el principio de prolongación de las identidades: si f y g son continuas, (Y, τY )
es T2 , D es denso en X y f |D = g|D , entonces f = g;
Construcción de espacios topológicos
Mi plaza aún no ha dado su mejor lunes.
Las palomas se mancharon de poemas,
mi lápiz,desgraciadamente,
sigue siendo de madera...
madera que sangra.
Madera de ciudad.
“Madera de ciudad”
Mikel Varas
5.1.
Subespacios
Definición 5.1. Dado un espacio topológico (X, τ ), si A ⊂ X, se define una topologı́a
sobre A asociada a τ , por τA = {U ∩ A : U ∈ τ }, que se llama topologı́a relativa. Se dice
también que (A, τA ) es un subespacio de (X, τ ).
Proposición 5.1. Sea (X, τ ) un espacio topológico y A ⊂ X. Entonces:
(i) si V ⊂ A, es V ∈ τA si y sólo si existe U ∈ τ tal que V = U ∩ A;
(ii) si F ⊂ A, es F ∈ CA si y sólo si existe G ∈ C tal que F = G ∩ A;
(iii) si β es base de τ , entonces βA = {B ∩ A : B ∈ β} es base de τA ;
(iv) si σ es subbase de τ , entonces σA = {S ∩ A : S ∈ σ} es subbase de τA ;
(v) si a ∈ A, NaA = {M ∩ A : M ∈ Na } es la familia de entornos de a en (A, τA );
(vi) si a ∈ A y Ba es una base local de a en (X, τ ), la familia BaA = {B ∩ A : B ∈ Ba }
es una base local de a en (A, τA );
A
(vii) si B ⊂ A, con las notaciones obvias es B = B ∩ A y B ′A = B ′ ∩ A;
63
64
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
◦
◦A
(viii) si B ⊂ A, con las notaciones obvias es f rA (B) ⊂ f r(B) ∩ A y B ∩A ⊂B , y se
dan las igualdades cuando A ∈ τ .
Proposición 5.2. Sean (X, τ ) un espacio topológico y B ⊂ A ⊂ X. Se puede pensar
en B como un subespacio de (X, τ ), obteniendo la topologı́a relativa τB sobre B, o
como subespacio de (A, τA ), obteniendo la topologı́a relativa (τA )B sobre B. Entonces,
τB = (τA )B .
Ejemplos 5.1. En los espacios topológicos estudiados, tenemos:
(1) en (X, τind ), para todo A ⊂ X, τA = τind ;
(2) en (X, τdis ), para todo A ⊂ X, τA = τdis ;
(3) en (X, τA ), si B ∩ A 6= ∅, es τB = τA∩B y si B ∩ A = ∅, es τB = τdis ;
(4) en (X, τ A ), si B ∩ A 6= ∅, es τB = τ A∩B y si B ∩ A = ∅, es τB = τdis ;
(5) en (X, τcof ), si A es infinito, es τA = τcof y si A es finito, es τA = τdis ;
(6) en (X, τcoc ), si A es no contable, es τA = τcoc y si A es contable, es τA = τdis .
Lema 5.3. iA : (A, τA ) −→ (X, τX ) es continua.
La continuidad no depende del rango de la función:
Corolario 5.4. f : (Y, τY ) −→ (A, τA ) es continua si y sólo si iA ◦ f : (Y, τY ) −→ (X, τX )
lo es.
Definición 5.2. Una propiedad P se dice hereditaria, si cuando (X, τ ) verifica P, la
cumple cualquier subconjunto de X. P se llama débilmente hereditaria si la heredan sólo
los A ∈ C, y se llama casi hereditaria si pasa únicamente a los A ∈ τ .
Ejemplos 5.2. Son hereditarias la propiedades T1 , T2 , CI , CII y la metrizabilidad. La
separabilidad es casi hereditaria.
Proposición 5.5. En (X, τ ), si A ⊂ X, se cumple:
(i) A ∈ τ si y sólo si iA : (A, τA ) −→ (X, τ ) es abierta (problema 13, apartado 4.4);
(ii) A ∈ C si y sólo si iA : (A, τA ) −→ (X, τ ) es cerrada;
(iii) cada B ∈ τA es tal que B ∈ τX si y sólo si A ∈ τ ;
(iv) cada B ∈ CA es tal que B ∈ C si y sólo si A ∈ C.
5.2. Aplicaciones combinadas
65
Definición 5.3. La restricción de una aplicación f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) a A ⊂ X, es la
función f ◦ iA = f |A : (A, τA ) −→ (Y, τY ).
Proposición 5.6. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua, para cada A ⊂ X la restricción
f ◦ iA = f |A : (A, τA ) −→ (Y, τY ) es continua.
Proposición 5.7. Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua y A ⊂ X, B ⊂ Y tales que
f (A) ⊂ B. La aplicación inducida por f |A , g : (A, τA ) −→ (B, τB ), es continua.
Un problema importante en topologı́a es el de extensión de aplicaciones continuas.
Definición 5.4. Una extensión de una aplicación continua f : (A, τA ) −→ (Y, τY ) de un
subespacio A ⊂ X al espacio total, es una aplicación continua g : (X, τX ) −→ (Y, τY ),
cuya restricción a A es f .
Un caso particular importante de extensión es el siguiente:
Definición 5.5. En (X, τ ), A ⊂ X es un retracto de X, si existe una aplicación continua, una retracción, r : (X, τ ) −→ (A, τA ), que extiende a 1A : (A, τA ) −→ (A, τA ) (la
identidad de A), es decir, para cada a ∈ A, es r(a) = a.
Observación 5.1. Una retracción es siempre sobreyectiva.
Ejemplo 5.1.
[0, 1] es un retracto de R en (R, τu ), ya que r : (R, τu ) −→ ([0, 1], τus ), dada
0 si t ≤ 0
t si t ∈ [0, 1] es una retracción.
por r(t) =
1 si t ≥ 1
5.2.
Aplicaciones combinadas
Definición 5.6. Dado un conjunto X, si {Ai }i∈I cubre X (es decir, X =
[
Ai ) y
i∈I
{fi : Ai −→ Y }i∈I es una familia de funciones tales que fi |Ai ∩Aj = fj |Ai ∩Aj , para cada i, j ∈ I, se define la función combinada de las anteriores, como la función f : X −→ Y
definida por f (x) = fi (x), si x ∈ Ai .
Proposición 5.8. Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos. Con las notaciones anteriores:
(i) si para cada i ∈ I, es Ai ∈ τX y la función fi : (Ai , τAi ) −→ (Y, τY ) es continua,
entonces la combinada f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) también lo es;
(ii) si para cada i ∈ I es Ai ∈ CX , la función fi : (Ai , τAi ) −→ (Y, τY ) es continua e I
es un conjunto finito, entonces la combinada es continua.
Observación 5.2. En el apartado (ii), I debe ser necesariamente finito. En efecto, si I =
R, 1R : (R, τu ) −→ (R, τdis ) no es continua y sin embargo 1R |{x} : ({x}, τu ) −→ (R, τdis )
es continua, para cada x ∈ R.
66
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
5.3.
Embebimientos
Definición 5.7. Un embebimiento es una aplicación continua f : (X, τX ) −→ (Y, τY ), tal
que sobre su imagen g : (X, τX ) −→ (f (X), τf (X) ) es un homeomorfismo.
Observación 5.3. Mediante un embebimiento, el espacio (X, τX ) “se piensa” como un
subespacio de (Y, τY ).
5.4.
Topologı́a producto. Proyecciones
Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos. La familia
βT yc = {U × V : U ∈ τX , V ∈ τY }
es base para una topologı́a sobre el producto X × Y , que se denomina topologı́a producto
o de Tychonov, y se denota por τX × τY o τT yc .
Ejemplos 5.3. Algunos ejemplos de productos son los siguientes:
(i) si τX = τY = τdis , entonces τT yc = τdis ;
(ii) si τX = τY = τind , entonces τT yc = τind ;
(iii) si X = Y = R y τX = τY = τu , entonces τT yc = τu .
Proposición 5.9. Las proyecciones canónicas
pX : (X × Y, τT yc ) −→ (X, τX )
y
pY : (X × Y, τT yc ) −→ (Y, τY )
son continuas, abiertas y sobreyectivas.
Observación 5.4. Las proyecciones no son cerradas en general: si X = Y = R y τX =
τY = τu , el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1} es cerrado en (R2 , τT yc ), pero
p1 (A) = R − {0} no lo es en (R, τu ).
Proposición 5.10. Una aplicación f : (Z, τZ ) −→ (X × Y, τT yc ) es continua si y sólo si
pX ◦ f y pY ◦ f lo son.
Proposición 5.11. Sea el espacio producto (X × Y, τT yc ), A ⊂ X y B ⊂ Y . Con las
notaciones obvias:
X
Y
A ×B =A×B
X×Y
y
◦
z }| {
A × B =A × B
◦X
◦Y
X×Y
.
5.5. Topologı́a cociente. Identificaciones
67
Definición 5.8. Una propiedad P se llama productiva, cuando si (X, τX ) e (Y, τY ) cumplen
P, entonces su producto (X × Y, τT yc ) también la verifica.
Proposición 5.12. Son productivas T1 , T2 , CI , CII , la separabilidad y la metrizabilidad.
De hecho, para todas ellas, (X, τX ) e (Y, τY ) son P si y sólo si (X × Y, τT yc ) lo es.
Proposición 5.13. Sea el espacio producto (X × Y, τT yc ), A ⊂ X y B ⊂ Y . Se cumple
que
(A × B, τT yc |A ) = (A × B, τA × τB ).
5.5.
Topologı́a cociente. Identificaciones
Muchos modelos geométricos sencillos como el cono, el cilindro o la pirámide se
construyen habitualmente pegando partes de una pieza plana de papel de acuerdo con
ciertas reglas. Esta operación es un ejemplo muy simple de la noción de objeto cociente.
En el caso de los espacios topológicos, se puede dar la noción de espacio topológico
cociente asociado a cualquier relación de equivalencia.
Definición 5.9. Una identificación es una aplicación f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) sobreyectiva,
tal que V ∈ τY si y sólo si f −1 (V ) ∈ τX .
Lema 5.14. f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una identificación si y sólo si es sobreyectiva y
(F ∈ CY si y sólo si f −1 (F ) ∈ CX ).
Proposición 5.15. Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua y sobreyectiva. Si f es abierta
(respectivamente, cerrada) es una identificación.
Observación 5.5. El recı́proco no es cierto: sea χ[0, 1 ) : ([0, 1], τus ) −→ ({0, 1}, τ ), donde
2
τ = {∅, {0, 1}, {1}}. Con esta topologı́a, χ[0, 1 ) es una identificación, que no es ni abierta
2
ni cerrada.
Sin embargo, se tiene la siguiente propiedad:
Proposición 5.16. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una identificación, entonces
(i) f es abierta si y sólo si para cada U ∈ τX , es f −1 (f (U )) ∈ τX ;
(ii) f es cerrada si y sólo si para cada F ∈ CX , es f −1 (f (F )) ∈ CX .
Proposición 5.17. Una identificación inyectiva es un homeomorfismo.
Proposición 5.18. La composición de identificaciones es una identificación.
Una de las propiedades fundamentales de las identificaciones es la siguiente:
68
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
Proposición 5.19. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una identificación y g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ )
es una aplicación, entonces g es continua si y sólo si g ◦ f lo es.
Demostración: Si g ◦ f es continua y V ∈ τZ , es g −1 (V ) ∈ τY , ya que g −1 (V ) ∈ τY si y
sólo si f −1 (g −1 (V )) ∈ τX . Y f −1 (g −1 (V )) = (g ◦ f )−1 (V ).
Teorema 5.20. (de transitividad) Dadas una identificación f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) y una
aplicación sobreyectiva g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ), g es identificación si y sólo si g ◦ f lo es.
Proposición 5.21. Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua y sobreyectiva. Si
existe s : (Y, τY ) −→ (X, τX ) continua y tal que f ◦ s = 1Y (s se llama una sección),
entonces f es una identificación.
Corolario 5.22. Toda retracción es una identificación.
Definición 5.10. Sea f : (X, τX ) −→ Y una aplicación sobreyectiva. Se define la topologı́a
cociente sobre Y por τf = {V ⊂ Y : f −1 (V ) ∈ τX }, es decir, es la mayor topologı́a sobre
Y para la que f continua. Además, con esta topologı́a, f es una identificación.
Definición 5.11. Sea X un conjunto. Una partición de X es una familia P = {Pi : i ∈ I}
de conjuntos no vacı́os, dos a dos disjuntos, cuya unión es X.
Sea la aplicación canónica q : (X, τ ) −→ P, que asocia a x ∈ X el único elemento de
P que lo contiene: q(x) = Pix . q es sobreyectiva y se puede dotar a P de la topologı́a
cociente asociada a q. Se dice que P es un cociente de (X, τ ).
Es claro que toda partición define una relación de equivalencia sobre X,
x ≃ y si y sólo si x e y pertenecen al mismo elemento de la partición.
Y recı́procamente toda relación de equivalencia ≃ determina una partición P = X/ ≃,
cuyos elementos son las clases de equivalencia. X/ ≃ es el cociente de X por la relación
de equivalencia, y se suele denotar τ≃ a la topologı́a cociente.
El rango de una identificación puede interpretarse como un espacio cociente:
Proposición 5.23. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una identificación, entonces (Y, τY ) es
homeomorfo al cociente de (X, τX ) por la relación de equivalencia x1 ≃ x2 si y sólo si
f (x1 ) = f (x2 ).
Demostración: Si q : (X, τX ) −→ (X/ ≃, τ≃ ) es la aplicación canónica, el homeomorfismo es h : (Y, τY ) −→ (X/ ≃, τ≃ ) definido por h(f (x)) = q(x).
5.5. Topologı́a cociente. Identificaciones
69
Definición 5.12. Una propiedad P se llama divisible, si cuando (X, τ ) verifica P, entonces cualquier cociente de (X, τ ) la verifica.
Proposición 5.24. La separabilidad es divisible.
Observación 5.6. Las demás propiedades topológicas vistas hasta ahora no son divisibles,
se verán contraejemplos en los problemas.
Ejemplos 5.4. Repasamos algunos ejemplos de espacios cociente.
(i) Contracción de un conjunto a un punto: sea (X, τ ), A ⊂ X y ≃ la relación de
equivalencia a ≃ b para a, b ∈ A. El espacio cociente (X/ ≃, τ≃ ) se suele denotar
por (X/A, τA ) y se dice que se ha realizado la contracción de A a un punto.
(ii) Adjunción de espacios: sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos disjuntos. Sea
A ∈ CX y f : (A, τA ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua. Sobre la suma disjunta
(X ∪ Y, τΣ ) (τΣ = {U ⊂ X ∪ Y : U ∩ X ∈ τX , U ∩ Y ∈ τY }) se define la
relación de equivalencia a ∼f f (a), para cada a ∈ A. El espacio cociente se denota
por (X ∪f Y, τf ) y se llama espacio de adjunción de (X, τX ) y de (Y, τY ) por f , la
aplicación de adjunción.
Algunos ejemplos de espacios de adjunción son:
si A ⊂ X es cerrado y se adjunta a Y = {y0 } por la aplicación f (A) = y0 ,
el espacio de adjunción asociado es homeomorfo al cociente (X/A, τA ). Si
(X = [0, 1], τu ) y A = {0, 1}, el espacio de adjunción correspondiente es
homeomorfo a (S1 , τu );
si (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos disjuntos, (X, τX ) es T1 , x ∈ X e
y ∈ Y , se define el “wedge”de X e Y , (X ∨ Y, τ∼ ), como el cociente de su
suma disjunta, tras identificar los puntos base x e y.
(iii) Una variedad topológica de dimensión n, (M, τ ), es un espacio topológico T2 y
CII , tal que todo x ∈ M posee un entorno abierto U que es homeomorfo al espacio
euclı́deo Rn , es decir, M es un espacio localmente euclı́deo.
Algunos ejemplos de variedades son:
(Rn , τu ) o cualquier abierto en él es una variedad de dimensión n;
la esfera (Sn , τu ) es una variedad de dimensión n: basta con usar la proyección
estereográfica (problema 25 en el apartado 4.4);
el espacio proyectivo real (RPn , τ∼ ) es una variedad de dimensión n: puede
verse como el cociente de (Sn , τu ) por la relación de equivalencia x ∼ −x
que identifica puntos antipodales. Si se toman los abiertos Ui+ = {x ∈ Sn :
xi > 0} y Ui− = {x ∈ Sn : xi < 0} y los homeomorfismos ϕi : Ui+ −→ B
70
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
y ϕi : Ui− −→ B, dados por ϕi (x) = (x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ), donde B =
{z ∈ Rn : z12 + · · · + zn2 < 1}, entonces los conjuntos Ui = ϕi (Ui+ ) son
abiertos, pues su imagen recı́proca por la aplicación cociente es Ui+ ∪ Ui− .
Además, la proyección define un homeomorfismo entre Ui+ y su imagen Ui ;
como (Rm × Rn , τu × τu ) es homeomorfo a (Rm+n , τu ), el producto de dos
abiertos es un abierto y el producto de homeomorfismos es un homeomorfismo, se deduce que el producto de una variedad m-dimensional (M, τM ) y
de una variedad n-dimensional (N, τN ) es una variedad (m + n)-dimensional
(M × N, τM × τN ). Ası́, (S1 × S1 , τu ) es una variedad de dimensión 2.
(iv) una superficie S es una variedad de dimensión 2.
Son superficies importantes:
en ([0, 1]2 , τu ) se identifican (x, 0) ≃ (x, 1) para cada x ∈ [0, 1] y (0, y) ≃
(1, y) para cada y ∈ [0, 1]. Al cociente ([0, 1]2 / ≃, τ≃ ) se le llama toro de dimensión dos (T2 , τu ). La aplicación f : ([0, 1]2 , τu ) −→ (S1 × S1 , τu ) definida
por f (s, t) = (cos(2πs), sin(2πs), cos(2πt), sin(2πt)) pasa al anterior cociente. Ası́, (T2 , τu ) es homeomorfo al producto (S1 × S1 , τu );
en ([0, 1]2 , τu ) se identifica (0, y) ≃ (1, 1−y), para cada y ∈ [0, 1]. Al cociente
([0, 1]2 / ≃, τ≃ ) se le llama banda de Möbius (M, τu ). En realidad, la banda de
Möbius es una superficie con borde;
en ([−1, 1]2 , τu ) se identifican (x, 0) ≃ (−x, 1) para cada x ∈ [−1, 1] y
(0, y) ≃ (1, y) para cada y ∈ [−1, 1]. Al cociente ([−1, 1]2 / ≃, τ≃ ) se le
llama botella de Klein (K2 , τu ).
5.6.
Problemas
1.- Sean X = Y y τX = τY = τ . Sea d : (X, τ ) −→ (X × X, τT yc ) dada por pX (d(x)) =
x. Probar que es un embebimiento: es el llamado embebimiento diagonal.
2.- Probar que f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua si y sólo si G : (X, τX ) −→ (X × Y, τT yc )
definida por G(x) = (x, f (x)), es un embebimiento.
3.- Sea X un conjunto y {τi }ni=1 una familia de topologı́as sobre X. Probar que el espacio
n
Y
(X, sup{τi }ni=1 ) es homeomorfo a la diagonal del producto ( Xi , τT yc ).
i=1
4.- Sea I un conjunto finito de ı́ndices. Se pide probar
(i) los productos son
es decir, si {Iλ : λ ∈ Λ}
Yasociativos,
Y
Yes una partición de I, entonces
el producto ( ( Xi ), τT yc ) es homeomorfo a ( Xi , τT yc );
λ∈Λ i∈Iλ
i∈I
5.6. Problemas
71
(ii) los productos
I es una aplicación biyectiva,
Yson conmutativos, es decir, si ψ : I −→Y
entonces ( Xi , τT yc ) es homeomorfo al producto ( Xψ(i) , τT yc ).
i∈I
i∈I
5.- Sean el plano de Sorgenfrey (R2 , τsor × τsor ) (obtenido como producto de dos rectas
de Sorgenfrey) y A = {(x, −x); x ∈ R}. Probar
(i) (A, τA ) es un espacio discreto;
(ii) A es cerrado en (R2 , τsor × τsor );
(iii) cada subconjunto B ⊂ A es cerrado en (R2 , τsor × τsor ).
6.- ¿ Es (N × N, τu ) homeomorfo a (N, τu )?
7.- Probar que el producto de espacios cofinitos no es un espacio cofinito.
8.- Sean p ∈ X, q ∈ Y , A = {p}, B = {q} y los espacios topológicos inclusión (X, τA ) e
(Y, τB ). Sea C = {(p, q)} ⊂ X × Y . Se pide comparar las topologı́as τA × τB y τC sobre
X ×Y.
9.- Se consideran las topologı́as sobre R
τ2 = {U ⊂ R : U c finito ó 2 6∈ U }
y
τ3 = {U ⊂ R : U c finito ó 3 6∈ U }.
Describir los abiertos de la topologı́a producto τ2 × τ3 sobre R2 y comparar esta topologı́a
con τ(2,3) = {W ⊂ R2 : W c finito ó (2, 3) 6∈ W }.
10.- Probar que (Rn+1 − {0}, τu ) es homeomorfo a (Sn × R, τu ), si n ≥ 1.
11.- Comparar la topologı́a del orden lexicográfico sobre R2 con la topologı́a producto
τdis × τu .
12.- Describir el plano de Kolmogorov (R2 , τkol × τkol ) y comparar su topologı́a con la
topologı́a usual de R2 . Calcular en este espacio la clausura y el interior de los conjuntos
A = {(x, y) ∈ R2 : x = 3} y B = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}.
13.- Sea S1 la circunferencia unidad de R2py sean r < R dos números reales positivos.
Sea el conjunto T = {(x, y, z) ∈ R3 : ( x2 + y 2 − R)2 + z 2 = r2 }. Probar que la
aplicación f : (T, τu ) −→ (S1 × S1 , τu × τu ) definida por
!!
! p
x2 + y 2 − R z
x
y
p
f (x, y, z) =
,
,
,p
r
r
x2 + y 2
x2 + y 2
es un homeomorfismo.
14.- Sean (X, τX ), (Y, τY ) y (Z, τZ ) espacios. Probar que aunque (X × Y, τX × τY ) sea
homeomorfo a (X × Z, τX × τZ ), no es necesariamente (Y, τY ) homeomorfo a (Z, τZ ).
15.- Probar las siguientes propiedades:
72
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
(i) (X, τ ) es T2 si y sólo si la diagonal ∆(X) = {(x, x) ∈ X × X} es cerrada en
(X × X, τT yc );
(ii) si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua e (Y, τY ) es T2 , entonces el conjunto A =
{(x1 , x2 ) ∈ X × X : f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en (X × X, τT yc );
(iii) si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una aplicación abierta y sobreyectiva y el conjunto A =
{(x1 , x2 ) ∈ X × X : f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en (X × X, τT yc ), entonces (Y, τY )
es T2 ;
(iv) si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es una aplicación abierta, continua y sobreyectiva, entonces el conjunto A = {(x1 , x2 ) ∈ X × X : f (x1 ) = f (x2 )} es cerrado en
(X × X, τT yc ) si y sólo si (Y, τY ) es T2 .
16.- Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos, ∼X y ∼Y relaciones de equivalencia sobre X e Y respectivamente y f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua preservando
las relaciones (es decir, si a ∼X b entonces f (a) ∼Y f (b)). Probar:
(i) la aplicación f∗ : (X/ ∼X , τ∼X ) −→ (Y / ∼Y , τ∼Y ), definida por f∗ (pX (x)) = pY (f (x))
(pX y pY son las aplicaciones canónicas) es continua;
(ii) si f es identificación, entonces f∗ también lo es.
17.- Sean ∼1 y ∼2 dos relaciones de equivalencia sobre (X, τ ), tales que si x ∼1 y,
entonces x ∼2 y. Probar que (X/ ∼2 , τ∼2 ) es un cociente de (X/ ∼1 , τ∼1 ).
18.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua. Se pide:
(i) si g : (Y, τY ) −→ (Z, τZ ) es continua y g ◦ f es una identificación, g también lo es;
(ii) si existe A ⊂ X tal que f |A : (A, τA ) −→ (Y, τY ) es una identificación, f también lo
es.
19.- Si ∼ es una relación de equivalencia sobre (X, τ ), probar que son equivalentes:
(i) la aplicación canónica es cerrada (respectivamente, abierta);
(ii) para cada A ∈ C (respectivamente, A ∈ τ ), su ∼-saturación es cerrada (respectivamente, abierta).
20.- Sea (X, τ ) un espacio topológico y ∼ una relación de equivalencia sobre X. Probar
que son equivalentes
(i) la aplicación canónica es abierta (también se dice que ∼ es abierta);
(ii) el interior de cada conjunto ∼-saturado es ∼-saturado;
5.6. Problemas
73
(iii) la clausura de cada conjunto ∼-saturado es ∼-saturado.
21.- Sea r : (X, τX ) −→ (A, τA ) una retracción. Probar que si R(r) es la relación de equivalencia sobre X inducida por r, entonces el cociente (X/R(r), τR(r) ) es homeomorfo al
subespacio (A, τA ).
22.- Sea (X, τ ) y ∼ una relación de equivalencia sobre X. Probar:
(i) el cociente es indiscreto si y sólo si los únicos abiertos ∼-saturados son ∅ y X;
(ii) si toda clase de equivalencia es densa en (X, τ ), entonces el cociente es indiscreto.
Aplicarlo al caso de (R, τu ) con la relación x ∼ y si y sólo si x − y ∈ Q;
(iii) el cociente es discreto si y sólo si todo conjunto ∼-saturado es abierto en (X, τ );
(iv) el cociente es discreto si y sólo si toda clase de equivalencia es abierta en (X, τ ).
23.- Sobre (X, τ ), se define la relación x ∼ y si y sólo si {x} = {y}. Probar
(i) todo cerrado en (X, τ ) (respectivamente, todo abierto) es un conjunto ∼-saturado;
(ii) la aplicación canónica es abierta y cerrada.
24.- Sean (X, τ ), A ⊂ X y la relación de equivalencia definida por a ∼ b para a, b ∈ A.
Sea p : (X, τ ) −→ (X/ ∼, τ∼ ) la aplicación canónica y a ∈ A. Se pide:
(i) si τ es la topologı́a A-inclusión, probar que τ∼ es la topologı́a p(a)-inclusión;
(ii) si τ es la topologı́a A-exclusión, probar que τ∼ es la topologı́a p(a)-exclusión.
25.- Sean (X, τ ) y (X × [0, 1], τ × τu ). Sobre X × [0, 1], se considera la relación de
equivalencia (x, 1) ∼ (y, 1), para cada x, y ∈ X. El cociente bajo esta relación se denota
por (C(X), τ∼ ) y se llama cono de X. Probar que (X, τ ) se identifica con el subespacio
(X × {0}, τ∼ ) de (C(X), τ∼ ).
Sea (X × [−1, 1], τ × τu ). Sobre X × [−1, 1], se considera la siguiente relación de equivalencia (x, 1) ≃ (y, 1) y (x, −1) ≃ (y, −1), para cada x, y ∈ X. El cociente se denota
(S(X), τ≃ ) y se llama suspensión de X. Probar
(i) (S(X), τ≃ ) es un cociente de (C(X), τ∼ );
(ii) toda aplicación continua entre dos espacios topológicos induce otra entre los conos
(respectivamente, las suspensiones) correspondientes;
(iii) (S(Sn ), τ≃ ) es homeomorfo a (Sn+1 , τus ), para cada n ≥ 0;
74
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
(iv) (C(S1 ), τ∼ ) es homeomorfo a la bola cerrada unidad de (R2 , τu ). Para n ∈ N,
(C(Sn ), τ∼ ) es homeomorfo a la bola cerrada unidad de (Rn+1 , τu );
(v) (C(X), τ∼ ), se obtiene adjuntando (X × [0, 1], τX × τu ) a ({y0 }, τdis ), por la aplicación f (X × {1}) = y0 ;
(vi) la suspensión de X, (S(X), τ≃ ), se obtiene adjuntando (X × [−1, 1], τX × τu ) al
espacio (Y = {a, b}, τdis ) por la función g(X × {1}) = a y g(X × {−1}) = b;
(vii) si se adjunta (X × [0, 1] × Y, τX × τu × τY ) a la unión disjunta (X ∪ Y, τΣ ) mediante
la aplicación f (x, 0, y) = x y f (x, 1, y) = y, se obtiene el join de X e Y , denotado
(X ∗ Y, τ∗ ). Entonces, (X ∗ {x0 }, τ∗ ) es homeomorfo a (C(X), τ∼ ) y (X ∗ S0 , τ∗ )
es homeomorfo a (S(X), τ≃ ).
26.- Sea (X = (R × {0}) ∪ (R × {1}), τΣ ) la suma disjunta de dos copias de la recta real.
Sea ∼ la relación de equivalencia definida por (x, 0) ∼ (x, 1) si x 6= 0. Se pide
(i) estudiar si el espacio cociente es T1 o T2 ;
(ii) si p la aplicación canónica, ¿es p abierta?
27.- Sean (X = ([−1, 1] × {1}) ∪ ([−1, 1] × {−1}), τus ) y la relación de equivalencia
que identifica los puntos (−1, 1) ∼ (−1, −1) y (1, 1) ∼ (1, −1). Probar que el cociente
(X/ ∼, τ∼ ) es homeomorfo a (S1 , τu ).
28.- Sobre ([−1, 1], τu ), se identifican los puntos x ∼ −x si x 6= 1, −1. Probar que la
aplicación canónica es abierta y que el espacio cociente bajo esta relación es T1 , pero no
T2 .
29.- Sea (R, τ ), donde τ es la topologı́a {0}-inclusión. Se identifican los puntos x ∼ −x,
para x ∈ R. Demostrar que el espacio cociente (R/ ∼, τ∼ ) es homeomorfo a ([0, ∞), τ0 )
(donde τ0 es la topologı́a {0}-inclusión) y estudiar si la aplicación canónica es abierta o
cerrada.
30.- Sobre (R2 , τu × τdis ) se define la relación de equivalencia (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si y sólo
si x21 + y12 = x22 + y22 . Se pide
(i) demostrar que el cociente (R2 / ∼, τ∼ ) es homeomorfo a ([0, ∞), τus );
(ii) estudiar si la aplicación canónica es abierta o cerrada;
(iii) hacer el mismo ejercicio, tomando como espacio de partida (R2 , τu ).
31.- Se considera en (R, τu ) la relación de equivalencia x ∼ y si y sólo si x − y ∈ Z.
Demostrar que el cociente (R/ ∼, τ∼ ) es homeomorfo a (S1 , τu ).
5.6. Problemas
75
32.- Sea Γ ⊂ R2 el semiplano superior cerrado. Se considera:
◦
(1) para cada punto p = (x, y) ∈ Γ con y > 0, Bp = {B (p, ǫ) ∩ X : ε > 0},
◦
(2) para cada p = (x, 0) ∈ Γ, Bp = {(B (p, ǫ) ∩ P ) ∪ {p} : ε > 0}.
Se pide:
(i) demostrar que queda ası́ definido un sistema fundamental de entornos para una topologı́a
τ sobre Γ. Compararla con τu y la de Moore τmoo (problema 25 en el apartado 2.7);
(ii) se define sobre Γ la relación de equivalencia: (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) si y sólo si x1 = x2 .
Estudiar si la aplicación canónica p : (Γ, τ ) −→ (Γ/ ∼, τ∼ ) es abierta o cerrada;
(iii) demostrar que el cociente (Γ/ ∼, τ∼ ) es homeomorfo a la recta real.
33.- Se consideran los subespacios euclı́deos ([0, 1]n , τu ) y
^
([0,
1]n = {(x1 , · · · , xn ) ∈ [0, 1]n : ∃j ∈ {1, · · · , n} : xj = 0 ó 1}, τu ).
^
Se define una relación de equivalencia sobre [0, 1]n por: x ∼ y si x, y ∈ [0,
1]n . Probar
n
n
que el cociente ([0, 1] / ∼, τ∼ ) es homeomorfo a (S , τu ).
34.- En el plano euclı́deo, se considera la relación de equivalencia (a, x) ∼ (a, y), para
cada x, y ∈ R, si a 6= 0. Se pide describir el espacio cociente. Si p denota la aplicación canónica, estudiar la convergencia de las sucesiones {p(0, n1 )}n∈N , {p( n1 , 0)}n∈N
y {p(n, n1 )}n∈N .
35.- Sobre ({(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, τu ), se define la relación de equivalencia (x1 , y1 ) ∼
(x2 , y2 ) si y1 = y2 6= 0 ó y1 = y2 = 0 y x1 = x2 . Probar que la aplicación canónica no es
cerrada.
36.- Una n-celda es un espacio homeomorfo al disco cerrado (Dn , τu ). Si consideramos
f r(Dn ) = Sn−1 ⊂ Dn , (Y, τY ) un espacio topológico y f : (Sn−1 , τu ) −→ (Y, τY ) una
aplicación continua, se dice que Yf = Dn ∪f Y es el espacio obtenido al adjuntar una
n-celda a Y por f . Se pide probar:
(i) la botella de Klein (K2 , τu ) se obtiene adjuntando una 2-celda a (S1 ∨ S1 , τ∼ );
(ii) si (Y, τY ) = (S1 , τu ) y f : (S1 , τu ) −→ (Y, τY ) es f (z) = z 2 , entonces, D2 ∪f Y es el
plano proyectivo real.
76
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
37.- Si p : ([0, 1]2 , τu ) −→ (M, τu ) es la aplicación cociente, el subespacio de M definido por p([0, 1] × {0, 1}) (la arista de la banda) es homeomorfo a (S1 , τu ). Probar que la
botella de Klein es homeomorfa al espacio de adjunción de dos bandas de Möbius por la
aplicación identidad que identifica sus aristas.
38.- Se puede probar (ver [BvR]) que la botella de Klein no puede embeberse en R3 , pero
si en R4 : en efecto, se considera f : ([−1, 1]2 , τu ) −→ (R4 , τu ) dada por
πy
πy
f (x, y) = (1 + |x|) cos πy, (1 + |x|) sin πy, sin πx cos , sin πx sin
.
2
2
Entonces, f es continua y pasa al cociente dado en los ejemplos 5.4.
39.- Una superficie es orientable si no contiene ningún subespacio homeomorfo a la banda
de Möbius. En caso contrario se dice no orientable. Se pide probar:
(i) el plano proyectivo real es homeomorfo al espacio de adjunción de una banda de
Möbius y un disco cerrado por la aplicación identidad que identifica la arista de M
y la frontera del disco;
(ii) la botella de Klein y el plano proyectivo real son no orientables;
(iii) la orientabilidad es una propiedad topológica;
(iv) al contrario que las superficies no orientables, toda superficie orientable puede embeberse en R3 ;
(v) el plano proyectivo real puede embeberse en R4 (aunque no en R3 ): se considera la
función f : (R3 , τus ) −→ (R4 , τus ) dada por f (x, y, z) = (x2 − y 2 , xy, yz, xz). La
imagen por f de dos puntos antipodales de S2 ⊂ R3 es el mismo punto de R4 ,
por lo que esta función pasa al cociente dado en los ejemplos 5.4, definiendo un
embebimiento del RP2 en R4 .
40.- El toro generalizado es un producto de esferas (Sm ×Sn , τus ). El n-cubo [0, 1]n ⊂ Rn
tiene como frontera f r([0, 1]n ) = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : existe i tal que xi = 0 ó 1}. Ası́,
f r([0, 1]m × [0, 1]n = [0, 1]m+n ) = (f r([0, 1]m ) × [0, 1]n ) ∪ ([0, 1]m × f r([0, 1]n )). Sean
zm ∈ Sm y zn ∈ Sn puntos base. Existe una aplicaciónfk : ([0, 1]k , τus ) −→ (Sk , τus ), tal
que fk (f r([0, 1]k )) = zk , para k ∈ {m, n}, que es un homeomorfismo relativo, es decir,
tal que la restricción fk |[0,1]k −f r([0,1]k ) : ([0, 1]k − f r([0, 1]k ), τus ) −→ (Sk − zk , τus ) es un
homeomorfismo. Tomando productos cartesianos en ambas dimensiones, se obtiene una
aplicación fm × fn : ([0, 1]m × [0, 1]n , τT yc ) −→ (Sm × Sn , τT yc ), que lleva f r([0, 1]m+n )
sobre Sm ∨ Sn . Concluir, que Sm × Sn es homeomorfo al espacio obtenido adjuntando una
(m+n)-celda a Sm ∨Sn vı́a la aplicación fm × fn : f r([0, 1]m+n ) ≃ Sm+n−1 −→ Sm ∨ Sn .
5.6. Problemas
77
41.- Sea el espacio (Rn , τZar ). Se define sobre Rn la relación (x1 , . . . , xn ) ∼ (y1 , . . . , yn )
si y sólo si xi = yi para 1 ≤ i ≤ n − 1. Probar que el espacio cociente (Rn / ∼, τ∼ ) es
homeomorfo a (Rn−1 , τZar ).
42.- Separado de un espacio topológico: sea (X, τ ) un espacio topológico. Se define la
siguiente relación binaria sobre X: para cada x, y ∈ X, x ≃ y si para cada espacio
topológico T2 (Y, τY ) y toda aplicación continua f : (X, τ ) −→ (Y, τY ), se tiene f (x) =
f (y). Se pide probar
(i) ≃ es una relación de equivalencia sobre X;
(ii) el espacio cociente (X/ ≃, τ≃ ) es T2 ;
(iii) para cada espacio T2 (Y, τY ) y toda aplicación continua f : (X, τ ) −→ (Y, τY ), existe una aplicación continua f : (X/ ≃, τ≃ ) −→ (Y, τY ), de manera que f = g ◦ p,
donde p : (X, τ ) −→ (X/ ≃, τ≃ ) es la aplicación cociente.
43.- El espacio proyectivo real de dimensión n: en (Rn+1 − {0}, τu ) se identifican dos
puntos (x1 , . . . xn+1 ) ≃ (y1 , . . . yn+1 ) si y sólo si existe λ ∈ R − {0} tal que xi = λyi
para i ∈ {1, . . . , n}. Al cociente (Rn+1 − {0}/ ≃, τ≃ ) se le llama espacio proyectivo real
de dimensión n y se suele denotar (RPn , τu ). Se pide probar:
(i) (RPn , τu ) es homeomorfo al espacio cociente de (iii) en los ejemplos 5.4;
(ii) (RPn , τu ) se obtiene al adjuntar al espacio proyectivo real de dimensión n − 1,
(RPn−1 , τu ), una n-celda a través de la aplicación canónica pn−1 : Sn−1 −→ RPn−1 ;
(iii) RP0 es un punto, (RP1 , τu ) es homeomorfo a (S1 , τu ) y (RPn , τu ) es homeomorfo
al espacio métrico cuyos puntos son rectas de Rn+1 pasando por el origen, donde la
métrica se define como el ángulo entre rectas (que toma valores en [0, π2 ]);
(iv) sea πn : (Rn+1 − {0}, τus ) −→ (RPn , τu ) la aplicación canónica. Probar que es abierta, pero no cerrada;
(v) probar que el conjunto A = {(x, y) ∈ (Rn+1 −{0})×(Rn+1 −{0}) : πn (x) = πn (y)}
es cerrado en ((Rn+1 − {0}) × (Rn+1 − {0}), τT yc ) y deducir que (RPn , τu ) es T2 .
44.- El espacio proyectivo complejo de dimensión n: en el espacio complejo (Cn+1 , τu ),
se considera el subespacio
S2n+1 = {z = (z1 , . . . , zn+1 ) ∈ Cn+1 : kzk2 = kz1 k2 + · · · + kzn+1 k2 = 1}.
Se define sobre S2n+1 la relación de equivalencia: z ∼ z ′ si y sólo si existe c ∈ C con
kck = 1 y z ′ = cz. El cociente bajo esta relación de equivalencia es el espacio proyectivo
complejo de dimensión n y se suele denotar (CPn , τu ). Se pide probar:
78
Capı́tulo 5. Construcción de espacios topológicos
(i) el espacio proyectivo complejo de dimensión n, (CPn , τu ) se obtiene al adjuntar al
espacio proyectivo complejo de dimensión n−1, (CPn−1 , τu ), una 2n-celda a través
de la aplicación canónica qn−1 : S2n−1 −→ CPn−1 ;
(ii) sea qn : (S2n+1 , τu ) −→ (CPn , τu ) la aplicación cociente. S2n+1 puede pensarse como
un producto torcido de CPn y S1 : se dice que S2n+1 es un fibrado sobre CPn , de
fibra S1 ;
(iii) CP0 es un punto y (CP1 , τu ) es homeomorfo a (S2 , τu ). La aplicación de Hopf es
aplicación cociente q1 : (S3 , τu ) −→ (CP1 , τu ), función de enorme importancia en
topologı́a y geometrı́a;
(iv) (CPn , τu ) es homeomorfo al espacio métrico cuyos puntos son lı́neas complejas de
Cn+1 pasando por el origen, donde la métrica se define como el ángulo entre rectas
(que toma valores en [0, π2 ]).
45.- Para cada homeomorfismo h : (Sn−1 , τu ) −→ (Sn−1 , τu ) probar que el espacio de adjunción (Dn ∪h Dn , τ∼h ) es homeomorfo a (Sn , τu ).
46.- Probar las siguientes propiedades para superficies:
(i) (S1 ×S1 , τu ) es homeomorfo al espacio de adjunción de dos cilindros (S1 ×[0, 1], τu ) a
través de la aplicación identidad de una copia de cada cı́rculo frontera en una copia
del otro;
(ii) (S1 ×S2 , τu ) es homeomorfo al espacio de adjunción de dos toros sólidos (S1 ×D2 , τu )
a través de la aplicación identidad entre los toros frontera (S1 × S1 , τu );
(iii) (S3 , τu ) es homeomorfo al espacio de adjunción de dos toros sólidos (S1 × D2 , τu )
a través de la aplicación entre los toros frontera h : (S1 × S1 , τu ) −→ (S1 × S1 , τu )
definida por h(x, y) = (y, x): esta aplicación intercambia los meridianos y paralelos
de los toros frontera.
Compacidad
Los átomos pesan, pero tú eres leve,
semejante a las paredes de los conjuntos, a la teorı́a de los bordes
(porque me hundo al mirarte, en un océano de órbitas,
en una corriente levógira de espuma de elipses,
en un caudal de antimateria dis olv e n t e )
y aunque los átomos tengan masa, y cuerpo,
tú eres leve,
como si no quisieras otra órbita,
que la pureza del hueco.
Colibrı́ en “Quı́mica”
Sofı́a Rhei
La compacidad es una propiedad que proporciona a los espacios topológicos que la
satisfacen una estructura similar a la que poseen los conjuntos cerrados y acotados en
espacios euclı́deos.
6.1.
Espacios y conjuntos compactos
Definición[6.1. Un cubrimiento de X es una familia de conjuntos U = {Ui : i ∈ I}, tales
que X = Ui . Un subrecubrimiento de U es una subfamila V ⊂ U que aún cubre X.
i∈I
Definición 6.2. Un espacio (X, τ ) es compacto, si todo cubrimiento por abiertos de X
posee un subrecubrimiento finito. Y A ⊂ X es compacto si (A, τA ) lo es.
Lema 6.1. La compacidad es una propiedad absoluta, en el sentido de que, para ver si
A ⊂ X es compacto en (X, τ ), basta con estudiar los cubrimientos de A por abiertos de
(X, τ ).
79
80
Capı́tulo 6. Compacidad
Demostración
: Si A es compacto y U = {Ui : i ∈ I} es una familia de abiertos en (X, τ )
[
tal que A ⊂ Ui , entonces UA = {Ui ∩ A : i ∈ I} es un cubrimiento de A por abiertos
i∈I
en (A, τA ). Y recı́procamente, si V = {Vi : i ∈ I} es un cubrimiento de A por abiertos en
(A, τA ), para cada i ∈ I existe Ui ∈ τ tal que Vi = Ui ∩ A. Entonces U = {Ui : i ∈ I} es
una familia de abiertos en (X, τ ) que cubre A.
Observación 6.1. En (X, τ ):
1) los conjuntos finitos son compactos en cualquier espacio topológico;
2) en la definición de compacidad, pueden reemplazarse los abiertos por abiertos básicos
e incluso por subbásicos (teorema de la subbase de Alexander);
3) si A es compacto en (X, τ ) y τ ′ ⊂ τ , entonces A es compacto en (X, τ ′ );
4) la unión finita de compactos es compacta, no sucede lo mismo con la intersección.
Ejemplos 6.1. Algunos ejemplos de espacios compactos son:
1) en (X, τind ), todo subconjunto es compacto;
2) en (X, τdis ), los únicos compactos son los conjuntos finitos;
3) en (X, τA ), B es compacto si y sólo si B − A es finito;
4) en (X, τ A ), si B ∪ A 6= ∅ B es compacto y si si B ∪ A = ∅ B es compacto si y sólo
si es finito;
5) en (X, τcof ), todo subconjunto es compacto;
6) en (X, τcoc ), los únicos compactos son los conjuntos finitos;
7) en (R, τkol ), A es compacto si y sólo si está acotado inferiormente e ı́nf(A) ∈ A;
8) en (R, τu ), A es compacto si y sólo si A es cerrado y acotado: R no es compacto pues
U = {(−n, n) : n ∈ N} es un cubrimiento sin subcubrimiento finito;
9) en (R, τsca ), A es compacto si y sólo si A es acotado, A ∈ Csca y A ∩ I es finito;
10) en (R, τlac ), A es compacto si y sólo si (0 ∈ A ∈ Clac ) o (0 6∈ A y A es compacto
usual).
Definición 6.3. Una familia de subconjuntos de X, F, tiene la propiedad de intersección
finita, si la intersección de cualquier subcolección finita de elementos de F es no vacı́a.
6.2. Productos de espacios compactos
81
Teorema 6.2. En (X, τ ) es compacto si\y sólo si cualquier familia F ⊂ C con la
propiedad de intersección finita, verifica
F 6= ∅;
F ∈F
Proposición 6.3. La compacidad es débilmente hereditaria.
Demostración: Si (X, τ ) es compacto y A ∈ C, sea U = {Ui : i ∈ I} un cubrimiento de
A por abiertos de (X, τ ). Entonces U = {Ui : i ∈ I} ∪ {X −
[A} es un cubrimiento de
X por abiertos en (X, τ ). Existe J ⊂ I, J finito tal que X = Uj ∪ (X − A). Entonces
i∈J
[
A ⊂ Uj .
i∈J
Contraejemplo 6.1. La compacidad no es hereditaria: ([0, 1], τu ) es un espacio compacto,
pero ((0, 1), τu ) no lo es.
Proposición 6.4. La imagen continua de un compacto es un conjunto compacto.
Observación 6.2. Como la compacidad se preserva bajo aplicaciones continuas, es una
propiedad divisible.
Corolario 6.5. La compacidad es una propiedad topológica.
6.2.
Productos de espacios compactos
Teorema 6.6. Un producto de espacios es compacto si y sólo si cada espacio factor lo es.
Demostración: Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos y (X × Y, τT yc ) su producto.
Si (X × Y, τT yc ) es compacto, como las proyecciones son continuas y sobreyectivas, por
la proposición 6.4 cada espacio factor es compacto.
Supongamos ahora que (X, τX ) e (Y, τY ) son compactos. Sea W = {Ui × Vi : i ∈ I}
un cubrimiento de X × Y por abiertos básicos, es decir, Ui ∈ τX y Vi ∈ τY [
. Para cada
x ∈ X, {x} × Y es compacto, luego existe Ix ⊂ I finito tal que {x} × Y ⊂
Ui × Vi .
Puede suponerse además que x ∈ Ui para cada i ∈ Ix . Si
Ux∗
×Y ⊂
[
i∈Ix
∗
(Ui × Vi ). U =
{Ux∗
Ux∗
=
\
i∈Ix
Ui , es claramente
i∈Ix
: x ∈ X} es un cubrimiento por abiertos de (X, τX ),
que es compacto, luego existe {x1 , . . . , xn } ⊂ X tal que X = Ux∗1 ∪ · · · ∪ Ux∗n . Sea I ∗ =
[
Ix1 ∪· · ·∪Ixn , subconjunto finito de I. Es fácil comprobar que X×Y ⊂
(Ui ×Vi ).
i∈I ∗
82
Capı́tulo 6. Compacidad
6.3.
Compacidad secuencial
Definición 6.4. Un espacio topológico (X, τ ) secuencialmente compacto si toda sucesión
en (X, τ ) posee una subsucesión convergente.
En general, no hay relación entre las nociones de compacidad y de compacidad secuencial.
Definición 6.5. Un espacio topológico (X, τ ) posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass,
si todo subconjunto infinito en X posee un punto de acumulación.
Proposición 6.7. Si (X, d) es un espacio métrico, la propiedad de Bolzano-Weierstrass,
la compacidad secuencial y la compacidad son propiedades equivalentes.
6.4.
Compacidad en espacios de Hausdorff
En los espacios de Hausdorff, la compacidad proporciona propiedades especiales.
Lema 6.8. Sea (X, τ ) de Hausdorff, A ⊂ X compacto y x 6∈ A. Existen U, V ∈ τ
disjuntos, tales que x ∈ U y A ⊂ V .
Demostración: Para cada a ∈ A, es x 6= a. Por la propiedad de Hausdorff, existen Ua , Va ∈
τ , disjuntos y tales que x ∈ Ua y a ∈ Va . U = {Va : a ∈ A} es un cubrimiento de A por
abiertos de X. Existen {a1 , . . . , an } ⊂ A, tales que A ⊂ Va1 ∪ · · · ∪ Van . Basta con tomar
U = U a 1 ∩ · · · ∩ Ua n y V = V a 1 ∪ · · · ∪ V a n .
Proposición 6.9. En un espacio (X, τ ) de Hausdorff, si A ⊂ X es compacto, entonces
A ∈ C.
Demostración: Si x 6∈ A, por el lema 6.8, existen U, V ∈ τ disjuntos, tales que x ∈ U y
A ⊂ V . Es x ∈ U ⊂ X − V ⊂ X − A, es decir, X − A ∈ τ .
Contraejemplo 6.2. La propiedad de Hausdorff es esencial: en (X, τind ), cualquier conjunto es compacto, pero no todo conjunto es cerrado.
Corolario 6.10. En un espacio (X, τ ) compacto y de Hausdorff, A ⊂ X es compacto si
y sólo si A ∈ C.
Los conjuntos compactos en espacios de Hausdorff pueden pensarse como una generalización de los puntos, en el siguiente sentido:
Proposición 6.11. Si A y B son compactos disjuntos en (X, τ ) de Hausdorff, existen
abiertos disjuntos U y V , tales que A ⊂ U y B ⊂ V .
6.5. Problemas
83
Demostración: A ⊂ X − B, luego para cada a ∈ A, es a 6∈ B. Por el lema 6.8, existen Ua , Va ∈ τ disjuntos, tales que a ∈ Ua y B ⊂ Va . Como A es compacto, existe
{a1 , . . . , an } ⊂ A, tal que A ⊂ Ua1 ∪ · · · ∪ Uan . Basta con tomar U = Ua1 ∪ · · · ∪ Uan y
V = V a1 ∩ · · · ∩ V an .
Contraejemplo 6.3. En (R, τind ), A = {1} y B = {2} son compactos disjuntos, sin
abiertos que los separen.
Proposición 6.12. Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua. Si (X, τX ) es compacto e (Y, τY )
es de Hausdorff, entonces f es cerrada.
Demostración: Sea A ∈ CX , por la proposición 6.3, A es compacto, luego f (A) también
lo es, por continuidad. Como (Y, τY ) es de Hausdorff, la proposición 6.9 garantiza que
f (A) ∈ CY .
Corolario 6.13. Si f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua y biyectiva, (X, τX ) es compacto
e (Y, τY ) es de Hausdorff, entonces f es un homeomorfismo.
Contraejemplo 6.4. f : ([0, 1), τu ) −→ (S1 , τu ) dada por f (t) = e2πit es continua y biyectiva, pero no es un homeomorfismo.
6.5.
Problemas
1.- Si la sucesión {xn : n ∈ N} converge a x0 en (X, τ ), probar que Rg{xn } ∪ {x0 } es
un conjunto compacto.
2.- Caracterizar los compactos de (Rn , τu ).
3.- Se dice que (X, τ ) es KC, si todo compacto en (X, τ ) es cerrado. Se trata de un
axioma de separación intermedio entre el de Hausdorff y el de Fréchet (ver ejercicio 7,
problemas 2.7). Si (X, τ ) es KC, probar:
(i) todo conjunto finito es cerrado;
(ii) la intersección arbitraria de conjuntos compactos es compacta;
(iii) las sucesiones poseen lı́mites únicos.
4.- Sea (X, τ ) un espacio topológico. Probar:
(i) la unión de finita de compactos en X es un conjunto compacto;
84
Capı́tulo 6. Compacidad
(ii) si (X, τ ) es de Hausdorff, la intersección arbitraria de compactos es un conjunto
compacto;
(iii) si (X, τ ) es de Hausdorff y A es compacto, entonces A′ y A son compactos.
5.- Sea (X, τ ) un espacio compacto y de Hausdorff y f : (X, τ ) −→ (X, τ ) una aplicación
continua. Demostrar que existe un cerrado no vacı́o F ⊂ X, tal que f (F ) = F .
6.- Sea (X, τ ) un espacio compacto y F una familia de funciones f : (X, τ ) −→ (R, τu )
continuas tal que:
(i) para f, g ∈ F, es f.g ∈ F y
(ii) para cada x ∈ X, existen f ∈ F y Ux ∈ Nx , tales que f (z) = 0 para z ∈ Ux .
Probar que la función idénticamente nula es un elemento de F.
7.- Sea (X, τX ) un espacio compacto, (Y, τY ) un espacio de Hausdorff y la proyección
paralela al factor compacto pY : (X × Y, τT yc ) −→ (Y, τY ). Probar que pY es cerrada.
8.- Sean (X, τX ) de Hausdorff e (Y, τY ) compacto y de Hausdorff. Probar que la función
f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) es continua si y sólo si su grafo Gf = {(x, f (x) : x ∈ X} es
cerrado en (X × Y, τT yc ).
9.- En ([0, 1], τu ) se define la relación de equivalencia R dada por: xRy si y sólo si x = y
ó {x, y} ⊂ {0, 21 }. Sea p la aplicación canónica, probar:
(i) p es cerrada y no es abierta;
(ii) el espacio cociente resultante es compacto y de Hausdorff.
S
10.- Sea ((0, 1), τ ), donde τ = {(0, 1), ∅} {(0, 1 − n1 ), n > 1}. Estudiar la compacidad
de los abiertos y los cerrados de (0, 1).
11.- Sea ([0, 1], τ ), donde τ es la topologı́a definida por:
(i) para cada x ∈ (0, 1), {x} es abierto y cerrado;
(ii) los entornos básicos de 0 son los usuales;
(iii) los entornos básicos de 1 son de la forma [0, 1] − F , donde F ⊂ [0, 1) es finito o el
rango de una sucesión que converge a 0 usualmente.
6.5. Problemas
85
Probar que este espacio es de Hausdorff y compacto.
12.- Sean X = {a, b} y (R × X, τu × τind ). Demostrar que los conjuntos
A = [0, 1) × {a} ∪ [1, 2] × {b} y B = [0, 1] × {a} ∪ (1, 2] × {b}
son compactos, pero que A ∩ B no lo es.
13.- Caracterizar los conjuntos compactos en los espacios topológicos siguientes:
(i) ([−1, 1], τ ), donde τ = {U ⊂ X : 0 6∈ U ó (−1, 1) ⊆ U };
(ii) la recta de Sorgenfrey, la cofinita, la connumerable, la de Kolmogorov, la enlazada o
la Scattered;
(iii) el plano de Moore, el radial o el Slotted.
14.- Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado y τ la topologı́a del orden sobre X.
Probar que (X, τ ) es compacto si y sólo si todo subconjunto no vacı́o posee supremo e
ı́nfimo.
15.- Una aplicación f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) se llama perfecta, si es una sobreyección
continua y cerrada con la propiedad de que para cada y ∈ Y , f −1 (y) es compacto. Si f es
perfecta, probar:
(i) si (X, τX ) es de Hausdorff, (Y, τY ) es de Hausdorff;
(ii) si (Y, τY ) es compacto, (X, τX ) es compacto;
(iii) para cada K compacto en (Y, τY ), f −1 (K) es compacto en (X, τX ).
16.- Sea (X, τX ) compacto y f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) una aplicación continua. Probar que
el grafo de f es compacto en (X × Y, τT yc ).
17.- Sea (X, τ ) compacto y {Kn : n ∈ N} una sucesión decreciente de cerrados. Probar
que su intersección es no vacı́a.
18.- Probar que la intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados y compactos en
(X, τ ) es un conjunto cerrado y compacto.
19.- Probar el Teorema de Kuratowski: un espacio de Hausdorff (X, τX ) es compacto si y
sólo si para cada espacio topológico (Y, τY ), la proyección pY : (X × Y, τT yc ) −→ (Y, τY )
es cerrada.
86
Capı́tulo 6. Compacidad
20.- Probar el Teorema de Alexandroff : sea (X, τ ) un espacio compacto y de Hausdorff
y R una relación de equivalencia cerrada, es decir, p : (X, τ ) −→ (X/R, τR ) es cerrada).
Se pide:
(i) probar que existe un único (salvo homeomorfismos) espacio de Hausdorff (Y, τY ),
y una función f : (X, τ ) −→ (Y, τY ) continua y sobreyectiva, tal que R = R(f )
(donde xR(f )y si y sólo si f (x) = f (y)). Además, (Y, τY ) es compacto;
(ii) recı́procamente, para cada función continua f : (X, τ ) −→ (Y, τY ) de un espacio
compacto y de Hausdorff (X, τ ) sobre un espacio de Hausdorff (Y, τY ), la relación
de equivalencia R(f ) es cerrada.
21.- Sea el espacio proyectivo real de dimensión n (ver ejercicio 43, problemas 5.6),
(RPn , τu ). Se pide:
(i) sea πn : (Rn+1 − {0}, τu ) −→ (RPn , τu ) la aplicación canónica. Probar que es abierta,
pero no cerrada;
(ii) probar que Γ = {(x, y) ∈ (Rn+1 − {0}) × (Rn+1 − {0}) : x ≃ y} es cerrado y
deducir que (RPn , τu ) es de Hausdorff;
(iii) sea ∼ la relación de equivalencia sobre Sn obtenida por restricción de ≃. Probar que
el espacio cociente (Sn / ∼, τ∼ ) es compacto;
(iv) sea ψn la restricción de πn a Sn . Probar que ψn es continua y define un homeomorfismo de (Sn / ∼, τ∼ ) sobre (RPn , τu ), por lo tanto el espacio proyectivo real de
dimensión n es compacto;
(v) sea g : (S1 , τu ) −→ (R2 , τu ) definida por g(x, y) = (x2 −y 2 , 2xy). Probar que g(S1 ) =
S1 y que g define un homeomorfismo de (S1 /S∼ , τ∼ ) sobre (S1 , τu ), con lo cual el
espacio proyectivo real de dimensión 1 es homeomorfo a (S1 , τu ).
Conexión
Entre nubes y rodeado de hierros.
Me enfado conmigo mismo
y con este mundo impuesto.
“Madera de ciudad”
Mikel Varas
7.1.
Espacios y subconjuntos conexos
La conexión es una extensión de la idea de que un intervalo de la recta real es de una
pieza. El problema de decidir cuando un espacio topológico es de una pieza se resuelve
decidiendo cuando puede romperse en dos abiertos disjuntos.
Definición 7.1. Una separación de un espacio topológico (X, τ ) está definida por un par
de abiertos U y V , disjuntos, cuya unión es X. Si uno de los dos abiertos es vacı́o, se dice
que la separación es trivial.
Definición 7.2. Un espacio topológico (X, τ ) es conexo, si la única separación que existe
es la trivial, y se dirá disconexo en caso contrario. Y A ⊂ X es conexo, cuando lo es
como subespacio.
Lema 7.1. En (X, τ ) son equivalentes:
(i) (X, τ ) es disconexo;
(ii) existen F y G cerrados disjuntos, no vacı́os, cuya unión es X;
(iii) existe A un subconjunto propio de X que es abierto y cerrado a la vez;
(iv) existe A un subconjunto propio de X, de frontera vacı́a;
(v) existe una aplicación f : (X, τ ) −→ ({0, 1}, τdis ) continua y sobreyectiva.
87
88
Capı́tulo 7. Conexión
Lema 7.2. Si (X, τ1 ) es conexo y τ2 ⊂ τ1 , entonces (X, τ2 ) es también conexo.
Lema 7.3. La conexión es una propiedad absoluta, en el sentido de que si B ⊂ A ⊂ X,
B es conexo en (X, τ ) si y sólo si lo es en (A, τA ).
Proposición 7.4. En (X, τ ), si A es abierto y cerrado a la vez y C es conexo, es necesariamente C ⊂ A o C ⊂ X − A.
Ejemplos 7.1. En los espacios topológicos conocidos, tenemos:
1) el vacı́o y los puntos son conexos en cualquier espacio topológico;
2) cualquier espacio en el que no existan abiertos (o cerrados) disjuntos es conexo;
3) en (X, τind ), todo subconjunto es conexo;
4) en (X, τdis ), los únicos conexos no vacı́os son los puntos;
5) en (X, τA ), si B ∩ A = ∅, B es conexo si y sólo si se reduce a un punto, y en caso
contrario es conexo;
6) en (X, τ A ), si B ∩ A = ∅, B es conexo si y sólo si se reduce a un punto, y en caso
contrario es conexo;
7) en (X, τcof ), A es conexo si y sólo si es vacı́o, se reduce a un punto o es infinito;
8) en (X, τcoc ), A es conexo si y sólo si es vacı́o, se reduce a un punto o es no contable;
9) en (R, τkol ), todo conjunto es conexo;
10) en (R, τsca ), los únicos conexos son el vacı́o y los puntos;
11) en (R, τu ), los conexos son los intervalos.
Definición 7.3. Un espacio (X, τ ) es totalmente disconexo si sus únicos conexos son el
vacı́o y los puntos.
Ejemplos 7.2. Los espacios discretos, la recta racional y el conjunto de Cantor (ver ejercicio 19, problemas 3.5), son ejemplos de espacios totalmente disconexos.
Teorema 7.5. La imagen continua de un conjunto conexo es conexo.
Observación 7.1. La conexión es una propiedad divisible.
Corolario 7.6. La conexión es una propiedad topológica.
7.1. Espacios y subconjuntos conexos
89
La conexión no es hereditaria, aunque existen algunos resultados parciales en subespacios:
Definición 7.4. En (X, τ ), A y B se dicen mutuamente separados si (A∩B)∪(A∩B) = ∅.
Teorema 7.7. En (X, τ ), C es conexo si y sólo si no existen A y B mutuamente separados
y no vacı́os, cuya unión es C.
Corolario 7.8. En (X, τ ), si A y B están mutuamente separados y C es un conjunto
conexo tal que C ⊂ A ∪ B, entonces C ⊂ A ó C ⊂ B.
Respecto a uniones de conjuntos conexos, se comprueban fácilmente las siguientes
propiedades:
Teorema 7.9. Dada una familia {Ci : i ∈ I} de conjuntos conexos en (X, τ ), tales que
existe i0 ∈ I con Ci ∩ Ci0 6= ∅ para cada i ∈ I, entonces su unión es un conjunto conexo.
Corolario 7.10. En (X, τ ), se verifica:
(i) dada una familia {Ci : i ∈ I} de conjuntos conexos tales que
un conjunto conexo;
\
i∈I
Ci 6= ∅, su unión es
(ii) si para cada par de puntos x, y ∈ X existe un conjunto conexo Cxy que los contiene,
entonces X es conexo;
(iii) dada una familia {Cn : n ∈ N} de conjuntos conexos tales que Cn ∩ Cn+1 6= ∅ para
cada n ∈ N, entonces su unión es un conjunto conexo.
Teorema 7.11. Si C es conexo en (X, τ ) y B ⊂ X es tal que C ⊂ B ⊂ C, entonces B es
conexo. En particular, la clausura de cualquier conjunto conexo es un conjunto conexo.
Ejemplo 7.1. Pueden usarse las anteriores propiedades para estudiar la conexión de algunos espacios:
1) (Rn , τu ) es conexo, ya que es la unión de todas las rectas que pasan por el origen de
coordenadas: es unión de conexos (conjuntos homeomorfos a la recta real) que se
cortan en un punto;
2) una bola abierta en (Rn , τu ) es un conjunto conexo, por ser homeomorfa al espacio
total. Por lo tanto, su clausura –la bola cerrada correspondiente– también es un
conjunto conexo; más aún, cualquier conjunto comprendido entre la bola abierta y
cerrada es conexo.
Teorema 7.12. El producto de espacios conexos es un espacio conexo si y sólo si cada
espacio factor lo es.
90
Capı́tulo 7. Conexión
Demostración: Sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios topológicos y (X × Y, τT yc ) su producto. Si el producto es conexo, al ser las proyecciones coordenadas continuas y sobreyectivas, cada espacio factor lo es. Recı́procamente, sean (X, τX ) e (Y, τY ) conexos y
supongamos que existe f : (X × Y, τT yc ) −→ ({0, 1}, τdis ) continua y sobreyectiva. Existen (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ X ×Y tales que f (a1 , b1 ) = 0 y f (a2 , b2 ) = 1. Si f (a2 , b1 ) = 0, sea
ia2 : (Y, τY ) −→ (X × Y, τT yc ) el embebimiento ia2 (y) = (a2 , y). Ası́ f ◦ ia2 es continua.
Pero f ◦ia2 (b1 ) = 0 y f ◦ia2 (b2 ) = 1, lo que contradice la conexión de (Y, τY ). De manera
similar, se prueba que tampoco puede ser f (a2 , b1 ) = 1. Luego no puede existir una tal f ,
y (X × Y, τT yc ) es conexo.
7.2.
Componentes conexas
Se describen las partes conexas maximales de un espacio topológico:
Definición 7.5. En (X, τ ), dado x ∈ X, al mayor conexo C(x) que contiene a x se le
llama componente conexa del punto x.
Lema 7.13. Las componentes conexas de (X, τ ) constituyen una partición del espacio.
Teorema 7.14. En (X, τ ) , las componentes conexas son conjuntos cerrados.
Proposición 7.15. Sea (X, τ ) un espacio topológico.
(i) (X, τ ) es conexo si y sólo si posee una única componente conexa (que es el espacio
total);
(ii) (X, τ ) es totalemente disconexo si y sólo si sus componentes conexas se reducen a
puntos.
Proposición 7.16. Sea (X, τ ) un espacio topológico y C una componente conexa. Si A
es conexo, entonces es A ⊂ C o A ⊂ X − C.
7.3.
Conexión por caminos
La conexión es una propiedad difı́cil de manejar, al tratarse de una propiedad en sentido negativo: un espacio topológico es conexo si no existe una separación no trivial por
abiertos disjuntos. La conexión por caminos posee la ventaja de ser una propiedad algebraica y en sentido positivo.
Definición 7.6. Dado un espacio topológico (X, τ ), un camino en X es una aplicación
continua σ : ([0, 1], τu ) −→ (X, τ ). Si σ(0) = a y σ(1) = b, se dice que σ es un camino de
a a b.
7.3. Conexión por caminos
91
Definición 7.7. (X, τ ) es conexo por caminos, si para todo par de puntos a, b ∈ X existe
un camino que los une.
Proposición 7.17. Si (X, τ ) es conexo por caminos, es conexo.
Demostración: Supongamos que (X, τ ) no fuera conexo. Existen U y V abiertos disjuntos
y no vacı́os cuya unión es X. Sea x ∈ U e y ∈ V y σ : ([0, 1], τu ) −→ (X, τ ) un camino
uniendo x e y. Entonces, σ −1 (U ) y σ −1 (V ) son abiertos en ([0, 1], τu ) y son una separación
no trivial de [0, 1], lo cual es un absurdo.
El recı́proco no es cierto:
Ejemplo 7.2. La curva seno topológico es el subespacio del plano euclı́deo
1
:x>0 .
A = ((−∞, 0] × {0}) ∪
x, sin
x
A es conexo, pero no es conexo por caminos.
Definición 7.8. X es localmente conexo por caminos, si cada punto de X posee una base
local formada por conjuntos conexos por caminos.
A pesar del ejemplo 7.2, existe un recı́proco parcial de la proposición 7.17
Proposición 7.18. Si X es conexo y localmente conexo por caminos, entonces es conexo
por caminos.
Ejemplos 7.3. A continuación se dan algunos ejemplos de espacios conexos por caminos:
1) los espacios indiscretos son conexos por caminos;
2) en la recta real, los conjuntos conexos y los conexos por caminos coinciden;
3) la conexión por caminos no es hereditaria;
4) para A ⊂ Rn , se verifica
si A es conexo y abierto, es conexo por caminos;
si A es convexo, es conexo por caminos;
si A es contable y n > 1, Rn − A es conexo por caminos.
Teorema 7.19. La imagen continua de un espacio conexo por caminos, es conexa por
caminos.
92
Capı́tulo 7. Conexión
Observación 7.2. La conexión por caminos es una propiedad divisible.
Corolario 7.20. La conexión por caminos es una propiedad topológica.
Teorema 7.21. El producto de espacios es conexos por caminos si y sólo si cada espacio
factor lo es.
7.4.
Componentes conexas por caminos
Sobre (X, τ ) se define la relación binaria:
x ∼ y si y sólo si existe un camino en X que une x e y.
Definición 7.9. ∼ es una relación de equivalencia sobre X cuyas clases son las componentes conexas por caminos de X.
Se denota usualmente por π0 (X) a la familia de estas clases. La componente conexa
por caminos de un punto x, c(x), es el mayor conjunto conexo por caminos de X que lo
contiene.
Definición 7.10. En (X, τ ), para cada x ∈ X, c(x) ⊂ C(x).
7.5.
Problemas
1.- Estudiar la conexiön en la recta real.
2.- Probar que si A es un conjunto convexo en (Rn , τu ), entonces es conexo. El recı́proco
no es cierto.
3.- Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios conexos y A ⊂ X, B ⊂ Y subconjuntos propios.
Probar que X × Y − (A × B) es conexo en (X × Y, τT yc ).
4.- Sea C conexo en (X, τ ) y A ⊂ X. Probar que si C ∩ A 6= ∅ =
6 C ∩ (X − A), entonces
C ∩ f r(A) 6= ∅.
5.- En (X, τ ), probar:
(i) el interior, la frontera, la intersección y la unión de conjuntos conexos no tiene porque
ser un conjunto conexo;
(ii) si A, B ∈ τ (respectivamente, A, B ∈ C), y A ∩ B y A ∪ B son conexos, entonces A
y B son conexos.
7.5. Problemas
93
6.- Dado (X, τ ) conexo, si τ ′ ⊂ τ ⊂ τ ′′ , estudiar la conexión de (X, τ ′ ) y (X, τ ′′ ).
7.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua y (X, τX ) conexo. Probar que el grafo de f es
conexo en (X × Y, τT yc ).
8.- Sea f : (X, τX ) −→ (Y, τY ) continua. Con las notaciones obvias, probar:
(i) para cada x ∈ X, f (C(x)) ⊂ C(f (x));
(ii) si f es un homeomorfismo, f induce una correspondencia biyectiva entre el conjunto
de las componentes conexas de (X, τX ) y el de las de (Y, τY ), siendo homeomorfas
las componentes conexas correspondientes;
(iii) si B una componente conexa en (Y, τY ), entonces f −1 (B) es una unión de componentes conexas. En particular, si f −1 (B) es conexo, será una componente conexa.
9.- Probar que conjunto abierto, cerrado y conexo en un espacio topológico es una componente conexa.
10.- Si (X, τ ) es conexo y existe f : (X, τ ) −→ (R, τu ) continua y no constante, entonces
X es no contable.
11.- Si (X, τ ) es conexo y de Fréchet con más de un punto, entonces X es infinito.
12.- Sea (X, τ ) un espacio topológico, ≃ una relación de equivalencia sobre X y la
proyección canónica p : (X, τ ) −→ (X/ ≃, τ≃ ). Probar:
(i) si (X/ ≃, τ≃ ) es conexo y todo conjunto abierto y cerrado a la vez en X es saturado,
entonces (X, τ ) es conexo;
(ii) si toda clase de equivalencia es conexa en (X, τ ), entonces B es una componente
conexa en (X/ ≃, τ≃ ), si y sólo si p−1 (B) es una componente conexa en (X, τ );
(iii) si (X/ ≃, τ≃ ) es conexo y toda clase de equivalencia es conexa en (X, τ ), entonces
(X, τ ) es conexo;
(iv) si ≃0 es la relación de equivalencia sobre X cuyas clases son las componentes
conexas, entonces (X/ ≃0 , τ≃0 ) es totalmente disconexo.
13.- Si (X, τ ) es conexo y k ∈ N, x se llama un punto de corte de orden k, si X − {x}
posee exactamente k componentes conexas. Se pide:
(i) probar que el número de puntos de un orden fijado es un invariante topológico;
94
Capı́tulo 7. Conexión
(ii) en la recta real, ¿qué tipos de puntos de corte poseen los intervalos [0, 1], (0, 1] y
(0, 1)?
(iii) si n > 1, (Rn , τu ) posee un punto de corte de orden 1. Deducir que (Rn , τu ) y (R, τu )
no son homeomorfos.
14.- Se pide probar:
(i) si (X, τ ) es totalmente disconexo, entonces τcof ⊂ τ ;
(ii) la disconexión total es una propiedad hereditaria y productiva;
(iii) la imagen continua de un espacio totalmente disconexo, no es necesariamente totalmente disconexa;
(iv) un espacio (X, τ ) compacto y de Hausdorff es totalmente disconexo si y sólo si
dados dos puntos x 6= y ∈ X, existe un subconjunto A abierto y cerrado a la vez,
tal que x ∈ A e y 6∈ A.
15.- Sea (X, τ ) un espacio topológico. Una cadena simple conectando los puntos a y b es
una familia finita {U1 , · · · , Un } ⊂ τ , tal que:
(a) a ∈ U1 y a 6∈ Ui para i > 1,
(b) b ∈ Un y b 6∈ Ui para i < n,
(c) Ui ∩ Uj 6= ∅ si y sólo si |i − j| ≤ 1.
Probar que su (X, τ ) es conexo y U = {Ui : i ∈ I} es un cubrimiento por abiertos de X,
entonces para cada a, b ∈ X, existe una cadena simple formada por elementos de U que
los conecta.
16.- Se dice que un espacio (X, τ ) es 0-dimensional, si posee una base β de τ , formada
por conjuntos abiertos y cerrados a la vez. Se pide:
(i) estudiar si son 0-dimensionales los siguientes espacios: (X, τind ), (X, τdis ), (R, τsor ),
(R, τu ), (Q, τu ), (I, τu ), el conjunto de Cantor;
(ii) probar que la 0-dimensionalidad es hereditaria y productiva;
(iii) la imagen continua de un espacio 0-dimensional, no es necesariamente 0-dimensional;
(iv) un espacio 0-dimensional es o indiscreto o disconexo;
(v) un espacio 0-dimensional y de Fréchet es totalmente disconexo;
7.5. Problemas
95
(vi) el recı́proco de (v) no es cierto, para probarlo estudiar el ejemplo de Knaster y
Kuratowski: sean C el conjunto de Cantor, A ⊂ C el conjunto de los puntos finales
de los intervalos abiertos que se eliminan en la construcción del conjunto de Cantor
(ver el ejercicio 19, problemas 3.5) y B = C − A. Sea p = ( 12 , 12 ) ∈ R2 y para cada
x ∈ C, sea Lx el segmento de lı́nea recta que une p y (x, 0). Sea
{(y1 , y2 ) ∈ Lx : y2 ∈ Q} si x ∈ A
{(y1 , y2 ) ∈ Lx : y2 ∈ I} si x ∈ B
[
Se considera el conjunto K =
L∗x ; probar que (K, τu ) es conexo. Sin embargo,
L∗x
=
x∈C
(K − {p}, τu ) es totalmente disconexo y no es 0-dimensional;
(vii) un espacio topológico localmente compacto y de Hausdorff es 0-dimensional si y
sólo si es totalmente disconexo.
17.- Probar las siguientes propiedades:
(i) si Y = ({0} × R) ∪ (R × {0}) y f : (R, τs ) −→ (Y, τu ) es continua y sobreyectiva,
entonces f −1 ((0, 0)) debe contener al menos tres puntos;
(ii) si f : (S1 , τu ) −→ ([0, 1], τu ) es continua y sobreyectiva, entonces si c ∈ (0, 1), el
conjunto f −1 (c) debe contener más de un punto.
18.- Probar que no son homeomorfos los siguientes pares de espacios:
(i) ([0, 1], τu ) y (R, τu );
(ii) (R, τu ) y (Rn , τu ) para n > 1;
(iii) ([0, ∞), τu ) y (R, τu );
(iv) ([0, 1], τu ) y (S1 , τu );
(v) (S1 , τu ) y (Sn , τu ) para n > 1.
19.- Probar que f : (R, τu ) −→ (Q, τu ) es continua si y sólo si es constante.
20.- En un espacio topológico (X, τ ) se define la relación binaria x ∼ y, si no existe
ninguna descomposición de X en dos abiertos disjuntos, uno de los cuales contiene a x y
el otro a y. Se pide:
(i) probar que ∼ es una relación de equivalencia sobre X: las clases de equivalencia
Q(x) se llaman casi-componentes;
96
Capı́tulo 7. Conexión
(ii) probar que cada casi-componente es la intersección de todos los conjuntos abiertos
y cerrados que contienen a un elemento dado;
(iii) probar que para cada x ∈ X es C(x) ⊂ Q(x) y toda casi-componente es una unión
de componentes;
(iv) una casi-componente abierta es una componente conexa;
(v) si (X, τ ) es compacto y de Hausdorff, entonces para cada x ∈ X, es C(x) = Q(x);
(vi) se consideran los subconjuntos deR2 : L1 = R × {1}, L2 = R × {−1}
y para
n
. Sea Y =
cada n ∈ N, el rectángulo Rn = (x, y) ∈ R2 : |x| ≤ n, |y| ≤
n+1
[
L1 ∪ L2 ∪ ( Rn ). Probar que en (Y, τu ) la componente de (0, 1) es L1 y su casin∈N
componente es L1 ∪ L2 .
21.- En un espacio topológico compacto en el que las componentes conexas son abiertas,
probar que sólo hay un número finito de componentes conexas.
22.- Sea (X, d) un espacio métrico conexo de diámetro δ(X) = sup{d(a, b) : a, b ∈ X}
infinito. Probar que toda esfera es no vacı́a.
23.- Probar que (Rn+1 − Sn , τu ) no es conexo.
24.- Probar que cualquier subconjunto abierto de (R, τu ) es una unión, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos y disjuntos.
25.- Sea (X, τ ) un espacio de Fréchet. Probar que cualquier conjunto conexo no trivial es
denso en sı́ mismo, es decir, no contiene puntos aislados.
26.- En este problema se trata de estudiar alguna de las aplicaciones de la conexión:
(i) teorema del valor intermedio: si f : ([a, b], τu ) −→ (R, τu ) es una aplicación continua,
f toma todos los valores entre dos cualesquiera de su imagen;
(ii) teorema del punto fijo: si f : ([0, 1], τu ) −→ ([0, 1], τu ) es una aplicación continua,
entonces existe x ∈ [0, 1] tal que f (x) = x;
(iii) sean (X, τX ) e (Y, τY ) espacios homeomorfos. Probar que cualquier función continua h : (X, τX ) −→ (X, τX ) posee un punto fijo si y sólo si toda k : (Y, τY ) −→ (Y, τY )
continua posee un punto fijo. Deducir que si f : ([a, b], τu ) −→ ([a, b], τu ) es una
aplicación continua, entonces posee un punto fijo;
7.5. Problemas
97
(iv) teorema del punto fijo de Brouwer: toda f : ([0, 1]n , τu ) −→ ([0, 1]n , τu ) continua
posee un punto fijo;
(v) teorema de Borsuk-Ulam: si f : (S1 , τu ) −→ (R, τu ) es continua, existen un par de
puntos antipodales z, −z ∈ S1 tales que f (z) = f (−z).
27.- Sea (X, τ ) un espacio de Hausdorff y {Cn : n ∈ N} una familia de conjuntos
compactos no vacı́os, conexos y encajados. Probar que la intersección de estos conjuntos
es un conjunto no vacı́o, compacto y conexo.
28.- Se dice que f : (X, τ ) −→ (R, τu ) es localmente constante si para cada x ∈ X existe
Ux ∈ τ , tal que x ∈ Ux , y la restricción de f a Ux es constante. Si (X, τ ) es conexo,
probar que toda aplicación continua y localmente constante es constante.
29.- Sean (X, τX ) y (Y, τY ) espacios conexos, A ⊂ X no vacı́o y f : (A, τA ) −→ (Y, τY )
una función continua. Probar que el espacio de adjunción (ver 5.4) (X ∪f Y, τ ) es conexo.
30.- Probar que no existe ninguna función continua f : (R, τu ) −→ (R, τu ), tal que f (Q) ⊂
R − Q y f (R − Q) ⊂ Q.
31.- Sea X un conjunto totalmente ordenado provisto de la topologı́a del orden. Se pide:
(i) probar que (X, τord ) es conexo si y sólo si todo conjunto A ⊂ X no vacı́o y acotado
superiormente admite una cota superior, y para cada x, y ∈ X, x < y, el intervalo
(x, y) = {z ∈ X : x < z < y} es no vacı́o;
(ii) si (X, τord ) es conexo, probar que un conjunto A ⊂ X es un intervalo si y sólo si
para x, y ∈ X, con x < y, es (x, y) ⊂ A;
(iii) probar que las partes conexas de (X, τord ) son los intervalos de X.
32.- Se consideran en el plano dos circunferencias concéntricas:
C1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
y
C2 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 4}.
Sea X = C1 ∪C2 . Se denota por p : C1 −→ C2 la proyección radial, es decir, la proyección
de C1 sobre C2 a través del punto (0, 0). Sobre X se define una topologı́a τ , tomando
como subbase la familia σ = {{z} : z ∈ C2 } ∪ {Uk (z) : k ∈ N, z ∈ C1 }, donde
Uk (z) = Vk (z) ∪ p(Vk (z) − {z}), siendo Vk (z) el arco de C1 de centro el punto z y
longitud k1 . El espacio (X, τ ) se llama circunferencia doble de Alexandroff o espacio de
las circunferencias concéntricas. Probar:
(i) C2 es un subespacio discreto de cardinal c, abierto y denso en (X, τ );
98
Capı́tulo 7. Conexión
(ii) C1 es compacto en (X, τ );
(iii) (X, τ ) es de Hausdorff, compacto y CI ;
(iv) (X, τ ) no es CII y no es separable;
(v) (X, τ ) es no metrizable, a pesar de ser la unión (no disjunta) de dos de sus subespacios metrizables;
(vi) las componentes conexas de (X, τ ) son C1 y cada uno de los puntos de C2 .
33. 1Sobre ([0, 1], τu ), se considera la relación de equivalencia xRy si y sólo si x, y ∈
0, 2 . Se pide probar:
(i) si p : ([0, 1], τu ) −→ ([0, 1]/R, τR ) es la proyección canónica, probar que es cerrada y
no abierta;
(ii) sea J = {1}×[0, 1]y (X = S1 ∪J, τu ); entonces la aplicación f : ([0, 1], τu ) −→ (X, τu )
(cos(4πt), sin(4πt)) si t ≤ 21
es continua y cerrada;
dada por f (t) =
(1, 2t − 1) si t ≥ 12
(iii) f : ([0, 1], τu ) −→ (X, τu ) induce un homeomorfismo entre los espacios ([0, 1]/R, τR )
y (X, τu );
(iv) deducir que ([0, 1]/R, τR ) es de Hausdorff, compacto y conexo.
34.- La topologı́a de los cı́rculos tangentes:
1], τu ), se considera la relación de
1 sobre ([0,
∗
equivalencia xR0 y si y sólo si x, y ∈ 0, 2 , 1 . Si S = {(x, y) ∈ R2 : (x+2)2 +y 2 = 1},
se pide demostrar que ([0, 1]/R0 , τR0 ) es homeomorfo a (S1 ∪ S∗ , τu ), y por lo tanto es de
Hausdorff, compacto y conexo.
Sobre R se considera la topologı́a τ ∗ ⊂ τu , definida al considerar los entornos usuales en
los puntos x 6= 0 y como entornos del 0
N0 = {N ∈ N0us : ∃ε > 0, δ < 0 : (−∞, δ) ∪ (ε, ∞) ⊂ N }.
Se pide:
(i) probar que (R, τ ∗ ) es compacto y de Hausdorff;
(ii) dados S = {(x, y) ∈ R2 : (x+1)2 +y 2 = 1} y T = {(x, y) ∈ R2 : (x−1)2 +y 2 = 1},
se define una aplicación f : R −→ S ∪ T geométricamente, del modo siguiente:
(a) se identifica R con R × {0} ⊂ R2 ,
7.5. Problemas
99
(b) se levanta el intervalo (−∞, −2] en la semirrecta vertical L = {−2} × [0, ∞)
por rotación de centro el punto (−2, 0),
(c) cada punto de L se transforma, por una inversión de polo (0, 0) en un punto del
semicı́rculo S + (es decir, un punto de L se transforma en la intersección de S
con la recta pasando por dicho punto y el origen de coordenadas),
(d) cada punto de [−2, 0] se proyecta sobre el semicı́rculo S − ,
(e) cada punto de [0, 2] se proyecta sobre el semicı́rculo T − ,
(f) la semirecta [2, ∞) se transforma en la recta vertical L∗ = {2} × [0, ∞) por
rotación de centro (2, 0),
(g) los puntos de L∗ se transforman por una inversión de polo (0, 0) en los puntos
del semicı́rculo T + ;
escribir explı́citamente la aplicación ası́ definida y probar que es una biyección de
R sobre T ∪ S;
(iii) probar que f es un homeomorfismo entre los espacios (R, τ ∗ ) y (S ∪ T, τu );
(iv) probar que ([0, 1]/R0 , τR0 ) es homeomorfo a (R, τ ∗ );
(v) probar que si a 6= 0, el subespacio (R − {a}, τ ∗ ) es conexo;
(vi) probar que la sucesión {(−1)n n}n∈N , converge a 0 en (R, τ ∗ );
(vii) probar que la aplicación g : (R, τu ) −→ (R, τ ∗ ), definida por g(0) = 0 y g(x) = x1 ,
es continua.
34.- Probar los siguientes espacios son conexos por caminos: los espacios indiscretos, las
n-variedades conexas, el cono y la suspensión (ver ejercicio 27, problemas 5.6) de un
espacio topológico.
35.- En (X, τ ), probar que la unión de cualquier familia de conjuntos conexos por caminos
con un punto en común, es un conjunto conexo por caminos.
36.- Probar que un espacio totalmente disconexo y localmente conexo, es discreto.
37.- Si (X, τ ) es localmente conexo, probar que todo abierto es unión disjunta de abiertos
conexos. En particular:
(i) en (R, τu ), todo abierto es unión disjunta de una familia contable de intervalos abiertos;
(ii) en (Rn , τu ), si A es abierto, entonces es conexo si y sólo si A es conexo por caminos.
100
Capı́tulo 7. Conexión
38.- Si ≤ es el orden lexicográfico sobre [0, 1] × [0, 1] y τord es la topologı́a del orden
asociada, probar que ([0, 1] × [0, 1], τord ) es un espacio conexo y localmente conexo, pero
no es ni conexo por caminos.
39.- Sea (X, τ ) un espacio topológico en el que las clausuras de dos puntos cualesquiera
se cortan. Probar que (X, τ ) es conexo por caminos.
40.- Probar que, al contrario de lo que sucede con la conexión, la clausura de un conjunto
conexo por caminos no es en general conexa por caminos.
41.- Se considera el espacio escoba (E, τu ), donde E es el subespacio de R2 formado
por la unión de los segmentos cerrados que unen el origen de coordenadas con los puntos
b τu )
{(1, n1 ) : n ∈ N}, junto con el segmento {0} × ( 12 , 1]. El espacio escoba cerrado (E,
b = E ∪ ({0} × (0, 1]). Se pide probar:
tiene como espacio base E
b τu ) son conexos;
(i) (E, τu ) y (E,
b τu ) son localmente conexos;
(ii) ni (E, τu ) ni (E,
b τu ) es conexo por caminos, pero (E, τu ) no lo es.
(iii) (E,
42.- Sea (A, τu ) el subespacio de R2 , donde
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ R − Q, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q, y < 0}.
Probar que (A, τu ) es conexo, no es localmente conexo y no es conexo por caminos.
Bibliografı́a
[AF]
C. Adams and R. Franzosa; Introduction to Topology Pure and Applied, Prentice Hall, 2008.
[Ad]
I. Adamson; A General Topology Workbook, Birkhäuser, 1995.
[AP]
A.V. Arkhangels’kii and V. I. Ponomarev; Fundamentals of General Topology: Problems and Exercises, Reidel, 1983.
[Ar]
M.A. Armstrong; Topologı́a Básica, Reverté, 1987.
[ADQ]
∗ R. Ayala, E. Dominguez y A. Quintero; Elementos de Topologı́a General,
Addison-Wesley Iberoamericana, 1997.
[Bak]
C.W. Baker; Introduction to Topology, Krieger, 1997.
[Bau]
J.D. Baum; Elements of point-set Topology, Dover, 1991.
[Be]
C. Berge; Topological Spaces, Dover, 1997.
[BBIF]
Y.U. Borisovich, N. Bliznyakov, Y. A. Izrailevich and T. Fomenko; Introduction to Topology, Mir, 1985.
[Bo]
C.R. Borges; Elementary Topology and Applications, World Scientific, 2000.
[Bu]
D. Bushaw; Elements of General Topology, John Wiley, 1996.
[BvR]
G. Buskes and A. Van der Rooij; Topological Spaces; from distance to neighborhood, Springer, 1997.
[BP]
E. Burroni et J. Perron; La Géométrie de caoutchouc, Ellipses, 2000.
[Ca]
G.L. Cain; Introduction to General Topology, Addison Wesley, 1993.
101
102
Bibliografı́a
[CV]
C.O. Christenson y W.L. Voxman; Aspects of Topology, Marcel Dekker, 1998.
[Cr]
F.H. Croom; Principles of Topology, Cengage Learning Asia, 2002.
[Cu]
H. Cullen; Introduction to General Topology, Heath and Co., 1968.
[Cz]
A. Czaszar; General Topology, A. Hilger, 1978.
[ChH]
J. Chailloux y J. Henry; Problemas (con soluciones detalladas) de Topologı́a,
Toray-Masson, 1976.
[Cho]
G. Choquet; Topologı́a, Toray-Masson, 1971.
[Da]
S.W. Davis; Topology, McGraw Hill, 2005.
[Di]
J. Dixmier; General Topology, Springer, 1984.
[Du]
J. Dugundji; Topology, Allyn and Bacon, 1968.
[E]
R. Engelking; General Topology, Heldermann, 1989.
[Fa]
A. Faisant; TP et TD de Topologie Générale, Hermann, 1987.
[FM]
∗ G. Fleitas Morales y J. Margalef Roig; Problemas de Topologı́a General,
Alhambra, 1980.
[Fl]
∗ G. Flory; Ejercicios de Topologı́a y Análisis, Reverté, 1978.
[Ga]
S.A. Gaal; Point Set Topology, Dover, 2009.
[GG]
T.W. Gamelin and R.E. Greene; Introduction to Topology, Saunders Ser.,
1983.
[Ge]
M.C. Gemignani; Elementary Topology, Dover, 1990.
[HF]
D. Hinrichsen y J.L. Fernandez; Topologı́a General, Urmo, 1977.
[HY]
J.G. Hocking and G.S. Young; Topology, Dover, 1961.
[Hu]
S.T. Hu; Elements of General Topology, Holden-Day, 1965.
[Jaf]
P. Jaffard; Traité de Topologie Générale, PUF, 1997.
[Jan]
K. Jänich; Topology, Springer, 1984.
[Ke]
J.L. Kelley; General Topology, Springer, 1955.
Bibliografı́a
103
[Kr]
S.G. Krantz; Essentials of Topology with Applications, CRC Press, 2010.
[Ku]
K. Kuratowski; Introduction à la théorie des ensembles et à la topologie, Enseignement Mathématique, 1966.
[Le]
H. Lehning; Topologie (avec exercices), Masson, 1985.
[Li]
S. Lipschutz; Topologı́a General, McGraw Hill, 1967.
[Lo]
∗ R. López Camino; Ejercicios de topologı́a general, Nativola, 2009.
[Man]
M.J. Mansfield; Introducción a la Topologı́a, Alhambra, 1974.
[MOP]
J. Margalef Roig, E. Outerelo Dominguez y J.L. Pinilla Ferrando; Topologı́a,
Alhambra, 1975.
[Mas]
X. Masa; Topoloxia Xeral: introducción aos espacios euclidianos, métricos e
topolóxicos, Univ. Santiago de Compostela, 1999.
[MMNS] F. Mascaró, J. Monterde, J.J. Nuño y R. Sivera; Introducció a la Topologia,
Univ. Valencia, 1997.
[Me]
B. Mendelson; Introduction to Topology, Dover, 1990.
[Mi]
∗ E.G. Milewski; The topology problem solver, REA, 1994.
[Mun1]
J.R. Munkres; Topology: a first course, Prentice-Hall, 1975.
[Mun2]
∗ J.R. Munkres; Topologı́a, Prentice-Hall, 2001.
[Mur]
M.G. Murdeshwar; General Topology, Wiley Eastern Limited, 1986.
[N]
J. Nagata; Modern General Topology, North Holland, 1985.
[O]
P.V. O’Neil; Fundamental Concepts of Topology, Gordon and Breach, 1972.
[Pa]
C.W. Patty; Foundations of Topology, PWS-Kent, 1993.
[Pe]
W.J. Pervin; Foundations of General Topology, Academic Press, 1964.
[Pr]
V.V. Prasolov; Intuitive Topology, Math. World, 1995.
[Ro]
D. Roseman; Elementary Topology, Prentice-Hall, 1999.
[Rub]
G.N. Rubiano; Topologı́a General, Univ. Nacional de Colombia, 2002.
[Run]
V. Runde; A taste of Topology, Springer, 2005.
104
Bibliografı́a
[Sh]
P.L. Shick; Topology Point Set and Geometric, Wiley, 2007.
[Si]
W. Sierpinski; General Topology, Dover, 2000.
[SS]
J.A. Steen and J.A. Seebach; Counterexamples in Topology, Dover, 1995.
[Su]
W.A. Sutherland; Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford Sci.
Pub., 1993.
[T]
W.J. Thron; Topological Structures, Holt, Rinehart and Winston, 1966.
[VINK]
O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, N.Yu. Netsvetaev, V.M. Kharlamov; Elementary
Topology: Problem Textbook, AMS, 2008.
[WD]
G. Whyburn and E. Duda; Dynamic Topology, Springer, 1979.
[Wi]
∗ S. Willard; General Topology, Addison-Wesley, 1970.
sólo es el cuerpo gris de una bengala
pero tú ves el fuego derramándose
las chispas arañando el infinito
semilla de constelaciones.
todo fuego artificial
es un poema que
gira alrededor
de un centro,
desplegada
centrı́fuga
reflexión
radial
sobre
el
pp
u
nn
tt
o
.
“Bestiario microscópico”
Sofı́a Rhei
Marta Macho-Stadler