JPS6032364B2 - デイジタル・フイルタ - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 本発明はディジタル・フィル夕に関し、更に具体的に云
えば榎素信号を処理（炉波）しうるディジタル・フィル
夕に関する。

複素信号は Ｘ（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｅｊ（■ｔ＋ぐ（ｔ））で表わされ
る。

但し、ｔは時間変数、ｅは自然対数の底、叫ま角周波数
、そして仇ま位相である。上記の式で表わされる複秦信
号はＸ（ｔ）＝Ａ川ＣＯＳ（のｔ＋○（ｔ））＋い（ｔ
）ｓｉｎ（のｔ十０（ｔ）） ＝×（ｔ）＋金（ｔ） と書き表わされもする。

Ｃ（ｔ）＝Ｂ（ｔ）ｅｊ８（ｔ）＝Ｂ（ｔ）ｃｏｓ８川
十ｉＢ（ｔ）ｓｍｏ（ｔ）なるィンパルス応答を有する
フィル夕で上記信号を炉波した場合における炉波された
信号Ｙ（ｔ）自身も後素信号である。

この信号もＹ（ｔ）こｙ（ｔ）十ｉ夕（ｔ） と書き表われもする。

一般に、炉波処理はた）みこみ関数処理の型式Ｙ（ｔ）
＝Ｃ（ｔ）×Ｘ（ｔ）で表わされ、サンプルされた信号
が処理されつ）あるときの炉波処理はＮ Ｙｍ＝ｎ≦ＩＸｍ−ｎｏｎ で表わされる。

これは、Ｘｍに先行して現われ、フィル夕の特性を定め
る係数で重み付けられたところのＸｍより前のＮ個のＸ
（ｔ）のサンプルの和から誘導されるということを示し
ている。炉波された複索信号の２つの成分は夫々、Ｎ
へ へ （１）ｂ−× ｙｍ＝ｎ三・（ｘｍ−ｎｎ ｍ−ｎｂｎ）◇ｍ＝昼，（
◇ｍ−。

ｂ。十Ｘｍ−。公。）■で表わされるということは上記
の説明から導かれ得る。式‘１｝及び■通りの処理に依
存する後素フィル夕は炉波された信号を順次に発生する
のに小十２回の加算及び４Ｎ回の乗算を必要とし、これ
はＮ個の係数を使っての４つのトランスバーサル炉波処
理をすることに等価であり、非常にコスト高である。

本発明の目的はこのような炉波処理を遂行するのに必要
な計算力を相当に減少させたフィル夕を提供するにある
。

本発明を一層容易に理解するために、式‘１｝及び‘２
｝の表記通りの演算をする通常の複素信号フィル夕を先
ず説明する。

第１図に示されるように、ｘ川のサンプル成分ｘｍ及び
ｘｍが夫々、シフト・レジス夕ＳＲＩ及びＳＲ２へ供給
される。これらのレジスタはＮ個のタップを備えられて
おり、各々のタップは２個の乗算器の対応する入力へ接
続されている。各乗算器の第２入力は病波係数の細ｂ若
しくはｂの１方に属する係数を供給される。両案算器か
らの順次の出力は，Ｎ ．ｂ ｙｍ＝ｎ≧・×ｍ−ｎ ｎ Ｎへ‐合 ｙｍ；ｎ≧・×ｍ−ｎ ｎ ′ ・ｂ 今ふ＝蔓．〜−ｎｎ へ〃 Ｎ へ ・ｂ ｙｍ＝ｎ≧・×ｍｎ ｎ を発生するように順次に加算される。

然る後に、更に設けられた２個の加算器がｙｍ＝ｙｍ−
ｙ″ｍ及びｙｍ＝ｙｍ＋ｙ″ｍを発生する。

従って、このようなフィル夕は通常の４個のトランスバ
ーサル・フィル夕で要する計算力と同じ計算力を必要と
する。

本発明によれば、同一の結果が相当に少ない計算力で得
られる。ｐと素数とすると、数列 ｛《ざ》，《ず》，・・・，《ｇｐ−１》｝は１とｐ−
１との間に含まれるすべての数を含むようなｐの原始根
とよばれる複数の整数ｇが存在するということが知られ
ている。

上記の表示において、２重括弧間の各項はモジュロｐに
ついての値を有する項である。ｐ＝２である場合を除い
て、ｐ−１は偶数であり、従って上記整列は偶数の整数
から成るということに先ず注目されたい。この記法畑し
、て‘ま、‐学と十午との間のすべての正整数及び負整
数が表わされる。もし午棚数ぬ・虚数ｉｉノ−１‘ま本 発明の数体系の中に等価値即ち 《ｇ三二》 即ち数列１乃至ｐ−１に属する実整数を有するというこ
とが又知られている。

もし、数ｉが実数となるすべての素数の中の、フェルマ
の数艮０ちｐ＝２２ｑ十１が成り立つ数だけを用いるも
のとすれば、《ｇキデ》三２桝三一１ （但し、記号三は“同じ値をとる”という意味である。

であり、従って《ｇミニ》三《ノ：Ｔ》…ぞ（ｑ‐・） である。

フェルマの数体系においては、ｉを表わす数は２の舞奏
で表わされ、ビットをシフトする簡単な手段により、実
数を虚数へ変え、又虚数を実数へ変えうるから、２進数
を処理する場合には特に関心を引くものである。

従って、 式‘１’及び（２股 Ｎ へ 〈 ハ へ ２ｙｍ＝ Ｚ〔（ｘｍ−ｎ＋ｉｘｍ−ｎ）（ｂｎ＋ｉｂ
ｎ）十（ｘｍ−ｎ−ｉｘｍ−ｎ）（ｂｎ−ｉｂｎ）〕
（３）ｎニ１２ｊ◇ｍ：。

≧，〔（Ｘ 十ｊ◇ ）（ｂ。十ｊ公。）−（ｘ −ｉ
◇ ）（ｂ。−ｊ公。）〕（４）と変形出来、そして等
価的に《２ｙｍ郷里．〔くＸｍ−ｎ＋２２くｑ−・炎肌
）くｂ。

十２２くｑ−１公）十くＸ −２２くｂ。−２２（ｑ−
・俗。）〕》 （５）《２．２２（ｑ−，公卿ｎ≧，〔
（ｘｍ−ｎ＋２２（ｑ−・災岬）くｂ。

十２２（ｑ−洲。◇ｍ−。）（ｂ。−２２（ｑ−１）谷
。）〕》（６）ワードを夕（ｑ‐１）倍することは該ワ
ードの各ビットを２ｑ−１ビット位置だけシフトするこ
とに等価である。式｛５ー及び■は本発明の複素信号フ
ィル夕が第１図のフィル夕で要した乗算器数の半分の乗
算器で構成しうるということを示している。要求される
計算力は２個のトランスバーサル０フィル夕のそれと同
じである。本発明の実施例は第２図に示されている。こ
の実施例は２つの入力を有し、これらの入力へ夫々サン
プル（項）ｘｍ及び蓑ｍが供給される。項会ｍは先ず、
シフトレジスタＳＲを使って２ｑ‐１ビット時間だけ遅
延され、従ってｉ冬が発生される。加算器ＡＤＩ及び減
算器ＡＤ２を使うだけで、項（ｘｍ＋ｉ父）及び（ｘｍ
−後ｍ）が得られる。本発明の説明を簡単にするために
、先ず、フィル夕の複数の炉波係数が一定であるとする
。

フィル夕が製造されるときに、そのィンパルス応答Ｃ（
上）のすべての同相成分ｂｗ及び直交成分６川が一度定
められ、これらから対応する係数値ｂｋ及びＳｋを導き
得るように構成される。しかしながら、式‘３１乃至‘
６）が示すように、信号ｘ（ｔ）＋珍（ｔ）及びｘ（ｔ
）一ｉ２（ｔ）をトランスバーサル炉波処理をするため
には、ｂｋ十ｉ６ｋ及びｂｋ一触ｋから必要な係数を導
いて置かなければならない。この場合には、項ｉは実数
であるから、実現されるべきトランスバーサル・フィル
夕の各係数Ｃｋギザ；＄ｋ 及び ６ｋ＝Ｑ−亀川心ｋ は前もって計算され貯えられる。

項（ｘｍ十ｉら）は係数Ｃｋ倍処理するトランスバーサ
ル・フィルタＴＦへ供給され、項（ｘｍ−反ｍ）は係数
６ｋ倍処理するトランスバーサル・フィルタＴＦ′へ供
給される。

ＴＦ及びＴＦ′は夫々、次式で表わされるモジュロｐ演
算した項Ｚｍ及びＺｍを発生する。Ｚｍ＝★さ．（Ｘｍ
−ｎ＋２２（ｑ−１）‐全ｍ−ｎ）（ｂｎ＋２２（ｑ・
１）‐ぢｎ）Ｚｍ：★鳶．（Ｘｍ−ｎ＋２２（ｑ−・）
‐全ｍ−ｎ）（ｂｎ１２２（ｑ・１）‐ぢｎ）炉波され
た所望の信号のサンプル成分ｙｍ及び亨加は項Ｚｍ及び
Ｚｍのモジュロｐ加算及びモジュロｐ減算によって得ら
れる。

第２図のトランスバーサル・フィル外ま各種の構成で実
施しうる。

第３図に示されるトランスバーサル・フィル夕を説明す
る。

ＡＤＩ及びＡＤ２の出力はＮワード位置から成り各々Ｎ
個のタップを有するシフトｏレジスタＳＲ３及びＳＲ４
の各入力へ供孫舎され、上記各々のタップからの信号は
モジュロｐ乗算器Ｍ，乃至Ｍ狐の内の対応するものへ供
給され、又これらのモジュロｐ乗算器の第２入力はＳＲ
３に関しては係数６ｋの内の１つを受取り、ＳＲ４に関
しては係数６ｋの内の１つを受取る。ｚｍ及び？ｍを得
るように各乗算器からの出力は加算される。成分ｙｍは
ＡＤ３でＺｍ及びＺｍをモジュロｐ加算しＳＲ′でその
結果の各ビットを２ｑ−１ビット位置だけシフトするこ
とによって得られ、成分令ｍはＡＤ４でＺｍ及びＺｍを
モジュロｐ減算することによって得られる。トランスバ
ーサル・フィル夕も楯回た）みこみ関数演算器の形式を
とりうるが、処理されるべき各項がフェルマの数体系で
表わされて演算を進められて来ているという事実に注意
を払わなければならない。

原始線変換の変形即ちメルセンヌ変換にも関係付けられ
るフェルマ変換がこ）で用いられる。

フェルマ変換は長さｐの一連の数｛ｘｎ｝を、Ｘ。：《
２くｑ＋う）・１× ２０ヒ》（７）ｎ＝０ ｍ１
で定義される項列｛Ｘｋ｝へ変換し得る。

但し、２重括弧内の値はモジュロｐ＝２２ｑ十１につい
求めた値である。た）みこみ理論がこの変換にも適用し
うる。換言すれば、｛Ｘｋ｝及び｛Ｂｋ｝が｛ｘｎ｝及
び｛ｂｎ｝を変換したものとすれば、項×ｎ及びｂｎを
単独に変換した変換した変換項の対応する変換項対の積
例えぱＹｋ＝《Ｘｋ・Ｂｋ》から成る変換項列｛Ｙｋ｝
の逆変換項列｛ｙｎ｝はｙ。＝《２三幸も−ゞ＜ｍ・０
＞‐ｂ》で表わされる。

但し、〈 〉の間の項はモジュｏ２ｑ＋１一１で求め
られる項である。従って、２つの数列｛ｘｎ｝及び｛ｂ
ｎ｝のた）みこみ関数値を求める場合に、必要な計算力
を減らすようにフェルマ変換を有利に利用しうる。

しかしながら、こ）で特に関Ｄのあることは複素数列｛
ｘｎ十ｉ父｝及び｛ｂｎ＋ｉ６ｎ｝が処理し得るという
事実である。｛×ｋ｝及び｛父ｋ｝並びこ｛Ｂｋ｝及び
｛旨ｋ｝が数列｛ｘｎ｝及び｛表ｎ｝並びに｛６ｎ｝及
び｛ｂｎ｝のフェルマ変換数列とするならば、２つの複
素数列のフェルマ変換数列は｛《ｘｋ十食ｋ》｝及び｛
《Ｂｋ十ｉＢ十ｋ》｝で表わされる。上述の変換に関す
る属性を考慮すれば、フィル夕された（疹正された）信
号のフェルマ変換された信号は次式Ｙｋ＋ぷｋ＝《〔Ｘ
ｋ十〆ｋ〕・〔Ｂｋ十ｊＢｋ〕》で表わされる。

この式から、Ｙｋ：ＸｋＢｋ−ＸｋＢｋ Ｙｋ：ＸｋＢｋ十ＸｋＢｋ となる。

こ）において、ｊは実数であるから、たつた２個の乗算
器を使うだけで次の演算（Ｘｋ‐ぷｋ）（Ｂｋ−ｊＢｋ
） （Ｘｋ＋ぷｋ）（Ｂｋ＋ｊＢｋ） をなし得、この演算結果の単純な２進加算でＹｋ及びＹ
ｋを求め得る。

上記の説明を下にした所望のフィル夕の構成が第４図に
示されている。

項×ｍ＋ｉ稀及びｘｍ一Ｊｘｍは個別にフェルマ変換演
算器ＦＭＴＩ及びＦＭＴ２へ供聯合され、これらの演算
器から夫々Ｘｋ＋〆ｋ及び×ｋ−ｊ父が発生される。×
ｋ十ｉ父ｋ及び×ｋ−ｊ父ｋは実現せんとするフィル夕
↑Ｆ及びＴＦ′の各炉波係数のフェルマ変換値Ｃｋ及び
６ｋを受取る乗算器ＭＵＬＴＩ及びＭＵＬＴ２へ供給さ
れる。これらの乗算器からの各た）みこみ演算値は対応
する逆フェルマ変換演算器ＩＦＴＩ及びＩＦＴ２へ供給
され、これらの演算器からＺｍ及びＺｍが発生される。
Ｚｍ及びＺｍは加算器ＡＤ３及び減算器ＡＤ４並びにシ
フト・レジスタＳＲ′へ供給される。然る後に、フィル
夕された各サンプルｙｍ及びＣｍは夫々、ＳＲ′及びＡ
Ｄ４の出力から得られる。フィルタ処理では非周期的た
）みこみ演算処理を要するのであるが、メルセンヌ変換
、フェルマ変換若しくは原始狼変換を用いればフィルタ
処理を循回た）みこみ演算で達成しうる。

この問題を解決する技法は開発されているが、これを以
下に要約して説明する。炉波処理を受けんとするデータ
・シーケンスが有限長のブロックへ分割され、各ブロッ
クへ零に等しい項が所要数付加される。選ばれた変換の
下にこのようにして形成されたグループの各々の楯回た
＞みこみ演算を施行する。連続する２つの楯回た）みこ
み演算からの各項が加算され、所望の非周期的た）みこ
み演算の各項が発生される。第４図の回路で用いられる
トランスバーサル・フィル夕は第４Ａ図ではブ。

ック図で示されている。更に云えば、第４図のＡとＢと
の間（又はＣとＤとの閥）に置かれる回路が第４Ａ図に
示されている。スイッチＳはデータ・ブロックを供Ｖ給
鱗１及び２へ交互に供鞍給するのに用いられる。各々の
ブロックが所望の変換（例えばフェルマ変換）の演算を
施行する演算器ＦＭＴ′若しくはＦＭＴ″へ供甥台され
る前に、各々のブロックへ所要数の０が付加される。Ｆ
Ｍｒ及びＦＭＴ″からの出力は対応する乗算器Ｘへ供ｖ
給され、議案算器において各々の出力項はメモリＭ旧Ｍ
から供給されるＣｋ（若しくはＣｋ）倍される。これら
の乗算器からの順次の出力は加算器＋で項毎に加算され
、加算器からの出力は逆変換を施行する演算器ＩＦＴへ
供給される。上述したように、ワードをｊ倍することは
フェルマの数体系においてはそのワードの各ビットを２
（ｑ‐１）ビット位置だけシフトすることと等価である
。

それ故、いづれのｊＸ項もＸよりも幾分長い。変換処理
を用いる処理器の利点は実際上変換せんとするワードの
長さによって制限されるから、変換器ＦＭＴＩ及びＦＭ
Ｔ２が｛ｘｍ｝及び｛２ｍ｝を直接に処理するようにこ
れらの変換器を設置するのがよい。第５図には、可変フ
ィルタ係数の下にフィルタ処理を施行するものとする場
合についての構成が示されている。入力信号列｛ｘｎ｝
及び｛表ｎ｝並びにフィルタ係数列｛ｂｎ｝及び｛６ｎ
｝が夫々、フヱルマ変換演算器ＦＭＴ１，ＦＭＴ２，Ｆ
ＭＴ′１及びＦＭｒ２へ供給される。ＦＭＴ２及びＦＭ
Ｔ′２の出力はシフ‐トｏレジスタＳＲ若しくはＳＲＯ
を使ってｊ倍される。これらの結果はＦＭＴＩ及びＦＭ
Ｔ′１の出力へ加算される一方これらの出力から差引か
れる。乗算器ＭＵＬＴＩ及びＭＵＬＴ２が夫々、ＡＤＩ
及びＡＤ′１からの項を秦算し、ＡＤ２及びＡ〇２から
の項を乗算する。

然る後に、ＭＵＬＴＩ及びＭＵＬＴ２の出力はＡＤ′３
では加算され、Ａ〇４では減算され、Ａ〇３及びＡＤ′
４から項麦ｋＢｋ−ｘｋ官Ｋ及びＸｋＢｋ＋ＸｋＢｋが
夫々発生され、これらの項は夫々、出力ｙｍ及びＣｍを
夫々発生する逆フェルマ変換演算器ＩＦで１及びＩＦＴ
′２へ供ｖ給される。循回た）みこみ演算及び非間期た
）みこみ演算についての上記注意事項が第５図のフィル
夕に同等に適用しうる。第４及び第５図例示のフィル夕
の諸構成要素の内、フェルマ変換演算器及び逆フェルマ
演算器を除いて、残りの構成要素はすべて公３句のもの
である。

しかしながら、原始根変換はフェルマ変換に変えうるか
ら、原始根変機演算器を使うことが可能である。この原
始根変換演算器は項列｛ａｎ｝の各項ａｎの倍数項を相
継ぐ累算によって発生し、これらの倍数項の相継ぐ累算
によって原始狼変換項列を発生するものである。これに
加えて、フェルマ変換はメルセンヌ変換に非常に似てお
り、従って、“ｌＥＥＥＴｒａ船ａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ
Ｃｏｍｐｕｔｅ岱”くＶｏｌ．Ｃ一２１、Ｎｏ．１２
、Ｄヒｃｅｍはｒ ｌ９７２、ｐｐ １２６９一１２７
３）に“ Ｄｉｓｃｒｅｔｅ Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏ
ｍ ｖｉａ ＭｅｒｓｅｎｎｅＴｒａｍｆｏｒｍｓ
”と題して掲載された論文の第１及び第２図に示されて
いるデバイスの下に処理可能である。

可変係数を使用する第５図の処理器は伝送分野で特に用
いられる等化器を実現しうる。

【図面の簡単な説明】

第１図は先行技術になる複素信号フィル夕を示す図、第
２図及び第３図は本発明になる複素信号フィル夕を示す
図、第４図、４Ａ図及び第５図はフヱルマ変換を利用し
たフィル夕を示す図である。 ＡＤＩ及びＡＤ３・・・・・・加算器、ＡＤ２及びＡＤ
４・・・．．．減算器、ＴＦ及びＴＦ′・・・・・・ト
ランスバーサル・フィル夕、ＳＲ及びＳＲ……シフト・
レジスタ。 ＦＩＧ．５ＦＩＧ．２ ＦＩＧ・５ ＦＩＧ．４ ＦＩＧ．４Ａ

Claims (1)

【特許請求の範囲】
1. １ ろ波すべき複素信号の実数成分サンプル及び虚数成
   分サンプルを受け、ろ波された複素信号の実数成分及び
   虚数成分を個別に発生する型式のデイジタル・フイルタ
   であつて、 上記ろ波すべき複素信号の虚数成分サンプ
   ルをｊ倍（ただし、Ｊは虚数単位√（−１）であり、フ
   エルマの数体系における或る実数の２の■乗によつて表
   わされる）するように該サンプルの遅延処理を行なう第
   １の手段と、 上記ろ波すべき複素信号の実数成分サン
   プルと上記ｊ倍された虚数成分サンプルとを加算する第
   ２の手段と、 上記ろ波すべき複素信号の実数成分サン
   プルから上記ｊ倍された虚数成分サンプルを減算する第
   ３の手段と、 上記第２及び第３の手段によつて供給さ
   れる信号を個別にトランスバーサル・フイルタ手段に与
   える第４の手段と、 上記トランスバーサル・フイルタ
   手段を通過した上記第２及び第３の手段からの信号を互
   いに加算する第５の手段と、 上記トランスバーサル・
   フイルタ手段を通過し上記第２及び第３の手段からの信
   号を互いに減算する第６の手段と、 上記第５の手段に
   よつて行なわれた加算の結果をｊ倍するように該結果の
   遅延処理を行なう第７の手段とを備えたデイジタル・フ
   イルタ。