DE3225811A1 - Selbsteinstellendes simulations- und regelungssystem - Google Patents

Description

Selbsteinstellendes Simulations- und Regelungssystem

I. Einführung in das AMCS

Das selbsteinstellende Simulations- und Regelungssystem (Abkürzung AMCS) stellt ein komplettes Betriebssystem zur Simulation, Bestimmung und selbsteinstellenden Regelung dar, das als geschlossenes Regelungssystem ausgeführt werden kann. Dieses Regelungssystem ist in Fig. 1 dargestellt. Der Funktionsaufbau des AMCS ist in Fig. 2 gezeigt. Es ist ersichtlich, dass das selbsteinstellende Simulationssystem (AMS) das Herzstück des ganzen Systems ist.

Das AMS besteht aus zwei Hauptalgorithmen, dem Simulations-Bestimmungs-Algorithmus (MIA) und dem Störgrößenbestimmungs-Algorithmus (DIA). Diese Algorithmen verwenden dynamische Daten, um die Verfahrensdynamik zu simulieren und die unmessbaren Ladungsgrößen zu bestimmen. Es ist nachdrücklich zu betonen, dass die dynamischen Daten, die in dem AMS verwendet werden, während der Steueroperationen in der geschlossenen Schleife gesammelt werden können.

Die Verwirklichung des AMCS erfolgt in zwei Schleifen. Die äußere Schleife A arbeitet im Stapelbetrieb, so dass, wenn die dynamischen Daten zur Bestimmung des Prozesses ausreichend sind, ein aktuelles Modell durch den MIA erhalten wird, um den PID-Regler in der herkömmlichen Rückkopplungsschleife (feedback-Schleife) abzustimmen. Die innere Schleife B arbeitet im Realzeitbetrieb, so dass Modellfehler oder externe Ladungsstörgrößen unmittelbar bestimmt und kompensiert werden können.

Die herkömmliche Rückkopplungssteuerschleife, die Gegenstand der selbsteinstellenden Abstimmungsschleife A ist, wird als selbsteinstellende Rückkopplungssteuerschleife (AFBC) bezeichnet. Andererseits wird die innere Schleife B, welche festgestellte Ladung in einer Vorwärtsbetriebsart kompensiert, als selbsteinstellende Vorwärtsregelungsschleife (AFFC) bezeichnet.

Es ist ersichtlich, dass das AMCS im Grunde ein Selbstlern-System ist. Durch eine sequentielle Verwirklichung der Schleifen A und B in dem AMCS, kann die Regelungstätigkeit von Zeit zu Zeit aktualisiert werden, so dass das System jederzeit sich selbst zu seinen Optimalbedingungen hin zwingt.

Herkömmliche Rückkopplungs-Regelschleife

Figur 1: Selbsteinstellendes Simulations- und Regelungs-System

Prozessdaten

Figur 2: Funktionsaufbau des AMCS

II. Selbsteinstellendes Simulationsmodell (AMS)

1. Definition der M[tief]A(n,m) und M[tief]B(n,m,s) Modelle

Die in dem AMS benutzten Modelle können in zwei Kategorien eingeteilt werden. Die eine ist das fortlaufende deterministische Modell, das als M[tief]A(n,m) Modell bezeichnet wird. Die andere ist das diskrete stochastische Modell, welches deterministische Prozesse einschließt, die durch stochastische Systemstörungen oder Messstörungen verursacht werden. Dieses Modell wird als M[tief]B(n,m,s) Modell bezeichnet. Ein M[tief]B(n,m,s) Modell löst nicht nur die deterministische Input-Output Dynamik in den Größen einer Differentialgleichung, sondern löst ebenfalls eine diskrete stochastische Differentialgleichung, welche die Einflüsse der Systemstörungen oder des messbaren Beobachtungsfehlers in Betracht zieht.

Trotz des Unterschieds der Entwicklungsformen der Modelle können beide Modelle dazu verwendet werden, ein System oder einen Prozess zu beschreiben, der durch folgende Gleichung gekennzeichnet ist: w(t)=u(t-D)

und

y(t)=x(t)+v(t) (II.1)

wobei

x = zu prüfende oder zu regelnde Prozess-Variable

y = beobachteter Wert der Variablen x

u = Regelungs-Input

w = verzögerter Regelungs-Input

kleines Zeta = Prozess-Rauschen oder Störung, angenommen in Normalverteilung

kleines Beta i, (i = 0,1,2,...,m) = Koeffizienten in der Dynamik des Prozess-Inputs kleines Alpha i, (i = 1,2,...,n) = Koeffizienten in der Dynamik der Prozess-Variablen

D = Zeitverzögerung

v = Messungsrauschen, angenommen in Normalverteilung

Die ausführliche Beschreibung der M[tief]A(n,m) und M[tief]B(n,m,s) Modelle wird nachstehend gegeben:

(1) M[tief]A(n,m) Modelle

Die als M[tief]A(n,m) katalogisierten Modelle sind in der Form gegeben: (II.2)

wobei

= der Modellwert für x

= der geschätzte Output für y

Es ist zu beachten, dass n und m in den M[tief]A(n,m) Modellen benutzt werden zur Kennzeichnung des Grads der Differentiation von bzw. w.

In den M[tief]A(n,m) Modellen kann der nominelle Parameter-Vektor definiert werden als die Untermenge von großes Omega[hoch]N[tief]MA, wobei großes Omega[hoch]N[tief]MA gegeben ist als: (II.3)

In anderen Worten, der nominelle Parameter-Vektor P[tief]N kann definiert werden als:

P[tief]N ist Teilmenge von großes Omega[hoch]N[tief]MA (II.4)

wobei

= Anfangswert der i-ten Ableitung von x

a[tief]i,i = 1,2,....,n = Koeffizienten für die Variable x

b[tief]i,i = 0,1,2,....,m = Koeffizienten für w

Die durch die Gleichung (II.2) gegebenen M[tief]A(n,m) Modelle können benutzt werden zur Beschreibung der deterministischen Prozessdynamik, wobei sowohl das Systemrauschen (Systemstörungen) und Messungsrauschen (Messungsstörungen) im Vergleich mit dem System-Input und -Output unbedeutend sind.

(2) Die M[tief]B(n,m,s) Modelle

Die M[tief]B(n,m,s) Modelle sind in Form von stochastischen Differentialgleichungen gegeben: und (II.5)

Der dynamische Teil von

(k) und w(k) beim Fehlen von kleines Epsilon(k) in Gleichung (II.5), d.h., (II.6)

ist direkt mit einer stetigen (kontinuierlichen) Differentialgleichung verwandt: (II.7)

Die diskreten Größen in den vorstehenden Gleichungen, beispielsweise y(k), w(k), kleines Epsilon(k) kenn- zeichnen, dass diese Werte zu dem Augenblick abgefragt werden, welcher k großes Delta vom Ursprung entfernt ist (großes Delta = Abtastperiode).

Die in den Gleichungen (II.5) bis (II.7) verwendeten Symbole stellen sich folgendermaßen dar:

= geschätzte Output für y 0[tief]i (i=1,...,s) = Koeffizienten von kleines Epsilon

y = aktuelle Output-Variable

w = verzögerte Prozess-Input, d.h. u(t-D), so dass w(k) für u(k-kleines Eta) steht, wobei kleines Eta = Integer [D/großes Delta]

kleines Epsilon = Fehler zwischen dem aktuellen und dem geschätzten Output

kleines Phi i, (i = 1,2,....,n) = Koeffizienten für y in der Differentialgleichung

F[tief]i, (i = 1,2,....,n) = Koeffizienten für W in der Differentialgleichung

a[tief]i, (i = 1,2,....,n) = Koeffizienten für b[tief]i, (i = 0,1,....,m) = Koeffizienten für w

n = Grad der Differentiation von in Gleichung (II.7)

m = Grad der Differentiation von w in Gleichung (II.7)

s = Grad der Abweichungen für kleines Epsilon in Gleichung (II.5)

Anders als die Modell-Indizes n,m in den M[tief]A(n,m) Modellen, beziehen sich n, m und s in den M[tief]B(n,m,s) Modellen auf beide Gleichungen (II.5) und (II.7).

Wegen der Verbindung von Gleichung (II.7) in dem Modell von Gleichung (II.5), entsprechen die Koeffizienten von kleines Phi[tief]i, (i = 1,2,...,n) und Fi, (i = 1,2,...,n) den Koeffizienten von a[tief]j und b[tief]j in der Form von:

kleines Phi[tief]i=kleines Phi[tief]i(a[tief]1,a[tief]2,......,a[tief]n), i = 1,2,......,n

F[tief]I = F[tief]i(a[tief]1,a[tief]2,......,a[tief]n,b[tief]0,b[tief]1, ,b[tief]m), I = 1,2, ,n

(II.8)

Die Ableitungen von Gleichung (II.8) für jeden Wert von n und m in Gleichung (II.7) sind weitschweifig und nicht nötig. Später werden die Beziehungen von Gleichung (II.8) gemäß ihren Zustandsausdrücken implizit bestimmt.

Wegen der Ko-Existenz von Gleichung (II.6) und Gleichung (II.7) ist der nominelle Parameter-Vektor für die M[tief]B(n,m,s) Modelle als Untermenge von großes Omega[hoch]N[tief]MB gegeben, wobei

großes Omega[hoch]N[tief]MB = [a[tief]1,a[tief]2,......,a[tief]n,b[tief]0,b[tief]1,......,b[tief]m,O[tief]1,O[tief]2,......,O[tief]S]

(II.9)

(3) Die aktuellen Parameter und die nominellen Parameter der M[tief]A(n,m) und M[tief]B(n,m,s) Modelle

Um die Modellreaktionen der M[tief]A(n,m) oder M[tief]B(n,m,s) Modelle zu berechnen, sind die Zustandsdarstellungen für Gleichung (II.2) erforderlich zur Durchführung der Integration. Deshalb sind die aktuellen Parameter, die in den Zustandsdarstellungen gebracht werden, nicht die gleichen wie die nominellen Parameter. Jedoch können letztere aus ersteren berechnet werden. Es ist ebenfalls bekannt, dass die Zustandsdarstellungen der Gleichungen (II.2) oder (II.7) nicht eindeutig sind. Die Zustandsgleichungen, die die wenigsten Parameter verwenden, sind gewöhnlich wünschenswert.

Mit anderen Worten, entweder Gleichung (II.2) oder Gleichung (II.7) wird zuerst in einer Zustandsdarstellung nachstehender Form formuliert: und

y = CZ (II.10)

wobei

Z = [Z[tief]1,Z[tief]2,......,Z[tief]n][hoch]T

A(P[tief]A), B(P[tief]A) sind Koeffizientenmatrizen und P[tief]A ist der aktuelle Parameter-Vektor. Dann können die aktuellen Parameter Untermengen von großes Omega[hoch]A[tief]MA sein, d.h.

großes Omega[hoch]A[tief]MA = [kleines Ny[tief]1, kleines Ny[tief]2,..., kleines Ny[tief]t,Z[tief]1(0),Z[tief]2(0),...,Z[tief]n(0)] (II.11)

wobei kleines Ny[tief]i(i = 1,2,...,t) = Parameter in der Zustandsdarstellung von Gleichung (II.10), so dass

P[tief]A ist Teilmenge von großes Omega[hoch]A[tief]MA.

Die Beziehung der aktuellen Parameter zu den nominellen Parametern, die in Gleichung (II.2) verwendet werden, können anderswo gefunden werden. Zum Beispiel

(i) M[tief]A(1,0) Modelle oder M[tief]B(1,0,s) Modelle

Die Zustandsdarstellung für diese Modelle kann gegeben sein als:

A=[-a[tief]1], B=[b[tief]o]

In dieser Formulierung kann man finden, dass

P[tief]A = P[tief]N und y = Z(1) = x

(ii) M[tief]A(2,0) Modelle oder M[tief]B(2,0,s) Modelle

Die A,B-Matrizen für die Zustandsdarstellung von Gleichung (II.2) oder Gleichung (II.7) kann gegeben sein als:

In dieser Formulierung wird gefunden, dass

P[tief]A = P[tief]N und Z(1) =

(iii) M[tief]A(2,1) Modelle oder M[tief]B(2,1,s) Modelle

Die A,B-Matrizen für die Zustandsdarstellung von Gleichung (II.2) oder Gleichung (II.7) kann gegeben sein als:

Dann kann man schließen, dass C[tief]1 und C[tief]2 benutzt werden können zur Berechnung von b[tief]0 und b[tief]1 in Gleichung (II.2) oder Gleichung (II.7), d.h.

b[tief]0 = c[tief]1

b[tief]1 = c[tief]2+a[tief]1c[tief]1

In diesem Fall werden die aktuellen Parameter Untermengen von großes Omega[hoch]A[tief]MA, wobei

großes Omega[hoch]A[tief]MA = [a[tief]1,a[tief]2,c[tief]1,c[tief]2,z[tief]1(0),z[tief]2(0)]

Es gibt viele andere Zustandsdarstellungen, die zu den gleichen M(2,1) Modellen führen.

(4) Differenzgleichung, welche kontinuierliche (stetige) Zustandsmodelle darstellen.

In den M[tief]B(n,m,s) Modellen entsprechen die Dynamiks in Gleichung (II.6) denen in Gleichung (II.7). Deshalb werden die Koeffizienten kleines Phi[tief]i und F[tief]i aus den Beziehungen in Gleichung (II.8) ermittelt. Diese Beziehungen sind von ihren Zustandsdarstellungen herzuleiten.

H=[h[tief]ij][tief]nxn = e[hoch]großesDelta großes Delta

G=[g[tief]i][tief]n = -A[hoch]-1[I-e[hoch]großes Delta großes Delta]B (II.12)

wobei A und B derartige Matrizen aus Gleichung (II.10) sind und

h[tief]ij = Element der Matrix H

g[tief]i = Element der Matrix G

großes Delta = Integrations-Teilintervall.

Dann sind die Beziehungen in Gleichung (II.8) folgendermaßen gegeben:

(i) Zustandsgleichung mit n = 1 (II.13)

(ii) Zustandsgleichung mit n = 2

kleines Phi[tief]1 = h[tief]11+h[tief]22

kleines Phi[tief]2 = h[tief]12h[tief]21-h[tief]22h[tief]11

F[tief]1 = g[tief]1F[tief]2 = g[tief]2h[tief]12-g[tief]1h[tief]22 (II.14)

(iii) Zustandsgleichung mit n = 3

kleines Phi[tief]1 = t[tief]r[H]

kleines Phi[tief]2 = -(großes Delta[tief]11+großes Delta[tief]22+großes Delta[tief]35)

kleines Phi[tief]3 = Det[H]

F[tief]1 = g[tief]1

F[tief]2 = (h[tief]12 g[tief]2-g[tief]1 h[tief]22)+(h[tief]12 g[tief]3-g[tief]1 h[tief]33)

F[tief]3=g[tief]3 großes Delta[tief]31+g[tief]2 großes Delta[tief]21+g[tief]1 großes Delta[tief]11

(II.15) wobei

t[tief]r[ ] = Linie einer Matrix in Klammern

großes Delta[tief]ij = Adjunkte von h[tief]ij

Det[ ] = Determinante einer quadratischen Matrix in Klammern.

(5) Signifikanz der M[tief]B(n,m,s) Modelle

Die M[tief]B(n,m,s) Modelle können verwendet werden zur Darstellung der folgenden kontinuierlichen Prozesse, in denen Systemrauschen und Messungsrauschen von Einfluss sind.

y(t) = x(t)+v(t)

und

w(t) = u(t-D) (II.16)

Daraus folgt, dass der fortlaufende (stetige) Prozess von Gleichung (II.16) unter drei verschiedenen Umständen zu den M[tief]B(n,m,s) Modellen führt.

(i) Der rauschfreie Fall

Bei diesem Verhältnis sind sowohl kleines Epsilon und v nicht von Einfluss auf den Prozess-Output. Deshalb kann, wenn W während kleiner Vergleichsintervalle als konstant betrachtet wird, Gleichung (II.16) in eine Differenzgleichung in Größen von y gebracht werden.

y(k) = kleines Phi[tief]1 y(k-1)+kleines Phi[tief]2 y(k-2)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)

mit

y(k) = x(k) (II.17)

Die Koeffizienten kleines Phi[tief]i und F[tief]i, welche den Definitionen in den Gleichungen (II.13) - (III.15) folgen, bringen das Differenzmodell mit einem abgetasteten kontinuierlichen Modell in Wechselbeziehung.

(II.18)

Deshalb wird das Ergebnismodell ein M[tief]B(n,m,0) Modell sein.

(ii) Der Fall, in dem kleines Xi von Einfluss ist

In dem Fall, in dem kleines Xi in Gleichung (II.16) von Einfluss ist, kann Gleichung (II.16) betrachtet werden als: (II.19-1) (II.19-2)

x = x[tief]1+x[tief]2 (II.19-3)

Gleichung (II.19-1) kann in eine Differenzgleichung wie in dem Fall störungs- oder rauschfrei gebracht werden. Somit

x[tief]1(k) = kleines Phi[tief]1 x[tief]1(k-1)+kleines Phi[tief]2 x[tief]1(k-2)+...+kleines Phi[tief]n x[tief]1(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n) (II.20)

ist Gleichung (II.19-2) eine stochastische Differentialgleichung. Eine Menge Versuche (Wu, Journal of Engineering Industrial; ASME Trans., Vol. 99-Ser. B, No. 3, pp. 708-714, August 1977) haben gezeigt, dass solch eine Gleichung durch ein ARMA (
<NichtLesbar>
n-1) Modell dargestellt werden kann: x[tief]2(k) = kleines Phi[tief]1 x[tief]2(k-1)+...+kleines Phi[tief]n x[tief]2(k-n)+kleines Theta[tief]1 kleines Epsilon(k-1)+...+kleines Theta[tief]n-1 kleines Epsilon(k-n+1)+kleines Epsilon(k) (II.21)

so dass die Kombination von Gleichung (II.20) und Gleichung (II.21) zu der Gleichung führt:

x(k) = kleines Phi[tief]1 x(k-1)+...+kleines Phi[tief]n x(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)+kleines Theta[tief]1 kleines Epsilon(k-1)+...+kleines Theta[tief]n-1 kleines Epsilon(k-n+1)+kleines Epsilon(k) (II.22)

Wenn nur kleines Xi von Einfluss ist, ist y(k) = so dass

y(k) = kleines Phi[tief]1 y(k-1)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)+kleines Theta[tief]1 kleines Epsilon(k-1)+...+kleines Theta[tief]n-1 kleines Epsilon(k-n+1)+kleines Epsilon(k)

Deshalb führt der Fall für den Prozess, in dem kleines Xi von Einfluss ist, zu einem M[tief]B(n,m,n-1) Modell.

(iii) Der Fall, in dem Beobachtungsrauschen von Einfluss ist.

Unter diesen Umständen ist nur v von Einfluss.

Deshalb kann der Prozess beschrieben werden als: (II.23)

und

y = x+v (II.24)

Gleichung (II.23) kann wiederum in ein Differenzmodell gebracht werden:

x(k) = kleines Phi[tief]1 x(k-1)+...+kleines Phi[tief]n x(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n) (II.25)

Da y(k) = x(k)+v(k), (II.26)

führt die Substitution von Gleichung (II.26) in Gleichung (II.25) zu:

y(k) = kleines Phi[tief]1 y(k-1)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)

-kleines Phi[tief]1 kleines Ny(k-1)-kleines Phi[tief]2 kleines Ny(k-2)-...-kleines Phi[tief]n kleines Ny(k-n)+kleines Ny(k) (II.27)

Das Ergebnismodell kann als M[tief]B(n,m,n) Modell bezeichnet werden.

Es ist deshalb von großer Bedeutung, das M[tief]B(n,m,s) Modell zu verwenden, um die kontinuierlichen (stetigen) Prozesse wie in Gleichung (II.16) darzustellen, in der Rauschen von Einfluss ist.

2. Parameter-Abschätzung für M[tief]A(n,m) Modelle

(1) Parameter-Abschätzungs-Algorithmus

In den M[tief]A(n,m) Modellen sind die Modellgleichungen gegeben als: (II.28)

mit

Der nominelle Parameter-Vektor P[tief]N, der abgeschätzt werden muss, ist ebenfalls definiert als:

P[tief]N ist Teilmenge von großes Omega[hoch]N[tief]MA (II.29)

wobei

Um den nominellen Parameter P[tief]N abzuschätzen, muss Gleichung (II.28) zuerst in eine kanonische Zustandsgleichung gebracht werden: (II.30)

so dass P[tief]A in Größen von P[tief]N bestimmt werden kann.

Mit der Definition P = P[tief]A zur Vereinfachung der Schreibweise ergibt sich aus Gleichung (II.30) die abgeschätzte Output-Reaktion als:

Angenommen (II.31)

Y=[y(t[tief]0),y(t[tief]1),...,y(t[tief]N)][hoch]T (II.32)

wobei y der aktuelle beobachtete Output ist.

Weiterhin geschrieben (II.33)

Dann ist die Empfindlichkeitsmatrix (II.34)

wobei die Tiefzahl r die Gesamtzahl der Parameter bezeichnet, die bestimmt werden.

Dann (II.35)

vorausgesetzt, dass kleines Delta P klein ist.

Wenn Gleichung (II.28) [oder Gleichung (II.30)] das entsprechende Modell ist, wird erwartet, dass (II.36)

so dass (II.37)

Damit ergibt sich aus Gleichung (II.37) (II.38) vorausgesetzt, dass nicht singulär ist.

Die Werte von in Gleichung (II.34) werden aus den Input-Output-Daten y(t) und u(t) berechnet.

Die Zeitreihen von y(t[tief]i), u(t[tief]i), i = 1, 2, ......, N können entweder aus einem Open-Loop-Versuch oder von einer Closed-Loop-Regelungsoperation gesammelt werden. Die Berechnungen basieren auf den Gleichungen: (II.39)

Alternativ kann aus der Näherung berechnet werden: (II.40)

wobei und aus der Integration von Gleichung (II.30) mit dem möglichen Input w erhalten werden.

Gleichung (II.38) wird dann iterativ angewandt, um zu bestimmen, das von Y im Sinne der kleinsten Summe des quadratischen Fehlers abweicht.

Um die Bestimmung von P mit Hilfe der Gleichung (II.38) zu beginnen, ist ein Anfangswert für den Parameter P wünschenswert. Der Anfangswert von P, der als P[hoch]o bezeichnet ist, kann durch einige bestehende Verfahren erhalten werden. Empfohlen werden das Integrationsverfahren nach Edward Moore und das Blockstoßfunktionsverfahren (block pulse function method), welche im Anhang angegeben sind.

Das Abschätzungsverfahren ist folgendermaßen:

(i) Bestimme das M[tief]A(n,m) Modell in der Form der Gleichung (II.30) und somit den aktuellen Parameter P[tief]A oder P.

(ii) Anwendung eines anfänglichen Abschätzverfahrens, wie der Integration nach Moore oder das Blockstoßfunktionsverfahren zur Erlangung der ersten Abschätzung für P, d.h. für P[hoch]o.

(iii) Beginn mit P[hoch]o und Anwendung des Integrationsverfahrens für M[tief]A(n,m) Modelle zur Berechnung kleines Delta P aus der Gleichung (II.38).

(iv) Ersetzen von P[hoch]o durch P[hoch]o + kleines Delta P und Zurückgehen zur Stufe (iii) bis kleines Delta P innerhalb einer gegebenen Toleranz gefunden wird.

(v) Berechnung der nominellen Parameter aus dem Ergebnis von Stufe (iv), d.h. der aktuellen Parameter.

Ein Flussdiagramm für das vorstehende Verfahren ist in Fig. 3 gegeben.

Die aufgeführten Verfahrensschritte zur Bestimmung der Parameter in den M[tief]A(n,m) Modellen haben sich als erfolgreich erwiesen für die Daten entweder aus einem Open-Loop-

Verfahren oder aus einer Closed-Loop-Regelung, wobei die Anwendung der Closed-Loop-Daten zur Bestimmung des M[tief]A(n,m) Modells hervorzuheben ist. Das schematische Diagramm ist in Fig. 4 gezeigt.

Viele andere Verfahren zur Verwendung der Closed-Loop-Daten zur Abschätzung der Parameter versagen und sie sind abhängig von dem Aufbau des Reglers, der in dem Closed-Loop angewendet wird. Es wurde herausgefunden, dass die Anwendung des hier angegebenen Verfahrens für Modelle geringerer Ordnung, solche wie für M[tief]A(1,0), M[tief]A(2,0) und M[tief]A(2,1) durchaus zuverlässige Ergebnisse liefert, die nicht von dem verwendeten Regler abhängig sind. Einige Simulationsergebnisse sind in Abschnitt (II-5) angegeben und verglichen.

(2) Integration von M[tief]A(n,m) Modellen

Im vorausgehenden Abschnitt ist es notwendig, und zu berechnen. Obgleich bestehende numerische Verfahren wie Euler, Runge-Kutta-Verfahren angewendet werden können, erfordert die Anwendung dieser Verfahren Anfangswerte für welche ausgenommen von gewöhnlich unbekannt sind. Um die ersten Ableitungen von von nominellen Parametern auszuschließen, wird eine Differenzgleichungsnäherung vorgeschlagen. Gegeben ist das M[tief]A(n,m) Modell in der Form der Gleichung (II.28), d.h.

(II.28)

mit W = u(t-d) und

Man kann im ersten Schritt die Gleichung (II.28) in ihre Zustandsform wie die Gleichung (II.10) transformieren und die korrespondierenden aktuellen Parameter definieren. Hier werden die aktuellen Parameter ähnlich sein zu denen in Gleichung (II.11), wobei solche Anfangswerte von Z[tief]1(0), Z[tief]2(0),...,Z[tief]n(0) ausgeschlossen werden.

Dann wird unter Benutzung der Gleichung (II.13), der Gleichung (II.14) oder der Gleichung (II.15) ein Differenzmodell erhalten, d.h.

Fig. 3 Ablaufdiagramm zur Schätzung der Parameter für das M[tief]A(n,m) Modell

Fig. 4 Simulierung des M[tief]A(n,m) Modells unter Closed-Loop-Operationen

(II.41)

Wenn für die ersten n-Anfangswerte y(k) = angenommen wird, können die folgenden Werte von berechnet werden. So wird das Integrationsverfahren für den Fall, bei dem die anfängliche Schätzung von Anfangsableitungen nicht verfügbar ist:

(i) Bringe Gleichung (II.28) in die Zustandsform von Gleichung (II.10)

(ii) Weise die Werte der aktuellen Parameter aus Gleichung (II.10) zu.

(iii) Berechne kleines Phi'[tief]i s und F'[tief]i s aus den Gleichungen (II.13) - (II.15).

(iv) Beginne mit y(0), y(1),...,y(n-1), für berechne

Das Flussdiagramm für dieses Verfahren ist in Fig. 5 dargestellt.

Für den Fall, in dem Anfangsschätzungen für die Anfangsableitungen verfügbar sind, können die Integrationsverfahren nach den bestehenden numerischen Integrationsverfahren, welche sich aus Gleichung (II.28) ergeben und auf Gleichung (II.10) basieren, durchgeführt werden.

3. Parameter-Abschätzung für M[tief]B(n,m,s) Modelle

Für ein M[tief]B(n,m,s) Modell sind zwei Gleichungen nötig. Eine ist die besagte deterministische Differentialgleichung und die andere ist die explizite Differenzengleichung für die M[tief]B(n,m,s) Modelle, d.h.

(II.42)

und

y(k)=kleines Phi[tief]1y(k-1)+kleines Phi[tief]2y(k-2)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)+kleines Theta[tief]1kleines Epsilon(k-1)+kleines Theta[tief]2kleines Epsilon(k-2)+...+kleines Theta[tief]skleines Epsilon(k-s)+kleines Epsilon(k) (II.43)

Die unabhängigen Parameter, die geschätzt werden müssen, sind: a[tief]1,a[tief]2,...,a[tief]n,b[tief]0,b[tief]1,...,b[tief]m,kleines Theta[tief]1,kleines Theta[tief]2,...,kleines Theta[tief]s.

Diese sind alle nominelle Parameter, d.h.

Großes Omega[hoch]N[tief]MB = [a[tief]1,a[tief]2,...,a[tief]n,b[tief]0,b[tief]1,...,b[tief]m,kleines Theta[tief]1,kleines Theta[tief]2,...,kleines Theta[tief]s]

Um die nominellen Parameter in Gleichung (II.42) und Gleichung (II.43) zu schätzen,

Fig. 5 Ablaufdiagramm für die Integration von M[tief]A(n,m) Modellen, wenn keine Anfangsableitung verfügbar ist. ist Gleichung (II.42) in eine Zustandsgleichung zu bringen mit denselben Verfahrensschritten wie diese für die M[tief]A(n,m) Modelle. Der Zustandsausdruck ist in derselben Form wie bei Gleichung (II.30), nämlich (II.44)

Die aktuellen Parameter bestimmen sich dann aus Gleichung (II.44) und Gleichung (II.43), d.h.:

P[tief]A ist Teilmenge von großes Omega[hoch]A[tief]MB

wobei großes Omega[hoch]A[tief]MB der Satz aller Parameter ist, die aus der Gleichung (II.44) und Gleichung (II.43) resultieren.

Die Schätzung beginnt mit einem geschätzten Satz von Parametern für a[tief]1,...,a[tief]n,b[tief]o,...,b[tief]m und kleines Theta[tief]1,...,kleines Theta[tief]s. Dieser Datensatz wird als P[hoch]o[tief]N bezeichnet.

Dann wird durch Bestimmung der aktuellen Parameter aus Gleichung (II.44) und Gleichung (II.43) und durch Benutzung der Gleichung (II.13), Gleichung (II.14) oder Gleichung (II.15) ein Satz von kleines Phi[tief]i und F[tief]i berechnet, so dass sich ein Schätzmodell wie Gleichung (II.43) ergibt. Durch Berechnung des Fehlers in jeder Beobachtung kann die Summe der quadratischen Fehler erhalten werden. Ein nichtlineares Newton-Verfahren wird angewendet, um die Summe des quadratischen Fehlers zu minimieren durch Abstimmen der aktuellen Parameter. Die Summe des quadratischen Fehlers wird bezeichnet durch großes Phi, d.h.

(II.45) wobei kleines Epsilon (k) aus Gleichung (II.46) berechnet wird.

Kleines Epsilon(k)=y(k)-kleines Phi[tief]1[hoch]0y(k-1)-...-kleines Phi[tief]n[hoch]0y(k-n)-F[tief]i[hoch]0w(k-1)-...-F[tief]n[hoch]0w(k-n)-kleines Theta[tief]1[hoch]0kleines Epsilon(k-1)-...-kleines Theta[tief]s[hoch]0kleines Epsilon(k-s) (II.46)

wobei die Hochzahl "0" andeutet, dass alle Koeffizienten berechnet oder gegeben sind zu ihrem Anfangsparameter P[hoch]o.

Der neue Parameter P kann dann erhalten werden aus:

P=P[hoch]0+kleines Delta P (II.47)

wobei kleines Delta P berechnet wird aus: (II.48)

wobei (II.49)

und (II.50)

Die Matrix ist die Hessian'sche Matrix für großes Phi und ist der Gradient-Vektor. Es ist zu beachten, dass (II.51)

und sich annähernd ergibt als:

(II.52)

Somit werden die Schätzungen iterativ fortgesetzt durch Wiederholung der Gleichung (II.48) und dem Ersetzen von P[hoch]o durch P[hoch]o + kleines Delta P, bis kleines Delta P innerhalb einer gegebenen Toleranz vorliegt.

Das Verfahren kann folgendermaßen zu Ende geführt werden:

(i) Bestimme Gleichung (II.42) als Zustandsgleichung wie Gleichung (II.44).

(ii) Gebe einen Anfangsatz von geschätzten aktuellen Parametern.

(iii) Berechne H[hoch]o = e[hoch]großes Delta großes Delta und G[hoch]o = -A[hoch]-1[I-e großes Delta großes Delta]B aus P[hoch]o.

(iv) Berechne kleines Phi[tief]1[hoch]0,kleines Phi[tief]2[hoch]0,...,kleines Phi[tief]n[hoch]0,F[tief]1[hoch]0,F[tief]2[hoch]0,...,F[tief]n[hoch]0 aus den Gleichungen (II.13), (II.14) oder (II.15) aus den sich ergebenden H[hoch]o und G[hoch]o.

(v) Berechne kleines Epsilon(k), wobei

kleines Epsilon(k)=y(k)-kleines Phi[tief]1[hoch]0 y(k-1)-...-kleines Phi[tief]n[hoch]0 y(k-n)-F[tief]1[hoch]0 w(k-1)-...-F[tief]n[hoch]0 w(k-n)-kleines Theta[tief]1[hoch]0 kleines Epsilon(k-1)-...-kleines Theta[tief]s[hoch]0 kleines Epsilon(k-s), k=1,2,...,N

(II.53)

Beachte, dass kleines Epsilon(k)=0 k kleiner gleich 0

(vi) Berechne großes Phi aus Gleichung (II.45).

(vii) Berechne und bilde die Hessian'sche Matrix und den Gradient-Vektor

(viii) Berechne kleines Delta P aus Gleichung (II.48) mit dem Ergebnis von und für bzw.

(ix) Ersetze P[hoch]o durch P[hoch]o + kleines Delta P und prüfe, ob kleines Delta P innerhalb einer gegebenen Toleranz ist oder nicht.

(x) Wenn kleines Delta P noch außerhalb der Toleranz liegt, wiederhole die Stufen (iii) bis (ix).

Das Flussdiagramm für dieses Verfahren ist in Fig. 6 gezeigt.

4. Kriterien für Modellaufbau

(1) Kriterien für die M[tief]A(n,m) Modelle

Zur Simulierung der M[tief]a(n,m) Modelle werden als dafür in Frage kommende Modellstrukturen die M[tief]A(1,0), M[tief]A(2,0) und M[tief]A(2,1) Modell betrachtet. Um ein entsprechendes Modell unter diesen möglichen Modellen auszuwählen wird ein als ID(n,m) bezeichneter Index definiert.

(II.54)

wobei P* = optimale Parameter für jede der möglichen Strukturen

SSE = Summe des quadratischen Fehlers

Die Matrix H(P*) in Gleichung (II.54) ist gegeben als: (II.55)

wobei der Wert von ist, der sich aus P* berechnet.

Das geeignete Modell unter diesen möglichen Modellen wird dann bestimmt als dasjenige, dessen Wert von ID(n,m) der kleinste ist.

Es gibt zwei Gründe, diesen Index als Kriterium für die Modellstruktur anzunehmen. Erstens wird, wenn das Modell perfekt ist, die Summe des quadratischen Fehlers gleich null. Wenn das Modell nicht perfekt ist, aber geeignet im Vergleich zu anderen, wird die Summe des quadratischen Fehlers ebenfalls klein sein. Zweitens wird die Output-Empfindlichkeitsmatrix einen Rang haben, der gleich ist der Anzahl der zu identifizierenden Parameter, wenn diese optimalen Parameter sind, die für jedes der möglichen Modelle identifizierbar sind. So hat die Matrix H den gleichen Rang wie die von

Damit wird der Determinantenwert von H ein Anhaltspunkt für die Parameteridentifizierbarkeit. Ein Kompromiss zwischen der Genauigkeit des Modells und der Identifizierbarkeit der gegebenen Parameter führt zu einem Index ID(n,m), wie oben angegeben.

Fig. 6 Flussdiagramm für die Parameterabschätzung für die M[tief]B(n,m,s) Modelle

Einige Ergebnisse aus der Verwendung dieses ID(n,m) zur Identifizierung des Simulationsverfahrens oder realer Verfahren sind in den Tabellen 7 und 8 dargestellt. Die Ergebnisse des identifizierten Modells rechtfertigen die Verwendung des ID(n,m) als Kriterium für die Modellstruktur (siehe Fig. 7 und Fig. 8).

(2) Kriterium für die M[tief]B(n,m,s) Modelle

Da das Verfahren zur Parameterbestimmung für die Bildung der M[tief]B(n,m,s) Modelle von nicht-linearen kleinsten Quadraten ist, kann das Kriterium zur Auswahl der Modellstruktur dem F-Quotiententest folgen, welcher gewöhnlich angewandt wird zur Prüfung der Signifikanz einiger bestehender Parameter in einem gegebenen Modell.

Wenn M[tief]B(n[tief]1, m[tief]1, s[tief]1) und M[tief]B (n[tief]2, m[tief]2, s[tief]2) die möglichen Modelle für ein Verfahren sind, und wenn (n[tief]1 + m[tief]1 + s[tief]1) größer ist als (n[tief]2 + m[tief]2 + s[tief]2], soll

J[tief]1 = Summe der quadratischen Fehler für M[tief]B(n[tief]1, m[tief]1, s[tief]1) Modell

J[tief]2 = Summe der quadratischen Fehler für M[tief]B(n[tief]2, m[tief]2, s[tief]2) Modell

kleines Ny[tief]1 = Freiheitsgrad für M[tief]B (n[tief]1, m[tief]1, s[tief]1)

und

kleines Ny[tief]2 = Freiheitsgrad für M[tief]B (n[tief]2, m[tief]2, s[tief]2

dann bestimme (II.56)

Vergleiche das berechnete f mit dem F[tief]kleines Alpha(kleines Ny[tief]2-kleines Ny[tief]1, kleines Ny[tief]1) aus der F-Verteilungstafel. Wo F[tief]kleines Alpha(kleines Ny[tief]2-kleines Ny[tief]1,kleines Ny[tief]1) bestimmt ist als:

Prob. [F<F[tief]kleines Alpha]=kleines Alpha%

Wenn f<F[tief]kleines Alpha, dann wird M[tief]B(n[tief]2, m[tief]2, s[tief]2) als geeignetes Modell von den M[tief]B(n[tief]1, m[tief]1, s[tief]1) und M[tief]B (n[tief]2, m[tief]2, s[tief]2) Modellen betrachtet.

5. Erläuterungen für die Identifizierungs- und Parameterschätzverfahren

(1) Ergebnisse für die M[tief]A(n,m) Modelle

Um zu zeigen, dass die Schätzmethode für M[tief]A(n,m), welche genaue Ergebnisse unabhängig von der Regeleinrichtung, die in der geschlossenen Schleife verwendet wird, erbringt, sind einige Simulationsergebnisse in Tabelle 1 wiedergegeben.

Tabelle 1

Tabelle 2 zeigt die Simulationsergebnisse, wobei andere Integrationsverfahren zur Parameterabschätzung völlig abhängig sind von der Regeleinrichtung, die in der geschlossenen Schleife verwendet wird. In derselben Tabelle sind die Ergebnisse aus dem Verfahren der Parametersensitivität allen anderen überlegen.

Tabelle 2

wobei BPF = Block-Stoßfunktions-Verfahren

MI = Integrationsverfahren nach Moore

PS = Parametersensitivitäts-Verfahren (Parameterempfindlichkeits-Verfahren)

Tabelle 3 zeigt die Ergebnisse, bei denen die Integrationsverfahren, die anders sind als die Parametersensitivität, zur Identifizierung der Parameter versagen, während das Verfahren der Parametersensitivität noch genaue Schätzungen ergibt.

Tabelle 3

Aus den Ergebnissen von Tabelle 1, 2 und 3 ergibt sich die Zuverlässigkeit des Verfahrens der Parametersensitivität zur Parameterabschätzung aus den Closed-Loop-Daten (Daten aus geschlossener Schleife) eindeutig.

(2) Ergebnisse für die M[tief]B(n,m,s) Modelle

Tabelle 4 zeigt die Simulationsergebnisse zur Identifizierung eines Verfahrens zweiter Ordnung durch die M[tief]B(n,m,s) Modelle. Der F-Quotiententest zeigt, dass das M[tief]B(2,0,0) Modell ein geeignetes Modell ist, verglichen mit dem M[tief]B(2,0,2) Modell. Das Ergebnis ist genau das gleiche, wie es aus der Theorie erwartet worden ist, d.h. das M[tief]B(2,0,0) Modell.

Tabelle 4

Kc = 4.0, T[tief]I = 5.0, T[tief]D = 0.1

großes Delta = 0.1

SP = 5.0

NOB = 100

* Konfidenz-Intervall enthält Null

* NOB ist die Anzahl der Beobachtungen.

Tabelle 5 zeigt die Ergebnisse zur Identifizierung eines Verfahrens zweiter Ordnung, bei dem Systemrauschen von Einfluss ist. Der F-Quotiententest zwischen M[tief]B(2,0,1) und M[tief]B(2,0,2) zeigt, dass das M[tief]B(2,0,1) Modell das geeignete Modell für das Verfahren ist. Das Ergebnis ist ebenfalls das gleiche wie das erwartete, d.h. M[tief]B(2,0,1).

Tabelle 5

Kc = 4.0, T[tief]I = 5.0, T[tief]D = 0.1

großes Delta = 0.1

SP = 5.0

NOB = 100

kleines Xi ähnlich wie NID (0.0, 5.0)

Tabelle 6 zeigt die Simulationsergebnisse, bei denen sowohl kleines Xi als auch v von Einfluss sind. Der F-Quotiententest lässt erkennen, dass das M[tief]B(2,0,2) Modell von größerer Bedeutung ist als das M[tief]B(2,0,1) Modell. Das ist ebenfalls so wie erwartet.

Tabelle 6

y = x + v

Kc = 4.0, T[tief]I = 5.0, T[tief]D = 0.1, SP = 5.0

NOB = 100, großes Delta = 0.1

kleines Xi ähnlich wie NID (0.0, 5.0)

v ähnlich wie NID (0.0, 0.05)

(3) Ergebnisse unter Verwendung des ID(n,m)

Der ID(n,m) Index wurde verwendet zur Prüfung der Modellstruktur, wobei sowohl die Simulationsdaten als auch die Realdaten verwendet worden sind. Tabelle 7 zeigt die Ergebnisse für die Simulation.

Tabelle 7

Tabelle 8 zeigt die Ergebnisse aus den Realdaten.

Die Daten wurden gesammelt aus Experimenten für einen CSTR-Prozess und aus Experimenten für einen Gasfeuererhitzer-Prozess. Beide Prozesse stehen unter Closed-Loop-Regelung.

Tabelle 8

Die Ergebnisse aus den Modellen wurden zusammen mit den Realdaten in Fig. 7 und Fig. 8 dargestellt. Gemäß diesen Figuren ist die Verwendung des ID(n,m) zur Simulierung gerechtfertigt.

Fig. 7 Ergebnisse der Modelle von M[tief]A(1,0) und M[tief]A(2,0) für die Real-Daten aus dem CSTR-Prozess

Fig. 8 Ergebnisse der Modelle von M[tief]A(1,0) und M[tief]A(2,0) für die Real-Daten von einem Gas-Feuer-Erhitzer

6. Simulations-Strategien und -Verfahren

In dem Verfahren, bei dem keine weiteren Informationen ausgenommen eines Satzes von Input-Output-Daten zur Verfügung steht, ist das Simulations- und Identifizierungsproblem sogar noch komplizierter. Das Simulationsproblem schließt die Bestimmung der Modellstruktur, die Schätzung der Parameter und die Bestimmung der Verfahrensverzögerung ein. Deshalb sind Simulations-Strategien, die diese Simulationsprobleme integrieren, wünschenswert.

Bisher beginnt die Simulation der Diskret-Zeit-Modelle gewöhnlich mit dem Modell unterster Ordnung. Die Ordnung des Modells wird dann nacheinander erhöht, bis einige Kriterien zufriedenstellend sind. Als typisches Beispiel ist ein Flussdiagramm durch Hsia gegeben (siehe Fig. 5-5 in "System Identification", T.C. Hsia, Lexington Books, 1979).

Beim AMCS können die Modelle für die kontinuierlichen Verfahren zu der einfachen ersten und zweiten Ordnung mit oder ohne Verzögerung begrenzt werden. Deshalb sind mögliche Modelle für M[tief]A(n,m) Modelle M[tief]A(1,0), M[tief]A(2,0) und M[tief]A(2,1) Modelle. Während für M[tief]B(n,m,s) Modelle die möglichen Modelle auf M[tief]B(1,0,s), M[tief]B(2,0,s) und M[tief]B(2,1,s) Modelle beschränkt sein können, wobei s kleiner als oder gleich n ist.

Diese Simulations-Strategien, die in dem AMCS verwendet werden, werden in einem verschiedenen Weg festgesetzt. Infolge der Begrenzung der möglichen Modelle beginnt die Simulation mit einem Modell zweiter Ordnung mit n = 2 und m = 0. Die Simulations-Strategien für M[tief]A(n,m) und M[tief]B(n,m,s) Modelle sind in den Fig. 9, 10 und 11 wiedergegeben.

Somit wird gemäß der Simulations-Strategien, wie es in den Figuren dargestellt ist, das Simulationsverfahren für M[tief]A(n,m) Modelle folgendermaßen:

(i) Erhalte einen Schätzwert für die Zeitverzögerung aus den Input-Output-Daten.

(ii) Beginne mit dem M[tief]A(2,0) Modell zur Erhaltung der Schätzparameter für die Schätzmethoden, die vorstehend ausgeführt sind.

(iii) Wende das Schätzverfahren durch die Parametersensitivität zur Schätzung der Parameter in dem Modell an.

(iv) Führe die Eindimensionssuche zur Zeitverzögerung D durch durch Wiederholung der Stufe (iii) nach der Ersetzung von D durch D + kleines Delta D, bis ein Minimum der Summe der quadratischen Fehler erhalten wird.

(v) Berechne den ID(2,0) Wert aus dem Ergebnis aus Stufe (iv).

(vi) Ändere die Modellstruktur zu M[tief]A(1,0) und wiederhole (iii) und (iv).

Simulations-Strategie für M[tief]A(n,m) Modelle

Fig. 9 Simulations-Strategie für M[tief]A(n,m) Modelle

Fig. 10 Strategie für die Bestimmung der Zeitverzögerung in M[tief]A(n,m) Modellen

Fig. 11 Simulations-Strategie für M[tief]B(n,m,s) Modelle

Der Anfangswert für die Zeitverzögerung, die im M[tief]A(1,0) Modell verwendet wird, kann berechnet werden aus (II.57)

wobei

D[hoch](1) = Schätzwert für Zeitverzögerung

D[hoch](2) = Zeitverzögerungswert im resultierenden M[tief]A(2,0) Modell

T[tief]1 und T[tief]2 = Zeitkonstanten für das M[tief]A(2,0) Modell (T[tief]2<T[tief]1)

(vii) Berechne den Wert von ID(1,0) und prüfe, ob das M[tief]A(1,0) Modell hinreichend ist.

(viii) Wenn das M[tief]A(1,0) Modell nicht hinreichend ist, verwende die M[tief]A(2,1)-Struktur und wiederhole die Verfahrensstufen (ii) - (iv) und berechne ID(2,1).

(ix) Prüfe, ob das M[tief]A(2,0) Modell hinreichend ist.

(x) Wenn das M[tief]A(2,0) Modell nicht hinreichend ist, dass wird M[tief]A(2,1) als erwiesen angenommen.

Die Simulations-Verfahren für die M[tief]B(n,m,s) Modelle sind folgendermaßen:

(i) Schätze den Wert für die Zeitverzögerung mit Hilfe der Kreuzkorrelation zwischen den Input- und Output-Daten. Dieser Schätzwert der Zeitverzögerung wird dann angenommen und in dem Simulations-Verfahren, welches folgt, verwendet.

(ii) Bilde M[tief]B(2,0,0), M[tief]B(2,0,1) und M[tief]B(2,0,2) unter Verwendung der in Abschnitt 3 angegebenen Schätzverfahren.

(iii) Wende den F-Test zur Bestimmung des M[tief]B(2,0,s) Modells unter dem M[tief]B(2,0,0), M[tief]B(2,0,1) und M[tief]B(2,0,2) Modellen an.

(iv) Wiederhole die Stufen (ii) und (iii) für das M[tief]B(1,0,s') Modell aus den M[tief]B(1,0,0) und M[tief]B(1,0,1) Modellen.

(v) Anwendung des F-Quotienten-Tests zur Prüfung, ob das M[tief]B(1,0,s') Modell hinreichend ist.

(vi) Wennn M[tief]B(1,0,s') nicht hinreichend ist, fahre mit dem Simulations-Verfahren für das M[tief]B(2,1,s'') Modell aus dem M[tief]B(2,1,0), M[tief]B(2,1,1) und M[tief]B(2,1,2) Modellen fort.

(vii) Prüfe, ob das M[tief]B(2,0,s) Modell hinreichend ist mit Hilfe des F-Quotienten-Tests.

(viii) Wenn das M[tief]B(2,0,s) Modell nicht hinreichend ist, dann wird das M[tief]B(2,1,s'') Modell angenommen.

7. Identifizierung der unmessbaren Ladung

Die vorstehenden Simulations- und Identifizierungs-Verfahren benutzen den gesamten Stapel der Daten, welche in einem Ausgleichszeitraum gesammelt worden sind, der sich aus einem Einstellungspunktwechsel während der Closed-Loop-Operation ergibt. Der sich ergebende kontinuierliche Prozess ist von der Form: (II.58)

Der Output ist von der Form und

(II.59)

für die M[tief]B(n,m,s) Modelle.

Es wird dann erwartet, dass die Fehler zwischen dem erwarteten Output und dem aktuellen Output y zu jedem Stichprobenmoment null und endliche Variante haben muss. Jedoch kann diese Annahme wegen des konstanten systematischen Fehlers in dem kontinuierlichen Prozess verletzt werden. Diese Konstante oder zumindest der sehr kleine system. Fehler der Zeitänderung wird als Ladungsstörung behandelt.

Zur Betrachtung dieser Ladungsstörung, muss der kontinuierliche Prozess in Gleichung (II.58) in der Form geschrieben werden: (II.60)

wobei die Ladungsstörung bezeichnet.

Ein wiederholbarer Realzeitalgorithmus ist wünschenswert zur Identifizierung der Ladungsstörung zu Zwecken der Regelung des Verfahrens. Im folgenden ist der Algorithmus, der Werte von zur Realzeitschätzung gibt, vorgesehen, basierend auf den identifizierten Parametern aus dem letzten Stapel, d.h. a[tief]1,...,a[tief]n,...,b[tief]o,...,b[tief]m.

Zuerst wird ein rechtwinkliges Fensterfilter verwendet, um eine konstante Länge von Daten, die man zur Abschätzung benötigt, zurückzuhalten. Angenommen, dass das rechtwinklige Fenster eine Länge von l hat, d.h. y(t[tief]i), y(t[tief]i-1), ...., y(t[tief]i-l), u(t[tief]i), u(t[tief]i-1), ...., u(t[tief]i-l) sind zu jedem Zeitpunkt t[tief]i verfügbar.

(1) Schätzung von mit Hilfe der Parametersensitivität

Der einzig für diesen Fall zu schätzende Parameter ist

Andere Konstante wie a[tief]i und b[tief]j (i=1,2,...,n und j=0,1,...,m) werden als gegebene Werte betrachtet.

Somit ist wobei P der Parameter-Vektor ist.

Bestimme

Y[tief]i=[y(t[tief]i-kleines Jota),y(t[tief]i-kleines Jota+[tief]1),...,y(t[tief]i)] (II.61)

Dann, beginnend mit einem Anfangswert von d, beispielsweise d[hoch]o, kann der gleiche Algorithmus wie der der M[tief]A(n,m)-Modellschätzung benutzt werden zur Berechnung des neuen Wertes von zum Zeitpunkt von t[tief]i, d.h.

(II.62)

wobei (II.63)

Beim Vorgehen der Berechnung von t[tief]i zu t[tief]i+1 usw. wird eine Reihe von erhalten. Diese Reihe der kann vorgesehen werden für eine Vorwärtskompensation.

Die Berechnung von erfordert die Integrierung der Gleichung (II.60). Die Anfangsbedingungen sind jedoch gewöhnlich nicht verfügbar. Deshalb kann die Berechnung auf einem alternativen Weg durchgeführt werden.

Zuerst kann durch Einsetzen der Gleichung (II.13) bis Gleichung (II.15) die Bestimmung von kleines Phi[tief]i, F[tief]i (i=1,2,...,n) für ein Differenzgleichungsmodell aus einem kontinuierlichen Modell wie Gleichung (II.60) erhalten werden, wobei das diskrete Modell gebildet ist als:

(II.64)

Dabei ist µ der Term des systematischen Fehlers, der sich aus der konstanten Störung von Gleichung (II.60) ergibt. Dann kann unter Annahme der ersten n-Werte von gleich y die Integrierung unter Verwendung der Gleichung (II.60) fortgeführt werden mit den richtigen Werten von a[tief]i und b[tief]j (i=1,2,...,n; j=0,1,...,m).

Das Verfahren ist folgendes:

(i) Sammle die ersten l Sätze von y(t) und u(t).

(ii) Weise die Werte von a[tief]i und b[tief]j aus den letzten identifizierten Ergebnissen zu.

(iii) Weise den Anfangswert von aus dem letzten Ergebnis zu.

(iv) Berechne die Parametersensitivität.

Die Integration von Gleichung (II.60) erbringt keinen Anfangswert von wenn Gleichung (II.64) und die Gleichungen (II.12) bis (II.15) verwendet werden.

(v) Berechne aus Gleichung (II.62).

(vi) Ersetze durch

(vii) Gehe mit dem rechtwinkligen Fenster zum nächsten Zeitpunkt und wiederhole die Stufen (iv) bis (vi).

Einige Simulations-Ergebnisse sind in Fig. 12 und Fig. 13 wiedergegeben.

(2) Schätzung von mit Hilfe der nicht-linearen Optimierung

Die Schätzung kann mit Hilfe der Verfahren für die M[tief]B(n,m,s) Schätzung durchgeführt werden. Das Verfahren ist nachstehend beschrieben.

(i) Berechne mit

(ii) Berechne

(iii) Berechne

(iv) Lass

(v) Ersetze

(vi) Lasse die letzten Daten zu und scheide die ältesten Daten von y(t) und u(t) aus und wiederhole dann von (i) bis (v).

Fig. 12 Ergebnisse der Identifikation für die unbekannte Störung

Fig. 13 Ergebnisse der Identifikation für die unbekannte Störung

III. Der selbsteinstellende Abstimmungs-Algorithmus

Die dynamischen Modelle, die aus dem AMS resultieren, können die Grundinformationen zur Abstimmung des herkömmlichen PID-Reglers liefern, welche heutzutage umfangreich für chemische Verfahrensregelung verwendet werden. Abstimmungsbeziehungen für derartige PID-Regelsystems werden aus verschiedenen Quellen gegeben. In diesem Abschnitt werden einige spezielle Abstimmungsergebnisse vorgeschlagen. Ein schematisches Diagramm für das selbsteinstellende Abstimmungssystem ist in Fig. 1 gezeigt.

1. Abstimmungsbeziehungen für einen interaktiven PID-Regler (sich gegenseitig beeinflussenden PID-Regler)

Interaktive PID-Regler sind solche, welche jetzt in der Industrie verwendet werden. Die bestehenden Abstimmungsbeziehungen sind jedoch gewöhnlich für die idealen nicht-interaktiven PID-Regler gemacht. Ein hier betrachteter interaktiver PID-Regler hat seinen Algorithmus entweder in digitaler oder in analoger Form wie folgend gegeben:

(i) Analoger Algorithmus (III.1)

(ii) Digitaler Algorithmus (III.2)

wobei P = Output des analogen Reglers

E = Fehler-Input, M = Regler-Output

Q[tief]n-1 = vorausgehend berechneter Wert von Q

Q[tief]n = neuester berechneter Wert von Q

Kc = Proportionalkonstante

Ti = Integralzeit

T[tief]D = Abgeleitete Zeit

großes Delta = Intervall für die Probenahme.

Wenn das Verfahren in dem PID-Regelsystem als Verfahren erster Ordnung behandelt werden kann mit Verzögerungstransferfunktion, können die Abstimmungsbeziehungen, welche einige Integral-Ausführungsindizes wie ITAE, IAE, ITSE und ISE minimieren, in die Form gebracht werden:

P = A mal [D/kleines Tau][hoch]B (III.3)

oder

P = A mal [D/kleines Tau]+B (III.4)

wobei

P = skalierter Abstimmungsparameter

D = Zeitverzögerung im Verfahren erster Ordnung

kleines Tau = Zeitkonstante

A und B = Konstante

Die Werte von A und B sind in Tabelle 9 wiedergegeben.

Beachte, dass die Abstimmungsbeziehungen für das kleinste T(kleines Tau, angenommen 0,005, vorgeschlagen werden zur Abstimmung der analogen interaktiven Regler, welche die gleiche Transferfunktion wie Gleichung (III.1) aufweisen. Für Digital-Regler mit kleinerem T/kleines Tau werden die Abstimmungsergebnisse von Tabelle 9 ebenfalls vorgeschlagen, da die Konvergenz der Abstimmungsbeziehungen die in Tabelle 9 gegebenen Werte nicht auseinanderhalten kann.

2. Abstimmungsbeziehungen unter Verwendung des quadratischen Ausführungsindex (quadratischen effektiven Parallelwiderstands)

Abstimmungsbeziehungen, die den quadratischen Ausführungsindex verwenden, können ebenfalls in die Form von Gleichung (III.3) oder Gleichung (III.4) gebracht werden. Der quadratische Ausführungsindex ist gegeben als (III.5)

Wenn das Verfahren in der Schleife ebenfalls als Verfahren erster Ordnung betrachtet wird mit einer Verzögerungstransferfunktion, sind die Abstimmungsbeziehungen folgende:

(i) PI-Regler

K[tief]P K[tief]C = 0.6347 [D/kleines Tau][hoch]-0.6576 (III.6)

T[tief]kleines Jota/kleines Tau = 1.2113 [D/kleines Tau][hoch]0.4617 (III.7)

(ii) PID-Regler

K[tief]P K[tief]C = 0.975 [D/kleines Tau][hoch]-0.5724 (III.8)

T[tief]kleines Jota/kleines Tau = 1.2113 [D/kleines Tau][hoch]0.4872 (III.9)

T[tief]D/kleines Tau = (D/kleines Tau) [2.092 + 1.449 (D/kleines Tau)][hoch]-1

(III.10)

Tabelle 9

Die Zahlen ohne * sind in Gleichung (III.3) und die Zahlen mit * in Gleichung (III.4) zu verwenden

3. Abstimmungsbeziehungen für geregelte Verfahren zweiter Ordnung mit überkritischer Dämpfung

Angenommen T[tief]1, T[tief]2 sind Zeitkonstante eines Verfahrens zweiter Ordnung überkritischer Dämpfung und D[hoch](2) ist die Zeitverzögerung in dem Verfahren zweiter Ordnung. Dann gibt es ein äquivalentes (im Sinne geringster Quadrate) Verfahren erster Ordnung mit einer Zeitkonstanten und einer Zeitverzögerung wie folgende: wobei

D[hoch](1) = Zeitverzögerung in dem äquivalenten Verfahren erster Ordnung

kleines Tau = Zeitkonstante in dem äquivalenten Verfahren erster Ordnung.

Somit können die bestehenden Abstimmungsbeziehungen einschließlich der Gleichungen (III.6) bis (III.10) und der in Tabelle 9 gegebenen, verwendet werden.

IV. Selbsteinstellende Regelung für die unmessbare Ladung

Die unmessbare Ladung, die durch die Gleichung (II.60), welche den Algorithmus AMS verwendet, gekennzeichnet ist, kann schematisch betrachtet werden mit der Struktur von Fig. 14. Die Simulations-Ergebnisse in Fig. 12 und Fig. 13 zeigen, dass es möglich ist, schön nahegelegene Abschätzungen für eine solche unmessbare Ladungsstörung in Realzeitberechnungen zu erhalten. Es wird deshalb erwartet, eine solche identifizierte Ladung durch einen Vorwärtskompensator zu kompensieren, ohne völlig auf das Feedback-Regelsystem zurückzugreifen. Das sich ergebende Regelsystem ist dann eine Kombination von einer Feedback- und einer Feedforward (Vorwärts) - Regelung. Das heißt:

u(t) = u[tief]F(t) + u[tief]B(t) (IV.1)

Beachte, dass U[tief]F, der Forward-Regel-Input, aus der berechneten Ladung, welche unmessbar ist, resultiert. Der Vorwärts-Regel-Input U[tief]F kann in den folgenden zwei verschiedenen Wegen festgesetzt werden.

1. Näherung nullter Ordnung

Bei dieser Näherung wird angenommen, dass ungefähr gleich ist wobei

= der vorausgeschätzte Wert von bei t[tief]j auf der Grundlage der Information bis t[tief]i.

Dann ist U[tief]F gegeben als: (IV.2)

wobei

b[tief]o,a[tief]n = Konstante in den M[tief]A(n,m) oder M[tief]B(n,m,s) Modellen

= gewünschter Wert von d.h. Einstellungspunkt

K[tief]I = Integrationskonstante, gewöhnlich gegeben als Kc/T[tief]I

kleines Lambda = ein konstanter Abstimmungsparameter so dass der Regel-Input geschrieben werden kann als: (IV.3)

2. Voreilungs-/Nacheilungs-Näherung

Wenn und angenommen werden, einer Voreilungs-/Nacheilungsbeziehung zu folgen, dann ist (IV.4)

dann ist U[tief]F gegeben als: (IV.5)

wobei Q(t[tief]i) berechnet wird aus Gleichung (IV.6).

(IV.6)

worin

D = Zeitverzögerung in dem Prozess

kleines Alpha = Abstimmungskonstante

3. Erläuterung des Feedforward-Regelalgorithmus

Die Wirksamkeit des Feedforward (Vorwärts)-Regelalgorithmus, der vorstehend vorgeschlagen worden ist, kann durch einige Simulationsergebnisse erläutert werden.

Fig. 14 Blockdiagramm für das Regelsystem, bei dem unmessbare Ladung existiert

(i) Beispiel 1:

Betrachte das Blockdiagramm des aktuellen Systems in Fig. 15-a:

Die sich ergebenden M[tief]A(2,0) und M[tief]A(1,0 Modelle) aus dem AMS sind:

M[tief]A(2,0) Modell: (IV.7)

M[tief]A(1,0) Modell: (IV.8)

Das ausgewiesene Blockdiagramm von dem AMS ist in Fig. 15-b gegeben.

Die resultierenden Ausführungen, die den Feedback-Regelalgorithmus und den vorgeschlagenen Regelalgorithmus benutzen, sind in Tabelle 10 wiedergegeben.

Tabelle 10

Fall 1 und Fall 3 verwenden die Kc, T[tief]I, T[tief]D-Werte, die mit dem M[tief]A(1,0) Modell abgestimmt sind

Fall 2 und Fall 4 verwenden die Kc, T[tief]I, T[tief]D-Werte, die mit dem M[tief]A(2,0) Modell abgestimmt sind.

(ii) Beispiel 2:

Betrachte das Blockdiagramm des aktuellen Systems in Fig. 16-a

Die resultierenden M[tief]A(2,0) und M[tief]A(1,0) Modelle sind: M[tief]A(2,0) Modell: (IV.9)

M[tief]A(1,0) Modell: (IV.10)

Das ausgewiesene Blockdiagramm ist in Fig. 16-b wiedergegeben.

Die Ausführungsindizes aus den Simulationen sind in Tabelle 11 aufgelistet.

Tabelle 11

Fall 1, 2 und 3 verwenden die Kc, T[tief]I und T[tief]D-Werte, die mit dem M[tief]A(1,0) Modell abgestimmt sind.

** Die Schätzung der Ladung verwendet die exponentiale Fensternäherung mit
<NichtLesbar>

= 0.74 (exponentielle Ausschnittsnährung)

* Die Schätzung der Ladung verwendet die quadratische Fensternäherung mit l = 7 (quadratische Ausschnittsnäherung.

Fig. 15a Aktuelles Regelsystem

Fig. 15b Identifiziertes Regelsystem

Fig. 16a Aktuelles Regelsystem

Fig. 16b Identifiziertes Regelsystem

V. Anhang

1. Integrationsverfahren nach Moore:

Dieses Integrationsverfahren basiert auf der Integrationsformel: (A-1)

Betrachte eine gegebene Differentialgleichung (A-2)

Dann ist (A-3)

wenn t = t[tief]1 wird Gleichung (A-3) zu: (A-4)

Weiter, wenn t = t[tief]2, wird Gleichung (A-3) zu: (A-5)

Somit kann die Schätzung von kleines Alpha und kleines Beta erhalten werden durch die gleichzeitige Lösung von Gleichung (A-4) und Gleichung (A-5).

2. Schätzverfahren durch Block-Stoßfunktion (block pulse function)

Dieses Verfahren basiert auf der Integrationsformel: (A-6)

wobei

X[hoch]T = [x[tief]1, x[tief]2, ..., x[tief]8] mit x[tief]i = x(t[tief]i) = x(i großes Delta) und t[tief]kleines Jota = k großes Delta

großes Phi[hoch]T(t) = [kleines Phi[tief]0(t), kleines Phi[tief]1(t), ..., kleines Phi[tief]k(t)]

mit

kleines Phi[tief]1(t) = 1 für t[tief]i-1<t<t[tief]i

kleines Phi[tief]i(t) = 0 für t ist kein Element von [t[tief]i-1, t[tief]i]

und (A-7)

Betrachte eine gegebene Differentialgleichung:

Dann (A-8)

so dass

X[hoch]T großes Phi(t) - X[tief]0[hoch]T großes Phi(t) + kleines Alpha X[hoch]T H großes Phi(t) = kleines Beta U[hoch]T H großes Phi (A-9)

wobei

X[tief]0[hoch]T = [x[tief]0, 0, ......, 0] (A-10)

U[hoch]T = [u(t[tief]1), u(t[tief]2), ......, u(t[tief]k)] (A-11)

Damit

X - X[tief]0 = [H[hoch]T U - H[hoch]T X] [[hoch]kleines Beta[tief]kleines Alpha] = V[[hoch]kleines Beta[tief]kleines Alpha]

(A-12)

wobei

V = H[hoch]T U - H[hoch]T X (A-13)

Schließlich

[[hoch]kleines Beta[tief]kleines Alpha] = [V[hoch]T V][hoch]-1 [V[hoch]T(X - X[tief]0)].

(A-14)

Gleichung (A-14) kann die Anfangsschätzung von kleines Alpha und kleines Beta liefern.

15. Digitale Computer-Programme:

Tabelle Seite 103 bis Seite 119

Selbsteinstellendes Simulations- und Regelungs-System

Inhalt

I. Einführung in das AMCS

II. Selbsteinstellendes Simulations-System

1. Definition der M[tief]A(n,m)- und M[tief]B(n,m,s)-Modelle

2. Parameter-Abschätzung für M[tief]A(n,m)-Modelle

3. Parameter-Abschätzung für M[tief]B(n,m,s)-Modelle

4. Kriterien für Modell-Aufbau

5. Erläuterungen für die Identifizierungs- und Parameterschätz-Verfahren

6. Simulations-Strategien und -Verfahren

7. Identifizierung der unmessbaren Ladung

III. Selbsteinstellender Abstimmungs-Algorithmus

1. Abstimmungsbeziehungen für einen interaktiven PID-Regler

2. Abstimmungsbeziehungen unter Verwendung des quadratischen Ausführungsindex

3. Abstimmungsbeziehungen für geregelte Verfahren zweiter Ordnung mit überkritischer Dämpfung

IV. Selbsteinstellende Regelung für die unmessbare Ladung

1. Näherung null-ter Ordnung

2. Voreilungs-/Nacheilungs-Näherung

3. Erläuterung des Feedforward-Regel-Algorithmus

V. Anhang

1. Integrationsverfahren nach Moore

2. Schätzverfahren durch Block-Stoßfunktion

Claims (14)

1. Das selbsteinstellende Simulations- und Regelsystem (Abkürzung AMCS) sieht vor die Simulation, Identifizierung und selbsteinstellende Regeloperationen, die unter Closed-Loop (geschlossene Schleife) durchgeführt werden können. Das Operationssystem ist in Fig. 1 gezeigt. Der Funktionsaufbau des AMCS ist in Fig. 2 gezeigt.

Das AMCS weist das selbsteinstellende Simulations-Sytem (AMS) als Kernteil auf. Das AMS besteht aus zwei Hauptalgorithmen: dem Simulations- und Identifizierungsalgorithmus (MIA) und dem Störungsidentifizierungsalgorithmus (DIA). Diese beiden Algorithmen verwenden die dynamischen Daten zur Nachbildung der Prozessdynamiken und zur Identifizierung der unmessbaren Ladungsstörungen. Die erforderlichen dynamischen Daten werden aus Closed-Loop (geschlossene Schleife) - Operationen erzeugt.

Die Durchführung des AMCS ergibt sich in zwei Schleifen. Die äußere Schleife A (bezeichnet als AFBC) arbeitet in Stapelweise, so dass die vorübergehenden Ergebnisse, die aus einer Änderung des Operationslevels resultieren (wie z.B. Einstellungspunkt - Anpassung während der normalen Operation oder manuelle Anpassung während der Anlaufperiode) verwendet werden, um durch MIA ein aktualisiertes Modell zu erhalten. Dann folgt der Abstimmungs PID-Regler, der auf diesem neuen Modell basiert, so dass die selbsteinstellende Feedback-Regelschleife (AFBC) gebildet wird. Die innere Schleife B (bezeichnet als AFFC) arbeitet auf der Grundlage der Echtzeit, so dass die Modellfehler oder die äußeren Ladungsstörungen identifiziert und kompensiert werden können in einem Vorwärtssinn in Echtzeitoperation. Die Feedforward (Vorwärts) - Regelschleife wird bezeichnet als selbsteinstellende Feedforward (Vorwärts)-Regelung (AFFC).

Deshalb ist das AMCS im Grunde ein selbstlernendes und selbstabstimmendes Sytsem, welches die Regeloperationen allzeit gegen ihre optimalen Bedingungen hin leitet, ungeachtet des Auftretens von unmessbaren Störungen oder Modellfehlern.

2. Definition der M[tief]A(n,m) Modelle

Die M[tief]A(n,m) Modelle sind gegeben in der Form: (2.1)

W(t) = u(t-D)

wobei

= Modell-Output

= geschätzter beobachteter Output

n = höchste Ordnung der Differenzierung von x

m = höchste Ordnung der Differenzierung von W

u = Prozess-Input

D = wahre Zeitverzögerung

w = verzögerter Input

Der nominelle Satz der Parameter für M[tief]A(n,m) Modell,

großes Omega[hoch]N[tief]MA ist definiert als: (2.2)

Herkömmliche Rückkopplungs-Regelungsschleife

Fig. 1 Selbsteinstellendes Simulations- und Regelsystem

Prozessdaten

Fig. 2 Funktionsaufbau des AMCS wobei

a[tief]i (i=1,2,...,n) = die Koeffizientenkonstante für b[tief]i, (i=0,1,...,m) = die Koeffizientenkonstante für W

= anfänglicher Wert der i-ten Ableitung von

So dass

P[tief]N ist Teilmenge von großes Omega[hoch]N[tief]MA (2.3)

wobei

P[tief]N = nominelle geschätzte Parameter.

Der Satz aktueller Parameter für M[tief]A(n,m) Modelle wird bestimmt aus deren äquivalenter kanonischer Zustandsdarstellung, d.h.

= A Z + B w (2.4)

mit

großes Omega[hoch]A[tief]MA = [kleines Ni[tief]1, kleines Ni[tief]2,..., kleines Ni[tief]1, z[tief]1(0), z[tief]2(0),..., z[tief]n(0)] (2.5)

und

P ist Teilmenge von großes Omega[hoch]A[tief]MA (2.6)

wobei

z[tief]i (i=1,2, ...,n) = Zustandsvariable

kleines Ni[tief]i, (i=1,2, ,l) = Koeffizientenkonstante in der kanonischen Zustandsgleichung

P = geschätzter Parameter-Vektor.

3. Definition der M[tief]B(n,m,s) Modelle

Die M[tief]B(n,m,s) Modelle sind gegeben in Form einer stochastischen Differentialgleichung, die verbunden ist mit einem verdeckten kontinuierlichen Differentialgleichungsmodell, d.h.

(3.1)

mit (3.2)

und (3.3)

mit

kleines Phi[tief]i = kleines Phi[tief]i(a[tief]1,...,a[tief]n) und F[tief]i = F[tief]i(a[tief]1,...,a[tief]n,b[tief]o,...,b[tief]m), i = 1,2,...,n

Der nominelle Satz der Parameter in dem M[tief]B(n,m,s) Modell ist definiert als großes Omega[hoch]N[tief]MB, d-h-

großes Omega[hoch]N[tief]MB = [a[tief]1,a[tief]2,......,a[tief]n,b[tief]o,b[tief]1,......,b[tief]m, kleines Theta[tief]1,kleines Theta[tief]2,......,kleines Theta[tief]s] (3.4)

Die in den Gleichungen (3.1) bis (3.4) verwendeten Symbole bedeuten folgendes:

= geschätzter Output für y

y = aktuelle Output-Variable

w = der verzögerte Prozess-Input, d.h. u(t-D), so dass w(k) für u(k-kleines Eta) steht, wobei kleines Eta = Integer [D/großes Delta]

kleines Epsilon = Fehler zwischen dem aktuellen und dem geschätzten Output

kleines Phi[tief]i (i = 1,2,...,n) = Koeffizienten für y in der Differentialgleichung

F[tief]i, (i = 1,2,...,n) = Koeffizienten für w in der Differentialgleichung

a[tief]i, (i = 1,2,...,n) = Koeffizienten für b[tief]i, (i = 0,1,...,m) = Koeffizienten für w

n = Ordnung der Differenzierung von m = Ordnung der Differenzierung von w

s = Ordnung der Differenzierung für kleines Epsilon

kleines Theta[tief]i (i = 1,...,s) = Koeffizienten für kleines Epsilon

Der Satz der aktuellen Parameter für M[tief]B(n,m,s) Modelle bestimmt sich aus deren äquivalenter kanonischen Zustandsdarstellung für Gleichung (3.3), so dass

= A Z + B w (3.5)

mit großes Omega[hoch]A[tief]MB = {kleines Ny[tief]1,kleines Ny[tief]2,......,kleines Ny[tief]1,kleines Theta[tief]1,kleines Theta[tief]2,......,kleines Theta[tief]s} (3.6)

und P ist Teilmenge von großes Omega[hoch]A[tief]MB (3.7)

wobei P = aktueller Abschätzungs-Parameter-Vektor

[tief] kleines Ny [tief]i, (i = 1,2,...,2) = Koeffizientenkonstante in der Zustandsdarstellung für Gleichung (3.3)

Beachte, dass die Anfangswerte der Zustandsvariablen Z[tief]1(0), Z[tief]2(0),...,z[tief]n(0) nicht in großes Omega[hoch]A[tief]MB enthalten sind.

4. Gleichförmiges abgetastetes diskretes Modell für ein kontinuierliches Zustands-Dynamik-System.

Das angenommene kontinuierliche Zustands-Dynamik-System ist gegeben als:

Z = A Z + B w

y = z[tief]1 (4.1)

Das diskrete Modell, das gleichförmig aus dem System in Gleichung (4.1) abgetastet wird, ist gegeben als:

y(k)=kleines Phi[tief]1 y(k-1)+kleines Phi[tief]2 y(k-2)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n) (4.2)

Die Beziehung zwischen kleines Phi[tief]i, F[tief]i und Gleichung (4.1) sind folgendermaßen gegeben:

Definiere H=[h[tief]ij][tief]nxn = exp [A mal großes Delta]

und

G=[g[tief]i][tief]nxI = -A[hoch]-1[I-exp(A mal großes Delta)]B (4.3)

wobei

A,B = Koeffizientenmatrizen in Gleichung (4.1)

h[tief]ij = i-, j-tes Element von Matrix H

g[tief]i = i-tes Element von Matrix G

großes Delta = Integrations-Unterintervall für das Auswahlintervall

(1) Für Zustandsgleichung mit n = 1

kleines Phi[tief]1 = h[tief]11 F[tief]1 = g[tief]1 (4.4)

(2) Für Zustandsgleichung mit n = 2

kleines Phi[tief]1 = h[tief]11 + h[tief]22 F[tief]1 = g[tief]1

kleines Phi[tief]2 = (h[tief]12 h[tief21-h[tief]22 h[tief11) F[tief]2 = g[tief]2 h[tief]12-g[tief]1 h[tief]22 (4.5)

(3) Für Zustandsgleichung mit n = 3

kleines Phi[tief]1 = h[tief]11 + h[tief]22 + h[tief]33 F[tief]1 = g[tief]1

kleines Phi[tief]2 = -(großes Delta[tief]11 + großes Delta[tief]22 + großes Delta[tief]33) F[tief]2 = (h[tief]12 g[tief]1 - g[tief]1 h[tief]22) + (h[tief]13 g[tief]3 - g[tief]1 h[tief]33)

kleines Phi[tief]3 = Det [H] F[tief]3 = g[tief]3 großes Delta[tief]31 + g[tief]2 großes Delta[tief]21 + g[tief]1großes Delta[tief]11 (4.6)

wobei

Det[ ] = Determinante der quadratischen Matrix

großes Delta[tief]ij = Faktor von h[tief]ij.

5. Parameterschätzung für M[tief]A(n,m) Modelle

Das Flussdiagramm der Parameterschätzung für M[tief]A(n,m) ist in Fig. 3 gezeigt.

Die Verfahrensschritte ergeben sich folgendermaßen:

(1) Definiere das M[tief]A(n,m) Modell und den nominellen Parameter-Vektor P[tief]N.

(2) Transformiere das M[tief]A(n,m) Modell von Gleichung (2.1) in die Zustandsdarstellung von Gleichung (2.4) und definiere den aktuellen Parameter-Vektor P.

(3) Schätze den Anfangswert von P[hoch]o[tief]N aus den Schätzroutinen, beispielsweise aus der Integrationsmethode von Moore oder der Blockstoßfunktionsmethode und berechne dann die entsprechenden aktuellen Parameter P[hoch]o.

(4) Beginne mit P[hoch]o, berechne und

Die Berechnung von oder erfordert die Integration von Gleichung (2.1). Die Integration von Gleichung (2.1) kann auf zwei verschiedenen Wegen ausgeführt werden.

(i) Wenn alle Schätzungen für die Anfangsableitungen zur Verfügung stehen, wird die Integration durch die bekannten numerischen Integrationsverfahren durchgeführt.

(ii) Wenn alle oder Teile der Schätzungen der Anfangsableitungen nicht zur Verfügung stehen, sollten Integrationsverfahren, die keine Anfangsableitungen benutzen, angewendet werden. Dieses Integrationsverfahren stellt sich folgendermaßen dar;

(a) Transformiere das M[tief]A(n,m) Modell in die Form der Gleichung (4.1)

(b) Verwende P[hoch]o[tief]N zur Berechnung des entsprechenden P[hoch]o

(c) Verwende P[hoch]o und die Gleichung (4.4) bis (4.6) zur Berechnung von kleines Phi[tief]i,(i = 1,2,...,n) und F[tief]i, (i = 1,2,...,n)

(d) Nehme y(0), y(1),...,y(n-1) an als und die Gleichung: (5.1)

zur Berechnung von für k = n, n + 1, ..., N.

Das Flussdiagramm für das vorstehend dargestellte Verfahren ist in Fig. 4 gezeigt.

(5) Errichtung der (5.2)

wobei r die Gesamtzahl der Parameter in P ist.

(6) Berechne kleines Delta[tief]P durch (5.3)

wobei

Y[hoch]kleines Tau = [y(t)[tief]1),y(t[tief]2),......,y(t[tief]N)]

kleines Delta Y = [kleines Delta y(t[tief]1), kleines Delta y(t[tief]2), ......, kleines Delta y(t[tief]N)] (5.4)

und

kleines Delta y(t[tief]i) = y(t[tief]i) -

(t[tief]i)

(7) Prüfe, ob kleines Delta P innerhalb einer gegebenen Toleranzgrenze liegt; wenn ja, stop.

(8) Sonst ersetze P[hoch]o durch P[hoch]o + kleines Delta P und wiederhole von Stufe (4) bis Stufe (7).

6. Parameterschätzung für die M[tief]B(n,m,s) Modelle

Dieses Schätzverfahren gibt die Schätzungen für die Parameter in zwei verbundenen Gleichungen der M[tief]B(n,m,s) Modelle, d.....h.

(6.1)

und

Y(k)=kleines Phi[tief]1 y(k-1)+kleines Phi[tief]2 y(k-2)+...+kleines Phi[tief]n y(k-n)+F[tief]1 w(k-1)+...+F[tief]n w(k-n)+kleines Theta[tief]1 kleines Epsilon(k-1) +kleines Theta [tief]2 kleines Epsilon(k-2)+...+kleines Theta[tief]s kleines Epsilon(k-s)+kleines Epsilon(k) (6.2)

Fig. 3 Flussdiagramm der Parameterschätzung für das M[tief]A(n,m) Modell

Fig. 4 Flussdiagramm für die Integration von M[tief]A(n,m) Modellen wenn keine Anfangsableitungen zur Verfügung stehen.

Das Flussdiagramm zur Parameterschätzung in M[tief]B(n,m,s) Modellen ist in Fig. 5 gezeigt. Das Verfahren ist folgendes:

(1) Definiere Gleichung (6.1) in der Form von Gleichung (4.1)

(2) Erhalte eine erste Schätzung für die Werte von

a[tief]i(i = 1,2,...,n) und b[tief]i(i = 0,1,...,m) und

kleines Theta[tief]i (i = 1,2, ,s), welche als P[hoch]o bezeichnet werden.

(3) Verwende P[hoch]o und wende Gleichung (4.3) an zur Berechnung der Matrizen H und G.

(4) Verwende Gleichung (4.4) oder Gleichung (4.5) oder Gleichung (4.6) zur Berechnung von kleines Phi[tief]i(i = 1,2,...,n) und F[tief]i(i = 1,2,...,n

(5) Berechne kleines Epsilon(k) für k = 1,2,...,N wobei

kleines Epsilon(k)=y(k)-kleines Phi[tief]1y(k-1)-......-kleines Phi[tief]ny(k-n)

-F[tief]1w(k-1)-......-F[tief]nw(k-n)

-kleines Theta[tief]1 kleines Epsilon(k-1)-......-kleines Theta[tief]s kleines Epsilon(k-s)

(6.3)

Beachte, dass kleines Epsilon(k) = 0 für k kleiner-gleich 0

(6) Berechne großes Phi (P) =

(7) Berechne großes Pi und großes Sigma wobei (6.4)

und (6.5) (6.6) (6.7)

Fig. 5 Flussdiagramm für die Parameterschätzung für die M[tief]B(n,m,s) Modelle

(8) Berechne kleines DeltaP als

kleines DeltaP = -kleines Lambda großes Pi[hoch]-1 großes Sigma (6.8)

(9) Berechne großes Phi(P[hoch]o + kleines Delta P) und prüfe, ob es innerhalb einer Toleranz um großes Phi(P[hoch]o) liegt; wenn ja, Stop.

(10) Wenn nein, ersetze P[hoch]o durch P[hoch]o + kleines Delta P und wiederhole von Stufe (3) bis Stufe (9).

7. Kriterien für die Zulänglichkeit der M[tief]A(n,m) und M[tief]B(n,m,s) Modelle.

(1) Kriterium für die Zulänglichkeit der M[tief]A(n,m) Modelle.

Dieses Kriterium prüft die Zulänglichkeit für ein gegebenes M[tief]A(n,m) Modell gegenüber dem anderen möglichen M[tief]A(n',m') Modell.

Ein Prüfindex ID(l[tief]1,l[tief]2) ist folgendermaßen definiert: (7.1)

wobei

P* = optimaler Parameter für ein M[tief]A(n,m) Modell mit n als l[tief]1 und m als l[tief]2

SSE = Summe der quadratischen Fehler, verbunden mit P* für das gegebene M[tief]A(l[tief]1,l[tief]2) Modell

Dann besteht das Prüfkriterium für die Zulänglichkeit des gegebenen M[tief]A(n,m) Modells gegenüber dem M[tief]A(n',m') Modell darin, herauszufinden, ob ID(n,m) beträchtlich kleiner ist als ID(n',m'). Insbesondere wenn ID(n,m) kleiner als ID(n',m'), dann ist das M[tief]A(n,m) Modell hinreichend ausreichende Zulänglichkeit.

(2) Kriterium für die Zulänglichkeit von M[tief]B(n,m,s) Modellen.

Wenn die Zulänglichkeit von einem M[tief]B(n[tief]2,m[tief]2,s[tief]2) Modell geprüft wird gegenüber einem M[tief]B(n[tief]1,m[tief]1,s[tief]1) Modell, wobei (n[tief]1 + m[tief]1 + s[tief]1) größer ist als (n[tief]2 + m[tief]2 + s[tief]2), wird der F-QuotientenTest durchgeführt:

Es sei

J[tief]1 = Summe der quadratischen Fehler für das M[tief]B(n[tief]1,m[tief]1,s[tief]1) Modell

J[tief]2 = Summe der quadratischen Fehler für das M[tief]B(n[tief]2,m[tief]2,s[tief]2) Modell

kleines Ny[tief]1 = Freiheitsgrad für das M[tief]B(n[tief]1,m[tief]1,s[tief]1) Modell

und

kleines Ny[tief]2 = Freiheitsgrad für das M[tief]B(n[tief]2,m[tief]2,s[tief]2) Modell

dann definiere (7.2)

Vergleiche das berechnete f mit dem Wert von F[tief]kleines Alpha(kleines Ny[tief]2-kleines Ny[tief]1, kleines Ny[tief]1) aus der F-Verteilungstafel, wobei F[tief]kleines Alpha(kleines Ny[tief]2-kleines Ny[tief]1, kleines Ny[tief]1) definiert ist als:

Prob[F kleiner als F[tief]kleines Alpha] = kleines Alpha %

Wenn f kleiner als F[tief]kleines Alpha, dann wird M[tief]B(n[tief]2,m[tief]2,s[tief]2) als hinreichendes Modell im Vergleich zu dem M[tief]B(n[tief]1,m[tief]1,s[tief]1) Modell angenommen.

8. Simulations-Strategie für M[tief]A(n,m) Modelle

Die Simulations-Strategie für M[tief]A (n,m) Modelle ist in den Fig. 6 und 7 dargestellt. Die Strategie benutzt den Vorteil der Tatsache, dass die Zeitverzögerung in dem

M[tief]A(2,0) Modell kleiner sein wird als die im M[tief]A(1,0) Modell, so dass weniger Iterationsstufen in Fig. 3 erforderlich sein werden. Außerdem ist der Schätzwert der Verzögerung und Zeitkonstanten in M[tief]A(1,0) von dem identifizierten M[tief]A(2,0) Modell verfügbar in der Form: (8.1)

und (8.2)

wobei

T[tief]1, T[tief]2 = aquivalente Zeitkonstanten von M[tief]A(2,0) Modell

kleines Tau = Zeitkonstante in dem M[tief]A(1,0) Modell

D[hoch](1) = äquivalente Zeitverzögerung in dem M[tief]A(1,0) Modell

D[hoch](2) = identifizierte Zeitverzögerung in dem M[tief]A(2,0) Modell

9. Simulations-Strategie für M[tief]B(n,m,s) Modelle

Die Strategie für die Simulation von M[tief]B(n,m,s) Modellen ist in Fig. 8 gezeigt.

10. Identifizierung der unmessbaren Ladung

(1) Parameter-Sensitivitäts-Näherung

Der kontinuierliche Prozess wird angenommen als: (10.1)

Simulations-Strategie für M[tief]A(n,m) Modelle

Fig. 6 Simulations-Strategie für M[tief]A(n,m) Modelle

Fig. 7 Strategie für die Bestimmung der Zeitverzögerung in M[tief]A(n,m) Modellen

Fig. 8 Simulations-Strategie für M[tief]B(n,m,s) Modelle

In Gleichung (10.1) werden die Koeffizienten a[tief]i (i = 1,2,...,n), b[tief]i (i = 0,1,...,m) als Konstante angenommen.

Nur ist der zu identifizierende Parameter.

Ein rechteckiges Fenster (Ausschnitt) wird verwendet zur Behandlung der Input-Output-Daten, so dass zu jedem Zeitpunkt l Punkte von Input und Output-Daten für die Parameter-Schätzung zur Verfügung stehen.

Verwende die gegebenen Werte von a[tief]i (i = 1,2,...,n) und b[tief]i (i = 0,1,...,m) zur Bildung der Differentialgleichung: (10.2)

wobei µ der konstante systematische Fehler ist, der sich aus in Gleichung (10.1) ergibt.

Definiere

Y[tief]i=[y(t[tief]i-1),y(t[i-1+1),......,y(t[tief]i)] (10.3)

W[tief]i=[w(t[tief]i-1),w(t[tief]i-1+1),......,w(t[tief]i)] (10.4)

und

kleines Delta Y[tief]i=[kleines Delta y(t[tief]i-1), kleines Delta y(t[tief]i-1+1),......,kleines Delta y(t[tief]i)] (10.5)

wobei (10.6)

Dann kann beginnend mit berechnet werden.

(10.7)

wobei

h = Int. [D/großes Delta] (10.8)

= Schätzung von d bei t[tief]j mit den Daten bis t[tief]i

Der Ausdruck wird nachstehend gegeben.

Die Verfahrensschritte sind folgende:

(i) Setze Y[tief]i, W[tief]i, bei t[tief]i an

(ii) Bestimme die Werte von a[tief]i, (i = 1,2,...,n) und b[tief]i, (i = 0,1,...,m) aus den letzten identifizierten Ergebnissen

(iii) Bestimme den Wert von bei dem letzten identifizierten Wert, d.h.

(iv) Berechne die Parametersensitivität (10.9)

wobei (10.10)

(v) Berechne durch: (10.11)

(vi) Berechne durch (10.12)

(vii) Erhöhe i durch 1 und wiederhole ab Stufe (iii).

(2) Nichtlineare Optimierungs-Näherung

Bei dieser Näherung ist das betrachtete Verfahrensmodell ein M[tief]B(n,m,s)-Modell, d.h.

(10.13)

und wobei

kleines Phi[tief]i=kleines Phi[tief]1(a[tief]1,a[tief]2,......,a[tief]n) und F[tief]i=F[tief]1(b[tief]0,......,b[tief]m,a[tief]1,......,a[tief]n

= konstante Ladungsstörung und

kleines Epsilon = das Weißrauschen des Systems

L = der konstante systematische Fehler, der sich aus d ergibt

Definiere Y[tief]i und W[tief]i wie in Gleichung (10.3) und Gleichung (10.4). Dann sind die Verfahrensschritte folgende:

(i) Setze das erforderliche Datenfenster (Datenausschnitt) von Y[tief]i und W[tief]i

(ii) Weise zu

(iii) Berechne (10.15)

wobei (10.16)

(iv) Berechne (10.17)

(v) Berechne

(vi) Berechne (10.18)

(vii) Berechne (10.19)

(viii) Wiederhole von Stufe (iii) bis Stufe (vii) mehrere Male bis konvergiert

(ix) Erhöhe i durch 1 und wiederhole von Stufe (i)

11. Abstimmungsbeziehung für einen interaktiven digitalen PID-Regler

Der digitale PID-Regelalgorithmus ist gegeben als: (11.1)

mit Qn, berechnet aus: wobei

Q = Scheinvariable

Q[tief]n-1 = der Wert von Q zu einem vorherigen Zeitpunkt

Q[tief]n = der Wert von Q zum gegenwärtigen Zeitpunkt

M[tief]n-1 = vorhergehender Regel-Output

M[tief]n = gegenwärtiger Regel-Output

e[tief]n-1 = vorhergehende Abweichung zwischen dem Output und Einstellungspunkt

e[tief]n = gegenwärtige Abweichung zwischen dem Output und dem Einstellungspunkt

großes Delta = Probenintervall

Die Abstimmungsbeziehung basiert auf einigen Integralkriterien, wie ITAE, IAE, ITSE und ISE und sind ausgedrückt in der Form:

P = A[D/kleines Tau][hoch]B (11.2)

oder

O = A[D/kleines Tau]+B (11.3) wobei

P = skalierter Abstimmungsparameter

D = Zeitverzögerung in dem M[tief]A(1,0) Modell, welches verwendet wird, um für den dynamischen Prozess zu stehen

kleines Tau = Zeitkonstante in dem M[tief]A(1,0) Modell, welches verwendet wird, um für den dynamischen Prozess zu stehen

A und B = Konstante für die Korrelation der Abstimmungsbeziehungen.

Die Werte von A und B für die Abstimmungsbeziehungen sind in Tabelle 1 aufgelistet.

12. Abstimmungsbeziehung für den idealen PID-Regler mit quadratischem Funktionsindex

Der verwendete quadratische Funktionsindex ist gegeben als: (12.1)

Daraus erhaltene Abstimmungsbeziehungen:

(1) PI-Regler

K[tief]C K[tief]P = 0.635 (D/kleines Tau)[hoch]-0.658 (12.2)

T[tief]1/kleines Tau) = 1.211 (D/kleines Tau[hoch]0.462 (12.3)

(2) PID-Regler

K[tief]C K[tief]r = 0.975 (D/kleines Tau)[hoch]-0.572 (12.4)

T[tief]1/kleines Tau = 1.211 (D/kleines Tau)[hoch]0.487 (12.5)

T[tief]D/kleines Tau = (D/kleines Tau)/[2.092 + 1.449 (D/kleines Tau)] (12.6)

Tabelle 1

Die Zahlen ohne * sind in Gl. (II.2) und die Zahlen mit * in Gl. (II.3) zu verwenden. mit

Kc = proportionale Regelkonstante

Kp = Prozessziel

T[tief]i = Integralzeit

T[tief]D = Ableitungszeit

kleines Tau = Zeitkonstante des angenäherten M[tief]A(1,0) Modells

D = Zeitverzögerung des angenäherten M[tief]A(1,0) Modells

13. Abstimmungsbeziehung für gesteuerte Verfahren überkritischer Dämpfung zweiter Ordnung.

T[tief]1, T[tief]2 seien die Zeitkonstanten des Verfahrens überkritischer Dämpfung zweiter Ordnung und D[hoch](2) sei die Zeitverzögerung in dem Verfahren zweiter Ordnung. Dann gibt es einen äquivalenten (im Sinne der kleinsten Quadrate) Prozess erster Ordnung, der folgende Zeitkonstante und Zeitverzögerung aufweist: (13.1) (13.1)

wobei D[hoch](1) = Zeitverzögerung in dem äquivalenten Prozess erster Ordnung

kleines Tau = Zeitkonstante in dem äquivalenten Prozess erster Ordnung.

Damit können bestehende Abstimmungsbeziehungen, die die Gleichungen (11.2), (11.3), (12.2), (12.3), (12.4), (12.5) und (12.6) und Tabelle 1 beinhalten, verwendet werden zur Abstimmung des PID-Reglers.

14. Selbsteinstellender Feedforward-Regelalgorithmus (selbsteinstellender Vorwärts-Regelalgorithmus)

t[tief]i sei der gegenwärtige Zeitpunkt und sei die identifizierte Ladungsstörung bei t[tief]i - D der Daten bis t[tief]i.

(1) Näherung nullter Ordnung für

Der Feedforward-Regel-Input ist gegeben als: (14.1)

wobei

b[tief]o = der Koeffizient von W in dem M[tief]A(n,m) Modell

a[tief]n = der Koeffizient von y in dem M[tief]A(n,m) Modell

= der gewünschte Einstellungspunkt für y

K[tief]I = der Integralfaktor = K[tief]c/T[tief]I

kleines Lambda = Abstimmungskonstante, Bereich von 0 bis 1

so dass der Gesamt-Regel-Input u(t) ist: (14.2)

(2) Voreilungs/Nacheilungs-Näherung für

In der Voreilungs/Nacheilungs-Näherung ist der geschätzte Wert von gegeben mit: (14.3)

und die Vorwärts-Regelung ist gegeben mit:

damit wird der gesamte Regel-Input: