CN1459052A - 半导体制造中用来改进控制的自调适取样方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种方法，该方法包含：在至少一个处理步骤(105)中，对工件上所施行的处理，取样至少一个特性参数(110)；以及，使用自适应取样处理模型(130)来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的一合成部份。该方法也包含：应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)在至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

Description

半导体制造中用来改进控制的自调适取样方法

技术领域

本发明一般来说涉及半导体制造技术；更特定地说，涉及一种用于半导体制造的监控及最佳化方法。

背景技术

在半导体工业中，一直有一种推动力，要提高集成电路组件(如微处理器、存储元件，及类似组件)的品质、可靠性及生产量。这种推动力受激于消费者对更高品质的计算机和更操作可靠的电子组件的需求。此等需求导致了在半导体组件(如晶体管)制造上——以及在集成有这种晶体管的集成电路制造上——的不断改良。此外，在制造典型晶体管的组件时，减少缺陷，也降低了每晶体管的总成本，以及集成有这种晶体管的集成电路的成本。

半导体处理工具的基础技术在过去几年已引起了越来越多的注意，导致了显著进步。然而，尽管在这一领域已取得进步，许多目前市场上销售的处理工具却有一定的不足之处。尤其是，这样的工具经常欠缺先进的处理数据监视能力，诸如：以用户友好格式来提供的历史参数数据的能力，以及事件登录、目前的处理参数和整个行程(run)的处理参数两者的实时图形显示，及远程(即区域站台或全球)的监视等。这些缺陷会使关键的处理参数(诸如产量准确性、稳定性及可重复性、处理温度、机械工具参数，以及类似参数)不在最佳控制下。此变化性显现为行程内的不均等性(disparity)、行程至行程的不均等性及工具至工具的不均等性，这种不均等性会发展成产品品质及性能上的偏差，而用于这些工具的改良的监视及诊断系统却将提供对此变化性的监视手段，以及提供用于优化关键参数控制的手段。

在高体积、多产品的半导体制造所实行的行程至行程控制，并不易应用在传统的工艺控制方法的架构之中。典型方法是定义一处理模型，其具有一组给定状态、输入及输出。在一些情形下，模型是静态的；在其它情形下，该模型则随时间而变。在每一时间步长上，测量影响所述状态的各个输入及扰动，以及输出。然后，控制器进行更新而重复所述处理。这种方法不总是适于应用的一个原因，是经常有多个处理工具以及多个产品。还有，对于一工艺而言，在所有重要的测量之中，每一行程通常仅施行一部份测量。在此环境下确定如何进行控制器更新会是一项有挑战性的任务。

行程至行程控制器依赖于具有一工艺模型，该工艺模型从行程至行程总是正确的。在工具上所进行的各个工艺显著不同时，因为改变到新的工艺会呈现为大的扰动，所以控制器或许有意外的动作。此外，可采取一给定工艺的几个连续行程，用以稳定控制器，但制造的约束条件也许有碍其实行。因此希望对于工具上所必须进行的所有工艺，以控制器来确定最佳设定，而不论工艺出现的次序如何。

展现这种行为的系统的一个例子就是层间电介质(ILD)层的化学机械平面化(CMP)。由于图案密度及处理历史的差异，每一“层/产品”组合以不同的速度进行处理。此外，因每一产品都会在几个工具组上运行，故工具间的差异也引起系统性的变化。因此，诸多的控制问题之一，是要为每一发生的“产品/层/工具”组合确定其最佳设定。此外，对控制器提供信息而做的测量(诸如出自产品圆片的去除量的测量，和/或测试圆片合格事件的测量)并不顾虑控制问题，其基于操作法则而以异步间隔提供。

其它有助于监视及控制的参数，是快速热处理(RTP)的有关工艺参数。这类工艺参数的例子包括：在用来激活化杂质注入(举例而言)的快速热处理(RTP)期间，硅圆片和/或工件曝露所在的温度及灯功率水平。快速热处理(RTP)的性能典型地随着连续的工艺行程而退化，部份系由于快速热处理(RTP)工具和/或快速热处理(RTP)传感器各自设定的漂移。这会在连续的行程之间或数批次或数批圆片之间引起圆片处理上的差异，导致在半导体制造过程中良好圆片的生产量减小，可靠性下降，精确度降低和准确度降低。

然而，在半导体及微电子组件制造中，传统的统计工艺控制(SPC)技术常不足以精确地控制快速热处理(RTP)的有关工艺参数，以使组件的性能及成品率达最佳化。通常，统计工艺控制(SPC)技术系为快速热处理(RTP)的有关工艺参数设定一目标值(target value)，以及围绕该目标值的一扩展值(spread)。统计工艺控制(SPC)技术随后试图使距该目标值的偏差最小化，而并不对各对应的目标值进行自动调整及适配，以使半导体组件的性能最佳化和/或使半导体组件的成品率及产量最佳化。而且，盲目地使围绕目标值的非自适应性处理扩展值最小化，并不会提高处理成品率及产量。

传统的控制技术在减少偏离目标(off-target)的处理及改良分类成品率(sort yield)方面，时常是无效的。举例来说，圆片电性测试(WET)测量典型地直到圆片经处理过后相当长的时间，方才对处理过的圆片施行，有时直至数星期后方才施行。若有一个或多个处理步骤所产生的圆片经圆片电性测试(WET)测量指示为不可接受，而使产生的圆片报废，则这一错误处理会在相当久的时间内——经常达数星期——未经检测且未做更正，从而导致许多报废的圆片、极大浪费的材料及降低了的总生产能力。

在半导体生产中，计量操作需要大量的资金且消耗大量的循环时间。使计量最佳化因此而能大为有效地改良“圆片厂(fab)”的资金需求及操作成本。然而，传统的最佳化方法经常基于特定的决策，和/或在一些情形下基于谨慎的统计分析，对一给定工艺/操作确定其“最佳”取样率，而在与增加的取样相关联的控制上的改良以及如此取样所提高的成本之间得到平衡。

本发明目的在于克服或至少降低一个或多个前述问题的效应。

发明内容

本发明的一方面，系提供一种方法，该方法包含：在至少一个处理步骤中，对工件上所施行的处理，取样至少一个特性参数(parametercharacteristic)；以及使用一自适应取样处理模型来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的一合成部份。该方法也包含：应用该自适应取样处理模型，来修正该至少一个处理步骤中所施行的处理。

本发明的另一方面，系提供一种计算机可读的程序储存组件，以指令编码而经计算机执行时施行一种方法，该方法包含：在至少一个处理步骤中，对工件上所施行的处理取样至少一个特性参数；及，使用一自适应取样处理模型来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的一合成部份。该方法也包含：应用该自适应取样处理模型，来修正该至少一个处理步骤中所施行的处理。

本发明尚有另一方面，系提供一种计算机，经编程来施行一种方法，该方法包含：在至少一个处理步骤中，对工件上所施行的处理，取样至少一个特性参数；及，使用一自适应取样处理模型来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的一合成部份。该方法也包含：应用该自适应取样处理模型，来修正该至少一个处理步骤中所施行的处理。

本发明的另一方面，系提供一种系统，该系统包含一工具，用来在至少一个处理步骤中，对工件上所施行的处理，取样其至少一个特性参数；计算机，使用自适应取样处理模型来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的合成部份。该系统也包含控制器，其应用该自适应取样处理模型，来修正该至少一个处理步骤中所施行的处理。

本发明尚有另一方面，系提供一种组件，该组件包含取样装置，用来在至少一个处理步骤中，对工件上所施行的处理，取样其至少一个特性参数；以及模型化装置，使用一自适应取样处理模型来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求等至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的合成部份。该组件也包含修正装置，其应用该自适应取样处理模型，来修正该至少一个处理步骤中所施行的处理。

附图简单说明

对本发明的了解，可结合附图参见以下说明，附图中参考编号的最左边一个(或几个)有效数字表示对应的参考编号出现其中的第一个图，且其中：

图1至30概要地例示依据本发明的制造方法的各个不同的实施例；更具体地说：

图1及图3至10概要地例示依据本发明的制造方法的各个不同的实施例的流程图；

图2概要地例示AST SHS 2800快速热处理(RTP)工具的剖面，其代表本发明的各个不同的例示性实施例所使用的那些快速热处理(RTP)工具；

图11概要地例示依据本发明而实行的制造半导体组件的方法；

图12概要地例示依据本发明，用处理工具所处理的工件，该处理工具使用多个控制输入信号；

图13至14概要地例示图12中的工艺及工具的一个特定实施例；

图15概要地例示图11方法的一个特定实施例，该特定实施例可用图13至14的工艺及工具来实行；

图16及17概要地例示对应的各快速热处理数据组所用的第一及第二“主要成分”；

图18及19以几何方式概要地例示用于对应的各快速热处理数据组的“主要成分分析”；以及

图20至23以几何方式概要地例示依据本发明所做的多项式最小平方适配(fitting)，距目标值的百分比偏差：假想的最佳情形；

图24概要地例示产品切换的仿真；

图25概要地例示距目标值的百分比偏差：假想的最佳情形；

图26概要地例示距目标值的百分比偏差：“固定输出”情形；

图27概要地例示距目标值的百分比偏差：“预测的输出”情形；

图28概要地例示距目标值的百分比偏差：具额外合格性的“预测的输出”情形；

图29概要地例示距目标值的百分比偏差：大型系统；以及

图30为依据本发明各个不同的例示性实施例的一制造系统的简化方框图。

尽管本发明易做各种不同的修正或替代，仍以示例方式在附图中显示并在此详细说明了其特定实施例。但应了解，本文中的特定实施例说明并非意在将本发明限制于所揭示的特定实施例；反之，希望的是涵盖一切落在所附权利要求所定义的本发明精神及范围之内的修正、等效及替代方案。

发明实施方式

以下说明本发明的例示性实施例。为清楚起见，实际实施方案的特征并未全都说明于本说明书中。当然应了解，在开发任何这样的实际实施例时，必须做出许多由实施方案所特定的决策，来实现开发者的特定目标，诸如：遵行系统相关及业务相关的约束，这些特定约束将随实施方案而有所不同。并且应了解，这样的开发工作将会是复杂而耗时的，但对获益于本揭示内容的本普通领域技术人员来说，却是常规的任务。

图1至30中示出依据本发明的方法的例示性实施例。如图1所示，工件100(诸如半导体基材或圆片)有零个、一个或多个工艺层和/或半导体组件(诸如沉积于其上的金属氧化物半导体〔MOS〕晶体管)，将工件100传送给处理工具105。在处理工具105中，举例来说，可在工件100上施行快速热处理，诸如快速热退火。

图2以剖面概要地例示快速热退火(RTA)工具200(如，AST SHS2800快速热退火工具)，其可在依据本发明的各个不同的例示性实施例中用作快速热处理工具105。本发明的各个不同的替代例示性实施例可使用“应用材料公司”(AMAT)所制造的快速热退火工具(诸如Centura^RTP)，该等工具在物理形状、用法及测量参数上都相当不同，但都可用作快速热处理(RTA)工具105。本发明另外的各个不同的替代例示性实施例，可以使用蚀刻工具和/或平面化工具和/或沉积工具，及类似工具，来做为处理工具105。

如图2所示，例示的快速热处理退火(RTA)工具200可使用工件100之上及之下所配置的卤化物灯210阵列，来加热工件100(诸如半导体硅圆片而其上有零、一个或多个工艺层形成)。工件100可配置在受卤化物灯210阵列加热的石英管220内的石英针及圆片台215上。圆片台215可包含其它组件，诸如AST Hot Liner^TM。可通过热偶和/或高温计230(其测量圆片台215的AST Hot Liner^TM组件的温度)和/或分立的高温计(图中未示)，来测量石英管220的温度。石英管220可于其中在圆片台215之下配置有石英窗口225。圆片台215的AST Hot Liner^TM组件的温度及(间接地)工件100的温度，可通过石英窗口225之下所配置的高温计230，穿过石英窗口225来测量。或者，配置在石英窗口225之下的高温计230可直接测量工件100的温度。卤化物灯210的灯功率也可受到监视及控制。

如图3所示，处理工具105可透过双向连接，经由系统通信总线160而与监视步骤110及其它处理步骤140通信。如图3所示，系统通信总线160也在处理工具105、监视步骤110及其它处理步骤140与“先进工艺控制”(APC)系统120之间，提供通信，以下有更完整的说明。

如图4所示，从处理工具105发送工件100，交付给监视步骤110。在监视步骤110中，可于一个或多个处理行程期间，监视和/或测量一个或多个处理工具变量和/或一个或多个处理参数。这样的工具变量和/或处理参数可包括一个或多个高温计轨迹读数(trace reading)、一个或多个灯功率轨迹读数、一个或多个管温轨迹读数、一个或多个电流读数、一个或多个红外线(IR)信号读数、一个或多个发光光谱读数、一个或多个工艺气体温度读数、一个或多个工艺气体压力读数、一个或多个工艺气体流速读数、一个或多个蚀刻深度、一个或多个工艺层厚、一个或多个电阻读数，及类似的变量或参数。如图4所示，监视步骤110可透过系统通信总线160，而与处理工具105通信。如图4所示，系统通信总线160也在处理工具105、监视步骤110与“先进工艺控制”(APC)系统120之间，提供通信，以下有更完整的说明。

如图5所示，工件100从监视步骤110进行至其它处理步骤140。在其它处理步骤140中，可施行其它处理于工件100上，而产生完工的工件100。在替代的例示性实施例中，发送自监视步骤110的工件100即可为完工的工件100；在此情形下，则无需其它处理步骤140。如图5所示，其它处理步骤140可透过系统通信总线160，而与监视步骤110通信。如图5所示，系统通信总线160也在监视步骤110、其它处理步骤140与“先进工艺控制”(APC)系统120之间，提供通信，以下有更完整的说明。

如图6所示，从监视步骤110发送受监视的传感器数据115，交付给“先进工艺控制”(APC)系统120。如图6所示，“先进工艺控制”(APC)系统120可透过系统通信总线160，而与监视步骤110通信。将受监视的传感器数据115交付给“先进工艺控制”(APC)系统120，产生输出信号125。

如图7所示，从“先进工艺控制”(APC)系统120发送输出信号125，传送给以模型预测式控制(MPC)或比例积分微分(PID)微调步骤130而进行的自适应取样处理模型化。在以模型预测式控制或比例积分微分微调步骤130而进行的该自适应取样处理模型化中，对于处理工具105中的工件100上所施行的处理，可将受监视的传感器数据115用于适当的自适应取样处理模型。在本发明各个不同的替代例示性实施例中，可提供自适应取样处理模型化步骤130，而无需模型预测式控制或比例积分微分微调。

举例来说，这样的自适应取样处理模型可将取样处理为“先进工艺控制”(APC)系统动态控制环境的一合成部份，从而使取样计量显著地改良。不应用静态“最佳”取样率，而是将取样处理为基于下列条件而升高或下降的动态变量：(1)情况信息，诸如在最近数据变化中的变化量和/或改变率；(2)事件，诸如操作的工艺上游中的保养和/或改变；和/或(3)闭环行程至行程控制器在其控制模型参数识别机制中的要求。在一自适应取样处理模型中使用受监视的传感器数据115，产生一个或多个处理单元(processing recipe)调整145。

在各个不同的例示性实施例中，可以通过各种不同的例示性的技术来建立一个自适应取样处理模型，以下有更完整的说明。也可于一个或多个处理行程期间，通过监视一个或多个处理工具变量和/或一个或多个处理参数，来形成这样的一个自适应取样处理模型。如上所述，这样的处理工具变量和/或处理参数，其例如可包括一个或多个高温计轨迹读数、一个或多个灯功率轨迹读数、一个或多个管温轨迹读数、一个或多个电流读数、一个或多个红外线(IR)信号读数、一个或多个发光光谱读数、一个或多个工艺气体温度读数、一个或多个工艺气体压力读数、一个或多个工艺气体流速读数、一个或多个蚀刻深度、一个或多个工艺层厚、一个或多个电阻读数，及类似的变量或参数。在此等各个不同的例示性实施例中，自适应取样处理模型的建立可包括下列方式的至少其一，用以适配所收集的处理数据：多项式曲线适配、最小平方适配、多项式最小平方适配、非多项式最小平方适配、加权最小平方适配、加权多项式最小平方适配、加权非多项式最小平方适配、“部份最小平方”(PLS)及“主要成分分析”(PCA)，以下有更完整的说明。

在各个不同的例示性实施例中，自适应取样处理模型可合成有至少一个模型预测式控制(MPC)控制器，或至少一个比例积分微分(PID)控制器，而控制器有至少一个微调参数。在此等各个不同的例示性实施例中，对于处理，适当的自适应取样处理模型可并有至少一个闭环模型预测式控制(MPC)控制器，或至少一个闭环比例积分微分(PID)控制器，而控制器有至少一个微调参数。模型预测式控制(MPC)控制器或比例积分微分(PID)控制器的微调参数可基于一个目标函数来最佳化，而对最小化处理工具105中的工件100上所进行的处理来说，该目标函数使不希望的处理条件最小化。

最佳控制问题是要确定目标函数的极值(最小化或最大化)，同时满足系统模型的约束条件及任何附加的工艺要求，这样的一组输入。从数学上，此问题可描述为min f(x，u，t)，约束条件为g_i(x，u，t)≥0，其中x表示系统状态变量(诸如距目标值的偏差、参数估计的不确定度、所需材料的成本，等等)，u表示一个或数个可变更的输入，t表示时间，而i标示约束条件。这些数学关系可能看似非常简单，但却非常普遍，且不限于说明简单的系统。约束条件方程式可包括支配一个或数个工艺的微分方程式和/或差分方程式，以及施加于该输入及状态的操作限制。

对于大多数实际加工，此问题导致一组带有混合型边界条件的非线性微分方程式。一些简单的工艺模型，已有最佳解经推导出。这样的问题有一类为线性(模型)二次(目标函数)高斯型(噪声)系统(LQG系统)。对于线性二次高斯(LQG)系统，可推导一个最佳的控制器。一般来说，对于实际加工，次优的(sub-optimal)控制器可能就足够了，因为系统的“真实”模型或是未知的，和/或过于复杂而无法有解析解的。有一个解决方案，是假设系统为一线性二次高斯(LQG)系统，而用对应的线性控制器做为近似解。

举例来说，可设计一个模型预测式控制(MPC)控制器或一个比例积分微分(PID)控制器，生成输出，该输出引起一些校正性的效应，而施加到处理工具105中的工件100上所做的处理，从而驱动一个或多个可测量的处理工具变量和/或一个或多个处理参数，趋近其各自所希望的值(通称为设定点)。该模型预测式控制(MPC)控制器或该比例积分微分(PID)控制器可监视和/或测量和/或观察设定点与各别的一个或数个处理工具变量和/或一个或数个处理参数的测量之间的误差，从而生成该引起校正工作量的输出。

举例来说，一个比例积分微分(PID)控制器可查看目前的误差值e(t)、误差e(t)在一最近时间区间上的积分，以及误差e(t)关于目前时间的微分导数值，来确定要施加多大程度的校正及要施加多长时间。这些项中的每一项均乘以各自的微调常数并相加到一起，生成比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)，该目前输出CO(t)由以下表示式给出 $\mathrm{CO}\left(t\right)=P\left(e\left(t\right)\right)+I(\∫e\left(t\right)\mathrm{dt})+D\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}e\left(t\right)\right)$ 其中P为比例微调常数，I为积分微调常数，D为微分微调常数，而误差e(t)系时间为t时发定点SP(t)与工艺变量PV(t)之间的差，e(t)＝SP(t)-PV(t)。如果目前误差e(t)大，和/或误差e(t)已长时间的大，和/或目前误差e(t)快速改变，则目前的控制器输出CO(t)也是大。然而，如果目前误差e(t)小，误差e(t)已长时间的小，且目前误差e(t)缓慢改变，则目前的控制器输出CO(t)也是小。

在各个不同的替代例示性实施例中，比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)可由以下替代性表示式给出为 $\mathrm{CO}\left(t\right)=P[e\left(t\right)+\frac{1}{T_I}\left(e\left(t\right)\mathrm{dt}\right)-T_D\left(\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{PV}\left(t\right)\right)]$ 其中P为总微调常数，T_I为积分时间微调常数，T_D为微分时间微调常数，而误差e(t)系时间为t时设定点SP(t)与工艺变量PV(t)之间的差，e(t)＝SP(t)-PV(t)。在这类替代例示性实施例中，当改变为设定点SP(t)时，比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)较少有突然变化，这是由于其相关于工艺变量PV(t)的时间微分导数，而非相关于误差e(t)＝SP(t)-PV(t)的时间微分导数。

比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)微调常数P、I及D，和/或P、T_I及T_D，可做适当微调。过多使用大的微调常数值P、I及D，和/或P、T_I及T_D，或许会放大误差e(t)，而过度补偿(overcompensate)且过调(overshoot)设定点。用比较小的微调常数值P、I及D，和/或P、T_I及T_D，则可能减小误差e(t)太过缓慢而补偿不足且调度未至(undershoot)设定点。经适当微调的比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)微调常数P、I及D，和/或P、T_I及T_D，可在此二极端之间。比例积分微分(PID)控制器的目前输出CO(t)微调常数P、I及D，和/或P、T_I及T_D可采用包含数学模型化的较严格解析方案，以尝试-误差法进行适当的微调(以下有更完整的说明)，和/或运用诸如塞格勒-尼可斯(Ziegler-Nichols)“开环”及“闭环”微调技术。

在用到模型预测式控制(MPC)或比例积分微分微调(PID)步骤130所做的自适应取样处理模型化之中，受监视的传感器数据115的自适应取样处理模型化可用来警示工程师：需调整各个不同的处理步骤任一个之中所做的处理，诸如在处理工具105和/或其它处理步骤140之中。工程师也可变更和/或调整(举例来说)供处理工具105施行处理用的设定点；和/或监视步骤110中所监视和/或测量的一个或数个处理工具变量和/或一个或数个处理参数。

如图8所示，从使用模型预测式控制(MPC)或比例积分微分(PID)微调步骤130所做的自适应取样处理模型化，可发送反馈控制信号135至处理工具105，来调整处理工具105中所施行的处理。在各个不同的替代例示性实施例中，可以从用到模型预测式控制(MPC)或比例积分微分(PID)微调步骤130所做的自适应取样处理模型化，发送反馈控制信号135至其它处理步骤140任一个，来调整其它处理步骤140任一个之中所施行的处理；举例来说，经由系统通信总线160，而在处理工具105、监视步骤110及其它处理步骤140与先进工艺控制(APC)系统120之间，提供通信，以下有更完整的说明。

如图9所示，从使用模型预测式控制(MPC)或比例积分微分(PID)微调步骤130所做的自适应取样处理模型化，在反馈控制信号135之外，可附加发送或代之以一个或多个处理单元(processing recipe)调整145和/或一整个基于此分析的适当的处理单元，至工艺改变及控制处理步骤150。在工艺改变及控制处理步骤150中，一个或多个处理单元调整145可在高阶监控控制环中使用。此后则如图10所示，从工艺改变及控制处理步骤150可发送反馈控制信号155至处理工具105，来调整处理工具105中所施行的处理。在各个不同的替代例示性实施例中，可以从工艺改变及控制处理步骤150发送反馈控制信号155至其它处理步骤140的任一个，来调整其它处理步骤140的任一个之中所施行的处理；举例来说，透过系统通信总线160，而在处理工具105、监视步骤110及其它处理步骤140与先进工艺控制(APC)系统120之间，提供通信，以下有更完整的说明。

在各个不同的替代例示性实施例中，工程师可具备先进的工艺数据监视能力，诸如：以用户友好格式来提供的历史参数数据的能力，以及事件登录、目前的处理参数和整个行程的处理参数两者的实时图形显示，及远程(即区域站台或全球)监视，等能力。此等能力会使关键的处理参数(诸如产量准确性、稳定性及可重复性、处理温度、机械工具参数，及类似参数)受更加优化的控制。对关键处理参数的这种更加优化的控制，减小了变化性。在变化性上的这种减小显示为较小的行程内的不均等性、较小的行程至行程的不均等性及较小的工具至工具的不均等性。这些会散播的不均等性得以减小，意味着在产品品质及性能上的较小偏差。依据本发明制造方法的一个这样的例示性实施例中，可以提供监视及诊断系统，来监视此变化性并使对关键参数的控制最佳化。

图11例示依据本发明而实行的方法1100的特定实施例。图12例示可用来实行方法1100的装置1200。为清楚起见，且为进一步了解本发明，将要从装置1200的角度来揭示。然而，本发明并不受此限制，而允许有广泛的变化，以下有进一步说明。

现在参见图11以及图12，一批次或一批工件或圆片1205正经由处理工具1210而在处理中。处理工具1210可为本项技术所公知的任何处理工具，特别是含必要的控制能力的处理工具。处理工具1210包含处理控制器1215以用于这一控制目的。处理控制器1215的性质及功能将由实际方案所规定。

以实例来说，处理控制器1215可控制处理控制输入参数，诸如处理程控输入参数和/或设定点。图12中示出四个工件1205，但该批工件或圆片(即“圆片批”)可为任何可操作的圆片数，自一至任何一个有限数目。

方法1100开始，如方框1120所述，对处理工具1210中的工件1205上所施行的处理，取样其一个或多个特性参数。特性参数的本质、识别及测量将率由实际方案所规定，甚至由工具所规定。例如，对工艺参数监视的能力，某种程度上随工具而变化。较强的感测能力容许所识别及测量的特性参数有较宽的范围及进行测量的方法。反之，较弱的感测能力或许会局限此范围。其次，关于工件温度和/或灯功率和/或退火时间和/或工艺气体温度和/或工艺气体压力和/或工艺气体流速和/或射频(RF)功率和/或蚀刻时间和/或偏置电压和/或沉积时间，及类似条件等，诸如其处理程控输入参数和/或设定点的处理控制输入参数，可能直接影响由工件1205所产出的可用半导体组件的有效成品率。

其次见图12，在此特定实施例中，以工具传感器(未示出)来测量和/或监视做处理的工艺特性参数。这些工具传感器的输出经线路1220而传输至计算机系统1230。计算机系统1230分析此等传感器输出以识别特性参数。

回到图11，一旦特性参数经识别及测量，则继续进行方法1100，用一自适应取样处理模型(以下有更完整的说明)，来模型化该(等)经测量及识别的特性参数，如方框1130所述。图12中的计算机系统1230在此特定实施例中，经编程来模型化该(等)特性参数。此模型化的做法将由实际方案所规定。

在图12的实施例中，数据库1235储存多个可能应用的模型，视所测量的特性参数而定。故本特定实施例对可能将测量的特性参数需有一些先期的知识。然后计算机系统1230自可能模型的数据库1235提取一适用于该测量的特性参数的适当模型。如果数据库1235不含适当的模型，则该特性参数可忽略，或计算机系统1230可试图发展一个适当的模型(若如此编程的话)。数据库1235可储存在任何种类的计算机可读程序储存媒体上，诸如光盘1240、软盘1245，或计算机系统1230的硬盘驱动机(未示出)。数据库1235也可储存在一个与计算机系统1230相接口的分立的计算机系统(未示出)上。

对测量的特性参数的模型化，在替代实施例中可做不同的实施。例如，计算机系统1230可使用某种形式的人工智能来编程，以分析传感器输出及控制器输入，在一实时实际方案中发展一拍蝇式(on-the-fly)模型。这种方式会是对图12的例示性实施例的有用附加方案(如以上所讨论)；其中，对于所测量及识别的特性参数，数据库1235并无适当的模型。

然后继续进行图11的方法1100，应用该模型来修正至少一个处理控制输入参数，如方框1140所述。视实际方案而定，模型的应用或为处理控制输入参数产出一新值，或对现存的处理控制输入参数做出校正。在各个不同的例示性实施例中，可储存多个控制输入处理单元，且可基于一个或多个确定的参数而选取此等处理单元其中适当的一个。然后根据该模型所产生的值而将新的处理控制输入列成公式，并经线路1220传输至处理控制器1215。处理控制器1215再依据该新的处理控制输入，来控制后续的处理工艺操作。

一些替代实施例可能使用反馈形式来改良特性参数的模型化。此反馈实际方案依赖于若干不均等的事实，包括工具的感测能力及用度。对此的一个技术，是监视至少一种模型的实际方案效果，并基于该(等)受监视的效果来更新模型。该更新也可依赖于模型。例如，在一切其它因素都相同的情形下，线性模型可能需要进行不同于非线性模型的更新。

根据以上讨论，显而易见的是本发明的一些特征可在软件中实现。例如，图11的方框1120至1140中所述的动作，在所述实施例中全部或部份以软件实现。如此，本发明的一些特征实施为计算机可读程序储存媒体上所编码的指令。该程序储存媒体可有任何适于该特定实际方案的型态。然而，该程序储存媒体典型为磁性的(诸如软盘1245或计算机1230的硬盘驱动机(图中未示)，或为光学的(诸如光盘1240)。当这些指令经计算机执行时，即完成所揭示的功能。所述计算机可为台式计算机，诸如计算机1230。然而，该计算机也可以为嵌在处理工具1210中的处理器。该计算机在各个不同的其它实施例中，还可以是膝上计算机、工作站或主机。本发明的范围并不受限于其实施例所用以施行的程序储存媒体或计算机的种类或性质。

如此，本文中详细说明的一些部份是(或可以是)用算法、功能、技术和/或工艺等术语来描述的。这些术语使本领域技术人员最为有效地将其工作实质内容传达给其它本领域技术人员。这些术语在此处或一般来说，相信为前后一致、导致所需结果的步骤顺序。该等步骤要求对物理量做物理操纵。通常(但非必要)，这些物理量取电磁信号形式，能够储存、传送、组合、比较，且另外加以操纵。

已证实，以位、值、元素、符号、字符、项、数目，及类似形式来表示这些信号，有时是方便的，主要是为了通用。所有这些术语及类似术语都对应于适当的物理量，且仅仅是应用于此等物理量及操作的方便标记。除非另有规定，或是从讨论显而易见，否则本文中的术语，诸如“处理”、“计算”、“算出”、“确定”、“显示”，及类似术语在使用时，指的是计算机系统或类似的电子和/或机械计算组件的一个或数个动作及操作，其将数据(表示为该计算机系统的寄存器和/或内存内的物理〔电磁〕量)操纵并转换成其它数据(类似表示为该计算机系统的内存和/或寄存器和/或其它这样的信息储存、传输和/或显示组件内的物理〔电磁〕量)。

一例示装置的结构。在图13至14中，显示了图12中的装置1200的例示性实施例1300，其中装置1300包含先进工艺控制(APC)系统的一部份。图13至14分别为装置1300的概念性结构及功能方框图。一组处理步骤施行于处理工具1310上的一批工件1305上。因为装置1300是先进工艺控制(APC)系统的一部份，工件1305在行程至行程基础上做处理。如此，在行程期间，基于行程级上的测量值或平均值来做工艺调整，并使其保持恒定。一“行程”可以是一批、数批的一批次，甚或单个的圆片。

在此特定实施例中，工件1305通过处理工具1310来做处理；且工艺中各个不同的操作通过线路1320上的多个处理控制输入信号来控制，该线路1320处于处理工具1310与工作站1330之间。用于此实施例的例示处理控制输入可包括工件温度、灯功率、退火时间、工艺气体温度、工艺气体压力、工艺气体流速、射频(RF)功率、蚀刻时间、偏置电压、沉积时间，以及类似条件等的设定点所用的处理控制输入。

当处理工具1310中的工艺步骤结束时，在处理工具1310中正做处理的半导体工件1305即在复查站1317接受检查。复查站1317不必属处理工具1310的部份，而可为(举例来说)分离的工具和/或站台。处理控制输入一般影响半导体工件1305在复查站1317处所测量的的特性参数，从而影响处理工具1310对工件1305所施行动的可变性及性质。一旦误差在一批工件1305的行程后经检查而确定，则线路1320上的处理控制输入即修正而供一批工件1305的接续行程用。对线路1320上的控制信号的修正，系设计来改良处理工具1310所施行的次一处理。该修正系依据图11所述方法1100的一个特定实施例而施行，以下有更完整的说明。一旦处理工具1310的相关处理控制输入信号更新，则这些新设定的处理控制输入信号即用于半导体组件的后续行程。

现同时参看图13及14，处理工具1310与制造机架通信，而该制造机架包括处理模块网络。这样的模块，有一是常驻于计算机1340上的“先进工艺控制”(APC)系统管理器1440。此处理模块网络构成该先进工艺控制(APC)系统。处理工具1310一般包含设备接口1410及传感器接口1415。机器接口1430常驻在工作站1330上。计算机1340桥接先进工艺(APC)控制机架(如，先进工艺控制(APC)系统管理器1440)与设备接口1410之间的间隙。如此，机器接口1430使处理工具1310与先进工艺控制(APC)机架相接口，且支持机器设置、激活、监视及数据收集。传感器接口1415提供适当的接口环境，与外部传感器(诸如LabView^，或其它基于传感器总线的数据采集软件)通信。机器接口1430以及传感器接口1415两者都使用一组功能性(诸如通信标准)，来收集将要用到的数据。设备接口1410及传感器接口1415经线路1320，而与工作站1330上常驻的机器接口1430通信。

更特定地说，机器接口1430接收命令、状况事件，并从设备接口1410收集数据，必要时且转交此等数据给其它的先进工艺控制(APC)组件及事件信道。其次，来自先进工艺控制(APC)组件的响应则为机器接口1430所接收，并重新选路至设备接口1410。机器接口1430于必要时也重新格式化并重新结构化信息及数据。机器接口1430支持先进工艺控制(APC)系统管理器1440之内的起动/关机程序。其也充做先进工艺控制(APC)数据收集器之用，通过设备接口1410而缓冲所收集的数据，并发射适当的数据收集信号。

在例示的特定实施例中，先进工艺控制(APC)系统是一全厂性的软件系统，但此点对本发明的实行并非必要。本发明所传授的控制策略事实上能应用于厂地上的任何半导体处理工具。其实，本发明可在同一厂中，或在同一工艺中同时性地用于多个处理工具。先进工艺控制(APC)机架容许远程访问及监视工艺性能。而且，利用该先进工艺控制(APC)机架，数据储存能比区域驱动器上的数据储存来得更方便、更具弹性且更便宜。然而，在一些替代实施例中，本发明可在区域驱动器上使用。

本例示性实施例利用若干软件组件，将本发明实施于该先进工艺控制(APC)机架上。除了先进工艺控制(APC)机架之内的组件之外，尚为该控制系统中所含的每一半导体处理工具写就计算机脚本(script)。当控制系统中的半导体处理工具在半导体制造圆片厂中起始时，该半导体处理工具一般要求脚本，来起始处理工具控制器所需的动作。控制方法一般用此等脚本来规定及施行。此等脚本的开发，可能包含控制系统开发的重大部份。

在此特定实施例中，有若干分立的软件脚本，其所完成的任务涉及控制处理操作。有一个脚本用于处理工具1310(含复查站1317及处理工具控制器1315)。也有一脚本，用来操纵获自复查站1317的现实数据；另有一脚本，含任何其它脚本所能引用的共享程序。也有一脚本，用于“先进工艺控制”(APC)系统管理器1440。然而，脚本的精确数目由实际方案所规定，替代的实施例可以用别的脚本数目。

一例示装置的操作。图15例示了图11中的方法1100的一个特定实施例1500。方法1500可用图13至14所例示的装置1300来实行，但本发明并不受此限制。方法1500可用任何可以施行图15所述功能的装置来实行。而且，可在实施例中实行图11中的方法1100，以替代图15中的方法1500。

现参见图13至15，方法1500开始，如方框1510所述，经由一处理工具(诸如处理工具1310)而对一批工件1305做处理。在此特定实施例中，处理工具1310通过先进工艺控制(APC)系统管理器1440，经由机器接口1430及设备接口1410而初始化，以供处理。在此特定实施例中，在处理工具1310运行之前，调用先进工艺控制(APC)系统管理器脚本，来初始化处理工具1310。在此步骤中，该脚本记录处理工具1310的识别号及工件1305的批号。然后该识别号与该批号对照，而储存于数据存储器1360。该脚本的其余部份，诸如APCData调用及Setup和StartMachine调用，则写为空白或虚设数据格式，以强迫机器使用默认的设定。

做为初始化的一部份，系经线路1320，对处理工具控制器1315提供初始设定点，供工艺控制之用。此等初始设定点可通过本项技术公知的任何合适方式来确定及实施。在此情形下，经由大致相同于或类似于目前圆片批的背景或条件，对一个或多个圆片批做了处理；且使用复查站1317，为其测量了一个或数个处理误差。当此信息存在时，则从数据存储器1360检索状态估计，该状态估计搜集自该(等)测量的误差和/或偏移(bias)。然后将这些处理控制输入信号设定(它们从状态估计计算得出)下载至处理工具1310。

工件1305系经由处理工具1310而做处理。其包含(在所例示的实施例中)：使工件1305接受快速热退火。工件1305在处理工具1310上经处理之后，在复查站1317上受到测量。在工件1305经处理后，复查站1317检查其若干误差，诸如距该目标值的偏差(诸如膜厚、蚀刻深度，及类似偏差)。复查站1317的仪器所生成的数据透过传感器接口1415及线路1320，而通到机器接口1430。复查站脚本始自若干“先进工艺控制”(APC)命令，用以收集数据。然后复查站脚本将其自身锁定就位，并激活数据可取用的脚本。此脚本便利了数据从复查站1317至先进工艺控制机架的实际传送。一旦传送完成，该脚本即退出并取消锁定该复查站脚本。与复查站1317的交互作用一般来说即告完成。

如获益于本揭示内容的本领域技术人员所将了解的，复查站1317所生成的数据应做预处理，以供使用。复查站(诸如KLA复查站)提供控制算法，用以测量控制误差。每一误差测量，在此特定实施例中皆以直接方式对应于线路1320上的一个处理控制输入信号。一般来说，在误差能利用来校正该处理控制输入信号之前，一定量之预处理已告完成。

举例来说，预处理可包括废值拒绝(outlier rejection)。废值拒绝是一总的误差检验，其确保所接收的数据从该工艺的历史性能上看为合理的。此程序涉及：比较每一处理误差与其所对应的预定边界参数。在某一个实施例中，所逾越的即使仅是预定边界的其中一个，通常还是会拒绝整个半导体圆片批的误差数据。

为确定废值拒绝的限制，可收集数千个实际的半导体制造(“圆片厂”)数据点。然后算出此收集的数据中每一误差参数的标准偏差。在某一个实施例中，对于废值拒绝，一般选九倍于标准偏差(正的以及负的)来做为预定的边界。此做法主要是为了确保仅拒绝显然在工艺的正常操作条件之外的点。

预处理也可使数据平滑化，这一般也称为过滤(filtering)。过滤是重要的，因为误差测量有一定量的随机性而使得误差在值上大有偏差。过滤复查站数据，在处理控制输入信号设定中会有较为准确的误差评价。在某一个实施例中，处理控制方案利用通称为“指数加权移动平均”(EWMA)过滤器的过滤程序，但其它的过滤器也能在此背景下使用。

方程式(1)表示EWMA过滤器的一个实施例：

AVG_N＝W*M_C+(1-W)*AVG_P                  (1)

其中

AVG_N≡新的EWMA平均值；

W≡对新的平均(AVG_N)的权重；

M_C≡目前的测量；及

AVG_P≡先前的EWMA平均

权重为可调整的参数，能用来控制过滤量，一般在零与一之间。该权重表示对目前数据点准确性的信赖(confidence)。如果视测量为准确，则权重应近于一。如果工艺中有重大的涨落量，则近于零的数会是适当的。

在一个实施例中，有至少二种技术利用EWMA过滤程序。第一种技术使用以上所说明的先前平均值、权重及目前测量。利用第一实际方案优点包括使用方便及最小的数据储存。利用第一实际方案的一个缺点在于：此方法一般并不保留很多工艺信息。而且，以此方式所算出的先前的平均值将会由先前的每一数据点组成；这可能并不合乎需要。第二种技术则仅保留一些数据，且每次皆由原始数据算出平均值。

在半导体制造圆片厂的制造环境中，有一些独特的挑战。半导体圆片批经由一处理工具而做处理，其次序或许并不对应其在复查站上的读出次序。因此将会有另外的数据点附加至脱序的EWMA平均。对半导体圆片批可做一次以上的分析，来验证误差测量。两个读数都供作EWMA平均，而无数据保存；这可能是不合乎需要的特性。而且，一些控制例程(threads)或许容量(volume)低，可能使得先前的平均过时，以致先前的平均值或许不能准确地表示处理控制输入信号设定中的误差。

处理工具控制器1315，在这一特定实施例中使用有限的数据储存来算出EWMA过滤的误差(即第一种技术)。圆片批数据(包括批号)、该批的处理时间，以及多个误差估计，储存于数据存储器1360中而在控制例程名称之下。收集一组新数据时，从数据存储器1360检索该数据堆栈并加以分析。比较目前在处理中的圆片批的批号与该堆栈中的批号。如果该批号与堆栈中现有的任何数据匹配，则误差测量遭取代。否则，该数据点根据圆片批做处理的时期，依时序而加至目前的堆栈。在某一个实施例中，去除堆栈之内任何逾128小时的数据点。一旦完成前述步骤，则算出新的过滤平均值，并将其储存至数据存储器1360。

如此，数据经收集及预处理再经处理，而对处理控制输入信号设定中的当前错误生成一估计。首先，数据通到编译过的Matlab外挂程序，该外挂程序施行以上所说明的废值拒绝判据。对外挂程序接口输入的，是多个误差测量及含数组的边界值。从该外挂程序接口返回的，是单一一个切换(toggle)变量。非零返回标志其未通过拒绝判据；否则，变量返回默认值零，而脚本继续做处理。

完成废值拒绝之后，将数据通到EWMA过滤程序。对该圆片批所对应的控制例程名称，检索其所用的控制器数据，并对该圆片批数据堆栈实行一切相关的操作。此包含：取代冗余的数据或去除较旧的数据。该数据堆栈一旦准备妥当，则经剖析而成对应于误差值的上升时间排序的数组。这些数组伴随着需要其执行的参数数组到外挂而进入EWMA。于一个实施例中，来自外挂的返回包括了六个过滤误差值。

回到图15，数据预处理包含：监视和/或取样处理工具1310变量的工件1305特性参数其中一个或数个，如方框1520所述。已知，可能用到的特性参数可通过特性数据型样来识别；或可经识别，做为处理控制的已知修正结果。其次，关于工件温度和/或灯功率、和/或退火时间、和/或工艺气体温度、和/或工艺气体压力、和/或工艺气体流速、和/或射频(RF)功率、和/或蚀刻时间和/或偏压电压、和/或沉积时间，以及类似条件等，诸如其处理程控输入参数和/或设定点的处理控制输入参数，可能直接影响工件1205所出的可用半导体组件的有效成品率。

控制工艺中的下一步骤，是为处理工具1310的处理工具控制器1315算出新的设定。从数据存储器1360，检索对应于目前圆片批的控制例程所用的先前设定。此数据与目前的处理误差伴随成对。对新的设定，调用编译过的Matlab^外挂程序而算出。此应用程序并有若干输入，在一分离的执行组件中施行计算，并返回若干输出给主脚本。一般来说，该Matlab^外挂程序的输入为处理控制输入信号设定、复查站1317的误差、控制算法所需的参数数组，及目前不使用的旗标误差。该Matlab^外挂程序的输出为新的控制器设定，依据以上所说明的控制器算法而在该外挂程序中算出。

处理工艺工程师，或控制工程师，一般确定控制作用的实际形式及程度，且能设定参数。这类参数包括阈值、最大步进尺寸、控制器权重及目标值。新的参数设定一旦算出，则脚本将该设定储存于数据存储器1360中，使得处理工具1310能检索的，供将做处理的次一圆片批用。本发明所传授的原理能实施成其它型态的制造机架。

再回到图15，新设定的算出，如方框1530所述包含：用自适应取样处理模型，来模型化该(等)特性参数。此模型化可通过该Matlab外挂程序来施行。在此特定实施例中仅知，可能用到的特性参数经模型化，而模型储存在经由机器接口1430存取的数据库1335之中。数据库1335可常驻在工作站1330上(如所示)，或在先进工艺控制机架的一些其它部份上。以实例来说，该等模型在替代实施例中将可储存在先进工艺控制系统管理器1440所管理的数据存储器1360之中。该模型一般来说将是一数学模型，即一方程式，而说明一个或数个处理程控中的一个或数个改变如何影响处理性能，及类似情形。以上所给的各个不同的例示性实施例中所说明的模型(以下有更完整的说明)，即是如此模型示例。

使用的特定模型将是由实际方案所规定的，而依赖于特定的处理工具1310及正当模型化的特定一个或数个特性参数。该模型中的关系为线性或者是非线性，将视所涉及的该(等)特定的特性参数而定。

然后将新的设定传输至处理工具控制器1315，为处理工具控制器1315所应用。如此，现在回到图15，一旦模型化了该(等)特性参数，则应用该模型，如方框1540所述，用至少一个模型预测式控制(MPC)控制器，或至少一个比例积分微分(PID)控制器，来修正至少一个处理程控输入参数(以上有更完整的说明)。在此特定实施例中，机器接口1430从数据库1335检索该模型，挂入各别的值，并确定该(等)处理程控输入参数所必要的一个或数个改变。然后借机器接口1430，将该改变经线路1320通信至设备接口1410。而设备接口1410则实际方案该改变。

本实施例并且提出：模型应做更新。此如图15的方框1550至1560所述，包含：监视至少一个该等处理程控输入参数的修正效果(方框1550)；且基于所监视的一个或数个效果，更新所应用的模型(方框1560)。以实例来说，处理工具1310操作的各个不同的方面将随年代而改变。对因应特性参数测量结果所实施的一个或数个处理单元改变，监视其效果，借此能更新必要的值以产出优越的性能。

如以上所注意到的，此特定实施例实施一“先进工艺控制”(APC)系统。如此，其在圆片批“之间”实施改变。方框1520至1560中所述的作用实施于目前的圆片批经处理之后，而于次一批做处理之前，如图15的方框1570所述。然而，本发明并不受此限。而且，如以上所注意到的，一晶批的构成可为任何可实行的圆片数目，自一个至几千个(或实用上的任何有限数目)。一“批”的构成，系由实际方案所规定，所以工艺中发生更新的点将随实际方案而变化。

如以上所讨论的，在本发明各个不同的例示性实施例中，可应用自适应取样处理模型，来修正处理步骤中所施行的处理。举例来说，可于一个或多个处理行程期间，监视一个或多个工具变量和/或一个或多个处理参数，从而形成自适应取样处理模型。这样的工具变量和/或处理参数的例可包括一个或多个高温计轨迹读数、一个或多个灯功率轨迹读数、一个或多个管温轨迹读数、一个或多个电流读数、一个或多个红外线(IR)信号读数、一个或多个发光光谱读数、一个或多个工艺气体温度读数、一个或多个工艺气体压力读数、一个或多个工艺气体流速读数、一个或多个蚀刻深度、一个或多个工艺层厚、一个或多个电阻读数，及类似的变量或参数。

从数学角度上说，对于n个处理工具变量和/或处理参数，可将一组m个测量和/或监视中的处理行程设置为一n×m矩阵X。换句话说，该n×m矩阵X可包含1至n行(每一行对应于分离的处理工具变量或处理参数)，及1至m列(每一列对应于分离的处理行程)。该n×m矩阵X的值例如可为处理工具变量和/或处理参数的实际测量值，或为实际测量值的比(相对于各别的参考设定点而归一化)，或为这样的比的对数。该n×m矩阵X可有r秩，而r≤min{m，n}为矩阵X中最大的独立变量数目。该n×m矩阵X(举例来说)可用“主要成分分析”(PCA)来分析。使用PCA(举例来说)，生成一组“主要成分”P(其“负载”〔Loadings〕或成分表示各个不同的处理工具变量和/或处理参数的贡献)，来做为方程式((X-M)(X-M)^T)P＝Λ²P的本征矩阵，此处M为X的列平均值的矩形n×m矩阵(M的m列中每一列皆为X_{n ×m}的列平均值向量 μ _n×1)，Λ²为平均值缩放的矩阵X-M的、也是一“分数”(Score)矩阵T的本征值λ_i(i＝1，2，...，r)平方n×n对角矩阵，而有X-M＝PT^T及(X-M)^T＝(PT^T)^T＝(T^T)^TP^T＝TP^T，以致有((X-M)(X-M)^T)P＝((PT^T)(TP^T))P并且有((PT^T)(TP^T))P＝(P(T^TT)P^T)P＝P(T^TT)＝Λ²P。n×m矩阵X也表示为X_n×m，可有元素x_ij，此处i＝1，2，...，n且j＝1，2，...，m；而n×m矩阵X^T(n×m矩阵X的转置矩阵)，也表示为(X)^T _n×m，可有元素X_ji，此处i＝1，2，...，n且j＝1，2，...，m。n×n矩阵(X-M)(X-M)^T为(m-1)乘以协方差矩阵S_n×n，S_n×n有元素s_ij，此处i＝1，2，...，n，且j＝1，2，...，n，定义为 $s_{\mathrm{ij}}=\frac{m\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ik}}{x}_{\mathrm{jk}}-\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{ik}}\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{x}_{\mathrm{jk}}}{m(m-1)},$ 对应于矩形n×m矩阵X_n×m。

如下为四种计算“主要成分”的方法，但还有其它的方法存在：

1.本征分析(EIG)；

2.奇异值分解(SVD)；

3.非线性迭代部份最小平方(NIPALS)；及

4.幂次法(power method)。

前二方法，EIG及SVD，皆同时性地算出一切可能的“主要成分”，而NIPALS法却容许一次算出一个“主要成分”。而幂次法(以下做更完整的说明)为一迭代的，找出本征值及本征向量的途径，依然也容许一次算出一个“主要成分”。信道(或变量值)有多少个，“主要成分”就有多少个。幂次法可有效率地使用计算时间。

举例来说，考虑3×2矩阵A，其转置矩阵2×3矩阵A^T，两者的2×2矩阵乘积A^TA，及两者的3×3矩阵乘积AA^T： $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ 1& -1\end{array}\right],$ $A^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right],$ $A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right],$ ${\mathrm{AA}}^T=\left[\begin{array}{cc}1& 1.\\ 1& 0\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right].$

EIG表明矩阵乘积A^TA的本征值λ为3及2。矩阵乘积A^TA的本征向量为方程式(A^TA) t＝λ t的解 t，经检验可知为 t ₁ ^T＝(0，1)及 t ₂ ^T＝(1，0)，分别属于本征值λ₁＝3及λ₂＝2。

幂次法(举例来说)可用来确定矩阵乘积AA^T的本征值λ及本征向量 p，此处本征值λ及本征向量 p为方程式(AA^T) p＝λ _p 的解 p。可用尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1)： $\left({\mathrm{AA}}^T\right)\underset{\‾}{p}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3\\ 3\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]{=\mathrm{\λ}}_1{\underset{\‾}{p}}_1.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1)刚好对应于本征值λ₁＝3所属的本征向量 p ₁ ^T＝(1，1，1)。再继续进行幂次法，从矩阵乘积AA^T减去外积矩阵 p ₁ p ₁ ^T，而形成一残差矩阵(residual matrix)R₁： $R_1=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right].$

可用另一尝试的本征向量 p ^T＝(1，0，-1)： $({\mathrm{AA}}^T-{\underset{\‾}{p}}_1{{\underset{\‾}{p}}_1}^T)\underset{\‾}{p}=R_1\underset{\‾}{p}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\end{array}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_2{\underset{\‾}{p}}_2.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(1，0，-1)刚好对应于本征值λ₂＝2所属的本征向量 p ₂ ^T＝(1，0，-1)。再继续进行幂次法，从残差矩阵R₁减去外积矩阵 p ₂ p ₂ ^T，而形成第二残差矩阵R₂： $R_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

第二残差矩阵R₂消失，此一事实说明，本征值λ₃＝0，而本征向量p3为完全任意的。本征向量 p ₃可方便地选与本征向量 p ₁ ^T＝(1，1，1)及p ₂ ^T＝(1，0，-1)正交；以致本征向量 p ₃ ^T＝(1，-2，1)。其实，可立即证明： $\left({\mathrm{AA}}^T\right){\underset{\‾}{p}}_3=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right]{=\mathrm{\λ}}_3{\underset{\‾}{p}}_3.$

类似地，A的SVD表示为A＝PT^T，式中P为“主要成分”矩阵而T为“分数”矩阵： $A=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& -2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{6}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& \sqrt{2}\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& -2\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 0\\ 0& \sqrt{2}\\ 0& 0\end{array}\right].$

SVD证实A的奇异值为

及

，即矩阵乘积A^TA的本征值λ₁＝3及λ₂＝2的正方根。注意，“主要成分”矩阵P的列系矩阵乘积AA^T的正交归一化本征向量。

同样地，A^T的SVD表示为A^T＝TP^T： $A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3}& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{2}& 0& -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{6}& -2/\sqrt{6}& 1/\sqrt{6}\end{array}\right].$ $=\left[\begin{array}{ccc}\sqrt{3}& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{3}& 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& 0& -2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{3}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{6}\end{array}\right]={\mathrm{TP}}^T$

SVD证实A^T的(非零)奇异值为

及

其为矩阵乘积AA^T的本征值λ₁＝3及λ₂＝2的正方根。注意，“主要成分”矩阵P的列(“主要成分”矩阵P^T的行)为矩阵乘积AA^T的正交归一化本征向量。还请注意，“分数”矩阵T的非零元素为矩阵乘积A^TA以及AA^T的(非零)本征值λ₁＝3及λ₂＝2的正方根 及

另举一例，考虑4×3矩阵B，其转置矩阵3×4矩阵B^T，两者的3×3矩阵乘积B^TB，及两者的4×4矩阵乘积BB^T： $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right],$ $B^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right],$ $B^{T}B=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right],$ ${\mathrm{BB}}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right].$

EIG表明矩阵乘积B^TB的本征值为4、2及2。矩阵乘积B^TB的本征向量为方程式(B^TB) t＝λ t的解 t，经检验可知为 t ₁ ^T＝(1，0，0)， t ₂ ^T＝(0，1，0)及 t ₃ ^T＝(0，0，1)，分别属于本征值λ₁＝4，λ₂＝2及λ₃＝2。

幂次法(举例来说)可用来确定矩阵乘积BB^T的本征值λ及本征向量 p，此处本征值λ及本征向量 p为方程式(BB^T) p＝λ p的解 p。可用尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1，1)： $\left({\mathrm{BB}}^T\right)\underset{\‾}{p}=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\\ 4\end{array}\right]=4\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]{=\mathrm{\λ}}_1{\underset{\‾}{p}}_1.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1，1)刚好对应于本征值λ₁＝4所属的本征向量 p ₁ ^T＝(1，1，1，1)。再继续进行幂次法，从矩阵乘积BB^T减去外积矩阵 p ₁ p ₁ ^T，而形成残差矩阵R₁： $R_1=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right].$

可用另一尝试的本征向量 p ^T＝(1，0，0，-1)： $({\mathrm{BB}}^T-{\underset{\‾}{p}}_1{{\underset{\‾}{p}}_1}^T)\underset{\‾}{p}=R_1\underset{\‾}{p}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]\end{array}=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ -2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_2{\underset{\‾}{p}}_2.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(1，0，0，-1)刚好对应于本征值λ₂＝2所属的本征向量 p ₂ ^T＝(1，0，0，-1)。再继续进行幂次法，从残差矩阵R₁减去外积矩阵 p ₂ p ₂ ^T，而形成第二残差矩阵R₂： $R_2=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

可用另一尝试的本征向量 p ^T＝(0，1，-1，0)： $({\mathrm{BB}}^T-{\underset{\‾}{p}}_2{{\underset{\‾}{p}}_2}^T)\underset{\‾}{p}=R_2\underset{\‾}{p}=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\end{array}=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ -2\\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\\ 0\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_3{\underset{\‾}{p}}_3.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(0，1，-1，0)刚好对应于本征值λ₂＝2所属的本征向量 p ₃ ^T＝(0，1，-1，0)。再继续进行幂次法，从残差矩阵R₂减去外积矩阵 p ₃ p ₃ ^T，而形成第三残差矩阵R₃： $R_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

第三残差矩阵R₃消失，此一事实指示：本征值λ₄＝0，而本征向量p ₄为完全任意的。本征向量 p ₄可方便地选与本征向量 p ₁ ^T＝(1，1，1，1)，p ₂ ^T＝(1，0，0，-1)及 p ₃ ^T＝(0，1，-1，0)正交，以致 p ₄ ^T＝(1，-1，-1，1)。其实，可立即证明： $\left({\mathrm{BB}}^T\right){\underset{\‾}{p}}_4\begin{array}{c}=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\\ 1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\\ 1\end{array}\right]\end{array}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ -1\\ 1\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_4{\underset{\‾}{p}}_4.$

在此情形下，本征值λ₂＝2及λ₃＝2相等，因而为退化，则退化本征值λ₂＝2＝λ₃所属的本征向量 p ₂ ^T＝(1，0，0，-1)及 p ₃ ^T＝(0，1，-1，0)可方便地选为正交归一。举例来说，可使用格拉姆—施密特正交归一化程序(Gram-Schmidt orthonormalization procedure)。

类似地，B的SVD表示为B＝PT^T，式中P为“主要成分”矩阵而T为“分数”矩阵： $B=\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/\sqrt{2}& 0& 1/2\\ 1/2& 0& 1/\sqrt{2}& -1/2\\ 1/2& 0& -1/\sqrt{2}& -1/2\\ 1/2& -1/\sqrt{2}& 0& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/\sqrt{2}& 0& 1/2\\ 1/2& 0& 1/\sqrt{2}& -1/2\\ 1/2& 0& -1/\sqrt{2}& -1/2\\ 1/2& -1/\sqrt{2}& 0& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}\\ 0& 0& 0\end{array}\right]={\mathrm{PT}}^T.$

SVD证实，B的奇异值为2、 及

其为矩阵乘积B^TB的本征值λ₁＝4，λ₂＝2及λ₃＝2的正方根。

同样地，B^T的SVD表示为： $B^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/2& 1/2& 1/2\\ 1/\sqrt{2}& 0& 0& -1/\sqrt{2}\\ 0& 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}& 0\\ 1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]=$ $B^T=\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\\ 0& \sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1/2& 1/2& 1/2& 1/2\\ 1/\sqrt{2}& 0& 0& -1/\sqrt{2}\\ 0& 1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}& 0\\ 1/2& -1/2& -1/2& 1/2\end{array}\right]={\mathrm{TP}}^T.$

SVD证实B^T的(非零)奇异值为2，

及

即是矩阵乘积BB^T的本征值λ₁＝4，λ₂＝2及λ₃＝2的正方根。注意，“主要成分”矩阵P的列(“主要成分”矩阵P^T的行)为矩阵乘积BB^T的正交归一化本征向量。也注意，“分数”矩阵T的非零元素为矩阵乘积B^TB以及BB^T的(非零)本征值λ₁＝4，λ₂＝2及λ₃＝2的正方根2，

及

以上所讨论的矩阵A及B，系为简化对PCA及幂次法的介绍所用，远小于在本发明例示实施例中所遇到的数据矩阵。举例来说，在各个不同的例示实施例中，对于n＝10至60个处理工具变量和/或处理参数，可测量和/或监视约m＝100至600个处理行程。对于n＝10至60个变量做全部m＝100至600个行程的回归，如此强列模型化可能构成条件病态的(ill-conditioned)回归问题。诸如PCA和/或部份最小平方(PLS，也称为至潜在〔latent〕结构的投影)等技术，系基于渐减的可变性水准而显露数据的阶层排序，从而降低如此情形中的复杂性。在PCA中，是要找出逐一的”主要成分”。在诸如NIPALS的PLS技术中，是要找出逐一的潜在向量。

如图16所示，可在n维变量空间(在图16中n＝3)中绘制数据点1610的散布图(scatterplot)1600。平均值向量1620可放在p维“主要成分”椭圆体1630(在图16中p＝2)之中心。平均值向量1620可取总数据矩阵X的列平均来确定。“主要成分”椭圆体1630可有第一“主要成分”1640(图16中的主轴)，其长度等于平均值缩放的数据矩阵X-M的最大本征值；及第二“主要成分”1650(图16中的次轴)，其长度等于平均值缩放的数据矩阵X-M的次大本征值。

举例来说，可取以上所给的3×4矩阵B^T来做为总数据矩阵X(又是为简单起见)，其对应于3个变量下的4个行程。如图17所示，可在3维变量空间中绘制数据点1710的散布图1700。平均值向量1720 μ可放在2维“主要成分”椭圆体1730(实为一圆，为退化的椭圆体)的中心。平均值向量1720 μ可取总3×4数据矩阵B^T的列平均来确定。“主要成分”椭圆体1730可有第一“主要成分”1740(图17中的“主轴”)，及第二“主要成分”1750(图17中的“次轴”)。此处，平均值缩放的数据矩阵B^T-M的本征值相等且退化，所以图17中的“主轴”与“次轴”的长度相等。如图17所示，平均值向量1720 μ由下式给出： $\underset{\‾}{\mathrm{\μ}}=\frac{1}{4}[\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],$ 且矩阵M的全部4列都有平均值向量1720 μ。

对“主要成分分析”(PCA)可做几何例示。举例来说，可取3×2矩阵C(类似于以上所给的3×2矩阵A)： $C=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\\ 1& 1\end{array}\right],$ 做为总数据矩阵X(又是为简单起见)，其对应于3个变量下的2个行程。如图18所示，可在3维变量空间中绘制数据点1810及1820的散布图1800，其分别有坐标(1，1，1)及(-1，0，1)；在此，3个变量的每一个为各别的快速热处理工具和/或参数值。平均值向量1830 μ可放在1维“主要成分”椭圆体1840(实为一线，其为极为退化的椭圆体)的中心。平均值向量1830 μ可取总3×2数据矩阵C的列平均来确定。“主要成分”椭圆体1840可有第一“主要成分”1850(图18中的“主轴”，有长度 ，沿第一“主要成分”轴1860而放置)，且分别沿第二及第三“主要成分”轴1870及1880并无第二及第三“主要成分”放置。此处，平均值缩放的数据矩阵C-M的二个本征值等于零，所以图18中的“次轴”的长度都等于零。如图18所示，平均值向量l830 μ由下式给出： $\underset{\‾}{\mathrm{\μ}}=\frac{1}{2}[\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1/2\\ 0\end{array}\right],$ 且矩阵M的两列都有平均值向量1830 μ。如图18所示，PCA无非是原来的变量轴(在此，系对于3个变量每一个的各别的快速热处理工具和/或参数值)绕着平均值向量1830 μ的端点所做的主轴旋转，其关于原来的坐标轴有坐标(0，1/2，1)，而关于新的“主要成分”轴1860、1870及1880有坐标[0，0，0]。其“负载”只不过是新的“主要成分”轴1860、1870及1880相关于原来的变量轴的方向余弦。其“分数”则纯然是数据点1810及1820的坐标，分别为[5^0.5/2，0，0]及[-5^0.5/2，0，0]，而参考新的“主要成分”轴1860、1870及1880。

平均值缩放的3×2数据矩阵C-M，其转置矩阵2×3矩阵(C-M)^T，两者的2×2矩阵乘积(C-M)^T(C-M)，及两者的3×3矩阵乘积(C-M)(C-M)^T由下式给出： $C-M=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& .0\\ 1& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1/2& 1/2\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1/2& -1/2\\ 0& 0\end{array}\right],$ ${(C-M)}^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ -1& -1/2& 0\end{array}\right],$ ${(C-M)}^T(C-M)=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ -1& -1/2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1/2& -1/2\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5/4& -5/4\\ -5/4& 5/4\end{array}\right],$ ${(C-M)(C-M)}^T=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1/2& -1/2\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ -1& -1/2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

3×3矩阵(C-M)(C-M)^T为协方差矩阵S_3×3，其中S_3×3有元素s_ij，此处i＝1，2，3且j＝1，2，3，定义为 $s_{\mathrm{ij}}=\frac{2\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ik}}{c}_{\mathrm{jk}}-\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{ik}}\underset{k=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{c}_{\mathrm{jk}}}{2(2-1)},$ 对应于矩形3×2矩阵C_3×2。

EIG表明，矩阵乘积(C-M)^T(C-M)的本征值λ为5/2及0；举例来说，此通过求解特征方程式(secular equation)： $\left[\begin{array}{cc}5/4-\mathrm{\λ}& -5/4\\ -5/4& 5/4-\mathrm{\λ}\end{array}\right]=0$ 而找出。矩阵乘积(C-M)^T(C-M)的本征向量为方程式(C-M)^T(C-M) t＝λ t的解 t，此式可写为((C-M)^T(C-M)-λ) t＝0。对于本征值λ₁＝5/2来说，其本征向量 t ₁可鉴于 $\left[\begin{array}{cc}5/4-\mathrm{\λ}& -5/4\\ -5/4& 5/4-\mathrm{\λ}\end{array}\right]\underset{\‾}{t}=\left[\begin{array}{cc}-5/4& -5/4\\ -5/4& -5/4\end{array}\right]\underset{\‾}{t}=0$ 而为 t ₁ ^T＝(1，-1)。对于本征值λ₁＝0来说，其本征向量 t ₂可鉴于 $\left[\begin{array}{cc}5/4-\mathrm{\λ}& -5/4\\ -5/4& 5/4-\mathrm{\λ}\end{array}\right]\underset{\‾}{t}=\left[\begin{array}{cc}-5/4& -5/4\\ -5/4& 5/4\end{array}\right]\underset{\‾}{t}=0$ 而为 t ₂ ^T＝(1，1)。

幂次法(举例来说)可用来确定矩阵乘积(C-M)(C-M)^T的本征值λ及本征向量 p，此处本征值λ及本征向量 p为方程式((C-M)(C-M)^T) p＝λ p的解 p。可用一尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1)： $\left({(C-M)(C-M)}^T\right)\underset{\‾}{p}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 3/2\\ 0\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 0\end{array}\right]=3\underset{\‾}{q},$ $\left({(C-M)(C-M)}^T\right)\underset{\‾}{q}=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5/2\\ 5/4\\ 0\end{array}\right]=5/2\left[\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 0\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_1{\underset{\‾}{p}}_1.$

这说明，尝试的本征向量 p ^T＝(1，1，1)由改良尝试的本征向量q ^T＝(1，1/2，0)所取代，而 q ^T＝(1，1/2，0)刚好对应于本征值λ₁＝5/2所属的本征向量 p ₁ ^T＝(1，1/2，0)。再继续进行幂次法，从矩阵乘积(C-M)(C-M)^T减去外积矩阵 p ₁ p ₁ ^T，而形成残差矩阵R₁： $R_1=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 1/2\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ 1/2& 1/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ 1/2& 1/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

可用另一尝试的本征向量 p ^T＝(-1，2，0)，其直交于本征向量p ₁ ^T＝(1，1/2，0)： $({(C-M)(C-M)}^T-{{\underset{\‾}{p}}_1{\underset{\‾}{p}}_1}^T)\underset{\‾}{p}=R_1\underset{\‾}{p}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ 1/2& 1/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_2{\underset{\‾}{p}}_2.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(-1，2，0)刚好对应于本征值λ₂＝0所属的本征向量 p ₂ ^T＝(-1，2，0)。再继续进行幂次法，从残差矩阵R₁减去外积矩阵 p ₂ p ₂ ^T，而形成第二残差矩阵R₂： $R_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ 1/2& 1/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 0\\ 1/2& 1/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ -2& 4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ $R_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 5/2& 0\\ 5/2& -15/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

可用另一尝试的本征向量 p ^T＝(0，0，1)，其直交于本征向量p ₁ ^T＝(1，1/2，0)及 p ₂ ^T＝(-1，2，0)： $({(C-M)(C-M)}^T-{\underset{\‾}{p}}_1{\underset{\‾}{p}}_1^T-{\underset{\‾}{p}}_2{\underset{\‾}{p}}_2^T)\underset{\‾}{p}=R_2\underset{\‾}{p}=\left[\begin{array}{ccc}1& 5/2& 0\\ 5/2& -15/4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ $({(C-M)(C-M)}^T-{\underset{\‾}{p}}_1{\underset{\‾}{p}}_1^T-{\underset{\‾}{p}}_2{\underset{\‾}{p}}_2^T)\underset{\‾}{p}=R_{2}p=0\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_3{\underset{\‾}{p}}_3.$

这表明，尝试的本征向量 p ^T＝(0，0，1)刚好对应于本征值λ₃＝0所属的本征向量 p ₃ ^T＝(0，0，1)。其实，可以立即证明： $\left({(C-M)(C-M)}^T\right){\underset{\‾}{p}}_3=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 1/2& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]={\mathrm{\λ}}_3{\underset{\‾}{p}}_3.$

类似地，C-M的SVD表示为C-M＝PT^T，式中P为“主要成分”矩阵(其列为与 p ₁、 p ₂及 p ₃成比例的正交归一化本征向量；其元素为“负载”，即新的“主要成分”轴1860、1870及1880相关于原来的变量轴的方向余弦)，而T为“分数”矩阵(其行为数据点1810及1820的坐标，参考新的“主要成分”轴1860、1870及1880)： $C-M=\left[\begin{array}{ccc}2/\sqrt{5}& -1/\sqrt{5}& 0\\ 1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{5}/\sqrt{2}& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& -1\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2}\end{array}\right]$ $C-M=\left[\begin{array}{ccc}2/\sqrt{5}& -1/\sqrt{5}& 0\\ 1/\sqrt{5}& 2/\sqrt{5}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{5}/2& -\sqrt{5}/2\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]={\mathrm{PT}}^T.$

“分数”矩阵的转置矩阵(T^T)可由C-M的本征值矩阵与矩阵的积给出，而该矩阵的行系与 t ₁及 t ₂成比例的正交归一化本征向量。如图18所示，第一“主要成分””轴1860相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出 ${\cos \mathrm{\Θ}}_{11}=2/\sqrt{5};$ 且第一“主要成分”轴1860相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出 ${\cos \mathrm{\Θ}}_{21}=1/\sqrt{5}$ 。类似地，第一“主要成分”轴1860相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₁＝cos(π/2)＝0。类似地，第二“主要成分”轴1870相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出 ${\cos \mathrm{\Θ}}_{12}=-1/\sqrt{5};$ 第二“主要成分”轴1870相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出 ${\cos \mathrm{\Θ}}_{22}=2/\sqrt{5};$ 且第二“主要成分”轴1870相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₂＝cos(π/2)＝0。最后，第三“主要成分”轴1880相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₁₃＝cos(π/2)＝0；第三“主要成分”轴1880相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₂₃＝cos(π/2)＝0；且第三“主要成分”轴1880相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₃＝cos(0)＝1。

SVD证实C-M的奇异值为

及0，即为矩阵乘积(C-M)^T(C-M)的本征值λ₁＝5/2及λ₂＝0的非负方根。注意，“主要成分”矩阵P的列是矩阵乘积(C-M)(C-M)^T的正交归一化本征向量。

另举一例，可取3×4矩阵D(等同于以上所给的3×4矩阵B^T)： $D=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right],$ 做为总数据矩阵X(又是为简单起见)，其对应于3个变量下的4个行程。如图19所示，可在3维变量空间中绘制数据点散布图1900，数据点分别有坐标(1，1，0)、(1，0，1)、(1，0，-1)及(1，-1，0)；在此，3个变量的每一个为对应的快速热处理工具和/或参数值。平均值向量1920 μ可放在2维“主要成分”椭圆体1930(实际上为一圆，即是稍退化的椭圆体)的中心。平均值向量1920 μ可取总3×4数据矩阵D的列平均来确定。“主要成分”椭圆体1930可有第一“主要成分”1940(图19中的“主轴”，有长度2，沿第一“主要成分”轴1950而放置)，有第二“主要成分”1960(图19中的“次轴”，也有长度2，沿第二“主要成分”轴1970而放置)，且沿第三“主要成分”轴1980并无第三“主要成分”放置。此处，平均值缩放的数据矩阵D-M的二个本征值相等，所以图19中“主要成分”椭圆体1930的“主轴”与“次轴”的长度都相等；并且其余的本征值等于零，故图19中“主要成分”椭圆体1930的另一“次轴”的长度等于零。如图19所示，平均值向量1920 μ由下式给出： $\underset{\‾}{\mathrm{\μ}}=\frac{1}{4}[\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ ，且矩阵M的全部4列都有平均值向量1920 μ。如图19所示，PCA无非是原来的变量轴(在此，系对于3个变量每一个的各别的快速热处理工具和/或参数值)绕着平均值向量1920 μ的端点所做的主轴旋转，其关于原来的坐标轴有坐标(1，0，0)，而关于新的“主要成分”轴1950、1970及1980有坐标[0，0，0]。其“负载”只不过是新的“主要成分”轴1950、1970及1980相关于原来的变量轴的方向余弦。其“分数”则纯然是数据点的坐标，分别为[1，0，0]、[0，1，0]、[0，-1，0]及[-1，0，0]，而参考新的“主要成分”轴1950、1970及1980。

3×3矩阵乘积(D-M)(D-M)^T由下式给出： ${(D-M)(D-M)}^T=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& -1\\ 0& -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right].$

3×3矩阵(D-M)(D-M)^T为3乘以协方差矩阵S_3×3，S_3×3有元素s_ij，其中i＝1，2，3且j＝1，2，3，定义为： $s_{\mathrm{ij}}=\frac{4\underset{k=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{\mathrm{ik}}{d}_{\mathrm{jk}}-\underset{k=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{\mathrm{ik}}\underset{k=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}{d}_{\mathrm{jk}}}{4(4-1)},$ 对应于3×2矩阵D_3×4。

EIG表明矩阵乘积(D-M)(D-M)^T的本征值为0、2及2。矩阵乘积(D-M)(D-M)^T的本征向量为方程式((D-M)(D-M)^T) p＝λ p的解 p，通过检验可知为 p ₁ ^T＝(0，1，0)， p ₂ ^T＝(0，0，1)及 p ₃ ^T＝(1，0，0)，分别属于λ₁＝2，λ₂＝2及λ₃＝0(沿袭最大的本征值先放的惯用法)。

如图19所见的，第一“主要成分”轴1950相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₁₁＝cos(π/2)＝0；第一“主要成分”轴1950相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₂₁＝cos(0)＝1；且第一“主要成分”轴1950相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₁＝cos(π/2)＝0。类似地，第二“主要成分”轴1970相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₁₂＝cos(π/2)＝0；第二“主要成分”轴1970相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₂₂＝cos(π/2)＝0；且第二“主要成分”轴1970相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₂＝cos(0)＝1。最后，第三“主要成分”轴1980相关于变量1值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₁₃＝cos(0)＝1；第三“主要成分”轴1980相关于变量2值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₂₃＝cos(π/2)＝0；且第三“主要成分”轴1980相关于变量3值轴的方向余弦(“负载”)由下式给出cosΘ₃₃＝cos(π/2)＝0。

“分数”矩阵的转置矩阵T^T可在平均值缩放的数据矩阵D-M的左边乘上“主要成分”矩阵P的转置矩阵，而简单地获得，该转置矩阵的列 p ₁， p ₂， p ₃，即为矩阵乘积(D-M)(D-M)^T的正交归一化本征向量： $T^T=P^T(D-M)=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

“分数”矩阵的转置矩阵T^T的列(或等价地，“分数”矩阵T的行)，其实分别为各数据点的坐标[1，0，0]、[0，1，0]、[0，-1，0]及[-1，0，0]，而系参考新的“主要成分”轴1950、1970及1980。

以上所讨论的矩阵C及D，系为简化对PCA及幂次法的介绍所用，甚小于在本发明例示实施例中所遭遇的数据矩阵。举例来说，在各个不同的例示实施例中，对于n＝10至60个处理工具变量和/或处理参数，可测量和/或监视约m＝100至600个处理行程。对于n＝10至60个变量做全部m＝100至600个行程的回归，如此强行模型化可能构成条件病态的回归问题。诸如PCA和/或部份最小平方(PLS，也称为至潜在结构的投影)等技术，系基于渐减的可变性水准而显露数据的阶层排序，从而降低如此情形中的复杂性。在PCA中，是要找出逐一的“主要成分”。在诸如NIPALS的PLS技术中，是要找出逐一的潜在向量。在各个不同的例示实施例中，于n＝10至60个处理工具变量和/或处理参数下所测量的约m＝100至600个处理行程期间，可将工具和/或传感器漂移映像，成穿过n维空间(表示该n＝10至60个变量)的约m＝100至600个点(表示该m＝100至600个处理行程)的动力学流(dynamicflow)，这样的等效问题。举例来说，可用PCA，而指示对处理工具变量和/或处理参数做一适当的多维“旋转”，以补偿工具和/或传感器自各别的设定点值的漂移，借此来校正快速热处理。

在各个不同的替代例示实施例中，可以通过替代的方式来建造自自适应取样处理模型。也可于一个或多个处理行程期间，通过监视一个或多个处理工具变量和/或一个或多个处理参数，来形成这样的自适应取样处理模型。这样的工具变量和/或处理参数，其例可包括一个或多个高温计轨迹读数、一个或多个灯功率轨迹读数、一个或多个管温轨迹读数、一个或多个电流读数、一个或多个红外线(IR)信号读数、一个或多个发光光谱读数、一个或多个工艺气体温度读数、一个或多个工艺气体压力读数、一个或多个工艺气体流率读数、一个或多个蚀刻深度、一个或多个工艺层厚、一个或多个电阻读数，及类似的变量或参数。在此等各个不同的替代例示实施例中，自适应取样处理模型的建造可包括下列方式至少其一，用以适配所收集的处理数据：多项式曲线适配、最小平方适配、多项式最小平方适配、非多项式最小平方适配、加权最小平方适配、加权多项式最小平方适配、加权非多项式最小平方适配、“部份最小平方”(PLS)及“主要成分分析”(PCA)，如以上所说明。

在各个不同的例示实施例中，可收集N+1个数据点(x_i，y_i)的样本，其中i＝1，2，...，N，N+1；可取N次多项式 $P_N\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_k{x}^k+...+a_N{x}^N=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k,$ 来适配该N+1个数据点(x_i，y_i)。例如，在一处理步骤期间，可取有关的100个时间数据点(N＝99)，使高温计轨迹读数p、灯功率轨迹读数f和/或管温轨迹读数T，与该处理步骤所现出的工件的有效成品率取得关系，而导致各别的N+1个数据点组(p_i，t_i)、(f_i，t_i)和/或(T_i，t_i)。举例来说，其值可为处理工具变量和/或处理参数的实际测量值，或为实际测量值的比(相对于各别的参考设定点而归一化)，或为这样的比的对数。多项式内插，举例来说，在《供科学家及工程师用的数值方法》(R.W.哈明〔R.W.Hamming〕著，多佛出版公司〔Dover Publication〕出版，纽约，1986年)第230至235页中，有所说明。对多项式P_N(x)，要求其通过N+1个数据点(x_i，y_i)： $y_i=P_N\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x_i}^k,$ i＝1，2，...，N，N+1；系一组N+1个条件。此N+1个条件则完全确定该N+1个系数a_k，k＝0，2，...，N。

未知系数a_k的系数行列式为凡德满迪行列式(Vandermonde

其中i＝1，2，...，N，N+1，而k＝0，2，...，N。凡德满迪行列式被当做变量x_i的函数，即V_N+1＝V_N+1(x₁，x₂，...，x_N，x_N+1)，显然是变量x_i的多项式；此点可通过行列式展开而见得，且指数计数显示该多项式的次数为 $0+1+2+3+...+k+...+N=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}k=\frac{N(N+1)}{2}$ (举例来说，凡德满迪行列式V_N+1的对角项为 $1\·x_2\·x_3^2\·\·\·\·\·x_N^{N-1}\·x_{N+1}^N).$

现在，如果x_N+1＝x_j，j＝1，2，...，N，则凡德满迪行列式V_N+1＝0，因任何具等同二行的行列式本就会消失为零；所以，凡德满迪行列式V_N+1必有因式(x_N+1-x_j)，j＝1，2，...，N，即对应有N个因式 类似地，如果x_N＝x_j，j＝1，2，...，N-1，则凡德满迪行列式V_N+1＝0；所以，凡德满迪行列式V_N+1必有因式(x_N-x_j)，j＝1，2，...，N-1，即对应有N-1个因式

一般来说，如果x_m＝x_j，j＜m，m＝2，...，N，N+1，则凡德满迪行列式V_N+1＝0；所以，凡德满迪行列式V_N+1必有一切因式(x_m-x_j)，j＜m，m＝2，...，N，N+1，即对应到因式(x_N+1-x_j)。总而言之，此系表示 $N+N-1+\·\·\·+k+\·\·\·+2+1+=\underset{k=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}k=\frac{N(N+1)}{2}$ 次多项式。举例来说，在m＝N+1时，j可担当N个值的任一个，j＝1，2，...，N；在m＝N时，j可担当N-1个值的任一个，j＝1，2，...，N-1；等等(举例来说，在m＝3时，j仅有二个值可取，j＝1，2；在m＝2时，j仅有一个值可取，j＝1)。此点意味着，一切因式都已计入，剩下的不过是要找出此二凡德满迪行列式V_N+1表示法或将差异所在的乘法常数。如以上所注意，凡德满迪行列式V_N+1的对角项为 $1\·x_2\·x_3^2\·\·\·\·\·x_N^{N-1}\·x_{N+1}^N,$ 可与以下因式乘积的左边一项相比较，即与 $\underset{m>j+1}{\overset{N+1}{\mathrm{\Π}}}(x_m-x_j)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Π}}}(x_{N+1}-x_j)\underset{j=1}{\overset{N-1}{\mathrm{\Π}}}(x_N-x_j)\·\·\·\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Π}}}(x_3-x_j)\underset{j=1}{\overset{1}{\mathrm{\Π}}}(x_2-x_j)$ 的左边一项相比较；两者等同，因此该乘法常数为一，而凡德满迪行列式V_M+1为 $V_{N+1}(x_1,x_2,\·\·\·,x_{N+1})=\left|x_i^k\right|=\underset{m>j=1}{\overset{N+1}{\mathrm{\Π}}}(x_m-x_j).$

如此对凡德满迪行列式V_N+1的因式分解显示：如果x_i≠x_j，i≠j，则凡德满迪行列式V_N+1不会是零且意味着总是可能解出未知系数a_k，因该凡德满迪行列式为未知系数a_k的系数行列式。用行列式来解未知系数a_k，举例来说可将结果代入N次多项式 $P_N\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k,$ 并合适地重新排行而给出行列式方程式

此为多项式适配的解。此点可直接如下见得。以最上行的元素展开此行列式，其显然为N次多项式。第一行中的元素y的系数，在此最上行元素所展开的行列式中无非是凡德满迪行列式V_N+1。换句话说，第一行中的元素y的余因子(cofactor)事实上即是凡德满迪行列式V_N+1。其实，第一行中的第n个元素，n＝2，...，N+2，的余因子即是 $P_N\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 多项式展开中的系数a_n-2与凡德满迪行列式V_N+1的乘积。而且，如果x及y担当任何取样值x_i及y_i，j＝1，2，...，N，N+1，则该行列式有二行会相同，然则该行列式必消失为零。如此，多项式P_N(x)通过N+1个数据点 $(x_i,y_i):y_i=P_N\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x_i}^k,$ i=1，2，...，N，N+1则这一要求即告满足。

例如通过取样数据集(-1，a)、(0，b)及(1，c)可找出二次曲线。三个方程式为P₂(-1)＝a＝a₀-a₁+a₂，P₂(0)＝b＝a₀，及P₂(1)＝c＝a₀+a₁+a₂；其意味着b＝a₀，c-a＝2a₁，及c+a-2b＝2a₂，从而 $\left(x\right)=P_2\left(x\right)=b+\frac{c-a}{2}x+\frac{c+a-2b}{2}{x}^2.$ 此多项式也是 $\left[\begin{array}{cccc}y& 1& x& x^2\\ a& 1& -1& 1\\ b& 1& 0& 0\\ c& 1& 1& 1\end{array}\right]=0=y\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{ccc}a& -1& 2\\ b& 0& 0\\ c& 1& 1\end{array}\right]+x\left[\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ b& 1& 0\\ c& 1& 1\end{array}\right]-x^2\left[\begin{array}{ccc}a& 1& -1\\ b& 1& 0\\ c& 1& 1\end{array}\right]$ 的展开结果，y的系数是对应的凡德满迪行列式V₃＝2。

类似地，可找出四次曲线，通过取样数据集(-2，a)、(-1，b)、(0，c)、(1，b)及(2，a)。五个方程式为P₄(-2)＝a＝a₀-2a₁+4a₂-8a₃+16a₄，P₄(-1)＝b＝a₀-a₁+a₂-a₃+a₄，P₄(0)＝c＝a₀，P₄(1)＝b＝a₀+a₁+a₂+a₃+a₄及P₄(2)＝a＝a₀+2a₁+4a₂+8a₃+16a₄；其意味着c＝a₀，0＝a₁＝a₃(同样得自数据集的对称性)，(a-c)-16(b-c)＝-12a₂，及(a-c)-4(b-c)＝12a₂，从而有 $y\left(x\right)=P_4\left(x\right)=c-\frac{a-16b+15c}{12}{x}^2+\frac{a-4b+3c}{12}{x}^4.$ 在各个不同的替代例示实施例中，可收集M个数据点(x_i，y_i)的样本，在此i＝1，2，...，M；可取一次多项式(一直线) $P_1\left(x\right)=a_0+a_{1}x=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 来适配(在最小平方的意义下)该M个数据点(x_i，y_i)。举例来说，于一处理步骤期间，可取有关的100个时间数据点(M＝100)，使高温计轨迹读数p、灯功率轨迹读数f和/或管温轨迹读数T，与该处理步骤所现出的工件的有效成品率t取得关系，从而得出M个数据点组(p_i，t_i)、(f_i，t_i)和/或(T_i，t_i)。举例来说，其值可为处理工具变量和/或处理参数的实际测量值，或为实际测量值的比(相对于各别的参考设定点而归一化)，或为如此之比的对数。最小平方适配，举例来说，在《供科学家及工程师用的数值方法(Numerical Method for Scientistsand Engineerings)》(R.W.哈明〔R.W.Hamming〕著，多佛出版公司〔Dover Publication〕出版，纽约，1986年)第427至443页中，有所说明。

在可取用的数据远多于参数以致无从做确切匹配(在舍去范围之内)的情况下，可使用最小平方准则。在最小平方匹配中，多项式是最通常使用的，但任一族线性的合适函数一样可用。假设正在测量某量x而做了M次测量x_i，i＝1，2，...，M；并假设这些测量x_i与“真正”量x的关系为x_i＝x+ε_i，i＝1，2，...，M，其中认为残差量ε₁是噪声。最小平方原理陈述，对真正值x的最佳估计ξ为这样一个数值：该数值使得数据距估计的偏差平方和 $f\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\ϵ}}_i}^2=\underset{I=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\mathrm{\ξ})}^2$ 最小化；这等价于：平均值x_a(这里 $x_a=\frac{1}{M}\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i$ )为真正值x的最佳估计ξ。此等价性可表示如下。首先，最小平方原理引出该平均值x_a。将 $f\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{{\mathrm{\ϵ}}_i}^2=\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-\mathrm{\ξ})}^2$ 视为最佳估计ξ的函数，关于最佳估计ξ的最小化，可通过微分来进行： $\frac{\mathrm{df}\left(\mathrm{\ξ}\right)}{\mathrm{d\ξ}}=-2\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(x_i-\mathrm{\ξ})=0;$ 其意味着由 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i-\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\ξ}=0=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i-\mathrm{M\ξ},,$ 即可得 $\mathrm{\ξ}=\frac{1}{M}\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=x_a$ 。或换言之，x_a＝ξ，这一选择使残差量ε_i的平方和最小化。还请注意： $\frac{d^{2}f\left(\mathrm{\ξ}\right)}{{\mathrm{d\ξ}}^2}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}1=2M>0,$ 最小化准则即告建立。

反之，如果取平均x_a为最佳选择x_a＝ξ，则实能显示此选择将残差量ε_i的平方和最小化。设： $f\left(x_a\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-x_a)}^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-{2x}_a\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i+\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_a^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-{2x}_a{\mathrm{Mx}}_a+{\mathrm{Mx}}_a^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-{\mathrm{Mx}}_a^2$ 。如果取其它值x_b为，则将此其它值x_b插入f(x)，给出 $f\left(x_b\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{(x_i-x_b)}^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-{2x}_b\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i+\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_b^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2-{2x}_b{\mathrm{Mx}}_a+{\mathrm{Mx}}_b^2.$ 从f(x_b)减去f(x_a)，即给出了 $f\left(x_b\right)-f\left(x_a\right)=M[x_a^2-2x_a{x}_b+x_b^2]=M{(x_a-x_b)}^2\≥0,$ 从而有f(x_b)≥f(x_a)，其中当且仅当x_b＝x_a时，相等关系成立。换句话说，平均值x_a确实将残差量ε_i的平方和最小化。如此显示了，最小平方原理与选择平均值做为最佳估计，两者等价。

在选择最小平方之外，可有其它的选择。再一次，假设正在测量某量x而做了M个测量x_i，i＝1，2，...，M；并假设该等测量x_i与“真正的”量x的关系为x_i＝x+ε_i，i＝1，2，...，M，在此视残差量ε_i为噪声。最小平方选择的替代方案可为：对真正值x的另一估计χ，其为将数据距估计的偏差绝对值和 $f\left(\mathrm{\χ}\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left|{\mathrm{\ϵ}}_i\right|=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}|x_i-\mathrm{\χ}|$ 最小化的数值；这等价于：M次测量x_i，i＝1，2，...，M，的中值或中间数值x_m为真正值x的另一估计χ(如果M为偶数，则将二个中值平均)。假设有奇数M＝2k+1个测量x_i，i＝1，2，...，M；并选取其中数或中值x_m，做为将残差量ε_i的绝对值和最小化的真正值x估计χ。此值x_m的任何上移对x_m以下的k个x_i，将会升高其k项|x_i-x|，而对x_m以上的k个x_i，将会降低其k项|x_i-x|，升高降低皆以同一量。然而，此值x_m的上移也将会升高|x_m-x|该项，因此而升高所有残差量ε_i的绝对值之和。除了将残差量ε_i的平方和最小化之外，尚有另一选择，就是选择使得最大偏差达到最小化，引出 $\frac{x_{\min }+x_{\max }}{2}=x_{\mathrm{midrange}},$ 即最佳值的中间范围估计。

回到前述各个替代例示实施例，其中可收集M个数据点(x_i，y_i)的样本，i＝1，2，...，M；可取一次多项式(一直线) $P_1\left(x\right)=a_0+a_{1}x=\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 来适配(在最小平方的意义下)于该M个数据点(x_i，y_i)。有二个参数a₀及a₁，以及一需要作以下最小化的函数F(a₀，a₁)。函数F(a₀，a₁)由下式给出 $F(a_0,a_i)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{[P_1\left(x_i\right)-y_i]}^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{[a_0+a_1{x}_i-y_i]}^2,$ 且设F(a₀，a₁)关于a₀及a₁的偏导数等于零，于是分别给出了 $\frac{\∂F(a_0,a_1)}{\∂a_0}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}[a_0+a_1{x}_1-y_i]=0$ 及 $\frac{\∂(a_0,a_1)}{\∂a_1}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}[a_0+a_1{x}_1-y_i]x_i=0.$ 简化并重新排行，则分别给出了 $a_{0}M+a_1\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i$ 及 $a_0\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i+a_1\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i,$ 在此，该二个未知参数a₀及a₁有二个方程式，故立得其解。

例如图20所示，可将一次多项式(一直线) $P_1\left(x\right)=a_0+a_{1}x=\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 适配(在最小平方的意义下)于M＝5个数据点(1，0)、(2，2)、(3，2)、(4，5)及(5，4)。残差量ε_i，i＝1，2，...，5，概要地例示于图20中。二个参数a₀及a₁的方程式分别为5a₀+15a₁＝13及15a₀+55a₁＝50，于是，将第一个方程式乘以3再从第二个方程式减去，从而消去a₀，参数a₁的解成为a₁＝11/10而意味着参数a₀的解成为a₀＝-7/10。在最小平方的意义下，做最佳适配的一次多项式(一直线)，即为 $P_1\left(x\right)=-\frac{7}{10}+\frac{11}{10}x=\frac{1}{10}(-7+11x),$ 如图20所示。

例如图21所示，可将一次多项式(一直线) $P_1\left(x\right)=a_0+a_{1}x=\underset{k=0}{\overset{1}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 适配(在最小平方的意义下)于M＝7个数据点(-3，4)、(-2，4)、(-1，2)、(0，2)、(1，1)、(2，0)及(3，0)。残差量ε_i，i＝1，2，...，7，概要地例示于图21中。二个参数a₀及a₁的方程式分别为 $a_{0}M+a_1\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i={7a}_0+a_1(-3-2-1+0+2+3)=(4+4+2+2+1+0+0)$ 及 $a_0\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i+a_1\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i=a_1(9+4+1+0+1+4+9)=(-12-8-2+0+1+0+0)$ ，其分别给出7a₀＝13及28a₁＝-21。换言之，a₀＝13/7及a₁＝-3/4，所以在最小平方的意义下做最佳适配的一次多项式(一直线)为 $P_1\left(x\right)=\frac{13}{7}-\frac{3}{4}$ x，如图21所示。

在各个不同的其它替代例示实施例中，可收集M个数据点(x_i，y_i)的样本，其中i＝1，2，...，M；且取一个N次多项式 $P_N\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\·\·\·+a_k{x}^k+\·\·\·+a_N{x}^N=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 来适配(在最小平方的意义下)该M个数据点(x_i，y_i)。例如在处理步骤期间，可取有关的100个时间数据点(M＝100)，使高温计轨迹读数p、灯功率轨迹读数f和/或管温轨迹读数T，与该处理步骤所现出的工件的有效成品率取得关系，而导致M个数据点组(p_i，t_i)、(f_i，t_i)和/或(T_i，t_i)。例如，其值可为处理工具变量和/或处理参数的实际测量值，或为实际测量值的比(相对于各别的参考设定点而归一化)，或为这样的比的对数。在一个例示实施例中，该多项式的次数N，其至少较M小十倍。

函数F(a₀，a₁，...，a_N)可最小化如下。函数F(a₀，a₁，...，a_N)由下式给出， $F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{[P_N\left(x_i\right)-y_i]}^2,$ 且设F(a₀，a₁，...，a_N)关于a_j，j＝0，1，...，N，的偏导数等于零，于是对于j＝0，1，...，N，就可给出 $\frac{\∂F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)}{\∂a_j}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}[P_N\left(x_i\right)-y_i]x_i^j=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k-y_i]x_i^j=0,$ 因(x_i)^j是多项式 $P_N\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x_i}^k$ 中a_j的系数，对于j＝0，j＝0，1，...，N，经过简化和重新排行，即给出 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k\right]x_i^j=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\left[\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{k+j}\right]\≡\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^j{y}_i\≡T_j,$ 其中分别有 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{k+j}\≡S_{k+j}$ 及 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^j{y}_i\≡T_j.$ 该N+1个未知参数a_k，k＝0，1，...，N，的N+1个方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=T_j,$ j＝0，1，...，N，也通称为标准方程式；在该等标准方程式的行列式不为零的限制条件下，其解立得。为阐示此点，可示出：齐次方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=0$ 仅有明显解(trivial solution)a_k＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。将第j个齐次方程式乘以a_j，再对于所有的j求其总和，自j＝0至j＝N： $j=N,\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^k{x}_i^j=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}_i^k\right)\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{x}_i^j\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left(P_N\left(x_i\right)\right)}^2=0,$ ；这意味着P_N(x_i)≡0，由是则a_k＝0，k＝0，1，...，N，即为明显解。因而，该等标准方程式的行列式不为零，可解而求得N+1个参数a_k，k＝0，1，...，N，即N次最小平方多项式 $P_N=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 的系数；此多项式可适配于该M个数据点(x_i，y_i)。

当最小平方多项式 $P_N\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 的次数N甚大，则或许不易找出该N次最小平方多项式以适配于该M个数据点(x_i，y_i)。例如，当最小平方多项式的次数N甚大于约10，则该N+1个未知参数a_k，k＝0，1，...，N，的N+1个标准方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=T_j,$ j＝0，1，...，N，或许不易求解。此点可阐示如下。假设M个数据点(x_i，y_i)或多或少分布于区间0≤x≤1，从而有 $S_{k+j}=\underset{i=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^{k+j}\≈M{\∫}_0^1{x}^{k+j}\mathrm{dx}=\frac{M}{k+j+1}.$ 然后对于j，k＝0，1，...，N，近似地给出 $\left|S_{k+j}\right|\≈\left|\frac{M}{k+j+1}\right|\≈M^{N+1}\left|\frac{1}{k+j+1}\right|=M^{N+1}{H}_{N+1},$ 做为所造成的标准方程式的行列式，其中 $H_N=\frac{{[0!1!2!3!\·\·\·(N-1)!]}^3}{N!(N+1)!(N+2)!\·\·\·(2N-1)!}$ j，k＝0，1，...，N，为N阶希尔伯特行列式(Hilbert determinant)，其有甚快趋零的值。举例来说， $H_1=\frac{{\left[0\right]!}^3}{1!}=\left|1\right|=1,H_2=\frac{{[0!1!]}^3}{2!3!}=\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1/3\end{array}\right]=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12},H_3=\frac{{[0!1!2!]}^3}{3!4!5!}=\left[\begin{array}{ccc}1& 1/2& 1/3\\ 1/2& 1/3& 1/4\\ 1/3& 1/4& 1/5\end{array}\right]$ 其中 $\left[\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& \frac{1}{5}\end{array}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\end{array}\right]-\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\end{array}\right]+\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\end{array}\right]=\frac{1}{3}\frac{1}{72}-\frac{1}{4}\frac{1}{12}+\frac{1}{5}\frac{1}{12}=\frac{1}{216}-\frac{1}{240}=\frac{1}{2160}$ 此点提示该标准方程式系统是条件病态的，因而在最小平方多项式的次数N甚大时难以求解。正交多项式集合行为是较良性的。

举例来说，如图22所示，可将二次多项式(二次式) $P_2=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2=\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 适配(在最小平方的意义下)于M＝7个数据点(-3，4)、(-2，2)、(-1，3)、(0，0)、(1，-1)、(2，-2)及(3，-5)。残差量ε_i，i＝1，2，...，7，概要地例示于图22中。该三个参数a₀、a₁及a₂的三个标准方程式为 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=T_j,$ j＝0，1，2，在此分别有 $\underset{i=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^{k+j}{\≡S}_{k+j}$ 及 $\underset{i=0}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x_i}^j\mathrm{yi}{\≡T}_j.$ 于是给出 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_k=0_j,$ $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+1}=T_1$ 及 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+2}=T_2,$ 此处 $S_0=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^0=7;S_1=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=(-3-2-1+1+2+3)=0;S_2=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2=(9+4+1+1+4+9)=28;$ $S_3=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^3=(-27-8-1+0+1+8+27)=0;S_4=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^4(81+16+1+0+1+16+81)=196;$ $T_0=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i=(4+2+3+0-1-2-5)=1;T_1=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i=(-12-4-3+0-1-4-15)=-39;$ 及 $T_2=\underset{i=1}{\overset{7}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2{y}_i=(36+8+3+0-1-8-45)=-7,.$ 所以，标准方程式分别变成为 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_k=T_0=1={7a}_0+{0a}_1+{28a}_2={7a}_0+{28a}_2,\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+1}=T_1=-39={0a}_0+{28a}_1+{0a}_2,$ 及 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+2}=T_2=-7={28a}_0+{0a}_1+{196a}_2={28a}_0+{196a}_2;$ 其意味着-14＝-21a₀(将第一个标准方程式乘以7再从第三个标准方程式减去)，28a₁＝-39(来自第二个标准方程式)，及-11＝84a₂(将第一个标准方程式乘以4再从第三个标准方程式减去)，而分别给出a₀＝2/3，a₁＝-39/28及a₂＝-11/84，所以在最小平方的意义下做最佳适配的二次多项式(二次式)为 $P_2\left(x\right)=\frac{2}{3}-\frac{39}{28}x-\frac{11}{84}{x}^2=\frac{1}{84}(56-117x-11x^2),$ 如图22所示。

例如图23所示，可将二次多项式(二次式) $P_2\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2=\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{x}^k$ 适配(在最小平方的意义下)于M＝6个数据点(0，4)、(1，7)、(2，10)、(3，13)、(4，16)及(5，19)。残差量ε_i，i＝1，2，...，6，概要地例示于图23中。该三个参数a₀、a₁及a₂的三个简正方程式为 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+j}=T_j,$ j＝0，1，2，在此分别有 $\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^j{y}_i\≡T_j$ 及 $\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{k+j}\≡S_{k+j}.$ 于是就给出了 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_k=T_0$ ， $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+1}=T_1,$ 及 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+2}=T_2,$ 于是此处就有 $S_0=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^0=6;S_1=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i=(0+1+2+3+4+5)=15;S_2=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2=(1+4+9+16+25)=55;$ $S_3=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^3=(0+1+8+27+64+125)=225;S_4=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^4=(0+1+16+81+256+625)=979;$ $T_0=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{y}_i=(4+7+10+13+16+19)=69;T_1=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i=(0+7+20+39+64+95)=225$ ，及 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+2}=T_2=895=55a_0+{225a}_1+{979a}_2,$ 。故标准方程式分别成为 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_k=T_0=69={6a}_0+15a_1+{55a}_2,$ $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+1}=T_1=225={15a}_0+{55a}_1+{225a}_2,$ 及 $T_2=\underset{i=1}{\overset{6}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2{y}_i=(0+7+40+117+256+475)=895;$ 其意味着-210＝-70a₁-350a₂(将第二个标准方程式乘以4再从乘以10的第一个标准方程式减去)，及210＝70a₁+66a₂(将第二个标准方程式乘以11再从乘以3的第三个标准方程式减去)。无论如何，将前此的二个结果一起相加，即示出0＝a₂。而且，3＝a₁。于是，用3＝a₁及0＝a₂此一事实，标准方程式即分别成为 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_k=T_0=69={6a}_0+45,$ $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+1}=T_1=225={15a}_0+165,$ 及 $\underset{k=0}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k+2}=T_2=895={55a}_0+675$ ；其全都意味着，4＝a₀。换句话说，a₀＝4，a₁＝3且a₂＝0，所以在最小平方的意义下做最佳适配的二次多项式(二次式)为P₂(x)＝4+3x+0x²＝4+3x，其实即为一直线，如图23所示。在此情形中，残差量ε_i，i＝1，2，...，6，全都等同地消失为零，如图23所概要例示者。

在各个不同的其它替代例示实施例中，可收集M个数据点(x_i，y_i)的样本，在此i＝1，2，...，M；可取线性独立的N+1个函数f_j(x)集，j＝0，1，2，...，N， $y\left(x\right)=a_0{f}_0\left(x\right)+a_1{f}_1\left(x\right)+\·\·\·+a_j{f}_j\left(x\right)+\·\·\·+a_N{f}_N\left(x\right)=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x\right),$ 来适配(在非多项式最小平方的意义下)于该M个数据点(x_i，y_i)。举例来说，于处理步骤期间，可取有关的100个时间数据点(M＝100)，使高温计轨迹读数p、灯功率轨迹读数f和/或管温轨迹读数T，与该处理步骤所现出的工件的有效成品率t取得关系，而导致M个数据点组(p_i，t_i)、(f_i，t_i)和/或(T_i，t_i)。其值可为处理工具变量和/或处理参数的实际测量值，或为实际测量值的比(相对于各别的参考设定点而归一化)，或为这样的比的对数。在某一个例示实施例中，该线性独立的基底函数f_j(x)集的数目N+1，其至少十倍小于M。

函数F(a₀，a₁，...，a_N)可最小化如下。函数F(a₀，a₁，...，a_N)由下式所给出， $F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{[y\left(x_i\right)-y_i]}^2$ ，且设F(a₀，a₁，...，a_N)关于a_j，j＝0，1，...，N，的偏导数等于零，因f_j(x_i)表示式 $y\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)$ 中a_i的系数，于是给出了 $\frac{\∂F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)}{\∂a_j}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i[y\left(x_i\right)-y_i]x_i^j=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)-y_i]f_i\left(x_i\right)=0,$ j＝0，1，...，N。经简化，则给出 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right]f_j\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\left[\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right)\right]\≡\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(x_i\right)y_i\≡T_j,$ ，j＝0，1，...，N，在此分别有 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_j\right)\≡S_{k,j}$ 及 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(x_i\right)y_i\≡T_j,$ 该N+1个未知参数a_k，k＝0，1，...，N，的N+1个方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=T_j$ ，j＝0，1，...，N，也通称为标准方程式；在该等标准方程式的行列式不为零的限制条件下，其解立得。为阐示此点，可示出：齐次方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=0$ 仅有明显解a_k＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。将第j个齐次方程式乘以a_j，再对于所有的j求其总和： $\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right)\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x_i\right)\right),$ 而 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right)\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x_i\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\left(y\left(x_i\right)\right)}^2=0,$ 此意味着y(xi)≡0，由是则a_k＝0，k＝0，1，...，N，即明显解。因而，该等标准方程式的行列式不为零，可解而求得N+1个参数a_k，k＝0，1，...，N，即非多项式最小平方表示法 $y\left(x\right)=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x\right)$ 的系数；此多项式可适配于该M个数据点(x_i，y_i)，而用线性独立的N+1个函数f_j(x)集做为非多项式最小平方表示法 $y\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)$ 的基底。

如果并非所有的M个数据点(x_i，y_i)都具有相等的可靠度，则可能要用非零的加权因子w_i对数据加权。函数F(a₀，a₁，...，a_N)可最小化如下。函数F(a₀，a₁，...，a_N)由下式给出， $F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{\mathrm{\ϵ}}_i^2=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{[y\left(x_i\right)-y_i]}^2$ ，且设F(a₀，a₁，...，a_N)关于a_j，j＝0，1，...，N，的偏导数等于零，因f_j(x_i)表示式 $y\left(x\right)=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x\right)$ 中a_j的系数，于是给出 $\frac{\∂F(a_0,a_1,\·\·\·,a_N)}{\∂a_j}=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i[y\left(x_i\right)-y_i]x_i^j=2\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)-y_i]f_j\left(x_i\right)=0,$ ，j＝0，1，...，N。经简化，则给出 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i\left[\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right]f_j\left(x_i\right)=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\left[\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right)\right]=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_j\left(x_i\right){\stackrel{.}{y}}_i$ ，或 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\left[\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right)\right]=\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_j\left(x_i\right)y_i{\≡T}_j,$ j＝0，1，...，N，在此分别有 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right){\≡S}_{k,j}$ 及 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_j\left(x_i\right)y_i{\≡T}_j,$ 。该N+1个未知参数a_k，k＝0，1，...，N，的N+1个方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{s}_{k,j}=T_j,,$ j＝0，1，...，N，也通称为标准方程式，而含非零的加权因子w_i；在该等标准方程式的行列式不为零的限制条件下，其解立得。为阐示此点，可示出：齐次方程式 $\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=0$ 仅有明显解a_k＝0，k＝0，1，...，N；示出如下。将第j个齐次方程式乘以a_j，再对于所有的j求其总和： $\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{S}_{k,j}=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{f}_k\left(x_i\right)f_j\left(x_i\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i\left(\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right)\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x_i\right)\right)$ ，而且 $\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i\left(\underset{k=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k{f}_k\left(x_i\right)\right)\left(\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x_i\right)\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{w}_i{\left(y\left(x_i\right)\right)}^2=0$ ；这意味着y(x_i)≡0，由是则a_k＝0，k＝0，1，...，N，即明显解。因而，该等标准方程式(含非零的加权因子w_i)的行列式不为零，可解而求得N+1个参数a_k，k＝0，1，...，N，即非多项式最小平方表示法 $y\left(x\right)=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x\right)$ 的系数；此多项式可适配于该M个数据点(x_i，y_i)，而用线性独立的N+1个函数f_j(x)集做为非多项式最小平方表示法 $y\left(x\right)=\underset{j=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{a}_j{f}_j\left(x\right)$ 的基底，且含非零的加权因子w_i。

在自适应控制策略之中，依据本发明各个不同的例示实施例，随同控制器运行线上的系统识别方案，恒常地调整模型，以使模型仿效系统的真正行为。此情况下的一个困难的任务，即是确定：在输出中所观测到的误差是由于工具差异计入下的误差，抑或是产品差异计入下的误差。以下讨论将廓画一方案，用以决定哪些模型参数有误差，并用以施行正确的模型更新。

我们以简单的行程至行程控制器开始单一个工艺，并扩充至多产品及工具的情形。我们将对线性工艺模型做标准的可观测性测试，供例示之用。

做为一例，考虑简单的蚀刻或研磨工艺，目标是要在每一行程上达到所要的去除量。此工艺的简化的模型为 x＝ r· t，式中 x表示厚度去除量， r为时间平均速率，而 t为处理时间。

在取自适应控制形式时，用线上系统识别，来随行程调整速率估计。为简化且易于分析，在此将该模型线性化，并转换成状态空间表示法。如果模型在标称(nominal)速率r₀及时间t₀附近线性化，则距标称去除量y₀偏差y的方程式为

y＝r₀·t+r·t₀，                       (1)

式中t及r分别表示距标称时间及速率偏差。然后，将模型转换成状态空间表示法，

x_k+1＝Ax_k+Bu_k，                        (2a)

y_k＝Cx_k，                                (2b)

式中x为状态向量，y为测量的输出向量，而u为输入向量。A及B矩阵表达，状态及输入如何影响状态的特征值。C矩阵将目前的状态值映像成现实测量的输出。在目前示例中， ${\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\end{array}\right]}_{k+1}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\end{array}\right]}_k+\left[\begin{array}{c}{r}_0\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}t\end{array}\right]---\left(3a\right)$ $\left[y\right]=\left[\begin{array}{cc}1& t_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\end{array}\right],---\left(3b\right)$

该状态向量x包含x_adj(即时间调整所引起的去除量改变)，及r(即距标称速率r₀偏差)。该测量向量y仅包含y(即距标称去除量偏差)，而该输入向量u仅包含t(即距标称时间t₀偏差)。

此模型足供单一个工艺控制之用。该单一个速率估计假设适用于每一行程，且其调整系在每一测量之后。然而，在大量制造的环境中，因有多个工具及产品而另增复杂性。在此工作中，每一产品工具组合通称为背景(context)。控制目标是要每一行程皆在目标值，不论运行中的是哪一产品工具组合。有一简单的途径，是假设该组状态适用于一切处理背景。在具有若干背景的环境下，此方法的缺陷在于，每一工艺所联合的速率能彻底有异于彼此。此情形发生时，每一至新背景的切换显现为对控制器的步进扰动，如图24所示；这是因为控制器并不了解该速率为何会有此太大的改变。

举例来说，在许多应用中，很快地都观测到，不同的产品将有极不相同的视在反应速率(apparent reaction rates)。然而，速率能随批次漂移，甚至在仅制造一个产品时漂移。此点能由反应器垢化、耗材退化、工艺泄漏，及类似情形而引发。因为至不同产品的每一切换显现为步进改变，单随行程而追踪对r的估计是不可接受的，如下所示。如图24所示，自批次6直到15，运行次一产品，而反应器垢化致使速率在仿真全程中不断地衰减。

另一易于实施的例示方法，是将具有类似背景的行程一同群集，为了使彼等分享参数估计。在如此方法中，无需彼此分离地识别产品及工具偏移。每一组合皆单有自己的速率估计，且仅基于此背景下的行程所出的测量，来更新此估计。然而，此方法有其缺陷：以实例来说，要认知一个工具所受到的扰动，须凭借此工具使用所在的每一背景。在大系统中，此点将是不利的，因为在不同的背景更新其参数估计的际，将会有庞大数目的行程错失其目标值。此信息应立即或快速地让该扰动影响所及的一切背景之间来分享。

有若干情形，能制定偏移由处理背景的不同部份所引起。其一例为：工具至工具的变化可重复，而不管运行中的产品；且产品至产品的变化一致，纵然是在不同的工具上运行。为利用此观测到的优点，可对模型加上额外的项。对于CMP工艺来说，对不同的产品缩放其速率是有意义的。此率因去除速率大大地依赖于接处表面的特性，且因不同的产品将有不同的图案密度。所以，在此所用的去除量的方程式为 x＝ r· f· t，式中 x表示去除量， r为工具的时间平均速率常数， f为产品所规定的速率缩放因子，而 t为处理时间。此关系类似于说明研磨工艺的普利斯敦方程式(Preston’s equation) $\frac{\mathrm{\Δx}}{\mathrm{\Δt}}=\frac{K_p{F}_v}{A}---\left(4\right)$

式中Δx为去除量，Δt为处理时间，K_p为速率常数，v为表面速度，F为施力，而A为接触表面积。

在标称r₀、f₀及t₀附近线性化，此时距标称去除量偏差y的方程式成为

y＝r₀·f₀·t+r·f₀·t₀+r₀·f·t₀，     (5)

式中t、r及f分别表示距标称时间、工具速率常数及产品缩放因子偏差。以下的状态空间表示法包括二个做为状态的模型参数估计。 ${\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\\ f\end{array}\right]}_{k+1}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\\ f\end{array}\right]}_k+\left[\begin{array}{c}{r}_0\·f_0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\left[t\right]---\left(6a\right)$ $\left[y\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& f_0{\·t}_0& r_0\·t_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r\\ f\end{array}\right].---\left(6b\right)$

所以能唯一地识别，所呈现的方程式是否为该二个模型参数r及f。关于一时间不变的线性系统，像是这一个，其可观测性格拉米安(observability Gramian)的非奇异性测试，能由下式的秩计算来施行：

O＝[C^TA^TC^T(A^T)²C^TL]                    (7)

式中系依尝试获致满秩(full rank)的所需，而在矩阵中包含尽可能多的项。对于以上系统来说， $O=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ f_0\·t_0& f_0{\·t}_0& f_0\·\\ r_0\·t_0& r_0\·t_0& r_0{\·t}_0\end{array}{t}_0\right].---\left(8\right)$

此矩阵并非全秩，故系统依目前定义是不可观测的。因此不可能仅使用来自单一个背景的行程数据来唯一地识别模型参数。

此为直观的结果——为能识别产品至产品及工具至工具的相依性，模型包含一切不同的处理背景是有益的。不同产品的有关信息应让工具间分享，反之亦然。此则必须整个地审视全体的工艺收集，而非一次专注于一个个别的背景。

考虑有二个工具(1及2)及三个产品(A、B及C)的假想的工艺。彼等能以任何产品/工具组合而做运行。使用以上的线性化形式，并假设一切组合都有单一个“标称”点，则关于每一背景的距标称去除量偏差能以下列诸式来说明：

y_1A＝r₀·f₀·t+r₁·f₀·t₀+r₀·f_A·t₀         (9a)

y_1B＝r₀·f₀·t+r₁·f₀·t₀+r₀·f_B·t₀         (9b)

y_1C＝r₀·f₀·t+r₁·f₀·t₀+r₀·f_C·t₀    (9c)

y_2A＝r₀·f₀·t+r₂·f₀·t₀+r₀·f_A·t₀    (9d)

y_2B＝r₀·f₀·t+r₂·f₀·t₀+r₀·f_B·t₀    (9e)

y_2C＝r₀·f₀·t+r₂·f₀·t₀+r₀·f_C·t₀    (9f)

这一整体系统能组合成单一个状态空间模型 ${\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r_1\\ r_2\\ f_A\\ f_B\\ f_C\end{array}\right]}_{-k+1}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r_1\\ r_2\\ f_A\\ f_B\\ f_C\end{array}\right]}_k\left[\begin{array}{c}{r}_0{\·r}_0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\left[t\right]---\left(10a\right)$ $\left[\begin{array}{c}{y}_{1A}\\ y_{1B}\\ y_{1C}\\ y_{2A}\\ y_{2B}\\ y_{2C}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& f_0\·t_0& 0& r_0\·t_0& 0& 0\\ 1& f_0\·t_0& 0& 0& r_0{\·t}_0& 0\\ 1& f_0\·t_0& 0& 0& 0& r_0\·t_0\\ 1& 0& f_0\·t_0& r_0\·t_0& 0& 0\\ 1& 0& f_0\·t_0& 0& r_0\·t_0& 0\\ 1& 0& f_0\·t_0& 0& 0& r_0{\·t}_0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{adj}}\\ r_1\\ r_2\\ f_A\\ f_B\\ f_C\end{array}\right],---\left(10b\right)$

式中状态由调整量(x_adj)、工具偏移(r₁及r₂)及产品偏移(f_A、f_B及f_C)所组成。此模型属假想的情况，其中一切产品/工具组合均以相同的输入设定同时运行。虽然在实际上这种情几乎况绝不会发生，但其对于理解不同的处理背景间的交互作用来说却是有用的。举例来说，该单一一个f_A产品因子显然是用于产品A的所有工艺，而与处理工具无关。

可观测性测试计算如下， $O=\left[\begin{array}{cccccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ f_0\·t_0& f_0\·t_0& f_0\·t_0& 0& 0& 0& f_0\·t_0& f_0\·t_0& f_0{\·t}_0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& f_0\·t_0& f_0\·t_0& f_0\·t_0& 0& 0& 0& f_0\·t_0& f_0{\·t}_0& f_0{\·t}_0\\ r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0{\·t}_0& 0& 0& r_0{\·t}_0& 0& 0\\ 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0\\ 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0\·t_0& 0& 0& r_0{\·t}_0\end{array}\right]----\left(11\right)$

其秩不满于一，故该系统以其目前形式是不可观测的。在此，方程式(7)的矩阵中仅前二项为充份。其原因在于，所有的行程部卷缠了产品偏移以及工具偏移。需要另加的约束条件，来固定某一个或另一个变量。例如，或许可能对工具做合格限定而实验性地测量工具参数。于是将另有额外的系统输出y₁＝r₁及y₂＝r₂。

当这样的实验并非可选方案时，也可能简单地选择有标称偏压的参考工具或产品。这种方法的一个缺点是：在总是变化的制造环境中，或许难以识别参考工具或产品。

如果对以上的范例系统另加做合格性实验，则该组合系统的新的输出方程式为

此新系统的可观测性矩阵

为满秩，故此系统是可观测的。在此，方程式(7)的矩阵中又是仅前二项充份。然而，系统在此依然处于能同时发生一切可能行程的稀有情况下。实际上，则是一次发生一个行程。有可能确定一适当方式，用以在每一行程后更新模型状态。

在结构上，本系统与真实系统相同，其中不同的测量以不同的频率取样。在近来的文献中，对这一多速率(multirate)取样问题已作了论述。使用这样的系统，在有不同的测量组合可用时，可观测性随时间改变。但是，隐含的根本要求为：在每一时间步长(time step)下完成一切可能测量的限制情形中，系统是可观测的。

此刻，可使用一模型，其对应于具有类似真实系统的动态特性的假想系统。下一步骤则是规定一控制法则，以及能将真实工艺映射到模型空间的观测器。

控制目标是要将每一行程驱动至目标值，而无论其处理背景。这通过使用非周期(dead-beat)控制法则而对模型状态做目前最佳的猜测而完成。一特定的处理背景由输出矩阵C中的单一个行来表示。举例来说，关于工具2上所运行的产品B，其距标称去除量偏差由方程式(9e)给出，方程式(9e)对应于输出矩阵的第5行。为记法方便性，对应于目前背景的输出矩阵行将表示为C_con。于是，所要的输入u_des满足

y_con，des＝C_con(Ax+Bu_des)                    (14)

式中y_con，des为关于此处理背景的距标称去除量偏差。求解输入u_des，得出

u＝(C_conB)^-1(y_con，des-C_conAx)               (15)

在给定了模型参数的目前估计时，此方程式给出任何处理背景的输入。

观测器必须将真实工艺的测量映射到模型，为了使状态能做更新。该观测器的设计不如控制法则般简单。一般来说原因在于，由工艺行程所做的单一个测量卷缠了产品偏移以及工具偏移。预测误差应分布于参数更新之间。来自每一测量的新信息必须合并进现存的信息中。

有一个达成此点的简单方式，是想象：输出向量y的不同的元素为个别的传感器而依然固定在其前此的值，直到为新的测量所改变。此途径的利益在于，可计入系统整体，从而设计习知的状态观测器。观测器增益矩阵L能经选取而使得 ${\hat{x}}_{k+1}=A{\hat{x}}_k+{\mathrm{Bu}}_k+L(y_k-C{\hat{y}}_k)---\left(16\right)$

观测器矩阵将测量的与预测的输出两者的差映射成对状态估计的改变。然而，主要缺陷在于，使通过的输出留在其最后的数值上。在输入改变时，这些输出实际上不再有效，因其往后就不表示工艺的目前状态。如果测量目前进行的，则测量将响应新的输入而变化。

在留给不活动的输出常数的谱系的相对端，一切不以时步测量的输出，均可设定为根据目前状态估计所预测的值。在状态完成更新时，本方法使得所有的旧的测量值均被忽略。

运行一Matlab^TM仿真程序，以例示全厂性模型的概念。第一仿真程序全都在上例中所规定的条件下运行。在此例中，有二个处理工具及三个产品。当时，有工具合格事件可取用，来直接测量该等由工具所规定的模型参数。状态估计器(estimater)的起始点，系假设一切工具及产品以标称值匹配。控制目标是要保持一切不同的工具产品组合以标称去除量y₀运行。

关于这些测试，应注意一件重要的事情：这些测试始自一起始点，在此点控制器不知道本系统，而必须立刻识别所有的产品及工具。对于控制器来说，能做到此点是重要的，而在正常的稳态(steady-state)操作下的工具及产品偏移将相当准确地为控制器所知，且扰动将仅影响工艺的子集合。为此理由，此等测试大多是在控制器已稳定了工艺之后对系统注入扰动，以便了解控制器对孤立的扰动如何反应。

第一仿真通过例示最佳可能的情况，从而建立一基线。这就是先前所提及的假想情况，其中一切可能的行程都在每一时步下同时发生，为了使所有的测量能用来更新这些状态估计。在仿真期间，对工艺输出加上了白噪声；在行程30(也称为时步30)，对工具2加上了步进扰动。图25包含该测试的结果。图25概要地例示，在此假想的最佳情形情节中的距目标值百分比偏差。在此假想的情形下，控制器能快速到达目标值且拒绝扰动。

这一测试的最重要结果为：在控制器有最大量的可用信息情形下，系统整体上实施良好。所有其它的测试将处理更现实的情况，其中控制器仅有此信息的子集合。对于控制器是否能以该减小了的信息集合工作，接续的行程将试图例示一些重要的确定因素。

在所测试的下一种情况中，一次仅发生一个行程，且输出保持于其最后数值上直到更新为止。为了测试的目的，在每一行程，或则运行随机的产品于随机的工具上，或则登录合格事件。所有的八种可能情况(六个产品背景及二个合格事件)在每一行程有相等的发生可能性。如先前所述，这种情况引起了一些问题，因为在改变输入而提供有用信息时，必须改变输出。在此测试中，输入在每一行程上皆改变，但每次仅有一个输出更新。如此，供反馈用的输出并不表示工艺的真正状态。图26标出此实验的结果。图26概要地例示了在此“固定输出”情形下的距目标值百分比偏差。

这一配置并未能很好地控制工艺。输出向量中所含的状态信息负面影响了状态观测器，因为测量并不显现对输入改变的响应。这致使控制器尝试对其重复补偿，从而导致不稳定性。

所测试的下一仿真情形，使用状态的目前模型估计，而估计错失的测量值。结果，每一状态的更新仅包含测量中的行程所出的信息。测试条件类似于先前的仿真，而对行程做随机选择。然而，在行程(或时步)80，对工具2上的速率却注入一步进扰动。在图27中，能看到这些测试结果。图27概要地例示，在此“预测的输出”情形下的距目标值百分比偏差。此方案达到了目标值，且成功地拒绝扰动。然而，较之于工艺的一切有关信息都经测量的情况，该响应非常迟缓。

图28所描绘的测试，相同于先前的控制器，但应用一组不同的法则而生成行程顺序。图28概要地例示出，在此“预测的输出”有额外合格性的情形下的距目标值百分比偏差。对工具以二倍于先前情形较常地做合格限定，以确定控制器所受的影响。在此测试中，系统更快地平衡，且比先前情形更利于拒绝扰动。

为测试系统的可缩放性，前此的测试使用了6个工具及7个产品。图29概要地例示，在此大尺度系统情形下的距目标值百分比偏差。该系统在控制下开始，且须处理多个扰动。在行程(或时步)50，对工具1加上步进扰动；在行程(或时步)150，产品6有步进扰动。图29中的结果表明，控制器经历极少数行程即成功地拒绝扰动。

此点是重要的，因其表明了计入整个系统时的模型的威力。以实例来说，在产品A正于工具1上运行之际，将能检测该工具上的偏移。在此情形下，对r₁以及f_A的估计都将稍做调整。任何产品在工具1上的下一行程仍将展现该偏移(虽然其程度较小)；且r₁的估计甚至将调整得更近于新的校正值。产品A在任何工具上的次一行程将朝向该校正值，往回移动f_A的估计。

在这种配置中，每一状态估计的更新仅使用目前行程的测量所出的信息。既然忽略一切较旧的信息，重要的是使观测器受到确实抑制。定性示例是有指导意义的。如果产品A在工具1上的行程有高于预测的去除量，则r₁及f_A的估计其一或两者会太低。为了正确地更新状态，必须审视产品A在不同工具上的其它行程的结果或其它产品在工具1上的行程的结果。然而，所选的更新策略仅容许基于目前行程的结果来做更新。令观测器自每一行程仅做小改变，于是状态将至少朝正确的方向移动，且所有的行程将一同使状态估计移动至正确值。显然，这一问题的理想解决方案是试图在进行状态估计时，结合尽可能多的来自旧测量值的信息与这些新值。

鉴于大尺寸半导体制造中的多处理背景，出现了一些有趣的控制上的挑战。为检查整个处理环境而开发了控制及估计方案，从而控制器一次即看到整体，而不是仅专注于个别的背景。在这些条件之下所运行的仿真显示，这种概念确有优点。假定信息足够，则一全厂性的控制器能操纵整个由一切不同的工艺所组合成的系统。

有若干因素影响控制器的性能。其有赖于所能获取的最多工艺信息。对每一行程上不做测量的系统输出应如何处理，相关的决策对该性能有极大的影响。还有，在数据能得自混合在生产行程中的合格事件时，控制响应就得到改良。因此等因素，对重要的模型参数提供直接的测量。

此系统的一个有趣特征是：每当工具或产品有所增减，模型必须重建。这是因为模型将整个系统立刻计入之故。虽然这看来像是一缺陷，实际上却对非直观可见的工艺提供了洞察。既然每次系统改变时，观测器必须基于整个系统而重建，则反馈的性质依赖于工具和产品的分配。这意味着，在一个处理背景上检测到的误差应得到不同的处理，视整个系统中的其它背景而定。

将系统视为整体时，在系统各个不同的部份之间显然有大量的分享数据。既然控制器的性能依赖于所能提取的信息的品质，则对处理次序及取样计划，密切检查其效果将是有益的。足够先进的控制器将能基于其所将提供的系统状态信息，而使一定的行程及测量优先化。与此密切相关的，则是由事件所驱动而基于模型的控制概念。工艺的状态(包括模型参数估计)受一系列分立建模的事件所影响，而不是将工艺视为一连续体。

在各个不同的例示实施例中，可开发无关于产品的工具状态(x)模型。此工具状态是工具的本质速率。此速率的改变影响工具上所运行的一切产品。

x_k+1＝A_kx_k+B_ku_k

工艺状态(x)通过输出方程式：

y_k+1＝C_kx_k+D_k

而映射成为产品状态(y)。

然后，用估计器来追踪工具状态(x)，而非产品状态(y)。卡门(Kalman)最佳过滤方程式检验指示，最佳观测器增益为输出映射(C)的函数。

P＝A_k[P-PC_k ^T(C_kPC_k ^T+R)^-1C_kP]A_k ^T+GQG^T

L＝PC_k ^T(C_kPC_k ^T+R)^-1所以，使用离线分析，该可重复的产品相依性就能够定量化，而得到新的模型速率r如下，式中r₀为处理工具的“本质速率”，而k_p为产品所规定的校正因子：

r＝r₀·k_p

然后观测器通过每一由产品特定的因子，来调节所观测的速率，对r₀而非r做估计。

在确知由产品所特定的因子的情况下，以上所说明的方案非常有效。无论运行中的产品为何，都对处理工具操作的改变加以观测。然而，在真实的制造环境中会有若干复杂情况发生。举例来说，会有若干处理工具在新的产品出现，以原始材料以及处理工具停机时间来说，其实验会甚为昂贵。此处的影响为：对产品所特定的因子，并不总能事先知道。

以上方法系观测单一个参数(r₀)；但有必要找出快速获得新k_p估计的方式。这通过观测每一行程上的速率而据以更新模型参数即可实现。每一行程的结果系对视在速率r的测量。为由该数据(r)来估计r₀及k_p，使用模型方程式：

r＝r₀·k_p

使用泰勒级数(Taylor series)近似，则Δr＝r₀·Δk_p+k_p·Δr₀。

这里的意思是，r值的视在改变能表达为r₀及k_p估计的改变。所以，有必要将这些改变分类(使用变量分析技术)，以确定如何在该二参数间分布误差。

使用此估计器的一个方法，是对每一参数应用线性过滤器。 $r_{0,\mathrm{new}}=(\frac{r_{\mathrm{apparent}}}{k_{p,\mathrm{last}}}-r_{0,\mathrm{last}}){\mathrm{\λ}}_r+r_{0,\mathrm{last}},$ $k_{p,\mathrm{new}}=(\frac{r_{\mathrm{apparent}}}{r_{0,\mathrm{last}}}-k_{p,\mathrm{last}}){\mathrm{\λ}}_k+k_{p,\mathrm{last}}.$

可变化这些λ值，从而反映对参数估计的信赖。在预期r₀改变的情况下，λ_r为高，且在认为k_p有误差的情况下，λ_k为高。

例如，对于完备建立的产品，高度信赖其k_p是准确的。此外，已知r₀随时间而漂移。如此，则使用到关系λ_r＞＞λ_k。另一方面，关于新的产品，其k_p值很少受信赖。不准确的k_p预期将大于噪声及r₀的漂移而影响速率，故设λ_k＞＞λ_r。

Matlab^TM仿真程序示出，此方案对工艺的追踪甚佳。该仿真通过以下方式运行。事先选取处理工具数目(n)、产品数目(m)及行程数目(p)。对每一产品，皆给独一的“真实”k_p值；对每一工具，均给出唯一的r₀值。对于每一行程，选取随机的工具及产品。将正确的r₀与k_p相乘并加上随机的噪声，借以算出测量。然后，加偏移至所选工具的r₀，以便随时间而仿真其漂移。在如上所说明的每一行程之后更新参数估计。在所有情形下，这些估计都很快即追踪到真实的参数值。

有趣的是注意到：比起在一定工具上(工具专属性)运用给定产品的长串行程来说，随机地选取产品及工具使得收敛较快。工具为专用时，难以在二个参数之间适当地指定速率估计的误差。这似乎有关于系统识别理论中的持续激励(excitation)要求；但传统上认为工具专用性使工艺控制较为容易，故这是一有趣的结果。对于本工艺，最好的控制器将能处理同时识别和控制的双重控制问题。工艺选取涉及：在紧密追踪目标值与协助表征该工艺之间，求得两者的平衡，因这二个目标彼此冲突。

在有关研磨和/或蚀刻的在各个不同的例示实施例中，例如参见图30，提供一例示的制造系统3010的简化方框图。在该例示的实施例中，制造系统3010经自适应，来制造半导体组件。虽然本发明系就其在半导体制造设施中可实施的情形而做说明，但本发明并不受此限而可适用于其它的制造环境。网络3020将制造系统3010各个不同的组件互连，使其得以交换信息。该例示制造系统3010包含多个工具3030至3080。工具3030至3080每一个皆可耦合于用来与网络3020相介的计算机(未示出)。

工艺控制服务器3090通过指导工艺流程，而指导制造系统3010的高阶操作。工艺控制服务器3090监视制造系统3010中各个不同的实物(含工具3030至3080)的状况。数据库服务器30100，则提供来储存工艺流程中各个不同的制造实物及物品(如圆片)状况的有关数据。数据库服务器30100可将信息储存于一个或多个数据存储器30110中。数据可包括预处理及后处理度量数据、工具状态、工艺流程活动(如，调度的保养事件、对于数批圆片的处理路由)，及类似数据。一般来说，在不同的计算机之间分配处理及数据储存功能，来提供独立性及中央信息存储器。当然，也可以使用更多或更少的计算机。

适合使用于制造系统3010中的例举的信息交换及工艺控制机架，即是“先进工艺控制”(APC)机架，其例如可用KLA-Tencor公司所提供的“催化剂”系统来加以实施。该“催化剂”系统使用“半导体设备及材料国际组织”(SEMI)“计算机合成制造”(CIM)机架的符合系统技术，且系基于先进工艺控制(APC)机架。CIM(SEMIE81-0699——“用于CIM机架领域架构的临时规格”)及APC(SEMIE93-0999——“对于CIM机架先进工艺控制组件的临时规格”)规格，可自SEMI公开取得。

本发明及所对应的详细说明，有部份表示为软件，或计算机内存内的数据位上的操作算法及符号表示法。这些说明及表示法使普通本领域技术人员能有效地传达其工作实质给其它普通本领域技术人员。在此所用的算法一词，如一般所用的，认为是导致所需结果的自洽的步骤顺序。这些步骤要求对物理量进行物理操作。通常(但非必要)，这些物理量取能够储存、转移、组合、比较、或者是操作的光、电或磁信号形式。已证实，以位、值、元素、符号、字符、项、数目，及类似形式来提及此等信号，有时是方便的，主要是为了通常用法的理由。

然而，应谨记，所有这些术语及类似的术语都对应于适当的物理量，且仅仅是应用于这些物理量的方便标记。除非另有规定载明，或是从讨论显见，否则本文中的用辞，诸如“处理”、“计算”、“算出”、“确定”、“显示”，及类似的辞在提及时，系指计算机系统或类似的电子计算组件的作用及工艺，其将数据(表示为该计算机系统的缓存器及内存内的物理的电子性的量)调处并变换成其它数据(类似地表示为该计算机系统内存或缓存器或其它这样的信息储存、传输或显示组件内的物理量)。

工具3030至3080经分组而成类似工具的组，类似工具以字母尾置来标志。一特定圆片或圆片批于制造当时，系经由工具3030至3080来进行，而工具3030至3080每一个皆施行工艺流程中的一特定功能。例举的处理工具3030至3080包括光刻步进机、蚀刻工具、沉积工具、研磨工具、快速热处理工具、离子注入工具、及类似工具。工具3030至3080也可有一些为度量衡工具，经自适应来测量处理中的圆片的特性(如，表面剖形〔profile〕)。在该例示的实施例中，工具组3030A至3030C表示蚀刻工具；而工具组3070A至3070C表示研磨工具。以典型来说，一特定圆片或圆片批通过工艺流程的路径会有所变化。工艺控制服务器3090为各个圆片批经由工艺流程而安排路径，根据必须施行的步骤及工具3030至3080的可取用性而定。一特定的圆片批在其生产中可通过同一工具3030至3080一次以上(如，可使用一特定的蚀刻工具3030来做一次以上的蚀刻操作)。

工具3030至3080以级别和档案分组，仅做例示之用。在现实的实施中，工具可以任何分组次序来安排。此外，在一特定组中，工具之间的连接仅意味着表示与网络3020的连接，而非工具之间的互连。

工艺控制服务器3090控制一特定圆片批经由工具3030至3080的路径。基于工艺数据，工艺控制服务器3090监视工具3030至3080的操作状态。工艺数据可包括：对经由工具3030至3080进行的圆片之前及后工艺测量。举例来说，如果一特定的研磨工具(如，3070A)正在一种偏好中心快速(center-fast)研磨的状态下操作，则工艺控制服务器3090会注意到此倾向。工艺控制服务器3090也可监视其它工具(诸如蚀刻工具3030)的操作状态，来确定该蚀刻工具的目前状态是偏好中心快速或是中心慢速(center-slow)蚀刻。

工艺控制服务器3090于必要时可初始化预处理和/或后处理度量事件，来确定工具3030至3080的操作状态。来自度量事件的数据可返回至工艺控制服务器3090(或网络3020上一些其它计算资源)，并受到分析。或者，工艺控制服务器3090可存取已经收集并储于数据库服务器30110中的工艺数据。例如，对于各个不同的工具，预处理及后处理度量数据可经收集而生成工艺控制和/或故障检测的统计数据。

工艺控制服务器3090确定一批圆片经过制造系统3010的工艺流程的特定路由，于其时评估工具3030至3080的目前的操作状态。举例来说，对一特定圆片批施行研磨程序之前，工艺控制服务器3090首先确定该批中的圆片的表面剖形(如，凹碟型及凸顶型)。工艺控制服务器3090可初始化度量衡事件，来确定该表面剖形或存取数据库服务器30110中的信息。确定该进入的表面剖形之后，工艺控制服务器3090评估工具3070A至3070C的目前的操作状态，而确定哪个(几个)工具有迎合进入的表面剖形来做研磨的倾向。如果该进入的表面剖形为凹碟型，则工艺控制服务器3090选择在中心慢速状态下操作的研磨工具3070A至3070C。类似地，如果进入的表面剖形为凸顶型，则工艺控制服务器3090选择在中心快速状态下操作的研磨工具3070A至3070C。

对蚀刻工艺，有类似的途径可应用。工艺控制服务器3090选择特定蚀刻工具3030A至3030C，以迎合于进入的表面剖形的状态来操作。如果该进入的表面剖形为凹碟型，工艺控制服务器3090选择在中心慢速状态下操作的蚀刻工具3030A至3030C。类似地，如果进入的表面剖形为凸顶型，则工艺控制服务器3090选择在中心快速状态下操作的蚀刻工具3030A至3030C。

以上所揭示的依据本发明方法的实施例，其任何一个皆能使用发送自测量工具的参数测量，来做监督处理调整，或为手动或为自动，以改良和/或较佳地控制成品率。而且，以上所揭示的依据本发明制造方法的实施例，有很多个系处理取样为“先进工艺控制”(APC)系统的动态控制环境的一合成部份，从而显著地改良取样计量。不应用静态“最佳”取样率，而将取样处理为基于下列条件而升高或下降的动态变量：(1)情况信息，诸如最近的数据变化中的改变量和/或改变率；(2)事件，诸如保养和/或操作的工艺上游中的改变；(3)及闭环行程至行程控制器在其控制模型参数识别方案中的需求。此外，以上所揭示的依据本发明制造方法的实施例，任何一个均能以提高的组件准确性及精确性、提高的效率及提高的成品率、流水线式及简化了的工艺流程，来从事半导体组件制造，从而减小复杂性并降低工艺的成本，且提高生产能力。

以上所揭示的特定实施例仅为例示，因本发明可通过获益于本文中的指导而为本领域技术人员所显而易见的不同但等效的方式，来进行修正或实行。而且，在所附权利要求之外，并无意受到本文中所示出的建构或设计细节的限制。因此，以上所揭示的特定实施例显然可做变更或修正，而一切这样的变化均应视为落在本发明的范围及精神之内。特别应了解，本文中所揭示的值范围(其形式为“自约a至约b”，或等效地“自大约a至b”，或等效地“自大约a-b”)，在提及时皆指各对应值范围的幂集合(所有子集的集合)——就康托(GeorgCantor)的定义来说。据此，本发明要求在所附权利要求中提出的保护。

Claims (10)

1.一种方法，包含：

在至少一个处理步骤(105)中，对工件上所施行的处理，取样(105)至少一个特性参数；

使用自适应取样处理模型(130)来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的合成部份；以及

应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

2.如权利要求1的方法，其中在该至少一个处理步骤(105)中，对该工件上所施行的处理，取样(110)至少一个特性参数，其包含：使用先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视(110)该至少一个特性参数。

3.如权利要求2的方法，其中使用该先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视(110)该至少一个特性参数，其包含：使用该先进工艺控制(APC)系统(120)，而于该至少一个处理步骤(105)期间，监视处理工具的至少一个工具变量(110)。

4.如权利要求1的方法，其中使用该自适应取样处理模型(130)，来模型化该至少一个取样的特性参数，其包含：使用自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有模型预测式控制(MPC)控制器和比例积分微分(PID)控制器的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数。

5.如权利要求4的方法，其中使用该自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有模型预测式控制控制器(MPC)和比例积分微分控制器(PID)的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数，其包含：使用该自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有闭环模型预测式控制(MPC)控制器和闭环比例积分微分控制器(PID)的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数。

6.如权利要求4的方法，其中应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理，其包含：微调(145，150)该至少一个微调参数，来改良(155)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

7.一种方法，包含：

在至少一个处理步骤(105)中，对工件上所施行的处理，取样(110)至少一个特性参数；

使用自适应取样处理模型(130)，来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的合成部份，其中该情况信息包含最近数据变化量和最近数据变化改变率的至少其中之一，该上游事件包含工艺上游中保养和工艺上游中改变的至少其中之一，该行程至行程控制器试图识别控制模型参数；以及

应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

8.如权利要求7的方法，其中在该至少一个处理步骤(105)中，对该工件上所施行的处理，取样至少一个特性参数，其包含：使用先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视(110)该至少一个特性参数；而且其中使用该先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视(110)该至少一个特性参数，包含：于该至少一个处理步骤(105)期间，使用该先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视快速热处理工具的至少一个工具变量(110)。

9.如权利要求7的方法，其中使用该自适应取样处理模型(130)，来模型化该至少一个取样的特性参数，其包含：使用自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有模型预测式控制(MPC)控制器和比例积分微分(PID)控制器的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数；其中使用该自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有模型预测式控制控制器和比例积分微分控制器的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数，其包含：使用该自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有闭环模型预测式控制(MPC)控制器和闭环比例积分微分(PID)控制器的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数；而且其中应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理，其包含：微调(145，150)该至少一个微调参数，来改良(155)该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

10.一种系统，包含：

工具，用来在至少一个处理步骤(105)中，对工件上所施行的处理，取样(110)至少一个特性参数；

计算机，使用自适应取样处理模型(130)来模型化该至少一个取样的特性参数，而基于情况信息、上游事件和行程至行程控制器要求的至少其中之一来变化取样，将取样处理为动态控制环境的合成部份；以及

控制器，应用该自适应取样处理模型(130)，来修正(135，155，160)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理，其中在该至少一个处理步骤(105)中，对该工件上所施行的处理，取样至少一个特性参数，所用的工具包含：监视器，其使用先进工艺控制(APC)系统(120)，来监视(110)该至少一个特性参数，其中该先进工艺控制(APC)系统(120)于该至少一个处理步骤(105)期间，监视至少一个处理工具的至少一个工具变量(110)；其中模型化至少一个取样的特性参数的计算机使用自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有模型预测式控制(MPC)控制器和比例积分微分(PID)控制器的至少其中之一，各该控制器有至少一个微调参数；其中该计算机使用该自适应取样处理模型(130)，该自适应取样处理模型(130)合成有至少一个闭环模型预测式控制(MPC)控制器和闭环比例积分微分(PID)控制器，各该控制器有至少一个微调参数；而且其中应用该自适应取样处理模型(130)来修正(135，155，160)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理的该控制器微调该至少一个微调参数，来改良(155)在该至少一个处理步骤(105)中所施行的处理。

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