CN111293941B - 一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，具体公开了一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法。本发明方法针对永磁同步电动机中存在的铁损和输入饱和问题，在传统反步法中引入了动态面技术来解决计算过程中的“计算复杂性”问题，同时使用模糊逻辑系统来逼近永磁同步电动机驱动系统中未知的非线性项；本发明方法采用有限时间控制技术加快了系统响应速度并减少了跟踪误差，本发明方法能够保证系统的跟踪误差收敛到原点的一个足够小的邻域内，从而提高了永磁同步电动机驱动系统的响应速度。本发明方法具有较好的鲁棒性，抗负载扰动能力较强，实现了理想的控制效果。

Description

一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法

技术领域

本发明属于永磁同步电动机位置跟踪控制技术领域，尤其涉及一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法。

背景技术

永磁同步电动机凭借其结构简单，体积小、效率高、功率因数高等优点，已经在工业、制造业等领域得到了广泛应用。但永磁同步电动机具有多变量、高度非线性和强耦合性等特点，因此如何克服上述控制难点实现对永磁同步电动机准确有效的控制具有重要意义。

目前，研究者们提出了许多关于非线性系统的控制方法，例如反步控制、直接转矩控制、哈密顿控制和滑模控制等。然而永磁同步电动机在实际运行中存在铁损和输入饱和问题。

铁损问题主要指当永磁同步电动机长期处于轻负载的工作状态时，系统将会产生大量的铁芯损耗，对整个控制系统产生不利的影响；而输入饱和问题主要指在工程系统中的执行器受到不平滑以及非线性条件的限制，会对系统的控制性能和控制系统的稳定性产生严重影响。因此在永磁同步电动机的位置控制过程中考虑铁损和输入饱和具有一定的实际意义。

另外，反步法已经被广泛应用到永磁同步电动机控制系统中，并取得了良好的控制效果。然而，传统反步法中存在因对虚拟控制变量进行反复求导容易产生“计算复杂性”问题；此外，传统反步法还要求永磁同步电动机驱动系统中的某些函数必须是线性的。

发明内容

本发明的目的在于提出一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，以解决铁损和输入饱和问题对系统带来的不利影响，保证对永磁同步电动机的跟踪控制效果。

本发明为了实现上述目的，采用如下技术方案：

一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，包括如下步骤：

a.建立d-q轴上考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，Θ表示转子角度，ω表示转子角速度，n_p表示磁对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，u_d表示d轴电压，u_q表示q轴电压，i_od表示d轴励磁电流分量，i_oq表示q轴励磁电流分量，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，L_ld表示d轴漏电感，L_lq表示q轴漏电感，L_md表示d轴励磁电感，L_mq表示q轴励磁电感，R₁表示定子电阻，R_c表示铁芯损耗电阻，λ_PM是转子永磁体励磁通量；

为简化考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

b.根据有限时间动态面技术和自适应反步法原理，设计一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，具体过程如下：

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量；选取基函数s_j(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_j＝[μ_j1,...,μ_jq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度；μ_j1,...,μ_jq分别表示μ_j的基向量；

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-γ)]ln[(λ₁V^1-γ(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间；

考虑永磁同步电动机输入电压约束问题如下：u_min≤v≤u_max，其中，u_min和u_max分别表示已知定子输入电压的最小值和最大值，即：

其中，u_max＞0和u_min＜0都为输入约束限制的未知常数，v为实际的输入信号；

利用分段光滑函数g(v)来近似约束函数，定义g(v)为下：

u＝sat(v)＝g(v)+d(v)，d(v)是一个有界函数，其界限为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u_max[1-tanh(1)}]u_min[tanh(1)-1]＝D；

其中，D在d轴和q轴上分别表示D_d和D_q，D_d、D_q均为大于0的常数；

利用中值定理得知：存在一个常数μ，使得

其中，

v_μ＝μv+(1-μ)v₀；

选取v₀＝0，则以上函数写为：

因此，

则有

其中存在一个未知常数g_m，使得

定义一个新变量α_id和一个时间常数∈_i，

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2,3,4；

其中，α_id(0)表示α_id的初始值，α_i(0)表示α_i的初始值；

虚拟控制律α_i通过一阶滤波器得到α_id，其中，虚拟控制律α₁、α₂、α₃、α₄为一阶滤波器的输入信号，α_1d、α_2d、α_3d、α_4d为一阶滤波器的输出信号；

定义跟踪误差z₁、z₂、z₃、z₄、z₅和z₆为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望的转子磁链信号；

以上考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法中每一步都会选取一个Lyapunov函数构建一个虚拟控制律或者真实控制律，具体步骤如下：

b.1.根据公式(3)中第一个方程z₁＝x₁-x_1d，选择Lyapunov函数：

对V₁求导得到：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₁＞0，常数s₁＞0，正常数0＜γ＜1；

基于以上公式(4)和公式(5)得到：

b.2.根据公式(3)中第二个方程z₂＝x₂-α_1d，选择Lyapunov函数：

对V₂求导并将公式(6)代入，得到公式(7)：

其中，负载转矩T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中，d＞0；

通过杨氏不等式有

其中，ε₁是一个任意小的正数，则：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂，选取模糊逻辑系统

使得：

其中，δ₂(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，||W₂||是向量W₂的范数；

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₂＞0，常数s₂＞0，常数l₂＞0，

为θ的估计值，θ的定义在下文给出；

根据公式(3)中第三个方程z₃＝x₃-α_2d，则

表示为：

b.3.根据公式(3)中第三个方程：z₃＝x₃-α_2d，选择Lyapunov函数：

对V₃求导并将公式(10)代入，得到公式(11)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统

使得：

其中δ₃(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数；从而：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₃＞0，常数s₃＞0，常数l₃＞0；

根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，则

表示为：

b.4.根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，选择Lyapunov函数：

对V₄求导并将公式(14)代入，得到公式(15)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，选取模糊逻辑系统

使得

其中，δ₄(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₄(Z)|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数；从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₄＞0，常数s₄＞0，常数l₄＞0；

由输入饱和公式u_q＝sat(v_q)＝g(v_q)+d(v_q)，得到：d₁z₄u_q＝d₁z₄g(v_q)+d₁z₄d(v_q)，

由杨氏不等式得到

其中，常数D_q＞0，得到：

b.5.根据公式(3)中第五个方程z₅＝x₅，选择Lyapunov函数：

对V₅求导得到：

构建虚拟控制律：

其中，控制增益k₅＞0，常数s₅＞0；根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d得到：

b.6.根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d，选择Lyapunov函数：

对V₆求导得到：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₆，选取模糊逻辑系统

使得

其中δ₆(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₆(Z)|≤ε₆，||W₆||是向量W₆的范数；从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₆＞0，常数s₆＞0，常数l₆＞0；

由输入饱和公式u_d＝sat(v_d)＝g(v_d)+d(v_d)，得到：d₂z₆u_d＝d₂z₆g(v_d)+d₂z₆d(v_d)，

定义

为θ的估计值，定义

由杨氏不等式

其中，常数D_d＞0，得到：

b.7.定义y_i＝α_id-α_i，i＝1,2,3,4，得到：

其中，

选择系统的Lyapunov函数：

其中，r₁是正数，对V求导得到：

其中，控制增益k₆＞0；构建自适应律如下：

其中，m₁为正数；

c.对步骤b中的考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法进行稳定性分析；

将公式(27)代入公式(26)得到：

其中，|B_i|有一个最大值|B_iM|在紧集|Ω_i|,i＝1,2,3,4上且|B_i|≤B_iM，则得到：

常数τ＞0；

由杨氏不等式得到：

由不等式放缩得到：

根据以上不等式放缩，公式(28)写为：

其中，

b₀＝min{2，2s₁,2s₂,2s₃,2g_ms₄,2s₅,2g_ms₆,m₁}；

由公式(29)得到：

从公式(30)得知，如果a₀-(c/2V)＞0以及b₀-(c/2V^[(γ+1)/2])＞0；

通过有限时间的定义得知，在系统的收敛时间T_r里，

跟踪误差z₁将在有限时间内收敛到原点的一个小邻域内。

本发明具有如下优点：

(1)本发明方法考虑了铁损和输入饱和对永磁同步电动机带来的不利影响，避免了输入饱和可能带来的安全性问题；(2)本发明采用动态面技术，有效地避免了因传统反步法中对虚拟函数的连续求导而产生的“计算复杂性”问题，同时使用模糊逻辑系统来逼近永磁同步电动机驱动系统中未知的非线性项；(3)本发明采用有限时间控制技术，使跟踪误差能够在有限时间内收敛到原点的一个充分小的邻域内，提高了永磁同步电动机驱动系统的响应速度；(4)本发明方法具有较好的鲁棒性，抗负载扰动能力较强，实现了理想的控制效果。

附图说明

图1为本发明实施例中有限时间动态面位置跟踪控制器、坐标变换、SVPWM逆变器组成的复合被控对象的示意图；

图2为经本发明方法控制后转子位置信号实际值和转子位置信号给定值的跟踪仿真图；

图3为经本发明方法控制后转子位置信号跟踪误差仿真图；

图4为经本发明方法控制后q轴定子电压仿真图；

图5为经本发明方法控制后d轴定子电压仿真图。

具体实施方式

本发明的基本思想为：通过将自适应反步法与动态面技术相结合应用在永磁同步电动机的位置跟踪控制上，以解决永磁同步电动机驱动系统中存在的参数不确定、外界负载变化问题和传统反步法中存在的“计算复杂性”问题；考虑了铁损及输入饱和问题对永磁同步电动机带来的不利影响；引入了有限时间控制技术，使得跟踪误差能够在有限时间内收敛到原点非常小的领域内，使本发明控制方法具有更高的工程实践价值，并获得了理想的跟踪效果。

下面结合附图以及具体实施方式对本发明作进一步详细说明：

结合图1所示，一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，其采用的部件包括有限时间动态面位置跟踪控制器1、坐标变换单元2、SVPWM逆变器3和转速检测单元4与电流检测单元5。其中，有限时间动态面位置跟踪控制器1即根据本发明中考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法设计的控制器。U_α和U_β表示两相旋转坐标系下的电压，U、V和W表示三相电压。转速检测单元4和电流检测单元5主要用于检测永磁同步电动机的转速和电流值相关变量，通过实际测量的电流和转速变量作为输入，通过有限时间动态面位置跟踪控制器1进行电压控制，最终转换为三相电控制永磁同步电动机的转子位置。为了设计一个更加有效的有限时间动态面位置跟踪控制器1，建立永磁同步电动机动态模型是十分必要的。下面对本发明方法的具体步骤进行详细说明：

一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，包括如下步骤：

a.建立d-q轴上考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，Θ表示转子角度，ω表示转子角速度，n_p表示磁对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，u_d表示d轴电压，u_q表示q轴电压，i_od表示d轴励磁电流分量，i_oq表示q轴励磁电流分量，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，L_ld表示d轴漏电感，L_lq表示q轴漏电感，L_md表示d轴励磁电感，L_mq表示q轴励磁电感，R₁表示定子电阻，R_c表示铁芯损耗电阻，λ_PM是转子永磁体励磁通量。

为简化考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

b.根据有限时间动态面技术和自适应反步法原理，设计一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，具体过程如下：

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量；选取基函数s_j(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_j＝[μ_j1,...,μ_jq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度；μ_j1,...,μ_jq分别表示μ_j的基向量。

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-γ)]ln[(λ₁V^1-γ(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间。

考虑永磁同步电动机输入电压约束问题如下：u_min≤v≤u_max，其中，u_min和u_max分别表示已知定子输入电压的最小值和最大值，即：

其中，u_max＞0和u_min＜0都为输入约束限制的未知常数，v为实际的输入信号。

利用分段光滑函数g(v)来近似约束函数，定义g(v)为下：

u＝sat(v)＝g(v)+d(v)，d(v)是一个有界函数，其界限为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u_max[1-tanh(1)}]u_min[tanh(1)-1]＝D；

其中，D在d轴和q轴上分别表示D_d和D_q，D_d、D_q均为大于0的常数；

利用中值定理得知：存在一个常数μ，使得

其中，

v_μ＝μv+(1-μ)v₀。

选取v₀＝0，则以上函数写为：

因此，

则有

其中存在一个未知常数g_m，使得

定义一个新变量α_id和一个时间常数∈_i，

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2,3,4。

其中，α_id(0)表示α_id的初始值，α_i(0)表示α_i的初始值。

虚拟控制律α_i通过一阶滤波器得到α_id，其中，虚拟控制律α₁、α₂、α₃、α₄为一阶滤波器的输入信号，α_1d、α_2d、α_3d、α_4d为一阶滤波器的输出信号。

定义跟踪误差z₁、z₂、z₃、z₄、z₅和z₆为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望的转子磁链信号。

以上考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法中每一步都会选取一个Lyapunov函数构建一个虚拟控制律或者真实控制律，具体步骤如下：

b.1.根据公式(3)中第一个方程z₁＝x₁-x_1d，选择Lyapunov函数：

对V₁求导得到：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₁＞0，常数s₁＞0，正常数0＜γ＜1。

基于以上公式(4)和公式(5)得到：

b.2.根据公式(3)中第二个方程z₂＝x₂-α_1d，选择Lyapunov函数：

对V₂求导并将公式(6)代入，得到公式(7)：

其中，负载转矩T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中，d＞0。

通过杨氏不等式有

其中，ε₁是一个任意小的正数，则：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂，选取模糊逻辑系统

使得：

其中，δ₂(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，||W₂||是向量W₂的范数。

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₂＞0，常数s₂＞0，常数l₂＞0，

为θ的估计值，θ的定义在下文给出。

根据公式(3)中第三个方程z₃＝x₃-α_2d，则

表示为：

b.3.根据公式(3)中第三个方程：z₃＝x₃-α_2d，选择Lyapunov函数：

对V₃求导并将公式(10)代入，得到公式(11)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统W₃ ^TS₃(Z)，使得：

其中δ₃(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数。从而：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₃＞0，常数s₃＞0，常数l₃＞0。

根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，则

表示为：

b.4.根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，选择Lyapunov函数：

对V₄求导并将公式(14)代入，得到公式(15)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，选取模糊逻辑系统

使得

其中，δ₄(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₄(Z)|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数。从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₄＞0，常数s₄＞0，常数l₄＞0。

由输入饱和公式u_q＝sat(v_q)＝g(v_q)+d(v_q)，得到：d₁z₄u_q＝d₁z₄g(v_q)+d₁z₄d(v_q)，

由杨氏不等式得到

其中，常数D_q＞0，得到：

b.5.根据公式(3)中第五个方程z₅＝x₅，选择Lyapunov函数：

对V₅求导得到：

构建虚拟控制律：

其中，控制增益k₅＞0，常数s₅＞0；根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d得到：

b.6.根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d，选择Lyapunov函数：

对V₆求导得到：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₆，选取模糊逻辑系统

使得

其中δ₆(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₆(Z)|≤ε₆，||W₆||是向量W₆的范数。从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₆＞0，常数s₆＞0，常数l₆＞0。

由输入饱和公式u_d＝sat(v_d)＝g(v_d)+d(v_d)，得到：d₂z₆u_d＝d₂z₆g(v_d)+d₂z₆d(v_d)，

定义

为θ的估计值，定义

由杨氏不等式

其中，常数D_d＞0，得到：

b.7.定义y_i＝α_id-α_i，i＝1,2,3,4，得到：

其中，

选择系统的Lyapunov函数：

其中，r₁是正数，对V求导得到：

其中，控制增益k₆＞0。构建自适应律如下：

其中，m₁为正数。

c.对步骤b中的考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法进行稳定性分析。

将公式(27)代入公式(26)得到：

其中，|B_i|有一个最大值|B_iM|在紧集|Ω_i|,i＝1,2,3,4上且|B_i|≤B_iM，则得到：

由杨氏不等式得到：

由不等式放缩得到：

根据以上不等式放缩，公式(28)写为：

其中，

b₀＝min{2，2s₁,2s₂,2s₃,2g_ms₄,2s₅,2g_ms₆,m₁}。

由公式(29)得到：

从公式(30)得知，如果a₀-(c/2V)＞0以及b₀-(c/2V^[(γ+1)/2])＞0；

通过有限时间的定义得知，在系统的收敛时间T_r里，

跟踪误差z₁将在有限时间内收敛到原点的一个小邻域内。

在虚拟环境下对建立的考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法进行仿真，验证其在永磁同步电动机驱动系统中的可行性，永磁同步电动机及负载参数如下：

R₁＝2.21Ω，R_c＝200Ω，L_d＝L_q＝0.00977H,L_ld＝L_lq＝0.00177H；

L_md＝L_mq＝0.008H，J＝0.00379kg·m²,λ_PM＝0.0844,n_p＝3。

选择控制律参数为：

k₁＝100,k₂＝200,k₃＝200,k₄＝8000,k₅＝100,k₆＝800,∈₁＝∈₂＝∈₄＝0.00005；

∈₃＝0.001,r₁＝0.05,m₁＝0.5,l₂＝l₃＝l₄＝100,l₆＝10。

期望的位置信号为：x_1d＝sint,负载转矩为：

选择模糊隶属度函数为：

仿真是在系统参数和非线性函数未知的前提下进行的，相应的仿真结果如下所示。其中，图2为经本发明方法控制后转子位置的跟踪仿真图，通过仿真结果表明本发明方法跟踪效果好，响应速度快；图3为经本发明控制方法控制后转子位置和转子位置给定值的跟踪误差仿真图；图4和图5分别为经本发明方法控制后永磁同步电动机q轴定子、永磁同步电动机d轴定子电压仿真图，通过仿真结果表明本发明控制方法能够有效的减少输入饱和带来的不利影响，整体效果较好、波动较小、响应速度快。模拟信号清楚地表明，本发明提出的考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，能够高效地跟踪参考信号。

当然，以上说明仅仅为本发明的较佳实施例，本发明并不限于列举上述实施例，应当说明的是，任何熟悉本领域的技术人员在本说明书的教导下，所做出的所有等同替代、明显变形形式，均落在本说明书的实质范围之内，理应受到本发明的保护。

Claims (1)

1.一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，其特征在于，

包括如下步骤：

a.建立d-q轴上考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，如公式(1)所示：

其中，Θ表示转子角度，ω表示转子角速度，n_p表示磁对数，J表示转动惯量，T_L表示负载转矩，i_d表示d轴电流，i_q表示q轴电流，u_d表示d轴电压，u_q表示q轴电压，i_od表示d轴励磁电流分量，i_oq表示q轴励磁电流分量，L_d表示d轴定子电感，L_q表示q轴定子电感，L_ld表示d轴漏电感，L_lq表示q轴漏电感，L_md表示d轴励磁电感，L_mq表示q轴励磁电感，R₁表示定子电阻，R_c表示铁芯损耗电阻，λ_PM是转子永磁体励磁通量；

为简化考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型，定义新的变量如下：

则考虑铁损的永磁同步电动机的动态数学模型用公式(2)表示，即：

b.根据有限时间动态面技术和自适应反步法原理，设计一种考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法，具体过程如下：

假设f(Z)在紧集Ω_Z中是一个连续的函数，对于任意的常数ε＞0，总是有一个模糊逻辑系统W^TS(Z)满足：

式中，输入向量

q是模糊输入维数，R^q为实数向量集；W∈R^l是模糊权向量，模糊节点数l为正整数，且l＞1，R^l为实数向量集；S(Z)＝[s₁(Z),...,s_l(Z)]^T∈R^l为基函数向量，s₁(Z),...,s_l(Z)分别表示S(Z)的基向量；选取基函数s_j(Z)为如下的高斯函数：

其中，μ_j＝[μ_j1,...,μ_jq]^T是Gaussian函数分布曲线的中心位置，而η_j则为其宽度；μ_j1,...,μ_jq分别表示μ_j的基向量；

定义有限时间：对于任意的实数λ₁＞0,λ₂＞0,0＜γ＜1，则有限时间稳定的扩展Lyapunov条件表示为：

其中，V(x)表示系统的Lyapunov函数；系统的收敛时间T_r通过T_r≤t₀+[1/λ₁(1-γ)]ln[(λ₁V^1-γ(t₀)+λ₂)/λ₂]来估计，t₀表示初始时间；

考虑永磁同步电动机输入电压约束问题如下：u_min≤v≤u_max；

其中，u_min和u_max分别表示已知定子输入电压的最小值和最大值，即：

其中，u_max＞0和u_min＜0都为输入约束限制的未知常数，v为实际的输入信号；

利用分段光滑函数g(v)来近似约束函数，定义g(v)为下：

u＝sat(v)＝g(v)+d(v)，d(v)是一个有界函数，其界限为：

|d(v)|＝|sat(v)-g(v)|≤max{u_max[1-tanh(1)}]u_min[tanh(1)-1]＝D；

其中，D在d轴和q轴上分别表示D_d和D_q，D_d、D_q均为大于0的常数；

利用中值定理得知：存在一个常数μ，使得

其中，

v_μ＝μv+(1-μ)v₀；

选取v₀＝0，则以上函数写为：

因此，

则有

其中存在一个未知常数g_m，使得

定义一个新变量α_id和一个时间常数∈_i，

α_id(0)＝α_i(0)，i＝1,2,3,4；

其中，α_id(0)表示α_id的初始值，α_i(0)表示α_i的初始值；

虚拟控制律α_i通过一阶滤波器得到α_id，其中，虚拟控制律α₁、α₂、α₃、α₄为一阶滤波器的输入信号，α_1d、α_2d、α_3d、α_4d为一阶滤波器的输出信号；

定义跟踪误差z₁、z₂、z₃、z₄、z₅和z₆为：

其中，x_1d为期望的位置信号，x_4d为期望的转子磁链信号；

以上考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法中每一步都会选取一个Lyapunov函数构建一个虚拟控制律或者真实控制律，具体步骤如下：

b.1.根据公式(3)中第一个方程z₁＝x₁-x_1d，选择Lyapunov函数：

对V₁求导得到：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₁＞0，常数s₁＞0，正常数0＜γ＜1；

基于以上公式(4)和公式(5)得到：

b.2.根据公式(3)中第二个方程z₂＝x₂-α_1d，选择Lyapunov函数：

对V₂求导并将公式(6)代入，得到公式(7)：

其中，负载转矩T_L是未知的常数且上限为d，即|T_L|≤d，其中，d＞0；

通过杨氏不等式有

其中，ε₁是一个任意小的正数，则：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₂，选取模糊逻辑系统

使得：

其中，δ₂(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₂(Z)|≤ε₂，||W₂||是向量W₂的范数；

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₂＞0，常数s₂＞0，常数l₂＞0，

为θ的估计值，θ的定义在下文给出；

根据公式(3)中第三个方程z₃＝x₃-α_2d，则

表示为：

b.3.根据公式(3)中第三个方程：z₃＝x₃-α_2d，选择Lyapunov函数：

对V₃求导并将公式(10)代入，得到公式(11)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₃，选取模糊逻辑系统

使得：

其中δ₃(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₃(Z)|≤ε₃，||W₃||是向量W₃的范数；从而：

选取虚拟控制律：

其中，控制增益k₃＞0，常数s₃＞0，常数l₃＞0；

根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，则

表示为：

b.4.根据公式(3)中第四个方程z₄＝x₄-α_3d，选择Lyapunov函数：

对V₄求导并将公式(14)代入，得到公式(15)：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₄，选取模糊逻辑系统

使得

其中，δ₄(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₄(Z)|≤ε₄，||W₄||是向量W₄的范数；从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₄＞0，常数s₄＞0，常数l₄＞0；

由输入饱和公式u_q＝sat(v_q)＝g(v_q)+d(v_q)，得到：d₁z₄u_q＝d₁z₄g(v_q)+d₁z₄d(v_q)，

由杨氏不等式得到

其中，常数D_q＞0，得到：

b.5.根据公式(3)中第五个方程z₅＝x₅，选择Lyapunov函数：

对V₅求导得到：

构建虚拟控制律：

其中，控制增益k₅＞0，常数s₅＞0；根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d得到：

b.6.根据公式(3)中第六个方程z₆＝x₆-α_4d，选择Lyapunov函数：

对V₆求导得到：

其中，

由万能逼近定理，对于任意小的正数ε₆，选取模糊逻辑系统

使得

其中δ₆(Z)为逼近误差，并满足不等式|δ₆(Z)|≤ε₆，||W₆||是向量W₆的范数；从而：

构建真实控制律：

其中，控制增益k₆＞0，常数s₆＞0，常数l₆＞0；

由输入饱和公式u_d＝sat(v_d)＝g(v_d)+d(v_d)，得到：d₂z₆u_d＝d₂z₆g(v_d)+d₂z₆d(v_d)，

定义

为θ的估计值，定义

由杨氏不等式

其中，常数D_d＞0，得到：

b.7.定义y_i＝α_id-α_i，i＝1,2,3,4，得到：

其中，

选择系统的Lyapunov函数：

其中，r₁是正数，对V求导得到：

其中，控制增益k₆＞0；构建自适应律如下：

其中，m₁为正数；

c.对步骤b中的考虑铁损的永磁同步电动机有限时间动态面控制方法进行稳定性分析；

将公式(27)代入公式(26)得到：

其中，|B_i|有一个最大值|B_iM|在紧集|Ω_i|,i＝1,2,3,4上且|B_i|≤B_iM，则得到：

常数τ＞0；

由杨氏不等式得到：

由不等式放缩得到：

根据以上不等式放缩，公式(28)写为：

其中，

b₀＝min{2，2s₁,2s₂,2s₃,2g_ms₄,2s₅,2g_ms₆,m₁}；

由公式(29)得到：

从公式(30)得知，如果a₀-(c/2V)＞0以及b₀-(c/2V^[(γ+1)/2])＞0；

通过有限时间的定义得知，在系统的收敛时间T_r里，

跟踪误差z₁将在有限时间内收敛到原点的一个小邻域内。

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