CN111052692B - 基于zak变换的数据调制方法 - Google Patents

Abstract

一种示例无线通信方法包括：将信息信号变换成离散序列，其中离散序列是信息信号的Zak变换版本；生成与离散序列对应的第一模糊度函数；通过使第一模糊度函数脉冲成形来生成第二模糊度函数；生成与第二模糊度函数对应的波形；以及通过无线通信信道来传输波形。另一种通信方法包括：将信息信号变换成离散点阵域信号；通过二维滤波过程来使离散点阵域信号的带宽和持续时间成形以生成经滤波信息信号；使用Zak变换从经滤波信息信号生成时域信号；以及通过无线通信信道来传输时域信号。

Description

基于ZAK变换的数据调制方法

相关申请的交叉引用

本专利文件要求2017年7月12日提交的标题为“ZAK实现中的雷达波形设计(RADARWAVEFORM DESIGN IN A ZAK REALIZATION)”的美国临时专利申请号62/531,808的优先权和权益。前述专利申请的全部内容以引用的方式并入作为本专利文件的公开的一部分。

技术领域

本文件涉及无线通信，并且更具体地，涉及无线通信中使用的数据调制方案。

背景技术

由于无线用户设备的数量和这些设备可以产生或消费的无线数据量迅速增长，当前的无线通信网络快速地用尽带宽，以适应数据流量的这种高增长并且向用户提供高质量的服务。

电信行业正在做出各种努力以提出能够满足对无线服务和网络的性能需求的下一代无线技术。

发明内容

本文件公开了可以用来实现用于使用被称为点阵划分复用的调制技术进行通信的发射器和接收器的技术。

在一个示例方面，公开了由无线通信装置实现的无线通信方法。该方法包括：将信息信号变换成离散序列，其中离散序列是信息信号的Zak 变换版本；生成与离散序列对应的第一模糊度函数；通过使第一模糊度函数脉冲成形来生成第二模糊度函数；生成与第二模糊度函数对应的波形；以及通过无线通信信道来传输波形。

在另一个示例方面，公开了由无线通信装置实现的无线通信方法。该方法包括：将信息信号变换成离散点阵域信号；通过二维滤波过程来使离散点阵域信号的带宽和持续时间成形以生成经滤波信息信号；使用 Zak变换从经滤波信息信号生成时域信号；以及通过无线通信信道来传输时域信号。

在又一个示例方面，公开了实现上述方法的无线通信装置。

在又一个示例方面，该方法可以体现为处理器可执行代码，并且可以存储在计算机可读程序介质上。

本文件中描述这些以及其他特征。

附图说明

本文中描述的附图用来提供进一步理解并且构成本申请的一部分。附图的示例实施例和图示用来说明技术而不是限制其范围。

图1示出了无线通信系统的示例。

图2用图形描绘了时间、频率与Zak域之间的关系。

图3示出了六边形点阵的示例。中心区域处的六边形围住零点阵点周围的泰森多边形(Voronoi)区域。标注箭头的两个点阵点是最大矩形亚点阵的基础。

图4用图形描绘了Zak域中的信息网格的周期性和准周期性性质。

图5是OTFS波形的图形表示。

图6是经滤波的OTFS波形的图形表示。

图7是使用OTFS和OTFS-MC(多载波)的单个QAM符号的传输波形的图形比较。

图8用图形描绘了其中Zak域和时间/频率Zak变换实现了位于时间实现与频率实现之间的信号空间实现的示例。

图9示出了Zak至一般化Zak交织(interwining)变换的描绘。

图10示出了嵌套式点阵系统的示例，其中N＝3并且M＝2。

图11是对应于N＝3、M＝2、a＝1的线性调频(chirp)点阵的示例的图形描绘。虚线正方形指示零周围的清洁区域。

图12是对应于斜率a＝1的连续Zak线性调频的模糊度函数的示例的描绘。

图13是无线通信方法的示例的流程图。

图14是无线通信方法的另一个示例的流程图。

图15是无线收发器装置的示例。

具体实施方式

为了使本公开的目的、技术解决方案和优点更明显，下文参考附图详细地描述各种实施例。除非另外指明，否则本文件的实施例和实施例中的特征可以彼此组合。

章节标题在本文中用于提高描述的可读性并且绝不将技术的讨论或实施例仅限于相应的章节。

诸如正交频分复用(OFDM)方案的传统多载波(MC)传输方案由两个参数表征：符号周期(或重复率)和子载波间隔。符号包括循环前缀(CP)，其大小典型地取决于使用OFDM调制方案的无线信道的延迟。换句话说，CP大小通常是基于信道延迟而固定的，并且如果符号收缩以增加系统率，则它简单地导致CP变成越来越大的开销。此外，紧密地放置的子载波可以导致载波间干涉，并且因此OFDM符号对子载波在不引起不可接受的干涉水平的情况下可以彼此放置多近具有实际限制，从而使得接收器更难成功地接收所发射的数据。

此外，在传统蜂窝通信网络中，发射设备在尝试使用随机访问机制的加入无线网络时使用正交码。这些正交码经过选择以使得能够在接收基站处清楚地检测到发射设备。

所公开的技术的实施例部分地由以下实现启发：在无线设备与基站之间的信道因为无线设备的移动以及无线设备与基站之间的多路径回波而可能在延迟和多普勒域中受损时，无线装置可尝试加入网络。以类似的方式，雷达在检测可能移动的物体的操作的理论架构还可以得益于显示出与无线域中的随机访问波形类似的稳健性质的波形。本专利文件基于用于选择经滤波以产生模拟波形的数字域序列的技术以及滤波器响应与数字和模拟波形之间的数学关系(如其应用于其中实际系统尝试克服延迟和多普勒域失真的情形)，提供生成用于此类用途和其他用途的波形的理论基础。

本文件中公开的理论框架可以用来构建能够尤其克服上述问题的信号发射和接收设备。

除其他技术外，本专利文件公开了一种点阵划分复用技术，在一些实施例中，该点阵划分复用技术可以用来实现能够执行多载波数字通信而不必依赖于CP的实施例。

为便于说明，参考Zak变换来描述本文公开的许多实施例。然而，本领域技术人员将理解，实现方式也可以使用具有类似数学性质的其他变换。例如，此类变换可以包括能够表示为无穷级数的变换，其中每一项是平移了函数的整数的扩展与指数函数的乘积。

图1示出了示例通信网络100，其中可以实现所公开的技术。网络 100可以包括基站发射器，所述基站发射器向一个或多个接收器102发射无线信号s(t)(例如，下行链路信号)，接收信号表示为r(t)，所述接收器可以位于多种位置，包括在建筑物内部或外部以及在移动的车辆中。接收器可以向基站发射上行链路发射，所述基站通常位于无线发射器附近。本文中描述的技术可以在接收器102处或在发射器(例如，基站) 处实现。

无线网络中的信号传输可以通过描述时域、频域或延迟-多普勒域(例如，Zak域)中的波形来表示。由于这三者表示描述信号的三种不同方式，因此一个域中的信号可以经由变换而转换成另一个域中的信号。例如，时间-Zak变换可以用来从Zak域转换到时域。例如，频率-Zak变换可以用来从Zak域转换到频域。例如，傅里叶变换(或其逆变换)可以用来在时域与频域之间进行转换。

下面指定为“A”、“B”和“C”的章节提供在图2至图12中描绘的信号波形和曲线图的附加数学性质和实际使用。

循环前缀(CP)的使用已经使得多载波波形(例如，OFDM)能够在频率选择信道中操作(当CP大于信道的延迟扩展时)，但在无线信道变得更加苛刻时，CP的长度需要增加，从而增加波形的开销。如在章节“A”和“B”中所述，所公开的技术的实施例可以用来执行多载波数字通信而不必依赖CP，以便有利地降低波形所需的开销。

雷达波形的性能在受延迟扩展和多普勒扩展两者影响的信道(例如，被称为“双扩展信道”)中特别易受影响。如在章节“C”中所述，所公开的技术的实施例提供压缩的雷达波形，所述压缩雷达波形呈现均匀的时间功率轮廓和图钉状模糊度函数，其中在维度是自由参数的原点周围具有清洁穿孔区域，从而在延迟-多普勒表示中提供局部化。

A0.从Zak理论的角度介绍OTFS调制

接下来的几个章节从Zak理论视角解释OTFS调制。这条阐述线将 OTFS的独立状态作为新颖调制技术推广到前沿并且暴露其独特的数学属性。这与将OTFS呈现为MC调制的预处理步骤的替代方法相比，稍微掩盖了OTFS的真实性质并且也牺牲了其一些独特优势。我们把注意力集中在以下核心理论主题：

(1)Heisenberg理论。

(2)Zak理论。

(3)OTFS调制。

(4)OTFS与多载波调制之间的辛傅里叶对偶关系，这是雷达理论与通信理论之间的一般关系的特殊情况。

在进行详细阐述其演变之前，有益的是给出概述。在信号处理中，传统上呈现时域或频域中的信号(或波形)。每个表示暴露信号的不同属性。这两个实现之间的字典是傅里叶变换：

(0.1)

有趣的是，存在可以自然地实现信号的另一个域。这个域被称为延迟多普勒域。出于当前讨论的目的，这也被称为Zak域。以其最简单的形式，Zak信号是两个变量的函数

变量τ被称为延迟并且变量ν被称为多普勒。假设函数

随着具有周期ν_r的ν而呈周期性，并且随着具有周期τ_r的τ呈准周期性。准周期性条件由以下给出：

(0.2)

其中，每个

假设周期满足尼奎斯特条件τ_r·ν_r＝1。Zak域信号通过被称为时间和频率Zak变换的正规变换

和

而与时域和频域信号相关。更准确地说，用

表示Zak信号的希尔伯特空间，时间和频率Zak变换是线性变换：

(0.3)

(0.4)

成对的

和

建立傅里叶变换的因式分解

这个因式分解有时被称为Zak因式分解。Zak因式分解体现快速傅里叶变换算法的组合学。Zak变换的精确公式将在后面给出。而此刻，说成它们主要是几何投影就够了：时间Zak变换是沿多普勒变量的积分，并且相反地，频率Zak变换是沿延迟变量的积分。图2中描绘了不同的信号域以及在它们之间连接的变换。

我们接下来给出OTFS调制的概述。关键要注意的是，Zak变换对 OTFS起到的作用与傅里叶变换对OFDM的作用相同。更具体地，在OTFS 中，信息位在延迟多普勒域上编码为Zak信号x(τ，ν)并且通过以下规则进行传输：

(0.5)

其中w*_σx(τ，ν)表示使用被称为扭曲卷积(将在本文件中解释)的操作*_σ的、利用2D脉冲w(τ，ν)的二维滤波操作。使用Zak变换来完成到物理时域的转换。在频分多址FDMA和时分多址TDMA的情况下，公式 (0.5)应与类似公式进行对比。在FDMA中，信息位在频域上编码为信号x(f)并且通过以下规则进行传输：

(0.6)FDMA(x)＝FT(w(f)*x(f))，

其中在频域上通过利用1D脉冲w(f)的线性卷积完成滤波(在标准OFDM w(f)等于sinc函数的情况下)。调制映射是傅里叶变换。在 TDMA中，信息位在时域上编码为信号x(t)并且通过以下规则进行传输：

(0.7)TDMA(x)＝Id(w(t)*x(t))，

其中在时域上通过利用1D脉冲w(t)的线性卷积完成滤波。在这种情况下，调制映射是恒等式。

A1.Heisenberg理论

在这个章节中，我们介绍Heisenberg群和相关联的Heisenberg表示。这些构成信号处理的基本结构。概括地说，信号处理可以被计算成根据延迟和相位调制的Heisenberg操作来研究信号的各种实现。

A1.1 延迟多普勒平面

最基本的结构是配备有以下标准辛形式的延迟多普勒平面

(1.1)ω(υ₁，υ₂)＝v₁τ₂-τ₁v₂，

其中，每个υ₁＝(τ₁，v₁)和υ₂(τ₂，v₂)。表达ω的另一种方式是将向量υ₁和υ₂布置成2×2矩阵的列，使得ω(υ₁，υ₂)等于矩阵行列式的加法逆元。

辛形式是反对称ω(υ₁，υ₂)＝-ω(υ₂，υ₁)，因此，具体地说，对于每个υ∈V，ω(υ，υ)＝0。我们也考虑以下计划形式：

(1.2)β(υ₁，υ₂)＝v₁τ₂，

其中，每个υ₁＝(τ₁，ν₁)和υ₂＝(τ₂ν₂)。我们得到：

(1.3)β(υ₁，υ₂)-β(υ₂，υ₁)＝ω(υ₁，υ₂)

形式β应被认为是辛形式的“一半”。最终，用ψ(z)＝exp(2πiz)来表示标准一维傅里叶指数。

A1.2 Heisenberg群

极化形式β产生被称为Heisenberg群的两步幂单群。作为一组， Heisenberg群被实现为Heis＝V×S¹，其中乘法规则由以下给出：

(1.4)(υ₁，z₁)·(υ₂，z₂)＝(υ₁+υ₂，exp(j2πβ(υ₁，υ₂))z₁z₂)，

可以验证事实上规则(1.4)产生群结构：它是关联的，元素(0，1) 充当单位并且元素(υ，z)的逆元由以下给出：

(υ，z)^-1＝(-υ，exp(j2πβ(υ，υ))z^-1)

最重要的是，Heisenberg群不可交换。一般来说， (υ₁，z₁)(υ₂，z₂)≠(υ₂，z₂)·(υ₁，z₁)。中心由形式(0，z)，z∈S¹的所有元素构成。乘法规则产生函数之间的群卷积运算：

(1.5)

其中，每一对函数

我们将(1.5)称为Heisenberg卷积或扭曲卷积。我们注意到，扭曲卷积通过附加的相位因数exp(j2πβ(υ₁，υ₂)) 而不同于线性卷积。

A1.3 Heisenberg表示

Heisenberg群的表示理论相对简单。概括地说，通过固定中心的动作，存在唯一的(直至同构)不可约表示。这个唯一性被称为斯通-冯诺依曼 (Stone-von Neumann)性质。精确陈述在以下定理中概述：定理1.1 (Stone-von-Neumann定理)。存在唯一的(直至同构)不可约酉表示

使得

具体地说，Heisenberg表示是酉算子

的集合，对于每个υ∈V，满足可乘关系：

(1.6)

其中，每个υ₁，υ₂∈V。换句话说，族中的各个算子之间的关系在 Heisenberg群的结构中编码。查看Heisenberg群的等效方式是作为线性变换

从而采用函数

并且将其发送到由以下给出的算子

(1.7)

可乘关系(1.6)转化成以下事实：II在函数的Heisenberg卷积与线性变换的组成之间交换，即，

(1.8)

其中，每个

有趣的是，尽管是唯一的，但表示π容纳大量的实现。特别公知的是时间和频率实现，它们都是在实线

的复值函数的希尔伯特空间上定义的。对于每个

我们定义两个基本酉变换：

(1.9)

(1.10)

其中，每个

变换L_x被称为延迟了x并且变换M_x被称为调制了 x。对于点ν＝(τ，ν)∈V，我们通过以下来定义Heisenberg表示的时间实现：

(1.11)

其中我们使用符号

来指定算子在向量上的应用。在这个背景下，常用的是通过t(时间)来表示基本坐标函数。根据这个约定，(1.11)的右手侧采用显式形式exp

相互地，我们通过以下来定义 Heisenberg表示的频率实现：

(1.12)

在这个背景下，习惯通过f(频率)来表示基本坐标函数。根据这个约定，(1.12)的右手侧采用显式形式exp

通过定理1.1，在具有在时间与频率Heisenberg动作之间转化的交织变换的意义上，时间和频率实现是同构的。在这种情况下，交织变换是傅里叶变换。

(1.13)

其中，每个

在以下意义上，时间和频率Heisenberg算子π_t(υ，z) 和π_f(υ，z)经由傅里叶变换进行交换：

(1.14)

其中，每个υ∈V。我们强调，从表示理论的角度来看，傅里叶变换的特有性质是交换等式(1.14)。

A2.Zak理论

在这一章节，我们描述信号空间的Zak实现。Zak实现取决于参数的选择。这个参数是延迟多普勒平面中的临界采样的点阵。因此，首先我们花一些时间来熟悉一下点阵的基本理论。为简单起见，我们将注意力集中在矩形点阵上。

A2.1延迟多普勒点阵

延迟多普勒点阵是一对线性无关向量g₁，g₂∈V的积分跨距。更详细地说，给定这样的一对，相关联的点阵是以下集合：

(2.1)

向量ɡ₁和ɡ₂被称为点阵基本向量。方便的是将基本向量布置成矩阵 G的第一列和第二列，即：

(2.2)

被称为基本矩阵。通过这种方式，点阵

也就是，根据矩阵 G的标准点阵的图像。按照定义，点阵的体积就是基本域的面积，其等于G的行列式的绝对值。每个点阵容纳辛倒点阵，亦称正交互补点阵，我们表示为Λ^⊥。Λ^⊥的定义是：

(2.3)

如果

则说Λ是欠采样的；如果Λ＝Λ^⊥，则说Λ是临界采样的。替代地，欠采样的点阵使得其基本域的体积≥1。从现在开始，我们仅考虑欠采样的点阵。给定点阵Λ，我们将其最大矩形亚点阵定义为

其中：

(2.4)τ_r＝arg min{τ＞0：(τ，0)∈Λ}，

(2.5)ν_r＝arg min{v＞0：(0，v)∈Λ}，

当τ_r或v_r是无限的时，我们定义Λ_r＝{0}。如果Λ＝Λ_r，则说点阵Λ是矩形的。显然，矩形点阵的亚点阵也是矩形的。如果τ_rν_r ≥1，则矩形点阵是欠采样的。临界采样的点阵的标准示例为

其由单位矩阵生成：

(2.6)

不是矩形的临界采样的点阵的重要示例是六边形点阵Λ_hex，见图3，其由基本矩阵生成：

(2.7)

其中

六边形点阵的有趣属性在于，在所有临界采样的点阵中，它具有邻近点之间的最长距离。Λ_hex的最大矩形亚点阵由g₁和 2g₂-g₁生成，见图3中用箭头标注的两个点阵点。从现在开始，我们仅考虑矩形点阵。

A2.2Zak波形

Zak实现通过选择临界采样的点阵来参数化：

(2.8)

其中τ_r·ν_r＝1。Zak实现中的信号被称为Zak信号。通过固定点阵Λ， Zak信号是满足以下准周期性条件的函数

(2.9)

其中，每个υ∈V和λ∈Λ。通过写出λ＝(kτ_r，lν_r)，条件(2.9) 采取具体形式：

(2.10)

也就是说，

是沿多普勒维度的具有周期v_r的周期函数，并且是沿着延迟维度的具有准周期τ_r的准周期函数。总而言之，我们用

来表示 Zak信号的希尔伯特空间。

A2.3 Heisenberg动作

Zak信号的希尔伯特空间支持Heisenberg表示的实现。给定元素 u∈V，对应的Heisenberg算子π_z(u)由以下给出：

(2.11)

其中，每个

换句话说，元素u通过二维移位以及线性相位的调制来起作用。在元素u属于点阵的情况下，Heisenberg动作简化。直接计算表明，在这种情况下，u＝λ∈Λ的动作采取以下形式：

(2.12)

换句话说，算子π_z(λ)跟与点λ相关联的辛傅里叶指数相乘。因此，脉冲函数

的扩展动作由以下给出：

(2.13)

其中，每个

事实上，

也就是说，扩展动作由脉冲h与波形

的扭曲函数给出。

A2.4 Zak变换

在Zak信号与时间/频率信号之间存在典型的交织变换，在本文件中被称为时间/频率Zak变换。我们用以下来表示它们：

(2.14)

(2.15)

事实证明，时间/频率Zak变换是沿着相反维度(reciprocal dimension) 的基本几何投影，见图4。变换的公式如下：

(2.16)

(2.17)

其中，每个

换句话说，对于每个时间点，时间Zak变换是沿着多普勒维度(取DC分量)的积分。相反地，频率Zak变换是沿着延迟维度的傅里叶变换。逆变换的公式如下：

(2.18)

(2.19)

其中，每个

从现在开始，我们将仅集中在时间Zak变换并且用

来表示它。作为交织变换，

在两个Heisenberg算子π_z(υ，z) 和π_t(υ，z)之间交换，即：

(2.20)

其中，每个υ∈V。从表示理论的角度来看，Zak变换的特有性质是交换等式(2.20)。

A2.5 标准Zak信号

我们的目标是描述窗口函数的Zak表示。

(2.21)

这个函数通常被用作多载波调制(没有CP)中的发生器波形。公式 (2.18)的直接应用表明

由以下给出：

(2.22)

可以表明，对于每个a，b∈[0，1)，P(aτ_r，bv_r)＝1，这意味着它具有恒定模数1，其中相位由沿着τ的常规阶梯函数给出，并且恒定阶梯由多普勒坐标v给出。注意P沿着延迟以每个整数点在相位上跳跃时的不连续。这个相位不连续是矩形窗口p在边界处的不连续的Zak域表现。

A3.OTFS

OTFS收发器结构取决于以下参数的选择：临界采样的点阵

滤波函数

以及由

指定的信息网格。我们假设滤波函数因式分解为w(τ，ν)＝w_τ(τ)w_ν(ν)，其中延迟和多普勒因数分别是相对于Δτ＝τ_r/N和Δν＝ν_r/M的平方根尼奎斯特。我们将信息位编码为具有周期(N，M)的QAM符号x＝x[nΔτ，mΔν]的周期性2D序列。将x乘以标准Zak信号P，我们得到Zak信号xP。考虑xP的具体方式是作为有限序列x[nΔτ，mΔν]的唯一准周期性扩展，其中n＝0、……、N–1并且 m＝0、……、M–1。我们将经调制的传输波形定义为：

(3.1)

概括地说，调制规则分三步进行。在第一步骤中，将信息块x准周期化，因此将其变换成离散Zak信号。在第二步骤中，通过由利用脉冲w 的扭曲卷积限定的2D滤波过程来使信号的带宽和持续时间成形。在第三步骤中，通过应用Zak变换来将经滤波的信号转换到时域。为了更好地理解传输波形的结构，我们将几个简单的代数操作应用于(3.1)。首先，我们注意到，作为交织子(公式(2.20))，Zak变换遵循以下关系：

(3.2)

第二，我们注意到，因式分解w(τ，v)＝w_τ(τ)w_v(v)可以表达为扭曲卷积w＝w_τ*_σw_v。因此，可以写出：

(3.3)

其中W_t＝FT^-1(w_v)并且*代表时间上的线性卷积。我们将波形

称为裸OTFS波形。我们从公式(3.3)中看出，通过在时间上开窗口然后利用脉冲进行卷积而从裸波形中获得传输波形。这个级联的操作是Zak域中的2D滤波的时间表示。在x被支持在单个网格点上(即，由单个QAM符号构成)的情况下，即，x＝δ(nΔτ，mΔν)，研究裸OTFS 波形的结构是有益的。在这种情况下，可以表明裸波形采取以下形式：

(3.4)

换句话说，裸波形是脉冲率

的经移位和相位调制的无限Δ脉冲串，其中移位由延迟参数n决定并且调制由多普勒参数m决定。与单个QAM符号对应的裸以及经滤波的OTFS波形分别在图5和图6中描绘。接下来，我们描述解调制映射。给定接收到的波形

通过以下规则来定义其解调制图像

(3.5)

其中w^★是由

给出的匹配的滤波器。我们通常结合附加采样步骤y处于(nΔτ，mΔν)，其中n＝0，...，N-1，并且m＝0，...，M-1。

A3.1 OTFS信道模型

OTFS信道模型是在存在信道H的情况下输入变量x与输出变量y 之间的显式关系。我们假设信道变换被定义为H＝Π_t(h)，其中h＝h(τ，ν)是延迟多普勒脉冲响应。这意味着，给定传输波形

接收到的波形

由以下给出：

(3.6)

如果我们将传输波形表示为

那么直接计算表明：

(3.7)

如果我们表示h_w＝w^★*_σh*_σw，那么我们可以用以下形式写出输入 -输出关系：

(3.8)y＝h_w*_σx·P，

延迟多普勒脉冲h_w表示在QAM符号通过OTFS收发器循环进行调制和解调制时与这些符号交互的经滤波的信道。可以表明，在一些适当的假设下，h_w由h*w⁽²⁾很好地逼近，其中*代表线性卷积并且w⁽²⁾＝w^★*w 是线性自相关函数。在信道不重要的情况下，也就是说，h＝δ(0，0)，我们得到h_w＝w^★*_σw～w⁽²⁾，因此在采样之后我们得到(近似)完美的重建关系：

(3.9)y[nΔτ，mΔv]～x[nΔτ，mΔv]，

其中，每个n＝0，...，N-1以及m＝0，..，M-1。

A4.辛傅里叶对偶

在这个章节中，我们描述可以借助于辛傅里叶对偶表达为临界采样的MC调制上的预处理步骤的OTFS调制的变体。我们将这个变体称为 OTFS-MC。为了具体起见，我们仅针对没有CP的OFDM的情况开发了显式公式。

A4.1 辛傅里叶变换

我们用L₂(V)来表示向量空间V上的平方可积函数的希尔伯特空间。对于每个υ∈V，我们将由v参数化的辛指数(波函数)定义为由以下给出的函数

(4.1)ψ_υ(u)＝exp(j2πω(υ，u))

其中，每个u∈V。具体地，如果υ＝(τ，ν)并且u＝(τ′，ν′)，那么ψ_υ(u)＝exp(j2π(ντ′-τν′))。使用辛指数，我们将辛傅里叶变换定义为由以下给出的酉变换SF：L₂(V)→L₂(V)：

(4.2)

辛傅里叶变换满足各种感兴趣的性质(很多类似于标准欧几里得傅里叶变换)。辛傅里叶变换在线性卷积与函数的乘法之间转换，也就是说：

(4.3)SF(g₁*g₂)＝SF(g₁)·SF(g₂)，

对于每个g₁，g₂∈L₂(V)。给定点阵

辛傅里叶变换相对于辛倒点阵Λ^⊥将Λ上的采样函数映射到周期函数。也就是说，如果g被采样并且G＝SF(g)，那么对于每个υ∈V和λ^⊥∈Λ^⊥，G(υ+λ^⊥)＝G(υ)。在Λ被临界采样的情况下，这个关系采取更简单的形式，因为Λ^⊥＝Λ。最终，不同于其欧几里得对应方，辛傅里叶变换等于其逆变换，也就是SF＝SF^-1。

A4.2 OTFS-MC

主要出发点是滤波脉冲w的定义及其应用于QAM符号的方式。为了定义MC滤波脉冲，我们考虑点阵

上的经采样的窗口函数

我们将w定义为W两倍的辛傅里叶：

(4.4)w＝SF(W)，按照定义，w是V的周期函数，从而满足对于每个υ∈V以及λ∈Λ，ww(υ+λ)＝w(υ)。通常，W被视为具有跨越某一带宽B＝M·ν_r和持续时间T＝N·τ_r的0/1值的正方形窗口。在这种情况下，w将转为相对于网格

成尼奎斯特的狄利克雷辛格(Dirichlet sinc)函数，其中：

(4.5)Δτ＝τ_r/N，

(4.6)Δν＝ν_r/M，

更复杂的窗口设计可以包括沿着边界渐缩并且还包括伪随机加扰相位值。如前所述，将比特位编码为具有周期(N，M)的QAM符号 x＝x[nΔτ，mΔν]的2D周期性序列。通过以下规则来定义传输波形：

(4.7)

换句话说，OTFS-MC调制分三步进行。第一步骤，借助于利用周期性脉冲w的周期卷积对周期性序列进行滤波。第二步骤，通过与Zak信号P相乘来将经滤波的函数转换成Zak信号。第三步骤，借助于Zak变换将Zak信号转换到物理时域中。我们强调与公式(3.1)的差异，其中序列首先乘以P并且然后通过利用非周期性脉冲的扭曲卷积进行滤波。重点是，不同于(3.1)，通过与MC调制的辛傅里叶对偶来使公式(4.7) 相关。为明白这一点，我们首先注意到，w*x＝SF(W·X)，其中X＝SF(x)。这意味着我们可以写出：

(4.8)

按照定义，第一等式是辛傅里叶变换并且第二等式是按照公式 (2.12)。我们表示X_W＝W·X。通过建立这个关系，我们可以将(4.7) 发展为以下形式：

(4.9)

其中第三等式是Zak变换的交织性质，并且按照定义，第四等式是

在没有CP的OFDM的情况下，脉冲p由沿着间隔[0，τ_r]的正方形窗口给出。因此，(4.9)中的最后表达可以显式地写成：

(4.10)

(4.10)的最后表达可以被认为是傅里叶系数X_W的(窗口)序列的 MC调制。有趣的是将对应于单个QAM符号的OTFS和OTFS-MC的传输波形进行比较。这两个结构在图7中描绘。主要结构差异是在OTFS-MC 的情况下，在网格点

处存在不连续性。

B0.从实现理论角度介绍OTFS收发器操作

在后续章节中，我们从实现理论的角度介绍OTFS收发器的又一数学解释。概括地说，在这种方法中，将波形的信号空间视作Heisenberg 群的表示空间或等效地视作配备有Heisenberg算子的集合的希尔伯特空间，每一者与延迟多普勒平面中的不同点相关联。这个表示空间容纳许多表示。两个标准的实现是时间和频率实现，并且它们通过一维傅里叶变换进行相关。在通信理论中，TDMA收发器结构天然地适合于时间实现，因为QAM符号沿着时间坐标复用，而OFD收发器结构天然地适合于频率实现，因为QAM符号沿着频率坐标复用。主要观察在于，存在位于时间与频率实现之间的规范实现，被称为Zak实现。有趣的是，Zak实现中的波形被表示为满足某些准周期性条件的二维延迟多普勒域上的函数。这个注意的主要信息在于，Zak实现天然地适合于OTFS收发器。从这个角度看OTFS收发器减少了它在其他现有的收发器结构之中的新颖和独立优势。为方便起见，我们在下表中概述了在这个注意中呈现的主要公式：

(0.1)

其中Q是准的缩写并且Z是Zak的缩写。

B1.数学预备知识

B1.1 延迟多普勒平面

设

为配备有由以下给出的标准辛双线性形式

的延迟多普勒平面：

(1.1)ω（υ₁，υ₂）＝v₁τ₂-τ₁v₂，

其中，每个υ₁＝(τ₁，ν₁)以及υ₂＝(τ₂，ν₂)。表达ω的另一种方式是将向量v₁和v₂布置成2×2矩阵的列。辛配对ω(v₁，v₂)等于这个矩阵的行列式的加法逆元，即：

我们注意到，辛形式是反对称的，即，ω(υ₁，υ₂)＝-ω(υ₂，υ₁)，因此，具体地说，对于每个v∈V，ω(υ，υ)＝0。另外，我们考虑由以下给出的极化形式

(1.2)β(υ₁，υ₂)＝v₁τ₂，

其中，每个υ₁＝(τ₁，ν₁)以及υ₂＝(τ₂，ν₂)。我们得到：

(1.3)β(υ₁，υ₂)-β(υ₂，υ₁)＝ω(υ₁，υ₂)，

形式β应被认为是辛形式的“一半”。最终，用ψ(z)＝exp(2πiz)来表示标准一维傅里叶指数。

B1.2 延迟多普勒点阵

参考以上章节A2.1。

B1.3 Heisenberg群

极化形式

产生被称为Heisenberg群的两步幂单群。作为一组，Heisenberg群被实现为Heis＝V×S¹，其中乘法规则由以下给出：

(1.11)(υ₁，z₁)·(υ₂，z₂)＝(υ₁+υ₂，ψ(β(υ₁，υ₂))z₁z₂)，

可以验证事实上规则(1.11)引起群结构，即，它是关联的，元素(0， 1)充当单位并且(υ，z)的逆元是(-υ，ψ(β(υ，υ))z^-1)。我们注意到，Heisenberg 群是不可交换的，即，

不一定等于

群的中心由形式(0，z)， z∈S¹的所有元素构成。乘法规则产生函数之间的群卷积运算：

(1.12)

对于每一对函数

(Heis)。我们将卷积运算

称为Heisenberg 卷积或扭曲卷积。

Heisenberg群容纳许多有限子商群。每个这样的群与对(Λ，∈)的选择相关联，其中

是欠采样的点阵并且∈：Λ→S¹是满足以下条件的映射：

(1.13)∈(λ₁+λ₂)＝∈(λ₁)∈(λ₂)ψ(β(λ₁，λ₂))，

使用∈，我们定义由

给出的部分映射

可以验证(1.13)暗示

是群同态，也就是说，

总而言之，映射∈将Λ的部分同态嵌入定义为Heisenberg群的子群。我们将∈称为Heisenberg字符并且将对(Λ，∈)称为Heisenberg点阵。简单的示例是在点阵Λ为矩形时，即Λ＝Λ_r。在这种情形下，β|Λ＝0，因此我们可以采取∈＝1，对应于不重要的嵌入

更复杂的示例是配备有∈_hex：Λ_hex→S¹的六边形点阵Λ＝Λ_hex，由以下给出：

(1.14)∈_hex(ng₁+mg₂)＝ψ(m²/4)，

对于每个

Heisenberg点阵定义由形式(λ，∈(λ))，λ∈Λ的所有元素构成的可交换子群

的中心化子群是子群Λ^⊥×S¹。我们定义有限子商群：

(1.15)

群Heis(Λ，∈)是有限可交换群Λ^⊥/Λ通过单位圆S¹的中心扩展，也就是说，它适合以下确切序列：

(1.16)

我们将Heis(Λ，∈)称为与Heisenberg点阵(Λ，∈)相关联的有限 Heisenberg群。在矩形的情况下，有限Heisenberg群采取更具体的形式。具体地说，当Λ＝Λ_r并且∈＝1时，我们得到

其中乘法规则由以下给出：

(1.17)(k₁，l₁，z₁)·(k₂，l₂，z₂)＝(k₁+k₂，l₁+l₂，ψ(l₁k₂/N)z₁z₂)，

B1.4 Heisenberg表示

Heisenberg群的表示理论相对简单。概括地说，通过固定中心的动作，存在唯一的(直至同构)不可约表示。这个唯一性被称为Stone-von Neumann性质。精确陈述在章节A1.3中概述：π是表示(亦称乘法)的事实转化成以下事实：Π在函数的群卷积与线性变换的组成之间交换，即，

由于

因此按照傅里叶理论，仅考虑满足条件f(υ，z)＝z^-1f(υ，1)的函数f就足够了。通过对V＝V×{1}的限制来识别此类函数，我们可以用以下形式写出群卷积：

(1.19)

有趣的是，尽管是唯一的，但表示π容纳大量的实现。特别公知的是在信号处理中无处不在的时间和频率实现。我们考虑在实线

上的复杂值函数的希尔伯特空间。为了描述它们，我们介绍关于此类函数的两个基本一元运算，一个被称为延迟而另一个是调制，定义如下：

(1.20)延迟：

(1.21)调制：

对于参数

的任何值以及每个函数

给定点υ＝(τ，ν)，我们通过以下来定义Heisenberg表示的时间实现：

(1.22)

其中我们使用符号

来指定算子在向量上的应用。在这个背景下，习惯通过t(时间)来表示基本坐标函数。根据这个约定，(1.22)的右手侧采用显式形式

相互地，我们通过以下来定义 Heisenberg表示的频率实现：

(1.23)

在这个背景下，习惯通过f(频率)来表示基本坐标函数。根据这个约定，(1.23)的右手侧采用显式形式

按照定理1.1，时间和频率实现是同构的。该同构由傅里叶变换给出：

(1.24)

对于每个

作为交织变换，FT在两个Heisenberg算子π_t(υ，z)与π_f(υ，z)之间交换，即：

(1.25)

对于每个(υ，z)。从表示理论的角度来看，傅里叶变换的特有性质是交换等式(1.25)。最终，我们注意到，从通信理论角度来看，时域实现适合于调制技术，其中QAM符号沿着时域的规则点阵布置。相对地，频率实现适合于调制技术(线性OFDM)，其中QAM符号沿着频域上的规则点阵布置。后面将看到，存在信号空间的其他更特殊的实现，其产生全新的调制技术系列，我们称为ZDMA。

有限Heisenberg表示。很高兴观察到Heisenberg群的理论逐字地传递到有限设置。具体地说，给定Heisenberg点阵(Λ，∈)，相关联的有限 Heisenberg群Heis(Λ，∈)在固定中心的动作之后容纳唯一直至同构的不可约表示。这在以下定理中概述。

定理1.2(有限维Stone-von Neumann定理)。存在唯一的(直至同构) 不可约酉表示

使得

此外，π_∈是有限维的，其中dim

其中N²＝#Λ^⊥/Λ。

为简单起见，我们将注意力集中在特殊情况，其中

是矩形的并且∈＝1，并且继续描述π_∈的时间和频率实现的有限维对应物。为此，我们考虑环

(即，有穷直线)上的复杂值函数的有限维希尔伯特空间

中的向量可以被视为单位圆上的均匀采样的函数。如在连续情况下，我们介绍(循环)延迟和调制的操作：

(1.26)

(1.27)

对于每个

以及

应注意，在循环环

中执行操作m–n。给定点(k/ν_r，l/τ_r)∈Λ^⊥，我们通过以下来定义有限时间实现：

(1.28)

通过用n表示基本坐标函数，我们可以用显示形式

写出(1.28)的右侧部分。相互地，我们通过以下来定义有限频率实现：

(1.29)

通过用m表示基本坐标函数，可以用显示形式

写出 (1.29)的右侧部分。按照定理1.2，离散时间和频率实现是同构的，并且通过有限傅里叶变换实现同构：

(1.30)

作为交织变换，FFT在两个Heisenberg算子

与

之间交换，即：

(1.31)

对于每个(υ，z)∈Heis(Λ，∈)。

B2.Zak实现

B2.1 Zak波形

见A2.2中的先前讨论。在这一章节中，我们描述同时结合时间和频率两者的属性的Heisenberg表示的实现系列。这些在本文件中被称为Zak 型或点阵型实现。特定的Zak实现通过选择Heisenberg点阵(Λ，∈)而参数化，其中Λ被临界采样。Zak波形是满足以下准周期性条件的函数

(2.1)

当考虑一般化时，存在更适合的条件(2.1)的替代公式。基本观察在于，映射限定满足π_∈(0，z)＝z.的确切条件的一维表示

这个表示由给出π_∈(λ，z)＝∈(λ)^-1z.。事实上，验证：

(2.2)π_∈(λ₁，z₁)·π_∈(λ₂，z₂)＝∈(λ₁)^-1∈(λ₂)^-1z₁z₂

＝∈(λ₁+λ₂)^-1ψ(β(λ₁，λ₂))z₁z₂

＝π_∈((λ₁z₁)·(λ₂，z₂))，

另外，我们得到π_∈(λ，∈(λ))＝1，暗示关系

因此，π_∈实际上是有限Heisenberg群

的表示。使用表示π_∈，我们可以用以下形式表达(2.1)：

(2.3)

我们用

或有时缩写成15

来表示Zak波形的希尔伯特空间。例如，在其中Λ＝Λ_r并且∈＝1，的矩形情形下，条件(2.1)采取具体形式

也就是，

是沿着多普勒维度的周期函数(具有周期ν_r)并且沿着延迟维度的准周期函数。接下来，我们描述Heisenberg群对Zak波形的希尔伯特空间的作用。给定Zak波形

以及元素(u，z)∈Heis，元素在波形上的动作由以下给出：

(2.4)

另外，给定点阵点λ∈Λ，元素

的动作采取简单形式：

(2.5)

其中在第一等式中，我们使用(2.4)，在第二等式中，我们使用(2.1) 和极化等式(1.3)，并且在第三等式中，我们使用(1.13)。总而言之，我们看出，通过与跟点λ相关联的辛傅里叶指数相乘给出

像往常一样，表示产生函数在V上的扩展动作。给定函数

其对Zak 波形的作用为：

(2.6)

根据最后的表达，我们断定

也就是，通过脉冲h与波形

的扭曲卷积来实现扩展动作。

B2.2 Zak变换

也见章节A2.4。按照定理1.1，Zak实现在时间和频率实现方面是同构的。因此，存在在对应的Heisenberg群动作之间交换的交织变换。这些交织变换在本文件中通常被称为时间/频率Zak变换并且通过以下来表示它们：

事实证明，时间/频率Zak变换是沿着相反维度的基本几何投影，见图2。正式地说，这个说法只有在最大矩形亚点阵

有意义时，即当矩形参数τ_r，ν_r＜∞时才成立。假设这个条件成立，令 N＝τ_r·v_r表示矩形亚点阵A_r相对于完整点阵A的索引，即，N＝[Λ_r：Λ]。例如，当Λ＝Λ_rec时，我们得到τ_r＝ν_r＝1和N＝1。当Λ＝Λ_hex时，我们得到τ_r＝a和v_r＝2/a并且因此N＝2。在不失一般性的情况下，我们假设∈|Λ_r＝1。

承认这个假设，我们得到以下公式：

(2.9)

(2.10)

我们现在继续描述相反方向上的交织变换，其表示为：

(2.11)

(2.12)

为了描述这些，我们需要介绍一些术语。设

和b^freq表示群Heis (Λ_r，1)的Heisenberg表示的时间和频率实现。b^time、

是在Λ_∈的动作下分别通过

和

的唯一(直至乘以标量)的不变向量。(2.11) 和(2.12)的公式为：

(2.13)

(2.14)

在其中Λ＝Λ_r，并且∈＝1，的矩形情形下，我们得到N＝1和 b^time＝b^freq＝1.。在(2.13)和(2.14)中代入这些值，我们得到：

(2.15)

(2.16)

另外，在其中Λ＝Λ_hex并且∈＝∈_hex，的六边形情形下，我们得到 N＝2，τ_r＝a，v_r＝2a^-1和b^time(1，i)，b^freq＝(1，-i)。在(2.11)和(2.12) 中代入这些值，我们得到：

(2.17)

(2.18)

此外，可以表明

因此Zak变换对构成傅里叶变换的平方根分解，从而加强将Zak实现解释为位于时间与频率之间(见图8)。如前所述，Zak变换的特有性质在于，它在Heisenberg群动作之间交换：

命题2.1。我们得到：

(2.19)

(2.20)

对于每个

以及(υ，z)∈Heis.

示例2.2。作为示例，我们考虑矩形点阵

以及不重要的Heisenberg字符∈＝1.。在这些选择下，我们描述窗口函数的 Zak实现：

(2.21)

这个函数通常被用作多载波调制(没有CP)中的发生器滤波器。公式(2.15)的直接应用表明

由以下给出：

(2.22)

可以表明，对于每个a，b∈[0，1)，，P(aτ_r，b/τ_r)＝1，这意味着它具有恒定模数1，其中相位由沿着τ的常规阶梯函数给出，并且恒定阶梯(step) 由多普勒坐标v给出。注意P在相位上沿着延迟以每个整数点跳跃时的不连续度。这个相位不连续度是矩形窗口p在边界处的不连续度的Zak域表现。

B3.一般化Zak实现

出于在信道均衡的背景下出现的各种计算原因，我们需要扩展范围并且还考虑标准标量Zak实现的更高维一般化。具体地，一般化Zak实现由欠采样的Heisenberg点阵(Λ，∈).参数化。给定这个选择，我们固定以下结构：

设Heis(Λ，∈)＝Λ^⊥×S¹/Λ_∈为与(Λ，∈)相关联的有限Heisenberg群，见公式(1.15)。设N²＝[Λ：Λ^⊥]为Λ^⊥内部的Λ的索引。最后，设π_∈为Heis (Λ，∈).的有限维Heisenberg表示。此时，我们对表示π_∈的任何具体实现都不感兴趣。

一般化Zak波形是满足以下π_∈准周期性条件的向量值函数

(3.1)

对于每个υ∈V以及λ∈Λ^⊥.。观察到当点阵A被临界采样时，我们得到N＝1并且条件(3.1)减少到(2.3)。在其中Λ＝Λ_r，∈＝1的矩形情形下，我们可以采取

因此准周期性条件(3.1)采取显式形式：

(3.2)

其中我们代入υ＝(τ，ν)和λ＝(k/v_r，l/τ_r).。具体地，我们从(3.2) 看出，

的第n坐标满足沿着多普勒的以下条件：

(3.3)

对于每个

我们用

来表示一般化Zak波形的希尔伯特空间。我们现在继续定义Heisenberg群在

上的动作。动作公式类似于(2.4)并且由以下给出：

(3.4)

对于每个

以及(υ，z)∈Heis.。类似地，我们得到

对于每个λ∈Λ.。

3.1 Zak到Zak交织变换

在对应的Heisenberg动作之间存在非零交织变换的意义上， Heisenberg表示的标准和一般化Zak实现是同构的。为了进行描述，我们考虑以下设置。我们固定临界采样的Heisenberg点阵(Λ，∈)和索引N的亚点阵

我们用∈′来表示将∈约束到亚点阵Λ′。我们的目标是描述交织变换(见图9)。

(3.5)

(3.6)

我们以描述

开始。在子群

的动作下通过表示π_∈′，设

为唯一(直至乘以标量)的不变向量，也就是，ζ满足以下条件：

对于每个λ∈Λ.。给定一般化Zak波形

经变换的波形

由以下给出：

(3.7)

对于每个υ∈V。换句话说，通过取得与不变向量ζ的内积来逐点限定经变换的波形。我们继续描述

为此，我们限定采样的Zak波形的希尔伯特空间。采样的Zak波形是满足准周期性条件(2.3)的以下离散版本的函数

(3.8)

对于每个δ∈Λ^′⊥以及λ∈Λ。我们用

来表示采样的Zak波形的希尔伯特空间。可以表明，

是维度[Λ：Λ^′⊥]＝[Λ′：Λ]＝N的有限维向量空间。采样的Zak波形的希尔伯特空间容纳有限Heisenberg群Heis (Λ′，∈′).的动作。这个动作是由以下给出的(2.4)的离散版本：

(3.9)

对于每个

以及点δ，δ′∈Λ^′⊥.。我们现在可以限定交织变换

给定Zak波形

经变换的一般化波形

是关于V 在N维希尔伯特空间

中取值的函数，由以下限定：

(3.10)

对于每个υ∈V以及δ∈Λ^′⊥.。为了具体起见，详细地描述矩形情形是有益的。我们考虑具有不重要的嵌入∈＝1和亚点阵

的矩形点阵Λ＝Λ_r。显然，我们得到[Λ′：Λ]＝N。对于这些特定选择，上述结构采取以下具体形式：

·与(Λ，∈)相关联的有限Heisenberg群由以下给出：

·Heis(Λ，∈)的有限Heisenberg表示由以下给出：

π_∈(z)＝z，

·Λ′的正交补充点阵由以下给出：

·与(Λ′，∈′)相关联的有限Heisenberg群由以下给出：

·Heis(Λ′，∈′)的有限Heisenberg表示由

给出，其中：

·根据π_∈′(λ，∈’(λ))＝π_∈′(λ，∈′(λ))，λ∈Λ的不变向量由以下给出：

ζ＝δ(0)，

代入公式(3.7)，我们得到：

(3.11)

换句话说，从一般化到标准Zak波形的转换“仅仅”是在每个点υ∈V处采取零坐标。在相反方向上，给定Zak波形

它约束到点阵Λ^′⊥相对于平移Λ的元素是周期性的，因此是关于商群

的函数，即，

中的向量。代入公式(3.10)，我们得到：

对于每个

以及(τ，ν)∈V.。

B4.ZDMA收发器实施例

在这一章节中，我们描述结合Zak实现形式体系的ZDMA收发器的结构。另外，我们描述可以实现为多载波调制上的预处理步骤的较弱版本。

B4.1 收发器参数

ZDMA收发器结构是基于以下参数：

(1)产生Zak波形

的希尔伯特空间的Heisenberg临界采样的点阵(Λ，∈)

(2)发射和接收滤波函数

(3)对于每个υ∈V.来说满足P(υ)≠0的非退化脉冲波形

发射函数w_tx是关于延迟多普勒平面的函数，该延迟多普勒平面起到二维滤波器的作用，从而使发射的信号成形到具体带宽和具体持续时间。接收函数w_rx主要是与w_tx匹配的函数。此后我们将假设它被限定为

(4.1)

对于每个υ∈V。另外，我们假设函数w＝w_tx可以分解为扭矩 /Heisenberg卷积

其中w_τ是在延迟轴线上支持的一维函数，并且w_v是在多普勒轴线上支持的一维函数。可以验证：

(4.2)w(τ，v)＝w_τ(τ)w_ν(ν)，

对于每个

考虑此类可分解的滤波器的益处在于，可以在两个因数的简单分析方面表达它们大多数的属性。具体地，在这种情形下，接收的匹配函数由

给出，其中

和

是从标准信号处理熟悉的相应一维共轭函数，即：

(4.3)

(4.4)

分别对于每个

以及

在典型的情形下，我们要求对于每个非零整数k来说，一维滤波器w_τ是相对于带宽B＞0，i.e.，

是平方根尼奎斯特，并且相对地，我们要求对于每个非零整数l来说，一维滤波器w_ν相对于持续时间T＞0，i.e.，

是平方根尼奎斯特。为了进一步继续，我们需要选择点阵Λ的基础：

(4.5)

认可这样的选择后，对于每个0≤a，b≤1，我们可以将脉冲限定为满足P(ag₁+bg₂)的唯一准周期函数。应注意，当点阵是矩形的并且基础是标准基础时，在示例2.2中描述了此脉冲。在描述收发器接收之前，我们需要解释如何编码信息位。这些相对于点阵Λ.编码到周期函数

中。在典型的情形下，我们假设x是以下形式的采样Λ-周期函数：

(4.6)

其中

是限定延迟多普勒信息点阵

的密度的固定参数。更正规地说，x是关于信息点阵Λ_N，M的函数，该信息点阵相对于亚点阵

是周期性的。当点阵是矩形的时，x的表达式特别简单。在这种情况下，它采取以下形式：

(4.7)

B4.2 收发器结构

在指定了基础结构和参数之后，我们接下来描述ZDMA调制和解调制变换。给定编码信息位的周期函数

我们通过以下规则来限定经调制的波形

(4.8)

其中

是在Zak与时域波形之间转换的Zak变换，见(2.7)。换句话说，调制首先通过乘法经由与P相乘来将信息函数变换成Zak波形。接下来，通过利用二维滤波器w的扭曲卷积使波形的带宽和持续时间成形。最后，通过应用Zak变换来将驯化的Zak波形变换成时域波形。为了更好地理解发射波形的结构和二维滤波的实际影响，我们应用若干代数操作以得到更具体的表达。首先，我们注意到

是交织变换，因此遵守关系：

(4.9)

其次，假设

我们可以将

写为组成时间

因此将二维滤波操作表达为两个连续的一维操作的级联：

(4.10)

其中*代表关于

的线性卷积，并且W_t＝FT^-1(w_v)。我们将波形

称为裸ZDMA波形。我们从公式(4.10)中看出，通过应用时间窗口W_t接着是利用脉冲w_τ的卷积而从裸波形中获得发射波形。另外，可以验证当在点阵

上对x采样时，见(4.6)，裸波形是沿着点阵的无限Δ脉冲串：

(4.11)

其中点阵

是点阵Λ_N，M在延迟轴线上的投影。当Λ＝Λ_r是矩形的时，投影的点阵采取特别简单的形式。在这种情况下，我们得到：

(4.12)

我们现在进行到描述解调制映射。给定接收到的波形

我们通过以下规则来定义其解调制图像

(4.13)

我们强调y是Zak波形(区别于周期函数)的事实。我们通常结合在点阵Λ_N，M上对y进行采样的另一个步骤作为解调制映射的一部分，因此获得采样的Zak波形

其为关于Λ_N，M的满足准周期性条件的函数：

(4.14)

总而言之，假设

是采样的周期函数，ZDMA收发器链将其转换成采样的Zak波形

总的来说，组合变换

是线性变换：

(4.15)

使采样的周期函数成为采样的Zak波形。具体地，我们得到，

的域和范围都是维度N·M的有限维向量空间。在下一子章节中，我们将更详细地分析输入变量x与输出变量y之间的确切关系。

B4.3 输入输出关系

我们首先假设发射器与接收器之间的信道是不重要的。此外，我们假设接收的滤波器与发射滤波器匹配，即，

为简单起见，我们表示w＝w_tx并且假设w是可分解的，即，

在这个阶段，关于一维滤波器w_τ和w_ν的具体结构，我们不做任何假设。给定输入函数

直接计算表明

由以下给出：

(4.16)

因此我们看出，y由x·P的扭曲卷积通过自相关滤波器

给出。我们的目标是计算

的显式公式。首先我们注意到，由于

我们可以写出：

(4.17)

其中

是延迟滤波器w_t的一维自相关函数。另外，由于

是在τ轴线上支持的并且

是在v轴线上支持的，因此我们得到以下简单关系：

(4.18)

因此，对于任何给定的点(τ，ν)，，我们可以用以下形式写出

(4.19)

其中

我们注意到，

的定义取决于从我们使用的符号中不明显的点τ。公式(4.19)始终成立并且是在关于滤波器w_τ和 w_υ.的各种假设下获得

的近似的关键。我们感兴趣的情况是在w_τ和 w_υ.分别相对于带宽B和持续时间

是平方根尼奎斯特时，并且另外B·T＞＞1.。在这种情况下，我们可以逼近

这进而暗示：

(4.20)

具体地，在其中Λ＝Λ_r，

而使得NM＞＞1的矩形情形下，将QAM符号置于点阵

上产生：

(4.21)

因此在信道为AWGN时允许完美重建而无需均衡。接下来，我们描述在存在有意义的信道H＝Π^time(h)的情况下描述输入-输出关系，其中 h＝h(τ，ν)是延迟多普勒脉冲响应。为了分析起见，假设h是单个反射器，即

就足够了。在以下计算中，我们使用短符号

给定输入

直接计算表明发射-接收图像

由以下给出：

(4.22)

我们的目标是计算

的显式公式。为此，我们首先写出：

(4.23)

其中

另外，我们得到：

(4.24)

因此，总的来说，我们可以写出：

(4.25)

其中

如果我们假设w_τ和w_ν分别相对于带宽B和持续时间T是尼奎斯特，并且另外具有B·T＞＞1 and ν₀＜＜B，那么我们可以逼近

这进而暗示：

(4.26)

B4.4 信道获取

回顾输入输出关系

我们继续导出经滤波的信道脉冲响应h_w的简单获取方案。为此，我们固定点υ₀∈V并且考虑标准脉冲结构P(ag₁+bg₂)＝1 for 0≤a，b≤1.。鉴于这些选择，我们将先导结构限定为Zak波形

B4.5 弱ZDMA

在这一子章节中，我们描述可以被构造为多载波收发器的预处理层的ZDMA收发器的弱版本。我们将这个收发器称为w-ZDMA。w-ZDMA 收发器的定义取决于与我们先前描述的ZDMA收发器相似的参数，然而具有几个附加的假设。第一个假设是发射和接收滤波器是具有周期Λ的周期性的，即

换句话说，

其中

是离散窗口函数并且SF是辛傅里叶变换。对窗口W_tx的支持决定发射包的带宽和持续时间。通常，我们将接收滤波器视为匹配的

或者等效地，

另一个假设是发生器信号

满足正交性条件：

(4.27)

我们注意到，条件(4.27)等效于关于Heisenberg点阵

的波形

的Gabor正交性条件。为了明白这一点，设λ∈Λ并且考虑内积

现在写出：

(4.28)

其中在第二等式中，我们使用

是交织变换的事实，并且在第四等式中，我们使用(2.5)。给定编码信息位的输入函数

我们通过利用

的周期卷积将发射的波形的频带和持续时间成形。总的来说，根据以下规则来调制信号x：

(4.29)

有启发性的是将公式(4.29)与公式(4.8)进行比较。观察到主要差别在于应用成形滤波器的方式，其中在ZDMA中，通过扭曲卷积

的操作进行应用，并且在w-ZDMA中，通过周期卷积

的操作进行应用。我们接下来解释调制规则(4.29)如何可以表达为多载波调制方案上的层。为此，我们以形式w*x＝SF(W·X) 写出w*x，其中x＝SF(X)，也就是说：

(4.30)

对于每个υ∈V.。因此：

(4.31)

在Heisenberg字符∈＝1，的情况下，例如，当Λ＝Λ_r是矩形的时，调制公式变成

我们现在继续描述在接收器侧处实现的解调制规则。给定时域波形

接收器根据以下公式对其进行解调：

(4.32)

观察到，当信道因正交性条件(4.27)而是标识时，我们在组成调制和解调制之后获得完美重建：

(4.33)

我们还注意到，正交性条件对于实现完美重建来说并不是关键的。事实上，需要强加的是，P为非退化的，也就是说，

没有消失。对于非退化的P，可以将输入x重建为：

使用一般非退化发生器函数产生w-ZDMA收发器的非正交变体。对于形式H＝π^time(υ₀)where υ₀＝(τ₀，ν₀)的有意义信道变换，我们得到：

(4.34)

其中第二等式是

的定义，第三等式是Zak变换的交织性质，并且最后的等式是

的定义。最后，设υ＝(τ，ν)，其中0≤τ，ν＜1，并且评估υ处的y。

(4.35)

假设υ₀与点阵维度相比较小并且P是连续函数，我们得到近似(G的连续性假设并不始终成立，例如在

时的最常见情况下，这是标准窗口函数的情况。)

(4.36)

其中对于近似，我们使用以下事实：按照连续性条件，

并且

应注意，当P对应于标准窗口时(见示例2.2)，近似(4.36)不再有效，因为P在基本单元的边界处不是连续的。

C0.介绍Zak实现中的雷达波形设计

在后续章节中，描述基于离散序列和连续信号(亦称波形)的Zak 表示的雷达波形设计的一般系统方法。顺便我们使用Heisenberg群的形式体系形成采样和滤波的理论。我们以基于离散Zak序列的压缩雷达波形的特定组的示例结束。这些波形具有均匀的时间功率轮廓和图钉状模糊度函数，其中在维度是自由参数的原点周围具有清洁穿孔区域。

C1.雷达波形设计的设置

设

为配备有标准辛形式ω的延迟多普勒平面：

ω(υ₁，υ₂)ν₁τ₂-v₂τ₁，

对于每个υ₀＝(τ₁，v₁)以及υ₂＝(τ₂，v₂)。设β为极化形式：

β(υ₁，υ₂)＝ν₁τ₂.

使用形式β，我们介绍被称为扭曲卷积的关于V的函数之间的二元运算。为了简化符号，我们用ψ(z)＝exp(j2πz)来表示标准傅里叶指数。给定一对函数

我们将它们的扭曲卷积定义为：

我们固定临界采样的点阵

我们假设Λ₁是以下形式的矩形：

使得τ_r·v_r＝1。我们固定以下形式的矩形超点阵

其中Δτ＝τ_r/N并且Δv＝v_r/M。我们用L＝[Λ：Λ₁]来将Λ₁的索引表示为Λ的亚点阵。容易验证L＝N·M。这个数字也对有限商群Λ/Λ₁中的点的数量进行计数。另外，我们用Λ^⊥来表示Λ的辛正交补充，由以下限定：

对于每个λ∈Λ}，

我们得到

总的来说，我们限定嵌套系列的点阵(见图10)：

我们注意到[Λ：Λ^⊥]＝L²，或等效地，商群Λ/Λ^⊥中的点的数量等于L²。最后，我们介绍关于点阵Λ的函数之间的扭曲卷积运算的离散变体。给定一对函数

我们将它们的扭曲卷积定义为：

C2.连续Zak信号

在经典的信号处理中，存在信号实现的两个基本域：时域和频域。这些域中的每一者表明互补属性并且这两个实现之间的转换通过傅里叶变换来执行。事实证明，存在被称为Zak域的另一个基本域。连续Zak 信号是满足以下准周期性条件的函数

Φ(υ+λ₁)＝ψ(β(υ，λ₁))Φ(υ)，

对于每个υ∈V以及λ₁∈Λ₁。具体地，如果我们取υ＝(τ，ν)并且λ₁＝(kτ_r，lv_r)，那么条件(2.1)采取以下形式：

Φ(τ+kτ_r，v+lv_r)＝ψ(kvτ_r)Φ(τ，v)，

给定一对Zak信号

我们将它们的内积限定为：

我们用

来表示连续Zak信号的希尔伯特空间。我们将

配备有由算子值变换Π：

限定的Heisenberg动作，其由以下限定：

对于每个

以及

我们将Π称为Heisenberg变换。 Heisenberg变换容纳被称为Wigner变换的逆变换。给定一对Zak信号

秩一算子|Φ₂><Φ₁|的Wigner变换是由以下给出的函数

对于每个υ∈V，其中π(υ)＝Π(δ(υ))。函数(2.5)被称为信号Φ₁和Φ₂的交叉模糊度函数。在Φ₁＝Φ₂＝Φ的情况下，我们简单地用

表示交叉模糊度函数并且将其称为信号Φ的模糊度函数。Zak域与时域之间的转换通过Zak变换

来执行，由以下给出：

对于每个

我们以显式Zak信号及其时域实现的示例结束这一章节。对于0≤n≤N-1以及0≤n≤M-1，设Φ_n，m为在点阵点(nΔτ，mΔv) 上支持的Δ函数的唯一准周期性扩展，即：

直接计算表明Φ_n，m的Zak变换是时间移位的相位调制的无限Δ脉冲串(见图5)，由以下给出：

C3.离散Zak信号

连续Zak理论容纳我们继续描述的(有限)离散对应物。发展遵循与在前一章节中相同的路线。我们使用小写字母来表示离散Zak信号。离散Zak信号是满足以下准周期性条件的函数

φ(λ+λ₁)＝ψ(β(λ，λ₁))φ(λ)，

对于每个λ∈Λ以及λ₁∈Λ₁。具体地，如果我们取λ＝(nΔτ，mΔv)并且λ₁＝(kτ_r，lv_r)，那么条件(3.1)采取以下形式：

φ(nΔτ+kτ_r，mΔv+lv_r)＝ψ(mkΔvτ_r)φ(nΔτ，mΔv)

＝ψ(mkv_rτ_r/M)φ(nΔτ，mΔv)

＝ψ(mk/M)φ(nΔτ，mΔv),

给定一对离散Zak信号

我们将它们的内积限定为：

我们用

来表示离散Zak信号的希尔伯特空间。可以表明dim

我们将

配备有通过变换

表达的有限 Heisenberg群的动作，由以下给出：

对于每个

以及

我们将Π_L称为离散Heisenberg变换。离散Heisenberg变换容纳被称为离散Wigner变换的逆变换。给定一对离散Zak信号

秩一算子|φ₂><φ₁|的离散Wigner变换是由以下给出的函数

对于每个λ∈Λ，其中π_L(λ)＝Π_L(δ(λ))。函数(3.5)被称为信号φ₁和φ₂的离散交叉模糊度函数。由于对于每个λ∈Λ以及λ^⊥∈Λ^⊥，π_L(λ+λ^⊥)＝π_L(λ)，因此结果就是

相对于亚点阵Λ^⊥是周期性的，即：

对于每个λ∈Λ以及λ^⊥∈Λ^⊥。当φ₁＝φ₂＝φ时，我们用

表示离散交叉模糊度函数并且将其称为φ的离散模糊度函数。

C4.Zak域上的采样理论

采样理论的焦点是描述连续与离散交叉模糊度函数之间的关系。为此，我们用

来表示关于V的一般化函数的向量空间。在两个基本变换方面陈述主要断言：

变换s被称为采样并且它将关于V的函数发送到其在点阵Λ上的样本。变换被称为嵌入并且它将离散函数

发送到由Δ函数的以下叠加给出的关于V的一般化函数(分布)：

采样和嵌入变换产生连续与离散Zak信号的对应希尔伯特空间之间的诱导变换。我们用相同的名称来表示诱导变换，即：

其中

表示一般化Zak信号(分布)的向量空间。给定函数

我们用

来表示它相对于亚点阵

的周期化，即：

对于每个λ∈Λ。主要技术陈述在以下定理中概述。

定理4.1(采样理论的主要定理)。以下两个关系成立：

(1)采样关系。对于每个

我们得到：

(2)嵌入关系。对于每个

我们得到：

简明地说，采样关系断言采样的连续信号的离散交叉模糊度函数是连续信号的采样(和周期化)的交叉模糊度函数。嵌入关系断言嵌入的离散信号的连续交叉模糊度函数是离散信号的交叉模糊度函数的嵌入。

C5.滤波器理论

滤波器理论提供将离散序列转换成连续波形的手段。我们将 Heisenberg滤波器限定为函数

如果滤波器ω可以写成 w＝w_τ*_σw_v，那么我们说它是可因式分解的，其中w_τ是在延迟轴线上支持的分布并且w_v是在多普勒轴线上支持的分布。应注意，这样的函数采取以下形式：

w(τ，v)＝w_τ(τ)w_v(v)，

对于每个

滤波器ω在Zak信号Φ上的运算方式通过 Heisenberg变换来执行，即：

以上等式表明Zak信号与Heisenberg变换之间的关系。尽管该关系被描述为数学步骤的序列，但一般来说，实现方式不需要显式地执行这些步骤，而是可以使用数值方法来计算最终结果，而不必计算和存储任何中间结果。

Heisenberg变换的效果的时域解释

为了获得一些启发，有益的是通过探索

的结构来解释时域中的Heisenberg滤波的效果。假设ω是可因式分解的，可以表明：

其中W_t＝FT^-1(w_v)并且*代表线性卷积。我们看出，Heisenberg滤波相当于首先在时间中施加窗口接着在频率中施加窗口的级联，也就是，利用脉冲的卷积(见图6)。这一章节的主要技术陈述描述了离散与连续模糊度函数之间的关系。结果将由以下一般命题产生。

命题5.1.给定一对Zak信号

以及对应的一对Heisenberg滤波器

以下关系成立：

其中

是Heisenberg共轭函数。

在Φ₁＝Φ₂＝Φ，其中Φ＝ι(φ)并且w₁＝w₂＝w的情况下，命题的陈述描述了序列φ的离散模糊度函数与波形Φ_w的连续模糊度函数之间的关系。结果在以下定理中概述。

定理5.2(滤波器理论的主要定理)。给定离散Zak信号

和 Heisenberg滤波器

以下关系成立：

其中，对于每个υ∈V，P_υ＝w*_σδ(υ)*_σw^★。

简明地说，该定理断言波形Φ_w的模糊度函数是通过利用脉冲P_λ(其形成取决于λ的特定值)的成形从序列Φ的模糊度函数获得的。在某种意义上，最佳雷达波形的设计包括两个方面。第一个涉及期望的离散模糊度函数的有限序列的设计，并且第二个涉及对于λ的各种值的期望脉冲形状 P_λ的Heisenberg滤波器ω的设计。

C6.Zak理论线性调频波形

在这一章节，我们描述基于Zak域中的离散线性调频序列的压缩雷达波形的特定系列。这些波形具有均匀的时间功率轮廓和图钉状模糊度函数。构建假设以下设置。我们假设

是互质奇整数。

我们设

为整数模数N的环中的可逆元素。我们用

来表示有限傅里叶指数ψ_N(n)＝ψ(n/N)。

我们将离散Zak信号

限定为：

对于每个

我们将ch称为阶数N和斜率a的离散Zak线性调频。我们接下来探索离散模糊度函数

的结构。为此，我们介绍亚点阵

(见图11)，由以下给出：

Λ_a＝{(nΔτ，kMΔν)：k＝a·n mod N}，

定理6.1.离散模糊度函数

在点阵Λ_a上得到支持。此外：

对于每个(n，k)，使得k＝a·n mod N。

定理6.1的直接结果就是

在间隔I_r＝[-τ_r/2，τ_r/2]×[-ν_r/2，ν_r/2] 的非零点上消失，我们称之为“清洁”区域。接下来，我们固定滤波函数

并且将连续Zak线性调频

限定为：

Ch＝w*_σι(ch)，

通过滤波器理论的主要定理(定理5.2)，我们知道连续模糊度函数

通过以下等式与离散模糊度函数

相关：

其中对于每个υ∈V，P_υ＝w*_σδ(υ)*_σw^★。假设脉冲P_λ针对每个λ∈Λ_a∩2I_r很好地局部化，连续模糊度函数

将具有图钉形状，其中零周围的清洁区域与间隔I_r一致(见图12)。在数字N，M＞＞1的情况下，将滤波函数ω选择为相对于点阵Λ成平方根尼奎斯特确保P_λ针对每个λ∈Λ∩2I_r很好地局部化。

基于所公开的技术的示例性方法

图13是无线通信方法的示例的流程图，并且在章节“C”的上下文中描述。方法1300包括，在步骤1310处，将信息信号变换成离散序列，其中离散序列是信息信号的Zak变换版本。在一些实施例中，离散序列是准周期性的。

方法1300包括，在步骤1320处，生成与离散序列对应的第一模糊度函数。在一些实施例中，第一模糊度函数是在离散点阵上支持的离散模糊度函数。

方法1300包括，在步骤1330处，通过使第一模糊度函数脉冲成形来生成第二模糊度函数。在一些实施例中，第二模糊度函数是连续模糊度函数，并且脉冲成形基于在离散点阵上局部化的脉冲。

方法1300包括，在步骤1340处，生成与第二模糊度函数对应的波形。在一些实施例中，波形包括均匀的时间功率轮廓。

方法1300包括，在步骤1350处，通过无线通信信道来传输波形。尽管在方法1300中执行的处理被描述为多个步骤，但一般地，可以在没有显式地生成任何中间信号的情况下实现输入到输出变换。例如，与第二模糊度函数对应的波形可以由信息信号直接生成，而无需生成中间离散序列或第一模糊度函数。

因此，在章节“C”的上下文中描述的用于无线通信的另一方法中，该方法包括：从信息信号获得波形，其中波形对应于第二模糊度函数，该第二模糊度函数是第一模糊度函数的脉冲成形版本，其中第一模糊度函数对应于离散序列，并且其中离散序列是信息信号的Zak变换版本；以及通过无线信道来传输波形。

图14是无线通信方法的另一个示例的流程图，并且在章节“A”和“B”的上下文中描述。方法1400包括，在步骤1410处，将信息信号变换成离散点阵域信号。在一些实施例中，离散点阵域包括Zak域。

方法1400包括，在步骤1420处，通过二维滤波过程来使离散点阵域信号的带宽和持续时间成形以生成经滤波信息信号。在一些实施例中，二维滤波过程包括利用脉冲的扭曲卷积。在其他实施例中，脉冲是二维滤波的每个维度的可分离函数。

方法1400包括，在步骤1430处，使用Zak变换从经滤波信息信号生成时域信号。在一些实施例中，时域信号包括没有中间循环前缀的经调制信息信号。

方法1400包括，在步骤1440处，通过无线通信信道来传输时域信号。例如，处理器可以实现方法1400，并且在步骤1440处，可以引起发射器电路传输所生成的波形。

图15示出无线收发器装置1500的示例。装置1500可以用来实现本文中描述的各种技术。装置1500包括处理器1502、存储器1504，该存储器在由处理器执行的计算期间存储处理器可执行指令和数据。装置 1500包括接收和/或发射电路1506，例如，包括用于接收或发射信号和/ 或接收数据或信息位以便通过无线网络传输的射频操作。

将了解，公开了数据调制的技术，其中可以使用QAM子载波来传输信息信号，而无需使用循环前缀。在一些实施例中，可以使用被称为 OFDM-多载波(MC)的调制技术，其中利用周期脉冲函数来使QAM符号卷积。在一些实施例中，信号的Zak域表示用于使经调制信息信号的带宽和持续时间成形。

所公开的技术的示例性实现方式

本文件中描述的所公开的以及其他实施例、模块和功能操作可以在数字电子电路或者计算机软件、固件或硬件中实现，包括本文件中公开的结构和它们的结构等效物或者它们中的一者或多者的组合。所公开的和其他实施例可以被实现为一个或多个计算机程序产品，即，在计算机可读介质上编码的计算机程序指令的一个或多个模块，以便由数据处理装置执行或控制数据处理装置的操作。计算机可读介质可以是机器可读存储设备、机器可读存储基底、存储器设备、影响机器可读传播信号的物质的组成，或者它们中的一者或多者的组合。术语“数据处理装置”涵盖用于处理数据的所有装置、设备和机器，例如，包括可编程处理器、计算机或者多个处理器或计算机。除了硬件之外，装置可以包括为所探讨的计算机程序创建执行环境的代码，例如，构成处理器固件、协议栈、数据库管理系统、操作系统或者它们中的一者或多者的组合的代码。传播信号是人工生成的信号，例如，机器生成的电信号、光信号或电磁信号，所述信号被生成以对信息进行编码以便发射到合适的接收器装置。

计算机程序(也被称为程序、软件、软件应用、脚本或代码)可以用任何形式的编程语言编写，包括编译或解释语言，并且它可以按任何形式部署，包括作为独立程序或模块、部件、子例程，或者适用于计算环境的其他单元。计算机程序不必对应于文件系统中的文件。程序可以存储在保存其他程序或数据的文件的一部分中(例如，存储在标记语言文档中的一个或多个脚本)，存储在专用于所讨论的程序的单个文件中，或者存储在多个协调文件中(例如，存储一个或多个模块、子程序或代码部分的文件)。计算机程序可以部署为在一台计算机上执行，或者在位于一个站点或分布在多个站点之间并通过通信网络互连的多台计算机上执行。

本文件中描述的过程和逻辑流程可以由一个或多个可编程处理器执行，所述可编程处理器通过在输入数据上操作并且生成输出来执行一个或多个计算机程序以执行功能。过程和逻辑流程也可以由专用逻辑电路执行，并且装置也可以实现为专用逻辑电路，例如，FPGA(现场可编程门阵列)或ASIC(专用集成电路)。

适用于执行计算机程序的处理器包括例如通用和专用微处理器，以及任何种类的数字计算机的任何一个或多个处理器。通常，处理器将从只读存储器或随机存取存储器或两者接收指令和数据。计算机的基本元件是用于执行指令的处理器以及用于存储指令和数据的一个或多个存储器设备。通常，计算机还将包括用于存储数据的一个或多个大容量存储设备，例如磁盘、磁光盘或光盘，或者操作地耦合以从其接收数据或将数据传送到其或这两者。然而，计算机不需要具有此类设备。适用于存储计算机程序指令和数据的计算机可读介质包括所有形式的非易失性存储器、介质和存储器设备，包括例如半导体存储器设备，例如，EPROM、 EEPROM以及闪存设备；磁盘，例如，内部硬盘或可移动盘；磁光盘；以及CD-ROM和DVD-ROM盘。处理器和存储器可以由专用逻辑电路补充或者并入专用逻辑电路中。

尽管本专利文件含有很多具体方面，但这些不应被解释为限制所要求保护的发明或可以要求保护的内容的范围，而是描述专用于特定实施例的特征。在单独的实施例的上下文中在本文件中描述的某些特征也可以在单个实施例中组合实现。相反地，在单个实施例的上下文中描述的各种特征也可在多个实施方式中分开实现或以任何合适的子组合实现。此外，尽管特征可以在上文描述为在某些组合中起作用并且甚至如最初要求保护的那样，但在一些情况下，所要求保护的组合中的一个或多个特征可以从组合中删除，并且所要求保护的组合可以指向子组合或子组合的变化。类似地，虽然在附图中按特定顺序描绘操作，但这不应被理解为要求此类操作以所示出的特定顺序或按先后顺序执行，或者执行所有示出的操作以实现期望的结果。

仅公开了一些示例和实现方式。基于公开的内容，可以作出对所描述的示例和实现方式以及其他实现方式的变化、更改和增强。

Claims (10)

1.一种用于无线通信的方法，其包括：

从信息信号获得波形，

其中所述波形是滤波信号的Zak变换版本，

其中所述滤波信号是利用脉冲的离散序列的扭曲卷积版本，

其中在具有延迟轴和多普勒轴的离散点阵上支持所述离散序列，其中所述延迟轴的密度是N的函数，所述多普勒轴的密度是M的函数，其中N和M是互质奇整数，

其中所述波形的第二模糊度函数是利用脉冲的第一模糊度函数的成形版本，以及

其中所述第一模糊度函数是所述离散序列的模糊度函数；

确定所述第二模糊度函数包括具有原点周围的清洁区域的图钉形状；以及

基于所述确定通过无线信道来传输所述波形。

2.如权利要求1所述的方法，其中所述波形包括均匀的时间功率轮廓。

3.如权利要求1所述的方法，其中所述第一模糊度函数是在所述离散点阵上支持的离散模糊度函数。

4.如权利要求3所述的方法，其中所述第二模糊度函数是连续模糊度函数，并且其中所述脉冲成形是基于在所述离散点阵上局部化的所述脉冲。

5.一种用于无线通信的方法，其包括：

将信息信号变换成在离散点阵上支持的离散点阵域信号，其中所述离散点阵包括延迟轴和多普勒轴，其中所述延迟轴的密度是N的函数，所述多普勒轴的密度是M的函数，其中N和M是互质奇整数；

通过二维滤波过程来使所述离散点阵域信号的带宽和持续时间成形以生成经滤波信息信号；

使用Zak变换从所述经滤波信息信号生成时域信号；

确定所述时域信号的模糊度函数包括具有原点周围的清洁区域的图钉形状；以及

基于所述确定通过无线通信信道来传输所述时域信号。

6.如权利要求5所述的方法，其中所述二维滤波过程包括利用脉冲的扭曲卷积。

7.如权利要求6所述的方法，其中所述脉冲是所述二维滤波的每个维度的可分离函数。

8.如权利要求5所述的方法，其中所述时域信号包括没有中间循环前缀的经调制信息信号。

9.一种无线通信设备，其包括存储指令的存储器以及处理器，其中所述指令在被所述处理器执行时致使所述处理器实现如权利要求1至8中任一项所述的方法。

10.一种无线信号传输装置，其包括存储器、处理器和传输电路，所述装置实现如权利要求1至8中任一项所述的方法。

Images