Calculo

En matemáticas encontrar patrones es esencial para resolver problemas y entre estos problemas donde los patrones son importantes están las sucesiones y series. El físico Carl Friedrich Gauss contó que a los 10 años en la escuela sus compañeros de clase tenían un desorden en el aula, cuando el profesor llega al ver semejante desorden enojado castiga a sus alumnos poniéndoles un problema matemático, les dice que sumen las sucesiones de los números del 1 al 100, es decir, 1+2+3+4+5…. +100. El prodigio niño Gauss entrega la solución del problema en un tiempo corto para un problema de esa índole, recordando que para ese entonces no utilizaban calculadoras. ¿Cómo lo hizo? Aquel niño se dio cuenta de un patrón que le permitía evitar tener que sumar todos los elementos, descubrió que reordenando los elementos de la suma y sumando siempre los simétricos solucionaba el problema. 

(1 + 100) = 101
(2 + 99) = 101
(3 + 98) = 101
…
(49 + 52) = 101
(50 + 51) = 101

De esta manera Gauss llega a la conclusión de que todas las sumas de simétricos daban 101, habiendo 50 posibles pares, el resultado era de 50 x 101, es decir, 5050. Más tarde al crecer Gauss utiliza estos principios con la que resolvió este problema para encontrar la suma de la serie geométrica y otros problemas similares. 

Otro clásico ejemplo de un problema de sucesiones y series es el problema de la cría de conejos que plantea: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir”. Este problema fue resuelto por el matemático Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci en lo que se nombró como sucesión de Fibonacci. Sin embargo, tenemos que tener en cuenta que esta sucesión ya fue descrita en las matemáticas de la India. Fibonacci supuso que una pareja de conejo criaba una nueva pareja de conejos cada mes y que después de los dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El número 𝑎𝑛 de parejas nacidas en el enésimo mes era de 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2, puesto que nace una pareja por cada pareja nacida en el mes anterior, y ademas cada pareja nacida hace dos meses produce ahora una pareja nueva.

Analizando que 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2, tomando como partida preliminar que 𝑎0 =0 y 𝑎1=1, desarrollamos la siguiente sucesión: 𝑎2  = 1, 𝑎3  = 2, 𝑎4  = 3, 𝑎5  = 5, 𝑎6  = 8, 𝑎7  = 13, 𝑎8  = 21. 

n = 2, 3, 4, 5, 8, 13, 21…

Las sucesiones y series matemáticas tratan de encontrar esos patrones en un conjunto de elementos numéricos. Teniendo esa información podremos resolver problemas relacionados a ellos y así como el problema de la suma de los números de 1 al 100 o el problema de la cría de conejo poder resolver un problema dado de elementos numéricos sucesivos sin tener que contar o calcular cada elemento, pues teniendo el patrón o la regla en la que la sucesión evoluciona sin importar si va al infinito podemos resolver un conjunto de problemas dados.

En este artículo se muestra el proceso de solución numérica del ejercicio N◦40, página 544, del libro “Cálculo de un variable”, con la finalidad de cumplir los requerimientos para el trabajo final de modelación de la asignatura Cálculo Integral. Por medio de la aplicación de integrales, se determinará la ecuación para el cálculo de la longitud de un cable telefónico y se hallrá la altura a la cual debe estar conectado el cable teniendo en cuenta la altura mínima de este respecto al suelo, y la distancia de separación entre ambos postes

** Un terreno rectangular va a ser cercado. El material que se necesita para dos de sus lados paralelos cuesta $12.00 por metro lineal; y los otros dos lados paralelos serán cercados con un material que cuesta $20.00 por metro lineal. Encontrar las dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda ser cercado con un costo de $1,800.00. Perímetro = 2x + 2y = 2(x)(20) + 2(y)(12) = $1800 de costo Área = (x) (y) ** Estas son las fórmulas son las que vamos a utilizar para resolver el problema.

Antes de explicar cómo resolver integrales con funciones racionales definamos que es una función racional para aquellos que aún no estén claros. Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.

f(x)=P(x)/Q(x)

La integración de algunas de estas funciones la podemos realizar por sustitución trigonométrica, ya sea completando al cuadrado o completando trinomio cuadrado perfecto, pero podemos utilizar un método más cómodo que consiste en descomponer la fracción en sumas o restas de funciones más simples llamadas fracciones parciales, y así no tendríamos que utilizar la tediosa trigonometría. Este método para descomponer funciones racionales fue propuesto por el matemático Johann Bernoulli, quien fue maestro del matemático Leonhard Euler.

Existen dos tipos de funciones racionales, las propias en la que el grado del numerador es menor que el grado del denominador e impropias que es inversa, es decir, el numerador es de mayor grado que el denominador.

En ciencias e ingeniería se aplican ecuaciones para resolver ciertos problemas, entre esos problemas tenemos aquellas ecuaciones que contienen funciones desconocidas que se relacionan con una o más de sus derivadas. A este tipo de ecuaciones es que llamamos ecuación diferencial. Se podría decir que cualquier ecuación que contenga la razón de cambio de una variable con respecto de otra podría ser una ecuación diferencial.

El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:
• Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación específica.
• Encontrar la solución apropiada de esa ecuación. 
• Interpretar la solución encontrada.

Es un honor como Docente de la Universidad Técnica de Manabí, presentar al estudiantado de la Facultad de Ciencias Matemáticas, Físicas y Químicas este compendio de Fórmulas de algunas de las ramas de las Matemáticas, que a veces son un poco temidas por nuestros estudiantes.
El presente documento que va dirigido especialmente a ellos, es una fuente de fácil consulta, basado en la experiencia de algunos años de compartir materias relacionadas con las Matemáticas.
Esta herramienta que pretende ser de mucha utilidad en su carrera como estudiante de Ingeniería, espero sea de mucha ayuda a todos ustedes y a todo profesional que necesite un documento que le proporcione de forma ágil, la información básica de algunas partes de las Matemáticas como por ejemplo: Álgebra, Geometría Analítica, Trigonometría, Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.

El tamaño de la muestra o cálculo de número de observaciones es un proceso vital en la etapa de cronometraje, dado que de este depende en gran medida el nivel de confianza del estudio de tiempos. Este proceso tiene como objetivo determinar el valor del promedio representativo para cada elemento. Los métodos más utilizados para determinar el número de observaciones son: • Método Estadístico • Método Tradicional Método Estadístico El método estadístico requiere que se efectuen cierto número de observaciones preliminares (n'), para luego poder aplicar la siguiente fórmula: NIVEL DE CONFIANZA DEL 95,45% Y UN MÁRGEN DE ERROR DE ± 5% siendo: n = Tamaño de la muestra que deseamos calcular (número de observaciones) n' = Número de observaciones del estudio preliminar Σ = Suma de los valores x = Valor de las observaciones. 40 = Constante para un nivel de confianza de 94,45% Ejemplo

Existe un tipo de ecuación diferencial de coeficientes variables en la que no es necesario utilizar series infinitas y cuya solución general puede ser expresada en términos de potencia de x, senos, cosenos y funciones logaritmicas. Este tipo de ecuación son aquella que el grado de la variable independiente es igual al orden de la derivada que la acompaña y le es llamado Ecuación diferencial de Cauchy-Euler.

En este documento van a conocer como se resuelven este tipo de ecuación diferencial, en la cual ademas de la teoría. contiene un ejemplo de una ecuación diferencial de este tipo de segundo orden con condiciones o valores iniciales.