LECCIONES DE TOPOLOG´IATOPOLOG´ TOPOLOG´IA Managua, Enero de 2008

LECCIONES DE TOPOLOGÍA Managua, Enero de 2008 Prof. Marta Macho Stadler 2 Marta Macho Stadler Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencia y Tecnologı́a Universidad del Paı́s Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa e-mail: marta.macho@ehu.es http://www.ehu.es/ ˜mtwmastm Tlf: +34-946015352 Fax: +34-946012516 Portada: La banda de Möbius c Jean-Pierre Petit, http://www.jp-petit.com Las aventuras de Anselmo Lanturlu. El Topologicón http://www.savoir-sans-frontieres.com/ Índice general Introducción 5 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 1.1. Un poco de Lógica . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Sı́mbolos y conectores . . . . . . . 1.1.2. Los objetos del razonamiento . . . 1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes 1.1.4. Los métodos de demostración . . . 1.2. Teorı́a de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones y sus propiedades . . . . . . . . 1.4. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . 1.5. Propiedades de los números reales . . . . . 1.6. Nociones sobre cardinalidad de conjuntos . 1.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Espacios métricos 2.1. Definición de espacio métrico . . . . . . . 2.1.1. Definición de distancia . . . . . . . 2.1.2. Distancia entre conjuntos . . . . . . 2.1.3. Isometrı́as . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas . . . . . . 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . 2.3.1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . 2.3.2. Topologı́a inducida por una métrica 2.3.3. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 2.4.1. Clausura de un conjunto . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 3 4 5 7 9 12 14 15 16 . . . . . . . . . . . 23 23 23 27 28 28 29 29 30 32 33 33 4 Índice general 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.4.2. Interior de un conjunto . . . . . . . . 2.4.3. Frontera de un conjunto . . . . . . . Subespacios de un espacio métrico . . . . . . Diámetro de un conjunto. Conjuntos acotados Conjuntos densos y espacios separables . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Continuidad en espacios métricos 3.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . 3.2. Aplicaciones continuas y subespacios . 3.3. Extensiones de funciones continuas . . 3.4. Aplicaciones uniformemente continuas . 3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Convergencia en espacios métricos 4.1. Definición de sucesión . . . . 4.2. Sucesiones convergentes . . . 4.3. Sucesiones de Cauchy . . . . . 4.4. Espacios métricos completos . 4.5. Teorema de Baire . . . . . . . 4.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Conexión en espacios métricos 5.1. Espacios y conjuntos conexos . 5.2. Componentes conexas . . . . . 5.3. Espacios totalmente disconexos 5.4. Conexión en la recta real . . . . 5.5. Conexión y continuidad . . . . . 5.6. Conexión por caminos . . . . . 5.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Compacidad en espacios métricos 6.1. Espacios y conjuntos compactos . 6.2. Compacidad y continuidad . . . . 6.3. Compacidad secuencial . . . . . . 6.4. Compacidad en espacios euclı́deos 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 37 38 39 41 41 . . . . . 57 57 60 61 65 66 . . . . . . 75 75 76 79 80 82 84 . . . . . . . 91 91 93 94 95 96 96 98 . . . . . 105 105 107 109 111 112 5 Índice general 7. Espacios vectoriales normados 7.1. Normas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . 7.1.1. Métrica definida por una norma . . . . . . . . 7.1.2. Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . 7.1.4. Espacios de Hilbert y de Banach . . . . . . . . 7.2. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. Convergencia simple y uniforme . . . . . . . . 7.2.2. Algunos teoremas importantes en Análisis Real Bibliografı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 119 119 121 123 123 126 126 128 131 6 Índice general Introducción Entre lo que veo y digo, entre lo que digo y callo, entre lo que callo y sueño, entre lo que sueño y olvido, la poesı́a. “Decir: hacer” Octavio Paz (1914-1998) La Topologı́a estudia aquellas propiedades de los espacios que permanecen inalterables al someterlas a deformaciones continuas, es decir, a distorsiones que ni rompen ni pegan algo que no lo estaba previamente. Por ejemplo, el carácter circular de una circunferencia no es una propiedad topológica: se pueden pegar las extremidades de una cuerda para hacer una circunferencia, y sin cortar ni despegar, deformar esta figura en un cuadrado, una elipse, etc. Pero, la cualidad de no tener extremidades permanece constante durante estas transformaciones. Se suele bromear, comentando que las personas que se dedican al estudio de la topologı́a no distinguen la rosquilla de la taza de café:, como se muestra en la figura de debajo: en efecto, hemos pasado de la rosquilla a la taza sin realizar ni roturas ni cortes: ha sido una transformación topológica. 7 8 Introducción La topologı́a es pues matemática cualitativa, matemática sin números: trata de propiedades cualitativas intrı́nsecas de los espacios, que son independientes de su tamaño, posición y forma. Los espacios métricos son los primeros ejemplos de espacios topológicos, los que primero surgieron en el estudio cualitativo de espacios: generalizan las propiedades de los espacios euclı́deos, donde sabemos medir la distancia entre dos puntos dados. En este texto, se trata de dar una introducción a la Topologı́a, a través de la teorı́a de espacios métricos: aunque son un caso especialmente sencillo de espacios topológicos, se hace una revisión de sus propiedades topológicas más importantes, intentando dar una visión más topológica que métrica en los enunciados y las demostraciones. El curso está organizado en siete capı́tulos. El primero de ellos recopila aquellos preliminares sobre teorı́a de conjuntos y lógica matemática que son necesarios para una buena comprensión del texto. Los siguientes cinco capı́tulos estudian las propiedades más importantes de espacios métricos: sólo están demostrados aquellos enunciados cuya prueba no es trivial, se han incluido una gran cantidad de ejemplos y cada capı́tulo finaliza con una amplia colección de ejercicios, donde los más complicados están marcados con el sı́mbolo ♣. El último capı́tulo se dedica al estudio de espacios normados y espacios de funciones, especialmente destacados en análisis real y complejo. La bibliografı́a indicada se refiere en su mayorı́a a textos sobre espacios métricos, aunque aparecen también algunos libros dedicados a los espacios topológicos en general, donde se puede continuar el estudio iniciado en este curso. Managua, enero de 2008 Repaso de algunos conceptos matemáticos Y aquı́ estoy yo, brotado entre las ruinas, mordiendo solo todas las tristezas, como si el llanto fuera una semilla y yo el único surco de la tierra. “Barrio sin luz” Pablo Neruda (1904-1973) 1.1. Un poco de Lógica La Lógica es una herramienta básica en Matemáticas; damos aquı́ un repaso de algunos conceptos fundamentales. 1.1.1. Sı́mbolos y conectores En Matemáticas, es fundamental la utilización de sı́mbolos y conectores que sirven para modificar o combinar sentencias. Definición 1.1. Los siguientes sı́mbolos se llaman cuantificadores: 1) el cuantificador universal: ∀ (para todo); 2) el cuantificador existencial: ∃ (existe). Definición 1.2. También es esencial el uso de los conectores: 1) la negación: no; 2) la conjunción: ∧ (y); 1 2 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 3) la disyunción: ∨ (o); 4) la implicación: =⇒ (si –, entonces); 5) la doble implicación: ⇐⇒ (si y sólo si o equivale). El manejo es sencillo, pero es preciso tener cuidado al utilizarlos. Por ejemplo, si P y Q son propiedades relativas a los elementos de un conjunto X, para expresar que x cumple P, se escribirá P(x). Y entonces: Proposición 1.1. P(x) ∨ Q(x), significa una de las tres posibilidades (mutuamente excluyentes) siguientes: (i) P(x) y Q(x); (ii) P(x) y no-Q(x); (iii) no-P(x) y Q(x). Proposición 1.2. ¿Cómo se niega una proposición? 1) no-(∀x ∈ X, P(x)) es lo mismo que decir que (∃x ∈ X : no-P(x)). 2) no-(∃x ∈ X : P(x)) equivale a (∀x ∈ X, no-P(x)). 3) no(∀x ∈ X, P(x) ∧ Q(x)) es lo mismo que decir que (∃x ∈ X : no-P(x) o no-Q(x)). 4) no-(∃x ∈ X : P(x) =⇒ Q(x)) es equivalente a (∀x ∈ X, P(x) 6=⇒ Q(x)). En general, cuando aparecen varios cuantificadores en un enunciado, el orden en el que se escriben no importa, siempre que los cuantificadores involucrados sean del mismo tipo: 1) (∀x, ∀y, P(x, y)) es lo mismo que decir que (∀y, ∀x, P(x, y)). 2) (∃x, ∃y : P(x, y)) es equivalente a (∃y∃y : P(x, y)) . Pero, hay que tener cuidado cuando se ven involucrados cuantificadores de distinto tipo: 3) (∀x, ∃y : P(x, y)) 6=⇒ (∃y : ∀x, P(x, y)). Ejemplo 1.1. Si X = N y P(x, y) es “x ≤ y”. La primera expresión de 3) se lee como que todo número natural posee otro mayor (que es cierta); la segunda significa que existe un número natural mayor que todos los demás (que es falsa). 1.1. Un poco de Lógica 3 El cuantificador existencial y el conector disyunción se pueden intercambiar, ası́ como el cuantificador universal y el conector conjunción: 1) (∀x, P(x)) y (∀y, Q(y)) es lo mismo que decir que (∀x, y, P(x) ∧ Q(y)). 2) (∃x : P(x)) o (∃y : Q(y)) es equivalente a (∃x, y : P(x) ∨ Q(y)). Pero, no se pueden utilizar indistintamente: 3) el cuantificador universal y el conector conjunción: (∀x, P(x) ∨ Q(x)) 6=⇒ (∀x, P(x))) ∨ (∀x : Q(x)). Ejemplo 1.2. Si X = N, P(x) es “ser par” y Q(x) es “ser impar”. La primera expresión se lee como que un número natural es par o impar (que es verdadera) y la segunda dice que todo número natural es par o todo número natural es impar (que es falsa). 4) el cuantificador existencial y el conector disyunción: (∃x : P(x)) ∧ (∃x : Q(x)) 6=⇒ (∃x : P(x) ∧ Q(x)). Ejemplo 1.3. Si X = N, P(x) es “ser par” y Q(x) es “ser impar”. La primera expresión se lee como que existe un número natural par y existe un número natural impar (que es cierta), y la segunda significa que existe un número natural a la vez par e impar (que es falsa). 1.1.2. Los objetos del razonamiento Definir una teorı́a matemática es establecer las reglas del juego sobre los objetos manipulados. En Matemáticas, estas reglas se llaman axiomas. Definición 1.3. Un axioma es todo enunciado que: 1) sirve de fundamento para la construcción de una teorı́a; 2) se admite como cierto y no es pues objeto de discusión. Cuando un único axioma no basta para definir una teorı́a, se pide además: 3) que los diferentes axiomas usados no se contradigan y sean independientes los unos de los otros. Ejemplos 1.1. Algunos ejemplos de axiomas son los siguientes: 1) axioma de Euclides: dos rectas paralelas del plano euclı́deo no se cortan; es la base de la Geometrı́a Euclı́dea; 4 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 2) axioma de elección: dado un conjunto X, existe una función de elección (ver la definición 1.18), f : P(X) − {∅} −→ X, que asigna a todo A no vacı́o, f (A) = a ∈ A, que se llama punto distinguido; 3) lema de Zorn: sea un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) (ver la definición 1.31), tal que todo conjunto bien ordenado (ver la definición 1.33) admite una cota superior; entonces (X, ≤) posee un elemento maximal (ver la definición 1.32); 4) axioma de Zermelo: todo conjunto puede ser bien ordenado. Observación 1.1. 2), 3) y 4) son formulaciones equivalentes del mismo axioma. Definición 1.4. Una definición es una proposición que sirve para explicar o introducir una nueva noción. Una vez conocidos los axiomas y algunas definiciones, el juego puede comenzar, puesto que las reglas ya se han planteado. Definición 1.5. Un teorema es un enunciado que se deduce: 1) directamente de los axiomas, 2) de los axiomas y los teoremas precedentes, y con las reglas de deducción que se llaman demostraciones, que aseguran su validez. Definición 1.6. A veces, se da únicamente el nombre de teorema a los verdaderamente importantes, a los que han pasado a la historia con un nombre, o a los que precisan una demostración muy larga, dejando el nombre de proposición al resto. Definición 1.7. Un lema es una proposición preliminar a la demostración de un teorema. Definición 1.8. Un corolario es una proposición que se deduce inmediatamente de un teorema, por una demostración, sino inmediata, cuando menos corta y fácil. 1.1.3. Condiciones necesarias y suficientes Definición 1.9. (La implicación) Sea X un conjunto. Sean P(x) y Q(x) dos fórmulas matemáticas, definiendo los conjuntos A = {x ∈ X : P(x)} y B = {x ∈ X : Q(x)} respectivamente. Si A ⊂ B, todo elemento verificando la fórmula P, cumple también Q. En este caso, se dice que P implica Q, y se escribe P =⇒ Q. Se dice también que P es una condición suficiente de Q. En efecto, para obtener Q, basta con conocer P. Se dice también que Q es una condición necesaria de P. 1.1. Un poco de Lógica 5 Definición 1.10. (La equivalencia) Sea X un conjunto. Sean P(x) y Q(x) dos fórmulas matemáticas, definiendo los conjuntos A = {x ∈ X : P(x)} y B = {x ∈ X : Q(x)} respectivamente. Si A = B, todo elemento verificando la fórmula P, cumple también Q y todo elemento verificando la fórmula Q cumple a su vez P. En este caso, se dice que P es equivalente a Q, y se escribe P ⇐⇒ Q. Como A = B es idéntico a A ⊂ B y B ⊂ A, la equivalencia P ⇐⇒ Q significa las dos implicaciones: P =⇒ Q y Q =⇒ P. Es decir, las dos propiedades equivalentes P y Q caracterizan el mismo conjunto. Observar que en tal caso P es una condición necesaria y suficiente de Q. 1.1.4. Los métodos de demostración Hay muchos métodos de demostración, entre los cuales los más importantes son: (i) Método de la hipótesis auxiliar: para probar que P =⇒ Q, se supone P cierta. Esta forma de razonamiento, la más directa, es también la más conocida. De manera práctica consiste en demostrar el teorema P =⇒ Q, donde P es la hipótesis y Q la conclusión o tesis, suponiendo que se verifica P (la hipótesis es cierta) y ayudándose de los axiomas y de los otros teoremas de la teorı́a demostrados anteriormente. (ii) Disjunción de los casos: para probar que P =⇒ Q, se descompone P en la forma P1 ∨ · · · ∨ Pn , y se prueba que para cada i ∈ {1, . . . , n}, es Pi =⇒ Q. Es decir, se descompone el conjunto A = {x ∈ X : P(x)} en una unión disjunta de subconjuntos A1 , · · · , An . Si B = {x ∈ X : Q(x)}, se prueba que para cada 1 ≤ i ≤ n, se tiene Ai ⊂ B. Y como A = A1 ∪ · · · ∪ An , se tendrá A ⊂ B. Ejemplo 1.4. Probar que si n ∈ N, entonces n(n + 1) es par. Demostración: Distinguimos dos posibilidades: si n es par, existe k ∈ N, tal que n = 2k, y entonces n(n + 1) = 2k(2k + 1). Si n es impar, existe k ∈ N, tal que n = 2k + 1, y entonces n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2(2k + 1)(k + 1), que es claramente par. (iii) Método de contraposición: para probar que P =⇒ Q, se demuestra el contrarecı́proco no-Q =⇒ no-P. Es un primer método de prueba indirecta. Descansa sobre el hecho de que la inclusión A ⊂ B es equivalente a decir que los conjuntos complementarios (ver la definición 1.13 3)) verifican la inclusión B c ⊂ Ac . Ejemplo 1.5. Probar que si n ∈ N es tal que n2 es par, entonces n es par. Demostración: Si n ∈ N es impar, entonces n2 es impar. 6 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos (iv) Demostración por reducción al absurdo: para probar un enunciado P, se supone su negación no-P, y se busca una contradicción en la teorı́a en la que se trabaja. Como se admite evidentemente que esta teorı́a no admite contradicciones, la suposición no-P será falsa, lo cual es equivalente a decir que P es cierta. ¿A qué contradicción se debe llegar? A contradecir un axioma, un teorema anteriormente probado o la suposición no-P. De modo similar, para probar que P =⇒ Q razonando por reducción al absurdo, se admite lo contrario, es decir, que no-(P =⇒ Q), o lo que es equivalente, P y no-Q. Y se busca entonces encontrar una contradicción. (v) El contraejemplo: para probar que una fórmula matemática P es cierta sobre un conjunto X, hay que probar que todos los elementos de X la verifican. Pero, se sabe que la negación de (∀x ∈ X, P(x)) es (∃x ∈ X, no-P(x)). Ası́, para probar que esta fórmula es falsa, basta con encontrar un elemento de X que no verifique P. Esto es lo que se llama dar un contraejemplo, lo que permite probar que una conjetura es falsa. Ejemplo 1.6. Si x ∈ R, ¿es cierto que si x ≤ x2 , entonces es x ≥ 1? Demostración: La respuesta es falsa, tomando x = −2. (vi) La demostración por recurrencia: este tipo de demostración está ligada a la definición del conjunto de los enteros naturales. Es una técnica útil para probar que una propiedad P(n) es cierta para todos los enteros naturales n, o para los que son iguales o superiores a un cierto n0 . Sean n0 un entero natural y P(n) una fórmula del lenguaje matemático que depende de un entero n. Para probar que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta con probar que: 1) P(n0 ) es cierta, 2) demostrar, bajo la hipótesis de que P(n) se verifica para n ∈ {n0 , n0 + 1, . . . k}, que P(k + 1) es cierta. La primera etapa se trata de una simple verificación, el segundo paso descrito es, de hecho, el objeto de una demostración. . Ejemplo 1.7. Probar que para cada n ∈ N, 1 + · · · + n = n(n+1) 2 1(1+1) Demostración: Para n = 1, es cierto que 1 = 2 . Si la propiedad se verifica para n ∈ {1, . . . , k}, entonces: 1+2+· · ·+k+(k+1)=(1+2+· · ·+k)+(k+1)= k(k+1) +(k+1)= 2 (k+2)(k+1) . 2 1.2. Teorı́a de conjuntos 7 Hay una forma débil de la demostración por recurrencia: para probar que P(n) se verifica para cada n ≥ n0 , basta con probar que: 1) P(n0 ) es cierta, 2) demostrar, bajo la hipótesis de que P(k) se verifica para k > n0 , que P(k + 1) es cierta. Observar que, en este caso, para probar que P(k + 1) se verifica, nos apoyamos sólo sobre la hipótesis de que P(k) es cierta. 1.2. Teorı́a de conjuntos Definición 1.11. Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos o puntos. Son conjuntos importantes en Matemáticas N, Z, Q, R, · · · . Si x es un elemento de X, se denota por x ∈ X. Análogamente, x ∈ / X denota la “no pertenencia” de x al conjunto X. El conjunto vacı́o ∅ es el conjunto sin elementos. Se puede definir un conjunto: 1) por extensión, nombrando todos sus elementos: por ejemplo, el conjunto de los números naturales pares es {2, 4, 6, 8, · · · }; 2) a través de una propiedad P válida en un universo U, que servirá para caracterizarlo {x ∈ U : P(x)}. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales pares se puede expresar por {x ∈ N : x es múltiplo de 2}. Definición 1.12. Dados A, B ⊂ X, se dice que A está contenido en B, A ⊂ B, si para cada x ∈ A, es x ∈ B. Y A es igual a B, A = B, si A ⊂ B y B ⊂ A. Definición 1.13. Si A, B ⊂ X, se definen: 1) la intersección de A y B, por A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}. Claramente, A ∩ B ⊂ A, B. A y B se dicen disjuntos si A ∩ B = ∅; 2) la unión de A y B, por A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}. Es decir x ∈ A ∪ B, si se verifica una (y sólo una) de las condiciones siguientes: (i) x ∈ A y x ∈ B, (ii) x ∈ A y x 6∈ B, (iii) x 6∈ A y x ∈ B. 8 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos Claramente, A, B ⊂ A ∪ B; 3) el complementario de A en X, por X − A = {x ∈ X : x 6∈ A}. Si no hay duda de respecto a que conjunto se está tomando el complementario, se suele denotar por Ac ; 4) la diferencia de A y B, por A − B = A ∩ B c = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x 6∈ B}. Proposición 1.3. Las anteriores operaciones verifican las siguientes propiedades: 1) leyes idempotentes: A ∩ A = A = A ∪ A; 2) leyes asociativas: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) y (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); 3) leyes conmutativas: A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A; 4) leyes distributivas: A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) y A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C); 5) identidades: A ∩ X = A = A ∪ ∅, A ∪ X = X y A ∩ ∅ = ∅; 6) propiedades del complementario: A ∪ Ac = X, A ∩ Ac = ∅, (Ac )c = A y X c = ∅; 7) leyes de De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c y (A ∩ B)c = Ac ∪ B c . Definición 1.14. Se llama partes de X o conjunto potencia de X al conjunto de todos los subconjuntos de X, y se denota por P(X) o 2X . Es decir, A ⊂ X si y sólo si A ∈ P(X). Definición 1.15. A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} es el producto cartesiano de A por B. Sus elementos son pares ordenados. Claramente, A × B 6= B × A. Y A × B = ∅, si y sólo si A = ∅ ó B = ∅. Dos pares ordenados (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × B, son iguales (a1 , b1 ) = (a2 , b2 ) si y sólo si a1 = a2 y b1 = b2 . Luego, (a1 , b1 ) 6= (a2 , b2 ) si y sólo si a1 6= a2 o b1 6= b2 . En general, dada una familia finita de conjuntos {A1 , · · · , An }, se define su producto n Y cartesiano por Ai = A1 × · · · × An = {(a1 , · · · , an ) : ai ∈ Ai , i ∈ {1, · · · , n}}. Si i=1 Ai = A para cada i ∈ {1, · · · , n}, el producto cartesiano se denota por An . Proposición 1.4. El producto cartesiano verifica las siguientes propiedades: 1) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C); 2) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); 3) si C 6= ∅ y A × C = B × C, entonces A = B; 1.3. Funciones y sus propiedades 9 4) A × (B − C) = (A × B) − (A × C); 5) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D); 6) (A × B)c = (Ac × B c ) ∪ (Ac × B) ∪ (A × B c ); 7) si B ⊂ C, entonces A × B ⊂ A × C; 8) (A × B) ∩ (C × D) = (A × D) ∩ (C × B); 9) si A, B, C y D son conjuntos no vacı́os, entonces A × B ⊂ C × D si y sólo si A ⊂ C y B ⊂ D. Definición 1.16. Sea I 6= ∅ un conjunto de ı́ndices. Se considera una familia de conjuntos {Ai : i ∈ I}, y se dice que esta familia está indicada por I. Los conjuntos Ai no tienen porque ser diferentes. Definición 1.17. Dada una familia indicada {Ai : i ∈ I}, con Ai ⊂ X, se define: \ 1) la intersección generalizada Ai = {x ∈ X : ∀i ∈ I, x ∈ Ai }, y 2) la unión generalizada [ i∈I i∈I Ai = {x ∈ X : ∃i ∈ I tal que x ∈ Ai }. Si el conjunto de ı́ndices I es finito, estas definiciones coinciden con las dadas en la definición 1.13. Se cumplen también en este!caso las propiedades distributivas, las leyes !c c \ [ [ \ c de De Morgan Ai = Ai y Ai = Aci , etc. i∈I 1.3. i∈I i∈I i∈I Funciones y sus propiedades Definición 1.18. Dados dos conjuntos X e Y , una aplicación o función f : X −→ Y , es una correspondencia que asocia a cada x ∈ X, un elemento y sólo uno de Y , que se denota por f (x). Ejemplos 1.2. Algunos ejemplos de aplicaciones son: 1) la aplicación identidad, 1X : X −→ X, definida por 1X (x) = x; 2) la aplicación inclusión: si A ⊂ X, iA : A −→ X, se define por iA (x) = x; 3) la aplicación constante, cy0 : X −→ Y , definida por cy0 (x) = y0 , donde y0 es un punto fijo de Y ; 10 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 4) la i-ésima proyección coordenada, pi : A1 × · · · × An −→ Ai , definida por la igualdad pi ((a1 , · · · , an )) = ai ; 5) la inyección diagonal, d : X −→ X n , definida por d(x) = (x, · · · , x); 6) la función caracterı́stica de un conjunto: si A ⊂ X, χA : X −→ {0, 1}, definida por  0 si x 6∈ A χA (x) = 1 si x ∈ A 7) dada f : X −→ Y y A ⊂ X, la restricción de f a A, f |A : A −→ Y , está definida por f |A (a) = f (a); 8) si g : A −→ Y y A ⊂ X, entonces f : X −→ Y es una extensión de g a X, si f |A = g; una aplicación puede tener varias extensiones; 9) si f : A −→ Y y g : B −→ Y son dos aplicaciones, donde A ∪ B = X y f (x) = g(x), para cada x ∈ A ∩ B, se puede definir la combinada de f y g, como la aplicación h : X −→ Y definida por  f (x) si x ∈ A h(x) = g(x) si x ∈ B Definición 1.19. Dada una aplicación f : X −→ Y , X se llama el dominio de f e Y es su codominio. El grafo de f es el conjunto Gf = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y , que en muchas ocasiones se identifica con f . Definición 1.20. Dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Z −→ W son iguales, cuando coinciden sus dominios (X = Z), sus codominios (Y = W ) y f (x) = g(x), para cada x ∈ X. Por ejemplo, si f : X −→ Y es una aplicación y A ⊂ X, f y f |A no son iguales. Definición 1.21. Dada f : X −→ Y , f (A) = {y ∈ Y : ∃a ∈ A tal que f (a) = y} es la imagen directa de A. f (X) se llama rango de la aplicación. Definición 1.22. Si B ⊂ Y , f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B} es su imagen recı́proca. Proposición 1.5. Dada f : X −→ Y , se verifica: 1) f (∅) = ∅, f (X) ⊂ Y y si A 6= ∅, entonces f (A) 6= ∅; 2) si A1 , A2 ⊂ X, y A1 ⊂ A2 , entonces f (A1 ) ⊂ f (A2 ); [ [ \ \ 3) Si Ai ⊂ X para i ∈ I, f ( Ai ) = f (Ai ) y f ( Ai ) ⊂ f (Ai ); i∈I i∈I i∈I i∈I 1.3. Funciones y sus propiedades 11 4) si A1 , A2 ⊂ X, f (A1 ) − f (A2 ) ⊂ f (A1 − A2 ) y en particular f (X) − f (A2 ) ⊂ f (X − A2 ) (entre Y − f (A2 ) y f (X − A2 ) no hay en general ninguna relación); 5) f −1 (∅) = ∅, y puede existir ∅ = 6 B ⊂ Y , tal que f −1 (B) = ∅; 6) f −1 (Y ) = X; 7) si B1 , B2 ⊂ Y y B1 ⊂ B2 , entonces f −1 (B1 ) ⊂ f −1 (B2 ); \ \ [ [ 8) si Bi ⊂ Y para i ∈ I, f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ) y f −1 ( Bi ) = f −1 (Bi ); i∈I i∈I i∈I i∈I 9) Si B1 , B2 ⊂ Y , f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f −1 (B2 ), y en particular, f −1 (Y − B2 ) = X − f −1 (B2 ); 10) si A ⊂ X, A ⊂ f −1 (f (A)); 11) si B ⊂ Y , f (f −1 (B)) = f (X) ∩ B ⊂ B; 12) si A ⊂ X y B ⊂ Y , f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B. Definición 1.23. Dadas f : X −→ Y y g : Y −→ Z, se define la composición de g y f , por g ◦ f : X −→ Z, donde (g ◦ f )(x) = g(f (x)), para cada x ∈ X. Proposición 1.6. Sean f : X −→ Y , g : Y −→ Z y h : Z −→ W aplicaciones, entonces: 1) la composición de funciones es asociativa: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ; 2) f ◦ 1X = f y 1Y ◦ g = g; 3) si C ⊂ Z, es (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)); 4) si f : X −→ Y y g : Y −→ X, en general, f ◦ g 6= g ◦ f . Definición 1.24. Se dice que f : X −→ Y es sobreyectiva, si f (X) = Y , es decir, para cada y ∈ Y , existe x ∈ X, tal que f (x) = y. Y es inyectiva, si dados x1 6= x2 en X, es f (x1 ) 6= f (x2 ) (o equivalentemente, si f (x1 ) = f (x2 ), entonces x1 = x2 ). Proposición 1.7. Sea f : X −→ Y , entonces: 1) B = f (f −1 (B)) para cada B ⊂ Y , si y sólo si f es sobreyectiva; 2) Y − f (A) ⊂ f (X − A) para cada A ⊂ X si y sólo si f es sobreyectiva; 3) si g, h : Y −→ Z y f es sobreyectiva, entonces g ◦ f = h ◦ f implica que h = g; 4) si g : Y −→ X y f ◦ g = 1Y , entonces f es sobreyectiva; 12 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 5) A = f −1 (f (A)) para cada A ⊂ X, si y sólo si f es inyectiva; \ \ 6) f ( Ai ) = f (Ai ) para cada familia indicada de conjuntos {Ai ⊂ X}i∈I si y sólo i∈I i∈I si f es inyectiva; 7) si f es sobreyectiva, entonces para cada A ⊂ X es Y − f (A) = f (X − A) si y sólo si f es inyectiva; 8) si g, h : Z −→ X y f es inyectiva, entonces f ◦ g = f ◦ h implica que h = g; 9) si g : Y −→ X y g ◦ f = 1X , entonces f es inyectiva. Definición 1.25. f : X −→ Y es biyectiva si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. En tal caso, la correspondencia definida por f −1 : Y −→ X, donde f −1 (y) = x si y sólo si f (x) = y, es una función. Proposición 1.8. Sea f : X −→ Y , entonces: 1) si f es biyectiva, entonces f −1 también lo es; 2) si f es biyectiva, entonces f −1 ◦ f = 1X , f ◦ f −1 = 1Y y (f −1 )−1 = f ; 3) si g : Y −→ X y g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y , entonces f es biyectiva y g = f −1 ; 4) si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son biyectivas, entonces g ◦ f lo es y además (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 1.4. Relaciones binarias Definición 1.26. Dado un conjunto X, una relación binaria es R ⊂ X × X. R se llama: 1) reflexiva, si para cada x ∈ X, es (x, x) ∈ R; 2) simétrica, si dado (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R; 3) antisimétrica, si (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R implica que x = y; 4) transitiva, si dados (x, y), (y, z) ∈ R, entonces (x, z) ∈ R. Definición 1.27. Una relación de equivalencia es una relación binaria reflexiva, simétrica y transitiva. Se suele denotar por xRy en vez de (x, y) ∈ R. Definición 1.28. Dada R una relación de equivalencia, se llama clase de x al conjunto [x] = {y ∈ X : xRy}. El conjunto cociente X/R, es el conjunto de todas las clases de equivalencia. 1.4. Relaciones binarias 13 Proposición 1.9. Algunas propiedades son: 1) x ∈ [x] (x se llama representante de su clase), luego [x] 6= ∅; 2) xRy si y sólo si [x] = [y]; 3) [x] 6= [y] si y sólo si [x] ∩ [y] = ∅. Definición 1.29. Una partición de X es una familia P = {Pi : i ∈ I} de subconjuntos no vacı́os de X, tales que: [ (i) X = Pi , y i∈I (ii) si Pi 6= Pj , entonces Pi ∩ Pj = ∅. Lema 1.10. Es equivalente dar una partición de X que una relación de equivalencia sobre él. Definición 1.30. Existe una aplicación canónica, p : X −→ X/R, que asigna a cada elemento x su clase de equivalencia p(x) = [x]. Se llama aplicación cociente y es sobreyectiva. Una vez dada la aplicación cociente, cada clase de equivalencia en X es precisamente p−1 (p(x)). Definición 1.31. Una relación ≤ sobre X es un orden parcial si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. Se dice también que X está parcialmente ordenado. El orden se llama total, si dos elementos cualesquiera de X son comparables por esta relación. Definición 1.32. Si X está parcialmente ordenado por ≤, entonces: (i) a ∈ X se llama elemento máximo de X, si para cada x ∈ X, es x ≤ a; (ii) a ∈ X es un elemento maximal de X, si a 6≤ x para cada x 6= a; (iii) a ∈ X se llama elemento mı́nimo de X, si para cada x ∈ X, es x ≥ a, (iv) a ∈ X es un elemento minimal de X, si x 6≤ a para cada x 6= a. Ejemplo 1.8. Si X = {a, b, c} con el orden parcial a ≤ b y a ≤ c, entonces b es un elemento maximal de X, pero no un máximo. Definición 1.33. Un conjunto parcialmente ordenado en el cual todo A ⊂ X no vacı́o posee un elemento mı́nimo, se llama conjunto bien ordenado. Por ejemplo, (Z, ≤) no está bien ordenado. 14 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos 1.5. Propiedades de los números reales (R, ≤) es un conjunto totalmente ordenado, donde ≤ denota el orden usual en R. Definición 1.34. Si A ⊂ R, se tiene: 1) si u ∈ R es tal que a ≤ u para cada a ∈ A, se dice que u es una cota superior de A; 2) la menor de las cotas superiores de A (es decir, u es cota superior de A y para cada z cota superior de A es z ≥ u) es el supremo de A, y se denota sup(A); 3) si l ∈ R es tal que a ≥ l para cada a ∈ A, se dice que l es una cota inferior de A; 4) la mayor de las cotas inferiores de A (es decir, l es cota inferior de A y para cada z cota inferior de A es z ≤ l) es el ı́nfimo de A, y se denota ı́nf(A). Teorema 1.11. (Axioma de la cota superior) Si A ⊂ R está acotado superiormente (es decir, existe M ∈ R, tal que M ≥ a, para cada a ∈ A), existe el supremo de A. Y en tal caso, s = sup(A) si y sólo si: (i) para cada a ∈ A, es a ≤ s, y (ii) para todo ε > 0, existe aε ∈ A tal que aε > s − ε. Del axioma anterior, se deduce que: Corolario 1.12. Si A ⊂ R está acotado inferiormente (es decir, existe m ∈ R, tal que m ≤ a, para cada a ∈ A), existe el ı́nfimo de A. Y entonces, i = ı́nf(A) si y sólo si: (i) para cada a ∈ A, es a ≥ i, y (ii) para todo ε > 0, existe aε ∈ A tal que aε < i + ε. R es arquimediano, es decir, el conjunto N no está acotado superiormente. De aquı́ se deducen la siguientes propiedades: Teorema 1.13. (Propiedad arquimediana) Para todo x > 0, existe n ∈ N, tal que 0 < n1 < x. Teorema 1.14. (Densidad de los racionales) Dados dos números reales x < y, existe r ∈ Q, tal que x < r < y. Teorema 1.15. (Propiedad de los intervalos de encaje) Dada {[an , bn ] : n ∈ N}, familia de \intervalos cerrados y encajados (es decir, si n ≤ m, es [am , bm ] ⊂ [an , bn ]), entonces [an , bn ] 6= ∅. n∈N 1.6. Nociones sobre cardinalidad de conjuntos 1.6. 15 Nociones sobre cardinalidad de conjuntos Definición 1.35. Dos conjuntos se llaman equipotentes, si existe una correspondencia biyectiva entre ellos. Definición 1.36. X se dice finito si existe n ∈ N, tal que X es equipotente a {1, · · · , n}. X es infinito, si no es finito, lo cual equivale a decir que es equipotente a un subconjunto propio de sı́ mismo. X es numerable si es equipotente a N y es contable si es finito o numerable. Observación 1.2. Dos conjuntos finitos son equipotentes si y sólo si poseen el mismo número de elementos. No sucede lo mismo si X es infinito: N es equipotente al conjunto P de los números pares, y sin embargo P ⊂ N. Lema 1.16. La relación de equipotencia es una relación de equivalencia. Definición 1.37. A cada clase de equipotencia se le puede asignar un número cardinal, que es un objeto matemático ω tal que existe un conjunto X con Card(X) = ω. Definición 1.38. Un conjunto A es de potencia menor o igual que B, si existe una aplicación f : A −→ B inyectiva, con lo cual Card(A) ≤ Card(B) (equivalentemente, si existe una aplicación f : B −→ A sobreyectiva). Definición 1.39. Dados dos números cardinales ω1 y ω2 , se dice que ω1 ≤ ω2 , si existen conjuntos X e Y con Card(X) = ω1 y Card(Y ) = ω2 y tales que la potencia de X es menor o igual a la potencia de Y . Se trata de una relación de orden. Si ω1 ≤ ω2 y ω1 6= ω2 , se dice que ω1 es estrictamente menor que ω2 . Proposición 1.17. Se verifican las siguientes propiedades: 1) si X es contable y A ⊂ X, entonces A es contable; 2) si X no es contable y X ⊂ Y , entonces Y no es contable; 3) si X es infinito, existe A ⊂ X, numerable y propio; 4) N×N es numerable y como consecuencia, el producto cartesiano de una familia finita de conjuntos contables, es contable; 5) la unión de una familia contable de conjuntos contables es contable; 6) Z y Q son contables, pero R no lo es. El Card(∅) = 0, es el cardinal mı́nimo. Sin embargo no existe un cardinal máximo, ya que: 16 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos Teorema 1.18. (de Cantor) Para cada conjunto X, Card(X) < Card(P(X)). Demostración: En efecto, si X = ∅, Card(P(X)) = 1, pues P(X) = {∅}. Si X 6= ∅, y existiera una aplicación f : X −→ P(X) biyectiva, sea A = {x ∈ X : x 6∈ f (x)}. A ∈ P(X) y como f es sobreyectiva, existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) = A. Si x0 ∈ A, esto significarı́a que x0 6∈ f (x0 ) = A, lo cual es imposible. Luego, es x0 6∈ A, lo cual significa que x0 ∈ f (x0 ) = A, imposible de nuevo. Por otro lado, la aplicación h : X −→ P(X) definida por h(x) = {x} es inyectiva, y entonces Card(X) < Card(P(X)). En particular, Card(N) = ℵ0 < Card(P(N)) = 2ℵ0 (notación que proviene de la propiedad descrita en el ejercicio 9 del apartado 1.7). Puede probarse que 2ℵ0 = Card(R) = c, que se llama el cardinal del continuo. De aquı́ se concluye que ℵ0 < c. Desde principios de siglo, se ha intentado en vano establecer si existe un número cardinal ℵ1 , entre ℵ0 y c. Cantor hace la siguiente conjetura: Teorema 1.19. (Hipótesis del continuo) c = ℵ1 , es decir, no existe ningún conjunto A, tal que ℵ0 < Card(A) < c. Cohen establece en 1963 que la hipótesis del continuo es indecidible: añadiendo como axioma su veracidad o su falsedad, los fundamentos de la Matemática siguen siendo coherentes. 1.7. Ejercicios 1.- Con ayuda del lenguaje simbólico, decidir si son correctas las siguientes deducciones lógicas: a) Los gusanos reptan. Las cosas que reptan se manchan. Por lo tanto, los gusanos están sucios. b) Si se firma el Acuerdo de Limitación de Armas o las Naciones Unidas aprueban el Plan de Desarme, la Industria de Armamento caerá. Se sabe que el poder de la Industria de Armamento no va a caer, por lo tanto, se firmará el Acuerdo de Limitación de Armas. c) Ninguna pelota de tenis es de cristal. Ningún objeto de cristal es indestructible. Luego, ninguna pelota de tenis es indestructible. d) Si Gran Bretaña abandona la U.E. o el déficit comercial se reduce, el precio de la mantequilla bajará. Si Gran Bretaña continúa en la U.E., las exportaciones no aumentarán. El déficit comercial se incrementará, a no ser que las exportaciones aumenten. Por lo tanto, la mantequilla no bajará de precio. 1.7. Ejercicios 17 e) Los profesores son sádicos. Algunos sádicos usan látigo. Por lo tanto, algunos profesores usan látigo. f) Los caramelos son dulces. Ningún alimento dulce contiene sal. Luego, los caramelos no contienen sal. g) Los pájaros silban. Algunos nativos de Nicaragua son pájaros. Luego, algunas criaturas nicaragüenses silban. h) Si no trabajo duro, me dormiré. Si estoy preocupado, no dormiré. Por lo tanto, si estoy preocupado, trabajaré duro. i) Las nubes son mullidas. Algunos objetos mullidos son rosas. Luego, algunas nubes son rosas. j) Los osos polares tocan el violı́n. Los violinistas no vuelan. Por lo tanto, los osos polares no vuelan. k) Las tortugas leen a Rubén Darı́o. Algunas criaturas de Gálapagos son tortugas. Por lo tanto, algunos habitantes de Galápagos leen a Rubén Darı́o. l) Las polillas salen de noche. Los caminantes nocturnos fuman. Por lo tanto, las polillas fuman. m) Si Thor se enfada, hay tormentas. Está comenzando una tormenta. Por lo tanto, Thor está enfadado. n) Si en Marte hubiera grandes cantidades de agua, podrı́a haber vida. No hay grandes extensiones de agua en Marte. Por lo tanto, no hay vida en Marte. ñ) Los buenos polı́ticos son honestos. Juan es honesto. Juan serı́a un buen polı́tico. o) Algunas personas no beben café. Los matemáticos son humanos. Por lo tanto, algunos matemáticos no beben café. p) Ningún elefante sabe hacer ganchillo. Yo no sé hacer ganchillo. Luego, soy un elefante. q) Algunos poetas son nerviosos. Hay gente nerviosa que se come las uñas. Luego, algunos poetas se comen las uñas. r) Si hago estos ejercicios, aprenderé lógica. Ya he terminado de hacerlos... ¡Sé lógica! 2.- Negar los siguientes enunciados: a) Los polı́ticos son gordos y feos. 18 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos b) Hay un matemático que sabe sumar. c) Algunas personas de California tienen paraguas. d) El Athletic de Bilbao ganará la Liga de fútbol española. e) Nadie en Managua habla swahili. f) Al menos dos faraones egipcios eran ciegos. g) Como mucho, la mitad de los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, son pares. h) A veces, llueve en Masaya. i) Siempre hace frı́o en Groenlandia. j) Ni Alejandro Magno, ni Julio César eran pelirrojos. k) x ∈ A o x ∈ B. l) x ∈ A y x ∈ B. m) x ∈ A, pero x 6∈ B. n) A ⊂ B. ñ) para cada i ∈ I, es x ∈ Ai . o) existe i ∈ I, tal que x ∈ Ai . 3.- Sea X el conjunto de los estudiantes de la Facultad de Ciencias de la UNAN Managua, H el conjunto de los hombres, M el de la mujeres, C el de los estudiantes que van en coche a la Universidad, A el de los estudiantes que van en autobús a la Universidad, E el de los estudiantes de Matemáticas y F el de los estudiantes de Fı́sicas. Describir los siguientes conjuntos: X − H, X − M , X − C, X − A, X − E, X − F , H ∩ C, H ∩ A, H ∩ E, H ∩ F , M ∩ C, M ∩ A, M ∩ E, M ∩ F , C ∩ A, C ∩ E, C ∩ F , A ∩ E, A ∩ F , E ∩ F , M ∪ H, H − M , H − C, H − A, H − E, H − F , H − M , M − H, M − C, M − A, M − E, M − F , C − A, C − E, C − F , A − C, A − M , A − H, A − E, A − F , E − H, E − M , E − C, E − A y E − F . 4.- Cuatro compañeros inseparables han faltado a la clase de Matemáticas en el Instituto. Delante del Jefe de Estudios y en presencia de su profesor, se defienden del modo siguiente: Pedro: “No he faltado.” Elena: “Lo admito, he faltado, pero estaba con Juan.” 1.7. Ejercicios 19 Juan: “Yo también he faltado; pero no estaba con Elena, sino con Pedro.” Marı́a: “Yo estaba en clase, pero no he visto a Pedro.” El profesor: “Estaba concentrado en mis cosas, pero he visto a Pedro en clase.” ¿Puedes ayudar al Jefe de Estudios, sabiendo que tres de estas afirmaciones son ciertas y sólo tres? 5.- Traducir las siguientes frases del lenguaje natural en un lenguaje utilizando una o varias propiedades P(x). Dar para cada enunciado su negación y traducirla al lenguaje natural: a) No hay amor feliz. b) Una puerta está abierta o cerrada. c) Ser o no ser. d) Las verdades son fáciles de decir. e) Los hombres prefieren las rubias a las morenas. 6.- Probar la propiedad siguiente: Si x ∈ R y para cada ε > 0, es |x| < ε, entonces x = 0. 7.- Sea A = {a, b} donde a y b son números reales, ¿se verifican las relaciones siguientes? (i) a ∈ A; (ii) {a} ∈ A; (iii) ∅ ∈ A; (iv) {a} ∈ P(A); (v) ∅ ∈ P(A). 8.- Sean A, B y C tres conjuntos finitos de cardinales a, b y c respectivamente. Sea p = Card(A ∩ B), q = Card(B ∩ C), r = Card(A ∩ C) y s = Card(A ∩ B ∩ C). Calcular el cardinal de A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C y A ∪ B ∪ C. 9.- Se pide: a) calcular P(X), si X = {1, 2}, X = {∅} y X = {1, 2, 3, 4}; b) probar que si Card(X) = n, entonces Card(P(X)) = 2n ; c) sean A y B dos conjuntos; probar que si A ⊂ B, entonces P(A) ⊂ P(B). ¿Es cierto el recı́proco? 10.- Si A, B ⊂ X, probar que son equivalentes: (i) A ⊂ B; (ii) A ∩ B = A; A ∪ B = B; (iv) B c ⊂ Ac ; (v) A ∩ B c = ∅; (vi) B ∪ Ac = X. (iii) 11.- Probar las propiedades siguientes para conjuntos, dando un contraejemplo en el caso de inclusión estricta: ! ! [ [ \ \ a) A ∪ Bi = (A ∪ Bi ), b) A ∩ Bi = (A ∩ Bi ), i∈I i∈I i∈I i∈I 20 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos \ c) A ∪ e) i∈I \ Ai i∈I g) \ ! Ai i∈I i) [ Ai i∈I j) \ Ai i∈I k) \ ! Ai [ Ai i∈I m) \ Ai i∈I \ i∈I Bj ∪ \ Bi × [ Bj \ Bj × \ Bi − [ Bj ∪ × ! ! = \ ! ! i∈I l) Bi ! ! − j∈J i∈I j∈J i∈I \ j∈J ! ! j∈J j∈J (A ∪ Bi ), (i,j)∈I×J ⊂ = ! = ! = ! = \ i∈I h) [ (Ai × Bj ), \ (Ai × Bj ), (i,j)∈I×J \ i∈I \ \ Bj = j∈J (i,j)∈I×J f) \ (i,j)∈I 2 [ i∈I (Ai ∩ Bj ), (Ai ∪ Bj ) ⊂ (Ai ∩ Bi ) ⊂ [ (i,j)∈I 2 \ i∈I (Ai ∪ Bi ), (Ai ∩ Bj ), (Ai × Bi ), [\ i∈I j∈J = Ai ∩ (Ai ∪ Bj ), (Ai ∪ Bi ), (i,j)∈I×J ! \ i∈I \ = ! Bj d) (Ai − Bj ), \[ i∈I j∈J (Ai − Bj ). 12.- Para cada uno de los siguientes conjuntos de ı́ndices I y cada familia dada de conjuntos indicados por I, calcular las uniones e intersecciones siguientes: [ a) si I = R2 y para cada p ∈ I, Sp = {p}, hallar Sp ; p∈I b) si I = (0, ∞) y para cada x ∈ I, Cx = [0, x], hallar [ x∈I Cx y \ Cx ; x∈I [
c) si I = 21 , 1 y para cada r ∈ I, Br es el cı́rculo de radio r y centro (0, 0), hallar Br r∈I \ y Br ; r∈I 1.7. Ejercicios 21 d) si I = (0,[1) y para \cada r ∈ I, Nr es el interior del cı́rculo de radio r y centro (0, 0), hallar Nr y Nr ; r∈I r∈I e) si I = [1, 2] y para cada x ∈ I, Ax = [ x2 , 3x ], hallar 2 [ Ax y x∈I \ Ax ; x∈I [ \
An y An ; f) si I = N y para cada n ∈ I, An = − n1 , n1 , hallar n∈I g) si I = N y para cada n ∈ I, Bn = ( n1 , 1], hallar [ Bn y n∈I h) si I = N y para cada n ∈ I, Cn = (−n, n), hallar [ n∈I \ Bn ; n∈I Cn y n∈I \ Cn . n∈I 13.- Dados A, B ⊂ X, probar (i) χA∩B = χA .χB ; (ii) χA∪B = χA + χB − χA∩B ; (iii) χA−B = χA − χA∩B ; (iv) χAc = 1 − χA . 14.- Sean f : X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones. Probar: a) si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f también lo es, pero el recı́proco no es cierto; b) si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g también lo es, pero el recı́proco no es cierto; c) si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva; d) si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f también lo es, pero el recı́proco no es cierto; e) si g ◦ f es inyectiva, entonces f también lo es, pero el recı́proco no es cierto; f) si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva. 15.- Sea f : X −→ Y ; probar a) si existe g : Y −→ X, tal que g ◦ f = 1X , entonces f es inyectiva; b) si existe h : Y −→ X, tal que f ◦ h = 1Y , entonces f es sobreyectiva; c) f es biyectiva si y sólo si existen g, h : Y −→ X, tales que g ◦ f = 1X , f ◦ h = 1Y y en tal caso h = f −1 = g. 16.- Sean dos conjuntos X1 , X2 y para cada i ∈ {1, 2}, Ai ⊂ Xi . Sea pi : X1 × X2 −→ Xi la i-ésima proyección coordenada. Probar las siguientes propiedades: 22 Capı́tulo 1. Repaso de algunos conceptos matemáticos −1 −1 −1 a) A1 × X2 = p−1 1 (A1 ), X1 × A2 = p2 (A2 ) y A1 × A2 = p1 (A1 ) ∩ p2 (A2 ), b) Si A ⊂ X1 × X2 , entonces A ⊂ p1 (A) × p2 (A), c) pi (A1 × A2 ) = Ai (i ∈ {1, 2}). 17.- Sean f, g : R −→ R, dadas por  x2 si x ≥ 0 2 si x < 0  √ x si x ≥ 0 g(x) = x si x < 0 Estudiar las funciones: f ◦g, f ◦f , g ◦g, g ◦f , si es que tienen sentido. Estudiar el carácter sobreyectivo e inyectivo de f , g, f ◦ g y g ◦ f . Calcular f (−5, 5], g(−5, 5], f −1 (−5, 5] y g −1 (−5, 5]. f (x) = 18.- Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior para las funciones: f : Z2 −→ Z y g : Z −→ Z2 dadas por: f (x, y) = x2 + y y g(x) = (x, −2x). 19.- Sea f : R −→ R, dada por:   2 si x < 0 1 si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) =  x − 1 si x > 2 Estudiar si f es inyectiva o sobreyectiva. y calcular f ((1, 3)), f ([−2, 2]), f −1 ((0, 1)), f −1 ([−4, 4]). Si g : R −→ R es la aplicación g(x) = |x|, determinar f ◦ g y calcular (f ◦ g)−1 ((−2, 5]). 20.- Probar que la aplicación f : R − {2} −→ R − {1}, definida por: f (x) = yectiva y calcular f −1 . 21.- Calcular f (Ai ) y f −1 (Bi ) (i ∈ {1, 2}), para f : R −→ R, donde: (i) f (x) = x2 , A1 = (0, 2), B1 = (0, 4) y B2 = (−1, 0); (ii) f (x) = x4 , A1 = (0, 2), A2 = ∅, B1 = (0, 16] y B2 = (−1, 0]; (iii) f (x) = 1 x (para x > 0), A1 = N, B1 = {x ∈ R : x > 2} y B2 = N; (iv) f (x) = x3 − 3x, A1 = [0, ∞), B1 = (0, 2) y B2 = {2}. 22.- Dados x, y ∈ R, utilizando el carácter arquimediano de R, probar: (i) si x > 0 e y > 0, existe n ∈ N, tal que nx > y; (ii) si x > 0, existe n ∈ N, tal que 0 < 1 n < x; (iii) si x > 0, existe n ∈ N, tal que n − 1 ≤ x < n. x+2 x−2 es bi- Espacios métricos Silencio Se oye el pulso del mundo como nunca pálido La tierra acaba de alumbrar un árbol. “Altazor” Vicente Huidobro (1893-1948) 2.1. Definición de espacio métrico 2.1.1. Definición de distancia Un espacio métrico es un conjunto en donde se introduce la noción de distancia entre sus elementos. Se intenta generalizar lo que sucede en el plano o el espacio: aquı́ conocemos perfectamente lo que es la distancia entre dos puntos. El problema, siendo X un conjunto abstracto, es definir lo que se entiende por distancia entre dos de sus elementos, cuya naturaleza especı́fica desconocemos. Para abstraer el concepto de distancia, hay que captar lo esencial de dicho concepto, lo que da lugar a la siguiente definición: Definición 2.1. Dado un conjunto X 6= ∅, una métrica o distancia sobre X es una función d : X × X −→ R, verificando: (i) positividad: para cada x, y ∈ X, es d(x, y) ≥ 0, (ii) propiedad idéntica: dados x, y ∈ X, d(x, y) = 0 si y sólo si x = y, (iii) simetrı́a: para cada x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x), (iv) desigualdad triangular: para cada x, y, z ∈ X, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). La expresión d(x, y) se lee como distancia de x a y, y el par (X, d) se denomina espacio métrico. Sobre un mismo conjunto pueden definirse distintas métricas, que dan lugar a diferentes espacios métricos. 23 24 Capı́tulo 2. Espacios métricos Definición 2.2. En la definición 2.1, si se debilita la condición (ii) reemplazándola por (ii)* para cada x ∈ X, d(x, x) = 0, estamos contemplando la posibilidad de que existan x 6= y en X con d(x, y) = 0. Entonces d recibe el nombre de pseudométrica. Ejemplos 2.1. Los primeros ejemplos de espacios métricos son: 1) (X, d) donde d(x, y) =  0 si x = y 1 si x 6= y es la métrica discreta sobre X. 2) El par (R, du ), donde du (x, y) = |x − y|, se llama la recta real y du es la distancia usual o euclı́dea. 3) Sean (X1 , d1 ), ..., (Xn , dn ) una familia finita de espacios métricos. Vamos a definir lo que se denomina el espacio métrico producto, de tres maneras diferentes. Sean X = X1 × · · · × Xn y x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ X. Tenemos tres distancias sobre X: a) D1 : X × X −→ R definida por D1 (x, y) = máx{di (xi , yi ) : 1 ≤ i ≤ n}; b) D2 : X × X −→ R definida por D2 (x, y) = n X di (xi , yi ); i=1 c) D3 : X × X −→ R definida por D3 (x, y) = s n X d2i (xi , yi ), es la distancia i=1 euclı́dea. La única propiedad de métrica no inmediata es la desigualdad triangular, que en este caso recibe el nombre de desigualdad de Minkowski. Para demostrar la desigualdad triangular en el último ejemplo, es preciso probar algunos resultados previos: Lema 2.1. (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Dadas dos familias de números reales {ai }ni=1 , {bi }ni=1 , es: v v u n u n n X uX uX a2i t b2i . (ai bi ) ≤ t i=1 i=1 i=1 2.1. Definición de espacio métrico Demostración: Suponemos que n X 25 a2i i=1 6= 0 6= n X b2i ; en caso contrario, para todo i serı́a i=1 ai = 0 = bi , y la desigualdad serı́a trivial. Sean α, β ∈ R, entonces: 0≤ es decir, n X i=1 2 (αai − βbi ) = 2αβ n X i=1 n X i=1 ai bi ≤ α 2
α2 a2i + β 2 b2i − 2αβai bi , n X a2i +β 2 i=1 n X b2i . i=1 v v u n u n uX uX b2i y β = t a2i , queda probado el resultado. Tomando α = t i=1 i=1 Lema 2.2. (Desigualdad de Minkowski) En las condiciones del lema 2.1, es v v v u n u n u n uX uX uX 2 2 t (ai + bi ) ≤ t ai + t b2i i=1 i=1 i=1 Demostración: Lo que se desea probar equivale a demostrar que v v u n u n n n n X X X uX uX 2 2 2 2 (ai + bi ) ≤ a + b + 2t at b2 , i i=1 i=1 es decir, simplificando n X i=1 que es el lema 2.1. i i i=1 i=1 i i=1 v v u n u n uX uX 2 ai t b2i , (ai bi ) ≤ t i=1 i=1 Como consecuencia de todo esto, se verifica la desigualdad triangular del ejemplo 2.1 3c), que equivale a probar que v v v u n u n u n X X u u uX 2 2 t t di (xi , zi ) ≤ di (xi , yi ) + t d2i (yi , zi ), i=1 i=1 i=1 y para ello basta con tomar ai = di (xi , yi ) y bi = di (yi , zi ) en la desigualdad de Minkowski y utilizar la desigualdad triangular para las métricas di , 1 ≤ i ≤ n. Las tres métricas del ejemplo 2.1 3) están muy relacionadas, y para comprobarlo es preciso dar antes la siguiente definición: 26 Capı́tulo 2. Espacios métricos Definición 2.3. Sea X un conjunto no vacı́o y d1 , d2 dos métricas sobre X. Se dice que d1 es métricamente equivalente a d2 , si existen α, β ≥ 0 tales que 0 < α < β y para cada x, y ∈ X es αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y). Lema 2.3. La anterior relación es una relación de equivalencia sobre el conjunto de todas las métricas sobre X. Este lema permite hablar sencillamente de métricas métricamente equivalentes sobre X, y se dice que (X, d1 ) y (X, d2 ) son espacios métricamente equivalentes. Proposición 2.4. Las métricas D1 , D2 y D3 del ejemplo 2.1 3) son métricamente equivalentes, y cualquiera de los tres espacios (X, Dk ) (1 ≤ k ≤ 3) se llama espacio métrico producto de la familia {(Xi , di ) : 1 ≤ i ≤ n}. Demostración: D1 (x, y) ≤ D2 (x, y). Y D2 (x, y) ≤ nD1 (x, y). Luego D1 y D√2 son métricamente equivalentes. Por otro lado, D1 (x, y) ≤ D3 (x, y). Y D3 (x, y) ≤ nD1 (x, y). Luego D1 y D3 son métricamente equivalentes. Por tratarse de una relación de equivalencia, se deduce que D2 y D3 son también métricamente equivalentes. Ejemplos 2.2. En particular, sobre Rn puede definirse la métrica producto inducida por la usual sobre la recta (denotamos los puntos por x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn ): a) la métrica del máximo D1 = dmáx : Rn × Rn −→ R definida por dmáx (x, y) = máx{|xi − yi | : 1 ≤ i ≤ n}; n n b) la métrica de la suma D2 = dsum : R × R −→ R dada por dsum (x, y) = c) la distancia euclı́dea D3 = du : Rn × Rn −→ R definida por du (x, y) = El par (Rn , du ) se llama espacio euclı́deo de dimensión n. dsum (x, y), du (x, y) n X i=1 |xi −yi |; s n X i=1 y dos ejemplos de dmáx (x, y) |xi − yi |2 . 2.1. Definición de espacio métrico 27 Proposición 2.5. Sean (X, d) un espacio métrico y x, y, z, w ∈ X. Entonces |d(x, z) − d(y, w)| ≤ d(x, y) + d(z, w). En particular, es |d(x, z) − d(y, z)| ≤ d(x, y). Demostración: Aplicando dos veces consecutivas la desigualdad triangular, se tiene que d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, w) + d(z, w), luego d(x, z) − d(y, w) ≤ d(x, y) + d(z, w). Del mismo modo, d(y, w) ≤ d(y, x) + d(x, z) + d(w, z), luego d(y, w) − d(x, z) ≤ d(y, x) + d(w, z). 2.1.2. Distancia entre conjuntos Dados (X, d), ∅ = 6 A ⊂ X y x ∈ X, la familia de números reales {d(x, y) : y ∈ A} está acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe ı́nf{d(x, y) : y ∈ A} ≥ 0, se denota por d(x, A) y se llama distancia de x a A. Ejemplo 2.1. Si x ∈ A, es claro que d(x, A) = 0. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), si A = (0, 1) y x = 0, es x 6∈ A, pero du (A, x) = 0. Proposición 2.6. Sean un espacio métrico (X, d), ∅ = 6 A ⊂ X y x0 , y0 ∈ X. Entonces, es |d(x0 , A) − d(y0 , A)| ≤ d(x0 , y0 ). Demostración: Para cada x ∈ A es d(x0 , x) ≤ d(x0 , y0 ) + d(y0 , x), por lo tanto es d(x0 , A) ≤ d(x0 , y0 ) + d(y0 , x) para cada x ∈ A. Ası́, d(x0 , A) − d(x0 , y0 ) es una cota inferior de la familia {d(y0 , x) : x ∈ A}, con lo que d(x0 , A) − d(x0 , y0 ) ≤ d(y0 , A). De modo similar se demuestra la desigualdad d(y0 , A) − d(x0 , y0 ) ≤ d(x0 , A), con lo que se obtiene el resultado deseado. Dados (X, d) y ∅ = 6 A, B ⊂ X, la familia de números reales {d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} está acotada inferiormente por 0. Por lo tanto, existe ı́nf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ≥ 0, se denota por d(A, B) y se llama distancia de A a B. Ejemplo 2.2. Si A ∩ B 6= ∅, es claro que d(A, B) = 0. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), los conjuntos A = (0, 1) y B = (−1, 0) son disjuntos, pero du (A, B) = 0. Proposición 2.7. Dados (X, d) y ∅ 6= A, B ⊂ X, d(A, B) = ı́nf{d(A, y) : y ∈ B} = ı́nf{d(x, B) : x ∈ A}. Demostración: Sea x ∈ A. Para cada y ∈ B es d(A, B) ≤ d(x, y). Luego d(A, B) es cota inferior de la familia {d(x, y) : y ∈ B}, y ası́ d(A, B) ≤ d(x, B). Luego, para cada x ∈ A es d(A, B) ≤ d(x, B), con lo que d(A, B) es cota inferior de la familia {d(x, B) : x ∈ A}, y entonces d(A, B) ≤ ı́nf{d(x, B) : x ∈ A}. Por la definición de d(A, B), para cada 28 Capı́tulo 2. Espacios métricos ε > 0, existe xε ∈ A, yε ∈ B tal que d(A, B)+ε > d(xε , yε ). Como d(xε , B) ≤ d(xε , yε ), es d(xε , B) < d(A, B) + ε para cada ε > 0. Como ı́nf{d(x, B) : x ∈ A} ≤ d(xε , B), concluimos que para cada ε > 0 es ı́nf{d(x, B) : x ∈ A} < d(A, B) + ε, es decir, ı́nf{d(x, B) : x ∈ A} ≤ d(A, B). 2.1.3. Isometrı́as Definición 2.4. Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos. Una isometrı́a entre (X, d) e (Y, ρ) es una aplicación biyectiva f : (X, d) −→ (Y, ρ) que preserva la distancia, es decir, para cada a, b ∈ X, es d(a, b) = ρ(f (a), f (b)). Se dice que (X, d) es isométrico a (Y, ρ). Proposición 2.8. La relación “ser isométrico” es una relación de equivalencia sobre la familia de espacios métricos. Ası́, podemos hablar sencillamente de espacios métricos isométricos. Dos espacios métricos isométricos pueden diferir en la naturaleza especı́fica de sus puntos, pero son indistinguibles en cuanto a su comportamiento como espacios métricos. 2.2. Bolas abiertas y cerradas. Esferas Definición 2.5. Sea (X, d) y r > 0. Se llama: 1) bola abierta de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}; 2) bola cerrada de centro x y radio r, al conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}; 3) esfera de centro x y radio r, al conjunto S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. Ejemplos 2.3. Damos algunos ejemplos de bolas en algunos espacios métricos: (i) en (X, d), donde d es la métrica discreta, B(x, 1) = {x}, B(x, 2) = X, B(x, 1) = X, B(x, 21 ) = {x}, S(x, 1) = X − {x} y S(x, 2) = ∅; (ii) en (R, du ), B(x, r) = (x−r, x+r), B(x, r) = [x−r, x+r] y S(x, r) = {x−r, x+r}; (iii) en (Rn , dmáx ), la bola B(x, r) = (x1 − r, x1 + r) × · · · × (xn − r, xn + r), el cubo de dimensión n, centrado en x y arista 2r; (iv) en (Rn , dsum ), la bola B(x, r) es el cubo de dimensión n centrado en x, de arista 2r y girado; (v) en (Rn , du ), B(x, r) es la bola abierta de dimensión n, centrada en x y de radio r. 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 29 Se verifican las siguientes propiedades: Proposición 2.9. En un espacio métrico (X, d), se cumple: (i) para cada x ∈ X y r > 0, es B(x, r) 6= ∅ = 6 B(x, r); pero S(x, r) puede ser vacı́a; (ii) si 0 < r ≤ s, es B(x, r) ⊂ B(x, s), B(x, r) ⊂ B(x, s), B(x, r) ⊂ B(x, s) (si r < s) y S(x, r) ∩ S(x, s) = ∅ si s 6= r; (iii) B(x, r) ∪ S(x, r) = B(x, r) y B(x, r) ∩ S(x, r) = ∅; (iv) la intersección finita de bolas abiertas de un mismo centro (respectivamente, cerradas) es la bola abierta (respectivamente, cerrada) del mismo centro y radio el mı́nimo de los radios. La intersección arbitraria de bolas no tiene porque ser una bola. \  1 \  1 1 Ejemplo 2.3. En (R, du ), B 0, = − , = {0}, que no es una bola. n n n n∈N n∈N Teorema 2.10. (Propiedad de Hausdorff) En un espacio métrico (X, d), dos puntos distintos se pueden separar por bolas abiertas disjuntas. Demostración: Sean x 6= y. Entonces d(x, y) = r > 0. Las bolas B(x, 2r ) y B(y, 2r ) son obviamente disjuntas. 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 2.3.1. Conjuntos abiertos Definición 2.6. En (X, d), un subconjunto A se dice abierto, si para cada a ∈ A, existe ra > 0 (que depende sólo de a) tal que B(a, ra ) ⊂ A. Teorema 2.11. En un espacio métrico (X, d), los conjuntos X y ∅ son abiertos. Teorema 2.12. En un espacio métrico (X, d), para cada x ∈ X y r > 0, la bola B(x, r) es un conjunto abierto. Demostración: Sea y ∈ B(x, r) y s = d(x, y) < r; es B(y, r − s) ⊂ B(x, r). Ejemplos 2.4. Algunos ejemplos de conjuntos abiertos son: (i) En (R, du ), los intervalos abiertos son conjuntos abiertos; 30 Capı́tulo 2. Espacios métricos (ii) En (X, d), con d la métrica discreta, cualquier conjunto es abierto. Teorema 2.13. En (X, d), sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos abiertos. Entonces [ (i) Ai es abierto; i∈I (ii) si I es finito, entonces \ Ai es abierto. i∈I Demostración: (i) Si x ∈ [ Ai , existe i ∈ I tal que x ∈ Ai . Como Ai es abierto, existe i∈I [ rx > 0 tal que B(x, rx ) ⊂ Ai ⊂ Ai . (ii) Si x ∈ i∈I \ Ai , para cada i ∈ I es x ∈ Ai . Para todo i ∈ I, existe ri > 0 tal que \ B(x, ri ) ⊂ Ai . Si r = mı́n{r1 , . . . , rn }, es B(x, r) ⊂ Ai . i∈I i∈I Observación 2.1. En el teorema 2.13 (ii), el conjunto de ı́ndices debe de ser finito: en efecto, en (R, du ), si se toma I = N y la familia de abiertos An = (− n1 , n1 ), entonces \ An = {0}, que no es abierto. n∈N Teorema 2.14. En (X, d), A es abierto si y sólo si es unión de bolas abiertas. Demostración: Por los teoremas 2.12 y 2.13, la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto. Y recı́procamente, si A [es abierto, para cada a ∈ A existe ra > 0 tal que B(a, ra ) ⊂ A. Es obvio que A = B(a, ra ). a∈A Observación 2.2. No todo abierto es una bola abierta, por ejemplo, en (R, du ), A = R es abierto y no es una bola abierta. 2.3.2. Topologı́a inducida por una métrica Definición 2.7. Sean un conjunto X y una familia τ ⊂ P(X) verificando: 1) ∅, X ∈ τ , 2) si {Ai }i∈I ⊂ τ , entonces [ i∈I Ai ∈ τ , 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados 31 3) si {A1 , . . . , An } ⊂ τ , entonces A1 ∩ · · · ∩ An ∈ τ . Se dice que τ es una topologı́a sobre X y el par (X, τ ) se llama espacio topológico. Como consecuencia de los teoremas 2.11 y 2.13, se obtiene: Proposición 2.15. En (X, d), la familia τd = {U ⊂ X : U es abierto} es una topologı́a sobre X, llamada topologı́a métrica. Ejemplos 2.5. Algunos ejemplos de topologı́as son: (i) En (Rn , du ), τdu se denomina la topologı́a euclı́dea; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, τd = P(X) se llama la topologı́a discreta. Definición 2.8. Un espacio topológico (X, τ ) se llama metrizable, si existe una métrica d sobre X tal que τd = τ . Observación 2.3. Cualquier espacio topológico no es metrizable: (R, τ ), donde τ = {∅, R} (la topologı́a indiscreta) no es metrizable, pues no se cumple la propiedad de Hausdorff. Definición 2.9. Dos métricas d1 y d2 sobre X se llaman topológicamente equivalentes, si inducen la misma topologı́a sobre X, y en tal caso se dice que (X, d1 ) y (X, d2 ) son espacios métricos topológicamente equivalentes. Lema 2.16. La relación “ser topológicamente equivalentes” es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las métricas sobre X. Lema 2.17. Con las notaciones obvias, (X, d1 ) y (X, d2 ) son topológicamente equivalentes si y sólo si para cada x ∈ X y r > 0, existen s1 , s2 > 0 tales que Bd2 (x, s2 ) ⊂ Bd1 (x, r) y Bd1 (x, s1 ) ⊂ Bd2 (x, r). Lema 2.18. Si (X, d1 ) y (X, d2 ) son métricamente equivalentes, también son topológicamente equivalentes. Ejemplo 2.4. El recı́proco no es cierto: sobre N, las métricas discreta y usual son topológicamente equivalentes (ambas inducen la topologı́a discreta), pero no son métricamente equivalentes. Observación 2.4. Cualquier propiedad enunciada para espacios métricos en términos de conjuntos abiertos puede reformularse también para espacios topológicos: en este curso se trata precisamente de dar un repaso de los conceptos topológicos más importantes restringiéndonos al caso particular de los espacios metrizables. 32 Capı́tulo 2. Espacios métricos 2.3.3. Conjuntos cerrados Definición 2.10. Dados (X, d) y A ⊂ X, x ∈ X es un punto de acumulación de A (o punto lı́mite), si para cada r > 0 es (B(x, r) − {x}) ∩ A 6= ∅. Definición 2.11. Sean (X, d) y A ⊂ X. El derivado de A, A′ , es el conjunto de los puntos de acumulación de A. Si x ∈ A − A′ , se dice que x es un punto aislado. Definición 2.12. Sean (X, d) y A ⊂ X. A se llama cerrado si A′ ⊂ A. Ejemplos 2.6. Algunos ejemplos de puntos de acumulación son:  ′ (i) en (R, du ), (0, ∞)′ = [0, ∞), n1 : n ∈ N = {0}, N′ = ∅ y Q′ = R; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, para cada A ⊂ X es A′ = ∅. Lema 2.19. Sean (X, d) y A ⊂ X. Si x ∈ A′ , entonces para cada r > 0, la intersección (B(x, r) − {x}) ∩ A tiene infinitos puntos. Demostración: Supongamos que para r > 0 es (B(x, r) − {x}) ∩ A = {x1 , . . . , xn }. Si r0 = mı́n{d(x, xk ) : 1 ≤ k ≤ n}, entonces (B(x, r0 ) − {x}) ∩ A = ∅, contra la hipótesis. Corolario 2.20. En (X, d), si A ⊂ X es finito, entonces es cerrado. Demostración: En este caso, es claramente A′ = ∅. Teorema 2.21. En (X, d), A es cerrado si y sólo si X − A es abierto. Demostración: Si A es cerrado, sea x ∈ X −A. Como A′ ⊂ A y x 6∈ A, es x 6∈ A′ . Luego, existe rx > 0 tal que (B(x, rx ) − {x}) ∩ A = ∅, es decir, B(x, rx ) − {x} ⊂ X − A, y por lo tanto X − A es abierto. Recı́procamente, si X − A es abierto y x ∈ A′ , supongamos que x 6∈ A. Existe rx > 0 tal que B(x, rx ) ⊂ X − A, es decir, (B(x, rx ) − {x}) ∩ A = ∅, contra la hipótesis. De los teoremas 2.11 y 2.21, se deduce: Teorema 2.22. En (X, d), X y ∅ son conjuntos cerrados. Teorema 2.23. En (X, d), para cada x ∈ X y r > 0, la bola B(x, r) es un conjunto cerrado. Demostración: Basta con probar que X − B(x, r) es abierto: sea y ∈ X − B(x, r), entonces d(x, y) > r. Para r1 = d(x, y) − r, es B(y, r1 ) ⊂ X − B(x, r). 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 33 Ejemplos 2.7. Algunos ejemplos de conjuntos cerrados son: (i) En (R, du ), los puntos y los intervalos del tipo [a, b] son cerrados; (ii) En (X, d), con d la métrica discreta, todo A ⊂ X es cerrado. Usando el teorema 2.21, se deducen las propiedades duales del teorema 2.13: Teorema 2.24. En (X, d), sea {Ai }i∈I una familia de conjuntos cerrados. Entonces \ (i) Ai es cerrado; i∈I (ii) si I es finito, entonces [ Ai es cerrado. i∈I Observación 2.5. En 2.24 (ii), el conjunto de ı́ndices debe de ser finito: [en efecto, en 1 (R, du ), si se toma I = N y la familia de cerrados An = [ n , 1], entonces An = (0, 1], n∈N que no es cerrado. Corolario 2.25. En (X, d), para cada x ∈ X y r > 0, la esfera S(x, r) es un conjunto cerrado. Demostración: Es una consecuencia de la igualdad S(x, r) = B(x, r) − B(x, r). 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 2.4.1. Clausura de un conjunto Definición 2.13. En (X, d), si A ⊂ X, la clausura de A es el conjunto A = A ∪ A′ . Si x ∈ A, se dice que es un punto adherente de A. Teorema 2.26. En (X, d), A ⊂ X es cerrado si y sólo si A = A. Observación 2.6. En particular, X = X y ∅ = ∅. Teorema 2.27. En (X, d), x ∈ A si y sólo si para cada r > 0 es B(x, r) ∩ A 6= ∅. Demostración: Sea x ∈ A. Si x ∈ A, la condición se cumple trivialmente. En caso contrario, debe ser x ∈ A′ y entonces (B(x, r) − {x})∩A 6= ∅, y se concluye el resultado. Recı́procamente, si para cada r > 0 es B(x, r) ∩ A 6= ∅, pueden suceder dos cosas: 34 Capı́tulo 2. Espacios métricos (i) si x ∈ A, es x ∈ A; (ii) si x 6∈ A, es (B(x, r) − {x}) ∩ A = B(x, r) ∩ A 6= ∅ para cada r > 0, con lo que x ∈ A′ ⊂ A. Teorema 2.28. En (X, d), si A, B ⊂ X se verifica: (i) si A ⊂ B, es A ⊂ B, es decir, la clausura preserva las inclusiones; (ii) A es cerrado. Demostración: Veamos (ii), y para ello basta con ver que A ⊂ A. Sea x ∈ A, es decir, para cada r > 0 es B(x, r) ∩ A 6= ∅. Sea xr ∈ B(x, r) ∩ A y sr = r − d(x, xr ) > 0. Como xr ∈ A es B(xr , sr ) ∩ A 6= ∅. Claramente, es B(xr , sr ) ⊂ B(x, r), con lo que B(x, r) ∩ A 6= ∅, y se deduce que x ∈ A. Teorema 2.29. (Caracterización de la clausura) En (X, d), se cumple: (i) si F es cerrado y A ⊂ F , es A ⊂ F ; T (ii) A = {F cerrado: A ⊂ F }, es decir, A es el menor cerrado en (X, d) que contiene a A. Demostración: (i) Si A ⊂ F , por el teorema 2.28 (i), es A ⊂ F , y como F es cerrado, se deduce que A ⊂ F . T (ii) Si F es cerrado y A ⊂ F , es A ⊂TF , luego A ⊂ {F cerrado: A ⊂ F }. Además, A es cerrado y contiene a A, luego A ⊃ {F cerrado: A ⊂ F }. Teorema 2.30. En (X, d), si A, B ⊂ X se verifica: (i) A ∪ B = A ∪ B; (ii) A ∩ B ⊂ A ∩ B. Demostración: (i) Como A, B ⊂ A ∪ B, por el teorema 2.28 (i) es A, B ⊂ A ∪ B. Por otro lado, A ∪ B ⊂ A ∪ B (que es cerrado) y A ∪ B es el menor cerrado que contiene a A ∪ B, luego A ∪ B ⊂ A ∪ B. (ii) Como A ∩ B ⊂ A, B, por el teorema 2.28 (i) es A ∩ B ⊂ A, B. Observación 2.7. En 2.30 (ii), la igualdad no es cierta en general: en (R, du ), si A = (0, 1) y B = (1, 2), es A ∩ B = ∅ y A ∩ B = {1}. 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 35 Ejemplos 2.8. Algunos ejemplos de clausuras son: (i) en (R, du ), Q = R, R − Q = R, N = N; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, todo A ⊂ X, es A = A. Todo espacio métrico es normal, es decir, separa cerrados disjuntos por medio de abiertos (es una generalización del teorema 2.10) en el siguiente sentido: Proposición 2.31. En (X, d), si A, B ⊂ X son cerrados disjuntos, existen abiertos disjuntos U y V , tales que A ⊂ U y B ⊂ V . Demostración: Para cada a ∈ A, es a 6∈ B y existe ra > 0 tal que B(a, ra ) ∩ B = ∅. Del mismo modo, para todo b ∈ B, es [ b ∈ X  −rA, por lo que  ssb > 0 tal que [ existe a b yV = . B(b, sb ) ∩ A = ∅. Basta con tomar U = B a, B b, 3 3 a∈A b∈B Observación 2.8. En las condiciones de la proposición 2.31, observar que U ⊂ X − V , con lo que U ⊂ X − V ⊂ X − B, y por lo tanto es A ⊂ U ⊂ U ⊂ X − B. Todo espacio métrico es regular, es decir, separa puntos de cerrados a través de abiertos en el siguiente sentido: Corolario 2.32. En (X, d), si A ⊂ X es cerrado y x 6∈ A existen conjuntos abiertos y disjuntos U y V , tales que x ∈ U y A ⊂ V . Demostración: Basta con aplicar la proposición 2.31 al caso de los cerrados disjuntos A y {x}. 2.4.2. Interior de un conjunto Definición 2.14. En (X, d), si A ⊂ X, x ∈ A, se llama punto interior de A si existe rx > 0 tal que B(x, rx ) ⊂ A. El conjunto de los puntos interiores de A se llama interior ◦ ◦ de A y se denota por A. Es claro que A⊂ A. Teorema 2.33. En (X, d), si A ⊂ X, se cumple: ◦ z }| { (i) X − A =X − A; ◦ (ii) X− A= X − A. 36 Capı́tulo 2. Espacios métricos Demostración: (i) Si x ∈ 6 A, existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A = ∅, es decir, B(x, r) ⊂ ◦ z }| { X − A, con lo que x ∈X − A. ◦ (ii) Si x 6∈A, para cada r > 0 es B(x, r) 6⊂ A, es decir, B(x, r) ∩ (X − A) 6= ∅, luego x ∈ X − A. ◦ Teorema 2.34. En (X, d), A ⊂ X es abierto si y sólo si A= A. Demostración: A es abierto si y sólo si X − A es cerrado, es decir, X − A = X − A, ◦ equivalentemente A= A, por 2.33 (ii). ◦ ◦ Observación 2.9. En particular, X= X y ∅= ∅. Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.33 y el teorema 2.28, se demuestra fácilmente: Teorema 2.35. En (X, d), si A, B ⊂ X se verifica: ◦ ◦ (i) si A ⊂ B, es A⊂B; ◦ (ii) A es abierto. Teorema 2.36. (Caracterización del interior) En (X, d) se cumple: ◦ (i) si U es abierto y U ⊂ A, es U ⊂A; ◦ (ii) A= S ◦ {U abierto: U ⊂ A}, es decir, A es el mayor abierto contenido en A. ◦ ◦ Demostración: (i) Si U es abierto y está contenido en A, por el teorema 2.35 (i) es U ⊂A, ◦ y U =U por ser abierto. (ii) Como todo abierto contenido en A está también contenido en su interior, se verifica ◦ ◦ S que A⊃ {U abierto: U ⊂ A}. Y como A es abierto contenido en A, es uno de los que ◦ S participan en la unión, por lo que A⊂ {U abierto: U ⊂ A}. Usando la dualidad con la clausura dada por el teorema 2.33 y las propiedades del teorema 2.30, se deduce que: 2.4. Clausura, interior y frontera de un conjunto 37 Teorema 2.37. En (X, d), si A, B ⊂ X se verifica: ◦ z }| { (i) A ∩ B=A ∩ B; ◦ ◦ ◦ z }| { (ii) A ∪ B⊂A ∪ B. ◦ ◦ Observación 2.10. En 2.37 (ii), la igualdad no es cierta en general: en (R, du ), si A = ◦ z }| { ◦ ◦ [0, 1] y B = [1, 2], es A ∪ B= (0, 2) y A ∪ B= (0, 2) − {1}. 2.4.3. Frontera de un conjunto Definición 2.15. En (X, d), si A ⊂ X, x ∈ X se llama punto frontera de A si para cada r > 0 es B(x, r) ∩ A 6= ∅ = 6 B(x, r) ∩ (X − A). El conjunto de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se denota por fr(A). Ejemplos 2.9. Algunos ejemplos de fronteras son: (i) en (R, du ), fr((a, b]) = {a, b}, fr(Q) = R, fr(N) = N; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, todo A ⊂ X, es fr(A) = ∅. ◦ Teorema 2.38. En (X, d), para A ⊂ X es fr(A) = A ∩ X − A = A− A. Corolario 2.39. En (X, d), si A ⊂ X, se cumple: (i) fr(A) es un conjunto cerrado; (ii) fr(A) = fr(X − A); ◦ (iii) fr(A) ⊂ fr(A) y fr(A) ⊂ fr(A); (iv) fr(X) = fr(∅) = ∅. ◦ z }| { Demostración: (iii) fr(A) = A ∩ X − A = A ∩ X − A = A ∩ X − A ⊂ A ∩ X − A = ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ fr(A). Del mismo modo, fr(A) = A∩X− A = A∩X − A = A∩X − A ⊂ A∩X − A = fr(A). Observación 2.11. En (iii) no se da en general la igualdad: en (R, du ), es fr(Q) = R, ◦ pero fr(Q) = fr(∅) = ∅ = fr(Q) = fr(R). 38 Capı́tulo 2. Espacios métricos Teorema 2.40. En (X, d), si A ⊂ X se verifica: (i) A es abierto si y sólo si A ∩ fr(A) = ∅; (ii) A es cerrado si y sólo si fr(A) ⊂ A. ◦ Demostración: (i) Si A es abierto, es A =A y A ∩ fr(A) = A ∩ (A − A) = ∅. Recı́pro◦ camente, si A ∩ fr(A) = ∅, es A ∩ X − A = ∅, con lo que A ⊂ X − X − A =A y se deduce que A es abierto. (ii) Se deduce usando (i) y por dualidad. El siguiente teorema nos permite dar una clara interpretación del interior, la clausura y la frontera de un conjunto: Teorema 2.41. En (X, d), si A ⊂ X se verifica: ◦ (i) A= A − fr(A) = A − fr(A); ◦ (ii) A = A ∪ fr(A) =A ∪fr(A). 2.5. Subespacios de un espacio métrico Dado (X, d) y A ⊂ X no vacı́o, la restricción de la métrica d a A×A, dA : A × A −→ R, es una distancia sobre A, que se denota por dA . Se dice también que el par (A, dA ) es un subespacio de (X, d). Es importante distinguir entre los espacios métricos (X, d) y (A, dA ), intentando dar una relación entre los abiertos de ambos espacios: Lema 2.42. En (X, d), si A ⊂ X y x ∈ A, para r > 0 la bola en el subespacio es BA (x, r) = B(x, r) ∩ A. Observación 2.12. En (X, d), con las notaciones obvias, si A ⊂ X y x ∈ A, para r > 0 es BA (x, r) = B(x, r) ∩ A y SA (x, r) = S(x, r) ∩ A. Teorema 2.43. En (X, d), sean B ⊂ A ⊂ X, entonces: (i) B es abierto en (A, dA ) si y sólo si existe U abierto en (X, d) tal que B = U ∩ A; (ii) B es cerrado en (A, dA ) si y sólo si existe F cerrado en (X, d) tal que B = F ∩ A. Observación 2.13. Puede suceder que B ⊂ A ⊂ X sea abierto (respectivamente, cerrado) en (A, dA ) y no lo sea en (X, d). Por ejemplo, en (R, du ), para A = [0, 1): 2.6. Diámetro de un conjunto. Conjuntos acotados 39 (i) [0, 12 ) es abierto en (A, dA ), pero no lo es en (R, du ); (ii) [ 12 , 1) es cerrado en (A, dA ), pero no lo es en (R, du ). Pero se cumple la propiedad: Teorema 2.44. Sea (X, d) y A ⊂ X, entonces: (i) todo subconjunto de A que es abierto en (A, dA ) es también abierto en (X, d) si y sólo si A es abierto en (X, d); (ii) todo subconjunto de A que es cerrado en (A, dA ) es también cerrado en (X, d) si y sólo si A es cerrado en (X, d). 2.6. Diámetro de un conjunto. Conjuntos acotados Definición 2.16. Sean un espacio métrico (X, d) y A ⊂ X. El diámetro de A es el número δ(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} si este supremo existe y es infinito en caso contrario. Por definición, δ(∅) = 0. Observación 2.14. δ(A) está definido si la familia de números reales {d(x, y) : x, y ∈ A} está acotada superiormente. Definición 2.17. En (X, d), un conjunto A ⊂ X se llama acotado si δ(A) ∈ R. Ejemplos 2.10. Algunos ejemplos de conjuntos acotados son: (i) en (R, du ), A está acotado si lo está superior e inferiormente; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, todo A ⊂ X está acotado, ya que si A tiene más de un punto, es δ(A) = 1. Observación 2.15. Si δ(A) = r, no tienen porque existir dos puntos x, y ∈ A tales que d(x, y) = r. Por ejemplo, en (R, du ), δ((0, 1)) = 1, pero los puntos en (0, 1) distan entre ellos menos que 1. Teorema 2.45. En (X, d), si A, B ⊂ X son no vacı́os, se cumple: (i) si A ⊂ B, es δ(A) ≤ δ(B); (ii) si δ(A) = 0, entonces A se reduce a un punto; (iii) δ(B(x, r)) ≤ δ(B(x, r)) ≤ 2r. 40 Capı́tulo 2. Espacios métricos Demostración: (i) Si A o B no están acotados, es inmediato. Supongamos entonces que ambos conjuntos están acotados, entonces {d(x, y) : x, y ∈ A} ⊂ {d(x, y) : x, y ∈ B}, y se deduce la propiedad. Aunque la inclusión sea propia, puede darse la igualdad: en (R, du ), δ((0, 1)) = 1 = δ([0, 1]). (iii) Si a, b ∈ B(x, r), es d(a, b) ≤ d(a, x) + d(x, b) < 2r. Ası́, 2r es cota superior de la familia {d(a, b) : a, b ∈ B(x, r)}, y por lo tanto, δ(B(x, r)) ≤ 2r. Para la bola cerrada, se hace de manera similar. La igualdad no se verifica en general: para (R, d) donde d es la métrica discreta, es δ(B(x, 1)) = 0 < 2 y δ(B(x, 50)) = 1 < 100. Sin embargo, para (Rn , d) donde d = dmáx , dsum , du , es δ(B(x, r)) = δ(B(x, r)) = 2r. Lema 2.46. En (X, d), si A, B ⊂ X están acotados y a ∈ A, b ∈ B, entonces para cada x, y ∈ A ∪ B es d(x, y) ≤ d(a, b) + δ(A) + δ(B). Demostración: Hay tres posibles casos: (i) si x, y ∈ A, es d(x, y) ≤ δ(A) ≤ d(a, b) + δ(A) + δ(B); (ii) si x, y ∈ B, es d(x, y) ≤ δ(B) ≤ d(a, b) + δ(A) + δ(B); (iii) si x ∈ A e y ∈ B, es d(x, y) ≤ d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) ≤ δ(A) + d(a, b) + δ(B). Teorema 2.47. En (X, d), la unión de cualquier familia finita de conjuntos acotados es un conjunto acotado. Demostración: Sean A y B conjuntos acotados. Por el lema 2.46, fijados a ∈ A y b ∈ B, el número d(a, b) + δ(A) + δ(B) es cota superior de la familia {d(x, y) : x, y ∈ A ∪ B}, por lo que existe δ(A ∪ B). Observación 2.16. La unión[debe ser finita: en (R, du ), para cada x ∈ R, {x} es un conjunto acotado, pero R = {x} no lo es. x∈R Teorema 2.48. En (X, d), un conjunto no vacı́o A ⊂ X es acotado si y sólo si está contenido en alguna bola cerrada. Demostración: Si existen x ∈ X y r > 0 tales que A ⊂ B(x, r), A está acotado por estarlo B(x, r). Recı́procamente, sea A acotado y x ∈ X un punto cualquiera. Si a ∈ A, sea r = d(x, a) + δ(A). Entonces, A ⊂ B(x, r). 2.7. Conjuntos densos y espacios separables 2.7. 41 Conjuntos densos y espacios separables Definición 2.18. En (X, d), un conjunto A ⊂ X se llama denso en X si A = X. Ejemplos 2.11. Algunos ejemplos de conjuntos densos son: (i) en (R, du ), Q y R − Q son densos; (ii) en (X, d), con d la métrica discreta, A es denso si y sólo si A = X. Teorema 2.49. En (X, d), A ⊂ X es denso si y sólo el único cerrado que contiene a A es X. Teorema 2.50. En (X, d), A ⊂ X es denso si y sólo A corta a cualquier abierto no vacı́o. ◦ Proposición 2.51. En (X, d), para cada A ⊂ X los conjuntos A∪(X −A) y (X −A)∪ A son densos. Definición 2.19. (X, d) se llama separable si existe un subconjunto denso y contable. A ⊂ X se llama separable si (A, dA ) lo es. Ejemplos 2.12. Algunos ejemplos de conjuntos separables son: (i) (R, du ) es separable, ya que Q es denso; (ii) (X, d), con d la métrica discreta, es separable si y sólo si X es contable. 2.8. Ejercicios ♣1.- Si ρ es una pseudométrica sobre X y x, y ∈ X, se define la relación x ∼ y si y sólo si ρ(x, y) = 0. Se pide: (i) probar que ∼ es una relación de equivalencia en X; (ii) dados x1 , x2 , y1 , y2 ∈ X, tales que x1 ∼ x2 e y1 ∼ y2 , probar que ρ(x1 , y1 ) = ρ(x2 , y2 ); (iii) sean Y = X/ ∼, [x], [y] ∈ Y . Dados a ∈ [x] y b ∈ [y], se define d([x], [y]) = ρ(a, b). Probar que d es una métrica en Y , que se llama asociada a ρ. 2.- Sea k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n, y d : Rn × Rn −→ R, definida por d(x, y) = |xk − yk |, donde x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ). ¿Es d una métrica en Rn ? 3.- Decidir si las siguientes funciones son métricas sobre R: d1 (x, y) = |x2 −y 2 |, d2 (x, y) = 1 1 1 |x 3 − y 3 |, d3 (x, y) = e|x−y| y d4 (x, y) = e |x−y| . 42 Capı́tulo 2. Espacios métricos 4.- Dadas d1 , · · · , dn métricas sobre X, se pide: (i) probar que d(x, y) = n X di (x, y) es una métrica sobre X; i=1 (ii) demostrar que d(x, y) = máx di (x, y) es una métrica sobre X; 1≤i≤n (iii) ¿define d(x, y) = mı́n di (x, y) una métrica sobre X? 1≤i≤n 5.- Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos y f : X −→ Y . Se pide: (i) sea D : X × X −→ R definida por D(x, y) = ρ(f (x), f (y)); ¿cuándo es D una métrica en X? (ii) si (X, d) = (Y, ρ) = (R, du ) y f : R −→ R es creciente; ¿es D métrica? (iii) sea f (x) = x3 como en (ii); ¿es D equivalente a du ? 6.- Sea (X, d) un espacio métrico. Para i = 1, 2, sean las aplicaciones di : X × X −→ R, d(x,y) . Probar que d1 y d2 son métricas donde d1 (x, y) = mı́n{1, d(x, y)} y d2 (x, y) = 1+d(x,y) acotadas sobre X. 7.- Sea SC el conjunto de las sucesiones convergentes de números reales. Dadas las sucesiones {xn }n∈N , {yn }n∈N ∈ SC , se define d({xn }, {yn }) = lı́m |xn − yn |; ¿es d métrica n→∞ sobre SC ? 8.- Sea SA el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales (es decir, {xn } ∈ SA si y sólo si existe K > 0 tal que |xn | ≤ K para cada n ∈ N). Probar que la igualdad d({xn }, {yn }) = sup|xn − yn | define una métrica en SA . n∈N 9.- Sean R ⊃ A 6= ∅ y B(A) = {f : A −→ R : ∃K > 0 : ∀x ∈ A, |f (x)| ≤ K} el conjunto de las funciones acotadas sobre A. Probar que la función d : B(A) × B(A) −→ R dada por d(f, g) = sup|f (x) − g(x)|, es una métrica en B(A). x∈A ♣10.- Sea X = {f : [0, 1] −→ Z R, f continua}. Probar que las siguientes aplicaciones son 1 distancias en X: d1 (x, y) = 0 |f (x) − g(x)|dx y d2 (x, y) = sup |f (x) − g(x)|. x∈[0,1] Si Y = {f : [0, 1] −→ R, f integrables en el sentido de Riemann}, ¿es d1 una distancia sobre Y ? 11.- Se considera la recta real ampliada R = R ∪ {−∞} ∪ {∞}. Sea la aplicación x si x ∈ R, f (−∞) = −1 y f (∞) = 1. f : R −→ [−1, 1] definida por f (x) = 1+|x| Probar que la aplicación d(x, y) = |f (x) − f (y)| es una distancia sobre R. 2.8. Ejercicios 43 12.- Probar que las siguientes aplicaciones son métricas. En los espacios métricos obtenidos, caracterizar las bolas, el interior, la clausura y la frontera: (i) d : R2 × R2 −→ R donde para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ,  |x2 − y2 | si x1 = y1 d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 | + |y2 | si x1 6= y1 (ii) d : R × R −→ R donde para x, y ∈ R,  |x − y| si sg(x) = sg(y) d(x, y) = |x + y| + 1 si sg(x) 6= sg(y) (donde 0 se considera con signo positivo), (iii) d : R × R −→ R donde para x, y ∈ R,  x + y si x 6= y, x > 0, y > 0 d(x, y) = |x − y| en otro caso (iv) d : [0, ∞) × [0, ∞) −→ R donde para x, y ∈ [0, ∞),  x + y si x 6= y d(x, y) = 0 si x = y (v) d : [0, 1] × [0, 1] −→ R donde para x, y ∈ [0, 1],  2 − x − y si x 6= y d(x, y) = 0 si x = y (vi) d : R × R −→ R donde para x, y ∈ R y a ∈ R,  |x + a| + |y + a| si x 6= y d(x, y) = 0 si x = y (vii) d : R2 × R2 −→ R donde para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ,  p 2 2 2 2 2 2 (x p1 − y1 ) + (x p2 − y2 ) si x1 + x2 = y1 + y2 d(x, y) = x21 + x22 + y12 + y22 si x21 + x22 6= y12 + y22 (viii) d : N × N −→ R donde para x, y ∈ N,  1+ d(x, y) = 1 x+y si x 6= y 0 si x = y 44 Capı́tulo 2. Espacios métricos (ix) d : [0, ∞) × [0, ∞) −→ R donde para x, y ∈ [0, ∞),  máx{x, y} si x 6= y d(x, y) = 0 si x = y (x) d : R2 × R2 −→ R donde para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 ,  p 2 2 (x p1 − y1 ) + (x p2 − y2 ) si x1 y2 = y1 x2 d(x, y) = x21 + x22 + y12 + y22 si x1 y2 6= y1 x2 13.- Probar que hay exactamente dos isometrı́as de (R, du ) en (R, du ), que dejan fijo un punto dado a ∈ R. 14.- Probar que estas funciones son isometrı́as entre los espacios euclı́deos dados: (i) si a ∈ Rn , la traslación de vector a, ta : Rn −→ Rn , dada por ta (x) = a + x,; (ii) si ϕ ∈ R, la rotación elemental de ángulo ϕ, rϕ : R2 −→ R2 , dada por rϕ (x1 , x2 ) = (x1 cos(ϕ) − x2 sin(ϕ), x1 sin(ϕ) + x2 cos(ϕ)); (iii) la aplicación antipodal, a : Rn −→ Rn , dada por a(x) = −x. 15.- En el espacio métrico (X, d), para a ∈ X y r > 0, probar las propiedades siguientes:  \ \  1 ; B a, r + (i) B(a, r) = B(a, s) = n s>r n∈N   1 (ii) {a} = B(a, s) = B a, ; n s>0 n∈N \ \  1 ; (iii) B(a, r) = B(a, s) = B a, r − n s<r n∈N [ [  (iv) B(a, r) ⊂ B(a, r); ◦ z }| { (v) B(a, r) ⊂B(a, r), y (vi) fr(B(a, r)) ∪ fr(B(a, r)) ⊂ S(a, r). 2.8. Ejercicios 45 16.- Un espacio métrico (X, d) se llama discreto, si todo átomo (subconjunto formado por un único punto) es abierto. Probar: (i) (X, d) es discreto si y sólo si todos los subconjuntos de X son abiertos; (ii) (X, d) es discreto si y sólo si todos los subconjuntos de X son cerrados; (iii) si d es la métrica discreta sobre X, entonces (X, d) es discreto; (iv) el recı́proco de (iii) no es cierto, es decir, existen espacios métricos discretos (X, d) para los cuales d no es la métrica discreta; (v) si la intersección arbitraria de abiertos es abierta, entonces (X, d) es discreto; (vi) si X es un conjunto finito, entonces (X, d) es discreto; (vii) si Y ⊂ X, entonces (Y, dY ) es discreto si y sólo si Y ∩ Y ′ = ∅; (viii) dar un ejemplo de dos subconjuntos discretos de la recta real, cuya unión no sea discreta. [ ♣17.- Sean (X, d), ∅ = 6 A ⊂ X, r > 0 y V (A, r) = B(x, r). Se pide probar: x∈A (i) V (A ∩ B, r) ⊂ V (A, r) ∩ V (B, r), (ii) si s < r, V (A, s) ⊂ V (A, r), (iii) V (A ∪ B, r) = V (A, r) ∪ V (B, r). (iv) d(a, A) = ı́nf{r > 0 : a ∈ V (A, r)}, \  1 (v) A = V A, . Concluir que d(a, A) = 0 si y sólo si a ∈ A. n n∈N ♣18.- Sean (X, d) un espacio métrico y R una relación de equivalencia sobre X verificando: a) para cada x ∈ X, el conjunto Cx = {y ∈ X : xRy} es cerrado en X, b) si [x] 6= [y] ∈ X/R, todo representante a ∈ [x], verifica que d(a, Cy ) = d(Cx , Cy ). Para [x], [y] ∈ X/R, se define δ([x], [y]) = d(Cx , Cy ). Se pide: (i) probar que δ es un distancia en X/R. Se dice que (X/R, δ) es el espacio métrico cociente de (X, d) por R; 46 Capı́tulo 2. Espacios métricos (ii) sea p : X −→ X/R la proyección canónica. Probar que para cada x, y ∈ X, se cumple la desigualdad δ(p(x), p(y)) ≤ d(x, y). Hallar p(B(a, r)), si a ∈ X; (iii) si A es abierto en (X, d), probar que p(A) es abierto en (X/R, δ). Demostrar que B ⊂ X/R es abierto en (X/R, δ), si y sólo si p−1 (B) es abierto en (X, d); (iv) probar que B ⊂ X/R es cerrado en (X/R, δ), si y sólo si p−1 (B) es cerrado en (X, d); (v) sea (X, d) = (R, du ) y la relación sobre R dada por (xRy si y sólo si x − y ∈ 2πZ) : 1) demostrar que se cumplen a) y b); 2) probar que existe un cerrado A en (R, du ), tal que p(A) no es cerrado en (R/R, δ); 3) sea la aplicación f : R/R −→ S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} definida por f ([x]) = (cos(x), sin(x)). Probar que f está bien definida y es biyectiva; ¿cuál es la distancia δ0 obtenida sobre S1 al transportar δ por f ? Probar que δ0 es equivalente a la distancia inducida por la distancia euclı́dea de R2 . 19.- Sea el espacio métrico (X, d), a ∈ X y ∅ 6= A ⊂ X. Si d(a, A) = 2, probar que existe r > 0 tal que d(x, A) > 1, si x ∈ B(a, r). 20.- Sea (X, d) un espacio métrico y A, B ⊂ X. Probar: (i) si A es abierto, para cada B ⊂ X, A ∩ B = ∅ si y sólo si A ∩ B = ∅; (ii) si A es abierto, probar que para cada B ⊂ X, es A ∩ B ⊂ A ∩ B y A ∩ B = A ∩ B; (iii) probar que A es abierto si y sólo si para cada B ⊂ X, es A ∩ B ⊂ A ∩ B. ◦ ♣21.- Sea (X, d) un espacio métrico. Para cada subconjunto A de X, definimos α(A) =A ◦ y β(A) = A. Se pide: (i) si A es abierto (respectivamente, cerrado), probar que A ⊂ α(A) (respectivamente, β(A) ⊂ A); (ii) probar que para cada A ⊂ X, es α(α(A)) = α(A) y β(β(A)) = β(A); ◦ (iii) encontrar conjuntos A en (R, du ) tales que sean distintos los conjuntos A, A, A, ◦ α(A), β(A), α(A) y β(A); (iv) si A, B son abiertos disjuntos, entonces α(A) y α(B) son también disjuntos. 2.8. Ejercicios 47 22.- Sea (X, d) un espacio métrico. Dados A, B y {Ai }i∈I subconjuntos de X, probar: ◦ ◦ z\}| { \ ◦ [ ◦ z[}| { Ai ⊂ (i) Ai y Ai ⊂ Ai ; i∈I i∈I i∈I i∈I ′ ′ ′ ′ ′ (ii) si A ⊂ B entonces A′ ⊂ B ′ . Además,\(A ∩ B)\ ⊂ A′ ∩ [B) = A ∪ B , [B , (A ∪ (A′ )′ ⊂ A′ (es decir, A′ es cerrado), ( Ai )′ ⊂ A′i y A′i ⊂ ( Ai )′ ; i∈I (iii) [ i∈I Ai ⊂ [ Ai , i∈I \ i∈I Ai ⊂ \ i∈I i∈I i∈I i∈I Ai , A − B ⊂ A − B y (A)′ = A′ . ♣23.- Sea (X, d) un espacio métrico y {Ai }i∈I una familia de conjuntos en X tales que [ [ Ai = existe un δ > 0 tal que si i 6= j, entonces d(Ai , Aj ) ≥ δ. Probar que Ai . i∈I i∈I ♣24.- Sea (X, d) un espacio métrico. Una familia {Ci }i∈I de subconjuntos de X se llama localmente finita si para cada x ∈ X, existe rx > 0 tal que B(x, rx ) ∩ Ci 6= ∅ sólo para un número finito de i ∈ I. Se pide: (i) probar que {B(0, n) : n ∈ N} no es localmente finita en (R, du ), pero si lo es la familia de sus complementarios; (ii) dar una familia de conjuntos abiertos localmente finita en (R, du ) cuya unión sea R; (iii) si {Ci }i∈I es una familia localmente finita, probar que cada punto de X pertenece a lo más a un número finito de conjuntos Ci (es decir, la familia es puntualmente finita). Probar que no toda familia puntualmente finita es localmente finita; [ [ Ci = Ci . Concluir de (iv) si la familia {Ci }i∈I es localmente finita, probar que i∈I i∈I aquı́, que la reunión localmente finita de cerrados es cerrada. 25.- En (X, d), probar: (i) si A ⊂ X, A = \ [ 1 B(x, ); n n∈N x∈A (ii) todo cerrado puede expresarse como una intersección numerable de abiertos; (iii) todo abierto puede escribirse como una reunión numerable de cerrados. 48 Capı́tulo 2. Espacios métricos 26.- Dado un espacio métrico (X, d) y A, B ⊂ X no vacı́os, probar: (i) d(A, B) = d(A, B). (ii) A = B si y sólo si para cada x ∈ X, es d(x, A) = d(x, B). 27.- Sea (X, d) un espacio métrico. Probar: (i) si A no posee puntos aislados, entonces A tampoco los posee; (ii) si X no posee puntos aislados, tampoco tendrán puntos aislados los abiertos de X. ♣28.- Sea X un conjunto numerable. Probar que puede definirse sobre él una métrica, tal que ninguno de sus puntos sea aislado. 29.- Sea (X, d) un espacio métrico, donde X posee más de un punto; ¿pueden ser ∅ y X los únicos abiertos? 30.- Sean los espacios métricos (X1 , d1 ), · · · , (Xn , dn ). Consideremos su producto cartesiano X = X1 × · · · × Xn y d = dmáx la métrica del máximo sobre él. Probar: ◦ z }| { (i) A1 × · · · × An =A1 × · · · × An y A1 × · · · × An = A1 × · · · × An ; ◦ ◦ (ii) A1 × · · · × An es abierto en (X, d) si y sólo si Ai es abierto en (Xi , di ) para cada i ∈ I (análogamente para cerrados). ♣31.- Sea (X, d) un espacio métrico. Se pide: (i) si x 6= y ∈ X, probar que existen U y V abiertos disjuntos en X, tales que x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅; (ii) sean A y B conjuntos cerrados y disjuntos en X. Probar que existen abiertos U y V disjuntos en X, tales que A ⊂ U y B ⊂ V. 32.- Sea (X, d) y ∆ la diagonal en el espacio métrico producto (X × X, D). Si el punto x = (x1 , x2 ) 6∈ ∆, probar que D(x, ∆) > 0. ♣33.- Un espacio métrico (X, d) se llama ultramétrico, si para cada x, y, z ∈ X, se verifica la desigualdad d(x, y) ≤ máx{d(x, z), d(z, y)}. Demostrar: (i) si d(x, z) 6= d(y, z), entonces d(x, y) = máx{d(x, z), d(z, y)}; (ii) B(a, r) y B(a, r) son abiertos y cerrados a la vez; (iii) si y ∈ B(x, r), entonces B(x, r) = B(y, r); ¿se tiene un resultado análogo para las bolas cerradas? 2.8. Ejercicios 49 (iv) si B(x, r) y B(y, s) se cortan, entonces una de estas bolas contiene a la otra (lo mismo para bolas cerradas); (v) si B(x, r) y B(y, r) son distintas y están contenidas en B(z, r), su distancia es r; (vi) si d es la métrica discreta, probar que (X, d) es un espacio ultramétrico. 34.- Sea (X, d) un espacio métrico. Se pide: (i) sea ∅ 6= A ⊂ X. Si (X, d) es separable, probar que A es separable (es decir, el subespacio métrico (A, dA ) es separable); (ii) si A es separable, probar que A es separable; (iii) si A1 , · · · , An son separables, entonces A1 ∪ · · · ∪ An es separable. 35.- Sea (X, d) un espacio métrico. Sea A ⊂ X tal que para cada a ∈ A, existe εa > 0 tal que B(a, εa ) ∩ A es contable. Si (X, d) es separable, probar que A es contable. 36.- Sea (X, d) un espacio métrico separable y ∅ = 6 A ⊂ X. Se pide: (i) probar que el conjunto de los puntos aislados de A es contable; (ii) si A′ = ∅, probar que A es contable; (iii) si A es discreto en X, probar que A es contable. ♣37.- Se dice que (X, d) posee la propiedad de intersección contable, si dada cualquier \ familia {Fi }i∈I de cerrados, tal que Fi 6= ∅ para cada subconjunto contable J de I, i∈J \ entonces Fi 6= ∅. Probar que un espacio métrico (X, d) es separable si y sólo si posee i∈I la propiedad de intersección contable. 38.- Si (X, d) es separable, probar toda familia de abiertos dos a dos disjuntos es contable. 39.- Sea (X, d) un espacio métrico. Si A, B ⊂ X, A es abierto y B es denso en X, probar que A = A ∩ B. 40.- Probar que la separabilidad en espacios métricos se conserva bajo equivalencias métricas y topológicas y bajo isometrı́as. ♣41.- Sea X = {f : [0, 1] −→ R, f continua}. Se consideran las distancias d1 y d2 definidas en el ejercicio 10. Con las notaciones obvias, se pide: (i) sea f (x) = 2 para cada x ∈ [0, 1]. Calcular Bd2 (f, 1); 50 Capı́tulo 2. Espacios métricos (ii) sean r > 0 y g ∈ X definida por:  4− g(x) = si 0 ≤ x ≤ 2r 2 si 2r ≤ x ≤ 1 4x r Probar que g ∈ Bd1 (f, r), pero g 6∈ Bd2 (f, 1); (iii) Deducir que d1 y d2 no son topológicamente equivalentes. Sin embargo, τd1 ⊂ τd2 . 42.- Dado (X, d), probar que X es una reunión contable de conjuntos acotados. 43.- Probar que dos bolas abiertas (respectivamente, cerradas) del mismo radio son isométricas en (Rn , du ). 44.- Sea (X, d) un espacio métrico y ∅ = 6 A ⊂ X. Se considera el subespacio métrico (A, dA ). Si B ⊂ A, probar: A A (i) B = B ∩ A, donde B denota la clausura de B en (A, dA ); ◦ ◦A ◦A ◦A (ii) B⊂B y B = (X − A − B) ∩ A, donde B denota el interior de B en (A, dA ); (iii) si B ⊂ A es cerrado en (A, dA ), probar que B es cerrado en (X, d) si y sólo si B ⊂ A. 45.- Sea (X, d) un espacio métrico y A, B ⊂ X tales que X = A ∪ B. Sea C ⊂ A ∩ B. Probar que C es abierto en (X, d) si y sólo si lo es en (A, dA ) y en (B, dB ). ◦ ◦ 46.- Sea (X, d) un espacio métrico y A, B ⊂ X tales que X =A ∪B = A∪ B. Probar A B que para cada C ⊂ X, es C = C ∩ A ∪ C ∩ B . 47.- Sea (X, d) un espacio métrico y A, B ⊂ X, probar: ◦ z }| { (i) si fr(A) ∩ fr(B) = ∅, entonces A ∪ B=A ∪ B, ◦ ◦ (ii) si fr(A) ∩ fr(B) = ∅, entonces A ∩ B = A ∩ B, (iii) si fr(A) ∩ fr(B) = ∅, entonces fr(A ∩ B) = (A ∩ fr(B)) ∪ (fr(A) ∩ B), (iv) fr(A ∪ B) ⊂ fr(A) ∪ fr(B), (v) si A ∩ B = ∅, entonces fr(A ∪ B) = fr(A) ∪ fr(B), (vi) fr(A) = ∅ si y sólo si A es abierto y cerrado a la vez, 2.8. Ejercicios 51 (vii) si A y B son abiertos, entonces: (A∩fr(B))∪(B ∩fr(A)) ⊂ fr(A∩B) ⊂ (A∩fr(B))∪(fr(A)∩B)∪(fr(A)∩fr(B)). 48.- Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X abierto (respectivamente, cerrado). Probar: ◦ z }| { (i) fr(A)= ∅, ◦ z }| { (ii) A ∪ X − A es denso en X, ◦ (iii) buscar un ejemplo en el que el conjunto de (ii) no sea denso, (iv) probar que las condiciones (i) y (ii) son equivalentes. 49.- Sea (X, d) un espacio métrico, A ⊂ X y a ∈ X, tales que A ∩ B(a, r) 6= ∅ y δ(A) < r. Probar que A ⊂ B(a, 2r). ♣50.- Sean (X, d) un espacio métrico acotado y Φ(X) la familia de los cerrados no vacı́os de X. Dados A, B ∈ Φ(X), se define: ρ(A, B) = máx{sup{d(a, B)}, sup{d(A, b)}}. a∈A b∈B Probar que ρ define una métrica sobre Φ(X). ρ(A, B) se conoce como la distancia de Hausdorff entre A y B. Probar que existe una isometrı́a entre (X, d) y un subespacio cerrado de (Φ(X), ρ). 51.- Probar que la acotación en espacios métricos se conserva bajo isometrı́as y equivalencias métricas, pero no bajo equivalencias topológicas. 52.- Sea (X, d) y A ⊂ X. Probar: (i) δ(A) = δ(A), luego, A es acotado si y sólo si A lo es; ◦ (ii) ¿puede decirse lo mismo de A y A? ♣53.- Probar que todo cerrado de (Rn , du ), se puede escribir como la frontera de algún subconjunto de Rn . 54.- Sea A un conjunto no vacı́o y acotado superiormente en (R, du ), se pide: (i) probar que si sup(A) 6∈ A, entonces sup(A) ∈ A′ . (ii) si A es abierto en (R, du ), entonces sup(A) 6∈ A. 52 Capı́tulo 2. Espacios métricos 55.- En el espacio métrico (R, du ), calcular el interior, el derivado, la clausura y la fron[ 1 1 , ), {0 < x < 1 : x posee representación tera de los siguientes conjuntos: ( n+1 n n∈N decimal con 0 en el primer dı́gito }, { x1 : x 6= 0}, { n1 : n ∈ N}, { n1 + m1 : m, n ∈ N}, {1, 12 , 2, 31 , 3, · · · , n1 , n, · · · }, R, Q, N, Z, R − Q, Z + αZ (donde α 6∈ Q). 56.- Sea (R, du ) y el conjunto A = [0, 1) ∪ (1, 3] ∪ {5}. Se pide: (i) probar que {5} es abierto y cerrado en (A, dA ); (ii) lo mismo para (1, 3]; ◦ z }| { A 1 (iii) calcular [0, 1) y [0, )A ; 2 (iv) probar que {5} no es aislado en (R, du ), pero si lo es en (A, dA ). 57.- En (R2 , du ), calcular el interior, el derivado, la clausura y la frontera de los siguientes conjuntos: {(x1 , x2 ) : x1 (x1 −1) = 0}, {(x1 , x2 ) : x21 +x22 > 0}, {(x1 , x2 ) : x21 +x22 ≥ 2}, {(x1 , x2 ) : x1 < 0}, {(x1 , x2 ) : x1 ≤ 5, x2 > 0}, {(x1 , x2 ) : x1 = n1 , n ∈ N, 0 ≤ x2 ≤ 1}, {(x1 , x2 ) : x2 = λx1 }, donde λ ∈ R. 2 58.- Sea √ (R , du ) y A = {(x1 , x2 ) : |x1 | < 1, |x2 | < 2}. Probar que para (a1 , a2 ) ∈ A y r ≥ 2 5, se tiene que BA ((a1 , a2 ), r) = A. 59.- Se pide: (i) sea (R, du ), A = N y B = {n − 1 n : n ∈ N}; calcular du (A, B); (ii) sea (R2 , du ), A = {(x1 , x2 ) : x1 x2 = 1, x1 > 0} y B = {(x1 , x2 ) : x1 = 0}; calcular du (A, B); (iii) probar que tanto en (i) como en (ii), A y B son conjuntos cerrados y disjuntos. ♣60.- Sea ([0, 1], du ). Se divide [0, 1] en tres intervalos de la misma amplitud, se elimina el intervalo abierto central δ = ( 31 , 23 ) (que se llamará intervalo abierto de tipo 1) y se conservan los intervalos cerrados ∆0 = [0, 31 ] y ∆1 = [ 23 , 1], que se llamarán intervalos cerrados de tipo 1. Se divide cada intervalo cerrado de tipo 1 en tres intervalos de la misma amplitud. Se eliminan de nuevo los intervalos abiertos centrales (intervalos abiertos de tipo 2), δ0 = ( 91 , 29 ) y δ1 = ( 97 , 89 ) respectivamente, y se conservan los intervalos cerrados (de tipo 2) resultantes: ∆00 = [0, 19 ], ∆01 = [ 92 , 31 ], ∆10 = [ 23 , 97 ] y ∆11 = [ 89 , 1]. Se continúa de este modo el proceso, obteniendo para cada n ∈ N, 2n intervalos cerrados ∆i1 ···in de tipo n donde ij es 0 o 1. Cada intervalo cerrado de tipo n se divide en tres partes de la misma amplitud, conservando dos intervalos cerrados ∆i1 ···in 0 y ∆i1 ···in 1 (llamados 2.8. Ejercicios 53 intervalos cerrados de tipo n + 1) y eliminando cada intervalo abierto δi1 ···in de tipo n + 1 que queda entre ellos. Sea Cn la reunión de los intervalos cerrados de tipo n. Sea C = \ Cn . C se llama n∈N conjunto perfecto de Cantor o conjunto ternario de Cantor. Se pide probar: (i) Cn es cerrado en [0, 1] para cada n; (ii) C es un conjunto cerrado no vacı́o; ∞ X an , donde an ∈ {0, 1, 2}, n 3 n=1 y se representa del modo: x = 0.a1 a2 · · · . Si x admite un desarrollo triádico que no contiene la cifra 1, entonces este desarrollo es único. Probar que x ∈ [0, 1] pertenece a C si y sólo si x admite un desarrollo triádico que no contiene a la cifra 1. Concluir que existe una biyección entre los conjuntos {0, 2}N y C, y que por lo tanto C tiene la potencia del continuo, es decir, es no contable; (iii) todo número x ∈ [0, 1], admite un desarrollo triádico (iv) si se suman las longitudes de todos los intervalos abiertos eliminados en el proceso, se obtiene la longitud del intervalo [0, 1]; (v) C no posee puntos aislados en [0, 1]; ◦ (vi) C= ∅. ♣61.- Sea (Rn , du ). Un subconjunto A ⊂ Rn se llama convexo si para cada x, y ∈ A, el segmento que los une [x, y] = {z ∈ Rn : z = tx + (1 − t)y : t ∈ [0, 1]}, está contenido en A. Se pide probar: (i) la intersección arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo (admitiendo que ∅ es convexo); 54 Capı́tulo 2. Espacios métricos (ii) si A y B son convexos y λ ∈ R, los conjuntos A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} y λA = {λa : a ∈ A} son convexos; (iii) si A es convexo y t1 , · · · , tm ≥ 0, entonces t1 A + · · · + tm A = (t1 + · · · + tm )A (donde t1 A + · · · + tm A = {t1 a1 + · · · + tm am : ai ∈ A}). Lo anterior puede ser falso si A no es convexo; (iv) si A ⊂ Rn , se llama envolvente convexa de A, co(A), a la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a A. Por (i), co(A) es el menor convexo que contiene a A. Probar que si A 6= ∅, entonces la envolvente convexa es precisamente n co(A) = {x ∈ R : x = Cada expresión de la forma m X i=1 m X i=1 ti ai , ai ∈ A, ti ≥ 0, ti ai , donde ti ≥ 0 y m X i=1 m X ti = 1, m ∈ N}. ti = 1, se llama combi- i=1 nación convexa. Luego, co(A) es el conjunto de las combinaciones convexas de elementos de A; ◦ (v) si A es convexo, también lo son A y A; (vi) probar que si A es un conjunto convexo y simétrico respecto al origen de coordenadas 0 ∈ Rn (es decir, A = {−x : x ∈ A}), entonces A contiene a una bola abierta centrada en 0; ◦ ◦ (vii) si A es convexo, x ∈A e y ∈ A, entonces {tx + (1 − t)y : t ∈ (0, 1]} ⊂A. Deducir ◦ ◦ ◦ que A = A y A=A; (viii) si A ⊂ Rn , se pide: a) calcular co(A) si A = S(0, 1); b) probar que δ(A) = δ(co(A)); c) si A es abierto, probar que co(A) es abierto; d) si A es finito, probar que co(A) es cerrado; e) si A ⊂ R es cerrado, probar que co(A) es cerrado; f) A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y = x2 } es cerrado, pero co(A) no lo es; 2.8. Ejercicios 55 (ix) sea A convexo en Rn . Se dice que a ∈ A es un punto extremal de A, si A − {a} es convexo o vacı́o. Probar: a) si A es abierto, entonces no posee puntos extremales; b) dar un ejemplo de cerrado convexo sin puntos extremales; c) calcular los puntos extremales de B(0, 1) ⊂ R2 ; d) si B ⊂ Rn sea: B ∗ = {a ∈ B : ∀[x, y] ⊂ B : a ∈ [x, y], es a = x ó a = y}. ◦ Probar que A∗ es el conjunto de los puntos extremales de A y A∗ = (A− A)∗ . 62.- Sea S = (R2 − S1 ) ∪ {(1, 0)}. Probar que para cada recta R en R2 , R ∩ S es abierto en (R, du ), pero S no es abierto en (R2 , du ). 63.- En el plano euclı́deo (R2 , du ), se consideran los puntos √ U = (0, 1), V = (0, −1), O = (0, 0), P = (1, 0), Q = (2, 0), R = (4, 0), S = (2 + 5, 0) y T = (5, 0). Sea E = {U, V, T } ∪ [O, P ) ∪ (P, Q] ∪ [R, S) (con esta notación se indican los intervalos correspondientes sobre el eje de abscisas). ◦ √ (i) Probar que B E (Q, 5) es un cerrado en (E, dE ), pero no es una bola cerrada; (ii) probar que B E (O, 1) es un abierto en (E, dE ), pero no es una bola abierta. 64.- Un número diádico es un número real que puede expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el denominador es una potencia de 2. El conjunto de los números diádicos en [0, 1] se denota por D, y sus elementos son de la forma m/2n , donde n ∈ N ∪ {0} y m ∈ {0, 1, 2, . . . , 2n }. Este conjunto es crucial en la demostración del lema de Urysohn (ver el teorema 3.20), en donde la prueba se hace por inducción sobre este conjunto: el orden sobre D − {0} está dado por: 1 1 3 1 3 5 7 , , , , , , , ..., 2 4 4 8 8 8 8 es decir, se agrupan los elementos dependiendo de la potencia n de su denominador 2n , y fijado este valor, se arreglan los números en el orden indicado por los numeradores: 1, 3, n 1 es 2n+1 . 5, . . . , 2n − 1. Por ejemplo, el inmediato sucesor de 2 2−1 n Este conjunto es pequeño desde el punto de vista conjuntista: como D ⊂ Q, el conjunto de los números diádicos es contable. Sin embargo, es topológicamente grande, al ser D denso en ([0, 1], du ). 56 Capı́tulo 2. Espacios métricos Continuidad en espacios métricos Primero, una mirada; luego, el toque de fuego de las manos; y luego, la sangre acelerada y el beso que subyuga. “Abrojos” Rubén Darı́o (1867 -1916) 3.1. Aplicaciones continuas Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos y f : (X, d) −→ (Y, ρ) una función. Definición 3.1. Si a ∈ X, se dice que f es continua en a, si para cada ε > 0, existe δ = δ(a, ε) > 0 tal que para cada x ∈ X verificando d(x, a) < δ, es ρ(f (x), f (a)) < ε. Observación 3.1. Si (X, d) = (Y, ρ) = (R, du ), esta definición es precisamente la usual de continuidad del Análisis Real. Lema 3.1. f es continua en a ∈ X si y sólo si para cada ε > 0, existe δ = δ(a, ε) > 0 tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε). Lema 3.2. f es continua en a ∈ X si y sólo si para cada ε > 0, f −1 (BY (f (a), ε)) es un abierto que contiene a a. Definición 3.2. Se dice que f es continua en X (o simplemente continua), si es continua en a para cada a ∈ X. Ejemplos 3.1. Algunos ejemplos de funciones continuas son los siguientes: (i) si f : (X, d) −→ (Y, ρ) es constante, es continua; (ii) 1X : (X, d) −→ (X, d) es continua; 57 58 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos (iii) si el espacio (X, d) es discreto para cualquier otro espacio métrico (Y, ρ) y cualquier función f , es f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua. Observación 3.2. f : (X, d) −→ (Y, ρ) no es continua en a ∈ X si verifica cualquiera de las dos condiciones equivalentes siguientes: (i) existe ε0 > 0, tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ X tal que d(xδ , a) < δ pero es ρ(f (xδ ), f (a)) > ε0 ; (ii) existe ε0 > 0, tal que para cada δ > 0 es f (BX (a, δ)) 6⊂ BY (f (a), ε0 ). Teorema 3.3. f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua si y sólo si para cada V abierto en (Y, ρ), f −1 (V ) es abierto en (X, d). Demostración: Si V abierto en (Y, ρ) y a ∈ f −1 (V ), como f es continua en a, para cada ε > 0, existe δ = δ(a, ε) > 0 tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε). Luego BX (a, δ) ⊂ f −1 (BY (f (a), ε)). Como f (a) ∈ V y V es abierto en (Y, ρ), existe εa > 0 tal que BY (f (a), εa ) ⊂ V . Ası́, BX (a, δ) ⊂ f −1 (BY (f (a), ε)) ⊂ f −1 (V ), y queda probado que f −1 (V ) es abierto en (X, d). Y recı́procamente, por el lema 3.2, para cada a ∈ X y ε > 0, el conjunto f −1 (BY (f (a), ε)) es abierto en (X, d). Como a ∈ f −1 (BY (f (a), ε)), debe existir δ > 0 tal que BX (a, δ) ⊂ f −1 (BY (f (a), ε)), con lo que queda probada la continuidad de la función. Observación 3.3. Las funciones continuas no transforman abiertos en abiertos: la función f : (N, du ) −→ (R, du ) dada por f (n) = n es continua, pero f (N) = N no es abierto en (R, du ). Por dualidad entre abiertos y cerrados, puede probarse la siguiente propiedad: Teorema 3.4. f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua si y sólo si para cada F cerrado en (Y, ρ), f −1 (F ) es cerrado en (X, d). Observación 3.4. Las funciones continuas no transforman cerrados en cerrados: la función f : (Q, du ) −→ (R, du ) dada por f (x) = x es continua, pero f (Q) = Q no es cerrado en (R, du ). Teorema 3.5. f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua si y sólo si para cada subconjunto A ⊂ X Y X es f (A ) ⊂ f (A) .   Y Y Demostración: Como f (A) es cerrado en (Y, ρ), el teorema 3.4 garantiza que f −1 f (A)   Y es cerrado en (X, d). Como A ⊂ f −1 f (A) , la inclusión pasa a la clausura, es decir,   Y Y X X −1 A ⊂f f (A) , y se deduce que f (A ) ⊂ f (A) . Recı́procamente, sea F cerrado 3.2. Aplicaciones continuas y subespacios 59 X Y Y en (Y, ρ); la hipótesis garantiza que f (f −1 (F ) ) ⊂ f (f −1 (F )) ⊂ F = F . Tomando X imágenes recı́procas, se deduce que f −1 (F ) ⊂ f −1 (F ), y por el teorema 3.4, se deduce la continuidad de f . Observación 3.5. La igualdad no es cierta en general en el teorema 3.5: en efecto, la Q función f : (Q, du ) −→ (R, du ) dada por f (x) = x es continua, y f (Q ) = f (Q) = Q ⊂ R Q = R. Teorema 3.6. Sean f : (X, d) −→ (Y, ρ) y g : (Y, ρ) −→ (Z, δ) aplicaciones entre espacios métricos. Entonces: (i) si f es continua en a y g lo es en f (a), entonces g ◦ f es continua en a; (ii) si f es continua en X y g lo es en Y , entonces g ◦ f es continua en X. Definición 3.3. f : (X, d) −→ (Y, ρ) es un homeomorfismo si es biyectiva, continua y f −1 es también continua. Se dice que (X, d) es homeomorfo a (Y, ρ). Lema 3.7. La relación “ser homeomorfo” es una relación de equivalencia sobre la familia de todos los espacios métricos. Observación 3.6. Una aplicación biyectiva y continua entre dos espacios métricos no tiene porque ser un homeomorfismo: como N y Q son numerables, existe una función biyectiva f : N −→ Q. La función f : (N, du ) −→ (Q, du ) es biyectiva y continua (ya que (N, du ) es un espacio discreto), pero f −1 : (Q, du ) −→ (N, du ) no es continua, ya que {0} es abierto en (N, du ), pero f −1 {0} no es abierto en (Q, du ). Proposición 3.8. La composición de homeomorfismos es un homeomorfismo. Proposición 3.9. Los espacios (X, d1 ) y (X, d2 ) son topológicamente equivalentes si y sólo si 1X : (X, d1 ) −→ (X, d2 ) es un homeomorfismo. Lema 3.10. Toda isometrı́a es un homeomorfismo. 3.2. Aplicaciones continuas y subespacios Proposición 3.11. Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X. La aplicación inclusión iA : (A, dA ) −→ (X, d) es continua. Teorema 3.12. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua. Entonces, para cada A ⊂ X, su restricción a A, f |A : (A, dA ) −→ (Y, ρ), es también continua. 60 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos Demostración: Basta con tener en cuenta que fA = f ◦ iA . El recı́proco sólo es parcialmente cierto: Teorema 3.13. Sean f : (X, d) −→ (Y, ρ) y A ⊂ X, tal que f |A : (A, dA ) −→ (Y, ρ) es ◦ continua. Entonces, f es continua en A. ◦ Demostración: Sea a ∈A, es decir, existe εa > 0 tal que BX (a, εa ) ⊂ A. Como f |A es continua en a, para cada ε > 0, existe δ = δ(a, ε) > 0 tal que f |A (BA (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε). Si se toma δ = δ(a, ε) ≤ εa , es BA (a, δ) = BX (a, δ) ∩ A = BX (a, δ), con lo que para cada ε > 0, existe 0 < δ = δ(a, ε) ≤ εa tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), ε), y se obtiene el resultado deseado. Observación 3.7. En las condiciones anteriores, f no tiene porque ser continua en A: sea la función caracterı́stica χ[0,1] : (R, du ) −→ (R, du ). La función es continua en (0, 1), pero no en [0, 1]. Sin embargo, la restricción χ[0,1] |[0,1] : (R, du ) −→ (R, du ) es continua, al ser una función constante. Teorema 3.14. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua, entonces f : (X, d) −→ (f (X), ρf (X) ) es también continua. Definición 3.4. Una aplicación continua f : (X, d) −→ (Y, ρ) es un embebimiento si la función f : (X, d) −→ (f (X), ρf (X) ) es un homeomorfismo. Ası́, (X, d) puede pensarse como un subespacio de (Y, ρ), y se dice que está embebido en (Y, ρ). Observación 3.8. Dos espacios métricos pueden estar embebidos uno dentro del otro, sin ser homeomorfos: por ejemplo (R, du ) se puede embeber en ([0, 1], du ), puesto que (R, du ) es homeomorfo a ((0, 1), du ) (ver el ejercicio 30, del apartado 3.5) y la inclusión i : ((0, 1), du ) −→ ([0, 1], du ) es claramente un embebimiento. Por otro lado, la inclusión natural j : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) es un embebimiento. Sin embargo, (R, du ) y ([0, 1], du ) no son espacios homeomorfos. Teorema 3.15. (Principio de prolongación de identidades) Sean f, g : (X, d) −→ (Y, ρ) continuas y D ⊂ X denso. Si f |D = g|D , entonces f = g. Demostración: Supongamos que f 6= g, es decir, existe a ∈ X tal que f (a) 6= g(a) (a 6∈ D). Para ra = ρ(f (a), g(a)), es BY (f (a), r2a ) ∩ BY (g(a), r2a ) = ∅. Como f y g son continuas en a, para ε = r2a existe δ = δ(a, ε) > 0 tal que f (BX (a, δ)) ⊂ BY (f (a), r2a ) y g (BX (a, δ)) ⊂ BY (g(a), r2a ). Ası́, f (BX (a, δ)) ∩ g (BX (a, δ)) = ∅. Como D es denso en X, sabemos que BX (a, δ) ∩ D 6= ∅, de donde existe d ∈ BX (a, δ) con f (d) = g(d), lo cual es imposible. 3.3. Extensiones de funciones continuas 61 Ejemplo 3.1. Sean f, g : (R, du ) −→ (R, du ), donde f = 1 y g = χQ . Para el denso Q, es f |Q = g|Q y f 6= g; como f es continua al ser una función constante, el teorema 3.15 garantiza que g no puede ser continua. Teorema 3.16. Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos y supongamos que existe un denso D ⊂ X y una aplicación continua f : (D, dD ) −→ (Y, ρ). Entonces, f posee una extensión continua a X, F : (X, d) −→ (Y, ρ). Observación 3.9. La demostración se dará tras el teorema 4.14. 3.3. Extensiones de funciones continuas Todo espacio métrico es completamente regular, es decir, separa puntos de cerrados a través de funciones continuas en el siguiente sentido: Proposición 3.17. En (X, d), si A ⊂ X es cerrado y x 6∈ A existe una función continua f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) tal que f (x) 6= 0 y f (A) = 0. Demostración: La función g : (X, d) −→ (R, du ) definida por g(y) = d(y, A) es contid(y,A) nua (proposición 3.26), y basta con tomar f (y) = d(y,A)+1 , que cumple las propiedades pedidas. En el corolario 2.32 habı́amos demostrado que todo espacio métrico es regular; podemos dar otra prueba basándonos en el anterior resultado: Corolario 3.18. En (X, d), si A ⊂ X es cerrado y x 6∈ A existen conjuntos abiertos y disjuntos U y V , tales que x ∈ U y A ⊂ V . Demostración: Si f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) es la función dada en la proposición 3.17, basta con tomar U = f −1 ((λ, 1]) y V = f −1 ([0, λ)), donde 2λ = f (x). El siguiente resultado es esencial para la prueba del teorema 3.20: Lema 3.19. Sea (X, d) un espacio métrico y D un conjunto denso [ en ([0, 1], du ). Supongamos que para cada t ∈ D existe un abierto Ut tal que X = Ut y si s < t, entonces es t∈D Us ⊂ Ut . La función f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) definida por f (x) = ı́nf{t ∈ D : x ∈ Ut } es entonces continua. Demostración: Observemos en primer lugar que: (i) si x ∈ Ut es f (x) ≤ t, 62 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos (ii) si f (x) < t, es necesariamente x ∈ Ut , y (iii) si f (x) > t, entonces x 6∈ Ut . Para estudiar la continuidad en x ∈ X, distinguimos tres posibilidades: 1) Si f (x) = 0, es x ∈ Ut para cada t ∈ D. Por la densidad de D, para ε > 0 existe tε ∈ D tal que tε < ε. Entonces x ∈ Utε y por (i) es f (Utε ) ⊂ [0, tε ] ⊂ [0, ε). 2) Si f (x) = 1, es x 6∈ Ut para cada t ∈ D − {1} por (iii). Por la densidad de D, para ε > 0 existe tε ∈ D tal que tε > 1 − ε. Entonces x ∈ X − Utε y f (X − Utε ) ⊂ (1 − ε, 1] pues como x 6∈ Utε es f (x) ≥ tε > 1 − ε según (ii). 3) Si f (x) ∈ (0, 1), por la densidad de D, para ε > 0 existen t1 , t2 ∈ D tales que f (x) − ε < t1 < f (x) < t2 < f (x) + ε. Entonces es x ∈ Ut2 − Ut1 y aplicando (i) y (ii) se deduce que f (Ut2 − Ut1 ) ⊂ (f (x) − ε, f (x) + ε). En espacios métricos es fácil probar que es posible separar cerrados disjuntos mediante funciones continuas (ver en el ejercicio 45 del apartado 3.5 una demostración puramente métrica). En el teorema siguiente, vamos a dar una prueba topológica basada en la normalidad en espacios métricos (ver la proposición 2.31) de este resultado: aunque es más complicada, esta demostración es válida para espacios topológicos en general y de allı́ su interés. Teorema 3.20. (Lema de Urysohn) En (X, d), si A, B ⊂ X son cerrados disjuntos, existe una función continua (llamada función de Urysohn) f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) tal que f (A) = 0 y f (B) = 1. Demostración: Vamos a hacer la prueba por inducción sobre el conjunto de los números diádicos D (ver el ejercicio 64 en el apartado 2.8). Por la proposición 2.31, existe U1/2 abierto, tal que A ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ X − B. Ahora, {A, X − U1/2 } y {U1/2 , B} son dos pares de cerrados disjuntos, por lo que existen U1/4 y U3/4 abiertos tales que A ⊂ U1/4 ⊂ U1/4 ⊂ U1/2 ⊂ U1/2 ⊂ U3/4 ⊂ U3/4 ⊂ X − B. Supongamos que,aplicando reiteradamente la proposición 2.31, hemos construido la familia de abiertos Uk/2n : k = 1, . . . , 2n − 1 verificando A ⊂ U1/2n ⊂ U1/2n ⊂ · · · ⊂ Uk/2n ⊂ Uk/2n ⊂ · · · ⊂ U2n −1/2n ⊂ U2n −1/2n ⊂ X − B. Basta con construir Uk/2n+1 para k impar (para k = 2m, Uk/2n+1 = Um/2n ya está definido). Como A y X − U1/2n son cerrados disjuntos, existe un abierto U1/2n+1 tal que A ⊂ U1/2n+1 ⊂ U1/2n+1 ⊂ U1/2n . Al ser U2n −1/2n y B cerrados disjuntos, existe un abierto U2n+1 −1/2n+1 , tal que U2n −1/2n ⊂ U2n+1 −1/2n+1 ⊂ U2n+1 −1/2n+1 ⊂ X − B. Y finalmente, si k es impar, 1 < k < 2n+1 − 1, entonces Uk−1/2n+1 y X − Uk+1/2n+1 son 3.3. Extensiones de funciones continuas 63 cerrados disjuntos construidos en la etapa anterior, y existe un abierto Uk/2n+1 , tal que Uk−1/2n+1 ⊂ Uk/2n+1 ⊂ Uk/2n+1 ⊂ Uk+1/2n+1 . De este modo, hemos construido por inducción sobre los números diádicos una familia de conjuntos abiertos {Ut : t ∈ D}, tal que: (i) A ⊂ Ut para cada t ∈ D, eligiendo U0 = ∅ y U1 = X, (ii) si s < t, es Us ⊂ Ut , y (iii) si t ∈ D − {1}, es Ut ⊂ X − B. Aplicando el lema 3.19 al conjunto denso D y a la familia construida arriba, se deduce que la función f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) dada por f (x) = ı́nf{t ∈ D : x ∈ Ut } es continua. Por (i) es f (A) = 0 y por (ii) es f (B) = 1. Observación 3.10. Este teorema es válido para cualquier intervalo cerrado y acotado [a, b] en sustitución de [0, 1]. Lema 3.21. Sea (X, d) un espacio métrico, n ∈ N y fn : (X, d) −→ (R, du ) una función continua. Supongamos que para cada x ∈ X y n ∈ N es |fn (x)| ≤ rn y la serie P de númeP ros reales n∈N rn es convergente. Entonces, para cada x ∈ X, la serie n∈N fn (x) converge a f (x) ∈ R y la función f : (X, d) −→ (R, du ) ası́ definida es continua. P Demostración: La serie n∈N fn (x) es absolutamente convergente para todo x ∈ X, con lo que f (x) ∈ R. Para cada x ∈ X y ε > 0 existe nε , tal que: P P P∞ (i) para k > nε es |f (x) − kn=1 fn (x)| = | ∞ n=k+1 fn (x)| ≤ n=k+1 rn < ε/3, por la convergencia de la serie; (ii) comoP cada función fP n es continua en x, existe un abierto Ux tal que para cada y ∈ Ux nε ε fn (y)| < ε/3. es | n=1 fn (x) − nn=1 P∞ Pnε P∞ (f (x) − f (y)) + Ası́, |f (x) − f (y)| = | f (x) − n n n n=1 n=n +1 n=nε +1 fn (y)| ≤ ε P P ε P∞ (fn (x) − fn (y))| + | ∞ | nn=1 f (x)| + | f (y)| < ε, luego f es continua. n=nε +1 n n=nε +1 n Teorema 3.22. (Teorema de extensión de Tietze) Sean un espacio métrico (X, d), A ⊂ X cerrado y f : (A, dA ) −→ ([−1, 1], du ) una función continua. Existe una función continua F : (X, d) −→ ([−1, 1], du ) tal que F |A = f : se dice que F extiende a f . 64 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos Demostración: Sea f : (A, dA ) −→ ([−1, 1], du ) una función continua. Dividimos el intervalo [−1, 1] en tres partes iguales de amplitud 2/3 y denotamos A1 = f −1 ([1/3, 1]) y B1 = f −1 ([−1, −1/3]), que son dos cerrados disjuntos (en (A, dA ), luego en (X, d)). Aplicando el teorema 3.20, existe una función continua f1 : (X, d) −→ ([−1/3, 1/3], du ) tal que f1 (A1 ) = 1/3 y f1 (B1 ) = −1/3. Tenemos la función continua g1 = f − f1 : (A, dA ) −→ ([−2/3, 2/3], du ): dividimos [−2/3, 2/3] en tres intervalos de amplitud (2/3)2 y consideramos A2 = g1−1 ([2/9, 2/3]) y B2 = g1−1 ([−2/3, −2/9]), que son dos cerrados disjuntos. Aplicando el teorema 3.20, existe una función continua f2 : (X, d) −→ ([−2/9, 2/9], du ) tal que f2 (A2 ) = 2/9 y f2 (B2 ) = −2/9. La función g2 = f − f1 − f2 : (A, dA ) −→ ([−(2/3)2 , (2/3)2 ], du ) es continua y se vuelve a reiterar el proceso. Continuando de este modo, se obtiene una sucesión de funciones {gk }k∈N , tales que (i) gk : (A, dA ) −→ ([−(2/3)k , (2/3)k ], du ) es continua, (ii) Ak+1 = gk−1 ([2k /3k+1 , 2k /3k ]) y Bk+1 = gk−1 ([−2k /3k , −2k /3k+1 ]) son cerrados disjuntos, (iii) existe fk+1 : (X, d) −→ ([−2k /3k+1 , 2k /3k+1 ], du ) una función de Urysohn asociada a estos cerrados, tal que fk+1 (Ak ) = 2k /3k+1 y fk+1 (Bk ) = −2k /3k+1 , (iv) sobre A es gk = f − (f1 + · · · + fk ). P La función F : (X, d) −→ ([−1, 1], du ) dada por F (x) = ∞ n=1 fn (x) está bien definida, es continua (|fn (x)| ≤ 2n−1 /3n y se aplica el lema 3.21) y F |A = f . Corolario 3.23. (Teorema de extensión de Tietze, segunda versión) Sean un espacio métrico (X, d), A ⊂ X cerrado y f : (A, dA ) −→ (R, du ) una función continua. Existe una función continua F : (X, d) −→ (R, du ) que extiende a f . Demostración: Sea h : (R, du ) −→ ((−1, 1), du ) un homeomorfismo. Se puede aplicar el teorema 3.22 a la función continua h ◦ f : (A, dA ) −→ ([−1, 1], du ), por lo que existe una extensión de h ◦ f , G : (X, d) −→ ([−1, 1], du ). Sea B = G−1 ({−1, 1}); claramente A y B son cerrados disjuntos, y aplicando el teorema 3.20 existe g : (X, d) −→ ([0, 1], du ) continua tal que g(B) = 0 y g(A) = 1. La función F = h−1 ◦ g.G : (X, d) −→ (R, du ) es continua y extiende a f . 3.4. Aplicaciones uniformemente continuas Definición 3.5. f : (X, d) −→ (Y, ρ) es uniformemente continua, si para cada ε > 0, existe δ = δ(ε) > 0 tal que para cada x, y ∈ X verificando d(x, y) < δ, es ρ(f (x), f (y)) < ε. 3.4. Aplicaciones uniformemente continuas 65 Teorema 3.24. Si f : (X, d) −→ (Y, ρ) es uniformemente continua, es continua. Observación 3.11. El recı́proco no es cierto: sea la función f : ((0, 1], du ) −→ (R, du ) definida por f (x) = x1 . Entonces: n o 2 (i) f es continua en (0, 1]: para a ∈ (0, 1] y ε > 0, existe δ < mı́n a2 , ε a2 tal que si |x − a| < δ, es | x1 − a1 | = |x−a| |x||a| < 2 εa2 a2 2 = ε; (ii) f no es uniformemente continua: si lo fuera, sean ε y δ como en la definición 3.5 y  1 a < mı́n 2δ, ε , 1 ; entonces a, a2 ∈ (0, 1], |a− a2 | < δ, pero |f (x)−f ( a2 )| = a1 > ε. Teorema 3.25. La composición de aplicaciones uniformemente continuas, es uniformemente continua. Observación 3.12. La continuidad es una propiedad que se expresa en términos de abiertos. Esto no es verdad para la continuidad uniforme, donde la definición (ε − δ) juega un papel esencial: la continuidad uniforme es una propiedad adaptada a espacios métricos, mientras que la continuidad es una noción asociada a espacios topológicos. Proposición 3.26. La funciones f, g : (X, d) −→ (R, du ) dadas por f (x) = d(x, a) y g(x) = d(x, A) son uniformemente continuas, para a ∈ A y A ⊂ X. Demostración: Para ε > 0, basta con tomar δ = ε y si d(x, y) < δ, es |f (x) − f (y)| = |d(x, a) − d(y, a)| ≤ d(x, y), por la proposición 2.5. Para g, se deduce de manera similar aplicando la proposición 2.6. Ejemplos 3.2. Algunos ejemplos de aplicaciones uniformemente continuas son: (i) la identidad 1X : (X, d) −→ (X, d) es uniformemente continua; (ii) las aplicaciones constantes son uniformemente continuas; (iii) las isometrı́as son uniformente continuas, pero el recı́proco no es cierto: sea d la métrica discreta y 1R : (R, d) −→ (R, du ), que es una biyección uniformemente continua, pero no es una isometrı́a; (iv) si d es la métrica discreta, para cualquier espacio métrico (Y, ρ) y cada función, f : (X, d) −→ (Y, ρ) es uniformemente continua. Esta propiedad no es cierta para cualquier espacio discreto: para la aplicación f : ({ n1 : n ∈ N}, du ) −→ (N, du ), la función f ( n1 ) = n es continua, pero no es uniformemente continua. Definición 3.6. Dos espacios (X, d) e (Y, ρ) se llaman uniformemente homeomorfos, si existe f : (X, d) −→ (Y, ρ) biyectiva, uniformemente continua y de inversa uniformemente continua. Lema 3.27. Dos espacios métricos uniformemente homeomorfos, son homeomorfos. 66 3.5. Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos Ejercicios 1.- Responder a las siguientes cuestiones: (i) si (X, d) es un espacio métrico discreto e (Y, ρ) es arbitrario, probar que toda aplicación f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua; (ii) en las condiciones de (i), describir las aplicaciones continuas f : (Y, ρ) −→ (X, d); (iii) ¿qué puede decirse de (X, d), si toda aplicación f : (X, d) −→ (R, du ) es continua? 2.- Sean f, g : (X, d) −→ (R, du ) continuas. Probar que también lo son las funciones: f ±g, f.g, fg (si g(x) 6= 0 para cada x ∈ X), c.f (c ∈ R), |f |, máx{f, g} y mı́n{f, g}. 3.- Sean f, g : (X, d) −→ (Y, ρ) continuas, se pide: (i) probar que el conjunto A = {x ∈ X : f (x) = g(x)} es cerrado en (X, d). Concluir que si D es denso en (X, d) y f |D = g|D , entonces f = g; (ii) sea b ∈ Y . Probar que el conjunto A = {x ∈ X : f (x) = b} es cerrado en (X, d). Concluir que si (Y, ρ) = (R, du ), entonces las raı́ces de la ecuación f (x) = 0 constituyen un conjunto cerrado en (X, d). 4.- Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios [ métricos y {Ai : i ∈ I} una familia de subconjuntos no vacı́os de X tales que X = Ai . Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) tal que f |Ai es continua para cada i ∈ I. Probar: i∈I (i) si cada Ai es abierto en (X, d), entonces f es continua; (ii) si cada Ai es cerrado en (X, d) y el conjunto I es finito, entonces f es continua; (iii) comprobar que f no es continua en general. 5.- Sean A, B ⊂ R y x ∈ R. Definimos los conjuntos A + x = {a + x : a ∈ A} y A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Probar: (i) si A es abierto (respectivamente, cerrado) en (R, du ), entonces A + x es abierto (respectivamente, cerrado) en (R, du ), (ii) si A y B son abiertos en (R, du ), entonces A + B es abierto en (R, du ). No sucede lo mismo si se cambia el calificativo de abierto por el de cerrado. 6.- Probar que son continuas las funciones f, g : (R2 , du ) −→ (R, du ), donde: (i) f (x, y) = x + y, 3.5. Ejercicios 67 (ii) g(x, y) = xy. Concluir que el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, xy = 1}, es cerrado en (R2 , du ). 7.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ). Probar que son equivalentes: (i) f es continua, ◦ z }| { −1 (ii) para cada B ⊂ Y , f (B ) ⊂f −1 (B)X , ◦Y X Y (iii) para cada B ⊂ Y , f −1 (B) ⊂ f −1 (B ). 8.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) una aplicación continua y sobreyectiva. Probar que si D es denso en (X, d), entonces f (D) es denso en (Y, ρ). Si F es denso en (Y, ρ), ¿es f −1 (F ) denso en (X, d)? 9.- Sea f : (X, d) −→ (R, du ). Probar que f es continua en (X, d) si y sólo si para cada α ∈ R, los conjuntos Aα = {x ∈ X : f (x) < α} y Bα = {x ∈ X : f (x) > α} son abiertos en (X, d). 10.- Sea (X, d) y A ⊂ X. Probar que la función caracterı́stica de A es continua en x si y sólo si x 6∈ fr(A). ¿Bajo que condiciones es χA continua? 11.- Sean f, g : (R, du ) −→ (R, du ) continuas. Probar que h : (R2 , du ) −→ (R2 , du ), definida por h(x, y) = (f (x), g(y)), es continua. 12.- Sean A y B cerrados, no vacı́os y disjuntos en un espacio métrico (X, d). Se pide: (i) probar que existen abiertos disjuntos U y V tales que A ⊂ U y B ⊂ V ; (ii) encontrar una función f : (X, d) −→ (R, du ) continua, tal que f (A) = 0 y f (B) = 1. 13.- Sean f, g : (X, d) −→ (Y, ρ) continuas y a ∈ X. Probar: (i) si f (a) 6= g(a), probar que existe r > 0, tal que f (BX (a, r)) ∩ g(BX (a, r)) = ∅; en particular, si x ∈ BX (a, r), entonces f (x) 6= g(x); (ii) supongamos que para cada r > 0, existe xr ∈ BX (a, r) tal que f (xr ) = g(xr ). Probar que f (a) = g(a). Concluir que si f, g : (R, du ) −→ (R, du ) son continuas y f |Q = g|Q , entonces f = g. 14.- Sean f, g : (X, d) −→ (R, du ) continuas y a ∈ X, tal que f (a) < g(a). Probar que existe r > 0 tal que para cada x, y ∈ BX (a, r), es f (x) < g(y). ¿Cómo se expresa esta propiedad si f es la función idénticamente nula? Concluir que si s > 0 y a 6∈ B X (x, s), existe r > 0 tal que BX (a, r) ∩ B X (x, s) = ∅. 68 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos ♣15.- Sean f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua, B ⊂ Y y A = {x ∈ X : ρ(f (x), Y − B) > 0}. Probar que para cada x ∈ A, es d(x, X − A) > 0. 16.- Estudiar la continuidad de f, g : (X, du ) −→ (R, du ), donde X = {0} ∪ { n1 }n∈N y (i) f (0) = 0 y f ( n1 ) = n, (ii) g(0) = 0 y    1 g = n 17.- Sea f : R −→ R definida por: f (x) =  1 n −1 n si n si n es par es impar x si x ≤ 2 x2 si x > 2 Estudiar la continuidad en los siguientes casos: f : (R, du ) −→ (R, d), f : (R, d) −→ (R, ρ), y f : (R, ρ) −→ (R, du ), donde d es la métrica discreta y ρ(x, y) = 2|x − y|. 18.- Sean las métricas sobre R, dadas por:  |x − y| si sg(x) = sg(y) d1 (x, y) = |x + y| + 1 si sg(x) = 6 sg(y)  x + y si x 6= y, x > 0, y > 0 d2 (x, y) = |x − y| en otro caso Estudiar la continuidad de las funciones: 1R : (R, d1 ) −→ (R, du ), 1R : (R, du ) −→ (R, d1 ), 1R : (R, d2 ) −→ (R, du ) y 1R : (R, du ) −→ (R, d2 ). Hacer el mismo ejercicio para f = χ{0} y g(x) = x2 − 1. 19.- Sean A y B cerrados en (X, d), y los conjuntos C = {x ∈ X : d(x, A) < d(x, B)}, D = {x ∈ X : d(x, A) > d(x, B)} y E = {x ∈ X : d(x, A) = d(x, B)}. Probar: (i) C y D son abiertos y E es cerrado en (X, d); (ii) hallar C, D y E, si (X, d) = (R2 , du ) y A y B son dos rectas (respectivamente, dos circunferencias exteriores). 20.- Probar que una biyección de (R, du ) en (R, du ) es continua si y sólo si es monótona. 21.- Sean (X, d) un espacio métrico, f : (X, d) −→ (R, du ) una aplicación continua y el conjunto abierto U = {x ∈ X : f (x) > 0}. Probar que para cada x ∈ fr(U ), es f (x) = 0. 3.5. Ejercicios 69 ♣22.- Sea f : (Rn , du ) −→ (Rm , du ) una función. Para cada a ∈ Rn , se llama oscilación de f en a al número real ω(f, a) = ı́nf{δ(f (B(a, ε))) : ε > 0}. Se pide probar: (i) f es continua en a si y sólo si ω(f, a) = 0; (ii) para cada ε > 0, el conjunto Aε = {x ∈ Rn : ω(f, x) ≥ ε} es cerrado en Rn ; (iii) calcular ω(g, x), para x ∈ R y la función g : R −→ R definida por  0 si x ∈ Q g(x) = x si x 6∈ Q ♣23.- Sea A un convexo no vacı́o de Rn . Una aplicación f : (A, du ) −→ (R, du ) se llama convexa, si para cada x, y ∈ A y t ∈ [0, 1], es f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). Se pide probar: m m m X X X (i) si f es convexa en A, entonces f ( ti ai ) ≤ ti f (ai ), donde ti ≥ 0, ti = 1 y ai ∈ A; i=1 i=1 i=1 (ii) si A es abierto convexo, toda función convexa sobre A es continua sobre A; (iii) dar un ejemplo en donde se pruebe que (ii) no es cierto en general si A no es abierto. 24.- Probar que las bolas abiertas en el espacio euclı́deo de dimensión n son homeomorfas entre sı́ y a su vez a (Rn , du ). ♣25.- Sea f : (Rn , du ) −→ (Rm , du ) una aplicación lineal, es decir, si a, b ∈ Rn y t, s ∈ R, es f (sa + tb) = sf (a) + tf (b). Si kxk = du (x, 0) es la norma de x, probar que son equivalentes: (i) f es continua, (ii) f es continua en 0; (iii) existe c > 0 tal que kf (x)k ≤ ckxk, para cada x ∈ Rn ; (iv) existe c > 0 tal que kf (x) − f (y)k ≤ ckx − yk, para cada x, y ∈ Rn . 26.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) biyectiva. Probar que f es un homeomorfismo si y sólo si Y X para cada A ⊂ X, se tiene f (A ) = f (A) . 27.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) un homeomorfismo y A ⊂ X, tal que A ∩ A′ = ∅. Probar que f (A) ∩ f (A)′ = ∅. 70 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos 28.- Sea la función f : (X, d) −→ (Y, ρ) y D la métrica sobre X dada por D(x, y) = d(x, y)+ρ(f (x), f (y)). Probar que si f es continua en X, entonces la aplicación identidad 1X : (X, D) −→ (X, d) es un homeomorfismo. 29.- Dada f : (X, d) −→ (Y, ρ), el grafo de f es Gf = {(x, f (x)) ∈ X × Y : x ∈ X}. Sobre X × Y se define la métrica producto dmáx . Probar: (i) si f es continua, entonces Gf es cerrado en (X × Y, dmáx ). El recı́proco es falso; (ii) sea p la restricción a Gf de la proyección p1 : (X × Y, dmáx ) −→ (X, d). Probar que p es biyectiva y continua. Probar que f es continua si y sólo si p es un homeomorfismo. x . Probar que f es un homeomor30.- Sea f : (R, du ) −→ ((−1, 1), du ), donde f (x) = 1+|x| fismo. Concluir que cualquier intervalo abierto (con la métrica de subespacio inducida por la usual) es homeomorfo a la recta real. 31.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) un homeomorfismo. Estudiar si las siguientes propiedades son verdaderas o falsas: (i) X es acotado si y sólo si Y lo es, (ii) U ⊂ X es abierto en (X, d) si y sólo si f (U ) es abierto en (Y, ρ), (iii) F ⊂ X es cerrado en (X, d) si y sólo si f (F ) es cerrado en (Y, ρ), (iv) A ⊂ X es numerable si y sólo si f (A) lo es, (v) D ⊂ X es denso en (X, d) si y sólo si f (D) es denso en (Y, ρ), ◦ z }| { (vi) si A ⊂ X, x ∈A si y sólo si f (x) ∈f (A)Y , ◦X (vii) si A ⊂ X, x ∈ A′ si y sólo si f (x) ∈ (f (A))′ , X Y (viii) si A ⊂ X, x ∈ A si y sólo si f (x) ∈ f (A) . 32.- Sean f : (X, d) −→ (Y, ρ) y g : (Y, ρ) −→ (Z, η) continuas, tales que la composición g ◦ f : (X, d) −→ (Z, η) es un homeomorfismo. Probar que si f es sobreyectiva, entonces f y g son homeomorfismos. ♣33.- Probar que los espacios euclı́deos siguientes son dos a dos homeomorfos: (i) el cilindro vertical X = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = 1}, (ii) el cilindro Y = S1 × R, 3.5. Ejercicios 71 (iii) el plano privado del origen Z = R2 − {(0, 0)}, (iv) la corona circular W = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y 2 < 2}, (v) la esfera privada de los polos norte y sur, U = S2 − {P, Q}, donde P = (0, 0, 1) y Q = (0, 0, −1), (vi) el cono privado de su vértice V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 , z > 0}. ♣34.- Dar un homeomorfismo entre el primer cuadrante {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0} y el semiplano {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, como subespacios del plano euclı́deo. ♣35.- Sea (Rn , du ) y A ⊂ Rn un conjunto abierto, convexo y acotado, tal que 0 ∈ A. Se pide probar: (i) para cada x ∈ S(0, 1), existe un único y ∈ fr(A) de la forma λ.x, donde λ > 0; (ii) si y = φ(x), probar que la aplicación φ : (S(0, 1), du ) −→ (fr(A), du ) es un homeomorfismo; (iii) deducir que la frontera de un subconjunto convexo, acotado, de interior no vacı́o de (Rn , du ), es homeomorfa a (S(0, 1), du ); x (iv) sea ϕ : (Rn , du ) −→ (R, du ), definida por ϕ(0) = 0 y ϕ(x) = kxkφ( kxk ) si x 6= 0. Probar que ϕ es un homeomorfismo; (v) deducir que un subconjunto convexo, abierto y acotado de (Rn , du ), es homeomorfo a la bola abierta (B(0, 1), du ) y por consiguiente a (Rn , du ); (vi) deducir que un subconjunto convexo, cerrado y acotado de interior no vacı́o de (Rn , du ) es homeomorfo a la bola cerrada (B(0, 1), du ); (vii) probar propiedades similares para partes convexas, de interior no vacı́o y no acotadas de Rn . 36.- Sea f : (Rn , du ) −→ (Rm , du ) una aplicación lineal y biyectiva. Probar que para que f sea un homeomorfismo es necesario y suficiente que existan constantes α, β > 0, tales que αkxk ≤ kf (x)k ≤ βkxk, para cada x ∈ Rn . ♣37.- En este ejercicio se trata de definir la proyección estereográfica, una aplicación esencial en Geometrı́a y Topologı́a: (i) la circunferencia unidad en el plano euclı́deo es S1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 = 1}. Dado (a1 , a2 ) ∈ S1 − {(0, 1)}, se considera la recta que pasa por (a1 , a2 ) y (0, 1). a1 Esta recta corta al eje de abscisas en el punto ( 1−a , 0). Se define la aplicación 2 a1 1 h : (S − {(0, 1)}, du ) −→ (R, du ) por h(a1 , a2 ) = 1−a2 . Probar que h es un homeomorfismo: es la proyección estereográfica; 72 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos (ii) Análogamente, para n ≥ 1, la esfera unidad en el espacio euclı́deo de dimensión n+1 se define por Sn = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : x21 + . . . + x2n+1 = 1}. Probar que la aplicación h : (Sn − {(0, . . . , 0, 1)}, du ) −→ (Rn , du ), dada por h(a1 , . . . , an+1 ) = ( 1−aa1n+1 , . . . , 1−aann+1 ), es un homeomorfismo: es la proyección estereográfica. ♣38.- Sea (X, d) un espacio métrico. Probar que existe una métrica acotada ρ sobre X, de manera que la identidad 1X : (X, d) −→ (X, ρ) es un homeomorfismo uniforme. ♣39.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ). Probar que es uniformemente continua, si y sólo si para cada A, B ⊂ X tales que d(A, B) = 0 se tiene ρ(f (A), f (B)) = 0. 40.- Sean los espacios métricos (X1 , d1 ), · · · , (Xn , dn ). Consideremos su producto cartesiano X = X1 × · · · × Xn y dmáx la métrica del máximo. Se pide probar: (i) las proyecciones pi : (X, dmáx ) −→ (Xi , di ) son uniformemente continuas; (ii) si U es abierto en (X, dmáx ), entonces pi (U ) es abierto en (Xi , di ). ¿Esta propiedad se debe a la continuidad de las proyecciones? (iii) dado un espacio métrico (Y, ρ), probar que una función f : (Y, ρ) −→ (X, dmáx ) es continua si y sólo si para cada i ∈ I, las aplicaciones pi ◦ f lo son. ♣41.- Una función f : (X, d) −→ (Y, ρ) se dice lipschitziana si existe un número real positivo λ tal que para cada x, y ∈ X, se cumple ρ(f (x), f (y)) ≤ λd(x, y). Se pide probar: (i) toda función lipschitziana es uniformemente continua. √ El recı́proco no es cierto: f : ([0, ∞), du ) −→ ([0, ∞), du ), dada por f (x) = x es uniformemente continua y no lipschitziana; (ii) las isometrı́as son aplicaciones lipschizianas. El recı́proco no es cierto; 3.5. Ejercicios 73 (iii) las aplicaciones de la proposición 3.26 son lipschitzianas. 42.- Sea (R2 , d) donde d es la métrica definida por,  du (x, y) si x2 = y2 d(x, y) = |x1 − y1 | + 1 si x2 6= y2 ¿Son continuas las proyecciones p1 , p2 : (R2 , d) −→ (R, du )? ¿Y lipschitzianas? 43.- Sea f : ([0, ∞), du ) −→ (R, du ), tal que existe a > 0 verificando que f |[0,a] y f |[a,∞) son uniformemente continuas. Probar que f es uniformemente continua. 44.- Sea A ⊂ R. Probar que la función f : (A, du ) −→ (R, du ), dada por f (x) = x2 es uniformemente continua si A es acotado, pero no si A = R. ♣45.- Sean A y B cerrados, no vacı́os y disjuntos en (X, d) y f : (X, d) −→ ([0, 1], du ) d(x,A) definida por f (x) = d(x,A)+d(x,B) . Se pide: (i) probar que f es continua y calcular f (A) y f (B); (ii) encontrar abiertos disjuntos que contengan a A y B; (iii) probar que f no es en general uniformemente continua. ♣46.- Se pide probar: (i) la función f : (R − {0}, du ) −→ (R, du ) dada por f (x) = uniformemente continua; x |x| es continua, pero no es (ii) se tiene la siguiente generalización de la anterior propiedad: sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos y f : (X, d) −→ (Y, ρ) una aplicación continua. Se supone que existen a 6= b ∈ X, tales que los conjuntos cerrados y disjuntos en F = f −1 (a) y G = f −1 (b) verifican que d(F, G) = 0. Probar que f no es uniformemente continua. 74 Capı́tulo 3. Continuidad en espacios métricos Convergencia en espacios métricos Yo soy flor que se marchita al sol de la adversidad, el arbolito en mitad de la llanura infinita. “Décimas” Pedro Bonifacio Palacios “Almafuerte”(1854-1917) 4.1. Definición de sucesión Definición 4.1. Una sucesión en X 6= ∅ es una aplicación f : N −→ X. Normalmente, en vez de utilizar la notación funcional, se utiliza la notación con subı́ndices f (n) = xn , y se habla de la sucesión f o {xn }n∈N . El punto xn se llama término de la sucesión y Rg ({xn }n∈N ) = f (N) es el rango de la sucesión. Observación 4.1. Destacamos a continuación algunas propiedades relativas a sucesiones: (i) la función f definiendo una sucesión no tiene porque ser inyectiva, y por lo tanto, en una sucesión pueden existir términos iguales; (ii) no hay que confundir el rango con la propia sucesión: si X = R, la sucesión {xn }n∈N = {(−1)n }n∈N es la sucesión oscilante, cuyo rango es finito {−1, 1}; (iii) si f es constante, es decir, existe x ∈ X tal que f (n) = x para cada n ∈ N, se habla de la sucesión constante igual a x y en este caso f (N) = {x}; (iv) si existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 es xn = x, se habla de la sucesión semiconstante igual a x (que es constante si n0 = 1). El rango de una sucesión semiconstante es finito, aunque el recı́proco no es cierto (por ejemplo, las sucesiones oscilantes). 75 76 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos Definición 4.2. Una subsucesión {yn }n∈N de la sucesión {xn }n∈N es otra sucesión definida por yn = xϕ(n) , donde ϕ : N −→ N es una función estrictamente creciente. Es decir, se eligen elementos de la sucesión original, sin alterar el orden. Lema 4.1. Si ϕ : N −→ N es una función estrictamente creciente, es ϕ(n) ≥ n para cada n ∈ N. Lema 4.2. Toda sucesión es una subsucesión de sı́ misma. Demostración: Basta con tomar como ϕ : N −→ N la función identidad. Lema 4.3. Una subsucesión de una subsucesión de {xn }n∈N sigue siendo una subsucesión de {xn }n∈N . Demostración: Es una consecuencia de que la composición de funciones estrictamente crecientes es una función estrictamente creciente. 4.2. Sucesiones convergentes Definición 4.3. Sea {xn }n∈N una sucesión en (X, d). Se dice que x ∈ X es lı́mite de {xn }n∈N , si para cada ε > 0, existe nε ∈ N tal que para cada n ≥ nε es xn ∈ B(x, ε). Se dice también que {xn }n∈N converge a x y se denota por {xn } → x. Lema 4.4. Si {xn } → x en (X, d), el rango de {xn }n∈N está acotado. Demostración: Para ε = 1, existe n1 ∈ N tal que para cada n ≥ n1 es d(xn , x) < 1. Sea K = máx{d(x, x1 ), . . . , d(x, xn1 ), 1}. Entonces, para cada n ∈ N es d(x, xn ) ≤ K, con lo que Rg ({xn }n∈N ) ⊂ B(x, K). Observación 4.2. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), la sucesión oscilante {(−1)n }n∈N no converge, pero tiene rango acotado. Lema 4.5. Sea {xn }n∈N una sucesión en (X, d), tal que xn ∈ B(x, n1 ). Entonces, {xn } converge a x. Teorema 4.6. Una sucesión convergente en (X, d) lo hace de manera única. Demostración: Supongamos que {xn }n∈N converge a dos puntos distintos, x 6= y. Sea d(x, y) = r > 0. Por la propiedad de Hausdorff, es B(x, 2r ) ∩ B(y, 2r ) = ∅, lo cual contradice la convergencia. 4.2. Sucesiones convergentes 77 Observación 4.3. Algunos ejemplos de sucesiones convergentes son: (i) en cualquier espacio métrico, una sucesión semiconstante converge hacia la constante que se repite; (ii) si (X, d) es un espacio métrico discreto, las únicas sucesiones que convergen son las semiconstantes; (iii) las sucesiones oscilantes no convergen en ningún espacio métrico: en efecto dada la sucesión {xn }n∈N , con xn = x para n par y xn = y 6= x para n impar, si {xn } → z, para ε = 21 d(x, y) deberı́a ser xn ∈ B(z, ε) para n suficientemente grande, es decir, x, y ∈ B(z, ε), lo que es imposible. Teorema 4.7. En (X, d), si {xn } → x, cualquier subsucesión {xϕ(n) } → x. Demostración: Basta con utilizar el lema 4.1. Observación 4.4. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), la sucesión{(−1)n }n∈N no converge, pero la subsucesión de los términos pares {(−1)2n } → 1. Observación 4.5. Algunas observaciones referentes a la convergencia de sucesiones son: (i) si en (X, d) el rango de la sucesión {xn }n∈N es finito, existe una subsucesión constante {xϕ(n) }n∈N , luego convergente; (ii) aunque {xn }n∈N sólo posea subsucesiones convergentes a un único punto, no se deduce que sea convergente: en (R, du ), la sucesión {1, 2, 1, 3, . . . , 1, n, . . . } sólo posee subsucesiones convergentes a 1, pero ella no converge; (iii) si {xn }n∈N posee dos subsucesiones convergentes a puntos distintos, entonces ella no converge. Lema 4.8. En (X, d), si {xn } → x y Rg ({xn }n∈N ) es infinito, es (Rg({xn }n∈N ))′ = {x}. Demostración: Sea R = Rg ({xn }n∈N ). Como {xn } → x, para cada ε > 0, existe nε ∈ N tal que para cada n ≥ nε es xn ∈ B(x, ε). Como R es infinito, es claro que entonces debe ser (B(x, ε) − {x}) ∩ R 6= ∅, para cada ε > 0, es decir, x ∈ R′ . Supongamos que existe y 6= x, y ∈ R′ . Sea d(x, y) = r y ε0 = 2r . Por la convergencia de la sucesión, existe n0 > 0 tal que para cada n ≥ n0 es xn ∈ B(x, ε0 ) y además (B(y, ε0 ) − {y}) ∩ R 6= ∅. Pero, por la propiedad de Hausdorff es B(x, ε0 ) ∩ B(y, ε0 ) = ∅, por lo que (B(y, ε0 ) − {y}) ∩ R contiene como mucho los puntos {x1 , . . . , xn0 −1 }, en contra del lema 2.19. 78 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos n Observación 4.6. El recı́proco no es cierto: en (R, du ), sea la sucesión {n(−1) }n∈N =
′ n 1 , 2n, . . . }. Es claro que Rg({n(−1) }n∈N ) = {0}, pero la suce{1, 2, 31 , 4, 51 , 6 . . . , 2n−1 sión no converge. Teorema 4.9. En (X, d), x ∈ A′ si y sólo si existe una sucesión {xn }n∈N de términos distintos dos a dos en A, tal que {xn } → x. Demostración: Sea x ∈ A′ . Sabemos que para cada ε > 0, (B(x, ε) − {x}) ∩ A tiene infinitos puntos. Ası́, podemos afirmar que: (i) para ε = 1, existe x1 ∈ (B(x, 1) − {x}) ∩ A; (ii) supongamos dados x1 , . . . , xn−1 (distintos dos a dos) tales que para i ∈ {1, . . . n−1} es xi ∈ (B(x, 1i ) − {x}) ∩ A. Como (B(x, n1 )−{x})∩A tiene infinitos puntos, se puede elegir xn ∈ (B(x, n1 )−{x})∩A de modo que xn 6= xi para i ∈ {1, . . . n − 1}. Queda ası́ construida una sucesión {xn }n∈N en A, de términos distintos dos a dos. Además, por la propiedad arquimediana, para cada ε > 0 existe nε > 0, tal que para n ≥ nε es d(x, xn ) < ε, con lo que {xn } → x. Observar que la sucesión construida no es única. Recı́procamente, si los términos de la sucesión son dos a dos diferentes, el rango de la sucesión Rg ({xn }n∈N ) ⊂ A es infinito, con lo que por el lema 4.8, es (Rg({xn }n∈N )′ = {x} ⊂ A′ . Corolario 4.10. En (X, d), es x ∈ A si y sólo si existe una sucesión {xn }n∈N en A tal que {xn } → x. Demostración: Como A = A ∪ A′ , basta con notar que si x ∈ A, la sucesión constante igual a x converge a x, y aplicar en otro caso el teorema 4.9. Corolario 4.11. En (X, d), es A ⊂ X es denso si y sólo si todo punto de X es lı́mite de una sucesión de puntos de A. Corolario 4.12. En (X, d), es x ∈ fr(A) si y sólo si existen dos sucesiones {xn }n∈N en A e {yn }n∈N en X − A, tales que {xn } → x e {yn } → x. Corolario 4.13. En (X, d), si A ⊂ X, se cumple: (i) A es cerrado si y sólo si dada {xn }n∈N en A tal que {xn } → x, es x ∈ A; (ii) A es abierto si y sólo si dada {xn } → x ∈ A, existe nA ∈ N tal que para n ≥ nA es xn ∈ A. 4.3. Sucesiones de Cauchy 79 Ejemplo 4.1. En (R, du ), el conjunto A = (0, 1] no es ni abierto ni cerrado: (i) A no es cerrado pues existe { n1 }n∈N en A tal que { n1 } → 0 y 0 6∈ A; (ii) A no es abierto pues existe {1 + n1 }n∈N en R − A tal que {1 + n1 } → 1 y 1 ∈ A. Teorema 4.14. La aplicación f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua en x si y sólo si para cada sucesión {xn }n∈N en X con {xn } → x, la sucesión de las imágenes verifica que {f (xn )} → f (x). Demostración: Si f es continua, para cada ε > 0, existe δ = δ(x, ε) > 0 tal que f (BX (x, δ)) ⊂ BY (f (x), ε). Como {xn } → x, para δ existe n0 ∈ N tal que para n ≥ n0 es xn ∈ BX (x, δ), con lo que f (xn ) ∈ BY (f (x), ε), y queda probado que {f (xn )} → f (x). Recı́procamente, supongamos que f no es continua en x. Existe ε > 0 tal que para cada n ∈ N existe x 6= xn ∈ BX (x, n1 ) de modo que f (xn ) 6∈ BY (f (x), ε). Hemos construido de este modo una sucesión {xn }n∈N en X que converge a x (ver lema 4.5), pero tal que {f (xn )}n∈N no converge a f (x). Observación 4.7. La demostración del teorema 3.16 se puede ahora hacer de la siguiente manera: sea x ∈ X = D. Por el corolario 4.10 existe {xn }n∈N en D tal que {xn } → x. Es fácil probar que {f (xn )}n∈N converge a un punto, que llamaremos F (x) ∈ X. El teorema 4.14 garantiza que la extensión ası́ definida F : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua. 4.3. Sucesiones de Cauchy Definición 4.4. En (X, d), una sucesión {xn }n∈N se llama de Cauchy si para cada ε > 0, existe nε ∈ N tal que para cada m, n ≥ nε es d(xn , xm ) < ε, es decir, los términos de la sucesión se acercan entre sı́ a medida que los ı́ndices crecen. Si los términos de una sucesión se aproximan a un punto, entonces, se acercan entre sı́: Teorema 4.15. En (X, d), si {xn } → x, entonces es de Cauchy. Observación 4.8. El recı́proco no es cierto: en ((0, 1], du ), la sucesión { n1 }n∈N es de Cauchy, pero no converge. Teorema 4.16. En (X, d), si {xn }n∈N es una sucesión de Cauchy y posee una subsucesión convergente {xϕ(n) } → x, entonces {xn } → x. Demostración: Como {xϕ(n) } → x, para cada ε > 0, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 es d(xϕ(n) , x) < 2ε . Y la condición de Cauchy dice que ε > 0, existe n1 ∈ N tal que para cada m, n ≥ n1 es d(xm , xn ) < 2ε . Tomando nε = máx{n0 , n1 }, para n ≥ nε es d(x, xn ) ≤ d(x, xϕ(n) ) + d(xϕ(n) , xn ) < ε. 80 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos Corolario 4.17. En (X, d), si {xn }n∈N es una sucesión de Cauchy de rango finito, converge. Corolario 4.18. En (X, d), si {xn }n∈N es una sucesión de Cauchy y (Rg({xn }n∈N ))′ 6= ∅, entonces {xn }n∈N converge. Demostración: Si x ∈ (Rg({xn }n∈N )′ , por el corolario 4.10, existe una sucesión {yn }n∈N en (Rg({xn }n∈N ))′ tal que {yn } → x, que se puede elegir como una subsucesión de {xn }n∈N , ya que cualquier reordenación de una sucesión convergente, sigue siendo convergente. Por el teorema 4.16, es {xn } → x. Teorema 4.19. El rango de una sucesión de Cauchy en (X, d) es un conjunto acotado. Demostración: Para ε = 1 existe n1 ∈ N tal que para cada n ≥ n1 es xn ∈ B(xn1 , ε). Sea K = máx{1, d(x1 , xn1 ), . . . d(xn1 −1 , xn1 )}. Entonces, Rg({xn }n∈N ) ⊂ B(xn1 , K). Observación 4.9. El recı́proco no es cierto, como lo prueban las sucesiones oscilantes. Teorema 4.20. Si f : (X, d) −→ (Y, ρ) es uniformemente continua y {xn }n∈N es de Cauchy, entonces {f (xn )}n∈N es de Cauchy. Demostración: La continuidad uniforme garantiza que para ε > 0 existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ es ρ(f (x), f (y)) < ε. Y la condición de Cauchy afirma que para δ > 0 existe nδ ∈ N tal que para n, m ≥ nδ es d(xm , xn ) < δ. Ası́, es ρ(f (xm ), f (xn )) < ε. Observación 4.10. Esta propiedad no es cierta para funciones continuas: en efecto, sea f : ((0, 1], du ) −→ (R, du ) dada por f (x) = x1 , que es continua, pero no uniformemente continua. La sucesión { n1 }n∈N es de Cauchy en ((0, 1], du ), pero la sucesión de sus imágenes {f ( n1 ) = n}n∈N no es de Cauchy en (R, du ). 4.4. Espacios métricos completos Definición 4.5. Un espacio métrico (X, d) se llama completo, si toda sucesión de Cauchy es convergente. Ası́, en este tipo de espacios, se puede averiguar si una sucesión es convergente sin necesidad de calcular su lı́mite. Teorema 4.21. Si (X, d) es completo y A ⊂ X es cerrado, entonces (A, dA ) es completo. Demostración: Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy en (A, dA ). Como (X, d) es completo, {xn } → x en (X, d). Pero, x ∈ A = A. 4.4. Espacios métricos completos 81 Teorema 4.22. Si A ⊂ X y (A, dA ) es completo, entonces A es cerrado en (X, d). Demostración: Sea x ∈ A; existe {xn }n∈N en A tal que {xn } → x. Luego, {xn }n∈N es de Cauchy en (A, dA ), por serlo en (X, d). Por completitud y unicidad de lı́mite, es necesariamente x ∈ A. Corolario 4.23. Si (X, d) es completo, (A, dA ) es completo si y sólo si A es cerrado. Definición 4.6. (X, d) posee la propiedad de Cantor, si dada cualquier familia numerable de conjuntos {Fn }n∈N cerrados, \ no vacı́os y encajados (Fn+1 ⊂ Fn , para n ∈ N), tales que ı́nf{δ(Fn ) : n ∈ N} = 0, es Fn 6= ∅. n∈N Teorema 4.24. (Teorema de Cantor) (X, d) es completo si y sólo si posee la propiedad de Cantor. Además, estas intersecciones numerables de familias de cerrados encajados se reducen a un punto. Demostración: Sea (X, d) completo y {Fn }n∈N una familia numerable de cerrados encajados, no vacı́os y tales que ı́nf{δ(Fn ) : n ∈ N} = 0. Para cada n ∈ N sea xn ∈ Fn . Por la elección de los diámetros, para cada ε > 0 existe nε ∈ N tal que δ(Fnε ) < ε. Luego, para cada m, n ≥ nε , al ser xm , xn ∈ Fnε , es también d(xn , xm ) < ε. Ası́, hemos construido una sucesión {xn }n∈N de Cauchy. Por la completitud, existe x ∈ X tal que {xn } → x. La subsucesión {xk , x\ k+1 , . . . } en Fk converge también a x; ası́ para Fn . Recı́procamente, sea {xn }n∈N de Cauchy cada k ∈ N es x ∈ Fk = Fk y x ∈ n∈N y Rk = Rg{xk , xk+1 , . . . }. Es Rk+1 ⊂ Rk para cada k ∈ N y como {xk , xk+1 , . . . } es de Cauchy, Rk está acotado e ı́nf{δ(Rn ) : n ∈ N} = 0. Si Fn = Rn , la familia {Fn }n∈N es una familia contable de cerrados no vacı́os, encajada \ y como δ(Rn ) = δ(Rn ) es ı́nf{δ(Fn ) : n ∈ N} = 0. Por la propiedad de Cantor, será Fn 6= ∅ y además la intersección se reduce a un punto, ya que si x, y ∈ n ∈ N, con lo que d(x, y) = 0. Sea entonces \ n∈N \ n∈N n∈N Fn , d(x, y) ≤ δ(Fn ) para cada Fn = {x}. Como para cada n ∈ N es x ∈ Fn = Rn y xn ∈ Rn , es d(xn , x) ≤ δ(Rn ). Ası́, como los diámetros tienden a cero, para cada ε > 0 existe nε tal que para cada n ≥ nε , es d(xn , x) < ε. Observación 4.11. Los conjuntos de la definición 4.6 deben ser cerrados y con la propiedad de que sus diámetros tiendan a cero. En efecto, en (R, du ): 82 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos (i) si Fn = (0, n1 ), {Fn }n∈N es una familia de conjuntos no cerrados, encajados y cuyos \ diámetros tienden a cero, pero Fn = ∅; n∈N (ii) si Fn = [n, ∞), {F \n }n∈N es una familia de cerrados encajados, pero sus diámetros no tienden a 0 y Fn = ∅. n∈N 4.5. Teorema de Baire Definición 4.7. Sea el espacio métrico (X, d). Una aplicación f : (X, d) −→ (X, d) se llama contractiva si existe un número real k ∈ (0, 1) tal que d(f (x), f (y)) < kd(x, y). Proposición 4.25. Cualquier aplicación contractiva f : (X, d) −→ (X, d) es uniformemente continua. Teorema 4.26. (Teorema del punto fijo) Si (X, d) es un espacio métrico completo y f : (X, d) −→ (X, d) es una aplicación contractiva, existe un único punto x ∈ X tal que f (x) = x. Demostración: Para cada x ∈ X, al ser f contractiva, es d(f n (x), f n−1 (x)) < kd(f n−1 (x), f n−2 (x)) < · · · < k n−1 d(f (x), x), donde f n (x) denota el punto obtenido al aplicar f n veces a x. Como k ∈ (0, 1), se deduce que la sucesión {xn = f n (x)}n∈N es de Cauchy, y por lo tanto, converge a x0 ∈ X. Como f es continua, {f (xn ) = f n+1 (x)} → f (x0 ); pero {f (xn ) = f n+1 (x)}n∈N es una subsucesión de {xn }n∈N , con lo que forzosamente es x0 = f (x0 ). Si existiera otro punto y0 ∈ X fijo para f , serı́a d(x0 , y0 ) = d(f (x0 ), f (y0 )) < kd(x0 , y0 ) < d(x0 , y0 ), lo cual es imposible. Los siguientes conjuntos son topológicamente pequeños, al poseer trivialmente interior vacı́o: Definición 4.8. Sea el espacio métrico (X, d). Un conjunto A se dice nada denso, si X − A es denso. Definición 4.9. Sea el espacio métrico (X, d). Un conjunto A ⊂ X se dice de primera categorı́a o magro, si se puede escribir como una unión contable de conjuntos nada densos. Y se dice de segunda categorı́a si no es de primera. El siguiente teorema es de particular importancia, sobre todo en la construcción de demostraciones de existencia en Análisis: 4.5. Teorema de Baire 83 Teorema 4.27. (Teorema de Baire) Si (X, d) es un espacio métrico completo, cualquier conjunto de primera categorı́a tiene interior vacı́o. Demostración: Sea A ⊂ X de primera categorı́a y {Fn }n∈N la familia de conjuntos nada [ ◦ ◦ densos tal que A = Fn . Supongamos que A es no vacı́o. Sea x1 ∈A −F1 (que existe n∈N ◦ ◦ por ser F1 nada denso y A un abierto no vacı́o); como A −F1 es abierto, existe ε1 > 0 ◦ ◦ tal que B(x1 , ε1 ) ⊂A −F1 ⊂A −F1 . Supongamos que para k = 1, . . . , n − 1 se han ◦ ◦ obtenido bolas tales que B(xk , εk ) ⊂A −Fk , donde xk ∈A −Fk y εk < 12 εk−1 . Sea ahora ◦ ◦ xn ∈ B(xn−1 , εn−1 )∩ A −Fn (que existe por ser Fn nada denso y B(xn−1 , εn−1 )∩ A ◦ un abierto no vacı́o); como B(xn−1 , εn−1 )∩ A −Fn es abierto, existe εn < ◦ ◦ 1 ε 2 n−1 tal que B(xn , εn ) ⊂A −Fn ⊂A −Fn . La familia {B(xn , εn )}n∈N es una familia contable de cerrados encajados cuyos diámetros tienden a cero, y por la completitud de (X, d), \ ◦ la intersección se reduce a un único punto {x0 } = B(xn , εn ) ⊂A. Por construcción, n∈N ◦ x0 6∈ Fn , para cada n ∈ N, es decir, x0 6∈ A, lo cual es absurdo, pues x0 ∈A. Observación 4.12. Dos de los teoremas más importantes del Análisis Funcional son consecuencias directas del teorema de Baire: el teorema de la aplicación abierta y el principio de la acotación uniforme. Corolario 4.28. Si (X, d) es un espacio métrico completo, es de segunda categorı́a. Corolario 4.29. Si (X, d) es un espacio métrico completo, cualquier conjunto abierto y no vacı́o es de segunda categorı́a. Corolario 4.30. Si (X, d) es un espacio métrico completo, la intersección de cualquier familia numerable de conjuntos abiertos y densos es un conjunto denso. Demostración: Sea {An }n∈N la familia de abiertos densos. Entonces,[ {Bn = X − An }n∈N es una familia de cerrados nada densos, por lo que su unión B = Bn es de primera ◦ n∈N categorı́a. Aplicando el teorema de Baire 4.27, B= ∅, pero B = X − \ An es denso en X. \ An , es decir, n∈N n∈N Definición 4.10. Los espacios que verifican la propiedad enunciada en el corolario 4.30 se llaman espacios de Baire. Es decir, hemos probado que todo espacio métrico completo es de Baire. 84 4.6. Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos Ejercicios 1.- Sea (X, d) un espacio métrico y {xn }n∈N , {yn }n∈N dos sucesiones en X. Se supone que {n ∈ N : xn 6= yn } es un conjunto finito. Probar que ambas sucesiones poseen el mismo lı́mite o que ambas no convergen. 2.- Sea (X, d) un espacio métrico y {xn }n∈N una sucesión de términos distintos dos a dos. Sea A el rango de la sucesión y f : A −→ A una aplicación biyectiva. Si lı́m(xn ) = x, probar que lı́m(f (xn )) = x. 3.- Sea (X, d) un espacio métrico y {xn }n∈N , {yn }n∈N sucesiones en X. Probar: (i) lı́m(xn ) = x si y sólo si lı́m(d(xn , x)) = 0 en (R, du ), (ii) si lı́m(xn ) = x, entonces lı́m(d(xn , y)) = d(x, y) en (R, du ), (iii) si lı́m(xn ) = x y lı́m(yn ) = y, entonces lı́m(d(xn , yn )) = d(x, y) en (R, du ), (iv) si lı́m(xn ) = x, entonces lı́m(yn ) = x si y sólo si lı́m(d(xn , yn )) = 0 en (R, du ), (v) si {xn }n∈N es de Cauchy y lı́m(d(xn , yn )) = 0 en (R, du ), entonces {yn }n∈N es de Cauchy. 4.- Sea (R, du ) y {xn }n∈N , {yn }n∈N , {zn }n∈N sucesiones en R. Se pide probar: (i) si lı́m(xn ) = x e y < x, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , es y < xn , (ii) si lı́m(xn ) = x 6= 0, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , xn tiene el mismo signo que x, (iii) si lı́m(xn ) = x, lı́m(yn ) = y y x < y, entonces existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , es xn < yn , (iv) si lı́m(xn ) = x, lim(yn ) = y y xn < yn para cada n ∈ N, entonces x ≤ y. Dar un ejemplo en el que x = y, (v) si para cada n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn , lı́m(xn ) = x y lı́m(zn ) = x, probar que lı́m(yn ) = x. 5.- Sea (R, du ) y {xn }n∈N una sucesión creciente y acotada superiormente. Probar que lı́m(xn ) = sup{xn }. Enunciar el resultado análogo para una sucesión decreciente de n∈N números reales. 6.- Sean {xn }n∈N e {yn }n∈N sucesiones convergentes en (R, du ). Estudiar la convergencia de las sucesiones {xn ± yn }n∈N , {xn .yn }n∈N , {|xn |}n∈N , { xynn }n∈N (yn 6= 0, para cada n ∈ N). 4.6. Ejercicios 85 ♣7.- En (R, du ), se dice que {xn }n∈N diverge, si para cada K > 0, existe nK ∈ N tal que si n ≥ nK , es |xn | > K. Se pide probar: (i) si {xn }n∈N diverge, no converge, (ii) dar un ejemplo de sucesión real ni convergente ni divergente, (iii) si {xn }n∈N es una sucesión creciente no acotada superiormente, entonces diverge, (iv) si A ⊂ R es no acotado, existe {xn }n∈N en A divergente, (v) si {xn }n∈N es una sucesión de rango no acotado, existe una subsucesión divergente, (vi) toda subsucesión de una sucesión divergente, diverge. 8.- Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Probar que si {x2n }n∈N , {x2n+1 }n∈N y {x3n }n∈N son convergentes, {xn }n∈N también lo es. ¿Bastarı́a con que {x2n }n∈N y {x2n+1 }n∈N fueran convergentes?, ¿y {x2n }n∈N y {x3n }n∈N ? Encontrar una sucesión {xn }n∈N en la recta real, no convergente, tal que {xkn }n∈N converja para k ≥ 2. 9.- Probar que son equivalentes en (X, d) los siguientes enunciados: (i) todo subconjunto de X es completo, (ii) X es completo y discreto, (iii) toda sucesión de Cauchy en X es semiconstante. 10.- Si d es la métrica discreta sobre X, probar (X, d) es un espacio métrico completo. 11.- Sea (N, d), donde d(m, n) = | n1 − m1 |. Probar que la sucesión {xn = n}n∈N es de Cauchy, pero no converge: éste es un ejemplo de espacio métrico discreto no completo. 1 Sin embargo, el espacio X = N ∪ {+∞} con la misma métrica (donde +∞ = 0), es completo. 12.- Sea (X, d) y d∗ (x, y) = mı́n{1, d(x, y)}. Se pide probar: (i) {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d) si y sólo si lo es en (X, d∗ ); (ii) si (X, d) es completo, entonces (X, d∗ ) también lo es. ♣13.- Sea X el conjunto de las sucesiones reales acotadas y la distancia d({xn }, {yn }) = sup|xn − yn |. Estudiar la completitud del espacio métrico (X, d). n∈N ♣14.- Sea X = C([0, 1], R). Estudiar la completitud deZ los espacios métricos (X, d) y 1 |f (x) − g(x)|. (X, ρ), donde d(f, g) = sup |f (x) − g(x)| y ρ(f, g) = 0≤x≤1 0 86 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos 15.- Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos. Se pide probar: (i) Si (X, d) e (Y, ρ) son isométricos, X es completo si y sólo si Y lo es, (ii) si (X, d) e (Y, ρ) son homeomorfos, no hay relación entre la completitud de ambos espacios, (iii) si (X, d) e (Y, ρ) son métricamente equivalentes, X es completo si y sólo si Y lo es, (iv) si (X, d) e (Y, ρ) son topológicamente equivalentes, no hay relación entre la completitud de ambos espacios. 16.- Sea (X, d) un espacio métrico y D un conjunto denso en X, tal que toda sucesión de Cauchy en D converge en X. Probar que X es completo. 17.- Dados los espacios métricos (X1 , d1 ), · · · , (Xn , dn ), consideremos el espacio métrico (X, D), donde X = X1 × · · · × Xn y D es la métrica producto. Se pide probar: (i) una sucesión converge en (X, D) si y sólo si las sucesiones coordenadas convergen en los espacios factores respectivos; (ii) una sucesión es de Cauchy en (X, D) si y sólo si las sucesiones coordenadas lo son en los espacios factores respectivos; (iii) (X, D) es completo si y sólo si cada uno de los espacios factores lo es. 18.- En (X, d) se pide probar: (i) cualquier subsucesión de una sucesión de Cauchy, es de Cauchy, (ii) una sucesión de Cauchy de rango finito es semiconstante, y por lo tanto convergente. Concluir que si X es finito, entonces el espacio métrico (X, d) es completo. 19.- Probar que el espacio euclı́deo (Rn , du ) es completo. Decidir cuales de los siguientes subespacios euclı́deos lo son: N, Z, Q, I, R+ , R∗+ , Rn , Qn . ♣20.- En (X, d) se pide probar: (i) si todo conjunto cerrado y acotado es completo, probar que (X, d) es completo; (ii) si todo conjunto infinito y acotado posee puntos de acumulación, probar que (X, d) es completo. 21.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua y (X, d) completo. Probar que si {xn }n∈N es de Cauchy en (X, d), entonces {f (xn )}n∈N es de Cauchy en (Y, ρ). Dar un contraejemplo en el caso en el que (X, d) no sea completo. 4.6. Ejercicios 87 ♣22.- Sea {xn }n∈N una sucesión en un espacio métrico (X, d). Para cada n ∈ N, sea An = {xm : m ≥ n}. Se pide probar: \ (i) si {xn } → x, entonces x ∈ An ; n∈N (ii) {xn }n∈N es de Cauchy si y sólo si ı́nf {δ(An )} = 0. n∈N ♣23.- Sea (X, d) un espacio métrico no completo. El objetivo de este ejercicio es el de construir un espacio métrico completo, asociado de manera canónica a (X, d) y “cercano” a él, en el sentido que se verá más adelante. Sea C el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en (X, d); se pide probar: (i) la relación binaria sobre C dada por {xn }R{yn } si y sólo si d(xn , yn ) → 0 en (R, du ) (utilizar el ejercicio 3), es una relación de equivalencia sobre C. Llamamos x̃ a la clase de {xn } y X̃ al espacio cociente; (ii) δ(x̃, ỹ) = lı́m(d(xn , yn )) define una distancia en X̃; (iii) la aplicación f : (X, d) −→ (X̃, δ) que lleva cada x ∈ X en la clase de la sucesión constante igual a x, es una isometrı́a de X en una parte densa de X̃; (iv) (X̃, δ) es completo. Se dice que (X̃, δ) es la completación métrica de (X, d), que “puede pensarse” como un subespacio denso en X̃ (al ser isométrico a un subespacio denso de (X̃, δ)). 24.- En (X, d), probar que la unión finita (respectivamente, la intersección arbitraria) de subconjuntos completos es completo. 25.- Para los espacios métricos del ejercicio 12 del apartado 2.8, caracterizar las sucesiones convergentes y las de Cauchy y estudiar su completitud. ♣26.- Sea (X, d) un espacio métrico acotado y (Φ(X), ρ) como en el ejercicio 50 del apartado 2.8. Probar que (X, d) es completo si y sólo si (Φ(X), ρ) lo es. ♣27.- En (X, d) se pide probar: (i) A es magro si y sólo si A ⊂ [ Fn , donde Fn es cerrado de interior vacı́o; n∈N (ii) un subconjunto de un conjunto magro, es magro; (iii) la unión contable de magros es un conjunto magro; (iv) un conjunto numerable es magro si y sólo si ninguno de sus puntos es aislado; 88 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos (v) las rectas son conjuntos magros en el plano euclı́deo. ♣28.- En (X, d) se pide probar: (i) si (X, d) es completo y X = ◦ [ n∈N tal que Fn 6= ∅; (ii) si (X, d) es completo y X = Fn , donde Fn es un conjunto cerrado, existe n ∈ N, [ Fn , donde Fn es cerrado, entonces A = n∈N un abierto denso; [ ◦ Fn es n∈N (iii) si (X, d) es completo y numerable, el conjunto de los puntos aislados de X es un abierto denso; (x) si (X, d) es completo y no posee puntos aislados, entonces X es no numerable. ♣29.- Deducir las siguientes a aplicaciones del teorema de Baire en (R, du ): (i) todo cerrado numerable en N contiene una infinidad de puntos aislados, luego R es no numerable y no magro; (ii) Q y el conjunto de Cantor son magros en la recta real, I es de segunda categorı́a; (iii) el conjunto de Cantor no posee ningún punto aislado, luego no es contable; (iv) no existe ninguna función f : (R, du ) −→ (R, du ) cuyos puntos de continuidad sean exactamente los de Q. Sin embargo, si existen tales funciones cuyos puntos de continuidad sean exactamente los de I, por ejemplo, la función:  1 si n es el menor entero tal que x = m n n f (x) = 0 si x es irracional ♣30.- En este ejercicio se prueba que existe una función continua f : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) que no posee derivada en ningún punto. Es la tı́pica demostración de teorema de existencia utilizando el teorema de Baire 4.27: se demuestra que algún elemento del espacio debe tener una determinada propiedad, probando que el espacio es de segunda categorı́a y que el conjunto de los elementos que no poseen dicha propiedad forma un espacio de primera categorı́a. En el ejercicio 14 del apartado 4.6 se ha demostrado que (C([0, 1], R), d) (donde d(f, g) = sup |f (x) − g(x)|) es un espacio métrico completo (luego de segunda categorı́a según 0≤x≤1 el corolario 4.29). Sea E el conjunto de las funciones en (C([0, 1], R), d) que poseen 4.6. Ejercicios 89 derivada en algún punto. Se trata de probar que este conjunto es de primera categorı́a (ver [W], página 186): para n ∈ N, sea   f (x + h) − f (x) ≤n . En = f ∈ C([0, 1], R) : ∃x ∈ [0, 1 − 1/n], ∀h ∈ (0, 1/n], es h Se pide probar: S (i) E ⊂ ∞ n=1 En , (ii) el interior de En es vacı́o, (iii) En es cerrado. 90 Capı́tulo 4. Convergencia en espacios métricos Conexión en espacios métricos La luna vino a la fragua con su polisón de nardos. El niño la mira mira. El niño la está mirando. “Romance de la luna” Federico Garcı́a Lorca (1898-1936) 5.1. Espacios y conjuntos conexos Proposición 5.1. En (X, d) son equivalentes las siguientes condiciones: (i) existen abiertos U, V ⊂ X no vacı́os, disjuntos tales que U ∪ V = X; (ii) existen cerrados F, G ⊂ X no vacı́os, disjuntos tales que F ∪ G = X; (iii) existe A ⊂ X propio (es decir, ∅ = 6 A 6= X) abierto y cerrado a la vez; (iv) existe A ⊂ X propio con fr(A) = ∅; (v) existe una aplicación f : (X, d) −→ ({0, 1}, du ) continua y sobreyectiva. Demostración: (i) ⇒ (ii) Basta con tomar F = U = X − V y G = V = X − U . (ii) ⇒ (iii) Basta con tomar A = F = X − G. (iii) ⇒ (iv) El conjunto A tiene frontera vacı́a por ser abierto y cerrado a la vez. (iv) ⇒ (v) La aplicación χA : (X, d) −→ ({0, 1}, du ) es continua (al ser fr(A) = ∅) y sobreyectiva (al ser A propio). (v) ⇒ (i) Basta con tomar U = f −1 ({0}) y V = f −1 ({1}). Definición 5.1. Si (X, d) verifica cualquiera de las condiciones equivalentes de la proposición 5.1, se dice que es un espacio métrico disconexo. A los conjuntos de (i) o (ii) se les llama una disconexión de (X, d). 91 92 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos Definición 5.2. (X, d) es conexo si no es disconexo, es decir, intuitivamente está formado “de una única pieza”. A ⊂ X se llama conexo si el espacio métrico (A, dA ) lo es. Lema 5.2. En (X, d), A ⊂ X es disconexo si y sólo si existen abiertos U y V en (X, d), tales que U ∩ A 6= ∅ = 6 V ∩ A, U ∩ V ∩ A = ∅ y A ⊂ U ∪ V . Lema 5.3. En (X, d), A ⊂ X es disconexo si y sólo si existen cerrados F y G en (X, d), tales que F ∩ A 6= ∅ = 6 G ∩ A, F ∩ G ∩ A = ∅ y A ⊂ F ∪ G. La conexión es una propiedad absoluta, en el siguiente sentido: Lema 5.4. Sean (X, d) y B ⊂ A ⊂ X. B es conexo en (A, dA ) si y sólo si es conexo en (X, d). Ejemplos 5.1. Algunos ejemplos de espacios métricos conexos son: (i) en cualquier espacio métrico (X, d), los átomos (conjuntos formados por un único punto) son conexos; (ii) si (X, d) es un espacio métrico discreto, A ⊂ X es conexo si y sólo si se reduce a un punto; (iii) en (R, du ), son disconexos (0, 1] ∪ [2, 5) y R − {0}. Teorema 5.5. Sean (X, d) y A ⊂ X conexo. Si B ⊂ X es tal que A ⊂ B ⊂ A, entonces B es conexo. En particular, la clausura de todo conjunto conexo es conexa. Demostración: Supongamos que B no es conexo. Por el lema 5.2, existen abiertos U y V en (X, d), tales que U ∩ B 6= ∅ = 6 V ∩ B, U ∩ V ∩ B = ∅ y B ⊂ U ∪ V . Como A ⊂ B es conexo, deberá ser U ∩ A = ∅ ó V ∩ A = ∅. Supongamos que U ∩ A = ∅, entonces U ∩ A = ∅ al ser U abierto. Como B ⊂ A, será U ∩ B = ∅, lo que es absurdo. Observación 5.1. El recı́proco no es cierto: se verá en el teorema 5.14 que Q no es conexo en (R, du ), pero Q = R si lo es. Observación 5.2. No existe un resultado análogo al teorema 5.5 para el interior, el derivado o la frontera. Observación 5.3. La conexión no se comporta bien respecto a las operaciones de conjuntos: (i) en (R, du ), los conjuntos A = {0} y B = {1} son conexos, pero su unión A ∪ B = {0, 1} no lo es; 5.2. Componentes conexas 93 (ii) en (R, du ), A = (0, 1) es conexo (teorema 5.14), pero su complementario R − A no lo es; (iii) en (R2 , du ), A = {(x, y) ∈ S1 : x ≥ 0} y B = {(x, y) ∈ S1 : x ≤ 0} son conjuntos conexos (son ambos homeomorfos a un intervalo cerrado, y basta con utilizar el teorema 5.14 y el corolario 5.17), pero su intersección A ∩ B = {(0, 1), (0, −1)} no lo es. Pero, existen resultados parciales: Teorema 5.6. En (X, d), se verifica: (i) si {Ci : i ∈ I} es una [ familia de conexos y existe i0 ∈ I tal que Ci ∩ Ci0 6= ∅ para cada i ∈ I, entonces Ci es conexo; i∈I (ii) si {Ci : i ∈ I} es una familia de conexos tales que conexo. \ i∈I Ci 6= ∅, entonces Demostración: (ii) se deduce trivialmente de (i). Supongamos que C = [ [ Ci es i∈I Ci no es cone- i∈I xo, es decir, existen abiertos U y V en (X, d), tales que U ∩C 6= ∅ = 6 V ∩C, U ∩V ∩C = ∅ y C ⊂ U ∪ V . Para cada i ∈ I, es U ∩ V ∩ Ci = ∅ y Ci ⊂ U ∪ V , y por la conexión de Ci , debe ser U ∩ Ci = ∅ ó V ∩ Ci = ∅. Supongamos que U ∩ Ci0 = ∅, con lo que Ci0 ⊂ V . Sean IU = {i ∈ I : U ∩ Ci = ∅} y IV = {i ∈ I : V ∩ Ci = ∅}. Si i ∈ IV , es Ci ∩ Ci0 ⊂ Ci ∩ V = ∅, contra la hipótesis, ası́ que IV = ∅. Entonces, para cada i ∈ I es U ∩ Ci = ∅, con lo que U ∩ C = ∅, en contra de la hipótesis. 5.2. Componentes conexas En todo espacio métrico existen conjuntos conexos, al menos los átomos (conjuntos formados por un único punto). Se trata ahora de determinar los conexos “maximales” en (X, d). El tamaño y número de estos conexos dará una idea de “cuanto se aleja” X de ser conexo. Definición 5.3. Sean (X, d), x ∈ X y F(x) = {C ⊂ X : C es conexo \ y x ∈ X}. Claramente, F(x) es no vacı́o, ya que al menos {x} ∈ F(x). Como C 6= ∅, el teorema 5.6 garantiza que C(x) = [ C∈F (x) conexa del punto x. C∈F (x) C es un conjunto conexo, llamado componente 94 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos Lema 5.7. C(x) es el mayor conexo que contiene al punto x. Lema 5.8. En (X, d), el conjunto de las componentes conexas forma una partición del espacio. [ Demostración: Es claro que X = C(x), al ser x ∈ C(x). Si C(x) ∩ C(y) 6= ∅, el x∈X conjunto C(x) ∪ C(y) es conexo y x ∈ C(x) ∪ C(y). Como C(x) es el mayor conexo que contiene a x, debe ser C(x) ∪ C(y) ⊂ C(x), luego C(y) ⊂ C(x). Aplicando un argumento similar para y, se deduce que C(y) = C(x). Esta partición determina una relación de equivalencia en X: x ∼ y si y sólo si x e y pertenecen a la misma componente conexa, es decir, si y sólo si C(x) = C(y). Las clases de equivalencia respecto a esta relación son justamente las componentes conexas. Lema 5.9. (X, d) es conexo si y sólo si existe una única componente conexa. Teorema 5.10. Las componentes conexas en (X, d) son conjuntos cerrados. Demostración: Sea C una componente conexa. Por el teorema 5.5, C es también conexo, y la propiedad de maximalidad implica que C = C. 5.3. Espacios totalmente disconexos Definición 5.4. El espacio métrico (X, d) se llama totalmente disconexo, si para cada x ∈ X es C(x) = {x}. Ejemplos 5.2. Algunos ejemplos de espacios totalmente disconexos son: (i) en (R, du ), Q y N son totalmente disconexos; (ii) si (X, d) es discreto y con más de un punto, es totalmente disconexo. Lema 5.11. (X, d) es totalmente disconexo si y sólo si las componentes conexas se reducen a puntos. 5.4. Conexión en la recta real Definición 5.5. Un intervalo I en R es un conjunto convexo, es decir, si a, b ∈ I, para cada c ∈ R tal que a ≤ c ≤ b, es c ∈ I. 5.5. Conexión y continuidad 95 Observación 5.4. Ası́, I ⊂ R no es un intervalo si existen a, b ∈ I y a < c < b, tal que c 6∈ I. Observación 5.5. Por lo tanto, son intervalos para a, b ∈ R, (a, b), (a, b], [a, b), [a, b], [a, a] = {a}, (a, ∞), [a, ∞), (−∞, b), (−∞, b] y R. Proposición 5.12. Si A es conexo en (R, du ), es un intervalo. Demostración: Supongamos que A tiene más de un punto (si se reduce a un punto, la propiedad queda probada). Sean a, b ∈ A, a < b y supongamos que existe a < c < b, tal que c 6∈ A. Entonces, U = (−∞, c) y V = (c, ∞) son abiertos en (R, du ), tales que A ∩ U 6= ∅ = 6 A ∩ V , A ∩ U ∩ V = ∅ y A ⊂ U ∪ V = R − {c}, en contra de la conexión de A. Proposición 5.13. El intervalo [a, b] es conexo en (R, du ), para a < b. Demostración: Si [a, b] no fuera conexo, por el lema 5.3, existirı́an F y G cerrados en (R, du ), tales que F ∩[a, b] 6= ∅ = 6 G∩[a, b], F ∩G∩[a, b] = ∅ y [a, b] ⊂ F ∪G). Como [a, b] es cerrado en (R, du ), F ∩[a, b] y G∩[a, b] son también cerrados en (R, du ). Como F ∩[a, b] está acotado superiormente por b, existe c = sup{F ∩ [a, b]} ∈ F ∩ [a, b] = F ∩ [a, b]. Además, F ∩ [a, b] es abierto en ([a, b], du ) (ya que F ∩ [a, b] = (R − G) ∩ [a, b]), luego existe δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ∩ [a, b] ⊂ F ∩ [a, b]. Supongamos que c 6= b, entonces existe d ∈ [a, b], tal que c < d < c + δ, y en tal caso d ∈ F ∩ [a, b], contra la definición de supremo. Ası́, b = c, y por lo tanto b ∈ F ∩ [a, b]. Un argumento similar prueba que b ∈ G ∩ [a, b], con lo que se llega a una contradicción. Teorema 5.14. A es conexo en (R, du ) si y sólo si es un intervalo. Demostración: Sea A un intervalo en R y a ∈ A. Para cada x ∈ A, sea Ix = [x, a] si x ≤ a e Ix = [a, x] si a ≤ x. La familia {Ix : x\ ∈ A} es una familia de conexos en (R, du ) según la proposición 5.13. Además, a ∈ Ix , con lo que por el teorema 5.6, x∈A [ A= Ix es conexo. x∈A En particular, (R, du ) es conexo. 5.5. Conexión y continuidad Teorema 5.15. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua y sobreyectiva. Si (X, d) es conexo, (Y, ρ) también lo es. 96 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos Demostración: Si (Y, ρ) no fuera conexo, existirı́a A ⊂ Y propio abierto y cerrado a la vez. Entonces, f −1 (A) serı́a propio, abierto y cerrado en (X, d), contra la hipótesis. Corolario 5.16. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua. Si A es conexo en (X, d), entonces f (A) es conexo en (Y, ρ). Corolario 5.17. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) un homeomorfismo. (X, d) es conexo si y sólo si (Y, ρ) lo es. Teorema 5.18. (Teorema del valor intermedio) Sean f : (R, du ) −→ (R, du ) continua y a, b ∈ R, a < b y f (a) 6= f (b). Entonces, f toma cualquier valor entre f (a) y f (b). Demostración: Supongamos que f (a) < f (b). Como f ([a, b]) es conexo, deberá ser un intervalo, y en particular, [f (a), f (b)] ⊂ f ([a, b]). 5.6. Conexión por caminos La conexión es una propiedad difı́cil de manejar, al tratarse de una propiedad en sentido negativo: un espacio es conexo si no existe una separación no trivial por abiertos disjuntos. La conexión por caminos posee la ventaja de ser una propiedad algebraica y en sentido positivo. Definición 5.6. Dado un espacio métrico (X, d), un camino en X es una aplicación continua σ : ([0, 1], du ) −→ (X, d). Si σ(0) = a y σ(1) = b, se dice que σ es un camino de a a b. Definición 5.7. (X, d) es conexo por caminos, si para todo par de puntos a, b ∈ X existe un camino que los une. Proposición 5.19. Si (X, d) es conexo por caminos, es conexo. Demostración: Si no fuera conexo, existirı́an abiertos U, V ⊂ X no vacı́os, disjuntos tales que U ∪ V = X. Si elegimos a ∈ U y b ∈ V , existe σ : ([0, 1], du ) −→ (X, d) un camino que los une. Como σ es continua, σ −1 (U ) y σ −1 (V ) son abiertos en ([0, 1], du ), no vacı́os (0 ∈ σ −1 (U ) y 1 ∈ σ −1 (V )), disjuntos y cuya unión es [0, 1], en contra de la conexión del intervalo. 5.6. Conexión por caminos 97 El recı́proco no es cierto: Ejemplo 5.1. La curva seno topológico es el subespacio del plano euclı́deo     1 A = ((−∞, 0] × {0}) ∪ x, sin :x>0 . x A es conexo, pero no es conexo por caminos. Definición 5.8. (X, d) es localmente conexo por caminos, si para cada x ∈ X existe ε > 0 tal que la bola B(x, ε) es conexa por caminos. A pesar del ejemplo 5.1, existe un recı́proco parcial de la proposición 5.19 Proposición 5.20. Si (X, d) es conexo y localmente conexo por caminos, entonces es conexo por caminos. Demostración: Sea a ∈ X y A = {x ∈ X : existe un camino que une x con a}. A es no vacı́o, pues a ∈ A (el camino constante igual a a une a consigo mismo). (i) A es abierto: si x ∈ A, sea B(x, ε) la bola conexa por caminos que existe. Para cada z ∈ B(x, ε), sea σz un camino en B(x, ε) que une z con x y σ un camino en X que une x con a. Entonces, el camino σ ∗ σz : ([0, 1], du ) −→ (X, d) definido por  σz (2t) si t ≤ 1/2 σ ∗ σz (t) = σ(2t − 1) si t ≥ 1/2 une z con a, por lo que z ∈ A y B(x, ε) ⊂ A. (ii) A es cerrado: si x ∈ A y B(x, ε) es la bola conexa por caminos que existe, es A ∩ B(x, ε) 6= ∅. Sean z ∈ A ∩ B(x, ε), σz un camino en B(x, ε) que une x con z y σ un camino en X que une z con a. Entonces, el camino σ ∗ σz (definido arriba) une z con a, por lo que x ∈ A. Como A es no vacı́o, abierto y cerrado en (X, d) conexo, es necesariamente X = A. Observación 5.6. En el ejemplo 5.1, la curva seno topológico no es localmente conexa por caminos, por ello no es conexa por caminos a pesar de ser conexa. Ejemplos 5.3. Algunos ejemplos de espacios conexos por caminos son: (i) los espacios discretos no son conexos por caminos; 98 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos (ii) en (R, du ), los conjuntos conexos y los conexos por caminos coinciden; (iii) en (Rn , du ) para A ⊂ Rn , se verifica si A es conexo y abierto, es conexo por caminos; si A es convexo, es conexo por caminos; si A es contable y n > 1, Rn − A es conexo por caminos. Teorema 5.21. La imagen continua de un espacio conexo por caminos, es conexa por caminos. Se define sobre X la relación binaria x ≃ y si y sólo si existe un camino en X que une x e y. Se trata de una relación de equivalencia, cuyas clases son las componentes conexas por caminos de X. La componente conexa por caminos de un punto x, k(x), es el mayor conjunto conexo por caminos de X que lo contiene. Lema 5.22. En (X, d), para cada x ∈ X, es C(x) ⊂ k(x). 5.7. Ejercicios 1.- En un espacio métrico (X, d), probar que son equivalentes: (i) (X, d) es conexo, (ii) para cada x, y ∈ X, existe un conjunto conexo Cxy tal que x, y ∈ Cxy , (iii) para toda función continua f : (X, d) −→ (R, du ), f (X) es conexo, (iv) toda función continua f : (X, d) −→ (R, du ) tal que f (X) toma valores negativos y positivos, se anula en al menos un punto, (v) toda función continua f : (X, d) −→ (Y, ρ) (donde (Y, ρ) es un espacio métrico discreto) es constante, (vi) todo subconjunto propio de X posee frontera no vacı́a. 2.- Sea (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X conexo. Si B ⊂ X es tal que A ∩ B 6= ∅ y A ∩ (X − B) 6= ∅, entonces se tiene A ∩ fr(B) 6= ∅. 3.- Sean A y B subconjuntos conexos en (X, d). Se pide: (i) probar que A∪B es conexo si y sólo si (A∩B)∪(A∩B) 6= ∅. Escribir explı́citamente el caso en que ambos conjuntos son cerrados (respectivamente, abiertos); 5.7. Ejercicios 99 (ii) aplicarlo al caso en que (X, d) = (R2 , du ), A = {(x, y) : 0 < x < 1, y = sen( x1 )} y B = {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}; (iii) si ∅ = 6 fr(A) ⊂ B, probar que A ∪ B es conexo. 4.- En (X, d), sean A y B subconjuntos cerrados (respectivamente, abiertos). Probar que si A∩B y A∪B son conexos, entonces A y B son conexos. Ver que la condición impuesta a A y B es necesaria. 5.- En (X, d) conexo, probar: (i) si (X, d) no es acotado, toda esfera es no vacı́a; (i) para cada par de puntos x, y ∈ X, existe z ∈ X, tal que d(x, z) = d(y, z); (ii) si Card(X) ≥ 2, entonces Card(X) ≥ Card(R); (iii) si f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua y no constante, entonces f (X) es no contable. 6.- Sean (X, d) y a, b ∈ X. Se supone que existe A ⊂ X abierto y cerrado, tal que a ∈ A y b 6∈ A. Probar que ningún subconjunto conexo de X puede contener a a y b simultáneamente. 7.- Decidir si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas en (X, d): ◦ (i) Si A es conexo, entonces A y fr(A) son conexos, (ii) si A, B conexos, entonces A ∪ B y A ∩ B son conexos, (iii) si f : (X, d) −→ (Y, ρ) es continua y sobreyectiva, X tiene m componentes conexas e Y tiene n componentes conexas, entonces m ≥ n, (iv) la imagen continua de un conjunto disconexo, es disconexa. 8.- Sea (X, d) un espacio métrico donde toda bola abierta es conexa. Probar que X es conexo. 9.- Sea (X, d) y una familia de conjuntos conexos {An }n∈N , tales que An ∩ An+1 6= ∅, para cada n ∈ N. Probar que su unión es conexa. 10.- En (X, d) un espacio métrico, probar: (i) si A es conexo, no vacı́o, abierto y cerrado en X, entonces es una componente conexa; (ii) si A es abierto y cerrado en X y C es conexo, entonces es C ⊂ A ó C ⊂ X − A; 100 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos (iii) si C es la componente conexa de x, entonces está contenida en cada conjunto abierto y cerrado que contiene a x. ♣11.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) una aplicación continua entre dos espacios métricos. Se dice que f es localmente constante si para cada x ∈ X existe rx > 0 tal que f es constante en B(x, rx ). Probar que si (X, d) es conexo y f es localmente constante, es constante. 12.- La conexión ¿se conserva bajo equivalencias topológicas? ¿bajo equivalencias métricas? ¿bajo isometrı́as? 13.- Si (X, d) posee una cantidad finita de componentes conexas, probar que son abiertas y cerradas. 14.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) un homeomorfismo. Probar que la imagen de una componente conexa, es una componente conexa. En particular, (X, d) es conexo si y sólo si (Y, ρ) lo es. 15.- Probar que el producto de finito de espacios métricos es conexo si y sólo si cada espacio factor lo es. 16.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua y (X, d) es conexo. Probar que el grafo de f , Gf , es conexo en el espacio producto (X × Y, D). 17.- Describir las aplicaciones continuas f : (R, du ) −→ (X, d), donde (X, d) es un espacio métrico discreto. 18.- Utilizando el ejercicio 37 del apartado 3.5, probar que los conjuntos siguientes son conexos en el espacio euclı́deo correspondiente: S1 −{(0, 1)}, S1 , Rn , Sn −{(0, . . . , 0, 1)}, Sn y Rn − {(0, · · · , 0)} (para n > 1). 19.- Probar que los siguientes conjuntos de (R2 , du ) no son dos a dos homeomorfos: A = {(x, 0) : x ∈ R} ∪ {(0, y) : y ≥ 1}, B = {(x, 0) : x ∈ R} ∪ {(0, y) : y ≥ 0} y C = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}. 20.- Probar que no son homeomorfos los siguientes conjuntos de (R, du ): (0, 1), (0, 1] y [0, 1]. Además, ningún subconjunto de la recta real es homeomorfo a S1 . 21.- Probar que (Q, du ) y (Q, d) (d es la métrica discreta), poseen los mismos conjuntos conexos. ¿Son homeomorfos estos dos espacios métricos? ¿Son topológicamente equivalentes? 22.- Demostrar que en el plano euclı́deo A = {(x, y) : x ∈ Q ó y ∈ Q} es conexo y B = {(x, y) : x ∈ Q y y ∈ Q} no lo es. 5.7. Ejercicios 101 ♣23.- Sea Mn (R) el conjunto de las matrices reales cuadradas n × n, que se identifica al 2 espacio euclı́deo Rn . Probar que el conjunto de las matrices inversibles Gn ⊂ Mn (R), es un abierto formado de dos componentes conexas. 24.- Probar que un polinomio real impar posee al menos una raı́z real. 25.- En la recta real, probar: (i) si f : A ⊂ R −→ R es monótona y f (A) es denso en el intervalo J, entonces f es continua. En particular, si f : A ⊂ R −→ R es monótona y f (A) es un intervalo, entonces f es continua; (ii) si f : I ⊂ R −→ R es continua e inyectiva (donde I es un intervalo), entonces f es monótona y es un homeomorfismo de I sobre el intervalo J = f (I); (iii) si f : I ⊂ R −→ J ⊂ R es una biyección entre los intervalos I y J, entonces f es homeomorfismo si y sólo si f es monótona. 26.- Sea f : (X, d) −→ (R, du ) continua. Si mı́n{f (x)} < c < máx{f (x)}, demostrar el conjunto X − {f −1 (c)} es disconexo. x∈X x∈X ♣27.- Sea f : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) continua tal que f (0) = f (1). Para cada n > 1, probar que existe x ∈ [0, 1], tal que x + n1 ∈ [0, 1] y f (x + n1 ) = f (x). 28.- Probar que todo abierto de la recta real se puede escribir como una reunión, a lo sumo numerable, de intervalos abiertos dos a dos disjuntos. 29.- Considerando los espacios euclı́deos correspondientes, probar: ◦ (i) si A ⊂ R y B ⊂ R2 son homeomorfos, entonces B= ∅; (ii) no existe f : (R2 , du ) −→ (R, du ) continua e inyectiva. Concluir que (R, du ) y (R2 , du ) no son homeomorfos. 30.- Probar que no existe f : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) continua, tal que x ∈ Q si y sólo si f (x) 6∈ Q. 31.- Describir las funciones continuas f : ([0, 2] ∪ (4, 6], du ) −→ ({0} ∪ { n1 : n ∈ N}, du ). 32.- Se consideran las letras mayúsculas como subconjuntos del plano euclı́deo: A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z, desprovistas de extremidades. Se pide agruparlas por letras homeomorfas. 102 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos 33.- Para los espacios métricos del ejercicio 12 del apartado 2.8, estudiar la conexión y determinar la componente conexa de cada punto. 34.- Para n ≥ 1, sea f : (Sn , du ) −→ (R, du ) continua. Probar que existe x ∈ Sn , tal que f (x) = f (−x). 35.- Sean D = {(x, 0) : −1 ≤ x ≤ 1} ∪ {(0, y) : 0 ≤ y ≤ 1} y g : (D, du ) −→ (D, du ) un homeomorfismo. Probar que g(0, 0) = (0, 0) y que la restricción de g al conjunto {(−1, 0), (1, 0), (0, 1)} es una permutación de este conjunto. 36.- Si A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, y ≥ 0} y B = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q, y < 0}, probar que A ∪ B es conexo en (R2 , du ). ♣37.- Sea (X, d) un espacio métrico y las relaciones binarias R1 y R2 dadas por: xR1 y si y sólo si existe una parte conexa C que contiene a ambos puntos; xR2 y si y sólo si todo abierto y cerrado conteniendo a x, contiene a y. Se pide probar: (i) R1 y R2 son relaciones de equivalencia sobre X; (ii) [x]1 = C(x), [x]2 = ∩{A : A es abierto y cerrado y x ∈ A} y ambos conjuntos son cerrados; (iii) para cada x ∈ X, [x]1 ⊂ [x]2 ; (iv) si A ⊂ R, [x]1 = [x]2 en (A, du ); (v) sea C = A ∪ B ⊂ R2 , unión de los conjuntos A = {( n1 , y) : n ∈ N, −1 ≤ y ≤ 1} y B = {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1, y 6= 0}. Probar que [x]1 6= [x]2 en (C, du ). 38.- Probar las siguientes propiedades: (i) si Y = ({0} × R) ∪ (R × {0}) y f : (R, du ) −→ (Y, du ) es continua y sobreyectiva, entonces f −1 ((0, 0)) debe contener al menos tres puntos; (ii) si f : (S1 , du ) −→ ([0, 1], du ) es continua y sobreyectiva, para cada c ∈ (0, 1), el conjunto f −1 (c) debe contener más de un punto. ♣39.- Si (X, d) es conexo y k ∈ N, x se llama un punto de corte de orden k, si X − {x} posee k componentes conexas. Se pide: (i) probar que se trata de una propiedad que se preserva por homeomorfismos; (ii) en la recta real, ¿qué tipos de puntos de corte poseen los intervalos [0, 1], (0, 1] y (0, 1)? 5.7. Ejercicios 103 (iii) si n > 1, (Rn , du ) posee un punto de corte de orden 1, luego (Rn , du ) y (R, du ) no son homeomorfos. ♣40.- Sea A ⊂ Rn (n > 1). Se pide probar: (i) si A es contable, entonces Rn − A es conexo; (ii) si A es acotado, Rn − A tiene una componente conexa no acotada; (iii) si A es convexo, es conexo. El recı́proco no es cierto. 41.- Sea (X, d) un espacio métrico. Se pide probar: (i) la unión de cualquier familia de conjuntos conexos por caminos con un punto en común, es un conjunto conexo por caminos; (ii) la clausura de un conjunto conexo por caminos, no es en general conexa por caminos. ♣42.- Sea (P, du ) el espacio peine, es decir:   1 2 P = ([0, 1] × {0}) ∪ (x, y) ∈ R : x = 0 ó x = , n ∈ N, 0 ≤ y ≤ 1 . n Se pide probar: (i) P conexo por caminos y P − {(0, 0)} es conexo; (ii) si A = {0}×(0, 1), P −A es conexo y posee dos componentes conexas por caminos; (iii) si B = {0} × I y C = (P − A) ∪ B, C es conexo y posee una cantidad no contable de componentes conexas por caminos. 104 Capı́tulo 5. Conexión en espacios métricos Compacidad en espacios métricos Porque noto, alma torcida, Que en mi pecho milagroso, Mientras más honda la herida, Es mi canto más hermoso. “Versos sencillos” José Martı́ (1853-1895) 6.1. Espacios y conjuntos compactos Definición 6.1. Si X 6= ∅, un cubrimiento [ de X (respectivamente, de A[⊂ X) es una familia U = {Ai }i∈I ⊂ P(X), tal que X = Ai (respectivamente, A ⊂ Ai ). i∈I i∈I Definición 6.2. Un subrecubrimiento de un cubrimiento U = {Ai }i∈I de X es una subfamilia V = {Ai }i∈J (es decir, J ⊂ I), que sigue cubriendo X. Si J es finito, se habla de subrecubrimiento finito. Definición 6.3. En (X, d), si U = {Ai }i∈I es un cubrimiento de X y Ai es abierto para cada i ∈ I, se habla de un cubrimiento por abiertos. Definición 6.4. (X, d) es compacto si todo cubrimiento por abiertos de X posee un subrecubrimiento finito. Y A ⊂ X es compacto si (A, dA ) lo es. Observación 6.1. Se trata de una generalización topológica del concepto de conjunto finito: en (X, d), si A es finito, es claramente compacto. Vamos a ver que existen conjuntos compactos infinitos, aunque sus propiedades los hacen semejantes a los conjuntos finitos. Ejemplos 6.1. Algunos ejemplos de espacios compactos son: (i) (R, du ) no es compacto, ya que la familia de abiertos {(n − 1, n + 1)}n∈Z cubre R, pero no posee subrecubrimiento finito; 105 106 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos (ii) si (X, d) es discreto, A ⊂ X es compacto si y sólo si es finito; (iii) ((0, 1], du ) no es compacto, ya que la familia de abiertos {( n1 , 1]}n∈N cubre (0, 1], pero no posee subrecubrimiento finito Por dualidad con el concepto de abierto, se obtiene la siguiente caracterización: Teorema \ 6.1. (X, d) es compacto si y sólo si para cada familia de cerrados {Fi }i∈I tal que Fi = ∅, existe una familia finita {i1 , . . . , in } ⊂ I tal que Fi1 ∩ · · · ∩ Fin = ∅. i∈I Definición 6.5. Una familia de conjuntos {Ai }i∈I en X tiene la propiedad de intersección finita si para toda subfamilia finita {i1 , . . . , in } ⊂ I es Ai1 ∩ · · · ∩ Ain 6= ∅. A partir de esta definición, se obtiene una nueva caracterización de compacidad: Corolario 6.2. (X, d) es compacto si y sólo\ si para cualquier familia de cerrados {Fi }i∈I con la propiedad de intersección finita, es Fi 6= ∅. i∈I La compacidad es una propiedad absoluta, en el siguiente sentido: Proposición 6.3. A es compacto en (X, [d) si y sólo si para cualquier familia de abiertos U = {Ui }i∈I en (X, d) tales que A ⊂ Ui , existe una subfamilia finita {i1 , . . . , in } ⊂ I tal que A ⊂ Ui1 ∪ · · · ∪ Uin . i∈I Teorema 6.4. Si A es cerrado en (X, d) compacto, entonces A es compacto. Demostración: Sea[ U = {Ui }i∈I una familia de abiertos en (X, d) que cubren A. Entonces X = (X − A) ∪ Ui . Como X − A es abierto, hemos encontrado un cubrimiento por i∈I abiertos del compacto X, por lo que existe {i1 , . . . , in } ⊂ I, tal que X = (X−A)∪ y por lo tanto A ⊂ n [ n [ Uik , k=1 Uik . k=1 El siguiente resultado asemeja un compacto a un punto: Lema 6.5. Sea A compacto en (X, d) y x 6∈ A. Existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ A = ∅. Demostración: Para cada a ∈ A es a = 6 x. La propiedad garantiza que si [de Hausdorff ra ra ra d(a, x) = ra , es B(a, 2 ) ∩ B(x, 2 ) = ∅. Pero A ⊂ B(a, ), y al ser compacto, 2 a∈A 6.2. Compacidad y continuidad 107 existe {a1 , . . . , an } ⊂ A, de modo que A ⊂ es B(x, ε) ∩ A = ∅. n [ B(ai , i=1 rai r ). Si r = mı́n{ 2ai : 1 ≤ i ≤ n}, 2 Ejemplo 6.1. El lema anterior demuestra que (0, 1] no es compacto en (R, du ), ya que 0 6∈ A y para cada ε > 0 es (−ε, ε) ∩ (0, 1] 6= ∅. Teorema 6.6. Si A es compacto en (X, d), entonces A es cerrado. Demostración: Si x 6∈ A, por el lema 6.5, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ∩ A = ∅, con lo que x 6∈ A. Teorema 6.7. Si A es compacto en (X, d), entonces A está acotado. [ Demostración: Sea el cubrimiento A ⊂ B(a, 1). Como A es compacto, existe una a∈A n [ familia finita {a1 , . . . , an } ⊂ A, tal que A ⊂ i=1 B(ai , 1). Si a, b ∈ A, existen 1 ≤ i, j ≤ n tales que a ∈ B(ai , 1) y b ∈ B(aj , 1). Entonces, d(a, b) ≤ d(a, ai )+d(ai , aj )+d(aj , b) < 2 + d(ai , aj ). Si k = máx{d(ai , aj ) : 1 ≤ i, j ≤ n}, es claro que para cada a, b ∈ A es d(a, b) < 2 + k. Teorema 6.8. La unión finita y la intersección arbitraria de compactos es compacta. Observación 6.2. La[ unión arbitraria de compactos no es compacta: en (R, du ), {x} es compacto, pero R = {x} no lo es. x∈R Observación 6.3. Según los teoremas 6.6 y 6.7, un compacto A en (X, d) es cerrado y acotado. Pero el recı́proco no es cierto: para (R, d) donde d es la métrica discreta, R es cerrado y acotado, pero no es compacto. 6.2. Compacidad y continuidad Las funciones continuas llevan compactos en compactos: Teorema 6.9. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua. Si A es compacto en (X, d), entonces f (A) es compacto en (Y, ρ). 108 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos Demostración: Sea V = {Vi }i∈I una familia de abiertos en (Y, ρ) que cubren f (A). Entonces, U = {f −1 (Vi )}i∈I es una familia de abiertos en (X, d) que cubren A. Con [ mo A es compacto, existe {i1 , . . . , in } ⊂ I, tal que A ⊂ f −1 (Vik ), y por lo tanto f (A) ⊂ n [ k=1 Vik . k=1 Corolario 6.10. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua y (X, d) compacto. Si A es cerrado en (X, d), entonces f (A) es cerrado en (Y, ρ). Demostración: A es cerrado en el compacto (X, d), luego es compacto por el teorema 6.4. El teorema 6.9 garantiza que f (A) es compacto en (Y, ρ), y por lo tanto cerrado, según el teorema 6.6. Observación 6.4. La compacidad es esencial en el corolario 6.10: f : (R, du ) −→ (R, du ) 1 definida por f (x) = 1+x 2 es continua, R es cerrado y f (R) = (0, ∞) no lo es. Teorema 6.11. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) biyectiva y continua. Si (X, d) es compacto, entonces f es un homeomorfismo. Demostración: El corolario 6.10 afirma que f −1 es continua. Observación 6.5. La compacidad de (X, d) es esencial: 1R : (R, d) −→ (R, du ), donde d es la métrica discreta es continua y biyectiva, pero no es un homeomorfismo. Teorema 6.12. Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ) continua. Si (X, d) es compacto, entonces f es uniformemente continua. Demostración: Sea ε > 0; para cada x ∈ X  existe δx = δ(x, ε) > 0 tal que f (BX (x, δx )) ⊂ [ δ x BY (f (x), 2ε ). Pero, X = BX x, , por lo que existe {x1 , . . . , xn } ⊂ X tal que 2  x∈X  n n o [ δxi δ . Sea δ0 = mı́n 2xi : 1 ≤ i ≤ n ; éste es el valor que satisface la X = BX xi , 2 i=1 condición de continuidad uniforme: en efecto, si a, b ∈ X y d(a, b) < δ0 , existe 1 ≤ i ≤ n δ δ tal que a ∈ BX (xi , 2xi ), y entonces d(b, xi ) ≤ d(b, a) + d(a, xi ) < δ0 + 2xi < δxi . Luego, a, b ∈ BX (xi , δxi ), con lo que la continuidad de f garantiza que f (a), f (b) ∈ BY (f (xi ), 2ε ), y entonces es ρ(f (a), f (b)) < ε. 6.3. Compacidad secuencial 6.3. 109 Compacidad secuencial Definición 6.6. (X, d) es secuencialmente compacto, si toda sucesión en (X, d) posee una subsucesión convergente. Ejemplo 6.2. ((0, 1], du ) no es secuencialmente compacto, pues la sucesión { n1 }n∈N no posee subsucesiones convergentes. Definición 6.7. (X, d) posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo conjunto infinito A ⊂ X posee puntos de acumulación. Teorema 6.13. (X, d) es secuencialmente compacto si y sólo si posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Demostración: Sea A infinito, {xn }n∈N una sucesión de términos distintos dos a dos en A y supongamos que la subsucesión {xϕ(n) }n∈N converge a x ∈ A: como es de términos distintos dos a dos, es x ∈ A′ . Recı́procamente, supongamos que (X, d) posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass y sea {xn }n∈N . Si su rango es finito, existe una subsucesión constante, que converge. En caso contrario, si A = Rg ({xn }n∈N ), es A′ 6= ∅. Para x ∈ A′ , existe {yn }n∈N en A, de términos distintos dos a dos, que se puede elegir como una subsucesión de la primera, y que converge a x. Teorema 6.14. Si (X, d) es secuencialmente compacto, entonces es completo. Demostración: Sea {xn }n∈N una sucesión de Cauchy. Por hipótesis, existe una subsucesión {xϕ(n) } → x ∈ X. El corolario 4.18 garantiza que {xn } → x. Ejemplo 6.3. El recı́proco no es cierto: (R, d), donde d es la métrica discreta, es completo y no es secuencialmente compacto, pues la sucesión { n1 }n∈N no posee subsucesiones convergentes. Definición 6.8. (X, d) es totalmente acotado o precompacto, si para cada ε > 0, existe una familia finita de puntos {xε1 , . . . , xεn } ⊂ X, tal que X = B(xε1 , ε) ∪ · · · ∪ B(xεn , ε). Lema 6.15. Si (X, d) es precompacto, es acotado. Demostración: X se puede escribir como una unión finita de conjuntos acotados. Ejemplo 6.4. El recı́proco no es cierto: (R, d), donde d es la métrica discreta, es acotado y no es precompacto. 110 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos Teorema 6.16. En (X, d), son equivalentes: (i) (X, d) es compacto, (ii) (X, d) es secuencialmente compacto, (iii) (X, d) es precompacto y completo. Demostración: (i) ⇒ (ii) Sea A infinito y supongamos que A′ = [ ∅. Para cada x ∈ X, existe rx > 0 tal que (B(x, rx ) − {x}) ∩ A = ∅. Como X = BX (x, rx ) y X es compacto, existe {x1 , . . . , xn } ⊂ X tal que X = n [ x∈X BX (xi , rxi ). Pero, por construcción, i=1 BX (xi , rxi ) tiene como mucho un punto de A, lo que es imposible. (ii) ⇒ (iii) Si (X, d) es secuencialmente compacto, ya sabemos que es completo. Supongamos que existe ε0 que contradice la precompacidad de (X, d). Sea x1 ∈ X; existe x2 ∈ X tal que d(x1 , x2 ) ≥ ε0 . Continuando de esta manera, dada {x1 , . . . , xn−1 } elegida de este modo, existe xn ∈ X tal que d(xi , xn ) ≥ ε0 , si i < n. Queda construida de modo recurrente una sucesión {xn }n∈N tal que d(xi , xn ) ≥ ε0 si 1 ≤ i < n. Por la compacidad secuencial, existe una subsucesión {xϕ(n) }n∈N convergente, luego de Cauchy: ası́, existe n0 ∈ N tal que para m, n ≥ n0 es d(xϕ(n) , xϕ(m) ) < ε0 , lo cual es absurdo. (iii) ⇒ (i) Supongamos que (X, d) no es compacto, es decir, existe un cubrimiento por abiertos U = {Ui }i∈I , sin subrecubrimientos finitos. Sea {x11 , . . . , x1n1 } ⊂ X tal que X = B(x11 , 1) ∪ · · · ∪ B(x1n1 , 1). De entre estas bolas, existe al menos una que no puede ser recubierta por una familia finita de los {Ui }i∈I , sea B(x1m1 , 1). La precompacidad es hereditaria (ver ejercicio 19 del apartado 6.5), es decir, B(x1m1 , 1) es precompacto: sea {x21 , . . . , x2n2 } ⊂ X tal que B(x1m1 , 1) ⊂ B(x22 , 12 ) ∪ · · · ∪ B(x2n2 , 12 ). De entre estas bolas, existe al menos una que no puede ser recubierta por una familia finita de los {Ui }i∈I , sea B(x2m2 , 21 ). Ası́, se va construyendo una familia B(xkmk , k1 ) ⊂ · · · ⊂ B(x1m1 , 1) de bolas encajadas que no pueden ser recubiertas por una familia finita de los {Ui }i∈I . Además,
δ B(xkmk , k1 ) ≤ k2 . Si se considera Fk = B(xkmk , k1 ), tenemos una familia numerable de \cerrados encajados, cuyos diámetros tienden a cero. Por la completitud de (X, d), es Fk = {x0 }. Sea i0 ∈ I tal que x0 ∈ Ui0 y ε0 > 0 tal que B(x0 , ε0 ) ⊂ Ui0 . Sea k∈N k0 ∈ N tal que k20 < ε0 . Entonces, B(xkm0k , k10 ) ⊂ B(x0 , ε0 ) ⊂ Ui0 , lo que contradice la 0 elección de estas bolas, que no podı́an estar contenidas en ninguna familia finita de los {Ui }i∈I : en efecto, B(xkm0k , k10 ) ⊂ Fk0 ⊂ B(xkm0k , k10 ), y si x ∈ B(xkm0k , k10 ), entonces 0 0 0 d(x, x0 ) ≤ d(x, xkm0k ) + d(xkm0k , x0 ) < k20 < ε0 . 0 0 Ejemplo 6.5. La completitud es necesaria en las anteriores equivalencias: ((0, 1), du ) es precompacto, pero no es secuencialmente compacto. 6.4. Compacidad en espacios euclı́deos 111 Teorema 6.17. (Lema del recubrimiento de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Sea {Ui }i∈I un cubrimiento por abiertos de X. Existe ε > 0 (llamado número de Lebesgue del recubrimiento) tal que si A ⊂ X tiene diámetro menor que ε, entonces existe iε ∈ I tal que A ⊂ Uiε . Demostración: En caso contrario, para cada n ∈ N, existe xn tal que B(xn , 21n ) 6⊂ Ui para cada i ∈ I. Se obtiene ası́ una sucesión {xn }n∈N , que posee una subsucesión convergente {xϕ(n) } → x, por compacidad. Sea i0 ∈ I tal que x ∈ Ui0 y λ > 0 tal que B(x, λ) ⊂ Ui0 . Por convergencia, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 es xϕ(n) ∈ B(x, λ2 ). Pero entonces para enteros tales que 21n < λ2 , es B(xϕ(n) , λ2 ) ⊂ B(x, λ) ⊂ Ui0 , contra la hipótesis. 6.4. Compacidad en espacios euclı́deos Teorema 6.18. Si a, b ∈ R, el intervalo [a, b] es compacto en (R, du ). Demostración: Sea U = {Ui }i∈I una familia de abiertos, tales que [a, b] ⊂ [ Ui . Sea i∈I A = {x ∈ [a, b] : [a, x] está contenido en una unión finita de los {Ui }i∈I }. A es no vacı́o, pues a ∈ A. Además, si x1 ∈ A y x2 < x1 , es x2 ∈ A, al ser [a, x2 ] ⊂ [a, x1 ]. Por otro lado, si x ∈ A y x < b, existe y > x tal que y ∈ A: en efecto, existe i0 ∈ I tal que x ∈ Ui0 . Sea rx > 0 tal que (x − rx , x + rx ) ⊂ Ui0 ∩ [a, b]. Entonces, [a, x + r2x ] = [a, x] ∪ (x − r, x + r2x ], que está contenida en una unión finita de los {Ui }i∈I (los que tiene que ver con [a, x]) y Ui0 . Sea c = sup(A): por lo anterior, es c = b. Sea j0 ∈ I tal que b ∈ Uj0 y rb > 0 tal que (b − rb , b + rb ) ⊂ Uj0 . Como b = sup(A), b − rb no es cota superior de A, luego existe x ∈ A tal que b − rb < x ≤ b. Pero, como se ha visto antes, es entonces b − rb ∈ A. Ası́, [a, b] = [a, b − rb ] ∪ (b − rb , b] está contenido en una unión finita de {Ui }i∈I , y queda probada la propiedad. Teorema 6.19. (de Heine-Borel) En (R, du ), A es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Lema 6.20. Si A es compacto en (R, du ), entonces sup(A),ı́nf(A) ∈ A. Teorema 6.21. (de Weierstrass) Sea f : (X, d) −→ (R, du ) continua y (X, d) compacto. Entonces, f alcanza sus valores máximo y mı́nimo. Demostración: Como f (X) es compacto, es α = ı́nf(f (X)), β = sup(f (X)) ∈ f (X). Luego, existen a, b ∈ X tales que α = f (a) y β = f (b), es decir, f alcanza su mı́nimo absoluto en a y su máximo absoluto en b. 112 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos Teorema 6.22. (Caracterización de la compacidad) (X, d) es compacto si y sólo si para cualquier función f : (X, d) −→ (R, du ) continua, f alcanza sus valores máximo y mı́nimo. Demostración: Sólo queda por ver una de las implicaciones: si X no es compacto, existe A ⊂ X infinito tal que A′ = ∅. Sea S = {an }n∈N ⊂ A numerable. Entonces, es S ′ = ∅. Como para cada n ∈ N es an 6∈ S ′ , existe εn > 0 tal que (B(an , εn ) − {an }) ∩ S = ∅. Sean m, n ∈ N distintos tales que B(an , ε4n ) ∩ B(am , ε4m ) = ∅ (si esta intersección fuese no vacı́a, y x un punto en ella, serı́a d(an , am ) ≤ d(an , x) + d(x, am ) < ε0 , donde ε0 = mı́n{εm , εn }, lo que es absurdo). Sea sn < mı́n{ ε4n , n1 } y Bn = B(xn , sn ). La familia {Bn : n ∈ N} es una familia de bolas cerradas dos a dos disjuntas; sea B la unión de todas ellas, que es un conjunto cerrado. La función  0 si x 6∈ B f (x) = n (s − d(x, xn )) si x ∈ Bn sn n es continua y como f (xn ) = n, f no alcanza su máximo absoluto. 6.5. Ejercicios 1.- Sea (X, d) un espacio métrico. Se pide: (i) si A es compacto y b ∈ X, probar que existe a ∈ A tal que d(a, b) = d(A, b); (ii) si A es compacto y B ⊂ X, probar que existe a ∈ A tal que d(a, B) = d(A, B); (iii) si A y B son compactos, probar que existen a ∈ A y b ∈ B tales que d(a, b) = d(A, B); (iv) si A es compacto, probar que existen a, b ∈ A tales que d(a, b) = δ(A); (v) si A ⊂ X y B es compacto, probar que d(A, B) = 0 si y sólo si A ∩ B 6= ∅. 2.- En (X, d), se pide probar: (i) si A es compacto y x 6∈ A, entonces existen abiertos disjuntos U y V , tales que x ∈ U yA⊂V; (ii) si A y B son compactos disjuntos, entonces d(A, B) > 0 y existen abiertos disjuntos U y V , tales que A ⊂ U y B ⊂ V ; (iii) si A y B son compactos, A 6⊂ B 6⊂ A y d(A, B) = 0, entonces fr(A) ∩ fr(B) 6= ∅. 6.5. Ejercicios 113 3.- Sea (X, d) y A ⊂ X. ¿Qué relación existe entre los compactos de (X, d) y los compactos de (A, dA )? En (Q, du ), probar que el conjunto F = {x ∈ Q : 2 < x2 < 3, x ≥ 0} es cerrado y acotado, pero no es compacto. 4.- Sea (X, d) y A ⊂ X. Si A ∩ K es cerrado en (K, dK ) para cada compacto K, probar que A es cerrado. [ 5.- Sean (X, d), A ⊂ X compacto y r > 0. Probar que B(x, r) es cerrado. x∈A ♣6.- [ Sean (X, d), K compacto y V abierto tal que K ⊂ V . Probar que existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ V. x∈K 7.- Probar que el producto finito de espacios métricos es compacto si y sólo si cada espacio factor lo es. Aplicar esta propiedad a los espacios euclı́deos. ♣8.- Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos, (X×Y, D) su producto y f : (X, d) −→ (Y, ρ). Se pide probar: (i) si X es compacto, para todo cerrado de X × Y , su proyección sobre Y es cerrada; (ii) si (Y, ρ) = (R, du ), entonces X es compacto si y sólo si para todo cerrado de X × R, su proyección sobre R es cerrada; (iii) si X es compacto, f es continua si y sólo si Gf es compacto en (X × Y, D); (iv) si Y es compacto y Gf es cerrado en (X × Y, D), entonces f es continua; (v) si para cada espacio métrico (X, d) y para cada aplicación f : (X, d) −→ (Y, ρ) tal que Gf es cerrado en (X × Y, D), se verifica que f es continua, entonces Y es compacto. 9.- Sean (X, d) un espacio métrico compacto, y f : (X, d) −→ (X, d) continua tal que d(f (x), f (y)) < d(x, y) si x 6= y. Probar que f posee un único punto fijo en X. 10.- Sea (X, d) compacto y f : (X, d) −→ (X, d) continua sin puntos fijos. Probar que existe k > 0 tal que para cada x ∈ X, es d(x, f (x)) ≥ k. 11.- Sea f : (X, d) −→ (Y, ρ), tal que la restricción a cada compacto es continua. Probar que f es continua. ♣12.- Sea (X, d) compacto y f : (X, d) −→ (X, d) continua. Probar que existe un compacto A ⊂ X no vacı́o, tal que f (A) = A. 114 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos 13.- Sea {Ai }i∈I una familia de cerrados de un espacio métrico (X, d) compacto, tal que \ Ai = ∅. Probar que existe ε > 0 tal que si B ⊂ X es un conjunto de diámetro menor i∈I que ε, entonces existe j ∈ I tal que B ∩ Aj = ∅. 14.- Sea (X, d) compacto. Si las componentes conexas son abiertas, probar que existe a lo más un número finito de componentes. ♣15.- Sea (X, d) un espacio métrico tal que para cada métrica ρ topológicamente equivalente a d, (X, ρ) es acotado. Probar que (X, d) es compacto. 16.- Para los espacios métricos del ejercicio 12 del apartado 2.8, estudiar la compacidad. ♣17.- En un espacio métrico (X, d), probar: (i) todo subconjunto de un conjunto precompacto es precompacto, (ii) la clausura de un conjunto precompacto es precompacta, (iii) la imagen uniformemente continua de un conjunto precompacto es precompacta, (iv) todo conjunto precompacto es separable. ♣18.- Sea (X, d) un espacio métrico, {xn }n∈N una sucesión en X y R su rango. Se pide probar: (i) si lı́m(xn ) = x, entonces R ∪ {x} es compacto; (ii) si lı́m(xn ) = x, entonces R es compacto. El recı́proco es falso, pero si R es compacto, existe una subsucesión de la primera que converge; (iii) si {xn }n∈N es de Cauchy, entonces R es precompacto. Y si R es precompacto, existe una subsucesión de Cauchy de la primera; (iv) concluir que (X, d) es completo si y sólo si todo conjunto precompacto, posee clausura compacta. Y por lo tanto, en un espacio completo, todo conjunto precompacto posee derivado compacto; (v) concluir que si todo conjunto acotado en X posee clausura compacta, entonces (X, d) es completo; (vi) probar que (X, d) es compacto si y sólo si es completo y precompacto. 19.- Sea (X, d) un espacio métrico, donde existe r > 0 tal que B(x, r) es compacta para cada x ∈ X. Probar que (X, d) es completo. Si A ⊂ X es compacto, demostrar que el conjunto {x ∈ X : d(x, A) ≤ s} es compacto para cada s < r. 6.5. Ejercicios 115 20.- Probar que un espacio métrico donde toda bola cerrada es compacta, es completo. Demostrar que en este tipo de espacios métricos, los conjuntos compactos son los cerrados y acotados. Aplicar esta propiedad a los espacios euclı́deos. 21.- Sean (X, d) compacto, f : (X, \ d) −→ (Y, \ ρ) continua y {Fn }n∈N una sucesión de cerrados encajados. Probar que f ( Fn ) = f (Fn ). n∈N n∈N 22.- Probar que (X, d) es compacto si y sólo si para cada sucesión de cerrados encajados, su intersección es no vacı́a. Observar que no se impone la condición de que los diámetros de los cerrados tiendan a cero; ésta es otra manera de probar que todo espacio compacto es completo. 23.- Sea (X, d) y una familia {Fi }i∈I de cerrados con la propiedad \ de intersección finita. Supongamos que existe i0 ∈ I tal que Fi0 es compacto. Probar que Fi 6= ∅. i∈I 24.- Sea (X, d) completo, tal que para cada ε > 0, existe un recubrimiento finito de X, por conjuntos de diámetro menor que ε. Probar que (X, d) es compacto. 25.- Probar que la precompacidad se conserva bajo equivalencias métricas e isometrı́as. La compacidad se conserva bajo equivalencias topológicas, equivalencias métricas e isometrı́as. 26.- En (X, d) se pide probar: (i) si (X, d) es compacto y la clausura de cada bola abierta es la correspondiente bola cerrada, probar que toda bola abierta es conexa; (ii) dar un ejemplo de espacio métrico totalmente disconexo, donde también suceda este fenómeno; (iii) en (R2 , dmáx ), sea A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0 ó x = 0, 0 ≤ y ≤ 1}. Probar que toda bola en A es conexa, pero no se verifica el fenómeno de (i). ♣27.- Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Probar que (X, d) es conexo si y sólo si para cada ε > 0 y para cada x, y ∈ X, existe una familia de puntos {x0 , x1 , · · · , xn } ⊂ X, tales que x0 = x, xn = y y d(xi , xi+1 ) ≤ ε para i ∈ {0, 1, · · · , n − 1}, es decir, existe una ε-cadena relacionando los puntos x e y. 28.- Si K es compacto, convexo y de interior no vacı́o en (Rn , du ), probar que es homeomorfo a una bola cerrada. 116 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos 29.- Estudiar la conexión, la compacidad y la completitud de los siguientes subespacios del plano euclı́deo: A = {(x, y) ∈ R2 : x(x − 1) = 0}, B = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1}, C = {(x, y) ∈ R2 : y = (x + 1)2 ó x=0 ó y = 0}, D = {(x, y) ∈ R2 : (x + 2)2 + y 2 ≤ 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : (x − 2)2 + y 2 ≤ 1}, E = {(x, y) ∈ R2 : y = x2 }, F = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0}. 30.- Sean (R, du ) y A, B ⊂ R cerrados. ¿Es A + B cerrado? ¿Y si A y B son compactos? 31.- Sea (X, d) compacto y f : (X, d) −→ (R, du ) una función continua. Se supone que para cada x ∈ X es f (x) > 0. Probar que existe M > 0 tal que f (x) ≥ M para todo x ∈ X. 32.- Sea f : (R, du ) −→ (R, du ) tal que para cada x ∈ R, f −1 (x) posee exactamente dos puntos. Probar que f no es continua. ♣ 33.- Otro concepto relacionado con cubrimientos por abiertos de espacios es el de paracompacidad, que es una generalización de la noción de compacidad y es esencial en el estudio de variedades diferenciables. Definición 6.9. Si U y V son cubrimientos de X, se dice que U refina a V, y se escribe U  V, si cada U ∈ U está contenido en algún V ∈ V. Se dice también que U es un refinamiento de V. Definición 6.10. En un espacio métrico (X, d), una colección U de subconjuntos de X se llama localmente finita si cada x ∈ X posee un entorno que corta sólo a una cantidad finita de U ∈ U. Definición 6.11. En un espacio métrico (X, d), una colección V de subconjuntos de X se ∞ [ llama σ-localmente finita si V = Vn , donde cada Vn es una familia localmente finita. n=1 Observar que aunque V sea un cubrimiento σ-localmente finito de X, las subcolecciones Vn localmente finitas que lo componen no tienen porque ser cubrimientos de X. Definición 6.12. Un espacio métrico (X, d) se llama paracompacto si todo cubrimiento por abiertos de X posee un refinamiento abierto σ-localmente finito. Se pide demostrar el teorema de Stone: Todo espacio métrico es paracompacto (ver [W], página 147). 6.5. Ejercicios 117 ♣ 34.- Las nociones de compacidad y de conexión son ambas herramientas potentes, pero no tienen relación entre ellas. Cuando se combinan dan lugar al concepto de continuo. Definición 6.13. Dado un espacio métrico (X, d), K ⊂ X es un continuo si es compacto y conexo. Los primeros ejemplos de continuos son las esferas de cualquier dimensión Sn en espacios euclı́deos, las bolas unidad Dn en espacios euclı́deos, etc. Se pide probar: (i) dada una familia {Ki : i ∈ I} de continuos en X, su intersección un continuo; \ Ki sigue siendo i∈I (ii) si K es un continuo tal que para cada par de puntos a, b ∈ K es K − {a, b} no conexo, entonces K es homeomorfo a la circunferencia unidad (S1 , du ). 118 Capı́tulo 6. Compacidad en espacios métricos Espacios vectoriales normados Pintada, no vacı́a: pintada está mi casa del color de las grandes pasiones y desgracias. “Canción última” Miguel Hernández (1910-1942) 7.1. Normas sobre espacios vectoriales 7.1.1. Métrica definida por una norma Definición 7.1. Si X es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (en lo que sigue, será R ó C, salvo mención explı́cita), se llama norma sobre X a una aplicación k.k : X −→ K, tal que: (i) para cada x ∈ X, es kxk ≥ 0, (ii) kxk = 0 si y sólo si x = 0, (iii) x ∈ X y λ ∈ K, es kλxk = |λ|kxk, (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk, si x, y ∈ X. El par (X, k.k) se llama espacio vectorial normado. Ejemplo 7.1. Sobre el espacio vectorial de dimensión infinita de las funciones continuas de [0, 1] con valores reales C([0, 1], R) = {f : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) continua} tenemos las normas: Z 1 |f (x)|dx, llamada de la convergencia media; (i) kf k1 = 0 119 120 (ii) kf k2 = Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados sZ 0 1 |f (x)|2 dx, llamada de la convergencia cuadrática; (iii) kf k∞ = sup |f (x)|, llamada de la convergencia uniforme. x∈[0,1] Lema 7.1. Sea (X, k.k) un espacio vectorial normado sobre el cuerpo K. La función dk.k : X × X −→ K definida por dk.k (x, y) = kx − yk, es una distancia sobre X, que se llama inducida por la norma k.k y la topologı́a inducida se denomina topologı́a asociada a la norma. Lema 7.2. Dado un espacio vectorial normado (X, k.k), k.k : (X, dk.k ) −→ (K, du ) es una función lipschitziana (ver ejercicio 41 en el apartado 3.5). Observación 7.1. No toda distancia proviene de una norma: una norma de espacio vectorial no puede ser acotada, porque si kxk ≤ α para cada x ∈ X, entonces knxk ≤ α para cada n ∈ N, lo cual es absurdo. Luego, cualquier distancia acotada (por ejemplo, la métrica discreta) no proviene de una norma. Lema 7.3. Si X es un R-espacio vectorial y d una distancia sobre X, d proviene de una norma sobre X si y sólo si: (i) para λ ∈ R y x, y ∈ X, es d(λx, λy) = |λ|d(x, y); (ii) para x, y, a ∈ X, es d(x + a, y + a) = d(x, y). Y en tal caso, la norma asociada a la distancia es kxk = d(x, 0), para cada x ∈ X. Lema 7.4. Sea (X, k.k) un espacio vectorial normado sobre K. Las aplicaciones siguientes son continuas: (i) la función suma s : (X × X, D) −→ (X, dk.k ), donde D es la métrica producto y s(x, y) = x + y, y (ii) el producto por un escalar m : (K × X, D1 ) −→ (X, dk.k ), donde D1 es la métrica producto (sobre K se considera la métrica euclı́dea) y m(λ, x) = λx. Proposición 7.5. Sea (X, k.k) un espacio vectorial normado e Y un subespacio vectorial de X. Entonces, ◦ (i) si Y 6= X, es Y = ∅, y (ii) Y es un subespacio vectorial de X. 7.1. Normas sobre espacios vectoriales 121 ◦ Demostración: (i) Si Y 6= ∅, existe x ∈ Y y ε > 0 tales que B(x, ε) ⊂ Y . Como Y es un subespacio vectorial, se deduce que B(0, ε) ⊂ Y , y realizando homotecias sucesivas, resulta finalmente que X = Y . (ii) Como las aplicaciones suma y producto por un escalar son continuas, se tiene que s(Y × Y ) = s(Y × Y ) ⊂ s(Y × Y ) ⊂ Y , m(K × Y ) = m(K × Y ) ⊂ m(K × Y ) ⊂ Y . 7.1.2. Normas equivalentes Proposición 7.6. Sean X un espacio vectorial sobre el cuerpo K, k.k1 y k.k2 dos normas sobre X y d1 , d2 las distancias asociadas. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) existen α, β ∈ R tales que para cada x ∈ X es αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 , (ii) existen α, β ∈ R tales que para cada x, y ∈ X es αd1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ βd1 (x, y), (iii) las distancias d1 y d2 son topológicamente equivalentes. Demostración: La única implicación no trivial es (iii) ⇒ (i). Si d1 y d2 son topológicamente equivalentes, existen r, R > 0 tales que B d2 (0, r) ⊂ B d1 (0, 1) ⊂ B d2 (0, R), o gracias a las homotecias, si a > 0, B d2 (0, ra) ⊂ B d1 (0, a) ⊂ B d2 (0, Ra). Con la segunda inclusión se obtiene kxk2 ≤ Rkxk1 y con la primera rkxk1 ≤ kxk2 . Definición 7.2. Si cualquiera de las anteriores condiciones se verifica, se dice que las normas k.k1 y k.k2 son equivalentes. En general, sobre un espacio vectorial, dos normas no tienen porque ser equivalentes: Ejemplo 7.2. Sea el espacio de funciones continuas C([0, 1], R) y para n ∈ N la familia:  0 si x ∈ (1/n, 1] fn (x) = 1 − nx si x ∈ [0, 1/n] que es una familia infinita linealmente independiente de funciones en C([0, 1], R). Sobre C([0, 1], R) se definen las normas dadas en el ejemplo 7.1. Es fácil ver que: Z 1 1 |fn (x)|dx = (i) kfn k1 = ; 2n 0 122 Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados (ii) kfn k2 = sZ 0 1 1 |fn (x)|2 dx = √ ; 3n (iii) kfn k∞ = sup |fn (x)| = 1. x∈[0,1] Por lo tanto, estas normas no son equivalentes. Corolario 7.7. Sean X un espacio vectorial sobre el cuerpo K, k.k1 y k.k2 dos normas sobre X y la aplicación identidad 1X : (X, k.k1 ) −→ (X, k.k2 ). Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) las normas son equivalentes, (ii) 1X es un homeomorfismo, (iii) 1X y 1−1 X son lipschitzianas. En el caso particular de dimensión finita, se verifica: Teorema 7.8. Si X es un espacio vectorial de dimensión finita, todas las normas sobre él son equivalentes. Demostración: Sea B = {e1 , . . . , en } una base del espacio vectorial. Cualquier x ∈ X se expresa de manera única como x = x1 e1 + · · · + xn en . Consideremos la norma k.k∞ (kxk∞ = sup{|xi | : 1 ≤ i ≤ n}) y k.k otra norma cualquiera. Es claro que kxk ≤ kx1 e1 k + · · · + kxn en k = |x1 |ke1 k + · · · + |xn |ken k ≤ m.n.kxk∞ , donde m = sup{kei k : 1 ≤ i ≤ n}. La otra parte de la demostración se realiza de manera análoga, utilizando el hecho de que la bola cerrada unidad B(0, 1) es compacta (por la dimensión finita) y el lema 7.3. Corolario 7.9. Si X es un espacio vectorial de dimensión finita, es un espacio métrico completo y las partes compactas de X son los subconjuntos cerrados y acotados de X. Observación 7.2. Los espacios vectoriales normados de dimensión finita son los únicos tales que la bola cerrada unidad B(0, 1) es compacta. Lema 7.10. Sea (X, k.k) un espacio vectorial normado e Y un subespacio vectorial propio y cerrado de X. Para cada 0 < ε < 1, existe un punto xε ∈ X en la bola unidad cerrada y tal que dk.k (xε , Y ) ≥ 1 − ε. Proposición 7.11. Si X es un espacio vectorial normado de dimensión infinita, la bola unidad de X no es compacta. 7.1. Normas sobre espacios vectoriales 123 7.1.3. Aplicaciones lineales continuas Si X e Y son dos espacios vectoriales normados, una aplicación lineal l : X −→ Y no tiene porque ser continua: si X = C([0, 1], R) provisto con la norma de la convergencia media y l : X −→ R se define por l(f ) = f (1), entonces la sucesión de funciones afines 1 a trozos fn (x) = 0 si x ∈ [0, 1 − n1 ] y fn (1) = 1 es tal que kfn k1 = 2n que tiende a 0 y l(fn ) no tiende a l(0). Proposición 7.12. Sean (X, k.k1 ) e (Y, k.k2 ) dos espacios vectoriales normados y una aplicación lineal l : X −→ Y . Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) l es continua, (ii) l es continua en 0, (iii) l está acotada sobre la bola cerrada unidad B(0, 1), (iv) existe una constante real M > 0 tal que kl(x)k2 ≤ M kxk1 para cada x ∈ X, (v) existe una constante real M > 0 tal que kl(x) − l(y)k2 ≤ M kx − yk1 para cada x, y ∈ X, (vi) l es uniformemente continua sobre X. Observación 7.3. Si l es continua en un punto x ∈ X, es continua en todo X. Proposición 7.13. Si (X, k.k) es un espacio vectorial de dimensión finita, toda aplicación lineal de X en un espacio vectorial normado (Y, k.k2 ) es continua. Proposición 7.14. Sean (X, k.k) un espacio vectorial normado y l una forma lineal sobre X (una aplicación lineal de X sobre K). Entonces, l es continua si y sólo si el núcleo de l es cerrado en X. 7.1.4. Espacios de Hilbert y de Banach Definición 7.3. (X, k.k) es un espacio de Banach si (X, dk.k ) es un espacio métrico completo. Ejemplos 7.1. Algunos ejemplos de espacios de Banach son: 1) los espacios vectoriales de dimensión finita son espacios de Banach; 124 Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados 2) el espacio vectorial normado (C([0, 1], R), k.k2 ) no es completo: por ejemplo la sucesión de funciones continuas  0 si x ∈ [0, 1/2]  (n + 1)(x − 1/2) si x ∈ (1/2, 1/2 + 1/(n + 1)] gn (x) =  1 si x ∈ (1/2 + 1/(n + 1), 1] tiene como lı́mite la función no continua  0 si x ∈ [0, 1/2] g(x) = 1 si x ∈ (1/2, 1] La completación (ver ejercicio 23 en el apartado 4.6) de este espacio para la norma anterior se denota por L2 ([0, 1]). De manera similar, denotaremos Lp ([0, 1]) al espa1/p Z 1 p |fn (x)| dx ; cio obtenido al completar (C([0, 1], R), k.kp ), donde kf kp = 0 está formado por las clases de funciones Z medibles con potencia p-ésima integrable 1 sobre [0, 1], es decir, f ∈ Lp ([0, 1]) si 0 |fn (x)|p dx < ∞. Proposición 7.15. Sea (X, k.k) un espacio de Banach. Entonces: (i) si A es un conjunto, el espacio vectorial de las aplicaciones acotadas de A en X, B(A, X), provisto de la topologı́a de la convergencia uniforme, es un espacio de Banach; (ii) si (A, dA ) es un espacio métrico, entonces el espacio vectorial de las aplicaciones continuas acotadas Cb (A, X), dotado de la topologı́a de la convergencia uniforme, es un espacio de Banach. En particular, si A es compacto, entonces C(A, X) es un espacio de Banach. Proposición 7.16. Sean (X, k.k1 ) un espacio vectorial normado, (Y, k.k2 ) un espacio de Banach y A ⊂ X un subespacio vectorial denso en X. Entonces toda aplicación lineal continua l : A −→ Y se extiende de manera única a una aplicación continua e l : X −→ Y . Sean (X, k.k1 ) y (Y, k.k2 ) espacios vectoriales normados, se denota por L(X, Y ) el conjunto de las aplicaciones lineales continuas de X en Y . Para cada T ∈ L(X, Y ), se escribe: kT (v)k2 . |T | = sup kT (v)k2 = sup kT (v)k2 = sup kvk1 v6=0 kvk1 =1 kvk1 ≤1 Observación 7.4. Para cada v ∈ X1 se tiene kT (v)k2 ≤ |T |kvk1 . 7.1. Normas sobre espacios vectoriales 125 Proposición 7.17. |.| es una norma sobre L(X, Y ). Si además (Y, k.k2 ) es un espacio de Banach, entonces L(X, Y ) también lo es. Definición 7.4. Sea X un espacio vectorial sobre R (respectivamente, C). Una forma bilineal simétrica (respectivamente, hermı́tica) sobre X es una aplicación h : X × X −→ K que posee las propiedades siguientes: (i) y 7→ h(x, y) es K-lineal para cada x ∈ V , (ii) h(x, y) = h(y, x). Observación 7.5. Cuando K = R, la condición (ii) se transforma en h(x, y) = h(y, x), lo que implica fácilmente que h es bilineal simétrica. Cuando K = C, las condiciones (i) y (ii) implican que x 7→ h(x, y) es semilineal, es decir, h(x1 + x2 , y) = h(x1 , y) + h(x2 , y) y h(λx, y) = λh(x, y). Definición 7.5. Una forma es positiva si h(x, x) ≥ 0 para cada x ∈ X y es definida positiva si además h(x, x) = 0 si y sólo si x = 0. Lema 7.18. Si h es una forma bilineal simétrica (respectivamente, hermı́tica) definida positiva sobre un espacio vectorial X sobre R (respectivamente, C). Entonces: p (i) |h(x, y)| ≤ h(x, x)h(y, y) (desigualdad de Cauchy-Schwarz), p p p (ii) h(x + y, x + y) ≤ h(x, x) h(y, y). Proposición 7.19. Sea h una forma bilineal simétrica (respectivamente, hermı́tica) definida positiva sobre p un espacio vectorial X sobre R (respectivamente, C). Entonces, la aplicación x 7→ h(x, x) es una norma sobre X. Definición 7.6. Un espacio vectorial normado cuya norma proviene de una forma bilineal simétrica (respectivamente, hermı́tica) definida positiva se llama espacio prehilbertiano. Si además este espacio vectorial es completo, se dice que es un espacio de Hilbert. p Observación 7.6. A partir de ahora se denotará h(x, y) por hx, yi y h(x, x) por kxk. Definición 7.7. En un espacio prehilbertiano X, se dice que x, y ∈ X son ortogonales si hx, yi = 0. Proposición 7.20. Sea X un espacio prehilbertiano y x, y ∈ X. Entonces (i) kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) (ley del paralelogramo), (ii) si x e y son ortogonales, es kx + yk2 = kxk2 + kyk2 (teorema de Pitágoras). 126 Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados Si A es un subespacio vectorial de un espacio prehilbertiano X, se define el subespacio vectorial cerrado de X, A⊥ como el conjunto de los elementos x ∈ X que son ortogonales a cada elemento de A. Entonces: Teorema 7.21. Si X es un espacio prehilbertiano y F un subespacio completo de X, para cada x ∈ X existe un único y ∈ F tal que kx − yk = dk.k (x, F ): este elemento se llama proyección ortogonal de x sobre F y se denota pF (x). Proposición 7.22. En las condiciones anteriores, se verifica: (i) si x ∈ X, pF (x) es el único elemento z ∈ F tal que x − z es ortogonal a F ; (ii) X = F ⊕ F ⊥ ; (iii) la aplicación x 7→ pF (x) de X en X es lineal y continua. Su norma vale 1 si F es no trivial, su imagen es F y su núcleo es F ⊥ . Teorema 7.23. (Teorema de Riesz) Sea X un espacio de Hilbert y l ∈ L(X, K) una forma lineal continua. Existe un único a ∈ X tal que l(x) = ha, xi para cada x ∈ X. Además kak = |l|. 7.2. Espacios de funciones 7.2.1. Convergencia simple y uniforme Sea X un conjunto cualquiera e (Y, ρ) un espacio métrico. Definición 7.8. Una sucesión de aplicaciones {fn : X −→ Y }n∈N converge simplemente o puntualmente sobre X, si para cada x ∈ X, la sucesión {fn (x)}n∈N tiene lı́mite en (Y, ρ), que denotamos f (x), y que determina una función f : X −→ Y que se llama lı́mite simple o puntual de {fn }n∈N . Observación 7.7. Según la anterior definición, {fn : X −→ Y }n∈N converge puntualmente a f : X −→ Y , si para cada ε > 0 y x ∈ X, existe nε,x ∈ N tal que ρ(fn (x), f (x)) < ε si n ≥ nε,x . Definición 7.9. Una sucesión de aplicaciones {fn : X −→ Y }n∈N converge uniformemente sobre X a una función f : X −→ Y , si para cada ε >0, existe nε ∈ N tal que  para cada n ≥ nε y x ∈ X es ρ(fn (x), f (x)) < ε, es decir, lı́m n→∞ sup{ρ(fn (x), f (x))} = 0. x∈X Lema 7.24. (Relación entre la convergencia simple y la uniforme) Sea una sucesión de aplicaciones {fn : X −→ Y }n∈N . Si converge uniformemente hacia f sobre X, entonces converge puntualmente hacia f sobre X. 7.2. Espacios de funciones 127 Observación 7.8. El recı́proco no es cierto: sea {fn : [0, 1] −→ (R, du )}n∈N definida por fn (t) = tn . La sucesión converge simplemente hacia la función χ{1} : [0, 1] −→ (R, du ), pero no converge uniformemente sobre [0, 1]. Sin embargo, hay un caso importante en el que el recı́proco es cierto: Lema 7.25. Sea (X, d) un espacio métrico compacto y {fn : (X, d) −→ (Y, ρ)}n∈N y f : (X, d) −→ (Y, ρ) una familia de funciones continuas. Si para cada x ∈ X la sucesión de las distancias {ρ(f (x), fn (x))}n∈N es decreciente y tiende a cero, entonces {fn }n∈N tiende uniformemente a f . Demostración: Para cada ε > 0 y n ∈ N, el conjunto Aεn = {x ∈ X\: d(f (x), fn (x)) ≥ ε} es cerrado en (X, d). La familia {Aεn }n∈N es además encajada y Aεn = ∅. Como X es n∈N compacto, debe existir nε tal que Aεnε = ∅, con lo que para cada n ≥ nε y todo x ∈ X es ρ(f (x), f (xn )) < ε, de donde se deduce la convergencia uniforme. Corolario 7.26. (Teorema de Dini para espacios métricos) Sea (X, d) un espacio métrico compacto y {fn : (X, d) −→ (R, du )}n∈N una sucesión de funciones continuas. Se supone que {fn }n∈N es monótona y que converge simplemente hacia la función continua f : (X, d) −→ (R, du ), entonces {fn }n∈N converge uniformemente hacia f . Observación 7.9. En el enunciado del corolario anterior, es la sucesión {fn }n∈N la que es monótona, no las funciones fn (X no es en general ordenado). En las condiciones de la definición 7.9, la convergencia uniforme puede interpretarse como la convergencia de puntos en un espacio métrico adecuado: sea B(X, Y ) el conjunto de las funciones acotadas de X en Y y d(f, g) = sup{d(f (x), g(x))} la métrica del x∈X supremo. Sobre Bf (X, Y ) = {g : X −→ Y : d(f, g) < ∞} queda definida una métrica por d(g, h) = sup{d(g(x), h(x))}, y entonces: x∈X Proposición 7.27. {fn }n∈N converge uniformemente hacia f si y sólo si lı́m fn = f en el espacio métrico Bf (X, Y ). Teorema 7.28. Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos, una familia de funciones continuas {fn : (X, d) −→ (Y, ρ)}n∈N y f : (X, d) −→ (Y, ρ). Si {fn }n∈N converge a f uniformemente sobre X, entonces f es continua. Proposición 7.29. (Criterio de Cauchy) Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos,(Y, ρ) completo y una familia {fn : (X, d) −→ (Y, ρ)}n∈N . Existe f : (X, d) −→ (Y, ρ) tal que {fn }n∈N converge a f uniformemente sobre X si y sólo si se satisface la siguiente condición: para cada ε > 0 existe nε tal que si m, n ≥ nε , es ρ(fm (x), fn (x)) < ε para cada x ∈ X. 128 Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados 7.2.2. Algunos teoremas importantes en Análisis Real Sean (X, d) un espacio métrico compacto y C(X, R), el espacio vectorial real de las aplicaciones continuas de (X, d) en (R, du ), provisto de la norma kf k∞ = sup{|f (x)|}. x∈X Nuestro interés es caracterizar los compactos en C(X, R). Sea A ⊂ C(X, R), si A es compacto, entonces es cerrado y acotado, pero estas condiciones no son suficientes, como lo prueba el siguiente ejemplo: sea (X, d) = ([0, 1], du ) y A = {fn : ([0, 1], du ) −→ (R, du ) : fn (x) = xn }n∈N ; A es cerrado y acotado ya que A ⊂ B(0, 1), pero no es compacto pues la sucesión {fn }n∈N no posee subsucesiones convergentes. En efecto, {fn }n∈N converge simplemente hacia χ{1} , con lo que toda subsucesión {fϕ(n) }n∈N converge simplemente hacia χ{1} ; luego, {fϕ(n) }n∈N no puede converger uniformemente hacia una función continua. Definición 7.10. Se dice que A ⊂ C(X, R) es equicontinuo en x0 ∈ X si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para cada f ∈ A, si d(x, x0 ) < δ, es |f (x) − f (x0 )| < ε. Ejemplo 7.3. El conjunto Ak = {f ∈ C(X, R) : |f (x) − f (y)| ≤ kd(x, y)} es equicontinuo. Teorema 7.30. (Teorema de Ascoli) Sea (X, d) un espacio métrico compacto. Son equivalentes: (i) A es compacto en C(X, R), (ii) A es un subconjunto cerrado, acotado y equicontinuo en C(X, R), Demostración: (i) ⇒ (ii) Como A es compacto, es evidentemente cerrado y acotado. Sea ε > 0, como A es compacto, es precompacto, luego existen f1 , . . . , fn ∈ A tales que A ⊂ B(f1 , 3ε ) ∪ · · · ∪ B(fn , 3ε ). Sea x0 ∈ X; como cada fi es continua en x0 , existe δi > 0 tal que si d(x, x0 ) < δi , es |fi (x) − fi (x0 )| < 3ε . Sea δ = mı́n{δ1 , . . . , δn }. Si f ∈ A, existe fi tal que kf − fi k∞ < 3ε , y por lo tanto, si d(x, x0 ) < δ, es |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fi (x)| + |fi (x) − fi (x0 )| + |fi (x0 ) − f (x0 )|, luego |f (x) − f (x0 )| ≤ 2kf − fi k∞ + ε 3 < ε. (ii) ⇒ (i) Como C(X, R) es completo, A es completo, con lo que basta con probar que A es precompacto. Sea ε > 0. Como X es compacto, se puede cubrir por un número finito de bolas abiertas B(x1 , δx1 ), . . . , B(xn , δxn ) donde los δxi se asocian a los xi a través de la equicontinuidad de A (para cada f ∈ A, si d(x, xi ) < δxi , entonces |f (x) − f (xi )| < 4ε ). Como A es acotado, para cada x ∈ X, {f (x) : f ∈ A} posee adherencia compacta en R y por lo tanto el conjunto de los valores de los elementos de A en los puntos x1 , . . . , xn tiene adherencia compacta en R, con lo que se le puede cubrir por un número finito de 7.2. Espacios de funciones 129 bolas abiertas de centros y1 , . . . , yp y radios 4ε . Sea Γ el conjunto de las aplicaciones de {1, . . . , n} en {1, . . . , p}, que es un conjunto finito. Para cada γ ∈ Γ, sea Aγ el conjunto de los f ∈ A tales que |f (xi ) − yγ(i) | < 4ε para i ∈ {1, . . . , n}. Por construcción, los Aγ cubren A; queda sólo por probar que para γ fijo, Aγ está contenido en una bola de radio ε. Sean f, g ∈ Aγ y x ∈ X; existexi tal que d(x, xi ) < δxi y por lo tanto |f (x) − f (xi )| < 4ε y |g(x) − g(xi )| < 4ε . Además, |f (xi ) − yγ(i) | < 4ε y |g(xi ) − yγ(i) | < 4ε , de donde |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − f (xi )| + |f (xi ) − yγ(i) | + |g(xi ) − yγ(i) | + |g(x) − g(xi )| < ε. Como esto es cierto para cada x ∈ X, es kf − gk∞ < ε. Observación 7.10. Se puede reemplazar en el teorema de Ascoli (R, du ) por un espacio métrico completo (Y, ρ), en cuyo caso la condición de “A acotado” debe reemplazarse por “para cada x ∈ X el conjunto {f (x) : f ∈ A} tiene adherencia compacta en (Y, ρ)”. Teorema 7.31. (Teorema del grafo cerrado) Sean (X, d) e (Y, ρ) espacios métricos, (Y, ρ) compacto. Si la función f : (X, d) −→ (Y, ρ) es tal que su grafo Gf es cerrado en el producto (X × Y, D), entonces f es continua. Teorema 7.32. (Teorema de aproximación de Weierstrass) Dada una función continua f : ([a, b], du ) −→ (R, du ), existe una sucesión {pn : ([a, b], du ) −→ (R, du )}n∈N de polinomios, que convergen uniformemente a f en [a, b]. Teorema 7.33. (Teorema de Stone-Weierstrass) Sea (X, d) un espacio métrico compacto y A ⊂ C(X, R) un álgebra de funciones continuas que contiene a las constantes y separa puntos (es decir, para cada x 6= y ∈ X existe f ∈ A tal que f (x) 6= f (y)). Toda función en C(X, R) puede ser uniformemente aproximada por funciones de A. 130 Capı́tulo 7. Espacios vectoriales normados Bibliografı́a Que otros se jacten de las páginas que han escrito; a mı́ me enorgullecen las que he leı́do. “Un lector” Jorge Luis Borges (1899-1986) [ADQ] R. Ayala, E. Dominguez y A. 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