Zcltschrift für Analysts und itire Anwendungen Bd. 8(2) 1989, S. 177-181 Faktorisierung eines Differentialoperators unendlicher Ordnung in verailgemeinerten Ableitungen 1). A. TIMOFEEV Es wird dos Faktorisierungsproblem für den Differentialoperator gelost, der 1965 von A. F. Leontjev eingefuhrt wurde und der den Differentia loperator . von Celfond-Leontjev verallgemeinert. PewaeTcH 3aa q a 4aHTopu3awlu gan AH44epeHLttfaabiioro onepaTopa, BBJüHHOO A. D. JIeoameBl&M B' 1965 roy n.o6o6ivaioiuero oneparop FeJmFoIIa-JLeoHTbeBa.., The problem of factorization is solved for the differential operator, originally presented by A. F. Leontjev in 1965 and generalizing the operator by Gelfond -Leon tjev. 0. Einleitung. Es sei die gewolinliche Differentialgleichung encilicher Orcinung N Ecky"(z) = O (1) k=O mit dent charakterist . ischen Polynoni P, P(2) = co + ci ). + ... + cA", gegeben. Setzen wir voraus, daB P. = P, P, ist, wobei die Polynome P1 und P2 keine gemeinsamen Nulistellen haben durfen, dann kann man jecleLosung y der Gleichung (1) in der Form y = Yi + Y2 darst. ellen, wobei y und Y2 die Lasting von (1) mit dern charakteristischen Polynom P1 uncl P2 ist Ein so1ches Faktorisierungsproblem wurde von Hadanì ard fur die prtieIle Differentialgleichung endlieher Ordnung * N E cDy = 0 IJ=o mit Dy = y1x1' ... formuliert und in [6] VOfl MATSUIJRA gelost. Die Beitrage [3, 8-101 beschaftigten sich mit dem Fa ktorisierungsprohleni für Differentialoperatoren unendlicher Ordnung in gewohnlichen Ableitungen bzw. in Ableitungén von Gelfoncl-Leontjev. Es wurde gezeigt, daB in (liesen FEiIlen im Unterschiecl zu Differentialoperatoren endlicher Orcinung niclit notwendig (lei- Satz (iber die additive Zerlegung der Losung gilt. In diesem Beitrag wii-cl clas Faktorisierungsproblem für den von LEONTJEV [2] eingefiihrten Differentialoperator gelost. Dieser Operator veraligemeinert den Differentialoperator von Gelfoncl-Leontj ev. 1. Formulierung des Hauptsatzes. Wit, bezeichnen mit [, oo) den Raum der ganzn Funktionen von der Orcinung p,, die einen beliebigen endlichen Typ besitzen. Es ist bekannt, daB [a ' , oo) = Jim md B, mit o<,< B, = IF E H(C): II F !I, = sup M(F, r) O<r<oo ist. Es sei /(z) = !' az' exp [— rr] <4,I = max F(z)I IzJr clue gauze Funktion mit positiven Koeffizienten, die der Be- Der Autor dankt Prof. Dr. W. Tutschke und Dr. M. Reissig lung des Beitrages. 1) 12 M(F, r) Analysis Bd. 8, Heft 2(1989) für die Hilfe bei der Fertigstel. 178 A. TIIeOFEEV dingung n 1/Q Fa. (a e)" mit 0 < < Q, für n —* co genügt. Der Differentialoperator von Gelfond-Lontjev D, wird auf folgende Weise definiert: 00 D1F(z) E bk+ l k=0 k k z ak+1 fur F(z) = 00 b,z". (2) k=O Für f(z) = ez erhalten wir den gewohnlichen Differentialoperator: DF = Y. Es sei em System ganzer Funktionen P = {P}..0 mit folgenden Eigenschaften gegeben: (3) für ein gewisses 1. 1 P ( z )1- Ca(1 + 1^1) n exp (B zI) und positive KonstantenC und B. Jede Funktion F E [, oo) ist in der ganzen Ebene C in der Form F(z) 2. = d,P() clarsteilbar, wobei (4) fur jedes R> R0 unci n E N O Iadj <coRM(F, yR) und R. gilt. Die positiven Konstanten co und y sind unabhängig von F Diesen Bedingungen genUgen zum Beispiel (lie Po1ynomevon Faber und die von Fage angegebenen Basisfunktionen. Der dem System P entsprechende Operator von Leontjev wird durch die Beziehung (5) dk+lPk(z) DF(z) k=0 gegeben. Wãhlën wir Pk(z) = ak z ", so erhalten vir als Spezialfall den Operator (2). Es sei L E [02' 0], L(2) = E ck,, eine ganze Funkt.ion der Ordnung Q,' = (o - e) mit dem Typ 0. Wenclen wir uns der Gleichung jJ1L(F):=XckD"F=O (6) , mit D k = D(D') und D°'= I (identischer Operator) zu, dann kann man leicht zeigen, daB (lie Reihe hierin für jede Funktion F E [, oo) konvergiert. Setzen wir zuL1L2 mit L1 , L2 E [02' 0] ist, so gilt folgender Satz. sät. zlich voraus, daB L Satz 1: Jede Losung F E [, oo) der Gleichung AL( F) = 0 kann man damn -und nur dann in der Form (7) (j= 1;2) F = F1 + F2 mit J1tL,(FJ ) = 0 darstellen, wenn Funktionen T,, 9 2 E [02' 01 mit folgender Eigenschajt existieren: (8) , ' 1 = L1q 1 + L 2ip2 . 2. lEinige Hulfsbetrachtungen. Als Hilfsmittel für den Beweis von Satz 1 , benotigen wir die folgende in [9] bewiesene Aussage für Differentialgleichungen unendlicher Ordnung in Ableitungen von Oelfond-Leontjev (2). 'Sat z 2: Es sei die Gleichung A1,(F) E CkD/ F .= 0 - (9) mit der charakteristischen Funktion L E [02, 01, L(A) =Ck Ak, gegeben. Jede ihrer Losungen F E [s ' , oo) ist genau dann in der Form = - ' 1 + -'2 mit .äL(Pj) = 0 U = 1, 2) mit der Eigenschaft, (8) exi-stieren. darsteilbar, wenn Funktionen T,, 992 E [021 01 Tm folgenden untersuchen wir die Eigenschaften der Operatoren D und CAlL. Faktorisierung eines Differentialoperators 179 Definiert man den Operator c.4 durCh itF(z) ='daz" für F E [o,00) mit F(z) =dP(z), L" dann gilt für den inversen Operator 4 (lie Beziehung d - 00 00 ' — fl- P,(z) 4- IF(z) für F E [, co) mit F(z) = ' d,z". n = o an n=O Unter Berücksichtigung von (3) uncl (4) beweist man die Stetigkeit der Operatoren 4 und ,4 1 jn [ci, oo), sjehc z. B. [7]. Atis der leicht ersichtlichen Tdentitat . 11D = DiL erhalten wir für jede Funktion F € oo) die Beziehung /J1L (F) = JiL(c.4F).'. (11) •Wir beweisen nun noch den für den folgenden Abschnitt wichtigen Hilfssatz: Es sëien /1,/2 E [, 01 und auch / E [2 01. / := /1//2 eine ganze Funklion. Dann ist - Beweis: Wir stützen uns auf die Methode der Monographie [5]. Nach deren Sat?. 4.3 existiert cine Folge von Kreisen T'k = {zE (C: jzj = rk} mit rk -±oo, Tk < qr._1 für cin q > 1 und mit der Eigenschaft, daB es fiir.jedes e > 0 eine Zahi k0(e) mit /2 (z)I > exp (— e I z I') für z E Pk und k > ko(e) gibt. lDarausfolgt It( z )I < exp (s IZjQ') für z €"k' k> k1 (s) ^! k0 (e). Wir betrachten jetzt eine beliebige komplexe Zahi z mit Iz > rk. 1)ann gibt es einen Kreisring rk.. ;5; jzj < rk, k > k1 ; der den Punkt z enthält. Nach deni Maximumprinzip für holomorphe Funktionen gilt I/(z)I max {J/(t)I: I tl r} < exp (erk). Wegen rk < qr_ 1 q IzI folgt daraus I/(z)I <.exp (e q1- z I . ) . (12) . €[02, 0] • 3. Beweis von Satz 1. Es sei (8) erfiillt. Dann erhalten wir unmittelbar aus Satz 2 die additive Zerlegung (10) jeder Losung F €[, 00). Falls F Losung der Gleichung (6) ist, ergibt sich sofort F = c/IF als Losung der Gleichung (9). Wegen (10) ist F = 44 = 4-'P1 ± c4'F 2 = F1 + F2 , wobei I11L,(F) = cit'.ftL,(P j ) = 0 (j = 1, 2) gilt. Also ist die Bedingung (8) hinreichend für (7). Sic ist aber auch notvendig. Dazu setzen wir voraus, daB jede Losung FE [, oo) der Gleichung (6) in der Form (7) darstellbar ist. Für jede beliebige Losung F der Gleichung (9) ist wegen (11) F = 4-'F Losung der Gleichung (6). Unter Anwendung von (7erhalten wir P = c/IF 4F1 + c/IF2. = F1 + F 2 , wobei cA( L ,(F,) = 0 (j = 1, 2) '9 ilt. Nach Satz 2 folgt daraus (8) Weil dies für beliebiges E > 0 gilt, ergibt sich / I Die bekannte Metkiode von LEONTJEv(siehe [3]) sowie der obige Hilfssatz und Satz 1 lieférn folgende Aussage. Satz 3: Es sei L = L, ... Lm mit L, E [02, 0] (1 m). Dann i/t sich jede j Losung F cx)) der Gleichung (6) dann und nur dan,i in der Form F. = F1 + + Fm mit cJJI L,(Fj ) = 0 (1 :!^: j ^5 m) darsteflen, wenn Funktionen 9'i, ..., €[0 0] mit der Eigenscha/t 1 = N11 + ... + Nmpm und 1V . .= L/L, (1 j m) existieren. ' Bemerkung: Wie Satz 3 aus [11] (siehe auch [10]) zeigt, ist die Bedingung (8) äquivalent dazu, (laB A(e) exp (— e I),I') (13) L1 ().)I + J L 2001 für beliebiges e> 0-und eine gewisse Konstante A(e) ist. 12 180 A. TrMOFEEV 4. Beispiele. Das Dargelegte soil durch einige Beispiele illustriert werden. a) Wir setzen voraus, daB L1 und L2 Polynome ohne gerneinsame Nullstellen sind. Dann 1st der Operator JtL 1 L, von' endlicher Ordnung. Weiterhin wissen wir, daB jede Losung T. der Gleiëhung (6) in der Form Nmk— I F(z) = aiI 2; 2; — ; ( 2; k=1 j=O \n=o Lak darstellbar let, wobei mk (k.= 1.... . N) die Vielfachheit der, Nullatelle AL. des Polynoms L1L2 ist. Daraus folgt, daB (7) gilt. -b) Es sei{Ak}. l eInemonotonwachsendeFolge von nichtnegativenZahlen, die derEighschaft n/Api -+0 für n -- oo (Q2> 1) (14) genügt. Aul3erdem sei m > Lo, eine natürliche ZahI. Vir setzen voraus, dal3 sich die Kreise (z: Iz - AE k I dA' o. } (k = 0..... m - 1; n IN) mit E = exp (2ii/m) und einem gewissen d> 0 nicht schneiden. Wir betrachten jetzt die ganze Funktion L = L 1 L 2 mit L(A)H (1 - ).m/(A')m), 12() = 11 (1 — Am/(A')1fl ) ( 15) und {} = (A,'} u {A"}. Aus (14) folgt unmittelbar L1 , L2 , L E 1e2, 0]. Nach Satz 1.2.7 aus [4] 1st ILz 'E k )I > exp (_6 JA'Ii) (k = 0, ..., rn — 1; n > n0 (6)). Satz 7 aus [1: S. 36] (siehe auch,[4: S. 49]) sichert die Existenz ciner Funktion'lP E [p2' 01 mit der Eigenschaft (A'Ek) = 1IL2( ' E k ) ( k = 0, ..., m — 1; n €N). Damit erhalten wir das Verschwinden der' Funktion 99L2 — 1 in alien Nulistellen von'L 1 und daraus sofort, daB V = (L2 — 1)/L1'eine ganze Funk. tion ist. Nach dem Hilfsatz 1st p €[ es' 01, und damit ist (8) erfüllt. c) im letzten Beispiel wollen wir zeigen, daB auch Funktionen L1 , L2 €[p2' 0] existieren, für welche keine Funktionen TV T2 E 102' 01 mit (8) gefunden werden können. Dieser Art sind z. B. die Funktionen (15) mit).k' = k2I Q., At" = k2I o ± 6L und 6 =exp (— k3). Angenommen die Vermutung ist falsch. Dann folgt aus (13) mit einer positiven Konstanten A(e) A(s) e x p JAk'(Q'i. ' . (16) 1iVegen L2' €102' 01 erhalten wir — . A k'J A 1 (e) exp (a IAk"I), = •L 2 '(0 dt 5 JAL" und mit (16) folgt daraus A" — Ak'I exp (2e IAk"j ei) > A 2 (e) > 0. Dieser Widerspruch beweist die Gültigkeit der Vermutung. LITERATUR [1] JIEOHIbEB, A. ED.: Phi nORHROMOB ,L(upexie u nx o6o6u4eH14n. MocKBa: H3-Bo HayHa 1951. .: 06 O5HOM (y111IH0HaJIbII0M ypaBileilnu. 143B. AHa HayK CCCP, [2] IIEOHTbEB, A. ' Cep. MaT., 29 (1965), 725-756. .: 06 05}IOM npIaMeHeuuu UHTCPI10JIHULI0HHOFO MeToa. Ma'r. 3aMeTIu1 [3] JIEolITb' Eo, A. ' IS (1975), 735-752. [4] JIE0HTbEB, A. (1).: Pnj,i 3Kdn0HeI1T. MocKBa: Has-no HayHa 1976. [5] JIEOHmEB, A. (D.: . LeJiL1e (jyHK[nu. I'n5b1 aFdnoHeHT .Mocna: Fla-o Hayia 1983. [6] MATZUURA, S.: Factorization of differential operators and decomposition of homogeneous equations. 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Manuskripteingang: 18. 01. 1988 VERFASSER Dr. ALEXEJ TIMOFEEV Lehrstuhl fur Hohere Mathematik der Staatlichen Universität Oktjabrskij prospekt 55 TJdSSR . 167001 Syktywkar Buchbesprechung, A. PETSC1L: Eigenvalues and s-Numbers (Math. u. Anw. ' in Phys. u. Techn.: Bd. 43). Leipzig: Akad. Veriagsges. Geest & Portig 1987, Pp. 360. Nach "Operator Ideals" Iiegt mit diesem Buch eine neuc Monographic von A. Pietsch vor, die auch inhaitlich als eine Fortsetzung angesehen werden kann. Von den im ersten Buch ange. deuteten Anwendungen der Theorie der Operatorenidealo erweisen sich deren Begriffe und Methoden besonders im Zusammenhang mit Untersuchungen uber'Eigenwertverteilungen von Integraloperatoren als überaus fruchtbar.' Durch die Arbeiten einer Reihe von Autoren sind in den letzten zehn Jahren viele neue und wertvolle Ergebnisso gefunden worden, 80 daB sich inzwischen eine gehaltvolle eigenständige Theorie entwickelt hat, zu der Cs bisher nur ein Buch (H. König: Eigenvalue Distribution of Compact Operators. Basel: Birkhauser Verlag 1986) gab. Anliegen des Autors ist es, eine geschlossene Darstellung dieser Resultate zu bringen und aufbauend auf eigenen Ergebnissen - eine einheitliche Theorie zu präsentieren.' Dies gelingt auf eine uberzeugende Weise. Konsequent wird der gesamte Stoff streng deduktiv aufgebaut und formalisiert. Das führt zu einer starken Algebraisierung der Darstellung, durch die die durchgehenden und Beweisideen klar herausgearbeitet werden können. Diese Konsequenz ist auch deutlich im Stil des gesamten Buches zu spiiren, der durch seine nahezu perfekte' Okonomie auf den ersten Blick vielleicht recht troeken wirkt. So lesen sich manche Teile wie ein Kursbuch, wenn umfangreiche Beweise in selbstiindige, mehrfach nutzbare Lemmat mit eigenstandigen Aussagen zerlegt werden, die anschliel3end der Reihe nach aufgerufen werden.