Mecanica

TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC MECANICA I STATICA şi CINEMATICA PROBLEME REZOLVATE ω2 O1 ω1 R R2 CLUJ-NAPOCA, 2012 1 Reducerea forţelor Capitolul de reducerea forţelor este important deoarece stă la baza tuturor aspectelor care privesc echilibrul sistemelor materiale. Cu ajutorul cunoştinţelor din acest capitol se pot determina: a) condiţiile în care un sistem material stă în echilibru; b) modul în care poate fi modificat sistemul de forţe ce acţionează asupra unui sistem material astfel încât acesta să rămână în echilibru. Exemple Asupra unui cub de latură a acţionează, conform figurii, un sistem de forţe având mărimile F1 = F2 = P , F3 = 2⋅ P ⋅ 2 şi F4 =3⋅ P . Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu punctul O şi să se determine apoi momentul minim şi ecuaţiile axei centrale. ------------------------------------------------------F4 a F1 F2 A2 (0,a,0) F3 A1 A 3(a,0,0) F1 F3 ( a M min = a 4 4 i =1 i =1 R x = ∑ F ix ; R y = ∑ F iy ; R z = ∑ F iz ; ) M min = 4 4 4 i =1 i =1 i =1 i =1 4 4 i =1 i =1 ( Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: Fix F iy Fiz x i y i z i i=1 i=2 i=3 i=4 0 0 0 0 -2P 2P 0 -3P P P 0 0 a 0 a 0 0 a 0 0 0 0 0 a M x ⋅R x + M y ⋅R y + M z ⋅R x R x2 + R y2 + R z2 = M O ⋅R . 4 ⋅ a ⋅ P ⋅ ( − 2 ⋅ P )− a ⋅ P ⋅ ( − P )+ 2 ⋅ a ⋅ P ⋅ 2 ⋅ P R 3⋅ P M min = − a ⋅ P . ; c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea: M x − y⋅R z + z⋅R y = M y − z⋅ R x + x⋅ R z = M z − x⋅ R y + y⋅ R x . 4 ⋅ a ⋅ P − y ⋅ 2 ⋅ P + z ⋅ ( − P ) − a ⋅ P − z ⋅ ( −2 ⋅ P )+ x ⋅ 2 ⋅ P 2 ⋅ a ⋅ P − x ⋅ ( − P )+ y ⋅ ( −2 ⋅ P ) . = = 2⋅ P − 2⋅ P −P Rx Ry Rz Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa R R Rz centrală: ) M x = ∑ y i ⋅ F iz − z i ⋅ F iy ; M y = ∑ ( z i ⋅ F ix − x i ⋅ F iz ); M z = ∑ x i ⋅ F iy − y i ⋅ F ix . 4 M O = 4 ⋅ a ⋅ P ⋅i − a ⋅ P ⋅ j + 2 ⋅ a ⋅ P ⋅ k . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului. Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: R = R x2 + R y2 + R z2 = 3⋅ P ; M O = M x2 + M y2 + M z2 = a ⋅ P ⋅ 21 . a F2 R = R x ⋅i + R y ⋅ j + R z ⋅ k = ∑ F i ; M O = M x ⋅ i + M y ⋅ j + M z ⋅ k = ∑ r i × F i , unde: R = −2 ⋅ P ⋅i − P ⋅ j + 2 ⋅ P ⋅ k ; b) Momentul minim este dat de relaţia În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant: A 4(0,0,a) a a F4 Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O: R x = −2 ⋅ P ; R y = − P ; R z = 2⋅ P ; M x = 4 ⋅ a ⋅ P ; M y = − a ⋅ P ; M z = 2 ⋅ a ⋅ P . Ry ⎧ 4 ⋅ a − 2 ⋅ y − z = −2 ⋅ a + 4 ⋅ z + 4 ⋅ x ; ⎨ ⎩ 2⋅ a − 4⋅ z − 4⋅ x = 2⋅ a + x − 2⋅ y M min ⎧ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y + 5⋅ z − 6 ⋅ a = 0 . ⎨ ⎩ 5⋅ x − 2 ⋅ y + 4 ⋅ z = 0 Rx MO r Mz P P0 (2/3a, 5/3a, 0) My Mx M min axa centrala fiind definită de rezultantă: ( Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului PO în care axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei P0 2 ⋅ a , 5 ⋅ a , 0 3 3 ). 1 Se consideră un cub de latură a asupra căruia acţionează forţele F1 = F 2 = F ⋅ 2 şi momentul M C = 2⋅a ⋅ F ⋅ 2 , orientate ca în figură. Să se reducă sistemul de forţe dat în raport cu MC a punctul O şi să se determine apoi momentul minim a şi ecuaţiile axei centrale. -------------------------------------------------------------În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. A2(0,0,a) a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul F 2 r2 O revine la a calcula torsorul de reducere al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format din A1 (0,0,0) F1 vectorul rezultant şi din vectorul moment rezultant: F2 a a MC a F1 adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului. Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: R = R x2 + R y2 + R z2 = F ⋅ 6 ; M O = M x2 + M y2 + M z2 = 3⋅ a ⋅ F ⋅ 2 . b) Momentul minim este dat de relaţia M min = M min = i =1 i =1 R x = ∑ F ix ; R y = ∑ F iy ; R z = ∑ F iz ; ( 2 2 2 i =1 i =1 i =1 ) M x = M Cx + ∑ y i ⋅ F iz − z i ⋅ F iy ; 2 i =1 ( = M Cy + ∑( z i ⋅ F ix − x i ⋅ F iz 2 M y M z = M Cz + ∑ x i ⋅ F iy − y i ⋅ F ix 2 i =1 ). i =1 ); M C = M Cx ⋅i + M Cy ⋅ j + M Cz ⋅ k = −2 ⋅ a ⋅ F ⋅i + 2 ⋅ a ⋅ F ⋅ j . Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: Fix F iy Fiz x i y i z i F 0 F 0 0 0 i=1 F F 0 0 0 a i=2 Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O: R x = 2 ⋅ F ; R y = F ; R z = F ; M x = −3⋅ a ⋅ F ; M y = 3⋅ a ⋅ P ; M z = 0 . R = 2 ⋅ F ⋅i + F ⋅ j + F ⋅ k ; + R y2 Rx = −3⋅ a ⋅ F − y ⋅ F + z ⋅ F 2⋅ F 2 unde: R x2 M x − y⋅R z + z⋅R y R = R x ⋅i + R y ⋅ j + R z ⋅ k = ∑ F i ; M O = M x ⋅i + M y ⋅ j + M z ⋅ k = M C + ∑ ri × F i , M x ⋅R x + M y ⋅R y + M z ⋅R x + R z2 M min = − R = . − 3⋅ a ⋅ F ⋅ 2 ⋅ F + 3⋅ a ⋅ F ⋅ F + 0 ⋅ F 3⋅ a ⋅ F 6 F⋅ 6 ; . c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea: 2 a M O ⋅R M y − z⋅ R x + x⋅ R z = Ry = M z − x⋅ R y + y⋅ R x Rz 3⋅ a ⋅ F − z ⋅ 2 ⋅ F + x ⋅ F 0 − x ⋅ F + y ⋅ 2 ⋅ F = F F . . Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa (-7/2a, 2a, 0) M P 0 min centrală: Mx P R M y MO r axa centrala ⎧ − 3⋅ a − y + z = 6 ⋅ a − 4 ⋅ z + 2 ⋅ x ; ⎨ ⎩ 3⋅ a − 2 ⋅ z + x = − x + 2 ⋅ y ⎧ 2 ⋅ x + y − 5⋅ z + 9 ⋅ a = 0 ⎨ ⎩ 2 ⋅ x − 2 ⋅ y − 2 ⋅ z + 3⋅ a = 0 R Rz Rx M min . Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului PO în care axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: P0 − 7 ⋅ a , 2 ⋅ a , 0 . 2 Ry ( ) M O = −3⋅ a ⋅ F ⋅i + 3⋅ a ⋅ F ⋅ j . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, 2 Asupra prismei rigide din figură acţionează un sistem de cinci forţe F1 = F2 = F3 = F 4 = P şi F5 F5 = P ⋅ 2 . F4 Să se reducă sistemul de forţe dat în raport a cu punctul O şi să se determine apoi momentul F1 2a minim şi ecuaţiile axei centrale. F2 ------------------------------------------------------În prealabil se precizează punctele de aplicaţie ale forţelor şi coordonatele acestora, ţinând seama de caracterul de vector alunecător al forţei. a) A reduce sistemul de forţe în raport cu polul O revine la a calcula torsorul de reducere A3 A 5 (0,0,a) al acestuia, în raport cu acest pol, torsor format F3 F5 din vectorul rezultant şi din vectorul moment F4 A 4(0,0,0) rezultant: a F3 R = R x ⋅i + R y ⋅ j + R z ⋅ k = ∑ F i ; a a F1 ( M min = ) i =1 4 i =1 i =1 i =1 4 ( i =1 ) Se întocmeşte următorul tabel centralizator cu mărimile de calcul: Fix F iy Fiz x i y i z i 0 P 0 2a 0 0 i=1 0 0 P 2a 0 0 i=2 P 0 0 0 0 a i=3 0 0 P 0 0 0 i=4 0 P -P 0 0 a i=5 Aplicând formulele de calcul, se obţin elementele torsorului de reducere în raport cu polul O: R x = P ; R y = 2⋅ P ; R z = P ; M x = − a ⋅ P ; M y = − a ⋅ P ; M z = 2⋅ a ⋅ P . R = P ⋅i + 2⋅ P ⋅ j + P ⋅k ; + R z2 M min = − = . − a ⋅ P ⋅ P − a ⋅ P ⋅ 2⋅ F + 2⋅ a ⋅ P ⋅ P a⋅ P 6 P⋅ 6 ; . = M y − z⋅ R x + x⋅ R z Ry = M z − x⋅ R y + y⋅ R x Rz . − a ⋅ P − y ⋅ P + z ⋅ 2⋅ P − a ⋅ P − z ⋅ P + x ⋅ P 2⋅ a ⋅ P − x ⋅ 2⋅ P + y ⋅ P . = = 2⋅ P P P i =1 4 + R y2 M x − y⋅R z + z⋅R y 4 4 R x2 R c) Expresia analitică a axei centrale este următoarea: M O = M x ⋅i + M y ⋅ j + M z ⋅ k = ∑ ri × F i , R x = ∑ F ix ; R y = ∑ F iy ; R z = ∑ F iz ; M O ⋅R M x ⋅R x + M y ⋅R y + M z ⋅R x Rx M x = ∑ y i ⋅ F iz − z i ⋅ F iy ; M y = ∑ ( z i ⋅ F ix − x i ⋅ F iz ); M z = ∑ x i ⋅ F iy − y i ⋅ F ix . i =1 M min = i =1 4 4 b) Momentul minim este dat de relaţia 4 2a F2 A1 A 2(2a,0,0) unde: momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului. Scalarii celor doi vectori care alcătuiesc torsorul de reducere sunt: R = R x2 + R y2 + R z2 = P ⋅ 6 ; M O = M x2 + M y2 + M z2 = a ⋅ P ⋅ 6 . Egalând două câte două din şirul de rapoarte egale, se obţin ecuaţiile celor două plane care se intersectează după axa MO Mz centrală: My Mx R M min Rz P0 (2/3a, -5/6a, 0) R M min Rx ⎧ − 2⋅ a ⋅ P − 2⋅ y ⋅ P + z ⋅ 4⋅ P = − a ⋅ P − z ⋅ P + x ⋅ P ; ⎨ ⎩ − a ⋅ P − z ⋅ P + x ⋅ P = 4⋅ a ⋅ P − x ⋅ 4⋅ P + 2⋅ y ⋅ P ⎧ x + 2 ⋅ y − 5⋅ z + a = 0 ⎨ ⎩ 5⋅ x − 2 ⋅ y − z − 5⋅ a = 0 Ry . Pentru z=0, din aceste ecuaţii se pot afla coordonatele punctului PO în care axa centrală înţeapă planul xOy, direcţia ei fiind definită de rezultantă: P0 2 ⋅ a , − 5 ⋅ a , 0 . 3 6 axa centrala ( ) M O = − a ⋅ P ⋅i − a ⋅ P ⋅ j + 2⋅a ⋅ P ⋅k . Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele 3 M min = F2 F1 =0 M O ⋅R = M x ⋅R x + M y ⋅R y + M z ⋅R z =0 . F3 A1 (0,0,0) R a adică c A 2 (0,0,c) M O ⋅R c Asupra unui paralelipiped având F2 dimensiunile a, b, c acţionează, ca în figură, un sistem de forţe F1 = F2 = P şi F3 = 2⋅ P . Să se găsească relaţia dintre lungimile a, F3 b şi c pentru ca sistemul de forţe să se F1 reducă la o rezultantă unică. b ----------------------------------------------------Condiţia ca un sistem de forţe să se reducă la o rezultantă unică este ca momentul minim să fie nul: a Se observă ca, pentru a putea impune condiţia de rezultantă unică, este necesar să A 3(a,b,0) b determinăm componentele torsorului de reducere în raport cu polul O. Cu ajutorul tabelului centralizator de proiecţii şi coordonate puncte de aplicaţie ale forţelor din sistem, se obţin: R x = ∑ F ix = P ; R y = ∑ F iy = P ; n n Fix i=1 i=2 i=3 F iy P 0 0 0 P 0 Fiz 0 0 2P xi 0 0 a yi 0 0 b zi 0 c 0 i =1 i =1 R z = ∑ F iz = 2 ⋅ P ; n ( i =1 ) M x = ∑ y i ⋅ F iz − z i ⋅ F iy = ( 2 ⋅b − c )⋅ P ; n ( i =1 ) M y = ∑( z i ⋅ F ix − x i ⋅ F iz )= −2 ⋅ a ⋅ P ; M z = ∑ x i ⋅ F iy − y i ⋅ F ix = 0 . n n i =1 i =1 Obs. Acest rezultat poate fi obţinut direct, fără a utiliza tabelul şi relaţiile de calcul. Pentru aceasta este suficient să observăm poziţia relativă forţelor în raport cu sistemul de referinţă şi să considerăm componentele momentului rezultant în raport cu polul O ca momente axiale ale forţelor, adică potenţiale capacităţi de rotaţie în jurul axelor acestui sistem. Semnul momentelor axiale este dat de regula burghiului. Înlocuind în condiţia de rezultantă unică, se obţine: ( 2⋅b − c )⋅ P ⋅ P − 2⋅ a ⋅ P ⋅ P = 0 , deci relaţia între lungimi pentru ca sistemul de forţe să se reducă la o rezultantă unică este: c =2 ⋅ ( b − a ) . 4 Determinarea analitică a poziţiei centrului de greutate Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor privind calculul poziţiei centrului de greutate sunt următoarele: a) în funcţie de datele problemei, se alege formula de calcul; Mediu Proprietăţile şi forma corpului Omogen Neomogen UniBiTridimensional dimensional dimensional ∑ ri ⋅ m i n Discontinuu Continuu rC = i =1 rC = ∑mi n i =1 ∫ r ⋅ dm ∫ dm ∑ ri ⋅l i n rC = i =1 rC = ∑l i n i =1 ∫ r ⋅ dl ∫ dl ∑ ri ⋅ A i n rC = i =1 rC = ∑ Ai n i =1 ∫ r ⋅ dA ∫ dA ∑ ri ⋅V i n rC = i =1 rC = ∑V i n i =1 ∫ r ⋅ dV ∫ dV b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) în cazul mediului discontinuu: 9 se împarte corpul în figuri geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale după caz; 9 pentru fiecare figură geometrică simplă componentă se calculează coordonatele centrului de greutate în raport cu acelaşi sistem de referinţă, precum şi masa, lungimea, aria sau volumul, după caz; 9 se aplică relaţiile scalare de calcul; d) în cazul mediului continuu: 9 se alege convenabil un element infinitesimal de masă, lungime, arie sau volum, după caz; 9 se aplică relaţiile scalare de calcul. 5 În cazul segmentelor de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se C calculează distanţele Exemple xC = O3 a yC = C3 x C2 ∑ y i ⋅l i 2α ∑ z i ⋅l i xC = 4 ; zC = i =1 ∑l i 4 i =1 i =1 ∑l i 4 , i =1 zi li a a 2 0 a a 2 a 0 a a − O 3 C 3 ⋅ cos 45 o a − O 3 C 3 ⋅sin 45 o 2 ⋅π ⋅ a 4 y 1 ⋅ l 1 + y 2 ⋅ l 2 + y 3 ⋅ l 3 + y 4 ⋅l 4 a 0 a OC 4 ⋅cos 45 o 0 OC 4 ⋅sin 45 o 2 ⋅π ⋅ a 4 = l1 +l 2 +l 3 +l 4 5 xC = ⋅a 2⋅( 2 + π ) ; = = , OC 4 =a ⋅ sin 45 = π o π π a + a + a⋅ + a⋅ π π 4 a π 2 π a ⋅ a + ⋅ a + +0 ⋅ a ⋅ + a ⋅ ⋅ a ⋅ π 2 2 2 2 a 2 ⎛ ⋅ a + a ⋅ a + a ⋅ ⎜ 1− π 2 ⎝ 2⋅ a ⋅ 2 ; 2 ⎞⋅ a ⋅ π + 0⋅ a ⋅ π ⎟ 2 ⎠ 2 π ; π π a + a + a⋅ + a⋅ ; a + a + a⋅ + a⋅ 2 2 π π π 2 0 ⋅ a + 0 ⋅ a + a ⋅⎛⎜ 1− ⎞⎟ ⋅ a ⋅ + a ⋅ ⋅ a ⋅ 2 2 ⎝ π ⎠ 2 π +1 ⋅ a yC = ; 2⋅( 2 + π ) zC = 2 π 2 2⋅( 2 + π ) ⋅a . . Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru segmentul de cerc poate fi obţinută tratând conturul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă: ∫ x ⋅ dl xC = ; dl ∫ dl unde C dl = R ⋅ dϕ ; x = R ⋅ cosϕ . R sinα α Rezultă R yi l1 +l 2 +l 3 +l 4 l1 +l 2 +l 3 +l 4 π 4 x 1 ⋅l 1 + x 2 ⋅l 2 + x 3 ⋅l 3 + x 4 ⋅l 4 z 1 ⋅l 1 + z 2 ⋅l 2 + z 3 ⋅l 3 + z 4 ⋅l 4 zC = 2⋅ a ⋅ 2 dϕ ϕ xi yC = = a π = Rezultă unde x i , y i , z i , l i reprezintă coordonatele, respectiv lungimea fgurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule. C1 a ; sin 45 o 2α y z C4 ∑l i 4 O 3 C 3 =a ⋅ α R sin α 4 i =1 a C i =1 = ∑ x i ⋅l i 4 a a Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, spaţial, unidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma R Să se determine poziţia centrului de greutate al conturului omogen din figură. ------------------------------------------------------- α x xC = x C = R⋅ ∫ R ⋅ cosϕ ⋅ R ⋅ dϕ −α sin α α α ∫ R ⋅ dϕ −α α = R⋅ ∫ cosϕ ⋅ dϕ −α α ∫ dϕ −α . 6 ∑ x i ⋅ Ai 3 ∑ Ai 3 ; yC = ∑ Ai 3 a 2a , unde x i , y i , Ai reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule. C a 2a y i =1 i =1 C3 C2 a a x Ai a a 4⋅ a 2 2a 2 R sinα Rezultă α 3 x OC 2 ⋅ cos 45 o a 2a 2 ⋅2⋅ a 3 OC 2 ⋅sin 45 o 2 a + ⋅a 3 1 ( − ) ⋅π ⋅ a 2 4 ( − ) 1 ⋅ 2 ⋅ a⋅ a 2 ; ; 2 2 x = ⋅ R ⋅ cosϕ . 3 C 2a a dϕ ϕ yi = xi a ⋅4⋅a 2 − Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă: ∫ x ⋅ dA 2R xC = ; 3 dA ∫ dA unde 1 dA = ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ ; R 2a . 4⋅ a 1 4⋅ a 2 ⋅ ⋅π ⋅ a 2 − ⋅a 3⋅π 4 3 xC = = 1 A1 − A 2 − A 3 4 ⋅ a 2 − ⋅π ⋅ a 2 − a 2 4 4⋅a 1 5 2 a ⋅4⋅a − ⋅ ⋅π ⋅ a 2 − ⋅ a ⋅ a 2 y 1 ⋅ A1 − y 2 ⋅ A 2 − y 3 ⋅ A 3 3⋅π 4 3 yC = = 1 A1 − A 2 − A 3 4 ⋅ a 2 − ⋅π ⋅ a 2 − a 2 4 28 8 xC = ⋅a ; y C = ⋅a . 3⋅ (12 − π ) 12 − π x 1 ⋅ A1 − x 2 ⋅ A 2 − x 3 ⋅ A 3 3 i =1 C1 Rezultă 2α xC = i =1 ∑ y i ⋅ Ai 2 sin 45 o 4 ⋅ a ⋅ 2 OC 2 = ⋅ a ⋅ = π 3 3⋅π 4 2a Să se determine poziţia centrului de greutate pentru placa omogenă din figură. ------------------------------------------------------------Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de greutate sunt de forma α xC = 2 1 ∫ 3 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ −α α 1 ∫ 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ −α sin α 2 x C = ⋅ R⋅ . α 3 α ∫ cosϕ ⋅ dϕ −α 2 = ⋅ R⋅ α 3 ∫ dϕ −α R În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se C calculează distanţa 2α = 2 R sinα α 3 2R 7 xC = x 1 ⋅ A1 + x 2 ⋅ A 2 − x 3 ⋅ A 3 R Să se determine poziţia centrului de greutate 2R pentru placa omogenă din figură. ------------------------------------------------------------Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi 2R R omogen, formulele pentru calculul C C1 coordonatelor centrului de greutate sunt de C3 O2 forma A1 + A 2 − A 3 yC = A1 + A 2 − A 3 ∑ Ai 3 3 ; yC = i =1 i =1 ∑ Ai , 3 i =1 0 R −R R R π ⋅( 2⋅ R ) 2 8⋅ R 3⋅π π ⋅R 2 4⋅ R 3⋅π ( − )π ⋅ R π ⋅R 2 − π ⋅R 2 2 ⋅π ⋅ R + yC = ; π 2 ⋅R 2 . α xC = 2 1 ∫ 3 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ −α α 1 ∫ 2 ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ −α sin α 2 x C = ⋅ R⋅ . α 3 2 2 2 2 x = ⋅ R ⋅ cosϕ . 3 C x 2 ; 2 2 R sinα Rezultă α 3 2 4⋅ R − 3⋅π = 2 dϕ ϕ 2R = unde x i , y i , Ai reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule. Ai xi yi ; Obs. Relaţia ce defineşte poziţia centrului de greutate pentru sectorului de cerc poate fi obţinută tratând sectorul ca un mediu continuu şi aplicând formula în consecinţă: ∫ x ⋅ dA 2R xC = ; 3 dA ∫ dA unde 1 dA = ⋅ R ⋅ R ⋅ dϕ ; R xC = i =1 ∑ y i ⋅ Ai 2 8⋅ R 4⋅ R π ⋅ R 2 4⋅ R π ⋅ R 2 ⋅ ⋅ − ⋅ 2 ⋅π ⋅ R 2 − 3⋅π 2 3⋅π 2 3⋅π R xC =− 2 2α 3 x R ∑ x i ⋅ Ai 2 π ⋅R 2 − π ⋅R 2 2 ⋅π ⋅ R + 2 y 1 ⋅ A1 + y 2 ⋅ A 2 − y 3 ⋅ A 3 R C2 π ⋅R 2 − R⋅π ⋅R 2 2 y O3 = 0 ⋅ 2 ⋅π ⋅ R 2 − R ⋅ α ∫ cosϕ ⋅ dϕ −α 2 = ⋅ R⋅ α 3 ∫ dϕ −α 2 R În cazul sectorului de cerc, se poate apela la tabelele de geometria maselor care oferă relaţiile de calcul a poziţiei centrelor de greutate pentru forme geometrice regulate uni-, bi- sau tridimensionale, ca în figură. Cu ajutorul acestei formule, în care unghiul α reprezintă semiunghiul la centru, se C calculează distanţele 2α = 2 R sinα α 3 2R Rezult ă sin 90 o 8⋅ R 2 OC 1 = ⋅ 2 ⋅ R ⋅ = π 3 3⋅π 2 ; O 2 C 2 = O 3 C 3 = 2 ⋅ R ⋅ sin 90 = 4 ⋅ R . 3 π o 2 3⋅π 8 b Să se determine poziţia centrului de greutate al y 2 =2px plăcii omogene din figură, mărginită de parabola de ecuaţie y 2 = 2⋅ p ⋅ x . ------------------------------------------------------Deoarece avem de a face cu un mediu a discontinuu, bidimensional şi omogen, formulele pentru calculul coordonatelor centrului de y 2 =2px greutate sunt de forma C ∑ x i ⋅ Ai b xC = y2 y1 y C2 x i =1 ∑ Ai 2 ; yC = i =1 x1 x2 ∑ y i ⋅ Ai p= cu care ecuaţia parabolei devine i =1 ∑ Ai 2 , Prin diferenţiere se obţine 2 ⋅ y ⋅ dy = i =1 unde x i , y i , Ai reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi un tabel centralizator cu mărimile de calcul care intervin în formule. Ai xi yi iar dA = a b y 2 =2px 3 ⋅a 5 3 ⋅b 8 b ( − ) a⋅b 1 ⋅b 3 2 a y1 y b Poziţia centrului de greutate pentru placa semiparabolică se obţine tratând figura ca un mediu continuu şi aplicând dA formulele în consecinţă: A y 2 =2px ∫ x ⋅dA ∫ y ⋅ dA x C1 = ; y C1 = . C1 dA dA ∫ ∫ Ci Se fracţionează placa într-o infinitate de fâşii B x dx verticale de înălţime y şi lăţime dx, de arie x dA = y ⋅ dx 1 a şi centru de greutate ⎛ y C i ⎜⎜ x , ⎝ 2 Rezultă astfel: x C1 = 2 ⋅ a⋅b 3 a 2 ⋅a 3 y2 = 2 2 C1 unde x şi y reprezintă coordonatele unui punct curent de pe parabolă. Pentru punctul A al parabolei se poate scrie relaţia b 2 =2 ⋅ p ⋅ a , de unde rezultă ⎞ ⎟⎟ , ⎠ ∫ x ⋅ dA ∫ b (A) ∫ dA (A) 2 0b 2 ∫ b 2⋅ a 2 2⋅ a b 2 b2 x= a b 2 ⋅ y ⋅ dy ⋅y 2. ⋅ y 2 ⋅ dy 3 x C1 = ⋅ a ; 5 ; ⋅ y 2 ⋅ dy b y 2⋅ a 2 ∫ ⋅ dA ∫ ⋅ 2 ⋅ y ⋅ dy (A)2 02 b = = b 2⋅ a 2 ∫ dA ∫ 2 ⋅ y ⋅ dy (A) 0b Aria semiparabolei este 2⋅ a dx = ⋅ y 2 ⋅ dy ; ⋅y 2 ⋅ a 0 y y C1 = b2 ⋅x . a b2 ⋅ dx , a 2⋅a b b2 , 2⋅ a b A1 = ∫ dA = ∫ (A) ; 3 y C1 = ⋅b . 8 2⋅ a 2 ⋅ y 2 ⋅ dy = ⋅ a ⋅b . 3 0b b 2 Coordonatele centrului de greutate al plăcii compuse sunt deci: 3 2 2 a⋅b ⋅ a ⋅ ⋅ a ⋅b − ⋅ a ⋅ 3 2 5 3 xC = = ; a ⋅b A1 − A 2 2 ⋅ a ⋅b − 3 2 3 2 1 a ⋅b ⋅b ⋅ ⋅ a ⋅b − ⋅b ⋅ y 1 ⋅ A1 − y 2 ⋅ A 2 8 3 3 2 = yC = ; a ⋅b A1 − A 2 2 ⋅ a ⋅b − 3 2 1 2 x C = ⋅ a ; y C = ⋅b . 5 2 x 1 ⋅ A1 − x 2 ⋅ A 2 9 a) patratul de latură a: - se consideră un element de arie paralel cu axa Ox, de mărime dA= a ⋅ dy . x dx dA ⇒ y a2 a ⇒ ∑ y i ⋅ Ai 2 ∑ Ai 2 i =1 a 2 h a ⋅h ⋅a − ⋅ y 1 ⋅ A1 − y 2 ⋅ A 2 2 3 2 yC = =h . = a ⋅h A1 − A 2 a2 − 2 a2 a Se obţine astfel ecuaţia de gradul doi în h cu soluţiile dintre care convenabilă este h= I x = ∑ I ix = I i =1 patrat x +I (A) − a 2 a4 a2 = A1 ⋅ . 12 12 x dA ⎛ y x = a ⋅⎜⎜ 1− ⎝ h dx x ⎞ ⎟⎟ . ⎠ h ⎛ y I x = ∫ y 2 ⋅ dA = ∫ y 2 ⋅ a ⋅ ⎜⎜ 1− ⎝ h (A) 0 ⇒ Ix = h2 a⋅h 3 = A2 ⋅ . 6 12 ⎞ ⎟⎟ dy ; ⎠ Pentru calculul lui I y se consideră elementul de arie paralel cu axa Oy având mărimea dA = y⋅ dx ; I y = ∑ I iy = I 2 i =1 patrat y +I tringhi y . Pentru fiecare suprafaţă simplă componentă se utilizează relaţiile de definiţie a momentelor de inerţie geometrice axiale în cazul mediului continuu: I x = ∫ y 2 ⋅ dA ; I y = ∫ x 2 ⋅ dA . (A) Iy = 2 ∫ x ⋅ dA = ∫ x ⋅ a ⋅ dx ; a2 3− 3 ⋅a . 2 tringhi x Iy = a 2 2 a Momentele de inerţie geometrice axiale ale suprafeţei compuse se obţin, de asemenea, prin însumarea momentelor de inerţie geometrice ale suprafeţelor simple care o compun: 2 0 unde, din asemănea triunghiurilor y 3± 3 h= ⋅a 2 (A) a2 a4 = A1 ⋅ . 3 3 dA = x ⋅ dy h 2 ⋅ h − 6 ⋅ a ⋅ h + 3⋅a = 0 2 2 a b) triunghiul isoscel de dimensiuni axh: - pentru calculul lui I x aria elementară este y i =1 dy yC = h y2 C1 C2 y1 a C Ix = I x = ∫ y 2 ⋅dA = ∫ y 2 ⋅ a ⋅ dy ; Pentru calculul lui I y se consideră un element de arie paralel cu axa Oy având mărimea dA = a ⋅ dx . a h dy a Să se determine înălţimea triunghiului isoscel ce trebuie decupat dintr-un patrat de latură a pentru ca vârful triunghiului să fie centrul de greutate al C suprafeţei rămase şi să se calculeze momentele de inerţie geometrice axiale ale acestei suprafeţe în raport cu sistemul de referinţă xOy. a2 ---------------------------------------------------------------a Se utilizează relaţia pentru calculul ordonatei centrului de greutate în cazul mediului discontinuu, bidimensional şi omogen, căreia i se impune valoarea h: (A) unde, din asemănea triunghiurilor ⇒ I y = ∫ x ⋅ dA = (A) 2 h y = ⋅( a − 2 ⋅ x ) . 2 2 h ∫ x ⋅ 2 ⋅ ( a − 2 ⋅ x )⋅ dx ; a 2 − Iy = a 2 a 3 ⋅h a2 = A2 ⋅ . 48 24 Pentru suprafaţa compusă, rezultatele sunt: h3 ⎞ a ⎛ ⎟ I x = ⋅⎜⎜ a 3 − 3 ⎝ 4 ⎟⎠ a3 h ; I y = ⋅⎛⎜ a − ⎞⎟ . 12 ⎝ 4⎠ 10 2 ∫ z ⋅π ⋅ ri ⋅ dz 3r zC = i =1 ∑V i 2 3r zC = 2 V1 +V 2 ∫ π ⋅ r ⋅ dz h 2 0 2r ri z h dz dV(dm) ∫ z ⋅ dz h = 0 ∫ dz h ⇒ zC = h 2 . ri 0 h2 ⇒ zC = ⋅ ( h − z ) ⋅ dz 2 V con =V 2 = π ⋅ r 2 ⋅ h 4 . 3⋅ r =π ⋅ r 3 ; 3 = 4⋅ r ⋅ 4 ⋅π ⋅ r 3 2 3⋅ r + ⎛⎜ 4 ⋅ r + 4 ⎝ 4 ⋅π ⋅ r 3 + π ⋅ r 3 z C = 2 , 55⋅ r . ⎞ ⋅π ⋅ r 3 ⎟ ⎠ ; J z = ∑ J iz = J zcil + J zcon . 2 i =1 În cazul cilindrului de masă M 1 , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este dJ zcil = dm ⋅ r 2 2 , ⇒ J zcil = ∫ dJ zcil = ∫ r ⋅ dm = r ⋅ ∫ dm = 2 ( V1 ) ( V1 ) ( V1 ) 2 2 2 M 1 ⋅r 2 2 . În cazul conului de masă M 2 , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este dJ zcon = dm ⋅ r i2 2 , unde 2 M2 M 3⋅ M 2 ⎛ z ⎞ 2 r r ri = ⋅ ( h − z ) şi dm = ρ V ⋅ dV = 2 ⋅ dV = ⋅π ⋅ ⎡⎢ ⋅ ( h − z ) ⎤⎥ ⋅ dz = ⋅⎜ 1− ⎟ ⋅ dz . h h h ⎝ h⎠ V2 ⎣h ⎦ π ⋅r 2 ⋅ 3 Momentul de inerţie al întregului con va fi 0 b) Con de raza bazei R şi înălţime h – volumul elementar este asimilat cu un cilindru dV = π ⋅ ri2 ⋅ dz 2 Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente: . 1 dz z 0 ∫π ⋅ h h z C1 ⋅V 1 + z C 2 ⋅V 2 z z 2 2r h zC = h 2 ∫ z ⋅π ⋅ r ⋅ dz 0 ⋅ ( h − z ) 2 ⋅ dz Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, 2r tridimensionale şi omogene, pentru care formula de calcul este de forma ∫ z ⋅dV zC = . ∫ dV Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru: a) Cilindru de rază R şi înălţime h dV = π ⋅ r 2 ⋅ dz ; dV(dm) = 2 V cil =V1 =π ⋅ r 2 ⋅ 4⋅ r = 4⋅π ⋅ r 3 ; i =1 z 4r C C1 ∑ z i ⋅V i ∫ π ⋅ ri ⋅ dz h r i2 Cele douăcorpuri simple componente au volumele 2 C2 0 0 4r Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie. Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie, formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este zC = ∫ z ⋅π ⋅ h h unde ri = r ⋅( h− z ) ; h J con z = ∫ dJ (V2 ) con z = ∫ r i2 (V2 ) 2 h 3⋅ M ⋅ dm = ∫ 0 3 z ⋅⎛⎜ 1− ⎞⎟ ⋅ r 2 ⋅ dz = ⋅ M 2 ⋅ r 2 . 10 2⋅ h ⎝ h ⎠ 2 4 Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora: M1 M 2 M = = V 1 +V 2 V 1 V2 , ⇒ M1 = 1 ⋅M = ⋅M 5 V 1 +V 2 V1 ; şi M 2 = 4 ⋅M = ⋅M 5 V 1 +V 2 V2 . Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de 2r 11 simetrie 3 4 r 1 + ⋅ ⋅M ⋅r 2 J z = ∑ J iz = J zcil + J zcon = ⋅ M ⋅ 5 2 10 5 i =1 23 J z = ⋅ M ⋅r 2 50 2r C2 zC = ∑V i 2r zC = 2r 2 ∫ z ⋅π ⋅ r ⋅ dz ∫ z ⋅ dz dz z 2 ∫ π ⋅ r ⋅ dz 2 h = 0 ∫ dz h ⇒ zC = h 2 . 0 z dz dV(dm) R z C 1 ⋅V 1 + z C 2 ⋅V 2 V1 +V 2 4⋅ r ⋅ 4 ⋅π ⋅ r 3 2 3 16 + ⎜⎛ 4 ⋅ r + ⋅ 2 ⋅ r ⎟⎞ ⋅ ⋅π ⋅ r 3 8 ⎝ ⎠ 3 16 4 ⋅π ⋅ r 3 + ⋅π ⋅ r 3 3 = 25 ; z C = ⋅r . 7 i =1 h h ri 2r 3 2 ∫ z ⋅ dV . ∫ dV Se fracţionează cele două corpuri într-o infinitate de discuri de grosime elementară, ca în schiţele de mai jos şi, în caz general, rezultă pentru: a) Cilindru de rază R şi înălţime h dV = π ⋅ r 2 ⋅ dz ; dV(dm) 0 0 J z = ∑ J iz = J zcil + J zssf . zC = h 2 2 ∫ π ⋅ ( R − z )⋅ dz 3 ⇒ z C = ⋅R . 8 h Momentul de inerţie mecanic al corpului compus în raport cu axa sa de simetrie rezultă prin însumarea momentelor de inerţie a celor două corpuri simple componente: În cazul cilindrului de masă M 1 , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este dJ calcul este de forma zC = 0 3 Astfel problema revine la a calcula poziţia centrului de greutate pentru fiecare din corpurile regulate componente. Acestea reprezintă medii continui, tridimensionale şi omogene, pentru care formula de 0 = Rezultă astfel, în raport cu sistemul de referinţă al corpului compus i =1 z z 2r 2 ∫ π ⋅ ri ⋅ dz h Cele douăcorpuri simple componente au volumele 16 2 V ssf =V 2 = ⋅π ⋅ ( 2 ⋅ r ) 3 = ⋅π ⋅ r 3 ; V cil =V1 =π ⋅ r 2 ⋅ 4 ⋅ r = 4⋅π ⋅ r 3 ; . 2 1 C1 z ∑ z i ⋅V i i =1 0 h 0 2 C 4r zC = 4r Să se determine poziţia centrului de greutate şi momentul de inerţie mecanic al corpului omogen din figură, în raport cu axa de simetrie. Se cunoaşte masa M a întregului corp. ---------------------------------------------------------Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie, formula pentru calculul poziţiei centrului de greutate este 2 2 2 ∫ z ⋅π ⋅ ri ⋅ dz ∫ z ⋅π ⋅ ( R − z )⋅ dz h 2 2 b) Semisferă de rază R – volumul elementar este asimilat cu un cilindru dV = π ⋅ ri2 ⋅ dz unde ri2 = R 2 − z 2 ; cil z dm ⋅ r 2 = 2 , ⇒ J cil z = ∫ dJ ( V1 ) cil z M 1 ⋅r r2 r2 = ∫ ⋅ dm = ⋅ ∫ dm = 2 ( V1 ) 2 ( V1 ) 2 2 . În cazul semisferei de masă M 2 , momentul de inerţie al discului elementar de masă dm este dJ zssf = unde ri2 = R 2 − z 2 şi dm = ρ V ⋅ dV = M2 V2 dm ⋅ r i2 ⋅ dV = 2 M2 2 ⋅π ⋅ R 3 3 ( Momentul de inerţie al întregii semisfere va fi J zssf = ∫ dJ zssf = ∫ (V2 ) r i2 (V2 ) 2 ⋅ dV = ) 3⋅ M 2 2 ⋅π ⋅ R 3 ( ) ⋅π ⋅ R 2 − z 2 ⋅ dz . ( 3⋅ M 2 R 2 R 2 − z 2 3⋅ M 2 ⋅∫ R −z 2 ⋅ R 2 − z 2 ⋅ dz = ⋅ 2 2⋅ R 3 4⋅ R 3 0 0 8 2 J zssf = ⋅ M 2 ⋅ R 2 = ⋅ M 2 ⋅ r 2 . 5 5 ⋅ dm = ∫ R ) 2 ⋅ dz Corpul compus fiind omogen, masele celor două corpuri geometrice regulate care îl compun sunt proporţionale cu volumele acestora: 12 M1 M 2 M = = V 1 +V 2 V 1 V2 , ⇒ M1 = V1 V 1 +V 2 3 ⋅M = ⋅M 7 ; şi M 2 = V2 V 1 +V 2 4 ⋅M = ⋅M 7 . Rezultă astfel momentul de inerţie al întregului corp în raport cu axa sa de simetrie 2 3 r2 8 4 J z = ∑ J iz = J zcil + J zssf = ⋅ M ⋅ + ⋅ ⋅ M ⋅r 2 ; 7 2 5 7 i =1 Jz = 79 ⋅ M ⋅r 2 . 70 Echilibrul solidului rigid În cazul solidului rigid, deoarece forţele care acţionează asupra lui nu sunt, în general, concurente, condiţia pentru echilibrul acestuia este torsorul sistemului de forţe ceacţionează asupra lui să fie nul. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor de echilibru al solidului rigid sunt următoarele: a) se întocmeşte schema mecanică în care se marchează forţele exterioare (dacă s.r. este liber) şi de legătură (dacă s.r. este supus la legături); b) se alege convenabil sistemul de referinţă; c) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru; d) se identifică necunoscutele problemei; e) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate. Exemple N A ⋅ cosϕ − G ⋅sin ϕ = 0 ⎧ ⎪ ⎨ N A ⋅sin ϕ − G ⋅ cosϕ + N D = 0 . ⎪ N ⋅ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ − G ⋅l ⋅ cosϕ = 0 ⎩ D Din ecuaţiile (1) şi (3) se obţin N A = G ⋅tgϕ ; N D =G⋅ l 2⋅ R care, introduse în ecuaţia (2), conduc la Deoarece 0 < ϕ < π G⋅ 2 cu soluţiile sin 2 ϕ l − G ⋅ cosϕ + G ⋅ =0 . cosϕ 2⋅ R , se obţine ecuaţia de gradul doi cos 2 ϕ − ( cosϕ )1 , 2 = l 1 ⋅ cos ϕ − = 0 2 4⋅ R l l ⎞ 1 ± ⎛⎜ ⎟ + 8⋅ R 2 ⎝ 8⋅ R ⎠ 2 Convine numai soluţia cu (+) Condiţia 0 < ϕ < π 2 ⎞ ⎛ ϕ = arccos ⎜ l + ⎛⎜ l ⎞⎟ + 1 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎝ 2 conduce la 8⋅ R ⎝ 8⋅ R ⎠ 2 ⎠ R < l < 2⋅ R . ϕ Într-un vas semisferic luciu, de rază R, este B aşezată o bară omogenă AB de lungime 2l şi R O 2 greutate G. D Să se determine unghiul ϕ şi reacţiunile din A şi D în poziţia de echilibru. G A ------------------------------------------------------Asupra barei acţioneză: 1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G ; 2 ϕ 2) un sistem al forţelor de legătură s co 2R B format din reacţiunile normale în ND O punctele A şi D. C D R Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: G R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . A NA Deoarece toate forţele sunt aşezate în cosϕ acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente: ϕ ϕ 13 T =F care introdusă în prima conduce la G =T ⋅ 1+ cosα . sin α sin α ⋅N , 1+ cosα Înlocuind în a doua ecuaţie se oţine relaţia μ ≥ sin α sau 1+ cosα de unde Conform figurii sin α = R 2 −( R −h )2 R = μ ≥ tg α . 2 2⋅ R ⋅ h − h 2 R ; cos α = R − h R şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma μ≥ h 2⋅ R − h sau μ ≥ tg α . 2 Forţa F care face posibilă rostogolitea este : F =T = G ⋅ sin α h =G ⋅ 1+ cosα 2⋅ R − h . Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare μ poate fi obţinut direct observând că, pentru echilibru, rezultanta forţelor de legătură F B L trebuie să treacă prin B (cele trei forţe F , L , G ϕ să fie concurente): L R A G μ = T = tgϕ = tg α . T O D N α N 2 h h R-h h Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent F B cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a R O coeficientului de frecare μ necesar pentru ca rostogolirea (μ) să fie posibilă? D G Cilindrul are greutatea G şi raza R. --------------------------------------------------------------A Asupra cilindrului acţioneză: 1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ; 2) un sistem al forţelor de legătură format din F B reacţiunea normală N şi din forţa de frecare de alunecare T , în punctul de contact cu R pragul. T N Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul O D cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă, A deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi α G produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează. Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul: T= ⎧ F ⋅ cosα − G ⋅sin α + T = 0 ⎪ − F ⋅sin α − G ⋅ cosα + N = 0 ⎨ T ⋅R − F ⋅R=0 ⎪ T ≤μ⋅N ⎩ În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare μ , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă 14 a a Bara cotită OAB, articulată plan în O şi simplu rezemată în C, este încărcată ca în figură. Să se determine reacţiunile în O şi C. B P --------------------------------------------------P 2P Asupra cilindrului acţioneză: 1) un sistem de forţe şi momente O D E C A exterioare format din forţele P şi MD a a a a 2 P şi din momentul M D = P ⋅a ; 2) un sistem al forţelor de B P legătură format din reacţiunea P 2P V normală şi din N D E C componentele H şi V ale H reacţiunii din articulaţia O. A MD N Condiţiile vectoriale de echilibru a a a a sunt: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente: H + P =0 ⎧ ⎪ V − P − 2⋅ P + N = 0 . ⎨ ⎪⎩ − P ⋅ a − P ⋅ a − 2 ⋅ P ⋅ 2 ⋅ a + N ⋅3⋅ a − P ⋅ a = 0 Rezultă H =− P ; 2 V = ⋅P ; 3 7 N = ⋅P . 3 Obs. Semnul (-) al componentei orizontale a reacţiunii din O arată faptul că, în realitate, orientarea acesteia este opusă celei considerate iniţial. Reacţiunea din O este: R lO = H 2 + V 2 ; R lO = 13 ⋅P 3 . 15 b) Se consideră o secţiune după planul definit de fir şi de axa corpului. Conform figurii, se poate scrie relaţia: R = l ⋅sin ϕ + R ⋅sin α . Rezultă relaţia căutată R ∑ z i ⋅V i z 2 z z 1 C2 h C1 C R α 2 R în care: 1 z C1 = ⋅ h ; 4 Rezultă din primele două ecuaţii: S= în care de înlocuiesc 3 1 2 V 1 = ⋅π ⋅ R 2 ⋅ h ; z C 2 = − ⋅ R ; V 2 = ⋅π ⋅ R 3 . 8 3 3 3 1 1 2 ⋅ h ⋅ ⋅π ⋅ R 2 ⋅ h − ⋅ R ⋅ ⋅π ⋅ R 3 4 3 8 3 zC = 1 2 ⋅π ⋅ R 2 ⋅ h + ⋅π ⋅ R 3 3 3 ⇒ sin α =1− P cosϕ ; N = P ⋅tgϕ . P ⋅ R ⋅ ( sin ϕ ⋅ cosα − sin α ⋅ cosϕ )= 0 cosα l ⋅sin ϕ R şi cosα = 1− ⎛⎜ 1− l ⋅sin ϕ ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 şi rezultă ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de echilibru tgϕ = zC R − R − l ⋅sin ϕ R l ⋅sin ϕ ⋅ ( 2 ⋅ R − l ⋅sin ϕ ) . 1 h 2 − 3⋅ R 2 zC = ⋅ . 4 h + 2⋅ R A O ∑V i . N − S ⋅sin ϕ = 0 ⎧ ⎪ . − P + S ⋅ cosϕ = 0 ⎨ ⎪ − P ⋅ z C ⋅ cosα + S ⋅ R ⋅sin (ϕ −α )= 0 ⎩ − P ⋅ z C ⋅ cosα + , i =1 Rezultă ϕ i =1 l ⋅sin ϕ R c), d) Asupra corpului acţioneză: 1) forţa exterioară (de greutate) P ; ϕ−α 2) un sistem al forţelor de legătură format din S reacţiunea normală N şi din tensiunea din fir ϕ S. N Condiţiile vectoriale de echilibru sunt: C R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei P ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente: Din a treia ecuaţie se obţine 2 zC = sin α =1− α Un corp omogen de greutate P, format dintr-o semisferă de rază R şi un con de înălţime h, având baza comună cu semisfera, se reazemă fără frecare pe un perete vertical şi este legat printr-un fir de lungime l de un punct D al planului. Punctul A de fixare a firului pe corp se găseşte pe cercul de bază comun al semisferei şi conului. Să se determine: D a) poziţia centrului de greutate al corpului; ϕ A b) relaţia dintre unghiul α format de axa de simetrie a corpului cu orizontala şi unghiul ϕ C format de fir cu planul vertical; c) ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului ϕ corespunzător poziţiei de P echilibru; h d) reacţiunea peretelui şi tensiunea din fir. ----------------------------------------------------------a) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Oxyz şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie, α ϕ− 16 2r 4r 1 2⋅ r + ⋅ 4⋅ r 3 1 ⋅2⋅ r 3 2⋅ r 4⋅ r 3⋅π r xC = x 1 ⋅ A1 + x 2 ⋅ A 2 − x 3 ⋅ A 3 A1 + A 2 − A 3 yC = 2r O xC = 4r r C3 C2 i =1 ∑ Ai 3 3 yC = ; i =1 A ∑ y i ⋅ Ai i =1 ∑ Ai 3 , i =1 y x i , y i , Ai unde reprezintă C1 C coordonatele, respectiv aria figurii geometrice simplă şi regulată i, x componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul: Ai xi yi 4⋅ 2⋅ r 2⋅ r − 3⋅π 2r 4⋅ 2⋅ r 3π π ( 2⋅ r ) 4 2 2 = π ⋅r + 4⋅r − 2 y 1 ⋅ A1 + y 2 ⋅ A 2 − y 3 ⋅ A 3 A1 + A 2 − A 3 = 2 π ⋅r 2 2 8⋅ r 4⋅r π ⋅r 2 2 ⋅ ⋅π ⋅ r 2 + ⋅ r ⋅ 4 ⋅ r 2 − 3⋅π 2 3⋅π 3 2 π ⋅ r + 4⋅ r − π ⋅ r 2 ; yC = ; ; 2 28 ⋅r 3⋅ ( π + 8 ) 2 . b) Asupra corpului acţioneză: 1) un sistem al forţelor exterioare 4r H G (de greutate) şi S (elastică); O r 2) un sistem al forţelor de legătură A C format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A Condiţiile vectoriale de echilibru G x sunt: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente: S V 2r 3 2 ⎛ 2 ⋅ r − 8⋅ r ⎞ ⋅π ⋅ r 2 + ⎛ 2 ⋅ r + 4 ⋅ r ⎞ ⋅ 4 ⋅ r 2 − 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ r 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⎠ 2 3⋅π ⎠ ⎝ ⎝ ⎞ ⎛ 16 ⎟⋅r x C = ⎜⎜ 2 + 3⋅ ( π + 8 ) ⎟⎠ ⎝ 2r ∑ x i ⋅ Ai ( − )π ⋅r Rezultă 0 Se dă o placă compusă omogenă, de greutate G, situată într-un plan vertical, ale cărei dimensiuni sunt prezentate în figură. Placa este articulată plan în colţul A şi suspendată în colţul O de un arc cu constanta elastică k. Placa se află în echilibru cu faţa OA orizontală, când lungimea arcului în stare deformată este l. Să se determine: a) coordonatele centrului de k greutate al plăcii; 4r b) reacţiunile din legăturile O şi A; c) lungimea l0 a arcului r O A nedeformat; d) valorile reacţiunilor din O şi A şi lungimea iniţială l 0 a arcului, dacă: G =1000 N , k = 5000 N / m , l = 0 , 20 m . ------------------------------------------------------------------a) Pentru calculul coordonatelor centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă Oxy şi se utilizează relaţiile corespunzătoare unui mediu discontinuu, bidimensional şi omogen: 4⋅ r ⋅ 2⋅ r 2 H =0 ⎧ ⎪ V + S −G =0 . ⎨ ⎪⎩ G ⋅ x C −V ⋅ 6 ⋅ r = 0 Rezultă: H =0 ; V= ⎞ ⎛1 8 ⎟⎟ ⋅G ⋅G = ⎜⎜ + 6⋅ r ⎝ 3 9⋅(π + 8 ) ⎠ xC ; ⎞ ⎛2 8 ⎟⎟ ⋅G . S = ⎜⎜ − ( π ) 3 9 ⋅ + 8 ⎠ ⎝ c) Alungirea arcului este 4 17 ⎞ S G ⎛⎜ 2 8 ⎟, = ⋅ − k k ⎜⎝ 3 9 ⋅ ( π + 8 ) ⎟⎠ iar lungimea arcului nedeformat era g ⎛2 ⎞ 8 ⎟. l 0 = l − Δl = l − ⋅⎜⎜ − k ⎝ 3 9 ⋅ ( π + 8 ) ⎟⎠ d) Se obţin valorile: V = 0 , 413 ⋅ G = 413 N ; S = 0 , 587 ⋅ G = 587 N ; Δl = l 0 = 0 , 20 − 0 , 117 = 0 , 083 m . 587 = 0 ,117 m ; 5000 Echilibrul sistemelor de solide rigide În cazul sistemelor, asupra rigidelor acţionează trei categorii de forţe: o un sistem al forţelor exterioare; o un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri; o un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, care, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, sunt egale şi direct opuse. Pentru rezolvarea problemelor de echilibru a sistemelor de corpuri se utilizează, de regulă, teorema echilibrului părţilor, etapele care se pargurg fiind următoarele: a) se izolează corpurile după care procedura continuă ca la echilibrul rigidului, adică se impune condiţia de torsor nul pentru fiecare parte componentă a sistemului; b) se întocmesc schemele mecanice în care se marchează forţele exterioare, de legătură exterioară şi de legătură interioară; c) se alege convenabil sistemul de referinţă, independent pentru fiecare; d) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp; e) se identifică necunoscutele problemei; f) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate. ⎧ T + H =0 ⎪ N +V − P = 0 ⎪T ⋅ R − M = 0 ; r ⎨ ⎪ T ≤μ⋅N ⎪ ⎩ M r ≤ s⋅ N α C 1 G 2 P A (μ,s) R ⎧ − H − N B =0 ⎪ ⎪ . −V − G = 0 ⎨ ⎪ l ⎪⎩ N B ⋅l ⋅ cosα − G ⋅ 2 ⋅sin α = 0 Rezultă succesiv necunoscutele problemei μ şi s: 1 T = − H = N B = ⋅G ⋅tgα 2 Exemple Se consideră sistemul de corpuri din figură alcătuit din discul (1) de greutate P şi rază R, articulat plan cu bara (2) de greutate P şi lungime l, simplu rezemată pe un perete vertical luciu. Neglijând frecările din O şi B, să se determine coeficienţii frecării de alunecare μ şi de rostogolire s dintre discul (1) şi planul orizontal, astfel încât echilibrul să se producă în configuraţia din schiţă. --------------------------------------------------------Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile P şi G ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele T , N şi M r reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare de alunecare şi de rostogolire dintre disc şi planul orizontal, precum şi din reacţiunea normală N B reprezentând echivalentul mecanic al reazemului fără frecare din B; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . 1 NB B V Deoarece toate forţele sunt H /2 sinα aşezate în acelaşi plan, aceste α ecuaţii vectoriale sunt R P echivalente cu câte trei ecuaţii H G 2 A T Mr scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă V N condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru disc: - pentru bară: cosα Δl = μ≥ B Obs. ; V =−G ; G ⋅tgα 2⋅( P + G ) ; N = P +G ; s≥ R⋅G ⋅tgα 2⋅( P + G ) Mr = R ⋅G ⋅tgα 2 ; . 9 Sensul componentelor H , V ale reacţiunii din articulaţie, adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând din ecuaţiile scalare de echilibru; 18 9 Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate. P − N =0 ⎧ ⎪⎪ N A − N B + T = 0 ⎨ T ⋅ ( a + b )− N ⋅ a = 0 ; B ⎪ ⎪⎩ T ≤μ⋅N r α Se consideră sistemul mecanic din figură la cere se cunosc dimensiunile geometrice şi greutăţile G şi Q. Există frecare de alunecare între troliu şi sabot, de coeficient μ . Se neglijează D greutăţile sabotului şi a barei OC 2 de lungime l, precum şi frecarea R Q dintre fir şi scripetele mic din D. a b Să se determine forţa P care C O P E menţine sistemul în echilibru, reacţiunile din punctele A, B, E, O, 3 A B 1 C şi tensiunea din fir. (μ) G -----------------------------------------Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutăţile G şi Q ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunile normale N A şi N B şi din componentele H C , V C şi din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare T , introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: - pentru bară: şi M C reprezentând echivalentul mecanic al încastrării plane din C; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H , V ale reacţiunii din articulaţia O precum ⎧ N + H + Q ⋅ cosα = 0 ⎪ ⎨ V + Q ⋅sin α − T − G = 0 ; ⎪ T ⋅ R − Q⋅r = 0 ⎩ ⎧ − H − H C =0 ⎪ ⎨ −V + V C = 0 . ⎪V ⋅l − M = 0 C ⎩ C Rezultă succesiv necunoscutele problemei N A , N B , N , T , H , V , H C , V C , MC: T =Q⋅ r R ; N =P ; P ≥Q⋅ r μ ⋅R ; ⎛ r H = − H C = − Q ⋅⎜⎜ cos α + μ ⋅R ⎝ R lO = H 2 +V 2 r a +b N B =Q⋅ ⋅ ; R a ; ⎞ ⎟⎟ ; ⎠ r V =V C = Q ⋅⎛⎜ − sin α ⎞⎟ + G ⎝R ⎠ ; ⎡ ⎤ r M C = l ⋅ ⎢ Q ⋅⎛⎜ − sin α ⎞⎟ + G ⎥ . ⎠ ⎣ ⎝R ⎦ R lC = H C2 +V C2 . Obs.2 Deoarece, conform enunţului, se neglijează fenomenele mai profunde (frecarea şi rigiditatea firului) care au loc în scripetele mic din D, tensiunea în ambele ramuri ale firului este egală cu greutatea atârnată la capătul lui. α P V b NB A N E B NA Q R V T 1 H N H 3 VC C HC E T r a G MC 2 19 să acţioneze asupra lui forţele exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. Forţele fiind toate concurente în nod, pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi scrise câte două ecuaţii scalare: (A) (B) (C) ⎧ N A + S 6 + S 7 ⋅ cosα = 0 ⎧ − H B + S 2 ⋅ cos α = 0 ⎧ S 3 ⋅ cos α − S 2 ⋅ cosα − S 7 ⋅ cos α = 0 ;⎨ ;⎨ ; ⎨ ⎩ V B − S 1 − S 2 ⋅sin α = 0 ⎩ − S 5 + S 2 ⋅sin α − S 3 ⋅sin α − S 7 ⋅sin α = 0 ⎩ S 1 + S 7 ⋅sin α = 0 a Să se determine eforturile din barele unei B cu zăbrele având dimensiunile şi ° încărcăturile din figură, precum şi 60 reacţiunile exterioare. 60 ° -----------------------------------------------Grinzile cu zăbrele plane sunt sisteme de A bare rectilinii şi rigide, legate între ele prin P P articulaţii numite noduri, situate în acelaşi plan. Condiţia ca grinda cu zăbrele să B formeze un ansamblu rigid, static 2 ° 60 determinat, este ca între numărul barelor b C 1 60 şi numărul nodurilor n să existe relaţia ° 7 3 5 b = 2⋅n − 3 . E D Este evident că această condiţie este 6 4 A P a P satisfăcută: a 3/2 3/ 2 7 = 2 ⋅5 − 3 . Forţa de legătură pe care o transmite o bară se numeşte efort şi poate fi de întindere dacă bara trage de nod, sau de compresiune dacă bara apasă nodul. VB Metoda izolării HB B nodurilor pentru α determinarea S2 S1 S2 eforturilor din bare se bazează pe C α teorema α S7 α echilibrului S1 S5 S3 S7 S3 părţilor. Ea constă S5 în a izola fiecare NA D E α α nod şi a introduce A S4 S4 S6 S6 P P (D) ⎧ − S 4 + S 3 ⋅ cos α = 0 ; ⎨ ⎩ − P + S 3 ⋅sin α = 0 (E) ⎧ S 4 − S 6 =0 . ⎨ ⎩ S 5 − P =0 După rezolvarea sistemului de 10 ecuaţii rezultă: - eforturi de întindere S1 = P 2 ; S 2 =3⋅ P ; - eforturi de compresiune S 4 = − P⋅ 3 ; S 3 = 2⋅ P S5 =P ; ; S 6 = − P⋅ 2 ; S 7 =− P ; - reacţiuni exterioare grinzii NA= 3⋅ 3 3⋅ 3 ⋅P ; H B = ⋅ P ; V B = 2⋅ P ; 2 2 R lB = H B2 +V B2 . Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare (date) şi a forţelor de legătură exterioară: VB HB B NA A D a 3/2 P P a 3/2 ⎧ ⎪ N A − H B =0 ⎪⎪ . V B − P − P =0 ⎨ ⎪ ⎪ H A ⋅a − P ⋅a ⋅ 3 − P ⋅2⋅a ⋅ 3 = 0 2 2 ⎩⎪ Rezultă astfel acelaşi valori N A =H B = 3⋅ 3 ⋅P ; 2 V B = 2⋅ P . Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1. 20 ⎧⎪ S 2 ⋅ cos 45 o − S 4 ⋅ cos 45 o − S 6 ⋅ cos 45 o = 0 S 4 = − P⋅ 2 ⇒ ; ⎨ S 6 = 2⋅ P ⋅ 2 ⎪⎩ − S 2 ⋅sin 45 o − S 4 ⋅sin 45 o + S 6 ⋅sin 45 o − 2 ⋅ P = 0 45° 45° 45° 45° S4 N IV S2 S3 45° S4 S5 S2 45° S7 II S1 P I ⎧⎪ N + S 5 + S 4 ⋅ cos 45 o = 0 N = 2⋅ P ⇒ S =P ; ⎨ o 7 ⎪⎩ S 7 + S 4 ⋅sin 45 = 0 - nodul V: ⎧⎪ − H + S 6 ⋅ cos 45 o = 0 H = 2⋅ P ⇒ V = 4⋅ P . ⎨ o ⎪⎩V − P − S 7 − S 6 ⋅sin 45 = 0 R lA = H 2 +V 2 = 2⋅ P ⋅ 5 . Obs.1 Reacţiunile exterioare puteau fi calculate apelând teorema solidificării conform căreia se consideră grinda ca un singur rigid, supus acţiunii forţelor exterioare V P (date) şi a forţelor de legătură exterioară: H A N N − H =0 ⎧ ⎪ V − P − 2⋅ P − P = 0 . ⎨ ⎪⎩ H ⋅ 2 − 2 ⋅ P ⋅1− P ⋅ 2 = 0 2P 2m 2m 2m Să se determine eforturile din barele unei cu zăbrele P având dimensiunile şi încărcăturile din figură, utilizată A pentru o copertină, precum şi reacţiunile exterioare. 2P --------------------------------------------------------------Condiţia ca grinda cu zăbrele să formeze un ansamblu P rigid, static determinat, este ca între P numărul barelor b şi numărul B C 1m nodurilor n să existe relaţia V 1m 2P b = 2⋅n − 3 , 6 A condiţie evident satisfăcută: III 7 Pentru determinarea eforturilor din bare se utilizează P 4 2 3 metoda izolării nodurilor care constă în a izola fiecare IV 5 II 1 I B nod şi a introduce să acţioneze asupra lui forţele C 1m 1m exterioare (date) şi forţele de legătură exterioară a grinzii, care revin nodului respectiv. De-a lungul fiecărei bare concurente în nod se introduce câte un efort convenţional considerat de întindere. V P Acele eforturi care din calcule vor rezulta negative, semnifică solicitări H V de compresiune în barele respective. Forţele fiind toate concurente în nod, S 7 S6 pentru echilibrul fiecăruia vor putea fi S6 2P scrise câte două ecuaţii scalare: III - nodul I: - nodul IV: P C 1m 1m Rezultă astfel acelaşi valori N = H = 2⋅ P ; V = 4⋅ P . B Obs.2 În situaţia în care, constructiv, grinda nu dispune de un nod de capăt în care să fie concurente maximum două bare şi care să nu prezinte legături exterioare, adică numărul necunoscutelor scalare ce intervin să nu depăşească două, devine obligatorie parcurgerea în prealabil a etapei de la Obs.1. S1 =− P ⎧⎪ S 1 + S 2 ⋅ cos 45 o = 0 ⇒ ; ⎨ S 2 = P⋅ 2 ⎪⎩ S 2 ⋅sin 45 o − P = 0 - nodul II: S 5 =− P ⎧ S1 − S 5 =0 ⇒ ; ⎨ S 3 =0 ⎩ S 3 =0 - nodul III: 21 echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. T − H A =0 ⎧ ⎪ V ⎪ A + N − Pmin = 0 ; ⎨ ⎪ N ⋅ a + T ⋅ e − Pmin ⋅( a + b )= 0 ⎪⎩ T =μ⋅N e Se consideră sistemul din figură, format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi un troliu de a b P greutate G articulat în O. Asupra barei A acţionează în B o forţă verticală P, iar asupra B troliului acţionează, prin intermediul unui fir C 2R 1 trecut peste un scripete mic, greutatea Q. O 2 Coeficientul de frecare dintre sabot şi troliu este R . μ G Să se determine: Q a) valoarea minimă a forţei P, necesară pentru păstrarea echilibrului sistemului; b) reacţiunile din O şi A; Aplicaţie numerică: a = 0 ,1 m , b = 0 , 4 m , e = 0 , 06 m , G = 1, 8 kN , Q = 15 kN , μ = 0 , 25 -----------------------------------------------------------------------------Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din VA a b P greutăţile G şi Q ; HA A 2) un sistem al forţelor de legătură B exterioară a sistemului de corpuri, C T 1 format din H A , V A şi H , V N reprezentând componentele reacţiunilor din A şi O; 3) un sistem al forţelor de legătură N interioară, dintre elementele T C sistemului, format din reacţiunea 2 2R V normală N şi forţa de frecare de H O alunecare T, introduse ca Q Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: Rezultă succesiv 1 T = ⋅Q ; 2 N= 1 H A = T = ⋅Q = 7 , 5 kN 2 ; ⎧ H −T − Q = 0 ⎪ ⎨ V − N −G =0 . ⎪ T ⋅ 2⋅ R − Q ⋅ R = 0 ⎩ Q ⎞ ⎛ a 1 ⋅⎜⎜ + e ⎟⎟ = 6 , 9 kN ⋅Q ; Pmin = 2⋅( a + b ) ⎝ μ 2⋅ μ ⎠ ; ⎛ ⎞ 1 ⋅15 ⎟⎟ ⋅ kN = −23 ,1 kN V A = Pmin − N = ⎜⎜ 6 , 9 − ⋅ 2 0 , 25 ⎝ ⎠ ; V = N + G = 31, 8 kN . e H = Q + T = 22 , 5 kN ; G R 22 În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul C. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: −T − H = 0 ⎧ ⎪⎪ V + N − Pmin = 0 ⎨ N ⋅ a − T ⋅ h − P ⋅ ( a + b )= 0 ; min ⎪ ⎪⎩ T =μ⋅N h Se consideră frâna cu sabot din schiţă la care a b se cunoaşte coeficientul frecării de alunecare μ P dintre sabot şi şaiba de frânare a troliului, O A precum şi dimensiunile geometrice. Se B R neglijează greutăţile troliului şi pârghiei şi 1 O1 frecarea din articulaţiile O şi O1 . 2 Se cere determinarea forţei minime P cu care r trebuie acţionată pârghia OA pentru blocarea căderii greutăţii Q şi reacţiunile din articulaţii. Q --------------------------------------------------Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din V greutatea Q ; a b P 2) un sistem al forţelor de legătură H O exterioară a sistemului de corpuri, A format din H , V şi H 1 , V1 B T 1 reprezentând componentele N reacţiunilor din O şi O1 ; 3) un sistem al forţelor de legătură N interioară, dintre elementele 2 T B sistemului, format din reacţiunea R V1 normală N şi forţa de frecare de H1 O1 alunecare T, introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu r frecare dintre sabot şi troliu. Q T =Q⋅ r R N =Q⋅ ; H =−T ; H 1 =−T r μ ⋅R ; Pmin = V = Pmin − N ; ⎧ H 1 +T = 0 ⎪ ⎨V1 − N − Q = 0 . ⎪ Q ⋅ r −T ⋅ R = 0 ⎩ V1 = N + Q ; ⎞ r ⎛ a ⋅ ⋅⎜⎜ − h ⎟⎟ ; a +b R ⎝ μ ⎠ Q R lO = H 2 +V 2 ; R lO1 = H 12 +V12 . ; h Rezultă succesiv - pentru troliu: Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). 23 sistemului, format din componentele H D , V D , respectiv H E , V E ale reacţiunilor din D şi E. 2 2 cosα Se consideră sistemul de bare omogene din figură de lungimi OA=2l, DE=l şi greutăţi 2G, respectivG. Bara DE este articulată fără frecare în E cu bara OA, iar în D cu culisa de greutate Q, care se k poate deplasa fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala 3 articulaţiei O. De culisă este legat un arc cu constanta elastică P A D k, care este nedeformat în poziţia sistemului cu α = 0 . La 1 capătul A al barei OA acţionează forţa orizontală P. Să se determine: 2 a) ecuaţia pentru calculul unghiului α care corespunde E α poziţiei de echilibru a sistemului; b) forţele de legătură în poziţia de echilibru, considerând O unghiul α cunoscut. ---------------------------------------------------------------------În absenţa forţei orizontale P, capătul A coincide cu D 0 iar unghiul α = 0 . Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din k D0 forţa de apăsare P , din greutatăţile Q , G şi A 2⋅G , precum şi din forţa elastică F e ; D P 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunea E normală N şi din componentele H şi V ale α reacţiunii din O; O 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre el e m e n te le A P Fe VD 3 N HD D VD Q HD α VE HE α 1 H G O HE VE 2 E 2G În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru culisa din D: - pentru bara DE: ⎧ H D − N =0 ; ⎨ ⎩ F e − Q −V D = 0 ⎧ ⎪ H E − H D =0 ⎪ ; V ⎨ D − G −V E = 0 ⎪ l ⎪ H D ⋅l ⋅ cosα − G ⋅ ⋅sin α −V E ⋅l ⋅sin α = 0 2 ⎩ - pentru bara OA: P + H − H E =0 ⎧ ⎪ . V +V E − 2 ⋅G = 0 ⎨ ⎪ H ⋅l ⋅ cosα + (V − 2 ⋅G )⋅l ⋅sin α − P ⋅ 2 ⋅l ⋅ cosα = 0 E ⎩ E Rezultă succesiv necunoscutele problemei: - ecuaţia pentru calculul unghiului α ⎡ 4 ⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα )− 2 ⋅Q − 7 ⋅G ⎤ ⋅tgα − 2 ⋅ P = 0 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ; - reacţiunile din legături în poziţia de echilibru H , V , H E , N , H D , V E , V D G H = ⎡⎢ 2 ⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα )− Q − ⎤⎥ ⋅tgα − P ; V = 3⋅G + Q − 2⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα ) ; 2⎦ ⎣ G H E = N = H D = ⎡⎢ 2 ⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα )− Q − ⎤⎥ ⋅tgα ; 2⎦ ⎣ V E = 2 ⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα )− Q − G ; V D = Q − 2 ⋅ k ⋅l ⋅ (1− cosα ) . 24 V A 4r R + r = ( R + d 0 + Δd )⋅sin α r A din care rezultă Δd = R α R+r −( R + d 0 ) . sin α O1 O d 0+ d R b) Se ataşează corpului(1) sistemul de referinţă Oxy, 2 convenabil ales şi se utilizează relaţia pentru calculul ∑ x i ⋅ Ai coordonatelor centrului de greutate în cazul mediului x = i =1 2 discontinuu, plan, bidimensional şi omogen, care admite o axă de C Ai ∑ simetrie i =1 2r 2r x C11 = 2 ⋅ r ; C11 C1 x C1 = x 11 x r 1 O Rezultă C12 A11 = 8⋅ r 2 ; 2 ⋅ r ⋅8 ⋅ r 2 − x C12 = − 4⋅ r π ⋅ r 2 ⋅ 3⋅π 2 π ⋅r 8⋅ r + 2 2 ; π ⋅r 2 . 4⋅ r ; 3⋅π A12 = xC = 92 ⋅r 3⋅ ( π +16 ) 2 . x 12 2 Pentru corpul (2) se alege sistemul de referinţă ca în figură şi se utilizează relaţia de calcul pentru sectorul de cerc α C2 R 2 sin α y C = ⋅ R⋅ . 3 α Rezultă y2 4r în care: O1 y C2 sin π 2 2 = ⋅ R⋅ ; α 3 2 y C2 = 4⋅ R . 3⋅π 4r c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa elastică F e şi din C1 H 1 A O NA NA G C2 Fe T V 2 A A α Se consideră sistemul de corpuri omogene (1), (2) şi resortul elestic din figură, situat în planul vertical. Corpul (1) este o camă de greutate G, articulată plan în punctul fix O şi compusă dintr-o placă semicirculară de rază r şi o placă dreptunghiulară de dimensiuni 2rx4r. Corpul (2) este o placă semicirculară de rază R şi greutate Q. Corpul (1) se sprijină fără frecare în punctul A pe corpul(2). Placa (2) este aşezată pe un plan orizontal fix şi aspru, coeficientul frecării de alunecare fiind μ . În centrul de masă al plăcii (2) este fixat capătul unui resort elastic orizontal, de constantă 2 1 elastică k. În configuraţia iniţială a sistemului mecanic, definită de distanţa d 0 , k A C2 C1 resortul este nedeformat. Parametrul R O geometric ce defineşte configuraţia de O1 (μ) echilibru este unghiul α pe care axa de r G simetrie a plăcii (1) îl formează cu Q d0 d orizontala. Să se determine: a) expresia deformaţiei Δd a resortului elastic în funcţie de unghiul α ; b) centrele de masă C 1 şi C 2 ale corpurilor (1) şi (2); c) ecuaţia din care se poate calcula unghiul α din condiţia de echilibru static a sistemului mecanic; d) reacţiunile din legăturile O şi A, respective dintre placa (2) şi planul orizontal; e) Distanţa dintre suportul greutăţii Q şi suportul reacţiunii normale cu care planul orizontal acţionează asupra plăcii (2). ---------------------------------------------------------------------a) Cu notaţiile din figură se poate scrie relaţia N a R O1 Q greutatăţile Q , şi G ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din O, din reacţiunea 25 normală N şi din forţa de frecare de alunecare T dintre corpul (2) şi planul orizontal; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală N A dintre cele două corpuri. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, dintre corpul (2) şi planul orizontal. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru corpul (1): Din a treia ecuaţie NA= ( R + r )⋅ctgα a= k ⋅ Δd ⋅ N 4⋅ R 3⋅π ; ⇒ R+r 4⋅ R k ⋅ ⎡⎢ − ( R + d 0 ) ⎤⎥ ⋅ ⎣ sin α ⎦ 3⋅π a= . Q + N A ⋅ cosα - pentru corpul (2): ⎧ N A ⋅sin α − T − F e = 0 ⎪ N − Q − N ⋅ cosα = 0 A ⎪ . ⎨ 4⋅ R ⎪ F e ⋅ 3⋅π − N ⋅ a = 0 ⎪ T =μ⋅N ⎩ H − N A ⋅sin α = 0 ⎧ ⎪ ; − G + N A ⋅ cosα = 0 V ⎨ ⎪ N ⋅ ( R + r )⋅ ctgα − G ⋅OC = 0 1 ⎩ A G ⋅OC 1 e) Din penultima ecuaţie rezultă = G⋅ 92 ⋅r 3⋅ ( π +16 ) ( R + r )⋅ctgα . μ ⋅ N + k ⋅ ⎡⎢ R + r − ( R + d 0 ) ⎤⎥ μ ⋅ ( Q + N A ⋅ cosα )+ k ⋅ ⎡⎢ R + r − ( R + d 0 ) ⎤⎥ ⎦ ⎣ sin α ⎦ ⎣ sin α NA= = = , sin α sin α sin α Pe de altă parte, T + Fe de unde μ ⋅Q + k ⋅ ⎡⎢ R + r − ( R + d 0 ) ⎤⎥ ⎣ sin α ⎦ NA= . sin α − μ ⋅ cosα Egalând cele două expresii obţinute pentru N A , se găseşte ecuaţia pentru determinarea unghiului α : μ ⋅Q + k ⋅ ⎡⎢ R + r − ( R + d 0 ) ⎤⎥ ⎣ sin α ⎦ = . ( R + r )⋅ ctgα sin α − μ ⋅ cosα G⋅ 92 ⋅r 3⋅ ( π +16 ) d) După determinarea unghiului α se calculează reacţiunea N A cu una din cele două relaţii de mai sus şi apoi: H = N A ⋅sin α ; V = G − N A ⋅ cosα ; N = Q + N A ⋅ cosα ; T = μ ⋅ N . 26 Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare dintre bandă şi troliu. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru troliu: - pentru pârghie: H + S1 =0 ⎧ ⎪ V + S 2 −Q =0 ⎪ ⎨ Q⋅r + S 2 ⋅ R − S 1 ⋅ R = 0 ; ⎪ 3⋅π μ⋅ ⎪ 2 = ⋅ S S e 1 2 ⎩ H C − S1 =0 ⎧ ⎪ ⎨ VC − S 2 − P =0 . ⎪ S ⋅ a + S ⋅ a − P ⋅b = 0 2 ⎩ 1 Rezultă succesiv: e H =S1 ; H C =S1 ; μ⋅ μ⋅ 1 3⋅π 2 −1 ; ; μ⋅ 3⋅π r a e 2 +1 P =Q⋅ ⋅ ⋅ R b μ ⋅ 3⋅π e 2 −1 V =Q ; VC = P+ S 2 ; R lO = H 2 +V ; 3⋅π r e 2 S 1 =Q ⋅ ; R μ ⋅ 3⋅π 2 e −1 2 ; R lC = H C2 +V C2 . a Se consideră frâna cu bandă din schiţă. În condiţiile neglijării greutăţilor elementelor din sistem şi a frecărilor din P M1 A articulaţii, să se determine forţa minimă P B C R D necesară bocării greutăţii Q. O Se dau: R, r, AC=BC=a, CD=b şi 2 M2 r coeficientul frecării de alunecare μ dintre bandă şi troliu. Q 1 -------------------------------------------Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din greutatea Q ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi H C , V C reprezentând componentele reacţiunilor din O şi C; 3) un sistem al forţelor de legătură P S1 S1 M1 A interioară, dintre C S2 R D elementele V B O H HC sistemului, format 2 S2 M2 din tensiunile S 1 şi VC r a b S 2 din ramurile Q 1 curelei. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . r S 2 =Q ⋅ R 27 ⎧ F − S1 − S 2 =0 ⎪ ⎨ − S 1 ⋅r + S 2 ⋅r + M O = 0 . ⎪ μ ⋅π ⎩ S 1 = S 2 ⋅e Rezultă S2 = MO r ⋅ 1 e μ ⋅π −1 ; S1 = MO r ⋅ e μ ⋅π e μ ⋅π −1 Se dă palanul diferenţial din figură alcătuit din doi scripeţi, unul fix şi altul mobil. Sripetele fix este format din două roţi dinţate de raze R şi r, solidare pe acelaşi ax. Scripetele mobil este o roată dinţată de rază R1 . În acest caz firul este un lanţ. Fm Se cere relaţia dintre forţa motoare F m şi forţa rezistentă Fr , în condiţiile neglijării frecărilor. ----------------------------------------------------Din ecuaţiile de momente în raport cu centrele celor doi scripeţi şi din ecuaţia de proiecţii pe verticală pentru scripetele Fm mobil R r Să se determine forţa minimă de întindere aplicată unei benzi transportoare având rolele de rază r şi acţionată de un cuplu de moment M O . Coeficientul O1 F O MO frecării de alunecare dintre bandă şi role este μ . Se neglijează greutate benzii şi rola rola frecările din cele două lagăre. conducatoare condusa -------------------------------------------------Se izolează rola condusă. Asupra acesteia acţionează: 1) un sistem de forţe şi momente exterioare (date) format din forţa de întindere F şi din S2 momentul rezistent M O , egal şi de sens r contrar cu momentul motor aplicat roţii O1 F conducătoare; S1 2) un sistem al forţelor de legătură interioară, MO dintre elementele sistemului, format din rola condusa tensiunile S 1 şi S 2 din ramurile curelei. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru roata condusă: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Luând în considerare frecarea dintre bandă şi rolă, ecuaţiile scalare de echilibru sunt: M O e μ ⋅π +1 ⋅ r e μ ⋅π −1 S2 S1 R1 ⎧ F m ⋅R + S 1 ⋅ r − S 2 ⋅ R = 0 ⎪ ⎨ S 2 ⋅ R1 − S 1 ⋅ R1 = 0 ⎪ S 1 + S 2 − Fr = 0 ⎩ rezultă Fr O R r F= R1 Fr 1 S 1 = S 2 = ⋅ Fr ; 2 R−r Fm = ⋅Fr . 2⋅ R ; 28 Să se determine relaţia dintre forţa motoare F m şi forţa S2 Fr = S2 Fm 3 Fr 3 Generalizând pentru n scripeţi mobili rezultă S3 Fm = S3 Fr (1+ k ) n k n+1 ⋅Fr . Dacă se neglijează frecările şi rigiditatea firelor, k =1 şi relaţia devine F m0 = 1 2 n ⋅ Fr S2 S5 S4 S6 S3 S4 S1 S2 F m0 Fm . Fm Fr Fr Considerând că în fiecare muflă se află câte n scripeţi, se pot scrie relaţiile: F m = k ⋅ S 1 ; S 1 = k ⋅ S 2 ;............ S 2 n −1 = k ⋅ S 2 n . Rezultă S1 = Fr . Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul η = S3 Fm SAU Fm S1 (1+ k ) (1+ k ) (1+ k ) 1+ k ⋅S 3 = ⋅S 2 = ⋅S1 = ⋅Fm . 2 3 k k k k4 2 mufla superioara rezistentă Fr în cazul palanului factorial din figură, când se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. --------------------------------------- mufla inferioara rezistentă Fr în cazul palanului exponenţial din figură, dacă se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. --------------------------------------------------------------------Izolând fiecare scripete, se pot scrie relaţiile: Fm = k ⋅S 1 ; S 1 = k ⋅ S 1′ ; S 2 = S 1 + S 1′ ; S 2 = k ⋅ S 2′ ; S1 S1 S 3 = S 2 + S 2′ ; Fm S 3 = k ⋅ S 3′ ; F r = S 3 + S 3′ ; Să se determine relaţia dintre forţa motoare F m şi forţa Fm k ; S2 = Fm k 2 ;............ S 2 n = Fm k 2n . Presupunând tensiunile din fire aproximativ verticale, ⎛1 1 1 + ........... + F r = S 1 + S 2 + .......... + S 2 n = F m ⋅⎜⎜ + 2 2n k k k ⎝ ⎞ ⎟⎟ . ⎠ Paranteza reprezintă o progresie geometrică şi, însumând după formula 29 cunoscută ∑ n = a 1 ⋅ 1− q n 1− q progresiei, rezultă 1 Fr = ⋅ k , unde a1 şi q reprezintă primul termen, respectiv raţia 1− 1 k 2n ⋅Fm ; 1 1− k Fm = ⇒ k 2 n ⋅ ( k −1 ) k 2 n −1 ⋅ Fr . Pentru k =1 (frecări şi rigidităţi nule) se aplică regula lui l’Hospital F m = lim k →1 2 ⋅ n ⋅ k 2 n −1 ⋅ ( k −1 )+ k 2 n 2⋅ n⋅ k 2 n −1 ⋅ Fr ; ⇒ F m0 = 1 ⋅ Fr . 2⋅ n Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul η = F m0 Fm . VA ψ B H O G V 2 HA A C2 VA VB ψ ψ r A ϕ ϕ O r sinψ = ⋅sin ϕ . l HA C1 ϕ ⇒ 1 A r r Se consideră sistemul de corpuri plane omogene alcătuit din manivela OA de lungime r şi greutate G, biela AB de lungime l şi greutate P şi din discul de rază R şi greutate Q. Discul se sprijină pe o cale de rulare aspră nerigidă, paralelă cu direcţia orizontală OB. Articulaţiile plane din O, A şi B sunt fără frecare. Se notează unghiurile ϕ şi ψ ca în figură. Să se determine: a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ , A ţinând seama că sistemul mecanic are 2 1 un singur grad de libertate; R b) expresiile reacţiunilor din legăturile O,A,B şi D corespunzătoare unei O B 3 configuraţii de echilibru definită de unghiurile ϕ şi ψ (discul nu alunecă (μ,s) D şi nu se rostogoleşte). Se presupune că ϕ ∈( 0 ,π ) ; c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare la alunecare μ şi la rostogolire s pentru ca sistemul să rămână în echilibru în condiţiile: Q = P , G = P , l = r ⋅ 3 , ϕ +ψ = 90 o , R = 0 , 05 m . 2 -----------------------------------------a) Din relaţiile AA ′ = r ⋅sin ϕ = l ⋅sinψ ; A b) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P şi Q ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi momentul frecării de rostogolire M r reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare din D; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H A , V A şi H B , V B ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare şi de rostogolire din D. Se obţin astfel ecuaţiile: P HB 3 VB HB B R Q D Mr N T ⎧ ⎪ H − H A =0 ⎪ V +V A − G = 0 ; ⎨ ⎪ r ⎪ H A ⋅r ⋅sin ϕ +V A ⋅ r ⋅ cosϕ − G ⋅ ⋅ cosϕ = 0 2 ⎩ ⎧ ⎪ H A − H B =0 ⎪ V ; ⎨ B −V A − P = 0 ⎪ l ⎪ V B ⋅l ⋅ cosψ − H A ⋅l ⋅sinψ − P ⋅ ⋅ cosψ = 0 2 ⎩ B ⎧ H B −T = 0 ⎪ N − Q −V = 0 B ⎪⎪ ⎨ M r −T ⋅ r = 0 . ⎪ T ≤μ⋅N ⎪ ⎩⎪ M r ≤ s ⋅ N Din (5) se obţine V A =V B − P (! ) (2 ) (3 ) (4 ) (5 ) (6 ) (7 ) (8 ) (9 ) (10 ) (11 ) 30 cu care (3) şi (6) devin ⎧ H ⋅sin ϕ +V ⋅ cosϕ = P ⋅ cosϕ + G ⋅ cosϕ B ⎪ A ⋅sinψ ⋅ cosψ 2 . ⎨ ⋅sin ϕ ⋅ − cosϕ P ⎪ − H A ⋅sinψ +V B ⋅ cosψ = ⋅ cosψ 2 ⎩ Rezultă cosϕ ⋅sinψ P P + G cosϕ ⋅sinψ + ⋅ ; V A = P − P +G ⋅ ; 2 2 sin (ϕ +ψ ) 2 2 sin (ϕ +ψ ) cosϕ ⋅sinψ P + G cosϕ ⋅ cosψ ⋅ H A =T = H B = H = ; V =G + P − P +G ⋅ ; 2 sin (ϕ +ψ ) 2 2 sin (ϕ +ψ ) cosϕ ⋅ cosψ P P + G cosϕ ⋅sinψ ⋅ N =Q + + ; M r = R⋅ P + G ⋅ ; 2 2 sin (ϕ +ψ ) 2 sin (ϕ +ψ ) ( P + G )⋅cosϕ ⋅ cosψ μ≥ ; ( 2 ⋅Q + P )⋅sin (ϕ +ψ )+ ( P + G )⋅cosϕ ⋅sinψ VB = s ≥ R⋅ R lO = H 2 + V 2 ( P + G )⋅cosϕ ⋅cosψ ; ( 2 ⋅Q + P )⋅sin (ϕ +ψ )+ ( P + G )⋅ cosϕ ⋅cosψ ; R lA = H A2 +V A2 ; R lB = H B2 +V B2 ; R lD = T 2 + N 2 . c) A Dacă AB =OA⋅ 2 3 r =r ϕ = 60 o şi ψ = 30 o ψ ϕ rezultă că O B şi ∠OAB = −90 o , pentru care μ min s min = 0 , 05⋅ 3 9 ; 3 1 3 ⋅P⋅ ⋅ 3 2 2 2 = = 3 1 1 9 3⋅ P + ⋅ ⋅ ⋅ P 2 2 2 ; μ min ≅ 0 , 192 ; s min ≅ 0.0096 m = 9 , 6 mm . 31 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H A , V A şi H B , V B ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de 1 VA proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile: ⎧ ⎪ H A − H O =0 ⎪ ; V ⎨ O −V A − G = 0 ⎪ r ⎪ M O − G ⋅ ⋅ cosϕ −V A ⋅ r ⋅ cosϕ − H A ⋅ r ⋅sin ϕ = 0 2 ⎩ r A HA HO G MO A F VA ψ B N ψ e r ⇒ sinψ = ⋅sin ϕ + . l l b), c) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P , Q şi forţa F ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H O şi V O ale reacţiunii din O, precum şi HB 3 e l ⋅sinψ = r ⋅sin ϕ + e VB P (1 ) (2 ) (3 ) ⎧ ⎪ H B − H A =0 (4 ) ⎪ ; (5 ) V A +V B − P = 0 ⎨ ⎪ (6 ) l ⎪ H A ⋅l ⋅sinψ + P ⋅ ⋅ cosψ −V A ⋅l ⋅ cosψ = 0 2 ⎩ 2 HA ϕ Se consideră mecanismul bielă-manivelă OAB din figură, alcătuit din bare omogene. Se cunosc: OA= r , AB = l şi excentricitarea e. Greutăţile elementelor mecanismului sunt G – pentru manivelă, P – pentru bielă şi Q – pentru culisor. Se neglijează frecările din cuple. Pentru o configuraţie a mecanismului dată de unghiul ϕ , să se determine: a) relaţia dintre unghiurile ϕ şi ψ ; b) expresia forţei F care echilibrează momentul motor A r M 0 , în funcţie de unghiurile ϕ 1 2 şi ψ ; O c) reacţiunile din O, A, B şi 3 M O reacţiunea ghidajului asupra B F culisorului. -------------------------------------------------------a) Din relaţia ϕ VO HB ⎧ F − H B =0 . ⎨ ⎩ N −V B − Q = 0 F B VB (7 ) (8 ) Q Din (1), (4) şi (7) rezultă iar din (6) Înlocuind în (3), rezultă H A =H O =H B =F VA = . G+P ⋅ cosϕ 2 r F= . sin ϕ + tgψ ⋅ cosϕ MO reacţiunea normală N ; P + F ⋅tgψ 2 , − Din (5) şi (2) se găsesc 32 VB = Astfel, P + F ⋅tgψ 2 R lO = H O2 +V O2 Din (8) rezultă ; V O =G + P + F ⋅tgψ 2 . ; R lA = H A2 +V A2 ; R lB = H B2 +V B2 . P N = + F ⋅tgψ + Q 2 b) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Ox1 y 1 z 1 şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie, 2 zC = . Rezultă z1 2 z1 z1 1 4R y Sistemul mecanic din figură, situat în planul vertical, este compus din corpul (1), bara (2), culisa (3) şi resortul elastic (4). Corpul (1), articulat cilindric în punctul fix O, este un corp omogen de greutate 3G, constituit din semisfera plină de rază R şi din conul circular drept, plin, de înălţime 4R. Bara omogenă (2), de lungime 4R şi greutate G, este articulată cilindric în punctele A şi B. Culisa (3), de greutate Q, se poate deplasa pe ghidajul vertical Oy, contactul fiind cu frecare de alunecare de coeficient μ . Arcul elastic (4) are constanta de elasticitate k şi, în poziţia iniţială a sistemului mecanic definită prin unghiul α 0 , este nedeformat. Poziţia de 4 echilibru a sistemului mecanic este dată de unghiul α , k B0 necunoscut. Se cer: 4R a) relaţia dintre unghiul α şi deformaţia Δy a B 2 α0 resortului elastic; 3 A0 A b) centrul de masă pentru corpul volumetric (1); α 1 c) ecuaţia din care se poate determina unghiul α în configuraţia de echilibru; R 4R d) reacţiunile din legăturile O, A şi B. -----------------------------------------------------------C1 Δ y = B O B = 8⋅ r ⋅ cosα 0 − 8⋅ r ⋅ cosα ; a) C2 ∑V i 2 , Δ y = 8⋅ r ⋅ ( cosα 0 − cosα ) . 1 4 V 1 = ⋅π ⋅ R 2 ⋅ 4 ⋅ R = ⋅π ⋅ R 3 ; 3 3 3 2 = − ⋅ R ; V 2 = ⋅π ⋅ R 3 . 8 3 1 z 1 C1 = ⋅ 4 ⋅ R = R ; 4 z1C2 R i =1 i =1 în care: C ∑ z i ⋅V i z1C 3 4 2 R ⋅ ⋅π ⋅ R 3 − ⋅ R ⋅ ⋅π ⋅ R 3 3 8 3 = OC = 4 2 3 ⋅π ⋅ R + ⋅π ⋅ R 3 3 3 ⇒ z1C = 13 ⋅R . 24 c), d) Asupra corpurilor izolate acţionează: 1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , 3⋅G , Q şi forţa elastică F e ; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H O şi V O ale reacţiunii din O, precum şi reacţiunea normală N B respectiv forţa de frecare de alunecare T B , introduse ca echivalent mecanic al reazemului cu frecare de alunecare din B; A α VO 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, HA R dintre elementele sistemului, format din VA C componentele H A , V A şi H B , V B ale HO 1 3G reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de VB 4R echilibru pentru fiecare din corpurile care compun B 2 sistemul: HB VA α R + L = 0 ; M O + M OL = 0 . HA G A Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte Fe trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de 3 TB VB momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, al culisorului din NB B HB Q 33 B. Se obţin astfel ecuaţiile: H O − H A =0 ⎧ (1 ) ⎪ − − ⋅ = ; V V G 3 0 2) ( ⎨ O A ⎪ H ⋅ 4 ⋅ R ⋅ cosα −V ⋅ 4 ⋅ R ⋅sin α − 3⋅G ⋅OC ⋅sin α = 0 ( 3 ) A ⎩ A ⎧ ⎪ H A − H B =0 ⎪ ; V A −V B − G = 0 ⎨ ⎪ 4⋅ R ⋅sin α +V B ⋅ 4 ⋅ R ⋅sin α + H B ⋅ 4 ⋅ R ⋅ cosα = 0 ⎪G⋅ 2 ⎩ H B − N B =0 ⎧ ⎪ ⎨ F e +V B + T B − Q = 0 . ⎪ TB =μ⋅N B ⎩ Fe = k ⋅ Δy = 8 ⋅ k ⋅ r ⋅ (cos α 0 − cos α ) . (4 ) (5 ) (6 ) (7 ) (8 ) (9 ) Forţa elastică este: Din (8), tinând seama de (9) şi (7), se obţine V B = Q − Fe − μ ⋅ H B care, înlocuită în (6), conduce la NB = sin α G ⋅⎛⎜ + Q − F e ⎞⎟ . μ ⋅sin α − cosα ⎝ 2 ⎠ Exprimând N B şi din ecuaţia (3), având în vedere (4), (7) şi (5), se obţine 3⋅ G ⋅ z 1 C ⎛ sin α ⋅⎜⎜ G + Q − F e + 4⋅ R μ ⋅sin α + cosα ⎝ ⎞ sin α G ⎟⎟ = ⋅⎛⎜ + Q − F e ⎞⎟ , sin cos 2 ⋅ − μ α α ⎝ ⎠ ⎠ 3⋅ G ⋅ z 1 C μ ⋅sin α − cosα ⎛ ⋅⎜⎜ G + Q − F e + 4⋅ R μ ⋅sin α + cosα ⎝ ⎞ ⎛G ⎟⎟ = ⎜ + Q − F e ⎞⎟ ⎠ ⎠ ⎝ 2 . Urmează, din (1), (4), (7) şi din (8), (5), (2) ţinând seama de (9), H O =H A =H B =N B ; μ ⋅sin α G ⋅⎛⎜ + Q − F e ⎞⎟ ; μ ⋅sin α − cosα ⎝ 2 ⎠ μ ⋅sin α G ⋅⎛⎜ + Q − F e ⎞⎟ ; V A =G + Q − Fe − μ ⋅sin α − cosα ⎝ 2 ⎠ μ ⋅sin α G ⋅⎛⎜ + Q − F e ⎞⎟ . V O = 4 ⋅G + Q − F e − μ ⋅sin α − cosα ⎝ 2 ⎠ V B = Q − Fe − R lO = H O2 +V O2 ; R lA = H A2 +V A2 ; R lB = H B2 +V B2 ; T B = μ ⋅ N B . 34 Cinematica punctului Exemple Problemele privind cinematica punctului urmăresc, în esenţă, determinări de traiectorii, viteze şi acceleraţii. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea lor sunt următoarele: a) imaginar, se priveşte punctul în mişcare; b) se alege convenabil un sistem de referinţă; c) se înregistreză poziţia punctului în acest sistem; d) se exprimă ecuaţiile parametrice de mişcare, reprezentând coordonatele punctului ca funcţii de timp; e) dacă se solicită determinarea traiectoriei, se elimină timpul între ecuaţiile de mişcare; f) pentru determinarea vitezei şi acceleraţiei se utilizează expresiile componentelor acestora, în funcţie de sistemul de referinţă ales: Se dă o mişcare a unui punct material definită de ecuaţiile parametrice în coordonate carteziene x = 2⋅e t −1 şi y = 2⋅e t +1 . Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului. ----------------------------------------------------------------------------------------Traiectoria de mişcare se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Rezultă astfel funcţia Cilindric (polar) Intrinsec r y M (r,ϕ) M ϕ M x Ecuaţii parametrice Traiectorie Viteză Acceleraţie ⎧ x= x(t ) ⎨ ⎩ y= y (t ) f ( x , y )= 0 v x = x& ; v= a= v y = y& ; v x2 + v 2y a x = &x& ; a y = &y& ; a x2 +a + v N2 vϑ =0; v = v τ = s& v= a R = &r&− r ⋅ϕ& 2 ; a N = 2 ⋅ r& ⋅ϕ& + r ⋅ϕ&& ; 2 y ν cunoscută v R2 a = a R2 + a N2 Acceleraţia ⎧⎪ a x = &x&= 2 ⋅ e t ⎨ t ⎪⎩ a y = &y& = 2 ⋅ e v = 2⋅ 2 ⋅e t ⇒ v = v x2 + v 2y ; ⇒ a = a x2 + a 2y ; a = 2⋅ 2 ⋅e t . . τ ⎧ r =r (t ) ⎨ ⎩ ϕ =ϕ ( t ) f ( r , ϕ )= 0 v R = r& ; v N =r ⋅ϕ& ; a M (x,y) ⎧⎪ v x = x& = 2 ⋅ e t ⎨ t ⎪⎩ v y = y& = 2 ⋅ e M (s) s R N ρ M (x,y) reprezentând o dreaptă ( Δ ) în planul xOy. Viteza M (1,3) Sistem de referinţă plan Cartezian y=x+2 s=s (t ) v τ = s& ; a τ = &s&= v& ; aϑ = s& 2 ρ = v2 ρ ; a = a τ2 + a ϑ2 1 Să se determine raza de curbură iniţială a traiectoriei unui punct, dacă ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene sunt x = 2⋅t şi y = t 2 . -----------------------------------------------------------------Raza de curbură a traiectoriei unui punct material apare explicit în expresia componentei normale de acceleraţie în coordonate intrinseci: aϑ = Dar a 2 = a τ2 + a ϑ2 ρ= v ⇒ v2 ρ ⇒ 2 aϑ . a ϑ = a 2 − a τ2 = a 2 − v& 2 . Astfel, raza de curbură poate fi exprimată în funcţie de viteză şi acceleraţie ρ= v2 a 2 − v& 2 , care pot fi calculate având la dispoziţie ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene: Rezultă astfel ⇒ ⎧ a x = &x&= 0 ⎨ a = &y& = 2 ⎩ y v = v x2 + v 2y = 2 ⋅ 1+ t 2 ⇒ ρ= ( a = a x2 + a 2y = 2 . 4 ⋅ 1+ t 4− ( şi v& = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅t 2 ) 4 ⋅t 2 ) 3 2 1+ t 2 ; în care r reprezintă raza polară iar ϕ reprezintă unghiul polar. Raza polară se poate determina cunoscând că ⇒ v R = r& = b ; r = b ⋅t + C 1 . R Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte C 1 = r0 , prin N urmare R r N M (t) r = r 0 + b ⋅t . Unghiul polar se obţine din expresia vitezei areolare ( t=0 ) M a a 1 1 r0 ⇒ . Ω = ⋅ r ⋅ v N = ⋅ r 2 ⋅ϕ& ; ϕ& = 2 ⋅ Ω = = 2 ; 2 2 Sau 1+ t 2 ρ = 2 ⋅ 1+ t 2 2 r = r (ϕ ) ϕ ⎧ v x = x& = 2 ⎨ v = y& = 2 ⋅t ⎩ y Un punct material M descrie o traiectorie plană cu componenta de viteză în coordonate polare v R = b constantă şi viteza areolară Ω = a ⋅r , unde a=constant 2 şi r reprezintă mărimea razei vectoare a punctului M faţă de originea sistemului de coordonate polare. Fiind cunoscute condiţiile iniţiale la t = 0 , r = r0 , ϕ = 0 , să se determine ecuaţia traiectoriei. ----------------------------------------------------------------------------În coordonate polare, ecuaţia traiectoriei este o funcţie de forma dϕ = r r 0 + b ⋅t ϕ = a ⋅ ln ( r 0 + b ⋅t )+ C 2 . ⇒ a ⋅ dt ; r 0 + b ⋅t r b a Aplicând condiţiile iniţiale se găseşte C 2 = − ⋅lnr0 , prin urmare b ⎛ ⎞ ϕ = a ⋅ ln ⎜⎜ 1+ b ⋅t ⎟⎟ . b r . ⎝ 0 ⎠ Eliminând timpul între cele două ecuaţii parametrice de mişcare se obţine ecuaţia traiectoriei în coordonate polare: a ϕ = ⋅ ln r ; b r0 ⇒ r = r0 ⋅e a b ⋅ϕ . 2 ⎧ r = r (t ) . ⎨ ⎩ ϕ =ϕ ( t ) r = r (ϕ ) care se obţine eliminând timpul între ecuaţiile parametrice. Componentele vitezei în coordonate polare sunt c 2 = r& 2 + ( r ⋅ω 0 )2 . ⇒ ⇒ a v 2 = v R2 + v N2 , E C r& = c 2 − r 2 ⋅ω 02 sau dr c 2 − r 2 ⋅ω 02 = dt . A Rezultă ω0 c ⋅ cos u ⋅ du c ⋅ 1− sin 2 u = dt ⇒ sin u = sin ( ω 0 ⋅t + C ) Viteza ω0 du = ω 0 ⋅ dt ⇒ ⇒ r= ω0 c c şi ⇒ traiectoria r = ⋅sin ϕ . π 2 ω0 ; ⇒ ϕ ⇒ + ( 3⋅ a ) 2 y D2 =1 . 2 v D = v xD + v 2yD ; . 2 a D = a xD + a 2yD a D = a ⋅ω 2 ⋅ cos 2 ϕ + 9 ⋅sin 2 ϕ ; . ⎛ c x 2 + ⎜⎜ y − ω 2 ⋅ 0 ⎝ ⎞ ⎛ c ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ 2 ⋅ω 0 ⎠ ⎝ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ R r 2 . ϕ ; ⇒ a2 2 ⎪⎧ a xD = &x& D = − a ⋅ω ⋅ cos ϕ ⎨ 2 ⎪⎩ a yD = &y& D = −3⋅ a ⋅ω ⋅sin ϕ 3π 2 ω M În coordonate carteziene ⎧ x = r ⋅ cosϕ = c ⋅sin ϕ ⋅ cosϕ ⎪⎪ ω0 ⎨ ⎪ y = r ⋅sin ϕ = c ⋅sin 2 ϕ ω0 ⎩⎪ π x D2 ⎧ v xD = x& D = − a ⋅ω ⋅sin ϕ ⎨ v = y& = 3⋅ a ⋅ω ⋅ cosϕ D ⎩ yD Acceleraţia ⋅sin ( ω 0 ⋅t + C ) . O ω D unde ϕ = ω ⋅t Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă elipsa de ecuaţie v D = a ⋅ω sin 2 ϕ + 9 ⋅ cos 2 ϕ u = ω 0 ⋅t + C ; Constanta de integrare se determină din condiţiile r iniţiale şi rezultă C=0. Prin urmare, ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt: ⎧ r = c ⋅sin ( ω ⋅t ) 0 ⎪ ⎨ ω0 ⎪ ϕ = ω 0 ⋅t ⎩ a a a a ⎧ x D = a cos ϕ , ⎨ ⎩ y D = 3⋅ a ⋅sin ϕ şi ⇒ ϕ& = ω = ct . x Se efectuează schimbarea de variabilă c c r= ⋅ sin u ; dr = ⋅ cos u ⋅ du . ω0 a ϕ adică v R = r& ⎧ ⎨ v = ⎩ N r ⋅ϕ& = r ⋅ω 0 D y Traiectoria este o funcţie de forma Manivela motoare OC se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω în jurul articulaţiei O, antrenând în mişcare biela AD ale cărei puncte A E şi E culisează pe axele Ox, respectiv Oy. a C Cunoscând dimensiunile geometrice ale a mecanismului, să se determine traiectoria, viteza A a şi acceleraţia punctului D în funcţie de unghiul ϕ al mecanismului. ---------------------------------------------------------În coordonate carteziene, ecuaţiile parametrice de mişcare sunt: ϕ În mişcarea unui punct material M, modulul vitezei este o mărime constantă (v=c), iar viteza unghiulară de rotaţie a razei vectoare este de asemenea constantă şi egală cu ω 0 . Să se determine ecuaţiile de mişcare în coordonate polare şi traiectoria punctului, dacă la momentul t = 0 , r = 0 şi ϕ = 0 . ---------------------------------------------------------------------------------Ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate polare sunt: 3 ⎧ x = a ⋅ cosϕ = R ⋅sin ωt ⋅ cos ωt . ⎨ 2 ⎩ y = a ⋅sin ϕ = R ⋅sin ωt Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă x 2 + y 2 = R⋅ y R R x 2 + ⎛⎜ y − ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 sau reprezentând un cerc de rază R/2 cu centrul în O1 . Viteza ⎧ v x = x& = R ⋅ω ⋅ cos 2 ωt ⎨ v = y& = R ⋅ω ⋅sin 2 ωt ⎩ y Acceleraţia ⎧⎪ a x = &x&= −2 ⋅ R ⋅ω 2 ⋅sin 2 ωt ⎨ 2 ⎪⎩ a y = &y& = 2 ⋅ R ⋅ω ⋅ cos 2 ωt 2 ⇒ v = v x2 + v 2y ⇒ v = R ⋅ω ⇒ a = a x2 + a 2y ⇒ a = 2 ⋅ R ⋅ω 2 . Traiectoria se găseşte eliminând timpul între ecuaţiile de mişcare. Rezultă ecuaţia polară a traiectoriei r = R ⋅sin ϕ . Viteza M (r,ϕ) r=a ϕ B R ω O A R ⎧ v R = r& = R ⋅ω ⋅ cos ωt ⎨ ⎩ v N = r ⋅ϕ& = R ⋅ω ⋅sin ωt ⇒ ⇒ v = v R2 + v N2 v = R ⋅ω Acceleraţia O1 a N ⎧⎪ a R = &r&− r ⋅ϕ& 2 = −2 ⋅ R ⋅ω 2 ⋅sin ωt ⎨ ⎪⎩ a N = 2 ⋅ r& ⋅ϕ& + r ⋅ϕ&& = 2 ⋅ R ⋅ω 2 ⋅ cosωt . ⇒ a = a R2 + a N2 a = 2 ⋅R ⋅ω 2 . ⇒ 2ϕ s Obs. Sistemul de coordonate intrinseci se poate utiliza numai în ipoteza că se cunoaşte ecuaţia orară a traiectoriei M (s) s=s (t ) . B ϕ Considerând cunoscută traiectoria, ecuaţia sa orară este τ R O O1 ω s = ⋅ 2 ⋅ϕ = R ⋅ϕ . A R x Un disc de rază R se roteşte cu vitezaunghiulară constantă ω în jurul unei axe ce trece prin centrul său şi B a ϕ este perpendiculară pe centrul discului. Pe diametrul AB R se mişcă, plecând din O, un punct material după legea M (t) a = R ⋅sinωt . O Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia ω A punctului. ------------------------------------------------------------a) Varianta I- coordonate carteziene Se consideră un sistem de referinţă cartezian fix, se înregistreză poziţia punctului în acest sistem şi se exprimă M (x,y) coordonatele sale ca funcţii de timp. Conform B enunţului, discul se roteşte cu viteza unghiulară a ϕ constantă ω în jurul centrului O. Prin urmare, R unghiul de mişcare este ω O1 ϕ = ω ⋅t , A a de unde y ϕ& = ω = ct . Rezultă astfel ecuaţiile parametrice de mişcare în coordonate carteziene 2 a ν Viteza v = v τ = s& ⇒ v = R ⋅ω . Acceleraţia a τ = &s&= v& = 0 ⎧ ⎪⎪ 2 s& v 2 R 2 ⋅ω 2 ⎨ aϑ = = = = 2 ⋅ R ⋅ω 2 R ρ ρ ⎪ ⎪⎩ 2 ⇒ a =aϑ ⇒ a = 2 ⋅ R ⋅ω 2 . . b) Varianta II- coordonate cilindrice Se consideră un sistem de referinţă cilindric (polar). În acest sistem ecuaţiile parametrice de mişcare sunt ⎧ r = a = R ⋅sin ωt . ⎨ ϕ =ω ⋅t ⎩ 4 Un con circular drept, de unghi la vârf 2α , se roteşte în jurul axei sale de simetrie cu viteza O unghiulară constantă ω . Punctul material M pleacă din 2α vârful O al conului şi se deplasează pe generatoarea OA cu viteza constantă u. Să se determine viteza şi acceleraţia absolută a ω M (t) punctului după t secunde de la momentul pornirii. ----------------------------------------------------------------u A Unghiul de mişcare este ϕ = ω ⋅t şi ⇒ ϕ& = ω = ct . a) Varianta I- coordonate carteziene Ecuaţiile parametrice de mişcare ω Viteza ⎧ v x = x& = u ⋅sin α ⋅ cos ωt − u ⋅ω ⋅t ⋅sin α ⋅sin ωt ⎪ ⎨ v y = y& = u ⋅sin α ⋅sin ωt + u ⋅ω ⋅t ⋅sin α ⋅ cos ωt ⎪ v z = z& = u ⋅ cosα ⎩ z 2α N M (t) u ⇒ A Acceleraţia . ⇒ v = v x2 + v 2y + v z2 v = u ⋅ 1+ ω 2 ⋅t 2 ⋅sin 2 α . ⎧ a x = &x&= −2 ⋅u ⋅ω ⋅sin α ⋅sin ωt − u ⋅ω 2 ⋅t ⋅sin α ⋅ cos ωt ⎪⎪ 2 ⎨ a y = &y& = 2 ⋅u ⋅ω ⋅sin α ⋅ cos ωt − u ⋅ω ⋅t ⋅sin α ⋅sin ωt ; ⎪ a z = &z&= 0 ⎩⎪ ⇒ a = a x2 + a 2y + a z2 ; ⇒ v = v R2 + v N2 + v z2 v = u ⋅ 1+ ω ⋅t ⋅sin α 2 Acceleraţia 2 2 . ⇒ . ϕ x = R ⋅ cos ωt ; y = R ⋅sin ωt Viteza b) Varianta II- coordonate cilindrice Ecuaţiile parametrice de mişcare r = OM ⋅ sin α = u ⋅t ⋅ sin α ; ϕ = ω ⋅t ; z = OM ⋅ cosα = u ⋅t ⋅ cosα . Viteza ⎧ v R = r& = u ⋅sin α ⎪ ⎨ v N = r ⋅ϕ& = u ⋅ω ⋅t ⋅sin α ⎪ v = z& = u ⋅ cosα z ⎩ ⇒ Un cilindru de rază R se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară constantă ω . Pe generatoarea sa se M0 deplasează un punct material M, placând din M 0 fără viteză iniţială, cu acceleraţia constantă a 0 . x ω M (t) Să se determine O r a0 viteza şi acceleraţia R M0 punctului m, ştiind că la R N momentul iniţial t = 0 ω unghiul ϕ = 0 . M (t) -------------------------------------------------------a0 R --------şi Unghiul de mişcare este ϕ = ω ⋅t ⇒ ϕ& = ω = ct . a) Varianta I- coordonate carteziene Ecuaţiile parametrice de mişcare 2 2 ⇒ a = u ⋅ω ⋅sin α ⋅ 4 + ω ⋅t . a = a x2 + a 2y + a z2 z y ϕ R ⇒ a = u ⋅ω ⋅sin α ⋅ 4 + ω 2 ⋅t 2 y ⎧ x = OM ⋅sin α ⋅ cosϕ = u ⋅t ⋅sin α ⋅ cos ωt ⎪ ⎨ y = OM ⋅sin α ⋅sin ϕ = u ⋅t ⋅sin α ⋅sin ωt ⎪ z = OM ⋅ cosα = u ⋅t ⋅ cosα ⎩ x r O ⎧ a R = &r&− r ⋅ϕ& 2 = − u ⋅ω 2 ⋅t ⋅sin α ⎪ ⎨ a N = 2 ⋅ r& ⋅ϕ& + r ⋅ϕ&& = 2 ⋅u ⋅ω ⋅sin α ⎪ a z = &z&= 0 ⎩ ⎧ v x = x& = − R ⋅ω ⋅sin ωt ⎪ ⎨ v y = y& = R ⋅ω ⋅ cos ωt ⎪ v z = z& = a 0 ⋅t ⎩ ⇒ ⇒ ; z= a 0 ⋅t 2 2 . v = v x2 + v 2y + v z2 v = R 2 ⋅ω 2 + a 02 ⋅t 2 . Acceleraţia ⎧ a x = &x&= − R ⋅ω 2 ⋅ cos ωt ⎪⎪ 2 ⎨ a y = &y& = − R ⋅ω ⋅sin ωt ⎪ a z = &z&= a 0 ⎪⎩ ⇒ a = a x2 + a 2y + a z2 ⇒ a = R 2 ⋅ω 4 + a 02 . b) Varianta II- coordonate cilindrice 5 Ecuaţiile parametrice de mişcare r=R ; ϕ = ω ⋅t ; z= a 0 ⋅t 2 2 . Viteza ⎧ v R = r& = 0 ⎪ ⎨ v N = r ⋅ϕ& = R ⋅ω ⎪ v = z& = a ⋅t 0 ⎩ z ⇒ v = R 2 ⋅ω 2 + a 02 ⋅t 2 ⇒ v = v R2 + v N2 + v z2 . Acceleraţia ⎧ a R = &r&− r ⋅ϕ& 2 = − R ⋅ω 2 ⎪ ⎨ a N = 2 ⋅ r& ⋅ϕ& + r ⋅ϕ&& = 0 ⎪ a z = &z&= a 0 ⎩ ⇒ a = a x2 + a 2y + a z2 2 4 2 ⇒ a = R ⋅ω + a 0 . Se consideră o camă triunghiulară care alunecă pe un ghidaj orizontal cu acceleraţia constantă a 0 . Cama pune în mişcare un tachet care alunecă într-un ghidaj vertical. Cunoscând unghiul α de înclinare al suprafeţei de contact a camei, să se determine acceleraţia tachetului. a0 α Cinematica mişcării de translaţie ------------------------------------------------------------------------Acceleraţia unui punct A al tachetului se reduce la componenta verticală a A = &y& A . Cu notaţiile din figură, y A = x B ⋅tgα A (0,yA ) unde aA α y a0 x ⇒ &y& A = &x& B ⋅tgα , &x& B = a 0 . aB B (x ,0) Rezultă a A = a 0 ⋅tgα . 6 vO = b) v A +v B T= 2 2 ⋅π ⋅ vO = ; ⇒ R1 + R 2 2 vO ω 1 ⋅ R1 + ω 2 ⋅ R 2 ; ⇒ 2 T= d) dacă ω 2 = ω 1 ω 1 ⋅ R1 + ω 2 ⋅ R 2 O1 ω1 R 1 R2 R2 B a) v A = ω 1 ⋅ R 1 = ω ⋅ IA ; v B = ω 2 ⋅ R 2 = ω ⋅ IB . v B − v A = ω 2 ⋅ R 2 − ω 1 ⋅ R 1 = ω ⋅ ( IB − IA ) ; ⇒ ω= ω 2 ⋅ R 2 −ω 1 ⋅ R1 R 2 − R1 ⇒ ω = ω 1 = ω 2 , deci rola execută 1 rotaţie. ⇒ R2 R1 . ω2 = . ϕ A ---------------------------------------------------------------------Centroidele mişcării plane a barei reprezintă locurile geometrice, adică traiectoriile centrului instantaneu de rotaţie I, înregistrate în raport cu un sistem de referinţă fix, rostogolitoarea respectiv în raport cu un I B sistem mobil solidar cu B ω ω bara. Prin urmare se I 2ϕ ϕ baza procedează ca la aB I O C x cinematică de punct: P yI Inelele execută mişcări de rotaţie cu vitezele unghiulare ω 1 şi ω 2 , iar rola execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω . După determinarea centrului instantaneu de rotaţie, se exprimă vitezele punctelor A şi B ca puncte comune pieselor în contact. ω A O R1 R2-R1 ω 2 ⋅ R 2 −ω 1 ⋅ R1 = 0 y1I ω2 viteza unghiulară instantanee ω a unei role; viteza centrului O al rolei şi perioada ei de revoluţie; raportul ω 1 / ω 2 astfel ca mişcarea rolei să fie de translaţie; numărul de rotaţii efectuate de rolă în intervalul de timp în care inelele fac o rotaţie completă cu aceeaşi viteză unghiulară ω 1 = ω 2 . -------------------------------------------------------------------- I ⇒ Să se determine centroidele mişcării barei. Cunoscând viteza capătului A, v A = v , să se determine viteza O1 capătului B. a) b) c) d) O1 ω1 . 2 Presupunând că între role şi inele nu există alunecări, să se determine: ) Bara AB de lungime 2l execută o mişcare cardanică, capetele A şi B deplasându-se respectiv pe axele fixe B O1 x1 şi O1 y 1 . Cinematica mişcării plan-paralele Inelul interior al unui rulment cu role se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω 1 , iar inelul exterior are viteza unghiulară ω 2 , de asemenea constantă. Cele două inele au razele R1 , respectiv R 2 . . 2 ⋅π ⋅ ( R 1 + R 2 c) condiţia este ca ω =0 , = ct O1 x1I A = a0 - se determină CIR; aA - se aleg convenabil A ω1 O1 sistemele de referinţă; - se determină ecuaţiile parametrice de mişcare; - se elimină timpul între acestea. BAZA ⎧ x 1 I = 2 ⋅l ⋅sin ϕ ; ⎨ ⎩ y 1 I = 2 ⋅l ⋅ cos ϕ ⇒ x 12I + y 12I = ( 2 ⋅l ) 2 ; - un cerc de rază 2l cu centrul în originea sistemului fix considerat. 7 ROSTOGOLITOAREA ⎧ x I = l ⋅sin 2 ϕ ; ⇒ ⎨ ⎩ y I = l ⋅ cos 2 ϕ a O = ω 12 ⋅O 1 O = ω 12 ⋅ 2 ⋅ r ⎫⎪ ⎬ ⎪⎭ a O = ω 2 ⋅ PO x I2 + y I2 = l 2 ; - un cerc de rază l cu centrul în originea sistemului mobil considerat. Pentru a calcula viteza punctului B se determină mai întâi viteza unghiulară instantanee a barei: Rezultă v A = ω ⋅ IA de unde ω = v B = ω ⋅ IB = v ⋅ 2 ⋅l ⋅sin ϕ ; 2 ⋅l ⋅ cosϕ vA IA = v 2 ⋅l ⋅ cosϕ . v B = v ⋅tgϕ B r Să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor A şi B ale discului. O A R=3r Vitezele ω ω1 O1 Se exprimă viteza punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară ω 1 , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω : B I aB O a0 P aA A O1 ω1 v O =ω 1 ⋅2⋅ r ⎫ ⎬ v O =ω ⋅ r ⎭ ⇒ Astfel, se pot obţine: v A = ω ⋅ IA = 2 ⋅ω 1 ⋅ 2 ⋅ r ; v B =ω ⋅ IB = 2⋅ω 1 ⋅ r 2 ; v B = 2 2 ⋅ω 1 ⋅ r . ω = 2 ⋅ω 1 . v A = 4 ⋅ω 1 ⋅ r ; Acceleraţiile Se exprimă acceleraţia punctului O ca punct comun atât manivelei care se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω 1 , cât şi discului care execută mişcare plană cu viteza unghiulară instantanee ω , de asemenea constantă: PO = aO ω 2 = 2 ⋅ω 12 ⋅ r 4 ⋅ω 12 = r. 2 Polul acceleraţiilor P este situat pe direcţia dată de a O Cunoscând polul acceleraţiilor, se pot calcula: a A = ω 2 ⋅ PA = 4 ⋅ω 12 ⋅ r 2 a A = 2 ⋅ω 12 ⋅ r = a O ; r a B = ω 2 ⋅ PB = 4 ⋅ω 12 ⋅ r 2 + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠ . Manivela O1 O = 2⋅r a mecanismului planetar din figură se roteşte cu viteza unghiulară constantă ω 1 . Ea conduce în mişcare plană un disc de rază r care se rostogoleşte fără alunecare în interiorul coroanei cilindrice de rază R =3⋅r . ⇒ 2 ; ; a B = 2⋅ 5 ⋅ω 12 ⋅ r . Rotorul unei maşini electrice are o turaţie de regim de n=1000 rot/min când i se întrerupe alimentarea cu curent electric. Ca urmare a rezistenţelor pe care le întâmpină, după N 1 = 700 rotaţii, din momentul întreruperii alimentării, rotorul se opreşte. Cunoscând raza r=20 cm a rotorului şi considerând mişcarea de rotaţie ca fiind uniform încetinită, să se determine: a) timpul t 1 după care s-a oprit; b) viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferia rotoruluidupă ce acesta a făcut 200 de rotaţii din momentul întreruperii alimentării. ----------------------------------------------------------------ω 0 = π ⋅ n ;` ω 0 =104 , 72 s −1 . a) Viteza unghiulară iniţială este 30 Mişcarea fiind uniform încetinită, se pot scrie relaţiile ϕ = ω 0 ⋅t − Pentru t = t 1 , acestea sunt ε 0 ⋅t 2 2 ; ω = ω 0 − ε 0 ⋅t . ⎧ ε ⋅t 2 ⎪ 2 ⋅π ⋅ N 1 = ω 0 ⋅t 1 − 0 1 t1 , ⎨ 2 ⋅ ⎪ 0 = ω 0 − ε 0 ⋅t 1 2 ⎩ de unde rezultă timpul t 1 al opririi, precum şi acceleraţia unghiulară ε 0 : t1 = 4 ⋅π ⋅ N 1 ω0 = 4 ⋅π ⋅ N 1 ⋅ 30 120 ⋅ N 1 = π ⋅n n ; t 1 = 84 s ; 8 ε0 = ω0 t1 = π ⋅n ⋅ n π ⋅n 2 = 30 120 ⋅ N 1 3600 ⋅ N 1 ; ε 0 =1, 2467 s −2 . λ= b) Se notează cu t 2 timpul corespunzător celor N 2 = 200 rotaţii. Astfel, există ⎧ ε ⋅t 2 ⎪ 2 ⋅π ⋅ N 2 = ω 0 ⋅t 2 − 0 2 ⎨ 2 , ⎪ = − ⋅ ω ω ε t 2 0 0 2 ⎩ Urmează v 02 + v 0 de unde se obţine viteza unghiulară a rotorului la momentul t 2 ω 2 = ω 02 − 4 ⋅π ⋅ N 2 ⋅ε 0 ; ω 2 = 88 , 5 s −1 . ; a 2 = r ⋅ ε 02 + ω 24 =1566 , 45 m / s 2 ( v 02 Cinematica mişcării de roto-translaţie Două puncte A şi B ale unui cilindru sunt situate pe acelaşi diametru, la distanţele d 1 şi d 2 de axa lui. Cilindrul execută o mişcare de rototranslaţie cu viteza unghiulară ω şi cu viteza de translaţie v 0 . d1 A Ce relaţie trebuie să existe între distanţele d 1 şi d 2 , dacă vitezele celor două puncte sunt perpendiculare între ele? ω ) 2 − 1 0 ( ) 1 ⎡ d2 ⎤ v 02 + ω × d 1 ⋅ ⎢ − ⋅ ω ×d 1 ⎥ =0 , ⎣ d1 ⎦ v 02 − . . d1 (v 0 +ω × d 1 )⋅(v 0 +ω × d 2 )= 0 , ⋅ (ω × d )+ (ω × d )⋅ v + (ω × d )⋅ (ω × d )= 0 , Rezultă viteza şi acceleraţia unui punct de pe periferie, după 200 de rotaţii: v 2 = ω 2 ⋅ r =17 , 7 m / s d2 d2 d1 ⋅ω 2 ⋅ d 12 d2 d1 =0 ⋅ ω ×d 1 ⇒ 2 2 =0 , d 1 ⋅d 2 = v 02 ω2 . d2 B -------------------------------------------------------------Condiţia de ortogonalitate a celor două viteze este ca v A ⋅v B = 0 , unde: A d1 rA d2 ω rB O v B = v 0 +ω ×r B = v 0 +ω ×d 2 . d2 d1 B v A = v 0 +ω ×r A = v 0 +ω ×d 1 , Conform enunţului, există relaţia d 2 = − λ ⋅d 1 , în care 9 10