Leylandtal

Inom talteori är ett Leylandtal ett tal av formen x^y + y^x, där x och y är heltal större än 1. De är uppkallade efter matematikern Paul Leyland. De första Leylandtalen är

8, 17, 32, 54, 57, 100, 145, 177, 320, 368, 512, 593, 945, 1124, 1649, 2169, 2530, 4240, 5392, 6250, 7073, 8361, 16580, 18785, 20412, 23401, 32993, 60049, 65792, 69632, 93312, 94932, 131361, 178478, 262468, 268705, 397585, 423393, 524649, 533169, … (talföljd A076980 i OEIS)

Kravet att x och y är båda större än 1 är viktigt, eftersom i övrigt fall skulle varje positivt heltal vara ett Leylandtal av formen x¹ + 1^x. Ofta lägger man även till kravet x ≥ y, så att 1 < y ≤ x.

De första Leylandtalen som även är primtal är

17, 593, 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600193, 4318114567396436564035293097707729426477458833, 5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337, … (talföljd A094133 i OEIS)

eftersom de kan skrivas som

3²+2³, 9²+2⁹, 15²+2¹⁵, 21²+2²¹, 33²+2³³, 24⁵+5²⁴, 56³+3⁵⁶, 32¹⁵+15³².

Man kan även fixera värdet på y och studera sekvensen med variabeln x, exempelvis x² + 2^x, som är ett primtal för x = 3, 9, 15, 21, 33, 2007, 2127, 3759, 29355, 34653, 57285, 99069, … ( A064539).

November 2012 var det största kända Layland 5122⁶⁷⁵³ + 6753⁵¹²² med 25050 siffror. December 2012 bevisades att de två talen 3110⁶³ + 63³¹¹⁰ (5596 siffror) och 8656²⁹²⁹ + 2929⁸⁶⁵⁶ (30008 siffror) är primtal, av vilka den andra blev det största kända Leylandprimtalet.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Leyland number, 26 november 2013.