topologi

Den delen av topologien der man studerer de mest generelle topologiske objektene og egenskapene kalles generell topologi eller punktmengdetopologi. De to mest grunnleggende konseptene man studerer er topologiske rom og kontinuerlige funksjoner.

Et topologisk rom er en samling med punkter der man har definert hvilke av de som «ligger nære hverandre», uten at dette nødvendigvis kan måles med en numerisk avstand. Dette konseptet generaliserer de tidligere begrepene og versjonene av åpne og lukkede omegn, brukt og studert mye av blant andre Bernhard Riemann, Augustin-Louis Cauchy og Karl Weierstrass i deres banebrytende forskning innenfor analysen og differensialgeometrien.

Funksjoner som bevarer denne nærliggenheten kalles kontinuerlige funksjoner. Altså er en kontinuerlig funksjon en funksjon der punkter nære hverandre blir sendt til punkter nære hverandre.

Man sier at to topologiske rom er like, eller homeomorfe, hvis det finnes en kontinuerlig funksjon mellom de to rommene som kan inverteres, der den inverse også er en kontinuerlig funksjon. Disse funksjonene kalles homeomorfier, og er det matematiske redskapet topologer bruker til å kontinuerlig deformere et topologisk rom. De to fundamentale konseptene topologiske rom og kontinuerlige funksjoner er selve grunnlaget for hele topologien, og gjennomsyrer også analysen, kalkulus, algebra og mange andre fagfelt innenfor matematikken.

Egenskapene man studerer i generell topologi er mer kvalitative enn i geometrien og kan dermed virke veldig enkle og intuitive, samtidig som de ofte er veldig vanskelige å finne ut av. Spørsmål man ofte stiller kan blant annet være:

• Hvor mange deler består objektet av?
• Hvor mange hull har det?
• Er det uendelig i utstrekning?
• Har det en rand?
• Har alle kontinuerlige funksjoner mellom to gitte rom et fikspunkt?

Slike spørsmål leder til konsepter som sammenhengenhet, kompakthet og bettitall, samt resultater som Heine-Borels teorem, Brouwers fikspunktteorem, Urysohns lemma og Baires kategoriteorem.

Store deler av topologiens utvikling skjedde gjennom formaliseringen av den matematiske analysen etter Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz. Man trengte å gjøre konsepter som omegn, grenser, konvergens og kontinuitet rigorøse, og sette dem på et solid matematisk fundament. Dette fundamentet utviklet seg etter hvert til en egen disiplin, som i dag kalles differensialtopologi.

Denne retningen av topologi omhandler glatte overflater og deres generaliseringer, kalt mangfoldigheter. Eksempler på slike objekter kan være et kuleskall eller en torus. Studiet av disse har sterke koblinger til blant annet analysen og fysikken. For eksempel bruker man differensialtopologi og differensialgeometri til å matematisk beskrive universet vi lever i, hvordan man kan regne ut integraler og bruke flervariable funksjoner på mer generelle matematiske objekter. Fagfeltet blir også tatt i bruk til å studere dynamiske systemer og differensiallikninger.

Fagfeltet blomstret i større grad da matematikere på slutten av 1800-tallet prøvde å klassifisere alle mulige overflater. Dette startet med August Ferdinand Möbius’ klassifisering av orienterbare overflater i 1861 og av ikke-orienterbare overflater av Walther von Dyck i 1888, men siden ideene og den matematiske teknologien rundt topologiske rom ikke var tilgjengelige enda, var ikke klassifiseringene fullstendig rigorøse. En mer presis og tilfredsstillende klassifisering kom i 1907 av Max Dehn og Poul Heegaard.

Klassifiseringen av høyere-dimensjonale overflater og mer generelle mangfoldigheter er svært komplisert. Det viser seg at mangfoldigheter med dimensjon mindre enn fire oppfører seg veldig forskjellig fra mangfoldigheter med dimensjon større eller lik fem, og at mangfoldigheter med dimensjon fire har egenskaper som ingen andre dimensjoner har. For eksempel finnes det uendelig mange glatte strukturer på det firedimensjonale euklidske rommet, men kun én unik slik struktur for alle andre dimensjoner.

Den klassiske geometrien har veldig mange kvantitative verktøy man kan bruke når man studerer geometriske figurer og former. For eksempel kan man finne ut av om to trekanter er like eller forskjellige ved å måle hvor store vinklene deres er, eller hvor lange sidene deres er. I topologien får man lov til å deformere disse trekantene, og derfor kan man ikke lenger ta i bruk de vanlige kvantitative egenskapene ved objektene man bruker. Man tar derfor heller i bruk kvalitative beskrivelser, slik som at man enkelt kan se forskjell på et kuleskall og en torus, fordi den ene har et hull i midten. Algebraisk topologi handler om å prøve å gjøre disse kvalitative intuitive egenskapene om til kvantitative matematiske egenskaper, som regel ved å tilordne de topologiske objektene noen algebraiske egenskaper. Dette gjør at man kan utføre beregninger og bruke allerede kjente resultater fra andre områder av matematikken. De mest brukte slike redskapene er homologi, homotopi og kohomologi, som sprang ut av Henri Poincarés arbeid på begynnelsen av 1900-tallet. Disse kan man bruke til å skille på ulike rom, for eksempel kuleskallet og torusen, ettersom de har ulik homologi.

De store spørsmålene som matematikere prøvde å besvare i den grunnleggende fasen av algebraisk topologi, var om disse matematiske redskapene var sterke nok og gode nok til å kunne klassifisere topologiske rom. Det viste seg at dette ikke var tilfellet, og at man ikke kan kjenne igjen om to topologiske rom er homeomorfe bare ved å studere homologi eller homotopi. Dette førte til studiet av homotopiekvivalenser, en form for «likhet» litt svakere enn homeomorfier, og dermed til fagfeltet homotopiteori. Store deler av dagens forskning innenfor algebraisk topologi gjøres innenfor denne delen, grunnet deres interessante sammenhenger med algebraisk geometri, algebra og kategoriteori.

Disse første topologiske ideene ble utviklet videre av Simon Antoine Jean L’Huilier, Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Bernhard Riemann, August Ferdinand Möbius, Enrico Betti og flere. Fagfeltet ble i denne tidlige fasen kalt analysis situs etter Leibniz, og navnet topologi ble først popularisert av Felix Hausdorff og Solomon Lefschetz i første halvdel av 1900-tallet, selv om det først ble tatt i bruk av Johan Benedict Listing i 1847.

Mer moderne topologi fikk sitt ordentlige fundament i 1895, da Henri Poincaré publiserte sin banebrytende artikkel Analysis situs. De etterfølgende ti årene publiserte han også fem tillegg til artikkelen.

Disse publikasjonene introduserte tidlige versjoner av det vi i dag kaller mangfoldigheter, homologi, homotopi, Euler-karakteristikk, Morseteori og den kjente Poincaré-formodningen, som først ble løst i 2003 av Grigori Perelman — altså selve fundamentet av det som i dag omtales som algebraisk topologi.