funksjon (matematikk)

Eksempel 1 er funksjonen \(f(x)= 2x\). Dette er en regel som for hvert tall \(x\) tilordner et tall som er lik det dobbelte av \(x\). For eksempel er \(f(3)= 6\). Variabelen \(x\) kalles for argumentet (eller den frie eller uavhengige variabelen) til funksjonen \(f\).

Eksempel 2 er regelen som for hver trekant tilordner trekantens areal. Om man kjenner lengden av sidene på trekanten, gir Herons formel et funksjonsuttrykk for funksjonen.

Eksempel 3 er regelen som til ethvert norsk fødselsnummer tilordner de første seks sifrene (som angir fødselsdatoen).

• Funksjonen er injektiv hvis den alltid avbilder to forskjellige elementer i definisjonsområdet \(M\) på to forskjellige elementer i \(N\).
• Hvis hvert eneste element i \(N\) kan skrives på formen \(f(a)\), med \(a\) i \(M\), kalles \(f\) surjektiv. Da kan man si at \(f\) avbilder \(M\) på \(N\).
• En funksjon som er både injektiv og surjektiv, kalles bijektiv (eller en-entydig).

Funksjonen \(f(x)=2x\) i eksempel 1 er injektiv når \(M\) og \(N\) begge er de reelle tallene, for når man ganger to ulike reelle tall med 2, får man alltid to ulike reelle tall. I dette tilfellet er den også surjektiv, for alle reelle tall kan framkomme ved å gange et annet reelt tall med 2. Den er derimot ikke surjektiv hvis \(M\) og \(N\) begge er heltall, siden for eksempel 3 ikke kan framkomme som et heltall ganget med 2.

I eksempel 2, med trekanter, er definisjonsmengden \(M\) mengden av alle trekanter, og \(N\) er lik de positive reelle tallene. Funksjonen er surjektiv, siden det fins trekanter med vilkårlig areal, men den er ikke injektiv, siden det fins ulike trekanter som har samme areal. Merk at denne regelen er en matematisk funksjon selv om det ikke er angitt et funksjonsutrykk for funksjonen.

Funksjonen i eksempel 3, med fødselsnummer, er ikke injektiv, siden det fins flere mennesker som er født samme dag. Her er definisjonsmengden \(M\) mengden av alle aktive fødselsnummer. Om bildeområdet \(N\) er lik mengden av alle sekssifrede naturlige tall, er ikke funksjonen surjektiv, siden for eksempel heltallet 404040 ikke svarer til en dato. Men om \(N\) begrenses til alle sekssifrede tall som kommer fra en dato, blir funksjonen surjektiv (om vi antar det fødes minst ett menneske hver dag i Norge).

Studiet av reelle og komplekse funksjoner av en eller flere variable utgjør hovedtyngden av det man vanligvis kaller matematisk analyse. Dette omfatter store, klassiske områder av matematikken, som for eksempel differensialregning, integralregning og kompleks funksjonsteori.

Innen kompleks funksjonsteori av én variabel (ofte kalt bare funksjonsteori) studeres først og fremst komplekse funksjoner som kan deriveres (er deriverbare) – såkalte analytiske funksjoner. I moderne tid har også komplekse funksjoner av flere variable fått en stadig større betydning.

Av viktige, spesielle funksjoner både i det reelle og det komplekse tilfellet kan nevnes polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, trigonometriske funksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Det er først og fremst ut fra disse mer konkrete funksjonene og deres mange anvendelser at funksjonsbegrepet gradvis har utviklet seg til å bli det helt generelle begrep «avbildning mellom mengder» som det er i dag.

• matematisk analyse
• derivasjon