schrödingerligningen

Fysikeren Niels Bohr postulerte tidlig på 1900-tallet at elektroner i et atom bare kan bevege seg i bestemte stasjonære baner. Reglene som disse banene ble valgt ut etter, kjent som Bohrs kvantebetingelser, var formulert på rent empirisk grunnlag. Disse reglene var tilleggsbetingelser som måtte godtas i mekanikken ved siden av Isaac Newtons bevegelseslover.

I motsetning til dette kan elektronbanene utledes matematisk ved å løse schrödingerligningen. Ligningen er en såkalt egenverdiligning som bare har løsninger for bestemte verdier av parametre som inngår i beskrivelsen av bevegelsen.

Løsninger av schrödingerligningen representerer en naturbeskrivelse som er fundamentalt forskjellig fra den som gis i klassisk (Newtonsk) mekanikk. En partikkel beskrives her ikke med bestemte koordinater i rom og tid, men med en bølgefunksjon Ψ (x, y, z, t) som representerer sannsynlighetsamplituden for partikkelen. (Ψ er den greske bokstaven psi.) Funksjonen |Ψ(x, y, z, t)|² gir sannsynlighetsfordelingen for partikkelen i rom og tid.

Den tidsavhengige schrödingerligning for en partikkel er:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V \cdot \Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}\]

hvor ℏ = h/2π, h er Plancks konstant, V er partikkelens potensielle energi, \(i = \sqrt{-1}\) og

\[\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\]

er den 2. partielt deriverte med hensyn på stedskoordinatene mens

\[\frac{\partial}{\partial t}\]

er den 1. deriverte med hensyn på tiden.

Den tidsuavhengige schrödingerligningen beskriver stasjonære tilstander. I denne er både potensiell energi, V, og bølgefunksjon, Ψ, tidsuavhengige, og ligningen blir:

\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi = E\Psi\]

hvor E er partikkelens totale (kinetiske og potensielle) energi.

Problemene i kvantemekanikken dreier seg ofte om å bestemme for hvilke verdier av E ligningen har løsninger, energiegenverdier, og å finne tilsvarende former for ψ, egenfunksjoner, samt å finne tilsvarende verdier av andre fysiske størrelser. Bare i spesielle tilfeller kan disse problemene løses eksakt.

Formelt kan schrödingerligningen betraktes som uttrykk for en fundamental naturlov som man kan legge til grunn for kvantefysikken. Dette ble særlig gjort i kvantefysikkens første periode. Nå betraktes den snarere som en konsekvens av kvantemekaniske prinsipper som man mener må legges til grunn for naturbeskrivelse innen atomfysikken.