fourieranalyse

Fourieranalyse er en matematisk metode til å analysere funksjoner ved å representere dem ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Hvis funksjonen for eksempel representerer et lydsignal, vil en fourieranalyse finne distribusjonen av ulike frekvenser i signalet.

Metoden brukes i en rekke områder av matematikken, som differensialligninger, tallteori, kryptografi, sannsynlighetsteori, numerikk og statistikk. Den har også mange anvendelser, først og fremst i signalbehandling og digital billedbehandling, samt mer generelt i fysikk.

For å gjennomføre en fourieranalyse, må man ofte foreta en fouriertransform. Ofte er det slik at analysen blir lettere i de fouriertransformerte variable.

Et eksempel på bruk av fourieranalyse er om man skal løse varmeledningsligningen \(u_t=u_{xx}\) der \(u\) kan representere temperaturen for eksempel i en jernstav. Dette er en partiell differensialligning, der \(u_t\) er den tidsderiverte og \(u_{xx}\) er den to ganger romderiverte av funksjonen \(u\). Hvis man foretar en fouriertransform av \(u\), finner man at den fouriertransformerte funksjonen \(\hat{u}=\hat{u}(\lambda)\) oppfyller den ordinære differensialligningen \({\hat u}_t= −\lambda^2{\hat u}\), som kan løses direkte. Deretter foretar man en invers fouriertransform, som bringer en tilbake til funksjonen \(u\).