Duž

i sve tačke koje se nalaze između tih tačaka. Tačke A, B su krajevi duži, a ostale tačke unutrašnje tačke duži. Skup tih tačaka je otvorena duž.

Duž ćiji su krajevi A i B nazivamo rastojanje (odstojanje) tačaka Ai B. Za duž ćiji su krajevi A i B kažemo da je duž AB i označavamo sa AB ili BA Duž čiji se krajevi A i B poklapaju naziva se nulta duž.

Orjentisana duž

Orjentisana duž je duž ćiji su krajevi uređen par tačaka.nazivamo je i vektor. Prvi kraj orjentisane duži AB je početak te duži. Uzmimo uređenost prave u smjeru u kome je A<B i C<D kažemo da vektori${\vec {A}}B$ i ${\vec {C}}D$ imaju isti smjer; a ako je D<C onda vektori ${\vec {A}}B$ i ${\vec {C}}D$ imaju suprotne smjerove.

Nula duž određuje nula vektor ${\vec {0}}$

Sadržavanje duži

Teoreme

1. Ako je M unutrašnja tačka duži AB onda

duž AM i MB sadrže se strogo u duži AB tj AM je podskup od AB i BM podskup AB

• duž AB= AM U MB i pri tom je AM ∩ MB = (M)
• ako su M i N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u AB

2. Ako su M,N unutrašnje tačke duži AB onda se duž MN sadrži u duži AB Posljedica

1. duž (prava) sadrže beskonačno mnogo tačaka
2. ravan sadrži beskonačno mnogo tačaka

Skup svih pravi koje prolaze kroz tačku ravni i leže u toj ravni ćine pramen pravih s vrhom u tački A.

Aksioma prenošenja duži

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži.

Posljedica

Ako su B, B₁ dvije tačke poluprave sa početkom A takve da je AB=AB₁ onda je B=B₁. Odnosno dvije različite tačke poluprave ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

Sredina duži

Tačka M duži AB koja ima jednako rastojanje od krajeva A i B duži ( AM=MB) naziva se sredina duži Teorema Duž može da ima samo jednu sredinu. Dokaz Neka duž AB ima dvije sredineM i N. AM=MB AN=NB

Za A<B je A<M<N<B ili A<N<M<B. Posmatrajmo A<M<N<B odnosno imamo niz relacija AM<AN ; AN=BN ; BN<BM odnosno AM<BM, nemoguće jer je AM=BM Ako je m sredina duži onda je AB=AM+MB=2 AM

Sabiranje duži

Neka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo zbiromNeka su A,B,C bilo koje tačke prave takve da je A<B<C, tj AB=a i BC=b , duž AC zvaćemo zbirom duži a i b.

Aksiom zbira duži

Ako su tačke A,B,C kolinearne i M,N,P isto kolinearne tačke takve da je AB=MN i BC=NP onda je i AC=MP.

Teorema (pravilo zamjene)

Ako su odgovarajući sabirci dvaju zbirova duži jednaki onda su i zbirovi jednaki.

(a= a₁ & b=b₁) => a+b=a₁ + b₁ Na osnovu ove teoreme proizlazi a=b=>a+c=b+c Komutativnost zbira duži a+b=b+a Asocijativnost (a+b)+c=a+(b+c)

Zbir od n jednakih duži a označavamo sa na. Za proizvod na važ: m(na)=(mn)a (m+n)a=ma + na m(a+b)= ma+mb

Za b=na važi a=b/n

Upoređivanje duži

Neka su a i b proizvoljne duži na poluprave sa početkom u A.

Nađimo tačke B i C takve da je AB=a i AC=b . Za A<B<C kažemo da je duž a manja od duži b( a<b) ili duž b je veća od duži a (b>a)

Ako su tačke B i C na jednoj polupravoj sa početkom u A, a B₁, C₁ na drugoj sa početkom u A₁ takve da je AB=A₁B₁ & AC=A₁C₁, ako je A<B<C onda je i A₁,B₁<C₁

Teorema

Ako je a=a₁; b=b₁ i a<a₁ onda je i a<b₁ Teorema Za proizvoljne duži a,b isključivo je ab

Dokaz

Ako prenesemo duži a,b na polupravu sa početkom u O tako da je OA=a i OB=b. Tada je moguć samo jedan od ova tri slučaja

• A=B onda je a=b
• O<A<B onda je a<b
• O<B<A onda je b<a

Teorema( Zakon tranzitivnosti)

Za duži a,b,c važi ( a<b & b<c) => a<c

Teorema(Zakon monotonije)

Za duži a,b,c važi ako je a<b onda je a+c<b+c

odnosno ako nejednakosti duži dodamo s jedne i s druge strane istu duž dobićemo tačnu nejednakost.

Razlika duži

Za a>b na duži AB postoji tačka C takva da je AC=b, duž a jednaka je zbiru duži b i c. Duž c nazivamo razlika duži a i b.

Odnosno razlika duži a i b (a>b) koja se označava sa a-b je svaka duž c takva da je b+c= c+b=a.

b+c=a => c=a-b

Razlika jednakih duži jednaka je nuli.