Zmienna losowa

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby^[1]. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Definicja

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ,$ tzn. funkcję $\xi$ spełniającą warunek

\xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}

dla każdego zbioru borelowskiego

B\subseteq \mathbb {R} .

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X,Y,Z$ lub liter greckich $\xi ,\eta ,$ odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni $\Omega$ o wartościach w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać $X(\omega )=\left(X_{1}(\omega ),X_{2}(\omega ),\dots ,X_{n}(\omega )\right),$ gdzie $X_{i}$ dla $i=1,\dots ,n$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady

Niech $\Omega$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i,j)\in \mathbb {R} ^{2},$ gdzie $i,j\in \{1,2,3,4,5,6\}$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Niech dane będą: $\Omega =[0,1],$ σ-ciało ${\mathcal {F}}$ zbiorów borelowskich przedziału $[0,1]$ oraz określona na nim miara Lebesgue’a $P.$ Każda funkcja ciągła $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ jest zmienną losową.