Funkcja mierzalna

Funkcja mierzalna – funkcja zachowująca strukturę przestrzeni mierzalnych; stanowi ona naturalny kontekst dla teorii całkowania (w szczególności całki Lebesgue’a).

Funkcja między przestrzeniami mierzalnymi jest mierzalna, jeżeli przeciwobraz dowolnego zbioru mierzalnego jest mierzalny. Z punktu widzenia teorii kategorii funkcje mierzalne są morfizmami przestrzeni mierzalnych; jest to pojęcie analogiczne np. do funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi, czy homomorfizmów struktur algebraicznych.

Definicja ta wydaje się prosta, jednak należy zwracać szczególną uwagę na stosowane $\sigma$ -algebry. W szczególności, jeżeli o funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mówi się, że jest mierzalna w sensie Lebesgue’a, to ma się w rzeczywistości na myśli, iż mierzalna jest funkcja $f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}),$ tzn. dziedzina i przeciwdziedzina różnią się $\sigma$ -algebrami określonymi na tym samym zbiorze (tutaj ${\mathcal {L}}$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś ${\mathcal {B}}$ jest σ-algebrą borelowską na prostej). W wyniku tego złożenie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a nie musi być mierzalne w sensie Lebesgue’a.

Jeżeli nie zaznaczono inaczej, to zwykle przyjmuje się, że przestrzeń topologiczna wyposażona jest w σ-algebrę borelowską generowaną przez jej podzbiory otwarte. Najczęściej przestrzenią tą są przestrzenie liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Np. funkcja mierzalna o wartościach rzeczywistych – to funkcja, której przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego jest mierzalny. Analogicznie definiuje się funkcję mierzalną o wartościach zespolonych. Niektórzy autorzy używają terminu „funkcja mierzalna” na oznaczenie funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych względem σ-algebry borelowskiej^[1].

Funkcje niemierzalne uważane są za patologiczne, przynajmniej z punktu widzenia analizy. W rachunku prawdopodobieństwa (rzeczywiste bądź zespolone) funkcje mierzalne nazywane są zmiennymi losowymi; funkcje mierzalne o wartościach w przestrzeni euklidesowej nazywane są często wektorami losowymi.

Szczególne przypadki

Jeżeli $(X,{\mathcal {F}})$ oraz $(Y,{\mathcal {N}})$ są przestrzeniami borelowskimi, to funkcja mierzalna $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {N}})$ bywa nazywana funkcją borelowską. Funkcje ciągłe są borelowskie, ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe. Mimo wszystko funkcja mierzalna jest niemal funkcją ciągłą, o czym mówi twierdzenie Łuzina. Jeżeli funkcja jest cięciem pewnego przekształcenia $Y{\stackrel {\pi }{\to }}X,$ to nazywa się je cięciem borelowskim.
funkcja mierzalna w sensie Lebesgue’a to funkcja mierzalna $f\colon (\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),$ gdzie ${\mathcal {L}}$ oznacza σ-algebrę zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a, zaś ${\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }$ to σ-algebra borelowska liczb zespolonych $\mathbb {C} .$ Funkcje mierzalne w sensie Lebesgue’a są w centrum zainteresowania analizy matematycznej z powodu ich całkowalności.
Zmienne losowe definiuje się jako funkcje mierzalne określone na przestrzeniach próbek (zdarzeń elementarnych).

Własności

Suma i iloczyn dwóch funkcji mierzalnych (a więc i ich kombinacje liniowe) o wartościach zespolonych są mierzalne^[2]. Mierzalny jest także ich iloraz, o ile nie występuje dzielenie przez zero^[1].
Jeżeli funkcja $f$ jest ${\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}$ -mierzalna, a funkcja $g$ jest ${\mathcal {M}}_{2}/{\mathcal {N}}$ -mierzalna, to ich złożenie $g\circ f$ jest ${\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {N}}$ -mierzalne^[1]^[3], gdzie sformułowanie „funkcja ${\mathcal {M}}_{1}/{\mathcal {M}}_{2}$ -mierzalna” oznacza, że mierzalna jest funkcja $f\colon (X,{\mathcal {M}}_{1})\to (Y,{\mathcal {M}}_{2}).$ Innymi słowy złożenie funkcji mierzalnych jest mierzalne, o ile tylko odpowiednie $\sigma$ -algebry do siebie pasują (zob. kontrprzykład funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue’a we wstępie).
(Punktowe) kresy dolny i górny (infimum i supremum) oraz granice dolna i górna (limes inferior i superior) ciągu funkcji mierzalnych o wartościach rzeczywistych także są funkcjami mierzalnymi^[1]^[4]. Mierzalne są także funkcje minimum i maksimum.
Granica punktowa ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna (odpowiednie twierdzenie dotyczące funkcji ciągłych wymaga założeń silniejszych niż zbieżność punktowa, przykładowo zbieżności jednostajnej).

Funkcje niemierzalne

Spotykane w zastosowaniach funkcje o wartościach rzeczywistych są zwykle mierzalne; jednak nietrudno wskazać funkcje niemierzalne.

O ile tylko istnieją zbiory niemierzalne przestrzeni mierzalnej, to istnieją także funkcje niemierzalne na niej określone. Jeżeli $(X,{\mathcal {M}})$ jest pewną przestrzenią mierzalną, a $A\subset X$ jest zbiorem niemierzalnym, tj. $A\notin {\mathcal {M}},$ to funkcja charakterystyczna zbioru $\mathbf {1} _{A}\colon (X,{\mathcal {M}})\to \mathbb {R}$ jest niemierzalna (gdzie $\mathbb {R}$ wyposażona jest w zwyczajową σ-algebrę borelowską), ponieważ przeciwobrazem zbioru mierzalnego $\{1\}$ jest zbiór niemierzalny $A.$
Funkcja stała jest mierzalna względem dowolnej σ-algebry. Dowolna funkcja, która nie jest stałą, może być przekształcona w niemierzalną poprzez wyposażenie dziedziny i przeciwdziedziny w odpowiednie $\sigma$ -algebry. Jeżeli $f\colon X\to \mathbb {R}$ jest dowolną niestałą funkcją o wartościach rzeczywistych, to $f$ jest niemierzalna, jeśli wyposażyć $X$ w algebrę antydyskretną ${\mathcal {M}}=\{0,X\},$ gdyż przeciwobrazem dowolnego punktu obrazu jest pewien właściwy, niepusty podzbiór $X,$ który nie należy do ${\mathcal {M}}.$

Zobacz też

funkcja całkowalna
funkcja klasy Baire’a
przestrzenie liniowe funkcji mierzalnych: przestrzenie $L^{p}$
układ dynamiczny zachowujący miarę

Przypisy

↑ ^a ^b ^c ^d Robert Strichartz: The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000. ISBN 0-7637-1497-6.
↑ Gerald B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.
↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.
↑ H.L. Royden: Real Analysis. Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.

Bibliografia

Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.

Linki zewnętrzne

Measurable mapping (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[strichartz-1] Robert Strichartz: The Way of Analysis. Jones and Bartlett, 2000. ISBN 0-7637-1497-6.

[folland-2] Gerald B. Folland: Real Analysis: Modern Techniques and their Applications. Wiley, 1999. ISBN 0-471-31716-0.

[billingsley-3] Patrick Billingsley: Probability and Measure. Wiley, 1995. ISBN 0-471-00710-2.

[royden-4] H.L. Royden: Real Analysis. Prentice Hall, 1988. ISBN 0-02-404151-3.

[1]

[2]

[3]

[4]