RU2112885C1

RU2112885C1 - Сопряженные роторы

Info

Publication number: RU2112885C1
Application number: RU96107752A
Authority: RU
Inventors: Чжень-И Ляо
Original assignee: Чжень-И Ляо
Priority date: 1993-09-21
Filing date: 1996-03-15
Publication date: 1998-06-10
Also published as: DE69417768D1; EP0746670A1; EP0746670B1; CA2171643A1; ATE178693T1; CN1036290C; EP0746670A4; CN1100774A; US5682793A; WO1995008698A1; CA2171643C; HK1013324A1; DK0746670T3; KR0165654B1; AU7738094A; JP2807747B2; JPH09501216A; ES2131706T3; AU684107B2; DE69417768T2

Abstract

Сопряженные роторы могут быть использованы в жидкоструйных насосах, вакуумных насосах, в гидро- или пневмодвигателях, а также в роторных двигателях внутреннего сгорания. Вдоль внешних окружностей сопряженных роторов расположены эвольвентные зубья 5, рабочие зубья 4 и соответствующие им впадины 3, входящие в зацепление друг с другом при вращении роторов. Форма рабочих зубьев 4 и впадин 3 определяется согласно особым расчетным формулам. При вращении роторов рабочий зуб 4 входит в зацепление с сопряженной с ним впадиной 3. При этом характеристики их равномерного вращения по окружности совпадают с характеристиками вращения эвольвентного зуба 5, что обеспечивает равномерность скорости вращения. 2 табл. 12 ил.

Description

Настоящее изобретение относится к паре сопряженных роторов.

Сопряженные роторы могут быть применены в жидкоструйных насосах, вакуумных насосах и/или в гидро- или пневмодвигателях, а также в роторных двигателях внутреннего сгорания.

Существующие шестеренчатые насосы конструктивно состоят из пары зубчатых колес, называемых роторами, которые находятся в зацеплении друг с другом и вращаются внутри кожуха. Такого рода насосы закачивают или выкачивают жидкость через полость не является сплошной, ее емкость недостаточно велика, а между зацепленными зубьями всегда остается какое-то количество сжатой жидкости, шестеренчатый насос не пригоден для перекачивания газа.

В заявке на роторный двигатель внутреннего сгорания (WO90/02888, кл. F 16 F 9/02, 1991) раскрыт ротор, применяемый в роторном двигателе внутреннего сгорания. Такой ротор, однако, не снабжен эвольвентными зубьями, входящими в зацепление при вращении зубчатых колес, а в самой заявке не приведена расчетная формула, описывающая форму рабочего зуба и соответствующей ему впадины.

В германской заявке N DT 2330992, кл. F 01 C 1/14, 1975 раскрыт ротор, снабженный эвольвентными зубьями, входящими в зацепление при вращении зубчатых колес, рабочим зубом и взаимодействующей с ним впадиной. Однако подобно международной заявке, в ней не приведена расчетная формула, описывающая форму рабочего зуба и соответствующей ему впадины. В ней также не содержится подробной информации о конструкции рабочего зуба и впадины. Кроме того при их зацеплении друг с другом не обеспечивается равномерность скорости вращения.

Технической задачей настоящего изобретения является создание пары взаимодействующих роторов, вдоль внешних окружностей которых расположены эвольвентные зубья, рабочие зубья и соответствующие впадины, входящие в зацепление друг с другом при вращении роторов, а форма зубьев и впадин определяется согласно особым расчетным формулам, когда при вращении роторов рабочий зуб входит в зацепление с сопряженной с ним впадиной, при этом характеристика их равномерного вращения по окружности совпадает с характеристиками вращения эвольвентного зуба, чем достигается равномерность скорости вращения.

Указанная задача достигается тем, что сопряженные роторы, состоящие из взаимодействующих друг с другом и вращающихся внутри кожуха рабочего колеса и колеса, сопряженного с ним, вдоль внешних окружностей которых выполнены эвольвентные зубья и впадины между ними, при этом вдоль внешних окружностей рабочего колеса также выполнены рабочие зубья, а на другом колесе - впадины, сопряженные с рабочими зубьями рабочего колеса, высота рабочего зуба выполнена превышающей высоту эвольвентного зуба, а глубина указанной сопряженной впадины между зубьями выполнена превышающей глубины впадины между эвольвентными зубьями, форма рабочего зуба задана следующей параметрической зависимостью:

где
n - целые числа;
a - расстояние между точкой пересечения линии, проходящей через точку R_d, с перпендикулярной ей линией OO' и точкой касания окружности радиусом R_a с окружностью радиусом R_o;
R_a - радиус базовой окружности эвольвентного зуба рабочего колеса;
R_d - точка пересечения линии R₂ рабочего колеса с наружной окружностью эвольвентного зуба сопряженного колеса;
К₂ - радиус внешней окружности рабочего зуба рабочего колеса:
OO' - линия, соединяющая центр O' рабочего колеса и центр O сопряженного колеса;
R_b - радиус базовой окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса;
R_b1 - радиус внешней окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса;
α - угол, образованный линией R₂ и линией OO', при этом O является центром окружности;
OR_d - линия, соединяющая точку R_d с центром O сопряженного колеса;
β - угол, образованный линией OR и линией OO', при этом O является центром окружности;
i - передаточное число;
ψ - половина угловой толщины рабочего зуба;
θ - заданная константа,
причем толщина рабочего зуба по дуге внешней окружности определена дугой, соответствующей внутреннему углу 2ψ , а центр рабочего колеса - центр окружности, где R₂ - ее радиус, при этом

а форма сопряженной впадины задана следующей параметрической зависимостью:

нижняя кривая сопряженной впадины ограничена дугой, образованной углом 2iψ , соответствующим внутреннему углу 2ψ окружной толщины рабочего зуба, причем центр сопряженного колеса - это центр окружности, а его радиус (R_a + R_b - R₂) - это радиус окружности, при этом

по окружности сопряженного колеса равномерно распределено n_b впадин, а по окружности рабочего колеса n_a рабочих зубьев, длина дуги, ограниченной углом ω_na , образованным между рабочими зубьями и радиусом R_a базовой окружности эвольвентного зуба рабочего колеса, равна длине дуги, ограниченной углом ω_nb , образованным сопряженными впадинами и радиусом R_b базовой окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса, при этом:

где
n_a и n_b - целые положительные числа.

На фиг. 1 показана принципиальная схема, иллюстрирующая образование кривой сопряженной впадины; на фиг. 2 - схематический чертеж кривой сопряженной впадины; на фиг. 3 - принципиальная схема, иллюстрирующая образование кривой рабочего зуба; на фиг. 4 - схематический чертеж кривой рабочего зуба; на фиг. 5 - принципиальная схема, иллюстрирующая толщину рабочего зуба по дуге окружности; на фиг. 6 - первый вариант основной конструкции механизма сопряженного ротора (ERM) (1 - сопряжение зубчатое колесо; 2 - рабочее зубчатое колесо; 3 - сопряженная впадина; 4 - рабочий зуб; 5 - эвольвентный зуб); на фиг. 7 - второй вариант основной конструкции ERM (3 - сопряженная впадина; 4 - рабочий зуб; 5 - эвольвентный зуб); на фиг. 8 - принципиальная схема, иллюстрирующая соотношение параметров, возникающих при сопряжении рабочего зуба и сопряженной впадины в процессе вращения роторов, когда i больше 1; на фиг. 9 - принципиальная схема, иллюстрирующая соотношение параметров, возникающих при сопряжении рабочего зуба и сопряженной впадины в процессе вращения роторов, когда i меньше 1; на фиг. 10 - принципиальная схема, иллюстрирующая соотношение между H, R, R_f и a; на фиг. 11 - вариант осуществления конструкции и размеры сопряженного зубчатого колеса; на фиг. 12 - вариант осуществления конструкции и размеры рабочего зубчатого колеса.

В первую очередь следует пояснить происхождение формы и математический расчет кривых сопряженной впадины и рабочего зуба. Предположим, что имеется пара сопряженных зубчатых колес (A и B), рабочего колеса и сопряженного с ним колеса, находящихся в сопряженном вращении и имеющих одинаковые модули и равное число зубьев, а их передаточное число i равно 1; в целях удобства выведения формулы мы упрощаем пару колес до одного колеса, закрепленного в прямоугольной системе координат, где точка O является центральной точкой, а другое колесо вращается вокруг закрепленного колеса и одновременно вокруг собственной оси.

В прямоугольной системе координат, показанной на фиг. 1, точка O является центром колеса B:

Пусть γ = β - α ,
при этом
R - радиус базовой окружности эвольвентного зубчатого колеса;
R₂ - радиус внешней окружности рабочего зуба Колеса A (рабочего колеса);
R₁ - радиус внешней окружности эвольвентного зуба;
γ - половина центрального угла сопряженной впадины.

Линия R₂ колеса A, превышающая R₁, пересекает внешнюю окружность эвольвентного зуба колеса B в точке R_d.

Предположим, что угол, образованный линией O'R_d и осью X, равен ω , тогда ω = β - γ + α = 2α.
Центральное соединение колеса A и колеса B OO' равно 2R, а угол, образованный линией OO' и осью X, равен β - γ = α.
Если колесо A вращается против часовой стрелки вокруг колеса B под углом θ , тогда угол, образованный линией OO' и осью X, равен α - θ , а колесо A при этом вращается вокруг собственной оси под углом θ .

По мере вращения колеса A вокруг колеса B и вокруг собственной оси под углом nθ , расчет геометрического места точек α , образованного, когда вершина линии R₂ колеса A, точка R_d, пересекает плоскость колеса B, должен подчиняться следующей формуле:

где
R₂ - радиус внешней окружности рабочего зуба;
R₁ - радиус внешней окружности эвольвентного зубчатого колеса;
R - радиус базовой окружности эвольвентного зубчатого колеса;
θ - соответствует заданной константе, а

(n = 0, 1, 2,... k, где k является натуральным числом).

В формуле (I), если n = 0, nθ = 0, тогда точка R_d линии R₂ на колесе A совпадает с исходной точкой L_a геометрического места точек L на колесе B.

Если nθ = α , тогда линия R₂ совпадает с осью X, а точка R_d становится средней точкой геометрического места точек L.

Если nθ = -α тогда точка R_d линии R₂ на колесе A совпадает с конечной точкой L_b геометрического места точек L, а линия R₂ заканчивается, пересекая плоскость колеса B (см. фиг. 2).

Как показано на фиг. 3, предположим, что колесо A закреплено в прямоугольной системе координат. Точка O является его центром, линия R₂(R_dO' = R₂) совпадает с осью X, угол, образованный линией OO' и осью X, равен α . Точка R_d совпадает с точкой L_a (точка на радиусе R₁ наружной окружности колеса B), угол, образованный OL_a и осью X, равен ω(ω = α+β) , а когда колесо B начинает вращаться вокруг колеса A и вокруг собственной оси под углом nθ , ω′= α-nθ+β-nθ = α+β-2nθ , тогда мы получаем:

По мере вращения колеса B вокруг колеса A и вокруг собственной оси, линия R₂ пересекает плоскость колеса B, а геометрическое место точек L на колесе B (причем L_a и L_b являются начальной и конечной точкой, соответственно) начинает проецировать на плоскость колеса A два геометрических места точек I и I' (как показано на фиг. 4), что описывается следующей формулой:

где
R₁ - радиус внешней окружности эвольвентного зубчатого колеса;
R - радиус базовой окружности эвольвентного зубчатого колеса;
θ соответствует заданной константе, а

(n = 0, 1, 2...k, где k является натуральным числом).

В формуле (2): если n = 0, 1, nθ = 0 , тогда точка R_d совпадает с исходной точкой L_a геометрического места точек L на колесе B; если nθ = α , тогда средняя точка геометрического места точек L находится на линии R₂, т. е. на оси X.

Когда α = β - γ ( γ является исходным полууглом сопряженной впадины), формула (2) изменяется на

Когда исходная точка L_a геометрического места точек L доходит до наружной окружности R₁ на колесе A, nθ = β , формула (2) изменяется следующим образом:

На этом этапе геометрическое место точек L на колесе B проецируется на плоскость колеса A.

Вкратце, ERM (сопряженный роторный механизм) имеет в основе два колеса - колесо A и колесо B. По мере вращения колеса A как вокруг колеса B, так и вокруг собственной оси, вершина линии R₂ на колесе A, точка R_d пересекает плоскость колеса B и образует геометрическое место точек L, называемое "кривой сопряженной впадины" (см. формулу 1); и, соответственно, по мере вращения колеса B вокруг колеса A и вокруг собственной оси, кривая сопряженной впадины L проецирует на плоскость колеса A две кривые, при этом L_a является их начальной точкой, а L_b - конечной точкой; указанные две проецированные кривые I и I' образуют кривую рабочего зуба (см. формулу 2).

Предположим, что в формуле 2 I и I' пересекаются в точке R_d (как показано на фиг. 4), когда высота головки зуба S приближается к нулю. Поскольку сопряженный роторный механизм главным образом применяется для сжатия газов и жидкостей или для преобразования энергии сжатого газа или жидкости в крутящий момент, большая поверхность трения головки зуба S и кожуха обеспечивает более высокую степень герметизации. Для достижения этого предполагаем, что I и I' по отдельности развернуты назад на величину одного угла ψ , после чего мы можем получать хордальную толщину зуба S = 2R₂sinψ (где R₂ - расстояние между внешней окружностью рабочего зуба и центром колеса). Одновременно к соответствующему половине главного угла ψ сопряженной впадины добавляется величина угла γ . В прямоугольной системе координат, показанной на фиг. 5, по мере вращения колеса A вокруг колеса B на величину угла ψ . Точка R_d линии R₂ на колесе A перемещается в

, когда угол, образованный линией O'R'_d и осью X равен

, а угол, образованный линией O'R_d и осью X, равен ω = α+α-ψ = 2α - ψ. Если подставить эти величины в формулу 1, формула расчета кривой сопряженной впадины будет следующей:

Нижняя кривая сопряженной впадины, т.е. дуга, соответствующая величине ψ , равной угловой толщине зуба по внешней окружности 2ψ , где центр сопряженного колеса является центром окружности, а 2R - 2R₂ является радиусом, определяется по следующей формуле:

Формула расчета кривой рабочего зуба выводится из формулы 2 следующим образом:

Кривая рабочего зуба по толщине наружной окружности, т.е. дуга, соответствующая угловой толщине зуба по наружной окружности 2ψ , где центр рабочего колеса совпадает с центром окружности, а R₂ является радиусом, определяется по нижеследующей формуле:

Таким образом, мы получили математические модели сопряженной впадины (формулы 5A и 5B) и рабочего колеса (формулы 6A и 6B), где глубина сопряженной впадины равна (R₂ - R), высота рабочего зуба - (R₂ - R), а толщина рабочего зуба по наружной окружности равна S = 2R₂sinψ . Указанная сопряженная впадина и рабочий зуб, которые могут входить зацепление друг с другом при равномерном вращении роторов по окружности со скоростью 2Rπ , сочетаются с эвольвентными зубьями, образуя практически применим механизм (показанный на фиг. 6 и 7).

Сопряженный роторный механизм является разновидностью вращающегося механизма. Для балансировки его массы, предпочтительно, чтобы он обладал идеальной центральной симметрией, т.е. равномерными интервалами по окружности. (Его базовая конструкция проиллюстрирована на фиг. 6 и 7).

Если передаточное число i ≠ 1, нижеследующая формула должна оставаться неизменной, чтобы обеспечить обращение колеса A вокруг колеса B за счет равномерного вращения зацепленных зубчатых колес;

из чего мы выводим (см. фиг. 8 и 9).

R_aα = R_b(β-γ)
Когда угол вращения β - γ = 0, а угол вращения колеса A вокруг собственной оси α = 0. Линия R₂ на колесе A совпадает с осью X.

Если

тогда iα = β - γ
или

Как показано на фиг. 8 и фиг. 9, если i ≠ 1 , чтобы толщина рабочего зуба по наружной окружности была равна S = 2R₂sinψ. Колесо A должно поворачиваться вокруг колеса B на величину одного угла iψ , а в исходный угол γ сопряженной впадины должен быть увеличен на величину одного угла iψ , чтобы R_d' пересекалась с внешним радиусом R_b1 колеса B. При этом угол, образованный линией OO' и осью X будет равен: iα - iψ = i(α - ψ) . Поскольку ∠ 00′R_d = α - ψ,

, угол, образованный линией

и осью X равен ω = α + i(α - ψ), т.е.

где
R_a - радиус базовой окружности эвольвентного зуба колеса A (рабочего колеса);
R_b - радиус базовой окружности эвольвентного зуба колеса B (сопряженного колеса);
γ - половина центрального угла сопряженной впадины;
iψ - половина угла сопряженной впадины, соответствующего половине угловой толщины рабочего зуба по внешней окружности;
ψ - половина угловой толщины рабочего зуба по внешней окружности.

При повороте колеса A вокруг колеса B на величину одного угла iθ , угол, образованный линией OO' и осью X, будет равен i(α - ψ - θ) , а при повороте колеса A вокруг собственной оси на величину одного угла

, линия

образует с осью X угол ω = (α - θ) + i(α - ψ - θ). . Таким образом, если i ≠ 1 , формула расчета кривой сопряженной впадины выводится из формулы 5a следующим образом:

Нижняя кривая сопряженной впадины рассчитывается по формуле 7B:

Координаты кривой рабочего зуба можно вывести из формулы 6A следующим образом:

Кривая рабочего зуба по толщине наружной окружности рассчитывается по следующей ниже формуле 8B:

Передаточное число i > 1 или i < 1, относящееся к фиг. 8 и 9, а также к формулам 7A и 8A, должно отвечать следующим требованиям:
По окружности одного из эвольвентных зубчатых колес. Колеса A, должны быть равномерно распределено n_a рабочих зубьев, а по окружности другого зубчатого колеса (колеса B) должно быть равномерно распределено n_b сопряженных впадин;
Длина дуги, ограниченной углом ω_na , образованным рабочими зубьями и радиусом R_a базовой окружности эвольвентного зуба колеса A, должна равняться длине дуги, ограниченной углом ω_nb , образованным сопряженными впадинами и радиусом R_b базовой окружности эвольвентного зуба колеса B:

Ниже следует подробное описание варианта осуществления сопряженных роторов (ER), которые могут применяться, например, в компрессорах холодильных установок.

Предположим, что рабочее колесо A и сопряженное колесо B имеют равное число зубьев, одинаковые модули и углы зацепления, а передаточное число i = 1.

Эвольвентное зубчатое колесо имеет следующие характеристики:
число зубьев Z = 40;
модуль m = 0,5;
угол зацепления α = 20^o;
радиус базовой окружности

радиус окружности выступов

радиус окружности впадин

с целью снизить размер допуска между зубьями, радиальный зазор C в данном случае не принимается во внимание;
радиус окружности рабочего зуба R₂ = 13,6.

С учетом числа и прочности эвольвентных зубьев на колесе B кривая сопряженной впадины рассчитана таким образом, чтобы в нее вписывались четыре зуба, а наружная окружность рабочего зуба рассчитана таким образом, чтобы ее радиус выходил радиус R_b1 внешней окружности эвольвентного зуба и непосредственно рассекал радиус R_f окружности впадин колеса B (см. фиг. 11).

Проведем линию, перпендикулярную линии OO' и пересекающую ее, от точки пересечения D точкой R₂ (радиус внешней окружности рабочего зуба) с R_f (радиус окружности впадин колеса B), при этом H является высотой от точки D до линии OO' (см. фиг. 10). Тогда мы получим:

в результате a = 2,36775.

тогда α = 24^o34'42,04".

тогда β = 36^o32'40,17".

Пусть θ = 4^o5'47,01",
тогда k = 6, n = 0, 1, 2, ... r, γ = β - α, γ = 11^o57'58,13".

Допустим, что угловая толщина рабочего зуба по наружной окружности равна ψ = 4^o2'1,87", а половина угла сопряженной впадины равна γ + ψ = 11^o57'5,13" + 4^o2'1,7" = 16^o
Подставим эти данные в формулу 7A расчета кривой сопряженной впадины:

тогда

Если n = 0, тогда

Если n = 1, тогда

.......... (опускается)
Если n = 6, тогда

Остальные координаты угла ψ , соответствующего угловой толщине зуба по внешней окружности, основаны на окружности, центром которой является точка O, а радиус 2R - R₂ = 6,4, и приведены в табл. 1.

Поскольку кривая сопряженной впадины L состоит из точек, абсолютно симметричных оси X, соединив вышеназванные точки и прочертив симметричную кривую, можно получить полную впадину, воссоздав впадину на эвольвентном зубчатом колесе, затем можно получить так называемое сопряженное колесо, как это показано на фиг. 11.

А теперь обратимся к кривой рабочего зуба.

В формуле 8A, где

допустим, что = 6^o5'26,69", когда n = 1, 2, ... k, (k = 6), а R_b1 заменено на R_f.

Подставим эти данные в формулу 8A и получим:

Если n = 0, тогда

Если n = 1, тогда

............ (опускается)
Если n = 6, тогда

Координаты толщины зуба по внешней окружности S = 2R₂sinψ описываются окружностью с центром O' и радиусом, равным 13,6 (см. табл. 2).

Поскольку кривые рабочего зуба I и I', абсолютно симметричны оси X соединив вышеназванные точки и прочертив симметричную кривую, можно получить рабочий зуб. Восстановив рабочий зуб в эвольвентном зубчатом колесе, затем можно получить рабочее колесо.

Эвольвентному зубчатому колесу может быть придана его форма с помощью традиционной технологии, поэтому здесь она опускается. Величина заданной константы θ зависит от точности механической обработки. Чем более точная требуется обработка, тем больше будет точек; чем меньше величина θ , тем больше будет значение натурального числа k.

Сопряженный роторный механизм (ERM) состоит из кожуха, двух боковин, замкнутых дугообразных полостей, образованных сопряженным колесом и рабочим колесом, причем кольцевая полость сопряженного колеса служит опорной поверхностью. Когда рабочее колесо начинает вращаться, объем двух дугообразных полостей, разделенных рабочим зубом, периодически варьируется от большего к меньшему, что удовлетворяет основное требование при производстве насосов, моторов и двигателей внутреннего сгорания.

За счет сочетания представленных в настоящем изобретении пары роторов, снабженных кожухом, имеющим впускное и выпускное отверстия, соответственно, и торцевые крышки, возможно производить различные газожидкостные насосы, например, насосы для жидкостей и газа, а также вакуумные насосы и дозирующие насосы. Указанные роторы могут также применяться для производства жидкостных двигателей или особых роторных двигателей внутреннего сгорания. Поскольку формы рабочего зуба и сопряженной впадины роторов, согласно настоящему изобретению, рассчитываются по особым формулам, что вытекает из сопряженного характера вращения эвольвентного зубчатого колеса, в процессе сопряженного вращения характеристики эвольвентных зубьев точно соответствует характеристикам рабочего зуба и сопряженной впадины.

Claims

Сопряженные роторы, состоящие из взаимодействующих друг с другом и вращающихся внутри кожуха рабочего колеса и колеса, сопряженного с ним, вдоль внешних окружностей которых выполнены эвольвентные зубья и впадины между ними, при этом вдоль внешних окружностей рабочего колеса также выполнены рабочие зубья, а на другом колесе - впадины, сопряженные с рабочими зубьями рабочего колеса, высота рабочего зуба выполнена превышающей высоту эвольвентного зуба, а глубина указанной сопряженной впадины между зубьями выполнена превышающей глубину впадины между эвольвентными зубьями, отличающиеся тем, что форма рабочего зуба задана следующей параметрической зависимостью

где n - целые числа;
a - расстояние между точкой пересечения линии, проходящей через точку R_d, с перпендикулярной ей линией 00' и точкой касания окружности радиусом R_a с окружностью радиусом R_b;
R_a - радиус базовой окружности эвольвентного зуба рабочего колеса;
R_d - точка пересечения линии R₂ рабочего колеса с наружной окружностью эвольвентного зуба сопряженного колеса;
R₂ - радиус внешней окружности рабочего зуба рабочего колеса;
OO' - линия, соединяющая центр O' рабочего колеса и центр O сопряженного колеса;
R_b - радиус базовой окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса;

- радиус внешней окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса;
α - угол, образованный линией R₂ и линией OO', при этом O' является центром окружности;
OR_d - линия, соединяющая точку R_d с центром O сопряженного колеса;
β - угол, образованный линией OR_d и линией OO', при этом O является центром окружности;
i - передаточное число;
ψ - половина угловой толщины рабочего зуба;
θ - заданная константа,
причем толщина рабочего зуба по дуге внешней окружности определяется дугой, соответствующей внутреннему углу 2ψ, а центр рабочего колеса - центр окружности, где R₂ - ее радиус, при этом
X = R₂cosψ, (ψ → -ψ);
Y = R₂sinψ,
где форма сопряженной впадины задана следующей параметрической зависимостью:
X_nb=(R_a+R_b)cos[i(α-ψ-nθ)]-R₂cos[(α-nθ)+(α-ψ-nθ)],
Y_nb=R₂sin[(α-nθ)+i(α-ψ-nθ)]-(R_a+R_b)sin[i(α-ψ-nθ)],
нижняя кривая сопряженной впадины ограничена дугой, образованной углом 2iψ, соответствующим внутреннему углу 2ψ окружной толщины рабочего зуба, причем центр сопряженного колеса - это центр окружности, а его радиус (R_a + R_b - R₂) - это радиус окружности, при этом
X = (R_a+R_b-R₂)cos(iψ),
Y = (R_a+R_b-R₂)sin(iψ), (ψ → -ψ),
по окружности сопряженного колеса равномерно распределено n_b впадин, а по окружности рабочего колеса n_a рабочих зубьев, длина дуги, ограниченной углом
образованным рабочими зубьями и радиусом R_a базовой окружности эвольвентного зуба рабочего колеса, равна длине дуги, ограниченной углом
образованным сопряженными впадинами и радиусом R_b базовой окружности эвольвентного зуба сопряженного колеса, при этом

где n_a и n_b - целые положительные числа.