JP5358780B2 - 光学導波管のモード特性をモデリングするための方法および装置 - Google Patents

Description

関連出願
この出願は、ここに全体として引用により援用される、２００４年９月１１日に出願された米国仮出願第６０／６０８，７６５号から優先権を主張する。

発明の背景
発明の分野
この発明は一般に導波管の特性をモデリングするための方法に関し、特に、光ファイバを含むがこれらに限らない、光学導波管の光学特性をモデリングするための方法に関する。

関連技術の説明
フォトニックバンドギャップファイバ（ＰＢＦ）では、クラッドは、バンドギャップ、すなわち、伝搬が禁止される光周波数または波長ドメインの領域を作る２次元の周期的屈折率構造で作られるフォトニック結晶である。この構造は、いわゆるブラッグファイバ（Bragg fibers）のように、高屈折率および低屈折率が交互になっている一連の同心のリングであるか（たとえば、Y.Xu, R.K. Lee, and A. Yariv, Asymptotic analysis of Bragg
fibers, Optics Letters, Vol.25, No.24, December 15, 2000, pages 1756-1758を参照）、または空気コアＰＢＦのように、幾何学的パターン（たとえば、三角形）に配置された２次元の空孔の周期的な格子であり得る。空気コアＰＢＦの例は、P. Kaiser and H.W.
Astle, Low-loss single material fibers made from pure fused silica, The Bell System Technical Journal, Vol.53, No.6, July-August 1974, pages 1021-1039； and J.
Broeng, D.Mogilevstev, S.E. Barkou, and A. Bjarklev, Photonic crystal fibers: A
new class of optical waveguides, Optical Fiber Technology, Vol.5, 1999, pages 305-330を含むがこれらに限らない、さまざまな参考文献によって説明される。

空気コアＰＢＦのコアを形成する空孔は、典型的にはＰＢＦの他の孔より大きく、以前に禁止されたバンドギャップ内で導波モードをもたらすＰＢＦの周期構造での欠陥である。ＰＢＦは、従来のファイバより２桁低い非線形性、モード特性に対するより大きな制御、空気中での光のスピードより大きいモード位相速度などの興味深い分散特徴を含む、いくつかの特有の光学特性を提供する。これらの理由から、光通信においておよびセンサの用途でも同様に、ＰＢＦは、従来の（固体コア）ファイバからこれまでは利用可能でなかった刺激的な可能性を提供する。

空気コアファイバでの光の伝搬は従来のファイバとは非常に異なる原理に基づくため、空気コアファイバの依然としてよく理解されていない特性についての健全な理解を促し、これらの特性を改善し、かつそれらを特定の用途に適合させることが重要である。空気コアファイバの比較的最近の発明以来（たとえば、J.C. Knight, T.A. Birks, R.F. Cregan, P.St.J. Russell, and J.P. Sandro,“Photonic crystals as optical fibers-physics
and applications,”Optical Materials, 1999, Vol.11, pages 143-151を参照）、モデリングは、空気コアＰＢＦのモード特性を分析するため、特にそれらの位相および群速度分散（たとえば、B.Kuhlmey, G.Renversez, and D. Maystre, Chromatic dispersion and
losses of microstructured optical fibers, Applied Optics, Vol.42, No.4, 1 February 2003, pages 634-639; K. Saitoh, M. Koshiba, T. Hasegawa, and E. Sasaoka, Chromatic dispersion control in photonic crystal fibers: application to ultra-flattened dispersion, Optics Express, Vol.11, No.8, 21 April 2003, pages 834-852; and
G. Renversez, B. Kuhlmey and R. McPhedran, Dispersion management with microstructured optical fibers: ultraflattened chromatic dispersion with low losses, Optics Letters, Vol.28, No. 12, June 15, 2003, pages 989-991を参照）、透過スペクトル（たとえば、J.C. Knight, T.A. Birks, P.St.J. Russell, and D.M. Atkin, All-silica
single mode optical fiber with photonic crystal cladding, Optics Letters, Vol.21, No.19, October 1, 1996, pages 1547-1549; and R.S. Winderler, J.L. Wagener, and D.J. Giovanni, Silica-air microstructured fibers: Properties and applications,
Optical Fiber Communications Conference, San Diego, 1999, Pages FG1-1 and FG1-2を参照）、特有の表面モード（たとえば、D.C. Allan, N.F. Borrelli, M.T. Gallagher,
D. Muller, C.M. Smith, N. Venkataraman, J.A. West, P. Zhang, and K.W. Koch, Surface modes and loss in air-core photonic band-gap fibers, Proceedings of SPIE Vol. 5000, 2003, pages 161-174; K. Saitoh, N.A. Mortensen, and M. Koshiba, Air-core photonic band-gap fibers: the impact of surface modes, Optics Express, Vol.12,
No.3, 9 February 2004, pages 394-400; J.A. West, C.M. Smith, N.F. Borelli, D.C.
Allan, and K.W. Koch, Surface modes in air-core photonic band-gap fibers, Optics Express, Vol.12, No.8, 19 April 2004, pages 1485-1496; M.J.F. Digonnet, H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, and G.S. Kino, Simple geometric criterion to predict the existence of surface modes in air-core photonic-bandgap fibers, Optics Express, Vol. 12, No. 9, 3 May 2004, pages 1864-1872; and H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, M.J.F. Digonnet, and G.S. Kino, Designing air-core photonic-bandgap fibers free of
surface modes, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vo. 40, No. 5, May 2004, pages 551-556を参照）、および伝搬損失（たとえば、T.P. White, R.C. McPhedran, C.M. de Sterke, L.C. Botton, and M.J. Steel, Confinement losses in microstructured optical fibers, Optics Letters, Vol. 26, No. 21, November 1, 2001, pages 1660-1662; D. Ferrarini, L. Vincetti, M. Zoboli, A. Cucinotta, and S. Selleri, Leakage properties of photonic crystal fibers, Optics Express, Vol. 10, No. 23, 18 November 2002, pages 1314-1319; and K. Saitoh and M. Koshiba, Leakage loss and group velocity dispersion in air-core photonic bandgap fibers, Optics Express, Vol. 11, No. 23, 17 November 2003, pages 3100-3109を参照）を分析するための重要なツールになっている。しかしながら、これらファイバの広範かつ体系化されたパラメータ研究は欠如しているが、なぜなら、これら複雑な構造のシミュレーションは、時間がかかるかまたはすべてのＰＢＦジオメトリに適用可能でない分析方法で行なわれているからである。たとえば、周期的な誘電構造のモードの分散関係および電磁プロファイルを算出するために、現在使用されているコード、たとえば、ＭＩＴフォトニックバンド（ＭＰＢ）コードを使用して、典型的には単一モードまたはいくつかのモードの空気コアＰＢＦのすべてのモードをシミュレーションすると、１０Λ×１０ΛのセルサイズおよびΛ／１６の空間分解能を用いて、１６のパラレル２−ＧＨｚプロセッサを使用するスーパーコンピュータで約１０時間かかり、ここでΛはフォトニック結晶クラッドの周期である。（ＭＰＢコードに関するさらに別の情報は、S.G. Johnson, and J.D. Joannopoulos, Block-iterative frequency-domain methods for Maxwell's equations in planewave basis, Optics Express, Vol.8, No.3, 29 January 2001, pages 173-190を参照）。基本モード（有効なインデックスおよびフィールド）を６分でモデリングするために極座標分解法を使用する、より高速な算出が報告されている（たとえば、L. Poladian, N.A. Issa, and T.M. Monro,“Fourier decomposition algorithm for leaky modes of fibres with arbitrary geometry,”Optics Express, 2002, Vol.10, pages 449-454を参照）。しかしながら、この高スピードは空孔層の数を１つに制限することによって実現され、それは依然としてスーパーコンピュータを必要としていた。

さらに、多重極分解法（たとえば、T.P. White, R.C. McPhedran, L.C. Botten, G.H. Smith and C. Martijn de Sterke,“Calculations of air-guided modes in photonic cr
ystal fibers using the multipole method,”Optics Express, 2001, Vol.8, pages 721-732を参照）は、１つの波長に孔の４つのリングを備えた六角形のＰＢＦのすべてのモードを７３３−ＭＨｚパーソナルコンピュータで約１時間でモデリングすることができた。この数字は、より高速なパーソナルコンピュータでは数分に低減される（たとえば、３．２−ＧＨｚプロセッサでは約１５分）。この多重極法は、円形または楕円の孔の形状を備えたＰＢＦのモードの正確かつ高速な計算をもたらすが、それはこれらの形状に限られ、他の孔の形状を備えたＰＢＦ、たとえば、扇形のコアを備えたＰＢＦ（望ましくない表面モードを有利に避けることができる）、またはほぼ六角形のクラッドの孔（実際の空気コアファイバでしばしば生じる形状）を備えたＰＢＦには役に立たない。さらに、空気コアファイバの極めて小さい物理的な特徴、特にそれらの非常に薄い膜（たとえば、しばしばΛ／１００より薄い）を正確にモデリングするには、ずっと細かい分解能が必要である。

ＰＢＦは、典型的には、もともとはフォトニック結晶の研究のために開発された数値方法を使用してモデリングされる。大半の方法は次のフォトニック結晶マスタ方程式を解くことに基づく。

ここで、ｒはファイバ軸に垂直な平面の特定の点の座標を表わすベクトル（ｘ，ｙ）であり、ε（ｒ）＝ｎ²（ｒ）はこの点でのファイバの断面の誘電率であり、ｎ（ｒ）はファイバの２次元の屈折率プロファイルであり、Ｈ（ｒ）はモードの磁界ベクトルであり、ωは光周波数であり、ｃは真空での光のスピードである。この公式は３次元の（３Ｄ）フォトニックバンドギャップ構造に最も有用であり、それは伝搬定数ｋ_zに対して一定の値を仮定し、かつこの値に対して固有の周波数ωを算出することによって解かれる。

空気コアＰＢＦの状況でモードについて解くためにさまざまな方法がこれまで使用されてきた。１つのこれまで使用されてきた方法は、上述のＭＩＴフォトニックバンドギャップ（ＭＰＢ）コードまたはソフトウェアを利用する。ＭＰＢコードを使用すると、式１の解が空間フーリエドメインで得られるため、第１のステップはモードフィールドおよび１／ε（ｒ）を空間高調波に分解することである。式１は、マトリックスの形で書かれ、このマトリックスの固有値を見つけることによって解かれる。この計算は、波数ｋ_zをある値（たとえば、ｋ₀）に設定し、かつこの波数を備えたモードが生じる周波数について解くことによって行なわれる。

別のこれまで使用されてきた方法はビーム伝搬法（ＢＰＭ）である（たとえば、M. Qiu,“Analysis of guided modes in photonic crystal fibers using the finite-difference time-domain method,”Microwave Optics Technology Letters, 2001, Vol.30, pages
327-330を参照）。ＢＰＭでは、擬似ランダムフィールドがファイバに入射され、これは異なる有効インデックスで異なるモードを励起する。伝搬軸は想像上の軸に変形されるため、有効インデックスは純粋に想像的なものになり、ファイバのモードは純粋に損失の大きいものになる。異なるレートでの蓄積段階の代わりに、モードは異なるレートで減衰し、これはＢＰＭ法がある長さのファイバを通じてそれらを伝播することによって、それらを繰返し分離かつ抽出するのを可能にする。最小のレートで減衰する、最低のインデックスを備えたモードが最初に抽出され、他のモードは有効インデックスが増加する順に算出される。

別のこれまで使用されてきた方法は、時間領域差分法（finite domain time difference method;ＦＤＴＤ）であり、これは以下の時間依存のマックスウェル方程式を解く。

これらの式を解くことは時間変数も考慮することを必要とする（たとえば、J.M. Pottage, D.M. Bird, T.D. Hedley, T.A. Birks, J.C. Knight, P.J. Roberts, and P.St.J. Russell, Robust photonic band gaps for hollow core guidance in PBF made from high
index glass, Optics Express, Vol.11, No.22, 3 November 2003, pages 2854-2861を参照）。

別のこれまで使用されてきた方法は２次元のモード固有値方程式を使用することを伴い、固有値はモード有効インデックスである。モードは次に平面波で展開されるか（たとえば、K. Saitoh and M. Koshiba,“Full-vectorial imaginary-distance beam propagation method based on finite element scheme: Application to photonic crystal fibers,”IEEE Journal of Quantum Electronics, 2002, Vol.38, pages 927-933を参照）、またはウェーブレット関数で展開される（たとえば、W. Zhi, R. Guobin, L. Shuqin, and J.
Shuisheng, Supercell lattice method for photonic crystal fibers, Optics Express, Vol.11, No.9, 5 May 2003, pages 980-991を参照）。屈折率プロファイルはフーリエ成分に分解され、結果的なマトリックス式は固有値および固有ベクトルについて解かれる。

ＰＢＦのモードの計算に適用されるとき、上述のこれまで使用されてきた方法にはいくつかの短所がある。１つの短所は、算出時間が非常に長くなり得る点である。別の短所は、モード展開に依存する技術がファイバの屈折率プロファイルのフーリエ変換を計算することを必要とする点である。ＰＢＦおよび他のタイプの導波管では、屈折率プロファイルは非常に細かい特徴（たとえば、薄い膜）および急激な屈折率の不連続性（たとえば、空気とガラスの界面における）を含み、これらはともにモードの挙動に対して重要であるため、これら特徴を忠実に説明するために多数の高調波が理想的には保持されるべきである。しかしながら、これら多数の高調波を保持することは、スーパーコンピュータで利用可能なものよりはるかに大きなメモリおよびコンピュータの処理能力を必要とするため、屈折率プロファイルの不連続性は平滑にされ、これは細かい特徴（たとえば、膜）を人工的に広くする。この標準的な慣習は、モデリングされている屈折率プロファイルと実際の屈折率プロファイルとの大きな差に繋がり、これは計算に系統誤差をもたらす。

別の短所は、一部の既存のモードソルバ（mode solvers）が最高次のバンドのモードを最初に計算し、低次のモードへと作業しなければならない点であり、このプロセスは算出誤差を伝搬する。この要件は算出時間も増加させるが、それがコンピュータに対象のものより多いモードを計算させるためである。さらに、上述のように、多重極分解法はいくつかの特定の孔の形状（たとえば、円形および楕円形）についてのみ役立つため、この技術の汎用性を低くする。

発明の概要
ある実施例では、ある方法が導波管の１つまたは複数の電磁界モードをモデリングする。この方法は導波管の２次元の断面をサンプリングするステップを含む。この方法はさらに、導波管のサンプリングされた２次元の断面を使用して、複数の要素を含みかつ第１の帯域幅を有する第１のマトリックスを計算するステップを含む。第１のマトリックスの複数の要素は導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わす。この方法はさらに、第１の帯域幅より小さい第２の帯域幅を有する第２のマトリックスを形成するために第１のマトリックスの複数の要素を再配列するステップを含む。この方法はさらに、第３のマトリックスを形成するために、第２のマトリックスを移動し、かつ移動された第２のマトリックスを反転させるステップを含む。この方法はさらに、導波管の１つまたは複数のモードに対応する第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップを含む。

ある実施例では、コンピュータシステムは導波管の１つまたは複数の電磁界モードをモデリングする。コンピュータシステムは導波管の２次元の断面をサンプリングするための手段を含む。コンピュータシステムはさらに、導波管のサンプリングされた２次元の断面を使用して第１のマトリックスを計算するための手段を含む。第１のマトリックスは複数の要素を含み、かつ第１の帯域幅を有する。第１のマトリックスの複数の要素は導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わす。コンピュータシステムはさらに、第１の帯域幅より小さい第２の帯域幅を有する第２のマトリックスを形成するために第１のマトリックスの複数の要素を再配列するための手段を含む。コンピュータシステムはさらに、第３のマトリックスを形成するために、第２のマトリックスを移動させ、かつ移動された第２のマトリックスを反転させるための手段を含む。コンピュータシステムはさらに、導波管の１つまたは複数のモードに対応する第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するための手段を含む。

詳細な説明
ここに説明されるある実施例は、あらゆるジオメトリのＰＢＦ、ならびに複雑な構造および細かい特徴を備えた他の導波管を素早くかつ正確にモデリングするための能力を提供し、有利である。たとえば、ここに説明されるある実施例は、単一のコアまたは複数のコアを有し、かつ空孔、シリカ材料または他の材料を含むＰＢＦをモデリングするのに適合する。ある実施例では、まばらなマトリックスの形で磁界の固有値式を解いて任意のインデックスプロファイルを有するＰＢＦのモード（たとえば、コア、表面、リングおよびバルクモード）を見つけるために、有限差分または有限要素計算が有利には移動反転技術とともに使用される。ある実施例では、まばらなマトリックスの帯域幅を有利に低減するための技術が適用され、これは有利には算出時間をさらに低減する（たとえば、１０分の１）。平面波展開と比較すると、ここに説明されるある実施例は、有利には算出時間をほぼ３桁低減し、必要なデータ記憶の量を約２桁減らす。あるそのような実施例は、有利には、所与のファイバのすべてのモード特性の完全なシミュレーションをパーソナルコンピュータで素早く計算することを可能にする。さらに、ここに説明されるある実施例は、（たとえば、マサチューセッツ州、ナティックのThe MathWorks社から入手可能なMATLAB（登録商標）のコードの約２００ラインのみを使用して）実現が容易である。

有限差分または有限要素計算では、導波管のインデックスプロファイルがサンプリングされ（またはデジタル化され）、モード式に関与する勾配が有限差分式によって近似される。そのような有限差分または有限要素計算は、これまでに孔のあるファイバおよび他の導波管に適用されて成功しているが（たとえば、Z. Zhu and T.G. Brown,“Full-vectorial finite-difference analysis of microstructured optical fibers,”Optics Express, 2002, Vol.10, pages 853-864; and C. Yu and H. Chang,“Applications of the fini
te difference mode solution method to photonic crystal structures,”Optics And Quantum Electronics, 2004, Vol.36, pages 145-163を参照）、それらはまだＰＢＦをモデリングするようには適合されていない。

ここに説明されるある実施例は、有利には、導波管の縦方向の軸（ｚ）に沿って移動不変である任意のインデックスプロファイルｎ（ｘ，ｙ）を備えた導波管のモード（たとえば、コア、クラッド、表面モード等）のフィールドおよび伝搬定数をモデリングする。たとえば、以下にさらに詳しく説明されるように、ある実施例では、導波管は光ファイバを含む。当該技術分野でよく知られるように、導波管のモードの横方向の磁界ｈ_T（ｒ）は以下の固有値の式を満たす。

ここで、

であり（λ₀は波長）、ｈ_T＝ｈ_x（ｘ，ｙ）ｕ_x＋ｈ_y（ｘ，ｙ）ｕ_yは横方向の磁界であり、ｈ_xおよびｈ_yは単位ベクトルｕ_xおよびｕ_yへと投影された横方向の磁界の成分であり、

であり、ｎ_effはモード有効インデックスである。この表記を用いると、合計の磁界ベクトルＨは単純にｈ_T＋ｈ_zｕ_zであり、ｕ_zはファイバのｚ軸に沿った単位ベクトルであり、ｈ_zは縦方向の磁界である。式３はすべてのモード（ＴＥ、ＴＭおよびハイブリッドモード）によって満たされる。磁界の縦方向の成分および電界の成分はすべて次の式を使用して横方向の磁界から計算され得る。

式３はベクトルであり、かつ横方向の磁界の２つの成分ｈ_x（ｘ，ｙ）およびｈ_y（ｘ，ｙ）を結合する２つの式を有するため、それらは同時に解かれる。式３の形は、それが、波長を固定しかつこの波長ですべてのファイバのモードを計算することによって解かれ得るようなものであることに注目されたい。

図１は、ここに説明されるある実施例による、導波管の１つまたは複数の電磁界モードをモデリングするための例示的な方法１００のフロー図である。動作ブロック１１０では、導波管の２次元の断面がサンプリングされる。動作ブロック１２０では、複数の要素を含みかつ第１の帯域幅を有する第１のマトリックスが、導波管のサンプリングされた２次元の断面を使用して計算される。第１のマトリックスの複数の要素は、導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わす。動作ブロック１３０では、第１の帯域幅より小さい第２の帯域幅を有する第２のマトリックスを形成するために、第１のマトリックスの複数の要素は再配列される。動作ブロック１４０では、第２のマトリックスは第３のマトリックスを形成するために移動および反転される。動作ブロック１５０では、第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルが計算される。１つまたは複数の固有値または固有ベクトルは導波管の１つまたは複数のモードに対応する。

ある実施例では、動作ブロック１１０で導波管の２次元の断面をサンプリングすることは、導波管の屈折率プロファイルをデジタル化することを含む。たとえば、空気コアＰＢＦでは、ファイバの２次元の断面をサンプリングすることは、ファイバの縦方向の軸に垂直な平面の断面でファイバの特徴（たとえば、コア、空孔および介在膜を含むクラッド構造）をデジタル化することを含む。ある実施例では、サンプリングは結晶の周期性を反映する区域にわたって行なわれる（たとえば、クラッドのフォトニック結晶構造の基本構成要素である最小のセルに対応する区域にわたって）。ある実施例では、サンプリングは境界条件（たとえば、周期的境界条件、固定された境界条件）を規定することを含む。（ｉ）ファイバのプロファイルの複雑性のレベル、（ｉｉ）所望のモデリング精度、および（ｉｉｉ）スキャンニング精度に応じて、このサンプリングは、ある実施例では、スキャナを使用し、かつスキャニングされた画像をコンピュータを使用してデジタル化することによって、またはある他の実施例では、ファイバのプロファイルを一連の数学的対象物（たとえば、特定の空気コアファイバの場合、周期的なグリッド上に集まる所与の半径の円のパターン）として入力し、かつ、この数学的な構造物をコンピュータでデジタル化することによって、実行され得る。

ある実施例では、動作ブロック１２０で第１のマトリックスＭを計算することは、固有値の式（たとえば式３）を離散化することを含む。この離散化は、ある実施例ではマックスウェル方程式の以下の式を使用して実行される。

マックスウェル方程式のこれらの式は、離散化されたマックスウェル式のマトリックスに対するより単純な式、および高速な算出をもたらす。マックスウェル方程式の他の式が他の実施例では使用され得る。

あるそのような実施例では、固有値の式（たとえば、式３）の離散化は、フィールドおよび屈折率の不連続性を考慮するためにYeeのセル（Yee's cell）に基づいて有限差分技術を使用して行われる（たとえば、Z. Zhu and T.G. Brown,“Full-vectorial finite-difference analysis of microstructured optical fibers,”Optics Express, 2002, Vol.10, pages 853-864を参照）。ある実施例では、離散化はさらに、空気コア境界にまたがる各離散ピクセルにわたるインデックス平均化を含む。ある実施例では、インデックス平均化は、媒体の相対的な表面に比例して、ピクセルによってまたがれる媒体の屈折率の加重平均に等しい屈折率をピクセルに割当てることを含む。たとえば、モデリングされる導波管がシリカに空孔（２つの媒体のみ）を含むフォトニックバンドギャップファイバである場合、空気の２０％およびシリカの８０％にまたがるピクセルにインデックス平均化によって割当てられるインデックスは、ｎ_aver＝０．２ｎ_air＋０．８ｎ_silicaであり、ここでｎ_aveはインデックス平均化された屈折率であり、ｎ_airは空気の屈折率であり、ｎ_silicaはシリカの屈折率である。ある他の実施例では、インデックス平均化は、インデックスの逆数の平均の逆数を計算することによって高調波の平均を使用することを含む。他のインデックス平均化技術も、ここに説明される実施例に適合する。あるそのような実施例では、インデックス平均化は、有利にはピクセルの合計数の小さな割合にわたって屈折率構造を平滑化することを犠牲にして計算の精度を改善する。

ある実施例では、離散化の後、固有値の式は次のように書かれ得る。

式６では、Πはベクトルフィールドに作用する線形演算子である。ある実施例では、この式を解くために、固有値問題は、ｘ方向にｍ_x個の点、およびｙ方向にｍ_y個の点のグリッド上でファイバの縦方向の軸に対して垂直な平面断面で２つのフィールドｈ_x（ｘ，ｙ）およびｈ_y（ｘ，ｙ）をサンプリングすることによって離散化される。この動作によって、寸法１×２ｍ_xｍ_yの新しい磁界ベクトルｈ（ｘ，ｙ）が得られ、これは（任意のナンバリングシステムを使用して配列された）Ｓ＝ｈ_x（ｘ，ｙ）のｍ_xｍ_y個のサンプル、およびｈ_y（ｘ，ｙ）のＳ個のサンプルを含む。ある実施例では、このサンプリングは、結晶の周期性を反映する区域にわたって（たとえば、ファイバの断面のフォトニック結晶構
造の基本構成要素である最小のセルに対応する区域にわたって）行なわれる。ある実施例では、このサンプリングはファイバの断面全体にわたって行なわれる。

ある実施例では、第１のマトリックスは、有限差分式を使用して線形演算子Πを離散化することによって動作ブロック１２０で計算される。ある実施例では、線形演算子Πを離散化することは、ファイバの屈折率プロファイルｎ（ｘ，ｙ）をサンプリングすることを伴うため、それは寸法２Ｓ×２Ｓの第１のマトリックスＭによって表わされる。ある実施例では、このサンプリングは、磁界をサンプリングするために使用されるグリッドと同じＳ×Ｓのグリッドで実行される。

ある実施例では、式６によって表現されるような固有値の式は、標準的な境界条件のもとで解かれる。ブロッホの定理（Bloch theorem）に依存しかつ周期的な境界条件を使用しなければならない、ｋ−ドメイン法とは違い、あるそのような実施例は、以下のタイプの境界条件のうちの１つを使用することができる：（１）シミュレーション区域外で消滅するフィールド、（２）周期的な境界条件、すなわち、シミュレーションドメインを単位スーパーセルとして、空間全体にわたって周期的に繰返されるファイバの断面およびフィールド、（３）吸収材料によってシミュレーションドメインを囲む（たとえば、伝搬損失計算のため）、または（４）完全に適合する境界条件。他の実施例は、モデリングされている導波管に応じて他の境界条件を利用することができる。ある実施例では、演算子Πをサンプリングするときに、境界条件およびシミュレーションドメイン境界の両方が考慮されるため、この情報は第１のマトリックスＭ自身にも含まれる。

ある実施例では、固有値の式は単一のマトリックス式として表現することができる。

上述のように、第１のマトリックスＭは、固有値の式を離散化することによって線形演算子Πから計算される。式７の累乗根（たとえば、ファイバのモードの固有値ｎ_effおよび固有モードまたはフィールド分布）を見つけることは、典型的なマトリックス固有値問題である。しかしながら、演算子マトリックスＭは典型的には非常に大きい。たとえば、半径ρ＝０．４７Λの円形の空孔の三角形のパターン、および半径Ｒ＝０．８Λの円形のコアを備え、クラッドに８列の空孔を備え、かつ正方形のクラッド境界を備えたフォトニックバンドギャップファイバの場合を考える。セルは各辺で１６周期であり、したがって、それは１６Λ×１６Λの寸法を有する。ファイバの薄い膜を分解しかつ十分な精度を達成するため、Λ／３０のグリッドステップサイズ（または分解能）が有利に使用され得る。サンプリング点の数は、ｘでｍ_x＝１６×３０であり、ｙでｍ_y＝１６×３０である。したがってＳ＝ｍ_xｍ_y＝２３０，４００であり、第１のマトリックスＭは

の要素を含む。ここに説明される実施例と適合する方法を使用せずにこのように大きなマトリックスの固有値を見つけることは、大半のコンピュータの範囲外である。

しかしながら、微分演算子をそれらの有限差分の同等物によって置換することは、第１
のマトリックスＭをまばらなマトリックスにする。図２は、上述の例に対するモード式を表わす第１のマトリックスＭの一般的な形を示す。図２の水平および垂直の軸は、第１のマトリックスＭの要素の座標を表わし、これは各々２Ｓ＝４６０，８００の最大値までである。図２で、密度が高すぎて個々に分解できないところで一体化して実線の曲線になっている黒い点は非ゼロの要素を示す。これらの要素間の空白はすべてゼロの要素である。この特定の例では、非ゼロの要素の合計数ｎ_zは２，３７０，７３６である。このタイプのマトリックスのマトリックス密度Ｄは、要素の合計数に対する非ゼロの要素の比率として規定され、

であり、インデックスプロファイルに応じた正確な値である。上述の例では、マトリックス密度は、

のオーダに過ぎず、または言換えると、マトリックスの要素の約０．００１１％のみが非ゼロである。この意味することは、第１のマトリックスＭの大きなサイズに関わらず、算出中に記憶しなければならない要素の数は比較的少なく、この典型的な例では約２１２０億から約２４０万になり、これは標準的なパーソナルコンピュータで扱われ得る範囲内に十分ある。

第１のマトリックスＭの別のパラメータはその帯域幅Ｂ_Ｍであり、これは非ゼロの係数と第１の対角線との間の最大の距離として規定される。

小さな帯域幅は、まばらなマトリックスでの固有値の高速な算出に有利である。第１のマトリックスＭの帯域幅はＳに比例し、図１に示されるように、非常に大きくなり得る。ある実施例では、帯域幅は有利には、第１のマトリックスＭのものより小さい帯域幅を有する第２のマトリックスＮを形成するために第１のマトリックスＭの（２Ｓ）²の要素を再配列することによって、動作ブロック１３０で下げることができる。そのようなある実施例では、第１のマトリックスＭを再配列することは、ｈおよびＭの両方の要素に置換を適用することを含む（たとえば、A. George and J. Liu,“Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems,”Prentice-Hall, 1981を参照）。あるそのような実施例では、この動作は、すべての非ゼロの要素が第１の対角線の近くに集まり、かつ従って帯域幅が非常に低減された第２のマトリックスＮに繋がる。この動作によって作られた第２のまばらなマトリックスＮおよび新たな置換された磁界ベクトルｇも式７

を満たす。ある実施例では、第２のマトリックスＮは第１のマトリックスＭと同じ寸法を有する。第２のマトリックスＮの帯域幅は

に比例するため、第１のマトリックスＭの帯域幅と比較して、それは大きく低減される。図２は、図１の第１のマトリックスＭにこのプロセスを適用することによって得られた第２のマトリックスＮを示す。非ゼロの要素の大半は、対角線の近くにある。帯域幅は４６０，３２０（図１の第１のマトリックスＭに対して）からわずか１，９２２（図２の第２のマトリックスＮに対して）へと低減され、これは約２４０分の１の低減である。ある実施例では、この帯域幅の低減は有利にはマトリックスの固有値の計算を高速化する。

原則として、ある実施例では、ファイバのモードは第２のマトリックスＮを対角化してその固有値のすべてを見つけることによって見つけられ得る。しかしながら、そのようなアプローチは、非常に多数の固有値および固有ベクトルを計算しかつ記憶することを必要とし、多くの時間およびメモリを必要とする。さらに、そのようなアプローチは、対象でないものでも、固有値のすべてを計算するために、非常に無駄が多い。より具体的には、それはファイバの非常に多数のバルク（クラッド）モードのすべて、およびそのいくつかのコアモードを計算するが、一般に、クラッドモードについての知識は対象ではない。ある他の実施例では、式７は、対象のいくつかの固有値のみを計算することによって解かれる。この制限は不合理ではない。というのは、一般に、第１の関心事は空気コアファイバに対してバンドギャップのエッジの近くにいくつかのコアモードおよびいくつかのバルクモードのみを見つけることである。あるそのような実施例では、問題は、所与の有効インデックス値ｎ₀に最も近い第２のマトリックスＮのｍ個の固有値を計算することとして表現し直すことができ、ここでｍは小さな数である。たとえば、ある特定の波長で特定の空気コアファイバのバンドギャップ内でモードのバンドギャップエッジおよび有効インデックスをモデリングするために、ｎ₀＝１に最も近いｍ₀＝１０のモードを計算することができるが、これは空気コアファイバのコアモードが１に近い有効インデックスを有するためである。

所与の値に最も近い大きなまばらなマトリックスの固有値を計算することは依然として困難な作業である。この作業の困難を低減するため、ある実施例は、ある値ｎ₀に最も近いマトリックスＮのｍ₀個の固有値は、第３のマトリックスＡの最も大きい（振幅において）固有値と同じであるという特性を使用し、第３のマトリックスＡは以下の式を使用して第２のマトリックスＮから計算することができる。

ここでＩは単位マトリックスである（たとえば、W. Zhi, R. Guobin, L. Shuqin, and J. Shuisheng,“Supercell lattice method for photonic crystal fibers,”Optics Express, 2003, Vol.11, pages 980-991を参照）。この特性はある実施例で有用であるが、なぜなら、所与のマトリックスＡの最大の振幅の固有値は、クーラント−フィッシャーの定理を使用することによって非常に速く計算することができるからである（たとえば、R.A. Horn and C.R. Johonson, Matrix Analysis, Chapter 4, Cambridge University Press, London, 1983を参照）。ある実施例では、クーラント−フィッシャーの定理が使用されるが、なぜなら、それはその固有値の検索をマトリックス内の寸法ｍ0の小さなブロックに制限するからであり、これはすべての固有値を識別するよりもはるかに高速である。

ある実施例では、方法１００はさらに、動作ブロック１４０で、第３のマトリックスＡを形成するために第２のマトリックスＮを移動させ、かつ移動された第２のマトリックスを反転させるステップを含む。同様の「移動−反転」技術は、平面波展開でこれまで使用されてきたが（たとえば、W. Zhi, R. Guobin, L. Shuqin, and J. Shuisheng,“Supercell lattice method for photonic crystal fibers,”Optics Express, 2003, Vol.11, pages 980-991を参照）、ここに説明されるようには使用されていない。そのようなある実施例では、第２のマトリックスは、第３のマトリックスＡを計算するために、移動され（たとえば、新しいマトリックス

を計算することによって）、次に反転される（たとえば、マトリックス

の逆マトリックスを計算することによって）。ある実施例では、逆マトリックスは、第３のマトリックスＡを得るために、（マトリックスがより下方およびより上方の三角形のマトリックスの積として表現される）標準的なＬＵ分解を使用して計算される（たとえば、R.A. Horn and C.R. Johnson,“Matrix Analysis,”Chapter 3, Section 5, Cambridge University Press, 1990を参照）。この計算はある実施例では高速であるが、なぜなら、

も小さな帯域幅を備えたまばらなマトリックスであるからである。
ある実施例では、方法１００はさらに、動作ブロック１５０で、第３のマトリックスＡの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップを含む。１つまたは複数の固有値または固有ベクトルは、導波管の１つまたは複数のモードに対応する。導波管がバンドギャップを有するＰＢＦを含むある実施例では、この計算はＰＢＦの１つまたは複数のモードを見つけることを含む。ＰＢＦの１つまたは複数のモードは、バンドギャップの近くに少なくとも１つのコアモード、表面モード、リングモード、またはバルクモードを含む。ある実施例では、上述のように、対象の有効インデックスであるＡのｍ₀個の
最大の固有値のみを計算するためにクーラント−フィッシャーの定理が使用される。ここに説明されるある実施例では、方法１００は、問題を、困難な問題である所与の値の周りで固有値の特定のセットを探すことから、はるかに高速である、変形されたマトリックスの最大の固有値を探すことに変形することがわかる。

特定のモードの電磁界分布でより詳細な特徴が望まれるある実施例では（たとえば、コアを囲む空孔の１つの末尾）、ある実施例は、他の有限差分または有限要素法で可能なように、計算をより細かいグリッドに展開するためにより粗いグリッドで得られた結果を新しい境界条件として利用する。したがって、このプロセスは、導波管の特定の部分において電磁界を計算するために、有効に拡大する。ある実施例では、このプロセスはＰＢＦモードの非常に細かい特徴へのアクセスを与える。

図４は、ここに説明されるある実施例によるＰＢＦをモデリングするための例示的な方法２００を示す別のフロー図である。構造、ドメイン形状、および境界条件を含む、ファイバの屈折率プロファイル分布が、ブロック２１０によって図４に示されるように、入力として提供される。対象の波長も、ブロック２２０によって図４に示されるように、入力として提供される。ファイバの屈折率プロファイル分布が矢印２３０によって図４に示されるようにサンプリングされる。横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わす、まばらな第１のマトリックスＭが、ブロック２４０によって図４に示されるように、サンプリングされた屈折率プロファイル分布および波長ならびに境界条件を使用して計算される。

矢印２５０によって図４に示されるように、第１のマトリックスＭは、ブロック２６０によって示されるまばらな第２のマトリックスＮを得るために再配列され、帯域幅は固有値の抽出を高速化するために低減されている。その周りでＰＢＦモードが計算されるべき有効インデックスｎ₀は、ブロック２７０によって図４に示されるように、入力として提供される。ブロック２８０に図４によって示されるように、第２のマトリックスＮは、移動され、移動されたマトリックスは反転され（たとえば、矢印２９０によって図４に示されるＬＵ分解を使用して）、ブロック３００によって図４に示される第３のマトリックスＡを与える。第３のマトリックスＡの最高の固有値は有効インデックスｎ₀に最も近い固有値である。計算されるべきモードの数ｍ₀は、ブロック３１０によって図４に示されるように入力として与えられ、第３のマトリックスＡの最大の固有値および固有ベクトルはブロック３２０によって図４に示されるように計算される（たとえば、クーラント−フィッシャーの定理を使用して）。この計算は、ブロック３３０によって図４に示されるように、その有効インデックスが有効インデックスｎ₀に最も近いｍ₀個の固有値（モード）を与える。ある実施例では、この計算は、これらモードの各々に対応するｍ₀個の固有ベクトル（各モードの電界および磁界のすべての３つの成分）も与える。

ここに説明されるある実施例は、導波管（たとえば、フォトニックバンドギャップファイバ）のモード特性のコンピュータで実現されるモデリングで有用である。そのようなモデリングに使用される汎用コンピュータは、ネットワークサーバ、ワークステーション、パーソナルコンピュータ、メインフレームコンピュータ等のさまざまな形を取り得る。そのような分析を行なうためにコンピュータを構成するコードは、典型的には、ＣＤ−ＲＯＭなどのコンピュータ読取可能な媒体上でユーザに提供される。コードは、ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）またはインターネットなどのワイドエリアネットワーク（ＷＡＮ）の一部であるネットワークサーバからユーザによってダウンロードされてもよい。

ソフトウェアを作動する汎用コンピュータは、典型的には、マウス、トラックボール、タッチパッド、および／またはキーボードなどの１つまたは複数の入力装置、ディスプレイ、ならびにランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）集積回路およびハードディスクドライブ
などのコンピュータ読取り可能な記憶媒体を含む。コードの１つまたは複数の部分、もしくはすべては、ユーザから遠隔にあってもよく、たとえば、ＬＡＮサーバ、インターネットサーバ、ネットワーク記憶装置等のネットワークリソース上にあってもよい。典型的な実施例では、ソフトウェアは導波管に関するさまざまな情報（たとえば、構造情報、寸法、屈折率プロファイル、波長、モードの数、目標のインデックス）を入力として受取る。

ある実施例では、このモード解決法２００は、商業的な数学的ソフトウェアプログラムのいずれか１つを使用して容易に実現可能である。たとえば、以下にさらに詳しく説明するように、モードソルバ法２００は、所望の数学的な動作の大半が容易に利用可能である、マサチューセッツ州ナティックのThe MathWorksから入手可能な、MATLAB（登録商標）を使用して実現可能である。たとえば、MATLAB（登録商標）は、上述のクーラント−フィッシャーの定理を使用してマトリックスの最大の固有値を算出するさまざまなコードのライブラリ（たとえば、ARPACKおよびUMFPACK）を提供する。商業的に入手可能な数学的ソフトウェアプログラムのそのような組込みの特徴を使用し、かつここに説明されるモード解決法のある実施例の比較的簡潔なことの結果として、ここに説明されるある実施例は、最小限のプログラミングのみを利用し、モード解決に対応するコードのセクションはコードのうちの約２００ライン未満を含む。

ここに説明されるある実施例は、他の導波管シミュレータよりはるかに高速かつ容易なＰＢＦのシミュレーションを提供し、有利である。さらに、ここに説明されるある実施例はスーパーコンピュータを必要とせず、有利である。たとえば、ある実施例では、モード解決法は、３．２−ＧＨｚのPentium（登録商標）ＩＶプロセッサおよび４ギガバイトのＲＡＭを備えたパーソナルコンピュータで実行される。あるそのような実施例では、モードソルバは、各辺に５００点を備えた、長方形のグリッドに対して、波長につき約４分で、所与のファイバで２０のモードの伝搬定数およびフィールドを見つける。これに対して、平面波展開技術に基づくＭＰＢコード（上述）を同じ問題に適用すると、１６の２−ＧＨｚパラレルプロセッサを使用して約１時間かかり、そのような計算はパーソナルコンピュータでは妥当な時間で行なうことはできない。

ある実施例では、モード解決法を実現するシミュレータコードは非常に短い（たとえば、２００ライン未満）。ある実施例では、この方法は、正確な屈折率分布をサンプリングし、有利である。ある実施例では、この方法は、波長を変数パラメータとして使用し、これは従来のファイバおよび光学導波管をモデリングするためにこれまで使用されてきたより直観的なアプローチである。ある実施例では、この方法はすべてのモードを計算するのではなく、所望のモードのみを計算し、さまざまな境界条件で使用可能である。ある実施例では、この方法は、負の値または複雑な値で屈折率分布をモデリングし、これは完璧に適合する境界条件を使用してモード伝搬損失を推定することを可能にする。

以下の説明では、例示的な実施例の性能を、それをシリカの三角形の格子に円形の空孔を備えた空気コアＰＢＦの選択されたモードの伝搬定数（または同等に、有効モードインデックス）および強度プロファイル（または同等に、電界および磁界空間分布）をモデリングするために適用することによって示す。シミュレーションで使用されるファイバの断面は図５に示され、これはρ＝０．４７Λの半径の円形の空孔、およびＲ＝０．８Λの円形の空気コアの半径を有する。図５の黒い区域は、間に空気の領域を備えたシリカを表わす。図５のＰＢＦ構造はρ＞０．４３Λに対するバンドギャップを表わす。以下の説明では、モデリングは周期的な境界条件を使用して行なわれた。特に、図５に示されるシミュレーションドメイン（スーパーセル）は、空間全体をタイリングするように周期的に繰返され、この周期的な導波管のモードが計算された。この周期的なタイリングにおける２つのファイバのコア間の分離距離は、隣接するファイバのコア間の相互作用を無視できる程度にし、かつ正確な予測を確実にするのに十分大きくなるように選択された（たとえば、
９Λ）。したがって、シミュレーションドメインは、シミュレーションで一般的に使用されるサイズである、９Λ幅の長方形（わずかに５つのリング未満）であるが、なぜなら、それが一方の算出時間と他方のメモリの要件との間で良好な妥協点を提供するからである。ファイバの屈折率分布のサンプリング、およびファイバの特徴（たとえば、円形の空気コアおよびクラッドの空孔）のデジタル化は、Λ／５０の空間分解能で行なわれた。この有限分解は、図５の孔のエッジに見られる小さな不規則性を考慮する。

図６は、ここに説明されるある実施例と適合する例示的な方法を使用して計算されたコア半径Ｒ＝１．０Λの第１のＰＢＦの分散曲線を示す。バンドギャップは、ほぼλ＝０．５６Λからλ＝０．６４Λへと延在している。このバンドギャップは２つの基本コアモード（ファイバの軸に沿って分極されるガウス状ＨＥ₁₁モード）をサポートし、コアプロファイルおよび半径の特定の選択から予想されるように表面モードをサポートしない（たとえば、M.J.F. Digonnet, H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, and G.S. Kino,“Simple geometric criterion to predict the existence of surface modes in air-core Photonic-bandgap fibers,”Optics Express, Vol.12, No.9, 3 May 2004, pages 1864-1872; and H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, M.J.F. Digonnet, and G.S. Kino,“Designing air-core photonic-bandgap fibers free of surface modes,”IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol.40, No.5, May 2004, pages 551-556を参照）。よく知られるように、基本コアモードは主に空気に集中する。図７は０．８Λのコア半径に対する基本コアモードのうちの１つの強度プロファイル

の外形マップを示す。図７の２つの図の最も右のものは、２つの図のうちの最も左のものの拡大版である。図８は図７の基本コアモードの強度プロファイル（ｘ＝０に沿って切られた）を示す。基本コアモードは、直交して分極されるモードでのその縮退のためにフォトニック結晶の対称性から予想されるように完璧な６回対称ではない。しかしながら、基本コアモードは垂直軸（ｘ＝０）および水平軸（ｙ＝０）の両方について対称的である。このプロファイルはコア境界で空気とシリカとの界面においてピークを示すことに注目されたい（図８に示されるようにｙ＝±１．５Λ）。そのような特徴は、正確な屈折率分布をサンプリングするここに説明されるある実施例によって分解することのできる細かいモード特徴の例である。

この例示的な方法の収束が図９によって示され、これは基本コアモードの有効インデックスの収束を図５のＰＢＦ構造に対するグリッド点の数の関数として表わす（ダイヤモンド型のデータ点によって図９に示され、最も左の垂直軸を参照する）。小数点以下第５位への収束が、図５のＰＢＦ構造に対するΛ／５０のステップサイズ（１辺あたり約４５０点）に対して図９に示される。

その精度を支援するため、例示的な方法は、Z. Zhu and T.G. Brown, in“Full-vectorial finite-difference analysis of microstructured optical fibers,”Optics Express, 2002, Vol.10, pages 853-864（“Zhuら”）によって説明され、かつZhuらの図３によって示されるように、多重極法を用いて以前計算されていた空気支援ファイバの基本モードの有効インデックスを計算するために使用された。例示的な方法を使用した計算の結果（正方形のデータ点によって図９に示され、かつ最も右の垂直軸を参照する）は、Zhuらによって報告されたような多重極法を使用して計算された有効インデックスの値（破線によって図９に示され、最も右の垂直軸を参照する）と比較された。表１は、２つの異なる
グリッドサイズで例示的な方法を使用して得られた値、およびZhuらによる多重極法に対して以前に報告された値を示す。

表１に示されるように、小数点以下第５位への精度は、例示的な方法によって１辺あたり１６０点のグリッドに対して達成される。２５６グリッド点を使用して例示的な方法で計算されたモード有効インデックス（１．４３５３５９８３）は、多重極法で計算された値（１．４３５３６０７）と約９ｘ１０^-7だけ異なる。図９は、Zhuらの図３によって示されるファイバに対するグリッドサイズを増加させるための例示的な方法に対する収束も示す（正方形のデータ点によって図９に示される）。達成された収束は小数点以下第７位より良好であり（１辺あたり５５０グリッド点に対して）、精度は匹敵するオーダである。これら結果は例示的な方法の精度および収束の両方を確認する。

図１０はＲ＝１．１５Λのコア半径を有する第２のＰＢＦの計算された分散図を示す。このファイバは表面モードを示し、これは以前に公開された結果と矛盾しない（たとえば、M.J.F. Digonnet, H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, and G.S. Kino,“Simple geometric
criterion to predict the existence of surface modes in air-core photonic-bandgap fibers,”Optics Express, Vol.12, No.9, 3 May 2004, pages 1864-1872; and H.K. Kim, J. Shin, S.H. Fan, M.J.F. Digonnet, and G.S. Kino,“Designing air-core photonic-bandgap fibers free of surface modes,”IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol.40, No.5, May 2004, pages 551-556を参照）。図１１の例示的な表面モードの強度外形マップに示されるように、これら表面モードは空気コアとクラッドの空孔の第１の層との界面で局所化される。これら表面モードのフィールドはシリカで最大量を有し、空気に消えていく。図１１に示される表面モードはファイバの対称性から予想される６回対称を示す。これら結果は以前に報告されたＰＢＦモードの挙動と矛盾しない。

ＰＢＦのシミュレーションでは、ある実施例は、コアモードが見つかるまで目標の有効インデックス（たとえば、ｎ₀＝１または０．９９）の周りで構造の多数のモード（たとえば、約４０）について解くことによって、合計の算出時間を有利に最小化する。シミュレーションの前はコアモードの有効インデックスはわからないため、ある実施例では、多数のモードのこの計算は、ある特定の波長でコアモードを見つけるために行なわれる。一旦所与の波長でコアモード有効インデックスが決定されると、これら有効インデックスの各々は次の（または近くの）波長での対応するモードの目標有効インデックスとして使用されるか、または目標の有効インデックスを推定するために外挿（たとえば、線形）が使用され得る。所与のモードの有効インデックスが２つの（またはそれ以上の）波長で計算されると、目標の有効インデックスを推定するために線形またはスプライン内挿技術（または同等の技術）が使用され得る。ある実施例では、この波長で解かれるモードの数は少なくすることができる（たとえば、一般にコアモード、表面モード、およびバンドギャップのエッジのいくつかのバルクモードのみが対象であるため、２０未満にすることができる）。あるそのような実施例は、対象の特定のモードを追跡することによって算出時間を有利に低減し、計算されたモードを有利にコアモードの周りに集中させる。

ここに説明されるある実施例は、パーソナルコンピュータを使用して任意のインデックスプロファイルの空気コアフォトニックバンドギャップファイバのモードを素早くシミュレーションし、同時に使用されるデータ記憶の量を２桁低減する新しいフォトニックバンドギャップファイバモードソルバを提供する。ある実施例では、特定の波長での典型的なＰＢＦのモードの有効インデックスおよびフィールドプロファイルは、３．２ギガバイトのＲＡＭを備えたパーソナルコンピュータでモードにつき約１０秒で計算することができる。ある実施例では、これら実質的な改善は、（１）まばらなマトリックスを使用して素早く行なうことができる、マトリックスの形でベクトルの横方向の磁界式を解くことによって、（２）少なくとも１桁計算をさらに高速化する、マトリックスの帯域幅を低減するためのマトリックスの要素の再配列によって、および（３）対象のモードについてのみ解くことによって、実現される。ここに説明されるある実施例は、有利にはプログラムするのが容易であり（たとえば、MATLAB（登録商標）コードの約２００ライン）、有利にはいくつかのタイプの境界条件のうちの１つとともに使用することができ、かつそのインデックスプロファイルの複雑性に関わらず、導波管のあらゆる光ファイバのモードを計算するために有利に適用可能である。

さまざまな実施例をここまで説明してきた。この発明はこれら特定の実施例に関して説明されているが、説明はこの発明を例示するように意図されるものであり、制限することを意図されない。特許請求の範囲に規定されるようなこの発明の精神および範囲を離れることなく、さまざまな修正および適用が当業者に思い浮かぶであろう。

導波管のモード特性を計算するためにここに説明されるある実施例と適合する方法を実現するために使用可能な例示的なMATLAB（登録商標）コードの部分を以下に示す。具体的には、例示的なコード部分「mode_hex」は周期的な境界条件と適合し、例示的なコード部分「mode_rec」は長方形の境界条件と適合する。

ここに示される例示的なコード部分は著作権保護の対象になる材料を含む。著作権の所有者は、特許文献または特許の開示は特許庁のファイルまたは記録に見られるため、何人かによってそれが複写再生されることに反対しないが、他の場合はすべての著作権を保有する。

例示的なコード部分「mode_hex」
例示的なコード部分「mode_hex」は六角形の境界に対して固有値および固有ベクトルについて解くために使用することができる。

例示的なコード部分：「mode_rec」
例示的なコード部分「mode_rec」は長方形の境界に対して固有値および固有ベクトルについて解くために使用することができる。

ここに説明されるある実施例と適合する例示的な方法のフロー図である。 長方形の境界を備えたＰＢＦに対してモード式を表わす第１のマトリックスＭの図である。 マトリックスの帯域幅を低減するために第１のマトリックスＭの再配列によって得られた第２のマトリックスＮの図である。 ここに説明されるある実施例によるＰＢＦをモデリングするための例示的な方法を示すフロー図である。 周期的な境界条件のもとでクラッド空孔半径ρ＝０．４７Λおよびコア半径Ｒ＝０．８Λを有する空気コアＰＢＦをモデリングするために使用される屈折率構造のサンプリングの図である。 ρ＝０．４７ΛおよびＲ＝１．０Λを有する図５によって示されるＰＢＦに対する２つの基本モードの計算されたバンドプロファイルおよび分散の図である。 ρ＝０．４７Λ、Ｒ＝０．８Λ、およびλ＝０．６０Λで図５によって示されるＰＢＦに対するコアモードの計算されたモード強度プロファイルの図である。 ｘ＝０に沿った線における図７のコアモードの断面図である。 ρ＝０．４７ΛおよびＲ＝０．８Λを有するＰＢＦに対するグリッドサイズを増加させるための例示的な方法に対する収束（ダイヤモンド型のデータ点、最も左の垂直軸を参照する）、およびZhuらによって説明されるファイバに対するグリッドサイズを増加させるための例示的な方法に対する収束（正方形のデータ点、最も右の垂直軸を参照する）の図である。 ρ＝０．４７ΛおよびＲ＝１．１５Λを有するＰＢＦに対する計算されたバンドプロファイルおよび分散の図である。 ρ＝０．４７Λ、Ｒ＝１．１５Λおよびλ＝０．６０Λで図１０のＰＢＦに対する表面モードの計算されたモードプロファイルの図である。

Claims (20)

1. 導波管の１つまたは複数の電磁界モードをモデリングするための方法であって、
   前記導波管の２次元の断面をサンプリングするステップと、
   前記導波管のサンプリングされた２次元の断面を使用して第１のマトリックスを計算するステップとを含み、前記第１のマトリックスは複数の要素を含みかつ第１の帯域幅および各々が、自身の２つのインデックスが互いに等しい複数の要素の第１の対角線を有し、前記第１のマトリックスの複数の要素は前記導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わし、前記複数の要素は非ゼロの値を有する非ゼロ要素を備え、前記第１の帯域幅は前記第１のマトリックスの前記非ゼロ要素と前記第１の対角線との間の最大距離であり、前記方法はさらに、
   前記第１のマトリックスの複数の要素を再配列して前記第１の帯域幅より小さい第２の帯域幅を有する第２のマトリックスを形成するステップと、
   前記第２のマトリックスを移動しかつ該移動された第２のマトリックスを反転させて第３のマトリックスを形成するステップと、
   前記導波管の前記１つまたは複数のモードに対応する前記第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップと、
   吸収材料によって前記方法のシミュレーションドメイン囲む境界条件を用いて、前記導波管の前記１つまたは複数のモードに対応する１つまたは複数の伝搬損失を計算するステップとを含む、方法。
2. 前記導波管はフォトニックバンドギャップファイバを含む、請求項１に記載の方法。
3. 前記導波管は空気コアフォトニックバンドギャップファイバを含む、請求項１に記載の方法。
4. 前記導波管は前記導波管の縦方向の軸に沿って移動不変である屈折率プロファイルを有する、請求項１に記載の方法。
5. 前記導波管の２次元の断面をサンプリングするステップは、前記導波管の屈折率プロファイルをデジタル化するステップを含む、請求項１に記載の方法。
6. 前記導波管は、縦方向の軸、空気コア、ならびに空孔および介在膜を含むクラッド構造を有する空気コアフォトニックバンドギャップファイバを含み、前記導波管の２次元の断面をサンプリングするステップは、前記縦方向の軸に垂直な平面の断面で前記空孔およびクラッド構造をデジタル化するステップを含む、請求項１に記載の方法。
7. 前記導波管の２次元の断面をサンプリングするステップは、前記クラッド構造の基本構成要素である最小のセルに対応する区域にわたって行なわれる、請求項６に記載の方法。
8. 前記第１のマトリックスを計算するステップは境界条件を規定するステップを含む、請求項１に記載の方法。
9. 前記第１のマトリックスを計算するステップは、前記横方向の磁界によって満たされる固有値の式を離散化するステップを含み、前記離散化するステップは
   によって表わされるマックスウェル方程式を使用して行なわれる、請求項１に記載の方法。
10. 前記固有値の式を離散化するステップは空気コア境界にまたがる各離散ピクセルにわたるインデックス平均化を含む、請求項９に記載の方法。
11. 前記導波管は、縦方向の軸、空孔、ならびに空孔および介在膜を含むクラッド構造を有する空気コアフォトニックバンドギャップファイバを含み、前記固有値の式を離散化するステップは前記導波管の平面の断面で前記横方向の磁界の２つの成分をサンプリングするステップを含む、請求項９に記載の方法。
12. 前記横方向の磁界の２つの成分をサンプリングするステップは前記クラッド構造の基本構成要素である最小のセルに対応する区域にわたって行なわれる、請求項１１に記載の方法。
13. 前記第１のマトリックスを計算するステップは前記導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用に対応する線形演算子をサンプリングするステップを含む、請求項１に記載の方法。
14. 前記第１のマトリックスはまばらなマトリックスであり、前記第２のマトリックスは前記第１のマトリックスと同じ寸法を有する、請求項１に記載の方法。
15. 前記移動された第２のマトリックスを反転させるステップは、ＬＵ分解を使用するステップを含む、請求項１に記載の方法。
16. 前記第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップは、前記第３のマトリックスの選択された数の最大の固有値のみを計算するステップを含む、請求項１に記載の方法。
17. 前記第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップは、有限差分または有限要素計算を使用するステップを含む、請求項１に記載の方法。
18. 前記導波管はバンドギャップを有するフォトニックバンドギャップファイバを含み、前記第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するステップは、前記フォトニックバンドギャップファイバの１つまたは複数のモードを見つけるステップを含み、前記１つまたは複数のモードはバンドギャップの近くに少なくとも１つのコアモード、表面モード、リングモード、またはバルクモードを含む、請求項１に記載の方法。
19. コンピュータ読取可能な媒体であって、汎用コンピュータに請求項１に記載の方法を行なわせる命令がそこに記憶されているコンピュータ読取可能な媒体。
20. 導波管の１つまたは複数の電磁界モードをモデリングするためのコンピュータシステムであって、
    前記導波管の２次元の断面をサンプリングするための手段と、
    前記導波管のサンプリングされた２次元の断面を使用して第１の帯域幅および各々が、自身の２つのインデックスが互いに等しい複数の要素の第１の対角線を有する第１のマトリックスを計算するための手段とを含み、前記第１のマトリックスは前記導波管内での横方向の磁界に対するマックスウェル方程式の作用を表わす複数の要素を含み、前記複数の要素は、非ゼロ値を有する非ゼロ要素を備え、前記第１の帯域幅は前記第１のマトリックスの前記非ゼロ要素と前記第１の対角線との間の最大距離であり、前記コンピュータシステムはさらに、
    前記第１のマトリックスの複数の要素を再配列して前記第１の帯域幅より小さい第２の帯域幅を有する第２のマトリックスを形成するための手段と、
    前記第２のマトリックスを移動させ、かつ移動された第２のマトリックスを反転させて第３のマトリックスを形成するための手段と、
    前記導波管の前記１つまたは複数のモードに対応する前記第３のマトリックスの１つまたは複数の固有値または固有ベクトルを計算するための手段と、
    吸収材料によって前記モデリングのシミュレーションドメインを囲む境界条件を用いて、前記導波管の前記１つまたは複数のモードに対応する１つまたは複数の伝搬損失を計算するための手段とを含む、コンピュータシステム。