JP2013149203A - Optimal model estimation device, method and program - Google Patents
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Abstract
【課題】非線形モデルを対象として、最適な状態空間モデルを推定することができるようにする。
【解決手段】状態推定部２２によって、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で各々正規化した推定誤差分散共分散行列と、システムノイズの共分散行列と、観測ノイズの分散とを用いたＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、観測値の時系列データに基づいて状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測誤差を算出する。最適モデル推定部２３によって、正規化されたシステムノイズ共分散行列及び観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに状態推定部２２によって各々算出された予測誤差に基づいて、最適な状態空間モデルを推定する。
【選択図】図１An optimal state space model can be estimated for a nonlinear model.
An estimation error variance covariance matrix normalized by a sum of diagonal components of a system noise covariance matrix and observation noise variance values, a system noise covariance matrix, and an observation by a state estimation unit 22 According to a normalized UFK (Unscented Kalman Filter) using noise variance, the state vector X is sequentially estimated based on the time-series data of the observed values, and a prediction error is calculated. Based on the prediction error calculated by the state estimation unit 22 when each of the combination of the normalized system noise covariance matrix and the observed noise variance is used by the optimal model estimation unit 23, an optimal state space model is calculated. presume.
[Selection] Figure 1
Description
本発明は、最適モデル推定装置、方法、及びプログラムに係り、特に、最適な状態空間モデルを推定する最適モデル推定装置、方法、及びプログラムに関する。 The present invention relates to an optimum model estimation device, method, and program, and more particularly, to an optimum model estimation device, method, and program for estimating an optimum state space model.
従来より、線形モデルの残差(観測値と予測値の差)とその共分散の関係を線形方程式で書き下し、最小二乗法でシステムノイズと観測ノイズを推定する手法が提案されている（非特許文献１）。 Conventionally, a method has been proposed to estimate the system noise and observation noise by the least squares method by writing down the linear model residual (difference between observed and predicted values) and its covariance as a linear equation (non-patent) Reference 1).
しかしながら、上記の特許文献１に記載の技術では、線形モデルを対象としているため、非線形モデルのモデリングを行うことができない、という問題が生じる。 However, since the technique described in Patent Document 1 is directed to a linear model, there arises a problem that a nonlinear model cannot be modeled.
本発明は、上記の事情を鑑みてなされたもので、非線形モデルを対象として、最適な状態空間モデルを推定することができる最適モデル推定装置、方法、及びプログラムを提供することを目的とする。 The present invention has been made in view of the above circumstances, and an object thereof is to provide an optimum model estimation device, method, and program capable of estimating an optimum state space model for a nonlinear model.
上記の目的を達成するために本発明に係る最適モデル推定装置は、システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段と、予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段と、を含んで構成されている。 In order to achieve the above object, the optimum model estimation apparatus according to the present invention includes a state update expression for nonlinearly updating the state vector X using system noise and a state vector X and an observed value using observation noise. For the state space model defined using the observation equation indicating the relationship between the covariance matrix of the estimation error variance of the state vector X, the sum of the diagonal components of the covariance matrix of the system noise and the variance value of the observation noise Normalized normalization error variance covariance matrix normalized by, normalized system noise covariance matrix normalized by the sum of the system noise covariance matrix, and variance of the observed noise normalized by the sum Generation of sigma point sequence using normalized observation noise variance, state update of state vector X, and normalized UFK (Uncen ed Kalman Filter) sequentially estimates the state vector X based on the time series data of the observed values, calculates a predicted value in time series, and an observed value corresponding to the predicted value calculated in time series; Each of which is calculated by the state estimating means when using each of the combination of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance. Based on the prediction error, the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance are identified, and the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance is optimized. And an optimum model estimation means as a model estimation result.
本発明に係る最適モデル推定方法は、状態推定手段及び最適モデル推定手段を含む最適モデル推定装置における最適モデル推定方法であって、前記最適モデル推定装置は、状態推定手段によって、システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出するステップと、最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とするステップと、を含んで実行することを特徴とする。 An optimum model estimation method according to the present invention is an optimum model estimation method in an optimum model estimation apparatus including a state estimation means and an optimum model estimation means, wherein the optimum model estimation apparatus uses system noise by the state estimation means. For a state space model determined using a state update equation for nonlinearly updating the state vector X in time and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using observation noise, the state vector X The estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix of the estimated error variance with the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the variance of the observed noise, and the system noise covariance matrix are Normalized system noise covariance matrix normalized by the sum, and the normalized observed noise component normalized by the sum of the variance of the observed noise And sequentially estimating the state vector X based on the time-series data of the observed values according to a normalized UFK (Unsented Kalman Filter) that performs generation of a sigma point sequence using Calculating predicted values in time series, calculating prediction errors between the predicted values calculated in time series and the corresponding observed values, and the normalized system noise prepared in advance by the optimum model estimating means An optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance based on the prediction error respectively calculated by the state estimation means when using each of a combination of a covariance matrix and the normalized observation noise variance Identify the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise The state space model with, and executes comprise the steps of an estimation result of the optimal model, the.
本発明に係るプログラムは、コンピュータを、システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段、及び予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段として機能させるためのプログラムである。 The program according to the present invention provides a computer with a state update equation for nonlinearly updating the state vector X using system noise and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using observation noise. Normalized estimation error obtained by normalizing the covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X with the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the observed noise variance value for the state space model determined using A variance covariance matrix, a normalized system noise covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix of the system noise with the sum, and a normalized observation noise variance obtained by normalizing the variance of the observation noise with the sum. Normalized UFK (Unscented Kalman) that performs generation of sigma point sequence, state update of state vector X, and observation update According to Filter), the state vector X is sequentially estimated based on the time series data of the observed values, the predicted values are calculated in time series, and the predicted values calculated in time series and the corresponding observed values are predicted. State estimation means for calculating each error, and the prediction error calculated by the state estimation means when using each of the combinations of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance Based on the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance, and the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance is This is a program for functioning as an optimum model estimation means as an estimation result.
本発明によれば、状態推定手段によって、システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する。そして、最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする。 According to the present invention, a state update equation for nonlinearly updating the state vector X using the system noise by the state estimation means and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using the observation noise. Normalized estimation obtained by normalizing the covariance matrix of the estimation error variance of the state vector X with the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the observed noise variance for the state space model determined using An error variance covariance matrix, a normalized system noise covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix of the system noise by the sum, and a normalized observation noise variance obtained by normalizing the variance of the observation noise by the sum. Normalized UFK (Unsented Kalman F) that performs generation of sigma point sequence used, state update of state vector X, and observation update lter), the state vector X is sequentially estimated based on the time series data of the observed values, the predicted values are calculated in time series, and the predicted values calculated in time series and the corresponding observed values are predicted. Each error is calculated. Then, based on the prediction error calculated by the state estimation unit when each of the combination of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance is used by the optimum model estimation unit. The optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance are identified, and the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance is determined as the optimal model estimation result. And
このように、各々正規化した推定誤差分散共分散行列、システムノイズの共分散行列、及び観測ノイズの分散値を用いたＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫに従って状態ベクトルの逐次推定を行って、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定することにより、非線形モデルを対象として、最適な状態空間モデルを推定することができる。 In this manner, the state vector is sequentially estimated according to the normalized error variance covariance matrix normalized, the system noise covariance matrix, and the normalized UFK using the observed noise variance values, and the optimum normalized system noise covariance is obtained. By specifying the variance matrix and the normalized observation noise variance, an optimal state space model can be estimated for the nonlinear model.
以上説明したように、本発明の最適モデル推定装置、方法、及びプログラムによれば、各々正規化した推定誤差分散共分散行列、システムノイズの共分散行列、及び観測ノイズの分散値を用いたＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫに従って状態ベクトルの逐次推定を行って、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定することにより、非線形モデルを対象として、最適な状態空間モデルを推定することができる、という効果が得られる。 As described above, according to the optimum model estimation apparatus, method, and program of the present invention, normalized estimation error variance covariance matrix, system noise covariance matrix, and normalized noise variance values are used. It is possible to estimate an optimal state space model for a nonlinear model by performing sequential estimation of a state vector according to UFK and specifying an optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance. The effect is obtained.
以下、図面を参照して本発明の実施の形態を詳細に説明する。 Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings.
＜発明の概要＞
経済時系列データに代表される現実の時系列は時間と共に大きく変動し、一般的に解析が困難である。この様な時系列は非定常と呼ばれ、想定するモデルも非線形になる。本発明は、非線形非定常時系列モデルに対する一つの状態推定アルゴリズムであるUnscented Kalman Filter(UKF)において、非線形時系列モデル中に存在する様々なノイズの分散値が未知である場合でも、その総和を1に抑えることで安定的な推定を可能にするＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に関するものである。
<Outline of the invention>
An actual time series represented by economic time series data fluctuates greatly with time and is generally difficult to analyze. Such a time series is called non-stationary, and the assumed model is also non-linear. In the Unscented Kalman Filter (UKF), which is one state estimation algorithm for a nonlinear non-stationary time series model, the present invention calculates the sum even if the variance values of various noises existing in the nonlinear time series model are unknown. The present invention relates to a normalized UFK (Unscented Kalman Filter) that enables stable estimation by limiting to 1.
＜システム構成＞
本発明の実施の形態に係る最適モデル推定装置１００は、観測値の時系列データが入力され、状態空間の最適モデルを推定する。この最適モデル推定装置１００は、ＣＰＵと、ＲＡＭと、後述する最適モデル推定処理ルーチンを実行するためのプログラムを記憶したＲＯＭとを備えたコンピュータで構成され、機能的には次に示すように構成されている。図１に示すように、最適モデル推定装置１００は、入力部１０と、演算部２０と、出力部３０とを備えている。
<System configuration>
Optimal model estimation apparatus 100 according to the embodiment of the present invention receives time-series data of observation values and estimates an optimal model of the state space. The optimum model estimation device 100 is constituted by a computer having a CPU, a RAM, and a ROM storing a program for executing an optimum model estimation processing routine to be described later, and functionally configured as shown below. Has been. As shown in FIG. 1, the optimal model estimation device 100 includes an input unit 10, a calculation unit 20, and an output unit 30.
入力部１０は、入力された観測値の時系列データを受け付ける。観測値は、スカラー値であり、すなわち、時系列データは、１次元時系列である。例えば、図２に示すように、エポックｔnと観測値（ｔn）との組（ｎ＝１、・・・、Ｎ）からなる時系列データである。 The input unit 10 receives time-series data of input observation values. The observed value is a scalar value, that is, the time series data is a one-dimensional time series. For example, as shown in FIG. 2, it is time series data composed of a set (n = 1,..., N) of an epoch t n and an observed value (t n ).
また、入力部１０は、オペレータから、後述する状態空間モデルの定義の入力を受け付ける。 Further, the input unit 10 receives an input of a definition of a state space model described later from an operator.
演算部２０は、状態空間モデリング部２１、状態推定部２２、最適モデル推定部２３、及び推定結果データ生成部２４を備えている。 The calculation unit 20 includes a state space modeling unit 21, a state estimation unit 22, an optimum model estimation unit 23, and an estimation result data generation unit 24.
状態空間モデリング部２１は、オペレータによる入力部１０からの状態空間モデルの定義の入力を受け付けて、以下に説明するように、時系列データを状態空間で表現した非線形ガウス型モデルを定義する。 The state space modeling unit 21 receives an input of the definition of the state space model from the input unit 10 by the operator, and defines a nonlinear Gaussian model expressing time series data in the state space as described below.
まず、以下の（１）式、（２）式に示す非線形ガウス型モデリングを行う。 First, nonlinear Gaussian modeling shown in the following equations (1) and (2) is performed.
ただし、Ｘｔは時刻ｔにおける状態ベクトルで、通常、非観測量が取られる。状態ベクトルＸtを時系列データytを用いて推定することを目的とする。wはシステムノイズベクトルであり、正規分布に従う白色ノイズベクトルである。μは観測ノイズであり、正規分布に従う白色ノイズである。また、Ｎ（ｍ、ｖ）は平均ｍ、分散ｖの正規分布を表す。したがって、Ｑはシステムノイズの共分散行列に相当し、ｒは観測ノイズの分散値に相当する。上記（２）式に示されるように、ytは時刻tにおける観測値で、状態Xtの線形変換Hにより生成される。上記（２）式は、観測ノイズを用いて状態ベクトルＸtと観測値ｙtとの関係を示している。f()が非線形箇所であり、f()の型はモデルにより異なるが、循環変動+簡単なトレンドモデルでは以下の（３）式のように状態が定義され、状態更新式が組まれる。 However, Xt is a state vector at time t, and normally an unobserved quantity is taken. And an object thereof is to estimate using the time-series data y t the state vector X t. w is a system noise vector, which is a white noise vector following a normal distribution. μ is observation noise, and is white noise according to a normal distribution. N (m, v) represents a normal distribution with mean m and variance v. Therefore, Q corresponds to a covariance matrix of system noise, and r corresponds to a variance value of observation noise. As shown in equation (2), y t the observation value at time t, generated by the linear transformation H state X t. The above equation (2) shows the relationship between the state vector Xt and the observation value yt using the observation noise. f () is a non-linear part, and the type of f () varies depending on the model, but in the cyclic fluctuation + simple trend model, the state is defined as shown in the following equation (3), and the state update equation is built.
ここで、xt, ・・・,xt−M+1,a1,・・・,aMまでは自己回帰過程で表現された循環変動成分に関する変量、Ttがトレンド成分の変量である。また、状態更新式のｆ（Ｘt-1）、ｗは、以下の（４）式で表わされる。 Here, x t , ..., x t−M + 1 , a 1 , ..., a M are variables related to the cyclic fluctuation component expressed in the autoregressive process, and T t is the variable of the trend component . Further, f (X t-1 ) and w in the state update expression are expressed by the following expression (4).
ここでｗはシステムノイズベクトルであるが、通常ω1とω2×M+1以外は0である。この循環変動+簡単なトレンドモデルでは、上記（２）式の観測方程式のＨは、1行（2×M+1）列のベクトルで、1番目、（2×M+1）番目の要素が1であり、その他は0である。 Here, w is a system noise vector, but is usually 0 except for ω 1 and ω 2 × M + 1 . In this cyclic variation + simple trend model, H in the observation equation of the above equation (2) is a vector of 1 row (2 × M + 1) columns, and the first and (2 × M + 1) elements are 1 and others are 0.
このように、状態空間モデリング部２１は、オペレータからの入力を受け付けて、上記（４）式に示すようなｆ（）の型を定義すると共に、上記（２）式のＨを定義する。 As described above, the state space modeling unit 21 receives the input from the operator, defines the type of f () as shown in the above equation (4), and defines H in the above equation (2).
また、状態空間モデリング部２１は、後述する正規化されたシステムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値を0〜1まで振り、正規化されたシステムノイズの共分散行列及び観測ノイズの分散値の組み合わせの各々を用意する。例えば、共分散行列Ｑの対角成分の各値及び分散値ｒの値の総和が１となるように正規化されたシステムノイズの共分散行列及び観測ノイズの分散値の組み合わせを複数用意する。 The state space modeling unit 21 assigns a diagonal component of a normalized system noise covariance matrix (to be described later) and a variance value of observation noise to 0 to 1, and normalizes the covariance matrix and observation of the normalized system noise. Each combination of noise variance values is prepared. For example, a plurality of combinations of the system noise covariance matrix and the observed noise variance values, which are normalized so that the sum of the values of the diagonal components of the covariance matrix Q and the variance value r is 1, are prepared.
状態推定部２２は、入力された時系列データと、状態空間モデリング部２１でモデリングされた状態空間モデルとに基づき、状態ベクトルの逐次推定を行う。モデルは非線形であるので、Unscented Kalman Filter(UKF)をベースにしたNormalized UKFにより状態ベクトルXtの推定を行う。通常のUKFアルゴリズムは、以下の（５）式〜（１５）式で表されるシグマ点列の発生、状態更新、及び観測更新（フィルタ）からなる。 The state estimation unit 22 performs sequential estimation of state vectors based on the input time-series data and the state space model modeled by the state space modeling unit 21. Since the model is a non-linear, to estimate the state vector X t by Normalized UKF was Unscented Kalman Filter and (UKF) based. A normal UKF algorithm includes generation of a sigma point sequence represented by the following equations (5) to (15), state update, and observation update (filter).
ただし、λは、予め定められた定数であり、Ｌは、状態ベクトルＸの次元数である。￣ｙは観測値の予測値であり、￣ｙ＝Ｈ￣Ｘである。ｖは予測誤差であり、Ｐは状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列である。 Here, λ is a predetermined constant, and L is the number of dimensions of the state vector X. ￣y is the predicted value of the observed value, and ￣y = H￣X. v is a prediction error, and P is a covariance matrix of estimated error variance of the state vector X.
本実施の形態で用いるNormalized UKFでは、上記の通常のアルゴリズムに存在する￣P,＾Pを、全ノイズの分散値の総和、つまりシステムノイズｗの共分散行列Ｑの対角成分の総和と観測ノイズμの分散値rとの和traceＱ+rで割る。例えば、上記（１５）式の￣Pは以下の（１６）式で定義される￣P’に置き換えられる。 In Normalized UKF used in this embodiment, ￣P, ^ P existing in the above normal algorithm is the sum of the variance values of all noises, that is, the sum of the diagonal components of the covariance matrix Q of the system noise w. Divide by the sum traceQ + r of the variance value r of noise μ. For example, ￣P in the above equation (15) is replaced with ￣P ′ defined by the following equation (16).
この操作によって、上記（１１）式のシステムノイズ共分散行列Ｑや上記（１２）式の観測ノイズの分散値rは、以下の（１７）式、（１８）式に示すように正規化される。つまり、システムノイズ共分散行列Ｑの要素及び観測ノイズの分散値rは全て１以下になる。また、システムノイズ共分散行列Ｑの要素及び観測ノイズの分散値の総和が１となる。 By this operation, the system noise covariance matrix Q in the above equation (11) and the observed noise variance r in the above equation (12) are normalized as shown in the following equations (17) and (18). . That is, the elements of the system noise covariance matrix Q and the observed noise variance r are all 1 or less. In addition, the sum of the elements of the system noise covariance matrix Q and the variance value of the observation noise is 1.
この一連の正規化の操作によってアルゴリズムの形は適宜変更されるが、上記（８）式、（９）式に含まれるαの設定値を小さくとることで通常のUKFのアルゴリズムと一致させることができる。これは以下のように示される。 The shape of the algorithm is appropriately changed by this series of normalization operations, but it is possible to match the normal UKF algorithm by reducing the set value of α included in the above equations (8) and (9). it can. This is shown as follows.
ここでM・α2が1になるようにαを設定することで、正規化数Mのシグマ点列発生への影響が消える。つまり以下の（２３）式、（２４）式のようになる。 Here, by setting α so that M · α 2 becomes 1, the influence of the normalized number M on the generation of the sigma point sequence disappears. That is, the following equations (23) and (24) are obtained.
上記（２４）式は状態が正規分布に従うと仮定した時の通常のシグマ点列発生である。この場合L+κ=3に設定することが多い。 The above equation (24) is a normal sigma point sequence when the state is assumed to follow a normal distribution. In this case, L + κ = 3 is often set.
このように、状態推定部２２は、入力された観測値の時系列データに基づいて、通常のＵＦＫのアルゴリズムにおいて、正規化された状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列￣P’,＾P’、正規化されたシステムノイズ共分散行列Ｑ’、観測ノイズの分散値r’に置き換えたNormalized UKFのアルゴリズム（シグマ点列の発生、状態更新、観測更新）に従って、状態ベクトルＸの逐次推定を行うと共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する。 As described above, the state estimation unit 22 uses the normal time-series data of the input observation values and the covariance matrix ￣P ′, ^ of the estimated error variance of the normalized state vector X in the normal UFK algorithm. Sequential estimation of state vector X according to Normalized UKF algorithm (generation of sigma point sequence, state update, observation update) replaced with P ', normalized system noise covariance matrix Q', and observed noise variance r ' In addition, the prediction values are calculated in time series, and prediction errors between the prediction values calculated in time series and the corresponding observation values are calculated.
また、状態推定部２２は、状態ベクトルＸの逐次推定を、状態空間モデリング部２１で用意した、正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせの各々を用いた場合についてそれぞれ行う。 In addition, the state estimation unit 22 prepares successive estimation of the state vector X by using each combination of the normalized system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ prepared by the state space modeling unit 21. Each case is used.
最適モデル推定部２３は、正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせの各々について、状態推定部２２によって逐次行われたシグマ点列の発生、状態更新、及び観測更新の結果を利用して、以下の（２５）式〜（２９）式に基づき、モデルの性能を意味する赤池情報量ＡＩＣが最小になったところで、最適モデルを出力する。つまり、モデルの同定と同時にノイズ分散値の最適推定も行う。 The optimal model estimator 23 generates a sigma point sequence and updates the state sequentially performed by the state estimator 22 for each combination of the normalized system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′. Based on the following formulas (25) to (29), the optimum model is output when the Akaike information amount AIC, which means the model performance, is minimized. That is, the optimum estimation of the noise variance value is performed simultaneously with the model identification.
ただし、ｖは上記（１３）式で示した予測誤差であり、ＡＩＣは赤池情報量である。ここで、正規化定数Mは以下の（３０）式で推定される。 However, v is the prediction error shown by said Formula (13), and AIC is Akaike information amount. Here, the normalization constant M is estimated by the following equation (30).
最小のＡＩＣを記録したときの正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせが、ノイズ分散値の最適な組み合わせであると特定され、特定されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせを適用した状態空間モデルが、最適な推定モデルの推定結果とされる。 The combination of the normalized system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ when the smallest AIC is recorded is identified as the optimum combination of noise variance values, and the identified system noise The state space model to which the combination of the covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ is applied is the estimation result of the optimum estimation model.
推定結果データ生成部２４は、最適モデル推定部２３から最適モデルの推定結果を受け取ると、図３に示すように、最適モデルについて時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ＸNを含む推定モデルパラメータ及び推定システムノイズ分散値を示す推定結果データを生成する。パラメータ推定結果には、状態ｘt，・・・，ｘt-M+1、パラメータａt，・・・，ａt-M+1，Ｔt，システムノイズ分散Ｑ’、観測ノイズ分散ｒ’が含まれている。 When the estimation result data generation unit 24 receives the estimation result of the optimum model from the optimum model estimation unit 23, as shown in FIG. 3, the estimation model parameter including the state XN after the observation update for the optimum model at time t = N and Estimation result data indicating an estimated system noise variance value is generated. The parameter estimation results include states x t ,..., X t-M + 1 , parameters a t ,..., A t-M + 1 , T t , system noise variance Q ′, observation noise variance r ′. It is included.
出力部３０により、推定結果データ生成部２４によって生成された推定結果を示すデータがユーザに出力される。 The output unit 30 outputs data indicating the estimation result generated by the estimation result data generation unit 24 to the user.
＜最適モデル推定装置の作用＞
次に、本実施の形態に係る最適モデル推定装置１００の作用について説明する。まず、オペレータにより、状態空間モデルの定義が最適モデル推定装置１００に入力されると、最適モデル推定装置１００によって、入力された状態空間モデルの定義が、メモリ（図示省略）へ格納される。また、時刻ｔ1〜ｔNの観測値からなる時系列データが、最適モデル推定装置１００に入力されると、最適モデル推定装置１００によって、入力された時系列データが、メモリへ格納される。そして、最適モデル推定装置１００によって、図４に示す最適モデル推定処理ルーチンが実行される。
<Operation of optimum model estimation device>
Next, the operation of the optimum model estimation apparatus 100 according to the present embodiment will be described. First, when a state space model definition is input to the optimal model estimation device 100 by an operator, the input state space model definition is stored in a memory (not shown) by the optimal model estimation device 100. In addition, when time series data composed of observed values at times t 1 to t N is input to the optimal model estimation apparatus 100, the input time series data is stored in the memory by the optimal model estimation apparatus 100. Then, the optimum model estimation apparatus 100 executes an optimum model estimation processing routine shown in FIG.
まず、ステップＳ１０１において、入力された観測値の時系列データを取得する。そして、ステップＳ１０２において、入力された状態空間モデルの定義に基づいて、上記（１）式、（２）式の非線形ガウス型モデルを設定すると共に、正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせを複数生成する。 First, in step S101, time-series data of input observation values is acquired. In step S102, based on the definition of the input state space model, the nonlinear Gaussian model of the above equations (1) and (2) is set, and the normalized system noise covariance matrix Q ′ is set. And a plurality of combinations of observed noise variances r ′.
そして、ステップＳ１０３において、上記ステップＳ１０２で生成された、正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせの各々について、当該組み合わせを設定したＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫのアルゴリズムに従って、上記ステップＳ１０１で取得した観測値の時系列データを用いて、シグマ点列の発生、状態更新、及び観測更新を逐次行って、状態ベクトルＸの逐次推定を行う。観測値の時系列データを用いた状態ベクトルＸの逐次推定を、正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の全ての組み合わせについて行う。 In step S103, for each combination of the normalized system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ generated in step S102, the normalized UFK algorithm in which the combination is set is used. The generation of the sigma point sequence, the state update, and the observation update are sequentially performed using the time series data of the observation values acquired in step S101, and the state vector X is sequentially estimated. The state vector X is sequentially estimated using the time series data of the observed values for all combinations of the normalized system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′.
次のステップＳ１０４では、上記ステップＳ１０３で正規化されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の全ての組み合わせについて行われたＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫのアルゴリズムに従ったシグマ点列の発生、状態更新、及び観測更新の結果に基づいて、上記（２９）式に従って、最小のＡＩＣを記録したシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせを特定し、特定されたシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせが適用された状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする。 In the next step S104, generation of a sigma point sequence according to the Normalized UFK algorithm performed for all combinations of the system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ normalized in step S103. Based on the results of state update and observation update, the combination of the system noise covariance matrix Q ′ and the observed noise variance r ′ in which the minimum AIC is recorded is specified and specified according to the above equation (29). A state space model to which a combination of the covariance matrix Q ′ of the system noise and the variance r ′ of the observed noise is applied is taken as the optimum model estimation result.
そして、ステップＳ１０５において、最適モデルについて上記ステップＳ１０３で求められた時刻ｔ＝Ｎにおける観測更新後の状態ベクトルＸ、及び上記ステップＳ１０５で特定された最適なシステムノイズの共分散行列Ｑ’及び観測ノイズの分散値ｒ’の組み合わせを含む推定結果データを生成し、出力部３０により出力し、最適モデル推定処理ルーチンを終了する。 In step S105, the state vector X after the observation update at time t = N obtained in step S103 for the optimal model, the optimal system noise covariance matrix Q ′ specified in step S105, and the observation noise Is generated by the output unit 30 and the optimal model estimation processing routine is terminated.
＜実験結果＞
次に、人工データを利用した実験結果について説明する。テスト１では、時系列モデルが自己回帰項のみ(2次AR、AR係数は1.5,−0.9)で、この項にシステムノイズが0.07、観測ノイズが0.03のる問題とした。テスト2は、時系列モデルが自己回帰項＋トレンド項のモデルでそれぞれの項にシステムノイズが0.07、0.03のり、観測ノイズがのらない問題とした。それぞれ人工データを発生し、本発明の手法でモデルの同定がどれほどできるか評価した。
<Experimental result>
Next, experimental results using artificial data will be described. In Test 1, the time series model was only an autoregressive term (second order AR, AR coefficient was 1.5, -0.9), and the system noise was 0.07 and the observation noise was 0.03. In Test 2, the time series model was an autoregressive term + trend term model, and system noise was 0.07 and 0.03 in each term, and the observation noise did not appear. Artificial data was generated for each, and how much the model could be identified by the method of the present invention was evaluated.
テスト１に対する評価結果を図５（Ａ）に示す、テスト２に対する評価結果を図５（Ｂ）に示す。テスト１、２の双方とも、システムノイズと観測ノイズの値をλ（＝システムノイズ／（システムノイズ＋観測ノイズ））を用いて振った結果、AICが最小になったモデルが正解モデルになっており(システムノイズと観測ノイズがλの値に対応しており、自己回帰係数も正しく推定されている)、本発明の手法の有効性を示している。 The evaluation result for test 1 is shown in FIG. 5 (A), and the evaluation result for test 2 is shown in FIG. 5 (B). In both tests 1 and 2, the model with the smallest AIC becomes the correct model as a result of shaking the system noise and observation noise values using λ (= system noise / (system noise + observation noise)). (The system noise and the observation noise correspond to the value of λ, and the autoregressive coefficient is correctly estimated), which shows the effectiveness of the method of the present invention.
以上説明したように、本実施の形態に係る最適モデル推定装置によれば、各々正規化した、推定誤差分散共分散行列、システムノイズの共分散行列、及び観測ノイズの分散値を用いたＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫに従って状態ベクトルＸの逐次推定を行って、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定することにより、非線形モデルを対象として、最適な状態空間モデルを推定することができる。 As described above, according to the optimum model estimation apparatus according to the present embodiment, normalized UFK using the estimated error variance covariance matrix, the system noise covariance matrix, and the observed noise variance values, each normalized. Thus, the state vector X is sequentially estimated to identify the optimal normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance, whereby the optimal state space model can be estimated for the nonlinear model.
また、本実施の形態で用いる状態推定アルゴリズムは、非線形ガウス型でモデル化された時系列の状態を高精度で推定するUnscented Kalman Filter(UKF)をベースにして、モデルに存在する全ノイズ分散値の総和を1に正規化する手法を用いる。通常、ノイズの分散値は未知であるので、解析者の経験や勘により設定する場合がほとんどであり、状態の推定結果にも大きく影響を与える。本実施の形態では、モデル中に存在する全てのノイズ分散値の総和を1に抑えることで、安定的な解析、状態推定を可能にする。 In addition, the state estimation algorithm used in this embodiment is based on the Unscented Kalman Filter (UKF) that accurately estimates the time-series state modeled in a nonlinear Gaussian type, and the total noise variance value that exists in the model A method of normalizing the sum of to 1 is used. Normally, since the variance value of noise is unknown, it is almost always set based on the experience and intuition of the analyst, which greatly affects the state estimation result. In the present embodiment, stable analysis and state estimation are enabled by suppressing the total sum of all noise variance values present in the model to 1.
また、赤池情報量等に代表されるモデル選択基準を使うことで、ノイズの統計量の推定までを含んだ最適なモデルの同定も可能になる。 Also, by using model selection criteria such as Akaike's information amount, it is possible to identify an optimal model that includes estimation of noise statistics.
なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。 Note that the present invention is not limited to the above-described embodiment, and various modifications and applications are possible without departing from the gist of the present invention.
例えば、状態空間モデルの定義を予め設定しておき、状態空間モデルの定義の入力を不要としてもよい。 For example, the definition of the state space model may be set in advance, and the input of the definition of the state space model may be unnecessary.
また、本願明細書中において、プログラムが予めインストールされている実施形態として説明したが、当該プログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納して提供することも可能である。 In the present specification, the embodiment has been described in which the program is installed in advance. However, the program can be provided by being stored in a computer-readable recording medium.
１０ 入力部
２０ 演算部
２１ 状態空間モデリング部
２２ 状態推定部
２３ 最適モデル推定部
２４ 推定結果データ生成部
１００ 最適モデル推定装置
DESCRIPTION OF SYMBOLS 10 Input part 20 Calculation part 21 State space modeling part 22 State estimation part 23 Optimal model estimation part 24 Estimation result data generation part 100 Optimal model estimation apparatus
Claims (3)
予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段と、
を含む最適モデル推定装置。 For a state space model defined using a state update equation for nonlinearly updating the state vector X using system noise and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using observation noise, A normalized estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X with the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the variance of the observed noise, and the system noise Generation of a sigma point sequence using a normalized system noise covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix with the sum, and a normalized observed noise variance obtained by normalizing the variance of the observed noise with the sum, a state vector X The time series of the observed values according to the Normalized UFK (Unsented Kalman Filter) that performs state update and observation update State estimation means for sequentially estimating the state vector X based on the data, calculating predicted values in time series, and calculating prediction errors between the predicted values calculated in time series and the corresponding observed values, respectively; ,
Based on the prediction error respectively calculated by the state estimating means when using each of the combinations of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance, the optimal normalized system noise An optimal model estimation unit that identifies a covariance matrix and a normalized observation noise variance, and uses the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance as an estimation result of the optimal model;
Optimal model estimation device including
前記最適モデル推定装置は、
状態推定手段によって、システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出するステップと、
最適モデル推定手段によって、予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とするステップと、
を含んで実行することを特徴とする最適モデル推定方法。 An optimum model estimation method in an optimum model estimation device including a state estimation means and an optimum model estimation means,
The optimum model estimation device includes:
Defined by the state estimation means using a state update equation for non-linear time update of the state vector X using system noise and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using observation noise For the state space model, a normalized estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing the estimated error variance covariance matrix of the state vector X by the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the observed noise variance values; , A normalized system noise covariance matrix obtained by normalizing the system noise covariance matrix by the sum, and a normalized observation noise variance obtained by normalizing the observed noise variance by the sum. According to Normalized UFK (Unsented Kalman Filter) that performs generation, state vector X state update, and observation update The state vector X is sequentially estimated based on the time series data of the observed values, the predicted values are calculated in time series, and prediction errors between the predicted values calculated in time series and the corresponding observed values are respectively calculated. A calculating step;
Based on the prediction error calculated by the state estimation unit when using each of the combinations of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance by the optimal model estimation unit, Identify the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance, and use the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance as the estimation result of the optimal model Steps,
An optimal model estimation method characterized by comprising the steps of:
システムノイズを用いて状態ベクトルＸを非線形に時間更新するための状態更新式、及び観測ノイズを用いて状態ベクトルＸと観測値との関係を示す観測方程式を用いて定められた状態空間モデルについて、前記状態ベクトルＸの推定誤差分散の共分散行列を、システムノイズの共分散行列の対角成分及び観測ノイズの分散値の総和で正規化した正規化推定誤差分散共分散行列と、前記システムノイズの共分散行列を前記総和で正規化した正規化システムノイズ共分散行列と、前記観測ノイズの分散値を前記総和で正規化した正規化観測ノイズ分散とを用いたシグマ点列の発生、状態ベクトルＸの状態更新、及び観測更新を行うＮｏｒｍａｌｉｚｅｄ ＵＦＫ（Ｕｎｓｃｅｎｔｅｄ Ｋａｌｍａｎ Ｆｉｌｔｅｒ）に従って、前記観測値の時系列データに基づいて前記状態ベクトルＸを逐次推定すると共に、予測値を時系列に算出し、時系列に算出された前記予測値と対応する観測値との予測誤差を各々算出する状態推定手段、及び
予め用意された前記正規化システムノイズ共分散行列及び前記正規化観測ノイズ分散の組み合わせの各々を用いたときに前記状態推定手段によって各々算出された前記予測誤差に基づいて、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を特定し、最適な正規化システムノイズ共分散行列及び正規化観測ノイズ分散を用いた前記状態空間モデルを、最適モデルの推定結果とする最適モデル推定手段
として機能させるためのプログラム。 Computer
For a state space model defined using a state update equation for nonlinearly updating the state vector X using system noise and an observation equation indicating the relationship between the state vector X and the observed value using observation noise, A normalized estimated error variance covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix of the estimated error variance of the state vector X with the sum of the diagonal components of the system noise covariance matrix and the variance of the observed noise, and the system noise Generation of a sigma point sequence using a normalized system noise covariance matrix obtained by normalizing the covariance matrix with the sum, and a normalized observed noise variance obtained by normalizing the variance of the observed noise with the sum, a state vector X The time series of the observed values according to the Normalized UFK (Unsented Kalman Filter) that performs state update and observation update State estimation means for sequentially estimating the state vector X based on the data, calculating predicted values in time series, and calculating prediction errors between the predicted values calculated in time series and corresponding observed values, And an optimum normalization system based on the prediction errors respectively calculated by the state estimation means when using each of the combinations of the normalized system noise covariance matrix and the normalized observation noise variance prepared in advance. As an optimal model estimation means that identifies the noise covariance matrix and normalized observation noise variance and uses the state space model using the optimal normalized system noise covariance matrix and normalized observation noise variance as the estimation result of the optimal model A program to make it work.
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