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Krümmungsmesser. Kinematische Elemente, deren Krümmung nach vorgeschriebenem
Gesetz verlaufen sollen, werden nur selten auf richtigen Verlauf der Krümmung untersucht,
weil die dazu bekannten Verfahren weder bequem noch genau sind. Da aber die Normalbeschleunigungen
den Krümmungen direkt proportional sind, isst die Feststellung des wahren Krümmungsverlaufs
in manchen Fällen von entscheidender Bedeutung und das beste Mittel 'dafür, daß
die Fehler erkannt und ausgeglichen werden. Auch vom Standpunkt der Schönheit aus
ist wenigstens Stetigkeit im Verlauf der Krümmung anzustreben, wird aber selten
angetroffen. Die käuflichen Kurvenlineale zeigen dem geschulten Auge grobe
Verstöße
gegen die anzustrebende Stetigkeit der Krümmung. Ihre Qualität würde jedenfalls
gebessert werden, wenn diese Unstimmigkeiten ohne Mühe jedem sinnfällig gemacht
würden. Wenn darüber hinaus auf den Kurvenlinealen selbst die Krümmung durch eine
Schaulinie mit Hilfe eines selbstschreibenden Krümmungsmessers aufgetragen ist,
erfüllen sie ihren Zweck vollkommener und schneller als jetzt ohne diese Aufzeichnung.
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Im Maschinenbau müßten z. B. die Nocken schnellaufender Motoren, im
Bauingenieurwesen die Eisenbahnkurven auf ihre Krümmung hin genau untersucht und
berichtigt werden, damit sie ihren Zweck in bester Weise erfüllen können.
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Geometrisch ist -die Krümmung bestimmt durch die Lage dreier unendlich
naher Punkte zueinander; die technische Messung dagegen verlangt drei Punkte, denen
gegenseitige Abstände endlich sind. Zur Ausführung solcher Messungen sind bisher,
im Eisenbahnbau z. B., verschiedene Geräte benutzt worden, von denen bei einer Messung
mehrere zusammenarbeiten mußten, z. B. ein Meßband als Sehne mit einem Millimeterstab
als Pfeil; die Messung erfordert dann mehrere Gehilfen. Dagegen fehlt bis jetzt
eine einheitliche, zwangläufig arbeitende Vorrichtung, die das gleiche leistet und
dabei außerdem erstens die Ablesung durch bleibende Aufzeichnung ersetzt, zweitens
an Stelle einer großen Reihe einzelner Meßpunkte eine Meßlinie in lückenloser Folge
liefert.
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In zier Optik ist allerdings ein sphärischer Krümmungamesser bekannt.'
Er wird nur unter der Voraussetzung angewandt, daß die untersuchte Fläche einer
Kugel angehört und einzelne Ablesungen zur Feststellung des Kugelhalbmessers genügen.
Deshalb fehlt dort jede Einrichtung für fortlaufende Messung.
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Ferner sind Krümmungsmesser zur Untersuchung optischer Linsen bekannt,
die drei oder auch vier möglichst nahe Punkte in einer Ebene zur Messung benutzen
und die Krümmung anzeigen, aber nicht aufschreiben.
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Man berechnet die Krümmung h aus der Pfeilhöhe y einer im Vergleich
zum Krümmungshalbmesser kurzen Sehne s nach der bekannten Formel: K - 8s , - die
genau freilich nur für den Scheitel einer Parabel gilt. Es besteht eine besondere
Schwierigkeit in der Anwendung; denn im allgemeinen ist entweder (bei großer Sehne)
der Fehler aus der Annäherung unzulässig groß oder (bei kurzer Sehne) die Pfeilhöhe
so klein, daß sie mit den bisher angewandten Mitteln nur unsicher und ungenau zu
messen ist, soweit es sich um technische Messungen handelt. Außerdem, da jede Messung
die Krümmung nur für einen einzelnen Bogenpunkt gibt, ist zur Herstellung eines
Schaubildes eine ganze Reihe von Messungen erforderlich, die trotzdem noch Unstetigkeiten
unerkannt lassen können.
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Die hier beschriebene Erfindung soll dagegen die Krümmung in fortlaufendem
Zuge messen und aufzeichnen und dabei alle erwähnten Mängel vermeiden. Eine einfache
Ausführung ist in Abb, i dargestellt.
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Ein Prismenpaar = in kinematischem Sinn - wird an der zu untersuchenden
materiellen Kurve a so entlanggeführt, daß im Meßpunkt seine Achse normal zur Kurve
steht. Das eine Prisma b trägt deshalb zwei Schneiden cl und c2, welche die als
Messungsbasis dienende Sehne bestimmen. Das andere Prisma d bat nur eine Schneide
e, die längs der Mittellinie zu cl, c. beweglich ist. Die Verschiebung der Prismen
gegeneinander wird durch irgendeine bekannte Vorrichtung f, hier z. B. einen Indikatorschreibhebel,
vergrößert angezeigt und aufgeschrieben. Hier ist angenommen, daß die Aufzeichnung
auf ein System aufgetragen wird, das mit dem Kurvenbog--n a zwangläufig verbunden
ist, und zwar durch ein Reibrad g, dessen Abwälzung gleich der Bogenlänge, durch
ein Schneckengetriebe h, i vermindert, auf die Schreibtrommel j, deren Lager mit
b verbunden zu denken sind, übertragen wird. Die Federn k und Z besorgen den Kraftschluß
zwischen Reibrad g bzw. Schneide e und der Kurve a, wenn das Prisma
b mit den Schneiden cl, c. fest angedrückt wird. Das über j gewickelte Papier nimmt
dann das Schaubild der Krümmung in rechtwinkligen Koordinaten auf: Krümmung als
Funktion der Bogenlänge. Bei anderer Anordnung könnte die Aufzeichnung z. B. auch
unmittelbar auf dem System stattfinden, dem die Kurve d angehört, und würde dann
die Krümmung als Funktion -des Bogens in natürlichen Koordinaten geben. - Dies zeigt
Ab-b. a an einem Kurvenlineal dargestellt.
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Die Schneiden cl, c,, und e brauchen nicht scharf zu sein; statt der
Schneiden sind sogar auch Rollen anwendbar, und. die Scheibe g kann an die Stelle
einer der Schneiden treten. Genau genommen wird dann die von den Rollenachsen oder
Schneiden-Krümmungsmittelpunkten beschriebeneParallelkurve zu a untersucht. Ferner
kann an Stelle des Prismenpaares b, d auch ein Drehpaar oder eine kinematische
Kette treten. Das Drehpaar aus den Elementen na und ia (Abb. 3) gestattet,
Kreisbögen auch bei beliebig großer feßbasis s theoretisch fehlerfrei zu messen.
in trage zwei Schneiden, die in o und p ihre Spitzen oder ihre Krüinmungsmittelpunkte
haben, gleiche Krümmung aller »Schneiden« vorausgesetzt. Das andere Element n hänge
mit
einer durch o gehenden Achse mit in zu-
sammen und trage in t eine »Schneide«
gleich der in p. DieEntfernung o-t sei gleicho-p-q; dann bildet o-v - y die Höhe
in dem gleichschenkligen Dreieck p-o-t und die Strecke p-v-t - s die Sehne
in dem durch p-o-t gehen-Kreise mit dem Halbmesser r und mit der Krümmung
Es gilt die Gleichung 2 y y - q2, daher d. h. die Krümmung ist ganz
strenggenommen
der Pfeilhöhe proportional, da q eine feste Größe ist. -Nun können beliebig viele
Punkte im System m angegeben werden, die von bestimmten Punkten des Systems n. bei
jeder Stellung von n gegen m, also bei beliebiger Krümmung K eine Entfernung gleich
y oder proportional zu y bleibt. Beispielsweise hat der Punkt 2t im System nt, der
auf der Geraden p-o um q
von o entfernt liegt, vom Punkte t auf n stets
die Entfernung zt-t - 2-y - q'-K. Das gleiche gilt für die Entfernung u'-t'
der Punkte t'
und zi , die auf demselben Kreise mit q um o liegen,
aber um den Bogen t'-t - u'-u gleichsinnig vgrschoben.
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Wählt man die Grundstrecke verhältnismäßig kurz und zum Ausgleich
die Vergrößerung der Pfeilhöhe stark, so werden alle etwa vorkommenden kleinen örtlichen
Abweichungen und Rauhigkeiten der Kurve mit vergrößert, auch wenn sie technisch
ohne Belang sein mögen. Um dieser Störung der Klarheit zu begegnen, kann man die
Zahl der Stützpunkte jeder Messung, die bisher nur zu drei angenommen war, vermehren
und die Krümmung als Mittel aus allen bestimmen. Abb. q. stellt eine solche Konstruktion
eines Prismenpaars in ihren Grundzügen dar. Je 2 Schneiden sind paarweise verbunden;
in der Mitte werden die Schneidenpaare von Hebeln gefaßt, die selbst um die eigene
Mitte schwingen usf. Weil eine Unregelmäßigkeit, :die an der mittleren Schneide
e (Abb. i) angreift, eine Verschiebung der Prismen gegeneinander im vollen Betrage,
an den äußeren Schneiden c,. oder c2 angreifend aber nur im halben Betrage (im entgegengesetzten
Sinn) bewirkt (Abb. 5), werden zweckmäßig in Abb. q. dem mittleren Prisma doppelt
so viel Schneiden zugeordnet, als jedem Ende des andern. Dann wird die Unregelmäßigkeit
im Schaubild von allen Stellen gleich groß verzeichnet, natürlich so oft wiederholt,
als Schneiden vorhanden sind (Abb. b). Falls aber gerade die kleinen Unregelmäßigkeiten
festgestellt werden sollen, wird man die äußeren Schneiden in mehrere auflösen,
die mittlere aber einfach belassen. Abb. 7 zeigt das Schaubild der Aufn.alune für
diesen Fall. Der Mäßstab der Aufzeichnung wird durch die Aufteilung der Schneiden
etwas geändert; das kann rechnungsmäßig oder durch Ändern des Indikatorhebels wieder
ausgeglichen werden.
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Statt durch Hebel könnte auch auf anderem Wege gemäß der Zwan glauflehre,
z. B. durch Zug- oder Druckorgane, der Mittelwert von mehreren Schneiden gebildet
werden. Die Unregelmäßigkeiten können auch dadurch ausgeglichen werden, daß die
einfachen Schneiden nicht unmittelbar gegen die Kurve a gedrückt werden, sondern
gegen ein biegsames Stahllineal, das sich der Kurve anschmiegt.