DE2927713C2 - - Google Patents

Description

Die Erfindung bezieht sich auf einen digitalen Sinuswellengenerator, der eine Folge von verschlüsselten Amplitudenwerten mit einer Abtastperiode T entsprechend einer Phasendifferenz Φ zwischen aufeinanderfolgenden Abtastzeitpunkten liefert und Addier-, Multiplizier- und Speichermittel zur Durchführung des folgenden allgemeinen Algorithmus besitzt

A _{k + 1} = aA _k-bB _k

B _{k + 1} = bA _k + aB _k

mit a = cosΦ, b = sinΦ, A _o = R (=(Maximalamplitude der Sinuswelle) und k = 0, 1, 2, . . ., wobei die Sinuswelle an einem durch einen bestimmten Wert k definierten Zeitpunkt durch folgende Gleichung bestimmt ist:

A _k + jB _k = Re ^{jk Φ} .

Digitale Sinuswellengeneratoren können in digitalen Schaltungsanordnungen als Ersatz für analoge Oszillatoren verwendet werden. Ein Beispiel für eine derartige Verwendung wird durch einen Modulator/Demodulator (Modem) gebildet, in dem digital kodierte Daten für die Aussendung oder den Empfang auf Telefonleitungen umgewandelt werden, d. h. auf einem Übertragungskanal, dessen Bandbreite auf etwa 3 kHz beschränkt ist. Verschiedene komplexe Modulationstechniken wurden entwickelt, um hohe Datenübertragungsraten für die Übertragung über Telefonleitungen trotz der begrenzten Bandbreite zu erreichen, z. B. 9600 Bits/Sekunde gemäß der CCITT Empfehlung V29 für Datenübertragungen. Diese Modulationstechniken lassen sich leichter in digitaler als in analoger Form realisieren, so daß auch der Wunsch besteht, Oszillatoren für solche Schaltkreise in rein digitaler Form auszubilden.

In gewissen Fällen ist es möglich, eine Folge von Abtastperioden einer Sinuswelle zu erzeugen, indem aufeinanderfolgende Amplitudenwerte aus einer gespeicherten Tabelle abgelesen werden. Sind etwa nur Amplitudenwerte mit um 90 Grad gegeneinander verschobenen Abtastzeitpunkten nötig, so speichert man nur die Werte +1, 0, -1 und 0. In anderen Fällen, in denen keine derart einfache Beziehung zwischen der Abtastfrequenz und der Sinusfrequenz der gewünschten Welle besteht, müssen die einzelnen Amplitudenwerte jeweils neu berechnet werden, da die Speicherung langer Listen von Amplitudenwerten mit hoher Genauigkeit einen zu großen Speicherraum in Anspruch nimmt.

Ein bekannter digitaler Sinuswellengenerator berechnet aufeinanderfolgende digitale Abtastamplituden einer Sinuswelle der Amplitude R mit einer Abtastperiode T entsprechend einer Phasendifferenz Φ zwischen aufeinanderfolgenden Abtastzeitpunkten durch Anwendung des folgenden Algorithmus

A _{k + 1} = aA _k-bB _k

B _{k + 1} = bA _k + aB _k.

Hierbei ist a = cosΦ, b = sinΦ, A _o = R, B _o = 0 und k = 0, 1, 2, . . . Die Sinuswelle ist in einem durch einen bestimmten Wert k vorgegebenen Zeitpunkt durch die folgende Vektorsumme bestimmt

A _k + jB _k = Re ^{jk Φ} .

Durch Einsetzen von Werten in die Gleichungen des obigen Algorithmus kann man erkennen, daß der Algorithmus auf den folgenden beiden trigonometrischen Gleichungen beruht:

R cos (k + 1)Φ = R cosΦcosk Φ-R sinΦsink Φ,

R sin (k + 1)Φ = R sinΦcosk Φ+R cosΦsink Φ.

Fig. 1 zeigt das Blockdiagramm eines solchen Generators. Er besitzt zwei Verzögerungsglieder 1 und 2 (z. B. Schieberegister) mit einer Verzögerung gleich T, zwei Addierer 3 und 4, vier Multiplizierer 5 bis 8 und zwei Ausgänge 9 und 10. Außerdem zeigt Fig. 1 zwei Datenquellen 11 und 12 (z. B. Register) zur Speicherung zweier Konstanten und Einstellmittel 13 und 14 für die Einstellung der Anfangswerte des Generators auf A _o = 1 und B _o = 0 (d. h. in diesem Fall ist R = 1). Die Quellen 11 und 12 sind je mit zwei der Multiplizierer 6 und 7 bzw. 5 und 8 verbunden und liefern konstante Werte für sinΦ bzw. cosΦ.

Außerdem werden den Multiplizierern die Ausgänge der Verzögerungsglieder 1 und 2 paarweise zugeführt. Jeder der Addierer 3 und 4 summiert die Ausgangswerte zweier der Multiplizierer 5 und 7 bzw. 6 und 8. Die Ausgänge der Addierer 3 und 4 sind mit den Ausgängen 9 bzw. 10 sowie mit dem Eingang der ihnen zugeordneten Verzögerungsglieder 1 bzw. 2 verbunden.

Die Wirkungsweise dieses Generators ist die folgende:
Setzt man a = cosΦ und b = sinΦ und A _o = 1 sowie B _o = 0, so erzeugt der Generator unter der Voraussetzung unbegrenzter Rechengenauigkeit aufeinanderfolgende Kennwertpaare der Sinuswelle

A _k = cosk Φ

B _k = sink Φ

mit k = 0, 1, 2, . . . Man erkennt, daß die Maximalamplitude der Sinuswelle konstant ist und den Wert Eins besitzt.

Um eine Sinuswelle einer anderen gewünschten Amplitude zu bekommen, müssen die Werte A und B abschließend mit einer geeigneten Konstante multipliziert werden.

Wenn die obige Annahme unbegrenzter Rechengenauigkeit nicht zutrifft, dann ergeben sich Rechenfehler, insbesondere durch das Abrunden, die sich auf die Dauer häufen. Wenn ein geradzahliger Wert für die Zahlenbasis der Rechnung gewählt wird, dann ist die folgende Gleichung nicht mehr genau erfüllt:

a² + b² = 1.

Daraus ergibt sich, daß die Amplitude der erzeugten Sinuswelle nicht stabil bleibt.

Der in der Anordnung nach Fig. 1 verwirklichte Algorithmus läßt sich durch die beiden folgenden Gleichungen beschreiben:

A _{k + 1} = aA _k-bB _k,

B _{k + 1} = bA _k + aB _k.

Daraus kann abgeleitet werden:

A _{k² + 1} + B _{k² + 1} = (A _k² + B _k²) (a² + b²),

sowie unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen:

A _k² + B _k² = (a² + b²) ^k .

Diese Beziehung zeigt an, daß die Amplitude der erzeugten Welle exponentiell nach Unendlich oder Null tendiert, je nachdem, ob (a² + b²) größer oder kleiner als Eins ist.

Ziel der vorliegenden Erfindung ist es, diese Instabilität zu beseitigen und einen digitalen Sinuswellengenerator anzugeben, der gegen die Häufung von Rechenfehlern weniger empfindlich ist.

Dieses Ziel wird durch den Sinuswellengenerator gemäß Anspruch 1 erreicht. Bezüglich von Merkmalen bevorzugter Ausführungsformen der Erfindung wird auf die Unteransprüche verwiesen.

Nachfolgend wird die Erfindung anhand zweier Ausführungsbeispiele mit Hilfe der Figuren 2 und 3 näher erläutert, die je eines dieser Ausführungsbeispiele schematisch zeigen.

Fig. 2 zeigt einen erfindungsgemäßen Sinuswellengenerator, in dem erste Rechenmittel im wesentlichen dem bekannten Sinuswellengenerator aus Fig. 1 gleichen und daher dieselben Bezugszeichen tragen. Man erkennt jedoch, daß die Verzögerungsglieder 1 und 2 nicht mehr direkt aus den Ausgängen 9 und 10 der beiden Addierer 3 und 4 gespeist werden, sondern vielmehr von den Ausgängen zweier zusätzlicher Multiplizierer 22 und 23, deren Eingänge einerseits mit den an den Ausgängen 9 und 10 verfügbaren Werten und andererseits mit einem Korrekturwert gespeist werden, der an einem Ausgang 26 zur Verfügung steht. Die Ausgänge 20 und 21 dieser beiden Multiplizierer bilden die Ausgänge des Generators und liefern die Werte A _{k + 1} bzw. B _{k + 1}. Diese Werte werden außerdem an die Eingänge der Verzögerungsglieder 1 und 2 angelegt.

Bezeichnet man die nicht korrigierten, d. h. ungefähren Werte am Ausgang der Addierer 3 und 4 mit A′ und B′, so ergibt sich aufgrund der Rundungsfehler

A′ ² + B′ ² = 1 + ε.

Hierbei ist ε größer oder kleiner 0.

Da die richtige Beziehung

A² + B ² = 1 lautet, ergibt sich

A = (1 + ε)^-1/2 · A′;

B = (1 + ε)^-1/2 · B′.

Um die Berechnung zu vereinfachen, wird die Newton'sche Formel verwendet, d. h.

(1 + ε)^-1/2 ≅1-(1/2) · ε.

Die Mittel zur Berechnung des Korrekturfaktors (1-(1/2) · ε) sind in Fig. 2 dargestellt und umfassen drei Addierer 15, 16 und 17 sowie zwei Multiplizierer 18 und 19. Einer dieser Multiplizierer wird mit dem Wert A′ _{k + 1} (Ausgang 9) an seinen beiden Eingängen gespeist, und der andere Multiplizierer wird entsprechend mit dem Wert B′ _{k + 1} (Ausgang 10) beaufschlagt. Die Ausgänge der beiden Multiplizierer führen zum ersten Addierer 15 und dessen Ausgang zum zweiten Addierer 16, dessen zweiter Eingang den Wert EINS empfängt. Am Ausgang dieses Addierers liegt folgende Größe vor:

1-(A′² _{k + 1} + B′² _{k + 1}) = 1-(1 + ε) = -ε.

Diese Größe wird in einem Multiplizierer 24 durch 2 geteilt (d. h. mit 1/2 multipliziert) und gelangt dann an den dritten Addierer 17, in dem der Wert EINS dazugefügt wird. Am Ausgang des Addierers 17 liegt also der ungefähre Korrekturfaktor

(1-(1/2) · ε _{k + 1})

vor.

Dieser Faktor wird in den Multiplizierern 22 und 23 mit den ungefähren Werten A′ _{k + 1} und B′ _{k + 1} multipliziert, woraus sich korrigierte Werte derart ergeben, daß

A² _{k + 1} + B² _{k + 1} = 1-(3/4)ε² _{k + 1)} + (1/4)ε³ _{k + 1}.

Es kann gezeigt werden, daß der durch diese Korrekturgleichungen definierte Algorithmus schnell konvergiert und damit eine Amplitudenstabilität der Sinuswelle sicherstellt, selbst wenn große Rechenfehler vorliegen, und unabhängig von der Fehlerquelle. Wenn die Amplitude der Ausgangswelle zwischen 0 und √ liegt, dann ist jeder Fehler kleiner als das Quadrat des vorhergehenden Fehlers, d. h. daß eine exponentielle Konvergenz mit der doppelten Rechenrate vorliegt.

Während der Sinuswellengenerator nach Fig. 2 eine Welle mit Einheitsamplitude liefert, zeigt Fig. 3 eine Ausführungsform der Erfindung, in der eine Sinuswelle einer beliebigen gewünschten Amplitude R erzeugt wird. In diesem Sinuswellengenerator entfällt die Notwendigkeit einer Nach-Multiplikation eines Ausgangswertes, falls andere Amplituden als die Einheitsamplitude gewünscht werden. Die Anfangswerte dieses Generators werden folgendermaßen festgesetzt:

A _o = R;

B _o = 0.

Die idealen Wertepaare einer fehlerfrei berechneten Sinuswelle wären

A _k + jB _k = R · e ^{jk Φ} .

Der in Fig. 3 dargestellte Sinuswellengenerator enthält die Elemente 1 bis 24 aus Fig. 2 in derselben Zuordnung. Die Addierer 16 und 17 werden jedoch nicht mit dem Wert EINS, wie oben versorgt, sondern mit dem Wert R² aus einer Quelle 27. Zwischen dem Ausgang des Addierers 17 und dem Punkt 26 befindet sich ein weiterer Multiplizierer, der mit dem Wert 1/R² aus einer weiteren Quelle 28 beaufschlagt wird. Durch diese wenigen Ergänzungen ist die Schaltungsanordnung in der Lage, den Korrekturfaktor (1-(1/2) · ε _{k + 1}) am Punkt 26 für den Fall einer Maximalamplitude R zu liefern, wobei der Fehler durch folgende Gleichung definiert ist

ε _{k + 1} = (1/R²) · (aA _k-bB _k)² + (1/R²) · (bA _k + aB _k)²-1.

In diesem Fall konvergiert der Algorithmus, wenn die Amplitude zwischen 0 und R · liegt.

In einem praktischen Ausführungsbeispiel eines Sinus­ wellengenerators gemäß Fig. 2 wird eine Nennfrequenz von 1700 Hz gemäß der CCITT Empfehlung V29 erzeugt. Die Wertepaare dieser Frequenz liegen in Form von 16-Bit-Wörtern vor und werden in einer fest verdrahteten Schaltung errechnet. Die Abtastperiode T beträgt 208 1/3 Mikrosekunden, das entspricht einer Abtastfrequenz von 4800 Hz und einer Phasendifferenz Φ von 127,5°±0,8°. Die Konstanten a und b werden in einer Anfangsphase auf den gewünschten Wert eingestellt und passen sich danach geringen Frequenzverschiebungen von weniger als 1 Hz durch einen selbstadaptativen Entzerrer automatisch an.

Falls nur die reelle Komponente A der Sinuswelle benötigt wird, muß trotzdem die imaginäre Komponente für interne Zwecke berechnet werden.

Claims (6)

1. Digitaler Sinuswellengenerator, der eine Folge von verschlüsselten Amplitudenwerten mit einer Abtastperiode T entsprechend einer Phasendifferenz Φ zwischen aufeinanderfolgenden Abtastzeitpunkten liefert und Addier-, Multiplizier- und Speichermittel zur Durchführung des folgenden allgemeinen Algorithmus besitzt A _{k + 1} = aA _k-bB _k B _{k + 1} = bA _k + aB _kmit a = cosΦ, b = sinΦ, A _o = R (=Maximalamplitude der Sinuswelle) und k = 0, 1, 2, . . ., wobei die Sinuswelle an einem durch einen bestimmten Wert k definierten Zeitpunkt durch folgende Gleichung bestimmt istA _k + jB _k = Re ^{jk Φ} dadurch gekennzeichnet, daß der genaue Algorithmus folgendermaßen lautetA _{k + 1} = (aA _k-bB _k) (1-1/2ε _{k + 1}),B _{k + 1} = (bA _k + aK _k) (1-1/2ε _{k + 1}),mit ε _{k + 1} = 1/R² (aA _k-bB _k)² + 1/R² (bA _k + aB _k)²-1.

2. Sinuswellengenerator nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß für R der Wert Eins gewählt ist.

3. Sinuswellengenerator nach einem der Ansprüche 1 bis 2, dadurch gekennzeichnet, daß der Modul der Anfangswerte A _o und B _o zwischen den Werten 0 und R √ liegt.

4. Sinuswellengenerator nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß einer der Anfangswerte A _o und B _o auf den Wert R und der andere auf den Wert Null eingestellt wird.

5. Sinuswellengenerator nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Abtastfrequenz mindestens 4800 Hz beträgt.

6. Sinuswellengenerator nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß für die Berechnung des Algorithmus eine Recheneinheit mit 16-Bit-Wörtern und mit Zweierkomplementierung verwendet wird.