CN1314945C - 一种sins/gps组合导航系统的空中机动对准方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，其特征是补偿了GPS观测量的杆臂效应误差，提高了观测量的精度，同时采用航向变化的机动策略，利用奇异值分解的方法分析载体机动时系统各个状态变量可观测度的变化，采用自适应反馈策略，根据可观测度的变化调节系统状态变量的反馈因子，并进行反馈校正。本发明具有精度高、不易发散的优点，可用于提高飞机、导弹、舰船或地面车辆用组合导航系统的导航精度。

Description

一种SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法

技术领域

本发明涉及一种SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，可用于提高飞机、导弹、舰船或地面车辆用SINS/GPS组合导航系统的导航精度。

背景技术

捷联惯性导航系统(SINS)是一种完全自主的导航系统，可以连续、实时地提供位置、速度和姿态信息，其短时精度很高，且具有隐蔽性好，不受气候条件限制等优点，因而广泛应用于航空、航天、航海等领域。但是，SINS误差随时间增长，因此常与GPS全球卫星定位系统组合构成SINS/GPS组合导航系统。在SINS/GPS组合导航系统中，GPS可以提供位置和速度信息，但是不能提供姿态信息，由于位置误差和速度误差具有直接的可观测性，利用卡尔曼滤波技术可以有效地降低系统的位置误差和速度误差，但是，由于姿态角不可直接观测，卡尔曼滤波很难收敛，即很难抑制SINS姿态误差的积累。

空中机动对准方法利用载体机动提高SINS/GPS组合导航系统状态变量的可观测度，然后有效估计系统姿态误差和惯性器件误差，并进行修正以提高系统的精度。对于SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准技术，许多研究人员进行了大量的理论研究，取得了很多进展。但是，在实际的飞行试验中却往往得不到理论分析的理想结果，经过空中机动对准后，SINS/GPS组合导航系统的精度并没有提高，甚至在有些试验中空中机动对准导致了系统的发散，这主要是由于两个原因：一是GPS天线相位中心与SINS的测量中心不重合，当载体存在角运动时引起二者之间的相对速度误差；二是空中机动对准过程中，系统中各个状态变量的可观测度变化并不相同，有些状态变量的可观测度提高很小，此时如果进行全反馈，必然引起系统精度下降，甚至发散。

发明内容

本发明的技术解决问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于观测量杆臂效应误差补偿和系统状态变量可观测度分析的SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，该方法提高了系统的收敛性和空中机动对准的精度。

本发明的技术解决方案为：一种SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，其特点在于包括下列步骤：

(1)根据IMU的测量中心与GPS天线相位中心之间的空间几何关系，建立GPS观测量杆臂效应误差模型并进行补偿，提高观测量的精度；

(2)再通过奇异值分解方法分析载体机动时系统各个状态变量可观测度的变化，根据可观测度的变化，采用自适应反馈策略调节系统状态变量的反馈因子，并进行反馈校正。

上述的GPS观测量杆臂效应误差模型为：

$\mathrm{\Δ}{V}_n=C_b^n\mathrm{\Δ}{V}_b=C_b^n\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{bx}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{by}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{bz}}\end{array}\right]=C_b^n\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_z-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbz}}^b{r}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{bnz}}^b{r}_x-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_z\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_y-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_x\end{array}\right]$

其中，ΔV_n为GPS观测量的杆臂效应误差，ΔV_b为GPS观测量的杆臂效应误差在载体坐标系内的投影，C_b ⁿ为载体坐标系到导航坐标系的转换矩阵，ω_nb ^b是载体的角速度，r为IMU的测量中心与GPS天线相位中心之间的距离。

上述的基于奇异值分解方法的具体步骤为：

(1)通过分段线性定常的方法计算条带可观测矩阵(SOM)Q_s(r)，

$Q_s\left(r\right)=\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\\ \·\·\·\\ Q_r\end{array}\right]$

其中对应每一时间段j的可观测矩阵定义为：

(2)对条带式可观测矩阵Q_s(r)阵进行奇异值分解，得：

                     Q_s(r)＝U*S*V^T

其中U＝[u₁，u₂，Λ，u_m]，V＝[v₁，v₂，Λ，v_m]都是正交矩阵。

$S=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Λ}}_{r\×r}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中Λ＝diag(σ₁，σ₂，Λ，σ_r)，σ₁＞σ₂＞Λ＞σ_r＞0称为矩阵Q_s(r)的奇异值。

(3)设初始状态为X(t₀)(n维)，量测值为Z(m1维)，则

$Z=Q_s\left(r\right)*X\left(t_0\right)=\left({\mathrm{USV}}^T\right)X\left(0\right)=\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{v}_i^T\right)X\left(0\right)$

即

$Z=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i\left(v_i^{T}X\left(0\right)\right)*u_i$

可得：

$X\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{u_i^T*Z}{{\mathrm{\σ}}_i}\right)v_i$

(4)对矩阵u_iv_i ^T进行分析，观察它的各列元素的大小，判断出每一个奇异值σ_i对应的初始状态向量X_0，i，奇异值σ_i的大小直接表明了状态向量X_0，i可观测程度的高低。

上述的自适应反馈策略为

α(i)为状态变量ΔX_i的反馈权值，β(i)为状态变量ΔX_i的反馈因子，其中反馈权值

ΔX_real(i)表示SINS/GPS组合导航系统的真实误差，

表示载体机动时，状态变量X可观测度最大的情况下，状态变量的最优估值；反馈因子 $\mathrm{\β}\left(i\right)=\frac{\mathrm{\σ}\left(i\right)}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{opti}}\left(i\right)},$ σ(i)表示状态变量ΔX(i)在某一段时间内的可观测度，σ_opti(i)表示状态变量ΔX(i)的可观测度的最大值。

本发明的原理是：GPS天线相位中心与SINS测量中心的不重合，二者之间存在一个距离r(可以看作是一个杆臂)，当载体机动时SINS具有较大的角速度，导致GPS天线相位中心相对于SINS测量中心产生相对速度，如果此时直接采用GPS速度信息作为观测量，必然引入观测量误差，影响空中对准的效果，甚至会导致经空中对准后运动补偿系统的误差反而大于空中对准前的误差。补偿了GPS观测量杆臂效应误差之后，提高了观测量的精度，也就提高了卡尔曼滤波的估计精度，从而提高了空中机动对准的精度。

此外，载体机动过程中，SINS/GPS组合导航系统状态变量的可观测度得到提高，但是采用不同的机动策略时，各个状态变量的可观测度提高情况也不相同，并不是全部的状态变量都是完全可观测的，对于不完全可观测的状态变量不应该进行全反馈，因此，采用基于奇异值分解的可观测度分析方法可以获得每个状态变量的可观测度的提高情况，然后根据每个状态变量可观测度变化的情况，调节每个状态变量的反馈程度，可以提高SINS/GPS组合导航系统的收敛性和精度。

本发明与现有技术相比的优点在于：本发明补偿了GPS观测量杆臂效应误差，提高了观测量的精度，提高了SINS/GPS卡尔曼滤波器的估计精度；根据载体机动时系统状态变量可观测度的变化自动调节状态变量的反馈策略，提高了系统的收敛性，提高了空中机动对准的精度。

附图说明

图1为本发明的原理框图；

图2为本发明的卡尔曼滤波基本算法的解算流程图；

图3为本发明的杆臂效应误差示意图。

具体实施方式

如图1、2、3所示，本发明的具体方法如下：

(1)SINS/GPS组合导航系统的数学模型的建立，包括系统状态方程和量测方程，分别如式1和式2所示。

系统状态方程：

                     X&＝FX+GW                     (1)

其中，X为系统状态矢量，W为系统噪声矢量，F为系统转移矩阵，G为噪声转换矩阵：

X＝[φ_x φ_y φ_z δ_x δ_y δ_z δL δλ δh ε_x ε_y ε_z _x _y _z]^T

$F=\left[\begin{array}{cc}{F}_{\mathrm{INS}}& F_S\\ o_{6\×6}& F_M\end{array}\right],$ $F_S=\left[\begin{array}{cc}{C}_b^n& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& C_b^n\\ 0_{3\×3}& 0_{3\×3}\end{array}\right],$ FM＝[0_6×15]， $G=\left[\begin{array}{cc}{C}_b^n& 0_{3\×3}\\ 0_{3\×3}& C_b^n\\ 0_{9\×3}& 0_{9\×3}\end{array}\right]$

系统的量测方程

                     Z＝HX+η                      (2)

其中：Z为观测矢量，H为观测矩阵，η为量测噪声：

            Z＝[δL δλ δh δV_E δV_N δV_U]^T

$H=\left[\begin{array}{ccc}{0}_{3\×6}& I_{3\×3}& 0_{3\×6}\\ 0_{3\×3}& I_{3\×3}& 0_{3\×9}\end{array}\right]$

$\mathrm{\η}={\left[{\mathrm{\η}}_L{\mathrm{\η}}_{\mathrm{\λ}}{\mathrm{\η}}_h{\mathrm{\η}}_{V_E}{\mathrm{\η}}_{V_N}{\mathrm{\η}}_{V_U}\right]}^T$

(2)卡尔曼滤波基本算法编排，该算法的流程图如图2所示。

状态一步预测方程

${\stackrel{\mathrm{\Λ}}{X}}_{k/k-1}={\mathrm{\φ}}_{k,k-1}{\stackrel{\mathrm{\Λ}}{X}}_{k-1}...\left(3\right)$

状态估值计算方程

${\stackrel{\mathrm{\Λ}}{X}}_k={\stackrel{\mathrm{\Λ}}{X}}_{k/k-1}+K_k(Z_k-H_k{\stackrel{\mathrm{\Λ}}{X}}_{k/k-1})...\left(4\right)$

滤波增量方程

${\stackrel{\mathrm{\Λ}}{K}}_k={\stackrel{\mathrm{\Λ}}{P}}_{k/k-1}{H}_k^T{(H_k{P}_{k/k-1}{H}_k^T+R_k)}^{-1}...\left(5\right)$

一步预测均方误差方程

${\stackrel{\mathrm{\Λ}}{P}}_{k/k-1}={\mathrm{\φ}}_{k,k-1}{P}_{k-1}{\mathrm{\φ}}_{k,k-1}^T+{\mathrm{\Γ}}_{k-1}{Q}_{k-1}{\mathrm{\Γ}}_{k-1}^T...\left(6\right)$

估计均方误差方程

${\stackrel{\mathrm{\Λ}}{P}}_k=(I-K_k{H}_k)P_{k/k-1}{(I-K_k{H}_k)}^T+K_k{R}_k{K}_k^T...\left(7\right)$

(3)观测量杆臂效应误差的补偿，杆臂效应误差是指GPS天线中心与SINS的测量中心不重合，二者之间存在一个距离OA(可以看作是一个杆臂)，如图3所示。

飞机机动时，机体运动角速度为ω_nb ^b，ΔV表示由GPS天线相位中心与SINS测量中心之间的杆臂r引起的相对速度，ΔV在SINS本体坐标系上的投影为ΔV_b：

${\mathrm{\ΔV}}_b=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{bx}}\\ \mathrm{\Δ}{V}_{\mathrm{by}}\\ \mathrm{\Δ}{b}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_z-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbz}}^b{r}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbz}}^b{r}_x-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_z\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_y-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_x\end{array}\right]...\left(8\right)$

将ΔV_b投影到导航坐标系下为：

${\mathrm{\ΔV}}_n=C_b^n{\mathrm{\ΔV}}_b...\left(9\right)$

补偿杆臂效应后运动补偿系统的观测量为：

                  V_n＝B_gps-ΔV_n                        (10)

其中，V_gps为GPS速度矢量，包括东向速度、北向速度和天向速度，ΔV_n为由载体角运动引起的GPS速度的误差，V_n为补偿后的GPS速度观测量。

(4)基于奇异值分解的可观测度分析方法。

分段线性定常系统(PWCS)可观测性分析方法是基于奇异值分解的可观测度分析方法的基础。SINS/GPS组合导航系统是时变系统，判断定常系统可观测性的分析方法都不适用，分段线性定常系统(PWCS)可观测性分析方法是专门用于判断时变系统可观测性的一种方法。在一个足够小的时间区间内，如果线性时变系统的系数矩阵变化量可以忽略不计，那么在该时间区间内就可以把时变系统当作定常系统处理，这样的系统称为分段式定常系统。

一个离散的PWCS可用如下模型表示：

       X(k+1)＝F_jX(k)+G_jU(k)+Г_jw(k)                      (11)

       Z_j(k)＝H_jX(k)

式中X(k)∈Rⁿ，Fj∈R^n×n，G_j∈R^n×s，U(k)∈R^s，w(k)∈R^l，Γ_j∈R^n×l，Z_j(k)∈R^m，H_j∈R^m×n。j＝1，2，ΛΛ，r，表示系统分段间隔序号。对每个时间段j，矩阵F_j、G_j和H_j都是恒定的，但对应不同的时间段，每个矩阵可以是不同的。系统总的可观测性矩阵(TOM)和条带化可观测性矩阵(SOM)分别表示为：

$Q\left(r\right)=\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2{F}_1^{n-1}\\ \·\·\·\\ Q_r{F}_{r-1}^{n-1}{F}_{r-2}^{n-1}...F_1^{n-1}\end{array}\right]...\left(12\right)$

$Q_s\left(r\right)=\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\\ \·\·\·\\ Q_r\end{array}\right]...\left(13\right)$

其中对应每一时间段j的可观测矩阵定义为：

根据系统方程和量测方程以及上述可观测矩阵的定义，由初值表示的系统输出为：

              Z＝Q(r)*X(t₀)                              (15)若矩阵Q(r)的秩等于n，则由上式可知，X(t₀)有唯一确定的解，表明系统状态是完全可观测的。显然，直接利用Q(r)阵研究离散PWCS的可观测性计算量相当大，而采用SOM来代替TOM来分析系统的可观测性，可以使问题得到简化。

用SOM矩阵代替TOM矩阵，随着时间段的增加，可观测性矩阵的维数仍然很高，对其实施奇异值分解的工作量也是相当大的。因此，这里采用一种改进的基于奇异值分解的系统状态可观测度分析方法。

设某时间段动态系统的可观测性矩阵为Q_m×n，初始状态为X(t₀)(n维)，量测值为Z(m1维)，则

              Z＝Q*X(t₀)                                (16)

对Q阵进行奇异值分解，得：

              Q＝U*S*V^T                                 (17)

其中U＝[u₁，u₂，Λ，u_m]，V＝[v₁，v₂，Λ，v_m]都是正交矩阵。

$S=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Λ}}_{r\×r}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]...\left(18\right)$

其中Λ＝diag(σ₁，σ₂，Λ，σ_r)，σ₁＞σ₂＞Λ＞σ_r＞0称为矩阵Q的奇异值。将式(17)带入式(16)中，得：

$Z=\left({\mathrm{USV}}^T\right)X\left(0\right)=\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{v}_i^T\right)X\left(0\right)...\left(19\right)$

即

$Z=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i\left(v_i^{T}X\left(0\right)\right)*u_i...\left(20\right)$

根据式(19)可得：

$X\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{u_i^T*Z}{{\mathrm{\σ}}_i}\right)v_i...\left(21\right)$

传统的分析方法是，根据式(21)计算每一个奇异值σ_i对应的初始状态向量X_0，i。从数值上看，较大的奇异值可以获得较好的状态估计，反之，对于特别小的奇异值，可能会引起多个X(t₀)的奇异，最终落入不可观测空间内。

从线性系统理论的角度分析，状态变量X(t₀)的可观测性应该只取决于系统结构，而与观测量Z无关，根据式(19)对矩阵u_iv_i ^T进行分析，观察它的各列元素的大小，就可以判断出每一个奇异值σ_i对应的初始状态向量X_0，i，这种改进的可观测度分析方法的不仅计算简单，更重要的是可以在没有实验测得量测数据的情况下分析系统状态的可观测度。

(5)基于系统状态变量可观测度变化的自适应反馈策略。

传统的SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，简单的把系统状态变量分为可观测和不可观测两类，对于可观测的状态变量实施全反馈，对不可观测的状态变量实施不反馈。如果用ΔY表示SINS/GPS组合导航系统中的反馈向量，

为系统的状态变量的估值，即系统各项误差的估值。那么在传统的空中机动对准方法中，系统的反馈策略可以表示为：

其中，α是一个15维的列向量，表示系统状态变量反馈的权值，如果系统中某个状态变量ΔX_i可观测，则α为1；如果ΔX_i不可观测，则α为1。也就是说，如果某个状态变量可观测就进行反馈，如果不可观测就不进行反馈。

通过SINS/GPS组合导航系统的可观测度分析可知：状态变量的可观测才能定量的、确切的表示各个状态变量的可观测程度，有些状态变量的可观测度小，但是并不代表完全不可观测。，而且，在载体的机动过程中，一些状态变量的可观测程度也不断地变化着。因此，应该根据状态变量可观测度的变化调节状态变量的反馈策略，也就是采用基于状态变量可观测度分析的自适应反馈策略，可以表示为：

其中，α(i)为状态变量ΔX_i的反馈权值，表示采用最优机动策略时，在整个机动过程中，ΔX_i的可观测度最大时，ΔX_i的最佳反馈权值；β(i)为状态变量ΔX_i的反馈因子，表示载体机动过程中，ΔX_i的可观测度与最大可观测度的比值。

反馈权值α(i)需要通过计算机仿真的方法来确定。在计算机仿真中，数据由计算机模拟产生，载体的真实位置、速度、姿态以及惯性器件误差都是已知的，通过SINS/GPS卡尔曼滤器的计算结果，可以得到带有误差的导航信息和各项误差的估值，通过计算结果与真实信息的比较，可以得到系统的真实误差，然后，将SINS/GPS卡尔曼滤波器计算的误差估值与真实误差比较，则反馈权值α(i)可以表示为：

其中，ΔX_real(i)表示SINS/GPS组合导航系统的真实误差， 表示载体机动时，状态变量X可观测度最大的情况下，状态变量的最优估值。

反馈因子β(i)的确定的方法下式：

$\mathrm{\β}\left(i\right)=\frac{\mathrm{\σ}\left(i\right)}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{opti}}\left(i\right)}...\left(25\right)$

其中，σ(i)表示状态变量ΔX(i)在某一段时间内的可观测度，σ_opti(i)表示状态变量ΔX(i)的可观测度的最大值。

Claims (2)

1、一种SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，其特征在于包括下列步骤：

(1)首先根据IMU的测量中心与GPS天线相位中心之间的空间几何关系，建立GPS观测量杆臂效应误差补偿模型，并进行补偿，所建立的GPS观测量杆臂效应误差模型为：

${\mathrm{\ΔV}}_n=C_b^n{\mathrm{\ΔV}}_b=C_b^n\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{bx}}\\ {\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{by}}\\ {\mathrm{\ΔV}}_{\mathrm{bz}}\end{array}\right]=C_b^n\·\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_z-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbz}}^b{r}_y\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbz}}^b{r}_x-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_z\\ {\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nbx}}^b{r}_y-{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nby}}^b{r}_x\end{array}\right]$

其中，ΔV_n为GPS观测量的杆臂效应误差，ΔV_b为GPS观测量的杆臂效应误差在载体坐标系内的投影，C_b ⁿ为载体坐标系到导航坐标系的转换矩阵，ω_nb ^b是载体的角速度，r为IMU的测量中心与GPS天线相位中心之间的距离；

(2)通过可观测度分析方法分析载体机动时系统各个状态变量可观测度的变化；

(3)根据可观测度的变化，采用

(i＝1，Λ，15)的自适应反馈策略调节系统状态变量的反馈因子，并进行反馈校正，其中，

为状态变量ΔX_i的反馈权值，ΔX_real(i)表示SINS/GPS组合导航系统的真实误差，

表示载体机动时状态变量X可观测度最大的情况下，状态变量的最优估值； $\mathrm{\β}\left(i\right)=\frac{\mathrm{\σ}\left(i\right)}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{opti}}\left(i\right)},$ 为ΔX_i的反馈因子，σ(i)表示状态变量ΔX(i)在某一段时间内的可观测度，σ_opti(i)表示状态变量ΔX(i)的可观测度的最大值。

2、根据权利要求1所述的SINS/GPS组合导航系统的空中机动对准方法，其特征在于：所述的可观测度分析方法为一种改进的基于奇异值分解的可观测度分析方法，该方法的具体步骤为：

(1)通过分段线性定常的方法计算条带可观测矩阵(SOM)Q_S(r)，

$Q_S\left(r\right)=\left[\begin{array}{c}{Q}_1\\ Q_2\\ \·\·\·\\ Q_r\end{array}\right]$

其中对应每一时间段j的可观测矩阵定义为：

(2)对条带式可观测矩阵Q_S(r)阵进行奇异值分解，得：

                   Q_S(r)＝U*S*V^T

其中U＝[u₁，u₂，Λ，u_m]，V＝[v₁，v₂，Λ，v_m]都是正交矩阵，

$S=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Λ}}_{r\×r}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

其中Λ＝diag(σ₁，σ₂，Λ，σ_r)，σ₁＞σ₂＞Λ＞σ_r＞0称为矩阵Q_S(r)的奇异值；

(3)设初始状态为X(t₀)(n维)，量测值为Z(m1维)，则

$Z=Q_S\left(r\right)*X\left(t_0\right)=\left({\mathrm{USV}}^T\right)X\left(0\right)=\left(\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i{u}_i{v}_i^T\right)X\left(0\right)$

即

$Z=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\σ}}_i\left(v_i^{T}X\left(0\right)\right)*u_i$

可得：

$X\left(0\right)=\underset{i=1}{\overset{r}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{u_i^T*Z}{{\mathrm{\σ}}_i}\right)v_i$

(4)对矩阵u_iv_i ^T进行分析，观察它的各列元素的大小，判断出每一个奇异值σ_i对应的初始状态向量X_0，i，奇异值σ_i的大小直接表明了状态向量X_0，i可观测程度的高低。

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