CN105105895B - 一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法，该方法首先采集小腿上的多维力传感器的信号；实时控制器将多维力传感器接触点的力转换为该点期望的速度，通过运算进而得出膝关节的期望角度；实时控制器通过采集运算旋转编码器的角度信息，输出控制电液伺服阀的电压信号；伺服阀放大板将该电压信号转化为电液伺服阀的电流信号；电液伺服阀根据电流信号的大小，实现对流入液压缸流量的控制，进而实现液压缸活塞位置的控制；本发明的滑模变结构控制方法具有响应快速、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识，物理实现简单等特点。

Description

一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法

技术领域

本发明涉及机器人控制领域，尤其涉及一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法。

背景技术

军队士兵经常需要背负重物进行长距离行走或作战，过重的负载常会对士兵身体造成一定的伤害，在这种背景下，需要开发一款能在战场环境中增强士兵速度、力量以及耐力的外骨骼装备；在科考、消防营救等领域，科考人员及消防营救人员常常需要长距离行走、背负重物、运送伤员、野外作战、登山探险等，传统的轮式交通工具难以在这些特殊场合发挥作用。除此之外，外骨骼也可以被用于仓库的货物装卸，以减轻搬运工人的劳动强度。外骨骼与人的组合能适应非结构化的环境，拥有极好的灵活性，可以完成一些复杂的装卸的工作，如为战斗机装卸导弹等，这是其他的装卸令备难以比拟的。外骨骼在这些领域的应用将对这些领域起到非常积极的作用。另外，老龄化正在全球蔓延，外骨骼的出现不仅可以帮助一些老年人解决体力较差、行走不变的问题，也可以帮助一些丧失行动能力的人恢复部分的行动能力。助力外骨骼的特点是要求在非结构环境下与穿戴者进行协作，这要求研究人员需要解决非结构性环境下高度协调的人机一体化问题，包括有效、可靠的人机间交互问题，对人体运动意图的快速响应问题，轻便、灵活的仿生结构设计，人机系统的安全性问题等，这些技术问题还处于初级摸索阶段，并不成熟，还需要进行深入的研究。

发明内容

本发明的目的是针对现有技术的不足，提供一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法，该控制方法根据当前的状态，按照预定的“滑动模态”的状态轨迹运动。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案如下：一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法，所述单关节助力外骨骼包括：液压缸、关节旋转编码器、力传感器、大腿杆件、小腿杆件、绷带、第一压力传感器、第二压力传感器、电液伺服阀(图中未示出)、伺服放大板(图中未示出)、实时控制器(图中未示出)；所述大腿杆件和小腿杆件通过铰链连接，在铰接处设置关节旋转编码器；液压缸的一端与大腿杆件铰接，另一端与小腿杆件铰接；第一压力传感器固定安装在液压缸的一端，第二压力传感器固定安装在液压缸的另一端；力传感器设置在小腿杆件上，绑带与力传感器相连；液压缸与电液伺服阀相连，电液伺服阀与伺服放大板相连，伺服放大板、关节旋转编码器、力传感器、第一压力传感器、第二压力传感器均与实时控制器相连；该方法包括如下步骤：

(1)初始化实时控制器的采样周期T，取T的值在10到20毫秒之间；

(2)将单关节助力外骨骼的大腿杆件和小腿杆件旋转至平行位置，此时，初始化单关节助力外骨骼上的关节旋转编码器，将关节旋转编码器的数值调零；初始化力传感器、第一压力传感器和第二压力传感器，将力传感器、第一压力传感器和第二压力传感器的数值均调零；

(3)当大腿杆件和小腿杆件发生相对转动时，采集小腿杆件上的力传感器的信号；

(4)通过实时控制器的运算与通信模块将力传感器接触点的力F转换为该点期望的速度v；

v＝K_vF

其中：F为力传感器上测得的人-机之间的作用力，设F_x为x轴的作用力，F_y为y轴的作用力，M_z为z轴的力矩；K_v为对角矩阵，K_v＝diag(k_x,k_y,k_w)，k_x为x轴的线速度增益参数，k_y为y轴的线速度增益参数，k_w为z轴的转动角速度增益参数；v为力传感器安装点的运动速度，设v_x为x轴的线速度，v_y为y轴的线速度，w_z为z轴的转动角速度；

(5)计算雅可比矩阵的逆矩阵ω＝J^-1v，得出膝关节的期望速度ω，再对其进行积分，得出膝关节的期望角度q_d；

(6)建立单关节助力外骨骼伺服液压系统的模型；

(7)实时控制器通过采集、运算关节旋转编码器旋转的角度q，通过自主设计的滑模变结构控制器模型进行计算，输出电液伺服阀的控制电压u；

(8)通过伺服阀放大板将步骤(7)获得的阀控制电压u转化为电液伺服阀的控制电流；

(9)通过控制电流的大小来控制伺服阀的阀芯开口大小，从而控制液压缸两端的压力，推动液压缸运动，实现单关节助力外骨骼的运动跟随。

进一步地，所述步骤6具体为：

(6.1)阀流量的方程

假设阀芯向右移动时，阀芯位移x_v为正，此时液压油流入无杆腔；当阀芯位移x_v为负时，液压油流入有杆腔；

当液压油进入无杆腔时，进入无杆腔流量的流量Q_p1为：

从有杆腔流出的流量Q_p2为：

其中：C_d为阀口节流系数；A_o1、A_o2分别为无杆腔节流阀口开口面积和有杆腔节流阀口开口面积，取A_o1＝A_o2；P_s为供油压力；P₁为无杆腔压力；P₂为有杆腔压力；P₀为系统回油路径上产生的背压，取P₀＝0；ρ为液压油密度；

节流阀口开口面积A_o1与阀芯位移x_v的关系可以表示为：

A_o1＝Wx_v (3)

其中，W为节流阀口面积梯度；

(6.2)阀芯位移方程

由于伺服阀的频响较高，远大于系统的频响，故假设阀芯位移x_v与阀控制电压u为一线性关系，即：

x_v＝k·u (4)

其中，k为比例系数；

(6.3)缸流量连续性方程

对于无杆腔，其流量连续性方程为：

其中：V₁为无杆腔容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_in为缸内泄系数；β为有效体积弹性模量，该值为油液、连接管道和缸体的总机械柔度的倒数；

式(5)中，为无杆腔推动活塞运动所需的流量，为无杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_in(P₁-P₂)为液压缸两腔之间由于存在的压力差而产生的泄露流量；

对于有杆腔，其流量连续性方程为：

其中：V₂为有杆腔容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_ex为缸外泄系数；

式(6)中，为有杆腔推动活塞运动所需的流量，为有杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_exP₂为有杆腔的对外泄漏量；

将式(5)、(6)中的V₁、V₂写为：

V₁＝V₁₀+x_pA_p1 (7)

V₂＝V₂₀+(L-x_p)A_p2 (8)

其中：x_p为液压缸活塞的位移，当活塞运动到最左端时，x_p＝0；V₁₀为当x_p＝0时，无杆腔的容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；A_p1为无杆腔截面积；V₂₀为当x_p＝0时，有杆腔的容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；L为液压缸活塞的总位移；A_p2为有杆腔截面积；

为了简化模型，取：

联立式(1)(2)(3)(4)(9)，有：

其中：F_L＝P₁A_P1-P₂A_P2；

联立式(5)(7)(10)(11)，有：

其中：

当阀芯位移x_v＞0时，得到以上结果；当阀芯位移x_v＜0时，同理得到：

其中：

(6.4)外骨骼几何模型

建立液压缸活塞的运动速度与关节旋转编码器旋转的角速度之间的关系，即如下：

其中，为有效半径，式中l₅为关节旋转编码器到液压缸与小腿杆件铰接点之间的几何直线长度，l₆为关节旋转编码器到液压缸与大腿杆件铰接点之间的几何直线长度；α₁为关节旋转编码器到液压缸与小腿杆件铰接点之间的连线与大腿杆件之间的角度；α₂为关节旋转编码器到液压缸与大腿杆件铰接点之间的连线与小腿杆件之间的夹角；q为关节旋转编码器旋转的角度；

由式(12)(14)(15)得：

其中：

这里l₀是活塞位移为0时对应的液压缸两固定端之间的距离。

进一步地，所述自主设计的滑模变结构控制器模型为：

取膝关节的期望角度q_d，关节旋转编码器旋转的角度q，误差为e＝q_d-q，取滑模函数s为：

s＝e (16)

由(15)得：

得

其中，k_c1、k_c2均为控制增益；k_c1需要满足 sign(s)表示为符号函数，s为正，则为1，s为负，则为0。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

1、滑模控制方法本质上是一类特殊的非线性控制，且非线性表现为控制的不连续性，相对目前普遍使用并理论成熟的线性控制而言，具有更好的适应能力和控制能力；

2、该方法能够克服系统的不确定性，对干扰和未建模动态具有很强的鲁棒性，尤其是对非线性系统的控制具有良好的控制效果；

3、滑模控制系统具有算法简单，物理实现容易的巨大优势；

4、滑动模态对加在系统上的干扰和系统的摄动具有完全的自适应性，而且系统状态一旦进入滑模运动，便快速地收敛到控制目标，具有响应快速的特点，为时滞系统、不确定性系统的鲁棒性设计提供了一种有效途径。

附图说明

图1是本发明的单关节整体形状结构示意图；

图2是本发明的单关节几何模型图；

图3是本发明的阀控缸原理图；

图4是本发明的控制流程图；

图中，液压缸1、关节旋转编码器2、力传感器3、大腿杆件4、小腿杆件5、绷带6、第一压力传感器7、第二压力传感器8。

具体实施方式

结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

如图1所示，一种单关节助力外骨骼包括：液压缸1、关节旋转编码器2、力传感器3、大腿杆件4、小腿杆件5、绷带6、第一压力传感器7、第二压力传感器8、电液伺服阀(图中未示出)、伺服放大板(图中未示出)、实时控制器(图中未示出)；所述大腿杆件4和小腿杆件5通过铰链连接，在铰接处设置关节旋转编码器2；液压缸1的一端与大腿杆件4铰接，另一端与小腿杆件5铰接；第一压力传感器7固定安装在液压缸1的一端，第二压力传感器8固定安装在液压缸1的另一端；力传感器3设置在小腿杆件5上，绑带6与力传感器3相连。

液压缸1与电液伺服阀相连，电液伺服阀与伺服放大板相连，伺服放大板、关节旋转编码器2、力传感器3、第一压力传感器7、第二压力传感器8均与实时控制器相连。所述实时控制器可采用的型号为NI cRIO-9031的产品，但不限于此；所述伺服阀放大板可采用的型号为Star WO36829/1的产品，但不限于此。

外骨骼下肢中的主动关节由液压缸驱动，采用液压伺服系统完成单关节的控制。相对于其他的伺服系统，液压伺服系统拥有功率-重量比大、负载能力强、抗负载的刚度大等特点，同时其调速范围较宽，低速稳定性好，可以在不配备减速器的情况下直接连接负载端，简化了结构设计，其中电液伺服系统已广泛的应用于工业自动化领域。但是由于伺服液压系统本身的非线性特性，加大了控制的难度。在单关节的基础上，结合运动学逆解，可以实现多关节的联动，但是不同于一般的工业机器人，外骨骼要实现其功能，还需要将人包括在内，做到“人在回路中(human-in-the-loop)”，实现人-机之间的协同工作。滑模变结构控制出现于20世纪60年代，是一类特殊的非线性控制策略，该控制方法根据当前的状态，按照预定的“滑动模态”的状态轨迹运动。由于滑模态可以进行设计并且与对象参数及扰动无关，这使得滑模变结构控制具有响应快速、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识，物理实现简单等特点。

如图4所示，一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法，具体包括如下步骤：

(1)通过绑带6将单关节助力外骨骼固定在人的小腿上；初始化实时控制器的采样周期T，取T的值在10到20毫秒之间；

(2)将单关节助力外骨骼的大腿杆件4和小腿杆件5旋转至平行位置，此时，初始化单关节助力外骨骼上的关节旋转编码器2，将关节旋转编码器2的数值调零；初始化力传感器3、第一压力传感器7和第二压力传感器8，将力传感器3、第一压力传感器7和第二压力传感器8的数值均调零；

(3)当大腿杆件4和小腿杆件5发生相对转动时，采集小腿杆件5上的力传感器3的信号；

(4)通过实时控制器的运算与通信模块将力传感器3接触点的力F转换为该点期望的速度v；

v＝K_vF

其中：F为力传感器3上测得的人-机之间的作用力，设F_x为x轴的作用力，F_y为y轴的作用力，M_z为z轴的力矩；K_v为对角矩阵，K_v＝diag(k_x,k_y,k_w)，k_x为x轴的线速度增益参数，k_y为y轴的线速度增益参数，k_w为z轴的转动角速度增益参数；v为力传感器3安装点的运动速度，设v_x为x轴的线速度，v_y为y轴的线速度，w_z为z轴的转动角速度；

(5)计算雅可比矩阵的逆矩阵ω＝J^-1v，得出膝关节的期望速度ω，再对其进行积分，得出膝关节的期望角度q_d；

(6)建立单关节助力外骨骼伺服液压系统的模型；

如图2所示，外骨骼的驱动机构为典型的液压伺服系统。

(6.1)阀流量的方程

假设阀芯向右移动时，阀芯位移x_v为正，此时液压油流入无杆腔；当阀芯位移x_v为负时，液压油流入有杆腔；

当液压油进入无杆腔时，进入无杆腔流量的流量Q_p1为：

从有杆腔流出的流量Q_p2为：

其中：

C_d为阀口节流系数；A_o1、A_o2分别为无杆腔节流阀口开口面积和有杆腔节流阀口开口面积，假设A_o1＝A_o2；P_s为供油压力；P₁为无杆腔压力；P₂为有杆腔压力；P₀为系统回油路径上产生的背压，假设P₀＝0；ρ为液压油密度；

节流阀口开口面积A_o1与阀芯位移x_v的关系可以表示为：

A_o1＝Wx_v (3)

其中，W为节流阀口面积梯度，该梯度与阀口的开口形状有关，为关于x_v的函数；

(6.2)阀芯位移方程

由于伺服阀的频响较高，远大于系统的频响，故假设阀芯位移x_v与阀控制电压u为一线性关系，即：

x_v＝k·u (4)

其中，k为比例系数；

(6.3)缸流量连续性方程

对于无杆腔，其流量连续性方程为：

其中：V₁为无杆腔容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_in为缸内泄系数；β为有效体积弹性模量，该有效值为油液、连接管道和缸体的总机械柔度的倒数；

式(5)中，为无杆腔推动活塞运动所需的流量，为无杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_in(P₁-P₂)为液压缸两腔之间由于存在的压力差而产生的泄露流量；

对于有杆腔，其流量连续性方程为：

其中：V₂为有杆腔容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_ex为缸外泄系数；

式(6)中，为有杆腔推动活塞运动所需的流量，为有杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_exP₂为有杆腔的对外泄漏量；

式(5)、(6)中的V₁、V₂可以写为：

V₁＝V₁₀+x_pA_p1 (7)

V₂＝V₂₀+(L-x_p)A_p2 (8)

其中：x_p为液压缸活塞的位移，当活塞运动到最左端时，x_p＝0；V₁₀为当x_p＝0时，无杆腔的容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；A_p1为无杆腔截面积；V₂₀为当x_p＝0时，有杆腔的容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；L为液压缸活塞的总位移；A_p2为有杆腔截面积；

为了简化模型，取：

对于不存在泄露及液压系统的有效体积弹性模量β无穷大的情况下，由(5)～(8)知λ＝A_p1/A_p2；对于实际情况，λ为变量，当泄漏与油液压缩对推动活塞运动所需的流量影响可以忽略不计时，我们可以认为λ≈A_p1/A_p2，否则λ将取决于液压系统的参数及负载情况；

联立式(1)(2)(3)(4)(9)，有：

其中：F_L＝P₁A_P1-P₂A_P2

联立式(5)(7)(10)(11)，有：

其中：

当阀芯位移x_v＞0时，得到以上结果；当阀芯位移x_v＜0时，同理得到：

其中：

(6.4)外骨骼几何模型

如图3所示，对于单关节而言，在实际的应用中，给出的是角度值，而不是液压缸的位置值，故需要建立液压缸活塞的运动速度与关节旋转编码器2旋转的角速度之间的关系，即如下：

其中，为有效半径，式中l₅为关节旋转编码器2到液压缸1与小腿杆件5铰接点之间的几何直线长度，l₆为关节旋转编码器2到液压缸1与大腿4铰接点之间的几何直线长度；α₁为关节旋转编码器2到液压缸1与小腿5铰接点之间的连线与大腿4之间的角度；α₂为关节旋转编码器2到液压缸1与大腿4铰接点之间的连线与小腿5之间的夹角；q为关节旋转编码器2旋转的角度。

由式(12)(14)(15)得：

其中：

这里l₀是活塞位移为0时对应的液压缸两固定端(液压缸1与大腿4铰接点、液压缸1与小腿5铰接点)之间的距离；

(7)实时控制器通过采集、运算关节旋转编码器2旋转的角度q，通过自主设计的滑模变结构控制器模型进行计算，输出电液伺服阀的控制电压u，具体步骤如下：

取膝关节的期望角度q_d，关节旋转编码器2旋转的角度q，误差为e＝q_d-q，取滑模函数s为：

s＝e (16)

由(15)得：

得

其中，k_c1、k_c2均为控制增益，是由自己按经验和实验情况设定的控制器参数，且为保持系统通过稳定，k_c1需要满足 sign(s)表示为符号函数，s为正，则为1，s为负，则为0；

(8)通过伺服阀放大板将步骤(7)获得的阀控制电压u转化为电液伺服阀的控制电流；

(9)通过控制电流的大小来控制伺服阀的阀芯开口大小，从而控制液压缸两端的压力，推动液压缸运动，实现单关节助力外骨骼的运动跟随。

Claims (2)

1.一种单关节助力外骨骼滑模控制的方法，所述单关节助力外骨骼包括：液压缸(1)、关节旋转编码器(2)、力传感器(3)、大腿杆件(4)、小腿杆件(5)、绷带(6)、第一压力传感器(7)、第二压力传感器(8)、电液伺服阀、伺服放大板、实时控制器；所述大腿杆件(4)和小腿杆件(5)通过铰链连接，在铰接处设置关节旋转编码器(2)；液压缸(1)的一端与大腿杆件(4)铰接，另一端与小腿杆件(5)铰接；第一压力传感器(7)固定安装在液压缸(1)的一端，第二压力传感器(8)固定安装在液压缸(1)的另一端；力传感器(3)设置在小腿杆件(5)上，绑带(6)与力传感器(3)相连；液压缸(1)与电液伺服阀相连，电液伺服阀与伺服放大板相连，伺服放大板、关节旋转编码器(2)、力传感器(3)、第一压力传感器(7)、第二压力传感器(8)均与实时控制器相连；其特征在于，该方法包括如下步骤：

(1)初始化实时控制器的采样周期T，取T的值在10到20毫秒之间；

(2)将单关节助力外骨骼的大腿杆件(4)和小腿杆件(5)旋转至平行位置，此时，初始化单关节助力外骨骼上的关节旋转编码器(2)，将关节旋转编码器(2)的数值调零；初始化力传感器(3)、第一压力传感器(7)和第二压力传感器(8)，将力传感器(3)、第一压力传感器(7)和第二压力传感器(8)的数值均调零；

(3)当大腿杆件(4)和小腿杆件(5)发生相对转动时，采集小腿杆件(5)上的力传感器(3)的信号；

(4)通过实时控制器的运算与通信模块将力传感器(3)接触点的力F转换为该点期望的速度v；

v＝K_vF

其中：F为力传感器(3)上测得的人-机之间的作用力，设F_x为x轴的作用力，F_y为y轴的作用力，M_z为z轴的力矩；K_v为对角矩阵，K_v＝diag(k_x,k_y,k_w)，k_x为x轴的线速度增益参数，k_y为y轴的线速度增益参数，k_w为z轴的转动角速度增益参数；v为力传感器(3)安装点的运动速度，设v_x为x轴的线速度，v_y为y轴的线速度，w_z为z轴的转动角速度；

(5)计算雅可比矩阵的逆矩阵w＝J^-1v，得出膝关节的期望速度w，再对其进行积分，得出膝关节的期望角度q_d；

(6)建立单关节助力外骨骼伺服液压系统的模型；

(7)实时控制器通过采集、运算关节旋转编码器(2)旋转的角度q，通过自主设计的滑模变结构控制器模型进行计算，输出电液伺服阀的控制电压u；

所述自主设计的滑模变结构控制器模型为：

取膝关节的期望角度q_d，关节旋转编码器(2)旋转的角度q，误差为e＝q_d-q，取滑模函数s为：

s＝e (16)

由式(15)得：

$\stackrel{\·}{s}=\stackrel{\·}{e}={\stackrel{\·}{q}}_d-\stackrel{\·}{q}={\stackrel{\·}{q}}_d-g_{10}(F_L,l)u-g_{20}(q,{\stackrel{\·}{F}}_L,l)-g_{30}(F_L,l)---\left(17\right)$

得

$u=\frac{1}{g_0}\left(k_{c1}sign\right(s)+k_{c2}s+{\stackrel{\·}{q}}_d)---\left(18\right)$

其中，k_c1、k_c2均为控制增益；k_c1需要满足 sign(s)表示为符号函数，s为正，则为1，s为负，则为0；

(8)通过伺服阀放大板将步骤7获得的阀控制电压u转化为电液伺服阀的控制电流；

(9)通过控制电流的大小来控制伺服阀的阀芯开口大小，从而控制液压缸(1)两端的压力，推动液压缸(1)运动，实现单关节助力外骨骼的运动跟随。

2.根据权利要求1所述的单关节助力外骨骼滑模控制的方法，其特征在于，所述步骤6具体为：

(6.1)阀流量的方程

假设阀芯向右移动时，阀芯位移x_v为正，此时液压油流入无杆腔；当阀芯位移x_v为负时，液压油流入有杆腔；

当液压油进入无杆腔时，进入无杆腔流量的流量Q_p1为：

$Q_{p1}=C_d{A}_{o1}\sqrt{\frac{2}{r}(P_s-P_1)}---\left(1\right)$

从有杆腔流出的流量Q_p2为：

$Q_{p2}=C_d{A}_{o2}\sqrt{\frac{2}{r}(P_2-P_0)}---\left(2\right)$

其中：C_d为阀口节流系数；A_o1、A_o2分别为无杆腔节流阀口开口面积和有杆腔节流阀口开口面积，取A_o1＝A_o2；P_s为供油压力；P₁为无杆腔压力；P₂为有杆腔压力；P₀为系统回油路径上产生的背压，取P₀＝0；r为液压油密度；

节流阀口开口面积A_o1与阀芯位移x_v的关系可以表示为：

A_o1＝Wx_v (3)

其中，W为节流阀口面积梯度；

(6.2)阀芯位移方程

由于伺服阀的频响较高，远大于系统的频响，故假设阀芯位移x_v与阀控制电压u为一线性关系，即：

x_v＝k u (4)

其中，k为比例系数；

(6.3)缸流量连续性方程

对于无杆腔，其流量连续性方程为：

$Q_{P1}=\frac{{\mathrm{dV}}_1}{dt}+\frac{V_1}{b}\frac{{\mathrm{dP}}_1}{dt}+C_{in}(P_1-P_2)---\left(5\right)$

其中：V₁为无杆腔容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_in为缸内泄系数；b为有效体积弹性模量，该值为油液、连接管道和缸体的总机械柔度的倒数；

式(5)中，为无杆腔推动活塞运动所需的流量，为无杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_in(P₁-P₂)为液压缸两腔之间由于存在的压力差而产生的泄露流量；

对于有杆腔，其流量连续性方程为：

$Q_{P2}=-\frac{{\mathrm{dV}}_2}{dt}-\frac{V_2}{b}\frac{{\mathrm{dP}}_2}{dt}+C_{in}(P_1-P_2)-C_{ex}{P}_2---\left(6\right)$

其中：V₂为有杆腔容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；C_ex为缸外泄系数；

式(6)中，为有杆腔推动活塞运动所需的流量，为有杆腔由于液压油压缩所需的流量，C_exP₂为有杆腔的对外泄漏量；

将式(5)、(6)中的V₁、V₂写为：

V₁＝V₁₀+x_pA_p1 (7)

V₂＝V₂₀+(L-x_p)A_p2 (8)

其中：x_p为液压缸活塞的位移，当活塞运动到最左端时，x_p＝0；V₁₀为当x_p＝0时，无杆腔的容积，包含液压缸无杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；A_p1为无杆腔截面积；V₂₀为当x_p＝0时，有杆腔的容积，包含液压缸有杆腔容积以及从阀到缸的管路容积；L为液压缸活塞的总位移；A_p2为有杆腔截面积；

为了简化模型，取：

$\frac{Q_{p1}}{Q_{p2}}=l---\left(9\right)$

联立式(1)(2)(3)(4)(9)，有：

$P_1=\frac{P_s{A}_{p2}+l^2{F}_L}{A_{p1}{l}^2+A_{p2}},P_2=\frac{P_s{A}_{p1}-F_L}{A_{p1}{l}^2+A_{p2}}---\left(10\right)$

$Q_{p1}=C_{d}Wku\sqrt{\frac{2}{r}\frac{l^2}{A_{p1}{l}^2+A_{p2}}(P_s{A}_{p1}-F_L)}---\left(11\right)$

其中：F_L＝P₁A_P1-P₂A_P2；

联立式(5)(7)(10)(11)，有：

${\stackrel{\·}{x}}_p=g_1(P_s,F_L,l)u+g_2(x_p,{\stackrel{\·}{F}}_L,l)+g_3(P_s,l)+g_4(F_L,l)---\left(12\right)$

其中：

$g_1(P_s,F_L,l)=\frac{C_{d}Wk}{A_{p1}}\sqrt{\frac{2}{r}\frac{l^2}{A_{p1}{l}^2+A_{p2}}(P_s{A}_{p1}-F_L)};$

$g_2(x_p,{\stackrel{\·}{F}}_L,l)=-\frac{l^2(V_{10}+A_{p1}{x}_p)}{{\mathrm{bA}}_{p1}(A_{p1}{l}^2+A_{p2})}\frac{{\mathrm{dF}}_L}{dt};$

$g_3(P_s,l)=-\frac{P_s}{A_{p1}(A_{p1}{l}^2+A_{p2})}\[(C_{in}+C_{ex})A_{p2}-C_{in}{A}_{p1}\];$

$g_4(F_L,l)=-\frac{F_L}{A_{p1}(A_{p1}{l}^2+A_{p2})}\[(C_{in}+C_{ex})l^2+C_{in}\];$

当阀芯位移x_v>0时，得到以上结果；当阀芯位移x_v<0时，同理得到：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_p=g_1(P_s,F_L,l)u+g_2(x_p,{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_L,l)+g_3(P_s,l)+g_4(F_L,l)---\left(13\right)$

其中：

$g_1(P_s,F_L,l)=\frac{C_{d}Wk}{A_{p2}}\sqrt{\frac{2}{r}\frac{(A_{p2}{P}_s+F_L)}{(l^2{A}_{p1}+A_{p2})}};$

$g_2(x_p,{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_L,l)=\frac{V_{20}+(L-x_p)}{{\mathrm{bA}}_{p2}(l^2{A}_{p1}+A_{p2})}\frac{{\mathrm{dF}}_L}{dt};$

$g_3(P_S,l)=\frac{l^2{P}_s}{A_{p2}(l^2{A}_{p1}+A_{p2})}\&lsqb;(C_{in}+C_{ex})A_{p1s}-C_{in}{A}_{p2}\&rsqb;;$

$g_4(F_L,l)=-\frac{F_L}{A_{p2}(l^2{A}_{p1}+A_{p2})}\&lsqb;(C_{in}+C_{ex})+C_{in}{l}^2\&rsqb;;$

(6.4)外骨骼几何模型

建立液压缸活塞的运动速度与关节旋转编码器(2)旋转的角速度之间的关系，即如下：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_p=R\left(q\right)\stackrel{\&CenterDot;}{q}---\left(14\right)$

其中，为有效半径，式中l₅为关节旋转编码器(2)到液压缸(1)与小腿杆件(5)铰接点之间的几何直线长度，l₆为关节旋转编码器(2)到液压缸(1)与大腿杆件(4)铰接点之间的几何直线长度；a₁为关节旋转编码器(2)到液压缸(1)与小腿杆件(5)铰接点之间的连线与大腿杆件(4)之间的角度；a₂为关节旋转编码器(2)到液压缸(1)与大腿杆件(4)铰接点之间的连线与小腿杆件(5)之间的夹角；q为关节旋转编码器(2)旋转的角度；

由式(12)(14)(15)得：

$\stackrel{\&CenterDot;}{q}=g_{10}(F_L,l)u+g_{20}(q,{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_L,l)+g_{30}(F_L,l)---\left(15\right)$

其中：

$g_{10}(F_L,l)=\frac{g_1(P_s,F_L,l)}{R\left(q\right)};$

$g_{20}(q,{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_L,l)=\frac{g_2\left(x_p\right(q),{\stackrel{\&CenterDot;}{F}}_L,l)}{R\left(q\right)};$

$g_{30}(F_L,l)=\frac{g_3(F_L,l)}{R\left(q\right)};$

这里l₀是活塞位移为0时对应的液压缸两固定端之间的距离。