CN103395065B - 基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法 - Google Patents

Abstract

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法涉及智能机械与机器人控制技术领域，该方法通过双参数奇异摄动原理，将液压刚柔机械臂系统降阶为表征液压伺服驱动的快变子系统、表征弹性振动的次快变子系统及表征大范围刚性运动的慢变子系统；其中，快变子系统控制模块采用自适应滑模控制器，次快变子系统控制模块采用最优控制器抑制弹性振动，慢变子系统控制模块采用二阶滑模控制器实现关节轨迹跟踪控制。本发明的控制方法基于双参数奇异摄动将复杂的液压刚柔机械臂系统模型进行降阶，设计多时标子系统控制器，使得控制方法大大简化，且更具实用性。

Description

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法

技术领域

本发明涉及智能机械与机器人控制技术领域，尤其涉及一种基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法。

背景技术

液压刚柔机械臂是一种由液压驱动的机械臂，其具有高耐用性、大驱动力矩、高功率/重量比、高载荷/自重比等特点，因此常应用于大型重载机械中，并在建筑、采矿、交通运输、机械加工等领域得到了广泛的应用。液压刚柔机械臂在操作大负载时不可避免的产生弹性振动，这给负载的精确、快速转载带来了困难。目前一般采用非线性反馈控制系统进行控制，但控制器一般设计复杂、计算量大、实时性差，很难达到期望的控制效果。因此亟需设计一种结构简单、小计算量、高实时性且易于实现的控制器，满足液压刚柔机械臂转载大负荷任务需要。

摄动理论研究小参数问题的渐近展开解法及解的性质，可以求得满足所需精度要求的近似解析解，因此其比数值解有很大的优越性，这一类问题在物理、化学、力学、天文学等工程科学以及交通、经济等管理科学中大量出现，并统称这类问题为摄动问题。在大量的摄动问题中，根据解对小参数的渐近性质，可以将它们分为两大类：正则摄动与奇异摄动。根据R.E.O’Malley给出的定义，若摄动问题P_ε的解y_ε(x)能表示成ε的幂级数

$y_{\mathrm{\ϵ}}\left(x\right)~y_0\left(x\right)+\stackrel{\∞}{\underset{j=1}{\mathrm{\Σ}}}{y}_j\left(x\right)\·{\mathrm{\ϵ}}^j,x\∈D,\mathrm{\ϵ}\→0---\left(1\right)$

其中，y₀(x)是问题P₀(即P_ε|_ε＝0)的解，且上述展开对是一致收敛的，则称P_ε为正则摄动问题。否则，就称P_ε为奇异摄动问题。在自动控制问题中，过去对含有小参数_ε的奇异摄动问题的处理方法是把小参数忽略，即近似把小参数ε看成为零，忽略高阶部分、保留低频部分，或不考虑小时间常数的影响，这样会使系统在边界层内的误差已达失真的程度。

液压刚柔机械臂是一种大型的、强非线性、高度耦合的系统，因此其自动控制方法一直是学者及研究人员讨论的焦点。但是，液压刚柔机械臂系统因其模型复杂而导致控制器设计复杂、不易实现，现有的自动控制方法控制精度低，不能有效地抑制由机械臂柔性导致的振动现象。

发明内容

为了解决液压刚柔机械臂系统模型复杂导致的控制器设计复杂、不易实现，且现有控制方法的控制精度低，不能有效抑制由机械臂柔性导致的振动现象的技术问题，本发明提供一种基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法，其引入双参数奇异摄动，将复杂的刚柔机械臂系统模型降阶为多时标参数的子系统，针对各子系统设计的控制系统结构简单、效率高，同时可达到满意的控制精度，有效抑制振动，易于工程实现。

采用双参数奇异摄动理论可将液压刚柔机械臂系统降阶为表征液压伺服驱动的快变子系统、表征弹性振动的次快变子系统及表征大范围刚性运动的慢变子系统，此时可分别设计控制器对三个子系统进行控制。双参数奇异摄动系统是指各小参数之间有如下关系：

$m_{\mathrm{ij}}\≤\frac{{\mathrm{\ϵ}}_i}{{\mathrm{\ϵ}}_j}\≤M_{\mathrm{ij}},i,j=\mathrm{1,2,3}---\left(2\right)$

其中M_ij与m_ij是某些常数。设小参数ε₁,ε₂,ε₃有下列关系：

$\underset{{\mathrm{\ϵ}}_i\→0}{\lim }\frac{{\mathrm{\ϵ}}_{i+1}}{{\mathrm{\ϵ}}_i}=0---\left(3\right)$

这表明z_i+1是比z_i更快变化的快变状态。对于具有这样性质的多个小参数奇异摄动系统，可以用不同的快、慢观点，按单参数的分解方法得到整个系统的各级慢变、快变子系统。对整个系统的稳定性分析，可以由对各级子系统的稳定性分析来得到。

本发明解决技术问题所采取的技术方案如下：

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法包括如下步骤：

第一步、模型分解：

三自由度液压刚柔机械臂动力学方程如式(13)所示：

$\left\{\begin{array}{c}M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G\left(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q}\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}+\mathrm{A\τ}+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{CI}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，M(θ,q)∈R^5×5为对称、正定的惯性矩阵；θ＝[θ₁ θ₂ θ₃]^T为关节角；q＝[q₁ q₂]^T为模态坐标； $G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})={\left[\begin{array}{ccccc}{g}_1& g_2& g_3& g_4& g_5\end{array}\right]}^T$ 为包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；柔性臂的刚度矩阵为K＝diag(0,0,0,k₁,k₂)；作用在关节上的广义力矩为τ＝[τ₁ τ₂ τ₃]^T；I＝[i₁ i₂ i₃]^T为伺服阀控制电流；A＝diag(a₁,a₂,a₃)，a₁＝4β_e(C_tm1+K_c1)/V_t1，B＝diag(b₁,b₂,b₃)，b₁＝4β_eD²/V_t1， $b_i=4{\mathrm{\β}}_e{A}_{\mathrm{pi}}^2{J}_i^2/V_{\mathrm{ti}},i=\mathrm{2,3};$ C＝diag(c₁,c₂,c₃)，c₁＝4β_eDK_q1K_i1/V_t1,c_i＝4β_eA_piDK_qiK_iJ_i/V_ti,i＝2,3；

采用双参数奇异摄动技术将式(13)分解，取第一个小参数并且满足0＜ε₁＜＜1，并在边界层上引入第一级快变时标得到液压刚柔机械臂的第一级快变子系统动力学方程如式(20)

$\frac{d{\mathrm{\τ}}_{f1}}{d{\mathrm{\σ}}_1}=-\tilde{A}{\mathrm{\τ}}_{f1}+\tilde{C}{I}_{f1}---\left(20\right)$

其中，I_f1为第一级快变时标σ₁下的控制电流，下标f1表示系统处在第一级快变时标下；

下面取第二个小参数其中k＝min(k₁,k₂)，且两个小参数满足0＜ε₁＜＜ε₂＜＜1，得到系统的第二级慢变流形表达式为

$M_{1,s2}(\mathrm{\θ},0)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})=-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s2}---\left(28\right)$

其中，I_s2为第二级慢变时标t下的控制电流，下标s2表示系统处在第二级慢变时标下；

在边界层上引入第二级快变时标得液压刚柔机械臂系统第二级快变子系统的动力学方程为

$\frac{d^2{y}_{f2}}{d{\mathrm{\σ}}_2^2}=-D_{4,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\tilde{K}{y}_{f2}+D_{3,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y){\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{f2}---\left(31\right)$

其中，I_f2为第二级快变时标σ₂下的控制电流，下标f2表示系统处在第二级快变时标下；

第二步、根据第一步得到的第二级慢变子系统、第二级快变子系统以及第一级快变子系统动力学方程，设计相应的子系统控制模块：

针对第二级慢变子系统，取一阶滑动模态面及二阶滑动模态面设计二阶滑模控制律如式(37)

$I_{s2}={\tilde{C}}^{-1}\tilde{A}[M_{1,s}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d+\mathrm{\αe}+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{e}+u)+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s}]---\left(37\right)$

针对第二级快变子系统，取二次型性能指标函数及Ricatti方程设计最优控制律如式(41)

$I_{f2}=-K_f{X}_k=-R^{-1}{B}_k^T{\mathrm{PX}}_k---\left(41\right)$

针对第一级快变子系统，取滑模面s_f=e_f及自适应更新律设计自适应滑模控制律如式(50)

$I_{f1}={\tilde{C}}^{-1}[{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1d}+{\tilde{A}}_0{\mathrm{\τ}}_{f1}+\hat{F}+D_{0}E+\mathrm{\ξsgn}\left(s_f\right)]---\left(50\right)$

第三步、根据多重时间尺度理论，将第二步得到的各子系统控制器组合得到液压刚柔机械臂组合控制器如式(52)

I＝I_f1+I_s1＝I_f1+I_f2+I_s2   (52)

进而完成基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂的控制方法。

本发明的有益效果如下：

(1)由于采用了双参数奇异摄动技术，将复杂系统降阶为表征不同方式的三个子系统，使得系统模型简单，有效地降低了控制器设计的复杂性；

(2)本发明通过三个子系统控制模块对三个子系统分别进行控制，各子系统控制精度不受其他子系统影响，使得本发明的控制方法更具通用性；

(3)本发明将液压伺服部分从液压刚柔机械臂系统中分离，将电流作为控制输入量，避免了与机械臂控制部分采用力矩作为控制输入而导致的耦合；

(4)本发明中快变子控制系统中考虑了高频干扰和未建模动态对系统控制精度的影响，削弱了由于油液弹性模量摄动引起的液压冲击；

(5)本发明将多时标下子系统控制器进行时标统一，采用组合控制方式提高了控制系统精度，成本低，易于工程应用，更具有实用性。

附图说明

图1是本发明液压刚柔机械臂系统结构示意图；

图2是本发明液压刚柔机械臂控制方法液压伺服部分阀控液压马达示意图；

图3是本发明液压刚柔机械臂控制方法液压伺服部分阀控非对称液压缸示意图；

图4是本发明基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法原理图；

图5是本发明基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步详细说明。

如图1所示，本发明的控制对象为液压刚柔机械臂系统，其由三个连杆、回转底座和两个旋转关节组成，其中连杆1、连杆2为刚性臂，连杆3为柔性臂，回转关节为圆台状，由液压马达驱动，旋转关节由阀控单杆非对称液压缸驱动。三个连杆的长度分别为L₁，L₂，L₃，液压缸的安装位置分别为L₂₁，L₂₂，L₃₁。θ＝[θ ₁θ₂ θ₃]^T为连杆的关节转角.XOY为惯性坐标，X_iOY_i(i＝1,2,3)为固定在机械臂上的移动坐标。此系统存在液压伺服部分和机械臂的耦合，如何解决此问题是解决整个控制系统的关键。

如图2与图3所示分别为本发明采用的液压伺服驱动部分的阀控液压马达和阀控非对称液压缸的结构简图。P_s是供油压强，P_r为回油压强(通常为零)，x_v为伺服阀阀芯位移，P₁(P₂)分别为液压缸无(有)杆腔压强，Q₁(Q₂)为液压缸无(有)杆腔流量，A₁(A₂)为液压缸无(有)杆腔活塞面积，y为活塞杆位移，P_L为定义的负载压强。

如图4所示，本发明基于控制对象——液压刚柔机械臂系统多时标特点，通过双参数奇异摄动技术将其动力学模型进行降阶，并分解为表征液压伺服驱动系统的快变子系统，表征柔性臂弹性振动的次快变子系统及表征大范围刚性运动的慢变子系统。其优点是控制系统复杂性从系统级变为子系统级，使得控制系统结构、算法都大为简化，易于工程应用。双参数奇异摄动技术处理液压刚柔机械臂系统的关键问题在于如何用不同时标下的系统模型进行分解降阶，如何将不同时标下的控制器统一到统一时标下进行组合控制。

本发明基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法实现中关键处理方法及过程如下：

1 液压刚柔机械臂系统动力学模型

1.1 刚柔机械臂系统动力学模型

如图1所示，将柔性连杆作为Euler-Bernoulli等截面梁处理，根据假设模态法可知柔性臂的弹性变形量为

$\mathrm{\ω}(r,t)=\stackrel{n}{\underset{s=1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\Φ}}_s\left(r\right)q_s\left(t\right)---\left(4\right)$

其中Φ_s(r)和q_s(t)分别为s^th模态函数和广义模态坐标，本发明中采用前二阶模态，即n＝2.

考虑末端负载和柔性连杆弹性变形的影响，结合能量关系，可知系统总动能与势能并代入Lagrange方程，得到刚柔机械臂系统的动力学方程为

$M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]---\left(5\right)$

其中M(θ,q)∈R^5×5为对称、正定的惯性矩阵；θ＝[θ₁ θ₂ θ₃]^T为关节角；q＝[q₁ q₂]^T为模态坐标； $G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})={\left[\begin{array}{ccccc}{g}_1& g_2& g_3& g_4& g_5\end{array}\right]}^T$ 为包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；柔性臂的刚度矩阵为K＝diag(0,0,0,k₁,k₂)；作用在关节上的广义力矩为τ＝[τ₁ τ₂ τ₃]^T。

1.2 液压伺服驱动系统模型

假设液压伺服阀的时间常数远小于机械系统的时间常数，在液压伺服驱动系统中，伺服阀阀芯位移正比于控制输入

x_v＝K_ii   (6)

其中K_i是比例常系数。

根据图1所示阀控单杆非对称液压缸的安装位置，由余弦定理可得关节角与活塞位移的关系

$y_2=\sqrt{L_{21}^2+L_1^2-2L_1{L}_{21}\cos (\mathrm{\π}-{\mathrm{\θ}}_2)}---\left(7\right)$

$y_3=\sqrt{L_{22}^2+L_{31}^2-2L_{22}{L}_{31}\cos (\mathrm{\π}-{\mathrm{\θ}}_3)}---\left(8\right)$

考虑式(7)与式(8)，对时间求导可得

$\stackrel{\·}{y}=J\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(9\right)$

其中y＝[y₂ y₃]^T为活塞杆位移；为刚柔性机械臂与液压驱动系统间的Jacobin矩阵。

根据虚功原理有τ＝J^TF_L，式中：F_L为液压缸驱动力。

忽略外泄漏量，根据式(6)和液压伺服系统基本原理，可得液压缸的动态模型分别为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=K_{i}i\\ Q_L=K_q{x}_v-K_c{P}_L\\ Q_L=A_1\stackrel{\·}{y}+C_{\mathrm{tm}}{P}_L+\frac{V_t}{4{\mathrm{\β}}_e}{\stackrel{\·}{P}}_L\\ \mathrm{\τ}=J^T{F}_L,F_L=A_1{P}_L\end{array}\right.---\left(10\right)$

式中： $K_q=C_{d}w\sqrt{2(P_s-P_L)}/\sqrt{\mathrm{\ρ}(1+n^3)}$ 为流量增益； $K_c=C_{d}w{x}_v/\sqrt{2\mathrm{\ρ}(1+n^3)(P_s-P_L)}$ 为流量/压力系数；C_tm＝C_ip(1+n²)/(1+n³)为等效漏损系数；C_ip为液压缸的内泄漏系数；V_t＝2LA₁/(1+n³)为液压缸的等效容积；n＝A₂/A₁为面积比；P_L＝P₁-nP₂；β_e为液体有效体积弹性模量；ρ为油液密度；C_d为阀口流量系数；w为伺服阀的面积梯度；L为液压缸总行程。

液压马达的基本模型为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_v=K_{i}i\\ Q_L=K_q{x}_v-K_c{P}_L\\ Q_L=D\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+C_{\mathrm{tm}}{P}_L+\frac{V_t}{4{\mathrm{\β}}_e}{\stackrel{\·}{P}}_L\\ \mathrm{\τ}=P_{L}D\end{array}\right.---\left(11\right)$

其中，D为液压马达的体积排量，V_t表示液压马达腔室总体积，C_tm为泄漏系数，Q_L为液压马达的负载流量，为流量增益系数，θ为液压马达的转角。

由式(9)，式(10)和式(11)可求得3-DOF液压驱动刚柔性机械臂控制量与驱动力矩间的关系

$\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}+\mathrm{A\τ}+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{CI}---\left(12\right)$

其中I＝[i₁ i₂ i₃]^T为伺服阀控制电流;A＝diag(a₁,a₂,a₃),a₁＝4β_e(C_tm1+K_c1)/V_t1,B＝diag(b₁,b₂,b₃),b₁＝4β_eD²/V_t1,C＝diag(c₁,c₂,c₃),c₁＝4β_eDK_q1K_i1/V_t1,c_i＝4β_eA_piDK_qiK_iJ_i/V_ti,i＝2,3。

1.3 液压刚柔机械臂系统动力学模型

根据式(5)和式(12),可得三自由度液压刚柔机械臂动力学方程为

$\left\{\begin{array}{c}M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}+\mathrm{A\τ}+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{CI}\end{array}\right.---\left(13\right)$

2 基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂系统动力学模型

液压刚柔机械臂系统包括液压伺服部分、刚性机械臂部分及柔性机械臂部分，因此其中一部分状态要比另一部分状态变化快。采用奇异摄动技术，先忽略快变量以降低系统阶数，再通过引入边界层校正项来提高近似程度，对系统连续进行两次分解，实现对液压刚柔机械臂系统的双参数奇异摄动分解，此方法不仅简化了控制结构，便于控制器设计，并且大幅度减少了计算量。

2.1第一次奇异摄动分解

将液压刚柔机械臂系统分解成表征刚柔机械臂运动的第一级慢变子系统，以及表征液压伺服驱动的第一级快变子系统。首先将式(13)改写成

$\left\{\begin{array}{c}M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]\\ \frac{1}{{\mathrm{\β}}_e}\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}=-\tilde{A}\mathrm{\τ}-\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\widetilde{\mathrm{CI}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 $\tilde{A}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_e}A,$ $\tilde{B}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_e}B,$ $\tilde{C}=\frac{1}{{\mathrm{\β}}_e}C.$

取第一个小参数并且满足0＜ε₁＜＜1，令z＝τ,则有

$M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]---\left(15\right)$

${\mathrm{\ϵ}}_1\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}=-\tilde{A}z-\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+\tilde{C}I---\left(16\right)$

取ε₁＝0，则液压刚柔机械臂系统的第一级慢变流形表达式为

$\left\{\begin{array}{c}M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}{z}_{s1}\\ 0\end{array}\right]\\ z_{s1}=-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1}\end{array}\right.---\left(17\right)$

其中下标s1表示系统处在第一级慢变时标下。

当ε₁足够小时，ο(ε₁)可以忽略不计，根据多重时间尺度理论，取变量

τ=τ_f1+τ_s1   (18)

I=I_f1+I_s1   (19)

其中下标f1表示系统处在第一级快变时标下。

针对式(13)，在边界层上引入第一级快变时标靠近边界层区域ε₁→0，第一级慢变量τ_s1被视为常数，由式(16)-式(19)整理合并可得液压刚柔机械臂系统的第一级快变子系统动力学方程为

$\frac{d{\mathrm{\τ}}_{f1}}{d{\mathrm{\σ}}_1}=-\tilde{A}{\mathrm{\τ}}_{f1}+\tilde{C}{I}_{f1}---\left(20\right)$

其中I_f1为第一级快变时标σ₁下的控制电流。这样，将液压刚柔机械臂系统分解成了式(14)和式(20)，即第一级慢变子系统和第一级快变子系统。

2.2 第二次奇异摄动分解

将第一级慢变子系统进一步分解成表征大范围刚性运动的第二级慢变子系统和表征弹性振动的第二级快变子系统，即次快变子系统。

令 $D=M^{-1}={\left[\begin{array}{cc}{M}_1& M_2\\ M_3& M_4\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{D}_1& D_2\\ D_3& D_4\end{array}\right],$ $G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}{G}_1\\ G_2\end{array}\right]$

其中M₁∈R^3×3,D₁∈R^3×3,G₁∈R^3×1。

由式(17)可知

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=-D_2(\mathrm{\θ},q)\mathrm{Kq}-D_1(\mathrm{\θ},q)G_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})$

$-D_2(\mathrm{\θ},q)G_2(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})+D_1(\mathrm{\θ},q)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})---\left(21\right)$

$\stackrel{\·\·}{q}=-D_4(\mathrm{\θ},q)K_{x}q-D_3(\mathrm{\θ},q)G_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})$ $-D_4(\mathrm{\θ},q)G_2(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})+D_3(\mathrm{\θ},q)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})---\left(22\right)$

其中K_x＝diag(k₁,k₂)。

取第二个小参数其中k＝min(k₁,k₂)，且两个小参数满足0＜ε₁＜＜ε₂＜＜1。

令 $\tilde{K}={\mathrm{\ϵ}}_2{K}_x,$ q=ε₂y，则

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=-D_2(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\tilde{K}y-D_1(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)G_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y,{\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·}{y})$

$-D_2(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)G_2(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y,{\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·}{y})---\left(23\right)$

$+D_1(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})$

${\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·\·}{y}=-D_4(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\tilde{K}y-D_3(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)G_1(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y,{\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·}{y})$ $-D_4(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)G_2(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y,{\mathrm{\ϵ}}_2\stackrel{\·}{y})---\left(24\right)$

$+D_3(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})$

取ε₂＝0，得

$\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}=-D_{2,s2}(\mathrm{\θ},0)\tilde{K}y-D_{1,s2}(\mathrm{\θ},0)G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})$

$-D_{2,s2}(\mathrm{\θ},0)G_{2,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})---\left(25\right)$

$+D_{1,s2}(\mathrm{\θ},0)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})$

$0=-D_{4,s2}(\mathrm{\θ},0)\hat{K}{y}_{s2}-D_{3,s2}(\mathrm{\θ}.0)G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})$

$-D_{4,s2}(\mathrm{\θ},0)G_{2,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})---\left(26\right)$

$+D_{3,s2}(\mathrm{\θ},0)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s1})$

由式(26)解得

$y_{s2}=-{\tilde{K}}^{-1}{D}_{4,s2}^{-1}(\mathrm{\θ},0)D_{3,s2}(\mathrm{\θ},0)G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})$

$-{\tilde{K}}^{-1}{D}_{4,s2}^{-1}(\mathrm{\θ},0)D_{4,s2}(\mathrm{\θ},0)G_{2,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})---\left(27\right)$

$+{\tilde{K}}^{-1}{D}_{4,s2}^{-1}(\mathrm{\θ},0)D_{3,s2}(\mathrm{\θ},0)(-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s2})$

其中下标s2表示系统处在第二级慢变时标下，I_s2为第二级慢变时标t下的控制电流。

将式(27)代入式(25)可以得到液压刚柔机械臂系统的第二级慢变流形表达式为

$M_{1,s2}(\mathrm{\θ},0)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})=-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s2}---\left(28\right)$

当ε₂足够小时，ο(ε₂)可以忽略不计，根据多重尺度时间理论，取变量

y＝y_f2+y_s2   (29)

I_s1＝I_f2+I_s2   (30)

其中下标f2表示处在第二级快变时标下。

针对式(17)，在边界层上引入第二级快变时标靠近边界层区域ε₂→0，第二级慢变量y_s2被视为常数，由式(24)、式(27)、式(29)和式(30)整理合并可得液压刚柔机械臂系统第二级快变子系统的动力学方程为

$\frac{d^2{y}_{f2}}{d{\mathrm{\σ}}_2^2}=-D_{4,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\tilde{K}{y}_{f2}+D_{3,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y){\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{f2}---\left(31\right)$

其中I_f2为第二级快变时标σ₂下的控制电流。这样，将液压刚柔机械臂系统进一步分解成了式(28)和式(31)，即第二级慢变子系统和第二级快变子系统。

综上，三个时标满足t＜＜σ₂＜＜σ₁，通过两次单参数奇异摄动分解，将液压刚柔机械臂系统分解成了式(28)、式(31)和式(20)，即慢变、次快变和快变三个子系统。

3 三重时间尺度控制器设计

3.1 慢变控制器

针对慢变子系统式(28)，取关节角的期望轨迹为θ_d，则位置误差和速度误差为

e=θ_d-θ   (32)

$\stackrel{\·}{e}={\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_d-\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}---\left(33\right)$

取滑动模态面

$s=\stackrel{\·}{e}+\mathrm{\λe},\mathrm{\λ}>0---\left(34\right)$

其中λ为3阶待定对角矩阵，对角元素均为正。

$\mathrm{\Σ}=\stackrel{\·}{s}+\mathrm{\ηs},\mathrm{\η}>0---\left(35\right)$

其中η为3阶待定对角矩阵，对角元素均为正。

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Σ}}=-k_1\mathrm{sgn}\left(\mathrm{\Σ}\right)-k_2\mathrm{\Σ}---\left(36\right)$

其中k₁和k₂为3阶待定对角矩阵，对角元素均为正。

设计二阶滑模控制律为

$I_{s2}={\tilde{C}}^{-1}\tilde{A}[M_{1,s}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d+\mathrm{\αe}+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{e}+u)+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s}]---\left(37\right)$

3.2 次快变控制器

针对次快变子系统，将式(31)变换成状态空间形式

${\stackrel{\·}{X}}_k=A_k{X}_k+B_k{I}_{f2}---\left(38\right)$

其中 $X_k=\left[\begin{array}{c}{y}_{f2}\\ \frac{d{y}_{f2}}{d{\mathrm{\σ}}_2}\end{array}\right],$ $A_k=\left[\begin{array}{cc}0& I\\ D_{4.s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\tilde{K}& 0\end{array}\right],$ $B_k=\left[\begin{array}{c}0\\ D_{3,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y)\end{array}\right].$

假设次快变子系统中不存在不确定性，由于(A_k,B_k)完全可控，可以采用最优控制方法将系统的状态调节至零，抑制系统弹性振动。

取二次型性能指标函数为

$J=\frac{1}{2}{\∫}_0^{\∞}[X_k^{T}Q{X}_k+I_{f2}^{T}R{I}_{f2}]\mathrm{dt}---\left(39\right)$

选取Ricatti方程为

$A_k^{T}P+P{A}_k-P{B}_k{R}^{-1}{B}_k^{T}P+Q=0---\left(40\right)$

则最优控制律为

$I_{f2}=-K_f{X}_k=-R^{-1}{B}_k^{T}P{X}_k---\left(41\right)$

3.3 快变控制器

假设快变子系统式(20)中存在参数摄动和未建模动态，形式为

$\left\{\begin{array}{c}\tilde{A}={\tilde{A}}_0+\mathrm{\Δ}\tilde{A}\\ \tilde{C}={\tilde{C}}_0+\mathrm{\Δ}\tilde{C}\\ E=E_0+\mathrm{\ΔE}\end{array}\right.---\left(42\right)$

其中E∈R^3×3为单位矩阵；E₀为标称值；ΔE为有界摄动量。

考虑外界干扰和式(42)，则式(20)可改写为

$E_0{\stackrel{\·}{z}}_{f1}+{\tilde{A}}_0{\mathrm{\τ}}_{f1}+F+d={\tilde{C}}_0{I}_{f1}---\left(43\right)$

其中d(t)为外界干扰，总体不确定项是 $F(t,{\mathrm{\τ}}_{f1},{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1})=\mathrm{\ΔE}{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1}+\mathrm{\Δ}\tilde{A}{\mathrm{\τ}}_{f1}-\mathrm{\Δ}{\tilde{C}}_0{I}_{f1}.$

假设1 随机干扰d(t)是能量有界信号，且满足

||d(t)||≤D₀   (44)

其中D₀为已知正常数。

假设2 总体不确定项且满足

$\left|\right|F(t,{\mathrm{\τ}}_{f1},{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1})\left|\right|\≤F_0---\left(45\right)$

其中F₀为其上界，是一个未知正常数向量。

设为F的估计值，则估计误差为

$\tilde{F}=F-\hat{F}---\left(46\right)$

取τ_fd1的期望值为τ_fd1=[0 0 0]^T，则

e_f=τ_f1d-τ_f1   (47)

${\stackrel{\·}{e}}_f={\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1d}-{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1}---\left(48\right)$

取滑模面为

s_f=e_f   (49)

设计自适应滑模控制律为

$I_{f1}={\tilde{C}}^{-1}[{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1d}+{\tilde{A}}_0{\mathrm{\τ}}_{f1}+\hat{F}+D_{0}E+\mathrm{\ξsgn}\left(s_f\right)]---\left(50\right)$

其中E＝[1,1,1]^T，ξ为3阶待定对角矩阵，对角元素均为正。

取自适应更新律为

$\stackrel{\·}{\hat{F}}={\mathrm{\Λ}}^T{s}_f---\left(51\right)$

其中，Λ为已知常值向量，且其元素均为正数。

3 基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法软件设计

本发明控制对象液压刚柔机械臂系统的机械臂参数如表1所示。

表1 液压柔性机械臂结构参数

基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法软件采用Matlab语言编写，生成.m文件。程序设计思想及实现过程如图5所示，初始化后按照双参数奇异摄动分解，然后判断是否为快变子系统模型，若是，则采用快变子系统控制模块进行控制，若为否，则继续判断是否为次快变子系统模型，若是，则采用次快变子系统控制模块进行控制，若为否，则其为慢变子系统模型，采用慢变子系统控制模块进行控制，然后再将三个子系统控制模块的输出输入至控制驱动，之后进行数据存储，再判断是否到达运行时间，若为否，则继续进行循环判断，若是则输出结果结束。其中慢变子系统控制模块采用控制器如式(37)，次快变子系统控制模块采用控制器如式(41)，快变子系统控制模块采用控制器如式(50)，液压刚柔机械臂控制系统参数如表2所示。

表2 基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂系统控制参数

参数名称	取值	参数名称	取值
				ε1	5.0×10-10	α	diag(105,100,110)
ε2	1.2×10-6	β	diag(95,110,105)
				λ	diag(7,6,7)	Q	diag(50,46,55,55)
η	diag(5,6,6)	R	diag(11,10,8)
				k1	diag(15,12,12)	Λ	diag(50,50,30)
k2	diag(100,90,110)	ξ	diag(25,15,30)

通过点击“Run”按钮，系统即可运行，首先将液压刚柔机械臂系统采用双参数奇异摄动技术降阶为三时标子系统，然后经过三时标子系统控制器分别控制，使得液压刚柔机械臂系统关节跟踪期望轨迹，误差精度在0.001rad以内；弹性振动得到抑制，振动抑制在0.001m以内。结果可采用word、excel或图表形式保存。

Claims (1)

1.基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂控制方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：

第一步、模型分解：

三自由度液压刚柔机械臂动力学方程如式(13)所示：

$\left\{\begin{array}{c}M(\mathrm{\θ},q)\left[\begin{array}{c}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}\\ \stackrel{\·\·}{q}\end{array}\right]+K\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θ}\\ q\end{array}\right]+G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\τ}\\ 0\end{array}\right]\\ \stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}+\mathrm{A\τ}+B\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}=\mathrm{CI}\end{array}\right.---\left(13\right)$

其中，M(θ,q)∈R^5×5为对称、正定的惯性矩阵；θ＝[θ₁ θ₂ θ₃]^T为关节角；q＝[q₁ q₂]^T为模态坐标； $G(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},q,\stackrel{\·}{q})={\left[\begin{array}{ccccc}{g}_1& g_2& g_3& g_4& g_5\end{array}\right]}^T$ 为包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；柔性臂的刚度矩阵为K＝diag(0,0,0,k₁,k₂)；作用在关节上的广义力矩为τ＝[τ₁ τ₂ τ₃]^T；I＝[i₁ i₂ i₃]^T为伺服阀控制电流；A＝diag(a₁,a₂,a₃)，a₁＝4β_e(C_tm1+K_c1)/V_t1，i＝2,3；B＝diag(b₁,b₂,b₃)，b₁＝4β_eD²/V_t1，i＝2,3；C＝diag(c₁,c₂,c₃)，c₁＝4β_eDK_q1K_i1/V_t1,c_i＝4β_eA_piDK_qiK_iJ_i/V_ti,i＝2,3；β_e为液体有效体积弹性模量；C_tmi为第i(i＝2,3)个液压缸的泄漏系数；K_ci为第i(i＝2,3)个液压缸的流量/压力系数；J_i为刚柔机械臂与液压驱动系统间的Jacobin矩阵；D为液压马达的体积排量；K_qi为第i(i＝2,3)个液压缸的流量增益；K_i是伺服阀阀芯位移与控制输入的比例常系数；V_ti为第i(i＝2,3)个液压缸的等效容积；C_tm1为第1个液压缸的泄漏系数；K_c1为第1个液压缸的流量/压力系数；V_t1为第1个液压缸的等效容积；K_q1为第1个液压缸的流量增益；K_i1是第1个伺服阀阀芯位移与控制输入的比例常系数；

采用双参数奇异摄动技术将式(13)分解，取第一个小参数并且满足0＜ε₁＜＜1，并在边界层上引入第一级快变时标得到液压刚柔机械臂的第一级快变子系统动力学方程如式(20)

$\frac{{\mathrm{d\τ}}_{f1}}{{\mathrm{d\σ}}_1}=-\tilde{A}{\mathrm{\τ}}_{f1}+\tilde{C}{I}_{f1}---\left(20\right)$

其中，I_f1为第一级快变时标σ₁下的控制电流，下标f1表示系统处在第一级快变时标下；t为第二级慢变时标；

下面取第二个小参数其中k＝min(k₁,k₂)，且两个小参数满足0＜ε₁＜＜ε₂＜＜1，得到系统的第二级慢变流形表达式为

$M_{1,s2}(\mathrm{\θ},0)\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s2}(\mathrm{\θ},\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}},\mathrm{0,0})=-{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{C}{I}_{s2}---\left(28\right)$

其中，I_s2为第二级慢变时标t下的控制电流，下标s2表示系统处在第二级慢变时标下；M_1,s2是第二级慢变流形下的惯性矩阵，G_1,s2是第二级慢变流形下包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；

在边界层上引入第二级快变时标得液压刚柔机械臂系统第二级快变子系统的动力学方程为

$\frac{d^2{y}_{f2}}{{\mathrm{d\σ}}_2^2}=-D_{4,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y){\tilde{K}y}_{f2}+D_{3,s2}(\mathrm{\θ},{\mathrm{\ϵ}}_{2}y){\tilde{A}}^{-1}{\tilde{C}I}_{f2}---\left(31\right)$

其中，I_f2为第二级快变时标σ₂下的控制电流，下标f2表示系统处在第二级快变时标下；y_f2为第二级快变系统状态变量；D_4,s2表示第2级慢变子系统下惯性矩阵逆阵的第4个元素；D_3,s2表示第2级慢变子系统下惯性矩阵逆阵的第3个元素；K_x＝diag(k₁,k₂)，k₁,k₂为柔性臂刚度矩阵K的第4、5维元素，即柔性臂弹性模态系数；

第二步、根据第一步得到的第二级慢变子系统、第二级快变子系统以及第一级快变子系统动力学方程，设计相应的子系统控制模块：

针对第二级慢变子系统，取一阶滑动模态面(e为位置误差)，及二阶滑动模态面设计二阶滑模控制律如式(37)

$I_{s2}={\tilde{C}}^{-1}\tilde{A}[M_{1,s}({\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}}_d+\mathrm{\αe}+\mathrm{\β}\stackrel{\·}{e}+u)+{\tilde{A}}^{-1}\tilde{B}\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+G_{1,s}]---\left(37\right)$

其中，u为控制器中间变量；M_1,s是第1级慢变系统惯性矩阵，G_1,s是第一级慢变系统下包含哥氏力、离心力、重力的非线性项；为关节角期望轨迹的二阶导数；α,β是轨迹位置跟踪误差e及其误差导数的系数矩阵，其均为3阶待定对角矩阵，对角元素为正；

针对第二级快变子系统，取二次型性能指标函数及Ricatti方程 $A_k^{T}P+{\mathrm{PA}}_k-{\mathrm{PB}}_k{R}^{-1}{B}_k^{T}P+Q=0,$ 设计最优控制律如式(41)

$I_{f2}=-K_f{X}_k=-R^{-1}{B}_k^T{\mathrm{PX}}_k---\left(41\right)$

其中，X_k为次快变子系统状态变量；Q和R均为具有相应阶次的正定矩阵；P为Riccati方程(40)的解；B_k为次快变子系统输入矩阵；

针对第一级快变子系统，取滑模面s_f＝e_f及自适应更新律设计自适应滑模控制律如式(50)

$I_{f1}={\tilde{C}}^{-1}[{\stackrel{\·}{\mathrm{\τ}}}_{f1d}+{\tilde{A}}_0{\mathrm{\τ}}_{f1}+\hat{F}+D_{0}E+\mathrm{\ξsgn}\left(s_f\right)]---\left(50\right)$

其中，e_f为快变子系统力矩误差；Λ为已知常值向量，且其元素均为正数；是F的估计值；已知正常数D₀是能量有界随机干扰d(t)的上界；E为向量E＝[1,1,1]^T；ξ为三阶待定对角矩阵，且对角元素均为正数；是快变子系统中的参数摄动和未建模动态的标称值；是期望振动的导数值；

第三步、根据多重时间尺度理论，将第二步得到的各子系统控制器组合得到液压刚柔机械臂组合控制器如式(52)

I＝I_f1+I_s1＝I_f1+I_f2+I_s2  (52)

进而完成基于双参数奇异摄动的液压刚柔机械臂的控制方法。