CN104608771A - 一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法，属于汽车驾驶辅助系统技术领域。该方法包括构建由目标函数及由多个约束条件组成的整型最优控制模型，将整型最优控制模型转化为多段光滑模型：采用Legendre伪谱拼接法对多段光滑模型求解，得到优化的节能加速方式。本发明方法可以作为一种驾驶辅助算法为挡位离散型车辆提供一种提高节能的加速方式。通过仿真计算，在一定条件下，与采用恒定加速度方式相比，本发明优化出的加速方式可以节油24.76％。具有很强的节油能力。

Description

一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法

技术领域

本发明属于汽车驾驶辅助系统技术领域，特别涉及一种挡位离散型车辆节能加速方式的优化计算方法。

背景技术

作为能源消耗大户，在石油资源紧缺的现状下，汽车面临着巨大的节油压力。国务院颁布的《节能与新能源汽车产业发展规划》指出，乘用车平均百公里油耗至2020年须从2010年的7.71L降至5L。严格的法规将极大地促进各类汽车节能技术的发展。目前，主要的提高汽车节油能力的技术领域有四个：更高效的汽车、智能化交通、新能源利用和经济性驾驶。其中，经济性驾驶是一种较为高效的节能驾驶方式。研究表明，节能驾驶方式具有10～15％的节油潜力，这几乎接近混合动力等技术的节油能力，将成为汽车节能减排的重要技术方向。加速过程是一种高能耗且频繁出现的驾驶状态，有研究表明：加速过程和怠/低速过程是导致驾驶员油耗差异的两个最重要原因，因此探索加速过程的节能操作方式对降低行车油耗具有积极意义。

车辆节能加速方式即指确定换挡时刻以及某一具体挡位下最合适的油门开度，然后通过驾驶员操纵换挡杆以及油门踏板来实现。

目前，车辆节能加速方式多基于实验统计分析得到。国内外学者对此作了很多实验方法的研究，得出了包括“激进加速(加速度＞1.5m/s2)影响油耗的显著性指标是正常加速的2.5倍，激进的加速和制动会导致油耗提高30-40％”等结论。但这也反映了该实验方法的弊端，

即无法定量化地表达节油方式，且难以解释内在的节油机理。此外，该实验方法需要投入大量实验成本，且实验结论在不同车型之间无迁移性。

国内外学者典型研究如针对巡航工况和跟车工况方式的优化。一篇最早的研究源于Johns Hopkins大学的Gilbert(1976)。他证明了巡航工况下，周期控制行车节能优于匀速行车节能方式，而后者通常被误认为具有“油耗最优性”。Li等人针对装备CVT(速比连续)型变速器的车辆，提出的最优控制行车的方法为：在跟随匀速行驶的前车时，油耗最优驾驶是一种等周期的“加速-滑行”(PnG，Pulse and Glide)方式，并利用图解法定量地分析了PnG方式的形成原因以及关键参数。也有人利用轮毂试验台验证了该类方式的省油能力，基于该方式的周期切换型的自适应巡航控制器与传统准稳态控制器相比，省油能力达到13％以上。实际上，典型的节能驾驶方式辨识均可构建为一个最优控制模型，包括加速过程，类似研究如：Kuriyama等建立了电动汽车坡道工况下的能耗最优控制模型，采用动态规划法优化出车辆速度和加速曲线；Thomas等建立了交通灯约束下的油耗最优控制模型，通过Dijkstra算法优化得到车辆速度曲线。

目前，对于装备了传统机械式变速器的车辆加速过程中的节能加速方式的理论研究基本空白，一个重要原因是因变速器速比离散，理论或者数值求解困难。也就不能据此开发该类型车辆的节能辅助技术。

发明内容

本发明的目的是为解决装备了传统机械式变速器的车辆加速过程中的节能加速方式的优化问题，提供一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法。本发明通过构建挡位离散型车辆的节能最优加速模型，结合伪谱法提出通用的数值求解方法，并对加速工况进行优化和分析，形成定量化的节能加速方式，具有很强的节油能力。

本发明提出的一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法，针对MT型车辆加速过程的优化，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)构建整型最优控制模型的目标函数如式(1)所示：

式中：J为当量油耗，k_s为距离修正系数，s_f为加速距离，t_f为加速终止时间，T_e为发动机转矩，w_e为发动机转速，为发动机瞬时喷油率；

2)构建该最优控制模型的多个约束条件：

车辆行驶距离与速度关系约束如式(2)所示：

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(2\right)$

式(2)中：s为车辆行驶距离，s上方的小点为求导符号，v为车辆行

驶速度；

车辆行驶速度约束如式(3)所示：

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_0{\mathrm{\η}}_T}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}{\mathrm{Mr}}_w}{i}_g{T}_{\mathrm{ed}}-\frac{k_a{v}^2+k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M},---\left(3\right)$

式(3)中：i₀为主减速比，i_g为变速器速比，r_w为车轮半径，η_T为传动系传动总效率，δ_ig为速比为i_g时的旋转质量系数，M为整车质量，T_ed为发动机动态有效输出力矩，k_f为滚动阻力，k_a为风阻系数；

发动机动态有效输出力矩约束，如式(4)所示：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{{\mathrm{dw}}_e}{\mathrm{dt}}),---\left(4\right)$

式中：γ_d为动态修正系数，取为γ_d＝0.003s²/rad；

发动机转速约束如式(5)-(7)所示：

w_e＝k_wvi_g    (5)

$k_w=60\×\frac{v}{2{\mathrm{\πr}}_w}{i}_g{i}_0---\left(6\right)$

式中：为v_eco下发动机的喷油率，v_eco为车辆匀速行驶百公里

油耗最低对应的速度；且满足式(8)-(10)：

w_emin≤w_e≤w_emax，    (8)

0＜T≤T_max(w_e)，    (9)

i_g∈{i_g1，i_g2，i_g3，i_g4，i_g5}.    (10)

约束条件的状态变量为距离s、速度v，记为x＝[s，v]^T，控制变量为发动机力矩T_e、变速器速比i_g，记为u＝[T_e，i_g]^T；

4)基于伪谱法精确求解式(1)-(10)组成的最优控制模型，求解出的挡位的切换时刻T₁，T₂，…，T_Q以及发动机力矩具体包括：

31)将整型最优控制模型转化为多段光滑模型：

定义i_gv，min和i_gv，max表示速度v可以对应的最低和最高挡位，首先确定加速起始挡位：设加速起始挡位为i_gs，加速终止挡位为i_ge，其中加速起始挡位i_gs如式(11)

式(11)表示：不可退挡时，起始挡位i_gs为起始时刻的原挡位i_g(t₀)；可退挡时，起始挡位为该速度对应的最低挡位；

加速终止挡位i_ge取为加速终止时速度对应的最大挡位i_gvf，max；

确定多段光滑模型的分段数和分段点：分段数为i_ge-i_gs+1段，记为Q段，存在Q-1个时间分段点，记为T₁，T₂，…，T_Q-1；将加速的初始时间t₀和加速的终止时间t_f记录为T₀和T_Q，其中时间分段点满足约束T₀＜T₁＜…＜T_Q，设置任意两时间分段点的间距大于设定的参数δ_t，即

T_q-T_q-1≥δ_t，q∈[1，Q]∩Z⁺   (12)：

32)采用Legendre伪谱拼接法对多段光滑模型求解：

首先对多段光滑模型进行时域转化：将各段的时间域[T_q-1，T_q]统一转化为标准区间[-1，1]如式(13)所示，用以与Legendre正交多项式的定义区间一致：

$\mathrm{\τ}=\frac{2t-(T_q+T_{q-1})}{T_q-T_{q-1}},\mathrm{\τ}\∈[-\mathrm{1,1}].---\left(13\right)$

再对式(13)进行配点与离散化：对各段设置不同的配点个数，记为N_q+1，每段内配点记为τ_q，i，其中i＝0，1，…，N_q；q＝1，2，…，Q；将各段内的状态变量距离s、车速v在LGL点离散化为式(14)：

$x_q=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{q,0}& S_{q,1}& ...& S_{q,N_q}\\ V_{q,0}& V_{q,1}& ...& V_{q,N_q}\end{array}\right]---\left(14\right)$

将控制变量发动机转矩T_e离散化为式(15)：

式(14)和(15)所示的状态和控制变量，其动态曲线x_q(τ)和u_q(τ)通过Lagrange插值多项式逼近如式(16)和(17)所示：

$x_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)X_{q,i};---\left(16\right)$

$u_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)U_{q,i}.---\left(17\right)$

其中，L_q，i(τ)为Lagrange插值基函数：

$L_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{N_q}{\mathrm{\Π}}}\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}{{\mathrm{\τ}}_{q,i}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}.---\left(18\right)$

对状态的微分运算转化为对插值基函数的微分运算如式(19)：

${\stackrel{\·}{x}}_q\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\·}{L}}_{q,i}\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)X_{q,i}=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{X}_{q,i}.---\left(19\right)$

其中，k＝0，1，2，…，N，D^q为微分矩阵，表示各Lagrange基函数在各LGL配点处的微分值，如式(20)所示：

针对式(2)-(7)所述的约束方程，每段内的速比i_g为常数，对发动机转速的微分转化为对速度的微分，即：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{{\mathrm{dw}}_e}{\mathrm{dt}})=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i}_g\stackrel{\·}{v}).---\left(21\right)$

对式(2)-(7)及(21)进一步化简整理得

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(22\right)$

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_g{i}_0{\mathrm{\η}}_T{T}_e/r_w-k_a{v}^2-k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M+i_0{\mathrm{\η}}_T{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i_g}^2{T}_e/r_w}.---\left(23\right)$

式(22)、(23)转化为在配点处的等式约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

最后，对式(1)所示的目标函数进行转化为式(26)：

其中，为发动机转速的离散值，w为积分权重，定义为：

$w_{q,i}={\∫}_{-1}^1{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}=\frac{2}{N_q(N_q+1)P_{N_q}^2\left({\mathrm{\τ}}_{q,i}\right)};$

即经过以上拼接法，最优控制模型式(1)-(10)转化为以下形式：

目标函数：

服从以下约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

且满足式(27)-(29)：

T_q-T_q-1≥δ_t.   (29)

其中，k＝0，1，2，…，N；待优化变量为配点处的距离S_q，k、速度V_q，k、发动机输出力矩以及挡位的切换时刻T₁，T₂，…，T_Q。

通过优化求解出的挡位的切换时刻T₁，T₂，…，T_Q以及发动机力矩确定换挡时刻和相应的油门开度(与发动机力矩正相关)，即确定了加速过程中何时换挡，以及某一特定挡位下所需的油门开度。由此构成优化的节能加速操作方式。

本发明的特点与效果：

本发明的挡位离散型车辆节能加速方式的伪谱法优化方法可以定量计算出一种挡位离散型车辆的节能加速方式，与传统求解方法相比，本发明方法具有明显较高的收敛速度和精确度。

本发明的挡位离散型车辆节能加速方式的伪谱法优化方法不仅可求解能耗最优问题，亦可求解时间最优问题，实际上，当问题的性能函数发生变化或者增加新的约束时，本方法仍然适用，是这类问题的一种通用的数值解法。

应用到实际中，本发明方法可以作为一种驾驶辅助算法为挡位离散型车辆提供一种提高节能的加速方式。通过仿真计算，在一定条件下，与采用恒定加速度方式相比，本发明优化出的加速方式可以节油24.76％。具有很强的节油能力。

附图说明

图1为本发明方法的总体流程框图。

具体实施方式

本发明提出的基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法结合附图及实施例详细说明如下：

本发明的方法针对MT型车辆，加速过程的优化，该方法具体实施方式总体流程如图1所示，包括以下步骤：

1)构建整型最优控制模型的目标函数如式(1)所示：

式中：J为当量油耗，k_s为距离修正系数，s_f为加速距离，t_f为加速终止时间，T_e为发动机转矩，w_e为发动机转速，为发动机瞬时喷油率；

2)构建该最优控制模型的多个约束条件：

车辆行驶距离与速度关系约束如式(2)所示：

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(2\right)$

式(2)中：s为车辆行驶距离，s上方的小点为求导符号，v为车辆行

驶速度；

车辆行驶速度约束如式(3)所示：

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_0{\mathrm{\η}}_T}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}{\mathrm{Mr}}_w}{i}_g{T}_{\mathrm{ed}}-\frac{k_a{v}^2+k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M},---\left(3\right)$

式(3)中：i₀为主减速比，i_g为变速器速比，r_w为车轮半径，η_T为传动系传动总效率，δ_ig为速比为i_g时的旋转质量系数，M为整车质量，T_ed为发动机动态有效输出力矩，k_f为滚动阻力，k_a为风阻系数；

发动机动态有效输出力矩约束，如式(4)所示：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{{\mathrm{dw}}_e}{\mathrm{dt}}),---\left(4\right)$

式中：γ_d为动态修正系数，取为

为发动机转速约束如式(5)-(7)所示：

w_e＝k_wvi_g，    (5)

$k_w=60\×\frac{v}{2{\mathrm{\πr}}_w}{i}_g{i}_0---\left(6\right)$

式中：为v_eco下发动机的喷油率，v_eco为车辆匀速行驶百

公里油耗最低对应的速度；且满足式(8)-(10)：

w_emin≤w_e≤w_emax，    (8)

0＜T≤T_max(w_e)，    (9)

i_g∈{i_g1，i_g2，i_g3，i_g4，i_g5}.    (10)

约束条件的状态变量为距离s、速度v，记为x＝[s，v]^T，控制变量为发动机力矩T_e、变速器速比i_g，记为u＝[T_e，i_g]^T。；

5)基于伪谱法精确求解式(1)-(10)组成的最优控制模型，具体包括：

31)将整型最优控制模型转化为多段光滑模型：

定义i_gv，min和i_gv，max表示速度v可以对应的最低和最高挡位，首先确定加速起始挡位，包括两种情况：

1)不允许退挡(即加速过程只能从当前挡位i_g(t₀)继续升挡)；

2)允许退挡(由于不能确定退至何挡最优，因此设定均先退到最低挡位)；

因此，设加速起始挡位为i_gs，加速终止挡位为i_ge，其中加速起始挡位i_gs如式(11)

式(11)表示：不可退挡时，起始挡位i_gs为起始时刻的原挡位i_g(t₀)，；可退挡时，起始挡位为该速度对应的最低挡位；

再确定加速终止挡位i_ge，加速终止挡位i_ge取为加速终止时速度对应的最大挡位

确定多段光滑模型的分段数和分段点：分段数为i_ge-i_gs+1段，记为Q段，存在Q-1个时间分段点，记为T₁，T₂，…，T_Q-1；将加速的初始时间t₀和加速的终止时间t_f记录为T₀和T_Q，其中时间分段点满足约束T₀＜T₁＜…＜T_Q，为保证数值稳定，设置任意两时间分段点的间距大于设定的参数δ_t，即

T_q-T_q-1≥δ_t，q∈[1，Q]∩Z⁺   (12)

式(12)中，δ_t可以取值δ_t＝0.25。

32)采用Legendre伪谱拼接法对多段光滑模型求解：

首先对多段光滑模型进行时域转化：将各段的时间域[T_q-1，T_q]统一转化为标准区间[-1，1]如式(13)所示，用以与Legendre正交多项式的定义区间一致：

$\mathrm{\τ}=\frac{2t-(T_q+T_{q-1})}{T_q-T_{q-1}},\mathrm{\τ}\∈[-\mathrm{1,1}].---\left(13\right)$

再对式(13)进行配点与离散化：(Legendre伪谱法采用LGL配点，为Legendre正交多项式一阶导数的根加上-1和1两点，等价于多项式的根，共N+1个配点。)对各段设置不同的配点个数，记为N_q+1，每段内配点记为τ_q，i，其中i＝0，1，…，N_q；q＝1，2，…，Q。；将各段内的状态变量距离s、车速v在LGL点离散化为式(14)：

$x_q=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{q,0}& S_{q,1}& ...& S_{q,N_q}\\ V_{q,0}& V_{q,1}& ...& V_{q,N_q}\end{array}\right]---\left(14\right)$

将控制变量发动机转矩T_e离散化为式(15)：

式(14)和(15)所示的状态和控制变量，其动态曲线x_q(τ)和u_q(τ)通过Lagrange插值多项式逼近如式(16)和(17)所示：

$x_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)X_{q,i};---\left(16\right)$

$u_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)U_{q,i}.---\left(17\right)$

其中，L_q，i(τ)为Lagrange插值基函数：

$L_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{N_q}{\mathrm{\Π}}}\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}{{\mathrm{\τ}}_{q,i}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}.---\left(18\right)$

对状态的微分运算转化为对插值基函数的微分运算如式(19)：

${\stackrel{\·}{x}}_q\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\·}{L}}_{q,i}\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)X_{q,i}=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{X}_{q,i}.---\left(19\right)$

其中，k＝0，1，2，…，N，D^q为微分矩阵，表示各Lagrange基函数在各LGL配点处的微分值，如式(20)所示：

针对式(2)-(7)所述的约束方程，每段内的速比i_g为常数，对发动机转速的微分转化为对速度的微分，即：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{d{w}_e}{\mathrm{dt}})=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i}_g\stackrel{\·}{v})---\left(21\right)$

对式(2)-(7)及(21)进一步化简整理得

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(22\right)$

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_g{i}_0{\mathrm{\η}}_T{T}_e/r_w-k_a{v}^2-k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M+i_0{\mathrm{\η}}_T{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i_g}^2{T}_e/r_w}.---\left(23\right)$

式(22)、(23)转化为在配点处的等式约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

最后，对式(1)所示的目标函数进行转化(目标函数的积分项则可以通过数值积分进行逼近。加速过程总油耗为各段油耗的总和，积分项可通过Gauss-Lobatto积分方法计算)为式(26)：

其中，为发动机转速的离散值，w为积分权重，定义为：

$w_{q,i}={\∫}_{-1}^1{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}=\frac{2}{N_q(N_q+1)P_{N_q}^2\left({\mathrm{\τ}}_{q,i}\right)};$

即经过以上拼接法分析，最优控制模型式(1)-(10)转化为以下形式：目标函数：

服从以下约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

且满足式(27)-(29)：

T_q-T_q-1≥δ_t.    (29)

其中，k＝0，1，2，…，N。待优化变量为配点处的距离S_q，k、速度V_q，k、发动机输出力矩以及挡位的切换时刻T₁，T₂，…，T_Q；

求解式(24)-(29)得到优化的车辆节能加速方式(本发明求解方法本质上是一个高维稀疏非线性规划问题，待优化变量个数为Q+3∑_q(N_q+1)。该类问题的求解已较成熟，可以进行精确求解。)。

通过优化求解出的挡位的切换时刻T₁，T₂，…，T_Q以及发动机力矩确定换挡时刻和相应的油门开度(与发动机力矩正相关)，即确定了加速过程中何时换挡，以及某一特定挡位下所需的油门开度。由此构成优化的节能加速操作方式。

Claims (1)

1.一种基于伪谱法的车辆节能加速方式的优化方法，针对MT型车辆加速过程的优化，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)构建整型最优控制模型的目标函数如式(1)所示：

式中：J为当量油耗，k_s为距离修正系数，s_f为加速距离，t_f为加速终止时间，T_e为发动机转矩，w_e为发动机转速，为发动机瞬时喷油率；

2)构建该最优控制模型的多个约束条件：

车辆行驶距离与速度关系约束如式(2)所示：

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(2\right)$

式(2)中：s为车辆行驶距离，s上方的小点为求导符号，v为车辆行驶速度；

车辆行驶速度约束如式(3)所示：

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_0{\mathrm{\η}}_T}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}{\mathrm{Mr}}_w}{i}_g{T}_{\mathrm{ed}}-\frac{k_a{v}^2+k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M},---\left(3\right)$

式(3)中：i₀为主减速比，i_g为变速器速比，r_w为车轮半径，η_T为传动系传动总效率，δ_ig为速比为i_g时的旋转质量系数，M为整车质量，T_ed为发动机动态有效输出力矩，k_f为滚动阻力，k_a为风阻系数；

发动机动态有效输出力矩约束,如式(4)所示：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{{\mathrm{dw}}_e}{\mathrm{dt}}),---\left(4\right)$

式中：γ_d为动态修正系数，取为γ_d＝0.0033²/rad；

发动机转速约束如式(5)-(7)所示：

w_e＝k_wvi_g    (5)

$k_w=60\×\frac{v}{2\mathrm{\π}{r}_w}{i}_g{i}_0---\left(6\right)$

式中：为v_eco下发动机的喷油率，v_eco为车辆匀速行驶百公里油耗最低对应的速度；且满足式(8)‐(10)：

w_emin≤w_e≤w_emax,    (8)

0＜T≤T_max(w_e),    (9)

i_g∈{i_g1,i_g2,i_g3,i_g4,i_g5}.    (10)

约束条件的状态变量为距离s、速度v，记为x＝[s,v]^T，控制变量为发动机力矩T_e、变速器速比i_g，记为u＝[T_e,i_g]^T；

3)基于伪谱法精确求解式(1)-(10)组成的最优控制模型，求解出的挡位的切换时刻T₁,T₂,…,T_Q以及发动机力矩具体包括：

31)将整型最优控制模型转化为多段光滑模型：

定义i_gv,min和i_gv,max表示速度v可以对应的最低和最高挡位，首先确定加速起始挡位：

设加速起始挡位为i_gs，加速终止挡位为i_ge，其中加速起始挡位i_gs如式(11)

式(11)表示：不可退挡时，起始挡位i_gs为起始时刻的原挡位i_g(t₀)；可退挡时，起始挡位为该速度对应的最低挡位；

加速终止挡位i_ge取为加速终止时速度对应的最大挡位

确定多段光滑模型的分段数和分段点：分段数为i_ge-i_gs+1段，记为Q段，存在Q-1个时间分段点，记为T₁,T₂,…,T_Q-1；将加速的初始时间t₀和加速的终止时间t_f记录为T₀和T_Q，其中时间分段点满足约束T₀＜T₁＜…＜T_Q，设置任意两时间分段点的间距大于设定的参数δ_t，即

T_q-T_q-1≥δ_t,q∈[1,Q]∩Z⁺    (12)；

32)采用Legendre伪谱拼接法对多段光滑模型求解：

首先对多段光滑模型进行时域转化：将各段的时间域[T_q-1,T_q]统一转化为标准区间[-1,1]如式(13)所示，用以与Legendre正交多项式的定义区间一致：

$\mathrm{\τ}=\frac{2t-(T_q+T_{q-1})}{T_q-T_{q-1}},\mathrm{\τ}\∈[-\mathrm{1,1}].---\left(13\right)$

再对式(13)进行配点与离散化：对各段设置不同的配点个数，记为N_q+1,每段内配点记为τ_q,i，其中i＝0,1,…,N_q；q＝1,2,…,Q；将各段内的状态变量距离s、车速v在LGL点离散化为式(14)：

$X_q=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{q,0}& S_{q,1}& ...& S_{q,N_q}\\ V_{q,0}& V_{q,1}& ...& V_{q,N_q}\end{array}\right]---\left(14\right)$

将控制变量发动机转矩T_e离散化为式(15)：

式(14)和(15)所示的状态和控制变量，其动态曲线x_q(τ)和u_q(τ)通过Lagrange插值多项式逼近如式(16)和(17)所示:

$x_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)X_{q,i};---\left(16\right)$

$u_q\left(\mathrm{\τ}\right)\≈\underset{i=0}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)U_{q,i}.---\left(17\right)$

其中，L_q,i(τ)为Lagrange插值基函数:

$L_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)=\underset{j=0,j\≠i}{\overset{N_q}{\mathrm{\Π}}}\frac{\mathrm{\τ}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}{{\mathrm{\τ}}_{q,i}-{\mathrm{\τ}}_{q,j}}---\left(18\right)$

对状态的微分运算转化为对插值基函数的微分运算如式(19)：

${\stackrel{\·}{x}}_q\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{\stackrel{\·}{L}}_{q,i}\left({\mathrm{\τ}}_{q,k}\right)X_{q,i}=\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{X}_{q,i}.---\left(19\right)$

其中，k＝0,1,2,…,N,D^q为微分矩阵，表示各Lagrange基函数在各LGL配点处的微分值，如式(20)所示：

针对式(2)-(7)所述的约束方程，每段内的速比i_g为常数，对发动机转速的微分转化为对速度的微分，即：

$T_{\mathrm{ed}}=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d\frac{{\mathrm{dw}}_e}{\mathrm{dt}})=T_e(1-{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i}_g\stackrel{\·}{v}).---\left(21\right)$

对式(2)-(7)及(21)进一步化简整理得

$\stackrel{\·}{s}=v,---\left(22\right)$

$\stackrel{\·}{v}=\frac{i_g{i}_0{\mathrm{\η}}_T{T}_e/r_w-k_a{v}^2-k_f}{{\mathrm{\δ}}_{i_g}M+i_0{\mathrm{\η}}_T{\mathrm{\γ}}_d{k}_w{i_g}^2{T}_e/r_w}.---\left(23\right)$

式(22)、(23)转化为在配点处的等式约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

最后，对式(1)所示的目标函数进行转化为式(26)：

其中，为发动机转速的离散值，为积分权重，定义为：

$w_{q,i}={\∫}_{-1}^1{L}_{q,i}\left(\mathrm{\τ}\right)\mathrm{d\τ}=\frac{2}{N_q(N_q+1)P_{N_q}^2\left({\mathrm{\τ}}_{q,i}\right)}.;$

即经过以上拼接法，最优控制模型式(1)-(10)转化为以下形式：

目标函数：

服从以下约束：

$\underset{i=0}{\overset{N_q}{\mathrm{\Σ}}}{D}_{\mathrm{ki}}^q{S}_{q,i}=\frac{T_q-T_{q-1}}{2}{V}_{q,k},---\left(24\right)$

且满足式(27)‐(29)：

T_q-T_q-1≥δ_t.    (29)

其中，k＝0,1,2,…,N。；待优化变量为配点处的距离S_q,k、速度V_q,k、发动机输出力矩以及挡位的切换时刻T₁,T₂,…,T_Q；。