CN103529706A - 一种误差以固定时间收敛的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种使跟踪误差以固定时间收敛的控制方法，属于控制技术领域。首先建立二阶不确定系统的动态模型，设计时变滑模函数和非奇异终端滑模函数，分别求解得到时变滑模控制量和非奇异终端滑模控制量，输入建立的系统模型，使得误差在期望的时刻收敛为0，并且结合非奇异终端滑模控制技术，设计控制量使得剩余时间内误差保持为零。本方法期望的误差收敛时间可以事先给定，系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性。

Description

一种误差以固定时间收敛的控制方法

技术领域

本发明涉及一种使跟踪误差以固定时间收敛的控制方法，属于控制技术领域。

背景技术

作为鲁棒控制的一类基本方法，滑模控制技术具备很多优点，例如：对参数变化不敏感、能抵抗外界扰动以及快速动态响应等。然而，传统的滑模控制仅能够保证系统渐进稳定，即跟踪误差在无穷时间收敛至零。在实时控制操作中，无限时间收敛特性往往是不够的。

有限时间收敛能够提供更加优越的特性，例如：更快的收敛速率，更高的精度，对不确定性和外部扰动更好的鲁棒性等。为了实现系统动态的有限时间收敛，有学者提出了终端滑模控制方法。该方法能够使得系统动态到达滑模面后误差在有限时间内收敛到0。在该理论的基础上，学者们又提出了快速终端滑模控制方法，使得误差收敛速度进一步得到提升。然而，在终端滑模控制过程中可能会遇到奇异问题。为了克服这个缺陷，学者们提出了非奇异终端滑模控制技术。该方法能够在不添加额外过程的情况下使得奇异问题得到解决。近年来，很多学者将人工智能方法与终端滑模控制方法进行了结合，从而在保持了终端滑模控制方法优势的同时，使得抖振现象得到了很好的抑制。

有限时间控制问题已经得到了国内外学者的广泛关注，然而，对于固定时间收敛的控制问题，相关研究却并不多。根据作者的了解，Laghrouche等人发表的一篇文献涉及该领域内容。相应的控制器设计分为两个部分，一部分是积分滑模控制，用来抵消聚合扰动；另一部分是一类最优反馈控制，保证误差固定时间收敛。然而，该控制律仅是针对单入单出系统设计的。对于多入多出系统却无能为力。因此，需要提出一种简单易行且符合实际情况的控制方法来解决该领域的问题。

发明内容

本发明为解决误差固定时间收敛的控制问题，提出了一种基于滑模控制技术的使得误差以固定时间收敛的控制方法，使得误差在期望的时刻收敛为0，并且结合非奇异终端滑模控制技术，设计控制量使得剩余时间内误差保持为零。

本发明的技术方案具体如下：

步骤1，建立二阶不确定系统的动态模型：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f\left(x\right)+g\left(x\right)+b\left(x\right)u$

其中，x＝[x₁,x₂]^T为系统状态向量，f(x)和b(x)≠0为关于x的光滑的非线性函数，g(x)代表不确定性和外部扰动且满足||g(x)||≤l_g，其中l_g＞0，u为系统控制输入。系统的参考轨迹为x_1d，期望的收敛时间为t_f。

步骤2，设计有限时间控制律

设计的目标为：系统状态从任意初值出发，在期望的时刻（t_f）跟踪上参考轨迹，并在该时刻之后，跟踪误差一直保持为0。即

t≥t_f。定义跟踪误差如下：

$\begin{array}{cc}{\tilde{x}}_1=x_1-x_{1d}& {\tilde{x}}_2=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\end{array}$

步骤2.1，设计时变滑模函数

设计时变滑模函数如下：

$S_1=(t_f-t){\tilde{x}}_2+n(1-\frac{1}{e^{{\tilde{x}}_1}})+\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{At}}^2+\mathrm{Bt}+C& t\≤T\\ 0& t>T^{\′}\end{array}\right.,0\≤t\≤t_f$

其中n＞2,0＜T＜t_f，且A,B,C满足如下等式：

$C=-t_f{\tilde{x}}_2\left(0\right)-n(1-\frac{1}{e^{{\tilde{x}}_1\left(0\right)}}),A=\frac{C}{T^2},B=-2\mathrm{AT}$

步骤2.2，求解得到时变滑模控制量

求解控制量，使得系统状态在t_f时刻跟踪上参考轨迹；用Lyapunov方法求解时变滑模函数，得到如下时变滑模控制量：

$u_1=b^{-1}\left(x\right)[\frac{1}{t_f-t}({\tilde{x}}_2-\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}-\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.)-f\left(x\right)+{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)],0\≤t\≤t_f$

其中η₁＞l_g。

步骤2.3，设计非奇异终端滑模函数

设计非奇异终端滑模函数如下：

$S_2={\tilde{x}}_1+K{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left({\tilde{x}}_2\right)t>t_f$

其中K＞0,1＜β＜2。

步骤2.4，求解得到非奇异终端滑模控制量

求解控制量，使得跟踪误差在t＞t_f时间内保持为0；用Lyapunov方法求解非奇异终端滑模函数，得到相应的非奇异终端滑模控制量：

$u_2=-b^{-1}\left(x\right)(\frac{{\tilde{x}}_2}{\mathrm{K\β}{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}-1}}+f\left(x\right)-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}+{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}\left(S_2\right)),t>t_f$

其中，η₂＞l_g。

步骤3，将步骤2得到的控制量u₁和u₂（其中在0≤t≤t_f时间内选择u₁，在t＞t_f时间内选择u₂）输入步骤1建立的系统模型，即可使得跟踪误差在期望的时间收敛到0。

有益效果

本发明有三方面优点：1.期望的误差收敛时间可以事先给定，2.误差的收敛速率可通过调节参数n的值来实现，n值越大，误差收敛得越快。3.系统状态一直处于滑模面上，受控的系统对参数不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性。

附图说明

图1为本发明方法的流程图；

图2为具体实施方式中系统状态x₁的跟踪曲线；

图3为具体实施方式中系统状态x₂的跟踪曲线；

图4为具体实施方式中控制指令响应曲线；

图5为具体实施方式中滑模函数曲线；

图6为具体实施方式中不同n值情况下的误差收敛曲线；

具体实施方式

为了更好的说明本发明的目的和优点，下面结合附图和实例对技术方案做进一步详细说明。

1.有限时间控制律设计。

步骤1.建立二阶不确定系统的动态模型：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_1=x_2\\ {\stackrel{\·}{x}}_2=f\left(x\right)+g\left(x\right)+b\left(x\right)u\end{array}---\left(1\right)$

其中，x＝[x₁,x₂]^T为系统状态向量，f(x)和b(x)≠0为关于x的平滑的非线性函数，g(x)代表不确定性和外部扰动且满足||g(x)||≤l_g，其中l_g＞0，u为系统控制输入。假设系统的参考轨迹为x_1d，期望的收敛时间为t_f。

步骤2，设计有限时间控制律

设计的目标为：系统状态从任意初值出发，在期望的时刻（t_f）跟踪上参考轨迹，并在该时刻之后，跟踪误差一直保持为0。即

t≥t_f。定义跟踪误差如下：

$\begin{array}{cc}{\tilde{x}}_1=x_1-x_{1d}& {\tilde{x}}_2=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\end{array}---\left(2\right)$

首先，采用时变滑模控制方法设计控制律，使得误差在期望的时间收敛到0；然后应用非奇异终端滑模控制方法使得跟踪误差在剩余的时间内保持为0。

步骤2.1时变滑模控制律设计

设计时变滑模函数如下：

S₁＝σ(t)+α(t) 0≤t≤t_f    （3）

其中

n＞2,0＜T＜t_f，α(t)为时变项，它的初始值α₀和末值α_f需满足入下关系：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\α}}_0=-\mathrm{\σ}\left(0\right)\\ {\mathrm{\α}}_f=0\\ {\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_f=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

选择α(t)为如下的截断函数。

$\mathrm{\α}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{At}}^2+\mathrm{Bt}+C& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中T为切换时间。根据式（5），A,B,C可以由下式决定：

$C=-\mathrm{\σ}\left(0\right),A=\frac{C}{T^2},B=-2\mathrm{AT}---\left(6\right)$

基于时变滑模函数（3），设计如下时变滑模控制律：

$u_1=b^{-1}\left(x\right)[\frac{1}{t_f-t}({\tilde{x}}_2-\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}-\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.)-f\left(x\right)+{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)],0\≤t\≤t_f---\left(7\right)$

其中η₁＞l_g，n＞2，0＜T＜t_f。

定理1.针对式（1）所表示的不确定二阶系统，选择式（7）所示的时变滑模控制律，跟踪误差

和将会在t_f时刻同时收敛到0。

证明：定义如下正定的Lyapunov函数：

$V_1=\frac{1}{2}{S}_1^2---\left(8\right)$

对式（8）进行微分，可以得到：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_1=S_1{\stackrel{\·}{S}}_1\\ =S_1(\stackrel{\·}{\mathrm{\σ}}+\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}\left(t\right))\\ =S_1[-{\tilde{x}}_2+(t_f-t){\stackrel{\·}{x}}_2+\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}+\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.\\ =S_1[-{\tilde{x}}_2+(t_f-t)(f\left(x\right)-g\left(x\right)+b\left(x\right)u-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d})+\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}+\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.\end{array}----\left(9\right)$

然后，将控制律式（7）带入式（9），可以得到：

${\stackrel{\·}{V}}_1=S_1(t_f-t)(-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)+g\left(x\right))\≤-(t_f-t)({\mathrm{\η}}_1-l_g)\left|S_1\right|\≤0---\left(10\right)$

显然，对于任意的S₁(t)均有

非正，因此，得到V≤V(0)。由于滑模函数初值S₁(0)＝0，因此得到V(0)＝0。则V₁≤0。另一方面，由式（8）可知，对于任意S₁(t)，均有V₁≥0。综上所述，对于t∈[0,t_f]，有V₁≡0。故有S₁≡0。由于在T≤t≤t_f时α(t)＝0，因此，在该段时间内有σ(t)＝0。

由σ(t)＝0可以得到如下关系式：

${\tilde{x}}_2=\frac{d{\tilde{x}}_1}{\mathrm{dt}}=-\frac{e^{{\tilde{x}}_1}-1}{e^{{\tilde{x}}_1}}\frac{n}{t_f-t}---\left(11\right)$

经整理可得：

$\frac{e^{{\tilde{x}}_1}}{e^{{\tilde{x}}_1}-1}d{\tilde{x}}_1=-\frac{n}{t_f-t}\mathrm{dt}---\left(12\right)$

假设初始状态为

对上式等式两边进行积分可得

$e^{{\tilde{x}}_1}=1+\frac{e^{{\tilde{x}}_{1r}}-1}{{(t_f-t_1)}^n}{(t_f-t)}^n---\left(13\right)$

令

可知b为常数。由式（13）可以推得和

的解析解如下：

$\left\{\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1=\ln (1+b{(t_f-t)}^n)\\ {\tilde{x}}_2=\frac{-\mathrm{bn}{(t_f-t)}^{n-1}}{1+b{(t_f-t)}^n}\end{array}\right.---\left(14\right)$

由于n＞2，由式（14）可以看出，

和

将会在t＝t_f时刻收敛到0。

证毕。

从式（7）可以看出，t_f-t出现在控制量的分母位置上。因此，在t_f时刻将会引起奇异。在该时刻，式（7）可等效的表示为：

$u_1=b^{-1}\left(x\right)[\frac{1}{t_f-t}({\tilde{x}}_2-\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}})-f\left(x\right)+{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)]---\left(15\right)$

由于此时满足式（14），将该结果带入式（15），可以得到

从式（16）可以看出，只要n值大于2，奇异问题就避免了。

随着时间接近t_f，

和

的轨迹将如式（14）所示。因此，容易的到下述等式：

$\left\{\begin{array}{c}\underset{t\→t_f}{\lim }{\tilde{x}}_1=\underset{t\→t_f}{\lim }\ln (1+b{(t_f-t)}^n)=b{(t_f-t)}^n\\ \underset{t\→t_f}{\lim }{\tilde{x}}_2=\underset{t\→t_f}{\lim }\frac{-\mathrm{bn}{(t_f-t)}^{n-1}}{1+b{(t_f-t)}^n}=-\mathrm{bn}{(t_f-t)}^{n-1}\end{array}\right.---\left(17\right)$

因此，在接近t_f时刻时，

和

有着特定的轨迹。进一步分析可知，误差的收敛速率可以通过调节参数n来获得。n越大，收敛速度越快。

由式（14）可以看出，在t＞t_f时，跟踪误差将会从零开始随着时间增长而增大。因此需要设计另一种控制律使得跟踪误差保持为零。

步骤2.2终端滑模控制律设计

设计非奇异终端滑模函数如下：

$S_2={\tilde{x}}_1+K{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{p_1/p_2}\mathrm{sgn}\left({\tilde{x}}_2\right)---\left(18\right)$

其中K＞0，p₁,p₂为正奇数且满足1＜p₁/p₂＜2。为了方便表述，将p₁/p₂用β表示。将式（18）微分可得

${\stackrel{\·}{S}}_2={\tilde{x}}_2+\mathrm{K\β}{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}-1}{\stackrel{\·}{\tilde{x}}}_2---\left(19\right)$

由于1＜β＜2，且在t＝t_f时刻

和

均等于0，因此，由式（18）和式（19）可以看出，

再考虑式（3），显然S₁(t_f)＝0。对S₁求导得到：

${\stackrel{\·}{S}}_1=-{\tilde{x}}_2+(t_f-t){\stackrel{\·}{\tilde{x}}}_2+\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}+\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.---\left(20\right)$

由

等于0，显然有因此，在t_f时刻，有

因此，所设计的两个滑模面S₁和S₂在t_f时刻平滑相接。

针对设计的非奇异终端滑模函数（18），构造如下控制律：

$u_2=b^{-1}\left(x\right)(-\frac{{\tilde{x}}_2}{\mathrm{K\β}{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}-1}}-f\left(x\right)+{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}\left(S_2\right))---\left(21\right)$

其中η₂＞l_g。

定理2.对于非线性二阶系统（1），若当t∈[0,t_f]时，采用式（7）所示的时变滑模控制律，当t＞t_f时，采用式（21）所示的非奇异终端滑模控制律，则可得到以下结论：

（1）受控系统对模型不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性；

（2）系统跟踪误差将于t_f时刻收敛并在此之后一直保持为零。

证明：定义如下正定的Lyapunov函数

$V_2=\frac{1}{2}{S}_2^2---\left(22\right)$

将V₂进行微分并将式（21）带入，得到：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{V}}_2=S_2({\tilde{x}}_2+\mathrm{K\β}{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}-1}(f\left(x\right)+g\left(x\right)+b\left(x\right)u-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}))\\ =S_2(-{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}\left(S_2\right)+g\left(x\right))\\ \≤-({\mathrm{\η}}_2-l_g)\left|S_2\right|\≤0\end{array}---\left(23\right)$

与定理1的证明类似，可以推得t＞t_f时间内，V₂≡0，故有S₂≡0。由于定理1证明了在t∈[0,t_f]时间段内，由S₁≡0，因此可以得出系统状态一直处于滑模面上，受控系统对模型不确定性和外部扰动具有全局鲁棒性。

由S₂≡0可得到下式：

${\tilde{x}}_2=-K_1{\tilde{x}}_1^{{\mathrm{\β}}_1}---\left(24\right)$

其中β₁＝1/β，

在其他文献中已经证明了

为式（24）的终端吸引子。考虑到t＝t_f时刻，有

成立，则在此之后，和

将会保持为零。

证毕。

虽然在整个控制阶段采用了两种不同的控制策略，然而若n＞2成立，在控制策略切换时刻（即t_f），控制指令时连续的。具体原因如下所述。在t_f时刻，若n＞2成立，则式（7）可以简化为

$u_1=b^{-1}\left(x\right)({\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-f\left(x\right))---\left(25\right)$

在该时刻，有1＜γ＜2且故式（21）可简化为

$u_2=b^{-1}\left(x\right)({\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-f\left(x\right))---\left(26\right)$

显然，u₁(t_r)＝u₂(t_r)。

由于系统状态从开始一直处于滑模面上，全局抖振问题将不可避免。为了减小控制量抖振，采用了如下饱和函数代替切换函数sgn(S)：

$\mathrm{sat}\left(S\right)=\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\ϵ}}^{-1}S,& \left|S\right|\≤\mathrm{\ϵ}\\ \mathrm{sgn}\left(S\right),& \mathrm{otherwise}\end{array}\right.---\left(27\right)$

其中，ε为边界层厚度。边界层越厚，抑制抖振效果越好，然而，跟踪精度也随之降低。因此需要折衷选择ε的值。

步骤3.将步骤2得到的控制量u₁和u₂（其中在0≤t≤t_f时间内选择u₁，在t＞t_f时间内选择u₂）输入步骤1建立的系统模型，即可使得跟踪误差在期望的时间收敛到0。

2.验证本发明提出的控制律的有效性

针对不同情况对该发明的有效性进行验证。首先，验证该发明提出的控制律能够使得系统跟踪误差在期望时间收敛；然后，验证该发明提出的控制律能够通过调节参数n实现对误差收敛速率的调整。

考虑系统（1），其中，f(x)＝0.6sin(x₁+2x₂)，g(x)＝0.3sin(10t)+0.2cos(0.5x₁+7x₂)，b(x)＝0.5sin(x₁+x₂)+1。系统初始条件为x₁₀＝-2，x₂₀＝1，期望的参考轨迹为x_1d＝-cos(t)。控制律参数选取如下：T＝2s，t_r＝4s，ε＝1e-3，η₁＝η₂＝4，K＝10，γ＝5/3。

①验证所提控制律能够使得系统跟踪误差在期望时间收敛

本实施例中，n值设定为3。图2和图3中给出了系统状态量x1和x2的跟踪曲线，从图中结果可以看出，系统状态在t＝4s时刻跟踪上期望的参考轨迹，在此之后，系统状态轨迹与期望的轨迹相互重合。图4给出了相应的控制量曲线，从图中曲线可以看出，控制指令中没有出现奇异或抖振等现象。这是由于选用的n值为3，因此不会出现奇异现象，加之使用了饱和函数，抖振现象也得到了很好的抑制。图5中给出了滑模面函数曲线，从该结果可以看出，由于采用了饱和函数，滑模函数无法严格收敛到0，只能被限制在边界层内。但是由于边界层厚度很小(ε＝1e-3)，因而保证了较高的跟踪精度。

②不同n值的情况

在本实施例中，选择不同n值（n＝3,4,5）进行仿真。图6为不同n值情况下的状态误差收敛曲线。从仿真结果可以看出，n越大，误差的收敛速度越快，因此，可以通过调整参数n来得到不同的误差收敛速度。。

综上所述，该发明提出的控制律鲁棒性强，能够使得误差在固定的时间收敛，并且可以调节收敛速度，具有很高的工程应用价值。

Claims (3)

1.一种误差以固定时间收敛的控制方法，其特征在于：具体包

括如下步骤：

步骤1，建立二阶不确定系统的动态模型：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

${\stackrel{\·}{x}}_2=f\left(x\right)+g\left(x\right)+b\left(x\right)u$

其中，x＝[x₁,x₂]^T为系统状态向量，f(x)和b(x)≠0为关于x的光滑的非线性函数，g(x)代表不确定性和外部扰动且满足||g(x)||≤l_g，其中l_g＞0，u为系统控制输入；系统的参考轨迹为x_1d，期望收敛时间为t_f；

步骤2，设计有限时间控制律

定义跟踪误差如下：

$\begin{array}{cc}{\tilde{x}}_1=x_1-x_{1d}& {\tilde{x}}_2=x_2-{\stackrel{\·}{x}}_{1d}\end{array}$

步骤2.1，设计时变滑模函数

设计时变滑模函数如下：

$S_1=(t_f-t){\tilde{x}}_2+n(1-\frac{1}{e^{{\tilde{x}}_1}})+\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{At}}^2+\mathrm{Bt}+C& t\≤T\\ 0& t>T^{\′}\end{array}\right.,0\≤t\≤t_f$

其中n＞2,0＜T＜t_f，且A,B,C满足如下等式：

$C=-t_f{\tilde{x}}_2\left(0\right)-n(1-\frac{1}{e^{{\tilde{x}}_1\left(0\right)}}),A=\frac{C}{T^2},B=-2\mathrm{AT}$

步骤2.2，求解得到时变滑模控制量

用Lyapunov方法求解时变滑模函数，使得系统状态在t_f时刻跟踪上参考轨迹，得到如下时变滑模控制量：

$u_1=b^{-1}\left(x\right)[\frac{1}{t_f-t}({\tilde{x}}_2-\frac{n{\tilde{x}}_2}{e^{{\tilde{x}}_1}}-\left\{\begin{array}{cc}2\mathrm{At}+B& t\≤T\\ 0& t>T\end{array}\right.)-f\left(x\right)+{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}-{\mathrm{\η}}_1\mathrm{sgn}\left(S_1\right)],0\≤t\≤t_f$ 其中η₁＞l_g；

步骤2.3，设计非奇异终端滑模函数

设计非奇异终端滑模函数如下：

$S_2={\tilde{x}}_1+K{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}}\mathrm{sgn}\left({\tilde{x}}_2\right)t>t_f$

其中K＞0,1＜β＜2；

步骤2.4，求解得到非奇异终端滑模控制量

用Lyapunov方法求解非奇异终端滑模函数，使得跟踪误差在t＞t_f时间内保持为0，得到相应的非奇异终端滑模控制量：

$u_2=-b^{-1}\left(x\right)(\frac{{\tilde{x}}_2}{\mathrm{K\β}{\left|{\tilde{x}}_2\right|}^{\mathrm{\β}-1}}+f\left(x\right)-{\stackrel{\·\·}{x}}_{1d}+{\mathrm{\η}}_2\mathrm{sgn}\left(S_2\right)),t>t_f$

其中，η₂＞l_g；

步骤3，将步骤2得到的控制量u₁和u₂输入步骤1建立的系统模型，使得跟踪误差在期望的时间收敛到0，并在该时刻之后，跟踪误差一直保持为0。

2.根据权利要求1所述的一种误差以固定时间收敛的控制方法，其特征在于：所述步骤三中，在0≤t≤t_f时间内u₁输入步骤1建立的系统模型，在t＞t_f时间内u₂输入步骤1建立的系统模型。

3.根据权利要求1所述的一种误差以固定时间收敛的控制方法，其特征在于：误差的收敛速率能通过调节参数n的值实现，n值越大，误差收敛得越快。

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