CN102699450B - 基于剃齿修形的啮合角计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于剃齿修形啮合角计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法，是剃齿刀修形技术领域的首次应用，针对目前端面啮合角普遍采用近似的计算方法，可以得到啮合角值的最优解，可避免端面啮合角计算值误差所导致啮合线长的计算误差，使剃齿刀修形位置计算更为准确，有效地保证消除剃齿“齿形中凹”的工艺效果。

Description

基于剃齿修形的啮合角计算方法

技术领域

本发明属于齿轮制造业中的剃齿工艺技术范畴，具体涉及一种基于剃齿修形啮合角的计算方法。

背景技术

剃齿是齿轮精加工的高效传统工艺，在齿轮生产中得到了广泛的应用，但采用标准渐开线剃齿刀进行剃齿时，会在被剃齿轮齿形节圆附近产生不同程度的“齿形中凹”现象，影响齿轮的承载能力、传动品质和使用寿命。剃齿刀正确修形是目前生产中解决剃齿“齿形中凹”的有效途径，即在标准齿形的剃齿刀中部区域反凹修形。由于剃齿“齿形中凹”是多种误差因素综合动态效应造成的，因此剃齿刀修形的具体位置及修形量很难确定，其反凹位置和凹入量目前仍主要凭工艺经验判断（位置大约在中部，凹入长度基本与工件齿面凹入长度相当），修形目标性差，修磨次数多，修形效果差。

申请人已经授权的中国专利“一种对剃齿刀进行修形的方法”（ZL200510096129.8），克服了现有剃齿刀修形工艺技术的不足，能通过计算确定剃齿刀修形的具体位置，从而设计出剃齿刀修形曲线，依此对剃齿刀进行修形，能较有效地消除剃齿“齿形中凹”现象。

在剃齿刀修形技术中，尤其是在该修形技术中，端面啮合角值是确定剃齿刀修形位置的关键，决定了消除剃齿“齿形中凹”的工艺效果。

剃齿时，剃齿刀与被剃齿轮相当于一对无侧隙交错轴圆柱齿轮（螺旋齿轮）啮合。交错轴齿轮传动啮合角的计算，理论上没有一个显性的公式可以直接得到其啮合角值或其渐开线函数值。

发明内容

本发明目的在于，提供一种基于剃齿修形啮合角的计算方法，该方法通过获得端面啮合角值的最优解，来提高剃齿刀修形位置计算的准确性，从而实现更有效地消除剃齿“齿形中凹”现象。

为了实现上述任务，本发明采取如下的技术解决方案：

一种基于剃齿修形啮合角的计算方法，其特征在于：

将被剃齿轮的各个参数设为：齿数Z₁、法向模数m_n1、分度圆法向压力角α_n1、分度圆螺旋角β₁、分度圆法向弧齿厚

渐开线终止点曲率半径ρ_max1、渐开线起始点曲率半径ρ_min1、剃齿超越量δ；

将剃齿刀的各个参数设为：齿数Z₀、法向模数m_n0、分度圆法向压力角α_n0、分度圆螺旋角_β0、分度圆法向弧齿厚

交错轴圆柱齿轮无侧隙啮合时，节圆法向节距P_jn与被剃齿轮、剃齿刀节圆的法向弧齿厚

存在以下关系：

$P_{\mathrm{jn}}={\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}0};---\left(1\right)$

一对螺旋齿轮啮合时，其节圆法向压力角相等，即α_jn＝α_jn1＝α_jn0，其中：

α_jn表示节圆法向压力角；

α_jn1表示被剃齿轮节圆法向啮合角；

α_jn0表示剃齿刀节圆法向啮合角；

经推导代入，式（1）可表示为：

$\mathrm{\π}{m}_n={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}+m_n[Z_1{\mathrm{inv\α}}_{t1}+Z_0{\mathrm{inv\α}}_{t0}-Z_1{\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]---\left(2\right)$

式中：m_n-法向模数；

inv（*）-渐开线函数；

α_t1-被剃齿轮端面啮合角；

α_t0-剃齿刀端面啮合角；

α_jt1-被剃齿轮节圆端面啮合角；

β_b1-被剃齿轮基圆螺旋角；

β_b0-剃齿刀基圆螺旋角；

令：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\right)={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}\\ +m_n[Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t1}+Z_0\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t0}-Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]-\mathrm{\π}{m}_n\end{array}---\left(3\right)$

由于式（3）为一阶多维非线性超越方程，具有复杂性，其微分在定义域内不能保证，必须要给出含参变量不带导数的二阶迭代法，用于求解此类超越方程；

结合牛顿迭代法求解精确性和史蒂芬森迭代法求解快速性，提出史蒂芬森-牛顿类迭代法，用于式（3）端面啮合角值最优解的计算，可以解决式（3）求解时需要二阶求导的技术难题，更加快速准确获得端面啮合角值的最优解；

若方程f(x)＝0，方程f(x)在其零点x₀处的领域内连续可微，并且f'(x)≠0；若x_k为f(x)＝0方程的近似解，根据牛顿迭代法公式：

$x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\′}\left(x_k\right)}---\left(4\right)$

为了求式（3）的数值解x^*，令h(x)＝e^uxf(x)，u∈R则数值解x^*也是h(x)＝0的解；

引入自治微分方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=-\frac{h\left(x\right)}{h^{\′}\left(x\right)}=-\frac{f\left(x\right)}{\mathrm{uf}\left(x\right)+f^{\′}\left(x\right)}\\ \begin{array}{cc}x\left(0\right)=x_0& x_0\∈U\left(x^{*}\right)\end{array}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中U(x^*)表示的是数值解x^*的领域；

应用欧拉法:

$\left\{\begin{array}{c}y\left(x_0\right)=y_0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x,y)\end{array}\right.x\∈(a,b)---\left(6\right)$

将式（6）定义域分为n段, $\frac{(y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right))}{h_n}=f(x_i,y\left(x_i\right))---\left(7\right)$

由（7）式可以得出：y_i+1＝y_i+h_nf(x_i,y_i)   （8）

综合式（4）、式（5）、式（8）得到：

$x_{n+1}=x_n-h_n\frac{f\left(x_n\right)}{[\mathrm{uf}\left(x_n\right)+f^{\′}\left(x_n\right)]}---\left(9\right)$

式中：u-修正系数，取值为0～1；h_n-第n次步长；

根据端面啮合角值求解的精确度要求，可对式（9）中的u进行重新选择，可以使求解过程更稳定，数值解趋于最优解；

利用差商公式

$f^{\′}\left(x_n\right)=\frac{f(x_n+h_k)-f\left(x_n\right)}{h_k}---\left(10\right)$

h_k的选取不同，可以得到不同的Newton迭代法变形的离散化方法，取h_k＝f(x_n)及式（10）代入式（9），就得到用于端面啮合角值计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法公式：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f^2\left(x_n\right)}{[u_n{f}^2\left(x_n\right)+f(x_n+f\left(x_n\right))-f\left(x_n\right)]}---\left(11\right)$

式中：u_n-第n次修正系数，取值为0～1。

式（11）的提出是首次在工程领域（端面啮合角）数值计算中的应用，本方法的优点是可以快速获得端面啮合角值的最优解。

本发明的有益效果：

①提出的史蒂芬森-牛顿类迭代法公式用于端面啮合角值的计算是首次在工程领域（端面啮合角）数值计算中的应用。

②应用史蒂芬森-牛顿类迭代法求解啮合角一阶多维超越方程时，调整修正系数u可以使求解过程更稳定，数值解趋于最优解，可以避免可微等数值计算的不足，有效地解决提高啮合角值计算精确性的技术难题。

③应用史蒂芬森-牛顿类迭代法进行啮合角值的计算，可避免端面啮合角值的计算误差所导致啮合线长的计算误差，使剃齿刀修形位置的确定更为准确，提高了剃齿刀修形位置计算的有效性，较好地保证了消除剃齿“齿形中凹”的工艺效果，是剃齿刀修形技术领域的首次应用。

附图说明

图1是史蒂芬森-牛顿类迭代法误差容限控制的跟踪图；

图2是牛顿迭代法误差容限控制的跟踪图；

图3是史蒂芬森-牛顿类迭代法啮合角求解的跟踪图；

图4是牛顿迭代法啮合角求解的跟踪图。

以下结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

具体实施方式

按照本发明的技术方案，申请人提出了一种基于剃齿修形啮合角的计算方法，具体实施步骤为：

将被剃齿轮的各个参数设为：齿数Z₁、法向模数m_n1、分度圆法向压力角α_n1、分度圆螺旋角β₁、分度圆法向弧齿厚

渐开线终止点曲率半径ρ_max1、渐开线起始点曲率半径ρ_min1、剃齿超越量δ；

将剃齿刀的各个参数设为：齿数Z₀、法向模数m_n0、分度圆法向压力角α_n0、分度圆螺旋角β₀、分度圆法向弧齿厚

交错轴圆柱齿轮无侧隙啮合时，节圆法向节距P_jn与被剃齿轮、剃齿刀节圆的法向弧齿厚

存在以下关系：

$P_{\mathrm{jn}}={\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}0};---\left(1\right)$

一对螺旋齿轮啮合时，其节圆法向压力角相等，即α_jn＝α_jn1＝α_jn0，其中：

α_jn表示节圆法向压力角；

α_jn1表示被剃齿轮节圆法向啮合角；

α_jn0表示剃齿刀节圆法向啮合角；

经推导代入，式（1）可表示为：

$\mathrm{\π}{m}_n={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}+m_n[Z_1{\mathrm{inv\α}}_{t1}+Z_0{\mathrm{inv\α}}_{t0}-Z_1{\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]---\left(2\right)$

式中：m_n-法向模数；

inv（*）-渐开线函数；

α_t1-被剃齿轮端面啮合角；

α_t0-剃齿刀端面啮合角；

α_jt1-被剃齿轮节圆端面啮合角；

β_b1-被剃齿轮基圆螺旋角；

β_b0-剃齿刀基圆螺旋角；

式（2）的端面啮合角计算公式是在剃齿刀修形技术领域的首次应用，它是一个关于未知量α_jt1的一阶多维超越方程，无法直接求解，只能采用数值计算的方法求其最优解。

令：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\right)={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}\\ +m_n[Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t1}+Z_0\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t0}-Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]-\mathrm{\π}{m}_n\end{array}---\left(3\right)$

式（3）为一阶多维非线性超越方程，只能用数值计算的迭代法求解，但该类方程易出现数值解发散不收敛、迭代过程陷入死循环、最优解的精确度不高、可微性难以判断等问题。

目前，端面啮合角计算一般均采用近似的计算方法，该方法随着节圆直径与分度圆直径差值的增大和当啮合压力角与分度圆压力角相差较大时，其计算的误差值较大，尤其是对啮合角较小的情况更是如此。由于端面啮合角决定了理论啮合线长度计算的精确性，也就决定了剃齿刀实际修形位置计算的准确性，与消除剃齿“齿形中凹”现象有着密不可分的联系。

本发明是基于牛顿迭代法已提高端面啮合角计算精度的基础上提出的。

由于式（3）是个复杂的一阶多维非线性超越方程，采用牛顿迭代法需要其具备二阶微分收敛的特性，易出现数值解发散不收敛、迭代次数多，因此，本发明提出基于牛顿迭代法和史蒂芬森迭代法的史蒂芬森-牛顿类迭代法，用于端面啮合角值最优解的计算。

若方程f(x)＝0，方程f(x)在其零点x₀处的领域内连续可微，并且f'(x)≠0；若x_k为方程的近似解，根据牛顿迭代法公式：

$x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\′}\left(x_k\right)}---\left(4\right)$

为了求方程（3）的数值解x^*，令h(x)＝e^uxf(x)，u∈R

则x^*也是h(x)＝0的解。

引入自治微分方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=-\frac{h\left(x\right)}{h^{\′}\left(x\right)}=-\frac{f\left(x\right)}{\mathrm{uf}\left(x\right)+f^{\′}\left(x\right)}\\ \begin{array}{cc}x\left(0\right)=x_0& x_0\∈U\left(x^{*}\right)\end{array}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中U(x^*)表示为数值解x^*的领域.

应用欧拉法:

$\left\{\begin{array}{c}y\left(x_0\right)=y_0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x,y)\end{array}\right.x\∈(a,b)---\left(6\right)$

将其定义域分为n段， $\frac{(y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right))}{h_n}=f(x_i,y\left(x_i\right))---\left(7\right)$

由式（7）可以得出：y_i+1＝y_i+h_nf(x_i,y_i)   （8）

综合式（4）、式（5）、式（8）得到式（9）：

$x_{n+1}=x_n-h_n\frac{f\left(x_n\right)}{[\mathrm{uf}\left(x_n\right)+f^{\′}\left(x_n\right)]}---\left(9\right)$

式中：u-修正系数，取值为0～1；h_n-第n次步长；

根据端面啮合角值的精确度要求，可对式（9）中的u进行重新选择，可以使求解过程更稳定，数值解趋于最优解。

利用差商公式

$f^{\′}\left(x_n\right)=\frac{f(x_n+h_k)-f\left(x_n\right)}{h_k}---\left(10\right)$

h_k的选取不同，可以得到不同的Newton迭代法变形的离散化方法，取h_k＝f(x_n)及式（10）代入式（9），就得到用于端面啮合角值计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法公式：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f^2\left(x_n\right)}{[u_n{f}^2\left(x_n\right)+f(x_n+f\left(x_n\right))-f\left(x_n\right)]}---\left(11\right)$

式中：u_n-第n次修正系数，取值为0～1；

式（11）的提出是首次在工程领域（端面啮合角）数值计算中的应用，本方法的优点是可以快速精确求解端面啮合角值的计算。

本发明提出的式（11）用于啮合角一阶多维非线性超越方程的求解，克服了牛顿迭代法需要在含根区间上f'(x)≠0的局限性及函数f(x)＝0在其精确解x₀处领域内的连续可微性，无需要求啮合角一阶多维非线性超越方程具有微商二阶收敛的特性，并且可以根据啮合角一阶多维非线性超越方程的特点，采用不断选择修正系数μ，形成新的修正系数u_n，使求解过程更稳定，数值解趋于最优解。

端面啮合角的数值计算中，对于修正系数u的选择是：

史蒂芬森-牛顿类迭代过程中，修正系数u在接近于0的领域内数值解趋于最优解，求解过程更稳定。在u＞0.45时，迭代过程就会陷入发散不收敛的状态，不利于端面啮合角的数值计算。

以下是发明人给出的实施例：

被剃齿轮各个参数为：齿数Z₁＝42，法向模数m_n1＝5.08mm，分度圆法向压力角α_n1＝20°，分度圆螺旋角β₁＝0°，分度圆法向弧齿厚

渐开线终止点曲率半径ρ_max1＝49.3681，渐开线起始点曲率半径ρ_min1＝27.7745。剃齿刀各个参数为：齿数Z₀＝43，法向模数m_n0＝5.08mm，分度圆法向压力角α_n0=20°，分度圆螺旋角β₀=15°，分度圆法向弧齿厚

应用式（11）进行端面啮合角值的计算，计算过程中分别选取修正系数u为0、0.15、0.2、0.4时，数值解分别为0.331693、0.329625、0.340636、0.269845，当u=0.5时，数值解陷入发散不收敛状态，无解。

实例中，啮合角值为0.331691时，剃齿“齿形中凹”的消除效果最佳，从上述啮合角的数值解可以看出u=0时，最接近端面啮合角值的最优解。

由于一阶多维超越方程具有非线性的特性，一般通过误差容限、迭代次数、求解稳定性及最优解值进行计算方法的比较。

①误差容限

根据一阶多维超越方程的特性，一般误差容限取为10^-4。从图1、图2中可以看出：牛顿迭代法在计算过程中啮合角值误差大大超出了10^-4，且整个迭代过程中，啮合角值在大多数计算区域内跳动很大，具有不稳定性，迭代至157次后才达到收敛；而史蒂芬森-牛顿类迭代在整个迭代过程中啮合角值误差相对稳定，且在大多数计算区域内误差跳动不大，具有稳定性，迭代至97次后就达到收敛。

②迭代次数

图3可以看出：采用史蒂芬森-牛顿类迭代法计算啮合角值时，随着迭代次数的增加在其计算区域内变化值逐渐减少。在迭代至97次后，啮合角值就达到收敛，且在迭代至69次后已逐渐开始趋于最优解。图4可以看出：采用牛顿迭代法计算啮合角值时，啮合角值在大多数区域内数值波动较大，不利于啮合角最优解的求解。在迭代至157次后才达到收敛，且在迭代至139次后才开始逐渐趋于最优解。因此，史蒂芬森-牛顿类迭代法比牛顿迭代法在啮合角值的计算中具有求解稳定、迭代次数较少等优点，同时也避免了求解一阶多维超越方程需求导带来的复杂运算。

③啮合角最优解值

史蒂芬森-牛顿类迭代法和牛顿迭代法在啮合角值的计算过程中基本一致，但史蒂芬森-牛顿类迭代法的啮合角值的计算结果更接近于其最优解，而牛顿迭代法的大多数迭代过程中的近似解偏离最优解较大，易导致计算过程发散，求解困难。

因此，依据本发明的基于剃齿修形的啮合角计算方法，针对目前端面啮合角普遍采用近似的计算方法，可以获得啮合角值的最优解，可避免端面啮合角计算值误差所导致啮合线长的计算误差，使剃齿刀修形位置计算更为准确，有效地保证消除剃齿“齿形中凹”的工艺效果。

Claims (2)

1.一种基于剃齿修形啮合角的计算方法，其特征在于：

将被剃齿轮的各个参数设为：齿数Z₁、法向模数m_n1、分度圆法向压力角α_n1、分度圆螺旋角β₁、分度圆法向弧齿厚

渐开线终止点曲率半径ρ_max1、渐开线起始点曲率半径ρ_min1、剃齿超越量δ；

将剃齿刀的各个参数设为：齿数Z₀、法向模数m_n0、分度圆法向压力角α_n0、分度圆螺旋角β₀、分度圆法向弧齿厚

交错轴圆柱齿轮无侧隙啮合时，节圆法向节距P_jn与被剃齿轮、剃齿刀节圆的法向弧齿厚

存在以下关系：

$P_{\mathrm{jn}}={\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{\mathrm{jn}0};---\left(1\right)$

一对螺旋齿轮啮合时，其节圆法向压力角相等，即α_jn＝α_jn1＝α_jn0，其中：

α_jn表示节圆法向压力角；

α_jn1表示被剃齿轮节圆法向啮合角；

α_jn0表示剃齿刀节圆法向啮合角；

经推导代入，式（1）可表示为：

$\mathrm{\π}{m}_n={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}+m_n[Z_1{\mathrm{inv\α}}_{t1}+Z_0{\mathrm{inv\α}}_{t0}-Z_1{\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]---\left(2\right)$

式中：m_n-法向模数；

inv（*）-渐开线函数；

α_t1-被剃齿轮端面啮合角；

α_t0-剃齿刀端面啮合角；

α_jt1-被剃齿轮节圆端面啮合角；

β_b1-被剃齿轮基圆螺旋角；

β_b0-剃齿刀基圆螺旋角；

令：

$\begin{array}{c}f\left({\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\right)={\stackrel{\∩}{S}}_{n1}+{\stackrel{\∩}{S}}_{n0}\\ +m_n[Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t1}+Z_0\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{t0}-Z_1\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}-Z_0\mathrm{inv}\left(\arcsin \left(\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{jt}1}\frac{\cos {\mathrm{\β}}_{b1}}{\cos {\mathrm{\β}}_{b0}}\right)\right)]-\mathrm{\π}{m}_n\end{array}---\left(3\right)$

由于式（3）为一阶多维非线性超越方程，具有复杂性，其微分在定义域内不能保证，必须要给出含参变量不带导数的二阶迭代法，用于求解此类超越方程；

结合牛顿迭代法求解精确性和史蒂芬森迭代法求解快速性，提出史蒂芬森-牛顿类迭代法，用于式（3）端面啮合角值最优解的计算，可以解决式（3）求解时需要二阶求导的技术难题，更加快速准确获得端面啮合角值的最优解；

若方程f(x)＝0，方程f(x)在其零点x₀处的领域内连续可微，并且f'(x)≠0；若x_k为f(x)＝0方程的近似解，根据牛顿迭代法公式：

$x_{k+1}=x_k-\frac{f\left(x_k\right)}{f^{\′}\left(x_k\right)}---\left(4\right)$

为了求式（3）的数值解x^*，令h(x)＝e^uxf(x)，u∈R则数值解x^*也是h(x)＝0的解；

引入自治微分方程：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=-\frac{h\left(x\right)}{h^{\′}\left(x\right)}=-\frac{f\left(x\right)}{\mathrm{uf}\left(x\right)+f^{\′}\left(x\right)}\\ \begin{array}{cc}x\left(0\right)=x_0& x_0\∈U\left(x^{*}\right)\end{array}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中U(x^*)表示的是数值解x^*的领域；

应用欧拉法:

$\left\{\begin{array}{c}y\left(x_0\right)=y_0\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=f(x,y)\end{array}\right.x\∈(a,b)---\left(6\right)$

将式（6）定义域分为n段, $\frac{(y\left(x_{i+1}\right)-y\left(x_i\right))}{h_n}=f(x_i,y\left(x_i\right))---\left(7\right)$

由（7）式可以得出：y_i+1＝y_i+h_nf(x_i,y_i)   （8）

综合式（4）、式（5）、式（8）得到：

$x_{n+1}=x_n-h_n\frac{f\left(x_n\right)}{[\mathrm{uf}\left(x_n\right)+f^{\′}\left(x_n\right)]}---\left(9\right)$

式中：u-修正系数，取值为0～1；h_n-第n次步长；

根据端面啮合角值求解的精确度要求，可对式（9）中的u进行重新选择，可以使求解过程更稳定，数值解趋于最优解；

利用差商公式

$f^{\′}\left(x_n\right)=\frac{f(x_n+h_k)-f\left(x_n\right)}{h_k}---\left(10\right)$

h_k的选取不同，可以得到不同的Newton迭代法变形的离散化方法，取h_k＝f(x_n)及式（10）代入式（9），就得到用于端面啮合角值计算的史蒂芬森-牛顿类迭代法公式：

$x_{n+1}=x_n-\frac{f^2\left(x_n\right)}{[u_n{f}^2\left(x_n\right)+f(x_n+f\left(x_n\right))-f\left(x_n\right)]}---\left(11\right)$

式中：u_n-第n次修正系数，取值为0～1。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的史蒂芬森-牛顿类迭代法进行端面啮合角的数值计算中，对于修正系数_u的选择是：

史蒂芬森-牛顿类迭代过程中，修正系数u在接近于0的领域内数值解趋于最优解，求解过程更稳定；在u＞0.45时，迭代过程就会陷入发散不收敛的状态，不利于端面啮合角的数值计算。

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