Tetrahedron

Untuk jurnal akademik, sila lihat Tetrahedron (jurnal)

Tetrahedron sekata
(Klik sini untuk model berputar)
Jenis	Pepejal platonik
Unsur	F=4, E=6, V=4 (χ=2)
Muka mengikut sisi	4{3}
Simbol Schläfli	{3,3}
Simbol Wythoff	3 \| 2 3
Coxeter-Dynkin
Simetri	T_d
Rujukan	U₀₁, C₁₅, W₁
Dual	Tetrahedron
Sifat	Deltahedron cembung sekata
Sudut dwihedron	70.528779° = arccos(1/3)
Angka verteks 3.3.3

Tetrahedron ialah polihedron yang terdiri daripada empat muka bersegi tiga, dengan tiganya bertemu pada satu bucu (verteks). Sebaliknya tetrahedron sekata ialah polihedron yang empat mukanya sekata atau "sama sisi", dan merupakan salah satu pepejal platonik.

Seperti dengan semua polihedron cembung, tetrahedron dapat dibuat dengan melipat sehelai kertas tunggal.

Luas dan isi padu

Luas A dan isi padu V bagi sebuah tetrahedron sekata yang panjang tepinya ialah a adalah seperti yang berikut:

A=a^{2}{\sqrt {3}}

V={\begin{matrix}{1 \over 12}\end{matrix}}a^{3}{\sqrt {2}}

Tingginya ialah $h=(a/3){\sqrt {6}}$ , dengan sudut antara tepi dan mukanya, arctan ${\sqrt {2}}$ (ca. 55°), dan antara dua mukanya, arccos (1/3) = arctan $2{\sqrt {2}}$ (ca. 71°). Perhatikanlah bahawa lereng muka berhubung dengan satah tapaknya ialah dua kali daripada lereng tepi, dan adalah secocok dengan fakta bahawa jarak mendatar mengikut tepi dari tapak ke apeks adalah dua kali daripada jarak mendatar dari muka ke titik tengah di tapak.

Seperti dengan mana-mana satu piramid, isi padu tetrahedron ialah $V={\frac {1}{3}}Ah$ , dengan A merupakan luas tapaknya, dan h merupakan tingginya dari tapak sehingga apeks. Ini adalah betul bagi setiap empat pilihan di tapaknya dan oleh itu, jarak dari apeks ke muka yang bertentangan adalah berkadar songsang dengan luas muka-mukanya.

Tambahan pula, isi padu bagi sebuah tetrahedron, ABCT, ialah:

$V={\frac {AT\cdot BT\cdot CT}{6}}\cdot {\sqrt {1+2\cdot \cos a\cdot \cos b\cdot \cos c-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c}}$

dengan a merupakan sudut ATB, b sudut BTC, dan c sudut CTA.

Bagi sesuatu tetrahedron, mana-mana dua tepi yang bertentangan adalah terletak pada dua garis pencong. Jika pasangan titik yang paling rapat antara dua garis adalah titik di tepi-tepi tetrahedron, titik-titik itu mentakrifkan jarak antara kedua-dua tepi itu; kalau bukan, jarak antara kedua-dua tepi itu adalah sama sahaja dengan jarak antara salah satu titik hujung dengan tepi yang bertentangan.

Isi padu mana-mana satu tetrahedron, dengan verteks-verteks a, b, c dan d, ialah (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|, atau mana-mana satu gabungan pasangan verteks yang lain yang membentuk graf berkait ringkas. Ini boleh ditulis semula dengan satu titik dan hasil darab silang seperti yang berikut:

$V={\frac {|(\mathbf {d} -\mathbf {a} )\cdot ((\mathbf {d} -\mathbf {b} )\times (\mathbf {d} -\mathbf {c} ))|}{6}}$ [1]

Hubungan geometri

Tetrahedron ialah 3-simpleks. Berbeza dengan kes-kes pepejal platonik yang lain, semua verteks untuk sebuah tetrahedron sekata adalah sama jarak antara satu sama lain (terdapat hanya empat susunan titik-titik sama jarak yang mungkin).

Tetrahedron ialah piramid bersegi tiga, dan tetrahedron sekata ialah polihedron dual diri.

Sebuah tetrahedron sekata boleh dimasukkan ke dalam sebuah kiub dengan dua cara yang menyebabkan setiap verteksnya menjadi verteks kiub tersebut, dan setiap tepi menjadi pepenjuru bagi salah satu muka kiub itu. Bagi setiap kemasukan tersebut, koordinat Cartes untuk verteks-verteksnya adalah seperti yang berikut:

(+1, +1, +1);

(−1, −1, +1);

(−1, +1, −1);

(+1, −1, −1).

Untuk tetrahedron yang kedua (yang merupakan polihedron dual kepada tetrahedron yang pertama), terbalikkan semua tanda. Isi padu tetrahedron ini adalah 1/3 daripada isi padu kiub yang berkaitan. Menggabungkan kedua-dua tetrahedron akan menghasilkan sebuah polihedron majmuk sekata yang dipanggil stella octangula, dan yang bahagian dalamnya ialah oktahedron. Sepadan dengan ini, sebuah oktahedron sekata ialah hasil memotong daripada tetrahedron sekata, empat buah tetrahedron sekata yang saiz linearnya adalah separuh daripada saiz linear tetrahedron sekata yang tersebut (iaitu penerusan tetrahedron).

Tetrahedron-tetrahedon yang terterap di dalam bentuk majmuk lima kuib yang sekata menghasilkan lagi dua bentuk majmuk sekata yang masing-masing mengandungi lima dan sepuluh buah tetrahedron.

Tetrahedron sekata tidak boleh menjubin ruang pada dirinya, walaupun Aristotle dikatakan telah melaporkan bahawa ini adalah mungkin. Bagaimanapun, dua buah tetrahedron sekata boleh digabungkan dengan sebuah oktahedron untuk menghasilkan sebuah rombohedron yang dapat menjubin ruang.

Walau bagaimanapun, terdapat sekurang-kurangnya sebuah tetrahedron tak sekata yang salinan-salinannya dapat menjubin ruang. Jika seseorang melonggarkan keperluan bahawa semua tetrahedron harus mempunyai bentuk yang sama, orang itu akan dapat menjubin ruang dengan hanya menggunakan tetrahedron-tetrahedron dengan berbagai-bagai cara. Umpamanya, seseorang boleh membahagikan sebuah oktahedron menjadi empat buah tetrahedron yang sama dan menggabungkannya semula dengan dua buah tetrahedron sekata. (Sebagai nota tepi, kedua-dua jenis tetrahedron mempunyai isi padu yang sama.)

Tetrahedron adalah unik di kalangan polihedron seragam kerana ia tidak mempunyai muka-muka yang selari.

Polihedron berkait

Tetrahedron bersilang

Sebuah polihedron yang menarik boleh dibina daripada lima tetrahedron bersilang. Polihedron majmuk ini telah dikenali sejak beratus-ratus tahun lagi, dan sering muncul dalam dunia origami. Menyambungkan dua puluh verteksnya akan membentuk sebuah dodekahedron yang sekata. Terdapat bentuk ke kiri serta bentuk ke kanan yang merupakan imej cermin untuk satu sama lain.

Isometri tetrahedron sekata

Putaran-putaran dan pantulan-pantulan yang betul dalam kumpulan simetri tetrahedron sekata.

Verteks-verteks bagi sebuah kiub dapat dibahagikan kepada dua kumpulan yang masing-masing terdiri dariapda empat verteks, dengan setiap kumpulannya membentuk sebuah tetrahedron sekata (sila lihat di atas, serta juga animasi yang menunjukkan salah satu daripada dua buah tetrahedron di dalam kiub). Simetri-simetri tetrahedron sekata adalah sepadan dengan separuh daripada simetri-simetri sebuah kiub, iaitu dengan simetri-simetri yang memetakan tetrahedron-tetrahron pada diri sendiri dan bukannya antara satu sama lain.

Tetrahedron ialah pepejal platonik yang tunggal yang tidak dipetakan pada diri sendiri melalui songsangan titik.

Tetrahedron sekata mempunyai 24 isometri yang membentuk kumpulan simetri, T_d, kumpulan simetri yang berisomorfik dengan kumpulan simetri S₄. Simetri-simetri itu boleh dikategorikan seperti yang berikut:

T, isomorfik dengan kumpulan selang-seli A₄ (identiti dan 11 putaran wajar) yang mempunyai kelas-kelas kekonjugatan (pilih-pilih atur verteks atau muka-muka yang sepadan, dengan perlambangan kuarternion unit) yang berikut:
- identiti (identiti; 1)
- putaran di sekitar paksi yang tegak lurus dengan satah yang bertentangan menerusi verteks sebanyak sudut ±120°: 4 paksi, 2 per paksi, memberikan 8 pantulan, ((1 2 3), dll.; (1±i±j±k)/2)
- putaran sebanyak sudut 180° sehingga salah satu tepinya memetakan pada tepi yang bertentangan: 3 ((1 2)(3 4), dll.; i,j,k)
pantulan-pantulan satah yang tegak lurus dengan salah satu tepi: 6
pantulan-pantulan satah, bersama-sama dengan putaran 90° di sekitar paksi yang tegak lurus dengan satah tersebut: 3 paksi, 2 per paksi, memberikan 6 pantulan; serupa sahaja, putaran-putaran 90° dengan songsangan (x dipetakan pada −x): putaran-putaran tersebut adalah sepadan dengan putaran-putaran kiub di sekitar paksi-paksi yang bersemuka.

Isometri tetrahedron tak sekata

Isometri-isometeri tetrahedron tak sekata bergantung kepada geometri tetrahedronnya, dengan 7 kes yang mungkin. Dalam setiap kes, kumpulan titik 3-dimensi dibentuk.

Sebuah tapak segi tiga sama sisi dengan sisi-sisi segi tiga dua sama (bukan segi tiga sama sisi) memberikan 6 isometri yang sepadan dengan 6 isometri tapaknya. Sebagai pilih-pilih atur verteks, keenam-enam isometri ini ialah identiti 1, (123), (132), (12), (13) dan (23) yang membentuk kumpulan simetri, C_3v, yang isormofik dengan S₃.
Empat segi tiga dua sama (bukan segi tiga sama sisi) kongruen memberikan 8 isometri. Jika tepi-tepi (1,2) dan (3,4) mempunyai panjang yang berbeza dengan empat yang lain, jadi kelapan-lapan isometri ialah identiti 1, pantulan-pantulannya ialah (12) serta (34), putaran-putaran 180° ialah (12)(34), (13)(24), (14)(23), dan putaran-putaran 90° tak wajar ialah (1234) dan (1432), untuk membentuk kumpulan simetri D_2d.
Empat segi tiga tak sama yang kongruen memberikan 4 isometri. Isometri-isometrinya ialah 1, dan putaran-putaran 180°-nya ialah (12)(34), (13)(24), (14)(23). Ini ialah kumpulan empat Klein, V₄ ≅ Z₂², yang diberikan sebagai kumpulan titik, D₂.
Dua pasang segi tiga dua sama (bukan segi tiga sama kaki) isomorfik: Ini memberikan dua tepi yang bertentangan, iaitu (1,2) dan (3,4) yang tegak lurus, tetapi mempunyai panjang yang berbeza. Identiti keempat-empat isometrinya ialah 1, pantulan-pantulannya ialah (12) serta (34), dan putaran 180°-nya ialah (12)(34). Kumpulan simetrinya ialah C_2v yang isomorfik dengan V₄.
Dua pasang segi tiga tak sama isomorfik: Ini mempunyai dua pasang tepi yang sama, (1,3), (2,4) dan (1,4), (2,3), tetapi tepi-tepinya yang lain adalah tidak sama. Dengan hanya dua isometri, identitinya ialah 1, dengan putarannya (12)(34). Ini memberikan kumpulan C₂ yang isomorfik dengan Z₂.
Dua buah segi tiga dua sama yang tidak sama, dengan tapak yang sama: Ini mempunyai dua pasang tepi yang sama, iaitu (1,3), (1,4) dan (2,3), (2,4), dengan tepi-tepinya yang lain tidak sama. Dengan hanya dua isometri, identitinya ialah 1, dengan pantulan (34), yang memberikan kumpulan C_s yang isomorfik dengan Z₂.
Tiada tepi yang sama: Isometri yang tunggalnya ialah identiti, dan kumpulan simetrinya ialah kumpulan remeh.

Kegunaan penghitungan

Bentuk-bentuk yang rumit sering dipecahkan menjadi satu jaringan yang terdiri daripada tetrahedron-tetrahedron tak sekata sebagai persediaan untuk kajian-kajian analisis unsur terhingga dan dinamik bendalir pengiraan.

Laluan litar Euler

Memanipulasi tetrahedron untuk mengeuler laluan perhitungan.

Perkara remeh-temeh

Sebilangan benda penskoran dan gol daripada permainan Pertandingan Robotik PERTAMA 2005.

Tetrahedon semula jadi dapat dilihat dalam molekul-molekul ikatan kovalen. Umpamanya, molekul metana (CH₄) mempunyai empat atom hidrogen yang terletak pada setiap sudut tetrahedron dengan atom karbon di tengah. Atas alasan ini, salah satu jurnal kimia organik yang terutama dipanggil Tetrahedron.
Jika setiap tepi tetrahedron digantikan dengan satu perintang satu ohm, rintangan antara mana-mana dua verteks ialah 1/2 ohm. ^[1]
Khususnya dalam permainan main peranan, tetrahedron dikenali sebagai d4, dan merupakan salah satu dadu polihedron yang lebih umum.
Tetrahedron mewakil api, salah satu unsur klasik.
Untuk Urutan Xeelee di dalam buku fiksyen sains oleh penulis Stephen Baxter, sebuah tetrahedron yang berwarna hijau-biru dipergunakan sebagai lambang untuk kemanusian bebas.
Tetrahedron-tetrahedron yang dibina daripada paip-paip PVC 1 1/4", dan yang dikenali sebagai 'tetra', digunakan sebagai objek penskoran yang utama untuk Permainan Tigaan, permainan Pertandingan Robotik PERTAMA 2005. Tujuan permainan ini adalah untuk menyusun 'tetra-tetra' di atas tetrahedron-tetrahedron yang lebih besar yang diletakkan dalam matriks 3x3.
Sudut dari tengah ke mana-mana dua verteks tetrahedron ialah 109.47 darjah, iaitu $\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{3}}\right)$ . Sudut ini digunakan dalam bidang kimia.

Lihat juga

Dwipiramid bersegi tiga - dibina dengan menyambungkan dua tetrahedron pada satu muka
Geometri molekul tetrahedron
Kaltrop
Nombor tetrahedron
Tetra-Pak
Tetrahedron berputar
Wau tetrahedron

Rujukan

^ Klein, Douglas J. (2002). "Aturan-aturan hasil tambah rintangan-jarak" (PDF). Croatica Chemica Acta. 75 (2): 633–649. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 2007-06-10. Dicapai pada 15 September 2006.

Pautan luar

Eric W. Weisstein, Tetrahedron di MathWorld.
Polihedron Seragam
Tetrahedron Berputar
Ensiklopedia Polihedron: Polihedron Realiti Maya
Model-model Kertas Polihedron – banyak pautan
Tetrahedron Tak Sekata Yang Mengagumkan serta Mengisikan Ruang – termasuk juga perihalan tentang "secincin tetrahedron-tetrahedron yang berputar" yang juga dikenali sebagai kaleidosikal.

[1] Klein, Douglas J. (2002). "Aturan-aturan hasil tambah rintangan-jarak" (PDF). Croatica Chemica Acta. 75 (2): 633–649. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 2007-06-10. Dicapai pada 15 September 2006.

[1]