Tetraedar

Tetraedar je poliedarsko geometrijsko tijelo omeđeno sa četiri trougla. Ima šest uzastopnih rubova i četiri tjemena ugla. Tetraedar je najjednostavniji od svih običnih konveksnih poliedara i jedini koji ima manje od 5 graničnih površina (lica).

Tetraedar je trodimenzijski slučaj općeg koncepta euklidskog simpleksa. To je jedan od oblika piramida, koji je poliedar s ravnom poligonskom bazom i trokutastim licem koje povezuje bazu za zajedničkom tjemenom tačkom. U slučaju kada je tetraedarska baza trougao (bilo koje od četiri lica može se smatrati bazom), takav tetraedar je također poznat kao "trouglasta piramida

Kao i svi konveksni poliedri, tetraedar može biti sastavljen iz jednog lista papira. On ima takvu mrežu.

Bilo koji tetraedar ima sferu (zvanu cirkumsfera) na kojoj leže sva četiri trokugla i drugu sferu (insfera), koja je tangenta površina tetraedra.

Pravilni tetraedar

Pravilni tetraedar je onaj u kojem su sva četiri lica istostrani trouglovi. To je jedan od pet pravilnih platonskih čvrstih tvari, koje su poznate od davnina.

Kod pravilnog tetraedra, ne samo da su sve njegove strane iste veličine i oblika (podudarne), nego su takvi i svi njegovi vrhovi i rubovi.

Ploha sa pet tetraedra, sa najvišim 3-dimenzijskim tačkama označenim kao 1, 2, 3, 4, i 5.
Ove tačke se zatim međusobno vezane, a tanak volumen praznog prostora je lijevo gdje se pet rubnih uglova ne susreću u potpunosti.

Pravilni tetraedra nije samo popunjen prostor, nego, ako je naizmeničan sa pravilnim oktaedrom, oni čine naizmenično kubno saće, koje je prazno.

Tetraedar je samo-dualan, što znači da je njegov dvojnik drugi tetraedar. Spojna slika sastoji se od dva takva dualna tetraedra koji formiraju zvjezdasti oktaedar ili zvjezdasti oktaugao.

Tetraedarske formule

Slijedeće Dekartove koordinate definiraju četiri tjemena tetraedra dužine ruba 2, centrirana prema porijeklu:

\left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

Drugi set koordinata zasniva se na naizmeničnom kockom ili demikubom dužine ruba 2. Ovaj oblik ima Coxeterov dijagram 4x3 i Schläfli simbol h {4,3}. Tetraedar u ovom slučaju ima dužinu ruba 2. Invertiranje ove koordinate generira dualni tetraedar i taj par zajedno formira zvjezdasti oktaedar, čija tjemena su originalne kocke.

Tetraedar: (1,1,1), (1,−1,−1), (−1,1,−1), (−1,−1,1)

Dualni tetraedar: (−1,−1,−1), (−1,1,1), (1,−1,1), (1,1,−1)

Pravilni tetraedar ABCD i njegova kružna sfera

Za tetraedra dužine ruba a:

Površina lica	$A_{0}={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\,$
Površinsko područje^[1]	$A=4\,A_{0}={\sqrt {3}}a^{2}\,$
Visina piramide^[2]	$h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\sqrt {\frac {2}{3}}}\,a\,$
Rubovi suprotne rubne distance	$l={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,a\,$
Volumen^[1]	$V={\frac {1}{3}}A_{0}h={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}}\,$
Ugao lice-tjeme-rub	$\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)=\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,$ (približno 54,7356°)
Ugao lice-rub-lice, tj. "diedarski ugao"^[1]	$\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\,$ (približno 70,5288°
Centralni rubni ugao,^[3]^[4] poznat kao tetraedarski ugao	$\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\,$ (approx. 109.4712°)
Čvrsti ugao na tjemenu naspram lica	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)$ (približno 0,55129 steradijana)
Radijus cirkumsfere^[1]	$R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a={\sqrt {\frac {3}{8}}}\,a\,$
Radijus insfere koji je tangenta lica^[1]	$r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}}\,$
Radijus srednje sfere koja je tangenta rubovima^[1]	$r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}}\,$
Radijus eksfera	$r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}\,$
Distanca od centra eksfere do suprotnog tjemena	$d_{\mathrm {VE} }={\frac {\sqrt {6}}{2}}a={\sqrt {\frac {3}{2}}}a\,$

U odnosu na baznu ravni nagib lica (2√2) je dva puta veći od ivice (√2), što odgovara činjenici da je horizontalna udaljenost od baze do apeksa duž ivice dva puta veća od medijane lica. Drugim riječima, ako je C težište baze, udaljenost od C do tjemena baze je dvostruko veća od centralne tačke C do ruba baze. To proizlazi iz činjenice da se medijane trougla sjeku svojim težištem i tada dijele svaku od njih u dva segmenta, od kojih je jedan duplo veći, dok drugi dijeli svaku medijanu u omjeru 2 : 1.

Za pravilni tetraedar sa stranom dužine a, radijusom R njegove cirkumsfere i udaljenosti d_i iz proizvoljne tačke u 3-dimenzijskom prostoru za njegova četiri tjemena, imamo:^[5]

{\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2};\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}

Također pogledajte

Reference

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, Harold Scott MacDonald; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948, Table I(i)
^ Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001
^ "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron" Arhivirano 3. 10. 2018. na Wayback Machine, Maze5.net
^ Valence Angle of the Tetrahedral Carbon Atom W.E. Brittin, J. Chem. Educ., 1945, 22 (3), p 145
^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum, 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Arhivirano 10. 10. 2016. na Wayback Machine

[Cox-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, Harold Scott MacDonald; Regular Polytopes, Methuen and Co., 1948, Table I(i)

[2] Köller, Jürgen, "Tetrahedron", Mathematische Basteleien, 2001

[3] "Angle Between 2 Legs of a Tetrahedron" Arhivirano 3. 10. 2018. na Wayback Machine, Maze5.net

[pubs.acs.org-4] Valence Angle of the Tetrahedral Carbon Atom W.E. Brittin, J. Chem. Educ., 1945, 22 (3), p 145

[5] Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum, 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Arhivirano 10. 10. 2016. na Wayback Machine

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]