Topologi aljabar

Sebuah torus, salah satu objek yang dikaji dalam topologi aljabar

Dalam matematika, khususnya aljabar dan topologi, topologi aljabar merupakan subbidang yang mempelajari topologi dengan memanfaatkan struktur-struktur dalam aljabar abstrak. Salah satu ide dasar dalam topologi aljabar adalah untuk mencari suatu invarian antara dua buah ruang topologi yang membantu melakukan klasifikasi ruang topologi atas homeomorfisme atau ekuivalensi homotopis.

Bidang utama

Berikut merupakan beberapa bidang utama dalam topologi aljabar.

Homotopi

Ekuivalensi homotopi dapat digunakan sebagai alat untuk melakukan klasifikasi ruang topologi. Dua buah ruang topologi $X,Y$dikatakan ekuivalen secara homotopi apabila terdapat pemetaan $f:X\to Y$, $g:Y\to X$ sehingga $g\circ f\simeq {\text{id}}_{X}$ dan $f\circ g\simeq {\text{id}}_{Y}$, dengan $a\simeq b$ menyatakan bahwa $a$ homotopis dengan $b$. Selain itu, digunakan juga grup homotopi dengan grup homotopi pertama merupakan grup fundamental yang menyimpan informasi terkait putaran pada suatu ruang topologi.

Homologi

Homologi menjadi salah satu alternatif untuk mengkaji klasifikasi ruang topologi, khususnya pada ruang topologi berdimensi tinggi. Hal ini dikarenakan grup homotopi yang lebih tinggi relatif sulit dihitung. Oleh karena itu, digunakanlah konsep homologi yang mengasosiasikan suatu barisan grup abel atau modul (dalam suatu rantai kompleks) dengan suatu ruang topologi.

Kohomologi

Kohomologi lahir sebagai konsep dual kategoris dari homologi. Jika homologi meninjau rantai kompleks, pada kohomologi ditinjau korantai kompleks.

Aspek teori kategori

Teori kategori lahir sebagai alat untuk bekerja dengan topologi aljabar. Oleh karena itu, ide-ide dalam topologi aljabar secara umum bersifat fungtorial. Sebagai contoh, homologi dapat dipandang sebagai fungtor dari kategori hTop (yakni kategori ruang topologi dengan morfisma kelas homotopis dari pemetaan kontinu) ke kategori Grp (yakni kategori grup). Hal ini memberikan asosiasi antara konsep-konsep di topologi dengan konsep-konsep di aljabar.

Penerapan dan bidang terkait

• Teorema titik tetap Brouwer: setiap pemetaan kontinu dari cakram satuan dimensi $n$ ke dirinya sendiri mempunyai suatu titik tetap
• Teorema Borsuk-Ulam: setiap pemetaan kontinu dari bola berdimensi $n$ ke bidang Euclidean berdimensi $n$ mempunyai setidaknya satu pasang titik antipode
• Analisis data topologis: pendekatan analisis data menggunakan objek topologis, khususnya untuk data yang memiliki dimensionalitas tinggi. Salah satu alat utamanya adalah homologi persisten yang merupakan adaptasi homologi pada sekumpulan data

Bacaan lebih lanjut

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79160-X.  dan ISBN 0-521-79540-0.

• May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. Diakses tanggal 2008-09-27. 
• Chazal, Frédéric (11 Oktober 2017). "An Introduction to Topological Data Analysis". Diakses tanggal 16 Juni 2020.