Nombre presque premier

Démonstration par réglettes Cuisenaire que 6 est un nombre presque premier.

En théorie des nombres, un entier n > 0 est dit k-presque premier, pour k ≥ 0, lorsqu'il est le produit d'exactement k nombres premiers.

Formalisation

Un entier n > 0 dont la décomposition en facteurs premiers s'écrit

$n=\prod _{i=1}^{m}p_{i}^{\gamma _{i}}$

(où p₁ = 2 < p₂ = 3 < p₃ = 5 < … est la suite des nombres premiers) est dit k-presque premier si son nombre Ω(n) de facteurs premiers (non nécessairement distincts) est égal à k :

$\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}=k.$

Fonction de compte

Géneralisant le résultat de Hadamard et La Vallée Poussin sur la répartition des nombres premiers, Edmund Landau a démontré le résultat suivant, où $\pi _{k}(x)$ est le nombre d'entiers k-presque premiers inférieurs à x

$\pi _{k}(x)\sim \left({\frac {x}{\log x}}\right){\frac {(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!}},$

Exemples

• Les nombres 1-presque premiers sont les nombres premiers.
• Les nombres 2-presque premiers sont les nombres semi-premiers.
• 18 = 2 × 3 × 3 donc 18 est 3-presque premier.
• Le seul nombre 0-presque premier est le produit vide 1.

Remarque

Si l'on note ${\mathcal {P}}_{k}$ l'ensemble des nombres k-presque premiers, alors l'ensemble $\{{\mathcal {P}}_{k}\mid k\in \mathbb {N} \}$ forme la partition de ℕ* associée à la surjection Ω : ℕ* → ℕ.

Voir aussi

• Théorème d'Iwaniec-Richert