Conjecture de Cramér

En mathématiques, la conjecture de Cramér, formulée par le mathématicien suédois Harald Cramér en 1936, pronostique l'asymptotique suivante pour l'écart entre nombres premiers :

$g_{n}=p_{n+1}-p_{n}=O((\ln p_{n})^{2}),$

où g_n est le n-ième écart, p_n est le n-ième nombre premier et $O$ désigne le symbole de Bachmann-Landau ; cette conjecture n'est pas démontrée à ce jour.

Énoncés liés

Cramér avait auparavant, en 1920, démontré un énoncé plus faible :

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})$

sous l'hypothèse de Riemann (qui elle-même n'est pas démontrée non plus).

Andrew Granville a affiné la conjecture initiale de Cramér en proposant la constante

$2e^{-\gamma }\approx 1,1229\ldots .$

comme limite supérieure de la suite

${\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}$.

Des calculs poussés indiquent que cette estimation est plausible.

Dans l'autre direction, on sait que

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\ln p_{n}}}=\infty$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cramér's conjecture » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Conjecture d'Andrica
• Conjecture de Firoozbakht
• Conjecture de Legendre