Triawdau Pythagoraidd

Triawdau Pythagoraidd
Enghraifft o'r canlynol	cysyniad mathemategol
Math	tuple of integers, triple
Olynwyd gan	Pythagorean quadruple
	Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Animeiddiad sy'n arddangos y triawd Pythagoraidd symlaf, 3² + 4² = 5².

Set o rifau yw'r triawdau Pythagoraidd, sef tri cyfanrif positif $a$ , $b$ , ac $c$ , lle mae $a 2 + b 2 = c 2$ . Yn aml, caiff y rhifau triphlyg hyn eu sgwennu fel $(a, b, c)$ , a'r enghraifft fwyaf adnabyddus yw $(3, 4, 5)$ . Os yw $(a, b, c)$ yn driawd Pythagoraidd, yna mae $(ka, kb, kc)$ hefyd, ar gyfer unrhyw cyfanrif positif $k$ .

Triawd cysefin Pythagoraidd yw'r set lle mae $a$ , $b$ ac $c$ yn 'gyd-gysefin' (coprime), hynny yw, nid oes ganddynt rannydd cyffredin mwy nag 1.^[1] Mae'r triongl a gaiff ei ffurfio gyda rhifau triphlyg Pythagoras yn driongl ongl sgwâr, a gelwir ef yn "driongl Pythagoras".

O fewn Theorem Olaf Fermat, mae gan yr hafaliad Pythagoraidd x² + y² = z² nifer anfeidraidd o gyfanrifau positif ar gyfer x, y, a z; sef y triawdau Pythagoraidd hyn.

Daw'r enw o theorem Pythagoras, ac mae'n nodi fod hyd holl ochrau triongl yn bodloni'r fformiwla $a 2 + b 2 = c 2$ . Felly, y triawd yw'r dair ochr hyn, y tri cyfanrif yma o'r triongl ongl sgwâr. Sylwer fod yn rhaid i'r ochrau fod yn gyfanrifau. Er enghraifft, er bod triongl gyda'i hochrau yn $a = b = 1$ and $c = \sqrt 2$ yn driongl ongl sgwâr, nid yw $(1, 1, \sqrt 2)$ yn driawdau Pythagoraidd gan nad yw $\sqrt 2$ yn gyfanrif. Ar ben hyn, nid oes gan $1$ a $\sqrt 2$ rannydd cyffredin sy'n gyfanrif, gan nad yw $\sqrt 2$ yn anghymarebol.

Gŵyr mathemategwyr am driawdau Pythagoraidd ers canrifoedd ac mae'r enghraifft gynharaf ohonynt i'w weld ar lechen o glai a elwir yn "Plimpton 322" ac a ganfuwyd ym Mabilon ac a ysgythrwy i mewn i'r clai tua 1800 CC. Fe'i canfuwyd gan Edgar James Banks ychydig wedi 1900.

Enghreifftiau

Ceir 16 triawd cysefin Pythagoraidd, gyda c ≤ 100:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Noder, fodd bynnag, nad yw (6, 8, 10) yn driawd cysefin Pythagoraidd, gan ei fod yn lluoswm o (3, 4, 5).

Yn ychwanegol at y rhain, mae'r canlynol yn driawdau cysefin Pythagoraidd gyda 100 < c ≤ 300:

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Cynhyrchu triawdau

Triawd cysefin Pythagoraidd. Gwelir yma'r 'coesyn' odrifol a ar yr echelin llorweddol a'r coesyn b ar yr echelin fertig. Cynhyrchwyd y grid cromlinog hwn gyda chromlinau o'r cysonyn m − n a'r cysonyn m + n o fewn fformiwl Euclid.

Mae 'fformiwla Euclid' yn fformiwla ffwndamental ar gyfer cynhyrchu triawdau Pythagoraidd, o dderbyn parau o gyfanrifau m ac n gyda $m > n > 0$ . Noda'r fformiwla fod y cyfanrifau

a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}

yn ffurfio triawd Pythagoraidd.^[2]

Mae'r triawd a gynhyrchir o fformiwla Euclid yn gysefin os a dim ond os yw m ac n yn gyd-gysefin ac nad yw'r ddau yn odrifau.^[3]

Gweler hefyd

Rhannydd cyffredin mwyaf

Cyfeiriadau

↑ Long (1972, p. 48)
↑ Joyce, D. E. (June 1997), "Book X , Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html
↑ Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette 85 (503): 273–5, doi:10.2307/3622017, JSTOR 3622017

[1] Long (1972, p. 48)

[2] Joyce, D. E. (June 1997), "Book X , Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html

[3] Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette 85 (503): 273–5, doi:10.2307/3622017, JSTOR 3622017

[1]

[2]

[3]