Función gamma

En matemátiques, la función gamma (denotada como $\scriptstyle \Gamma (z)\,\!$ , onde $\scriptstyle \Gamma$ ye la escritura en mayúscula de la lletra gamma del alfabetu griegu) ye una aplicación qu'estiende'l conceutu de factorial a los númberos complexos. La notación foi propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del númberu complexu $z$ ye positiva, entós la integral

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}y^{-t}\,dt$

converxe absolutamente; esta integral puede ser estendida a tol planu complexu, sacante a los enteros negativos y al cero. Si $n$ ye un enteru positivu, entós

$\Gamma (n)=(n-1)!\,$

lo que nos amuesa la rellación d'esta función col factorial. Ello ye que la función gamma estiende'l conceutu de factorial a cualquier valor complexu de $z$ . La función gamma apaez en delles funciones de distribución de probabilidá, polo que ye bastante usada tantu en probabilidá y estadística como en combinatoria.

Definición clásica

Si la parte real del númberu complexu $z$ ye positiva (Re( $z$ ) > 0), entós la integral

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}y^{-t}\,dt\,\!

converxe absolutamente. Usando la integración por partes, llógrase la siguiente propiedá:

\Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)

Esta ecuación funcional xeneraliza la rellación $n!=n(n-1)!$ del factorial. Puede evaluase $\Gamma (1)$ analíticamente:

\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }y^{-t}dt=\lim _{k\rightarrow \infty }\left.-y^{-t}\right|_{0}^{k}=-0-(-1)=1.

Combinando estos dos resultaos deduzse que'l factorial ye un casu particular de la función gamma:

\Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,

pa los enteros non negativos $n$ .

La función Gamma ye una función meromorfa de $z\in \mathbb {C}$ con polos simples en $z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )$ y residuos $\operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ .^[1] Estes propiedaes pueden ser usaes pa estender $\Gamma (z)$ dende la so definición inicial a tol planu complexu (quitando los puntos nos cualos ye singular) por continuación analítica.

Definiciones alternatives

Les siguientes definiciones de la función gamma por aciu productos infinitos, debíes a Euler y Weierstrass respeutivamente, son vixentes en tol planu complexu $z$ , sacante para valores enteros negativos:

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}

\Gamma (z)={\frac {y^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}y^{z/n}

onde $\gamma$ ye la constante de Euler-Mascheroni.

Ye senciellu comprobar que la definición de Euler satisfai la ecuación funcional, dada enriba, como sigue. Sía $z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots$

{\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}

Tamién puede llograse la siguiente representación integral:

\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }y^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!

Llogru de la ecuación funcional usando integración por partes

Atopar $\Gamma (1)$ ye daqué fácil:

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{1-1}dx=\int _{0}^{\infty }y^{-x}dx=-y^{-\infty }-(-y^{0})=0-(-1)=1$

Depués llógrase una fórmula pa $\Gamma (n+1)$ como una función de $\Gamma (n)$ :

$\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{n+1-1}dx=\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{n}dx$

Usamos integración por partes pa resolver la integral:

$\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{y^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{n-1}dx$

Na llende inferior llógrase direutamente ${\frac {-0^{n}}{y^{0}}}={\frac {0}{1}}=0$ .

Nel infinitu, usando la regla de L'Hôpital $n$ vegaes:

$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{y^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!}{y^{x}}}=0$ .

Polo que s'anula'l primer términu, $\left[{\frac {-x^{n}}{y^{x}}}\right]_{0}^{\infty }$ , lo que nos da la siguiente resultancia:

$\Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }y^{-x}x^{n-1}dx$

La parte derecha de la ecuación ye esautamente $n\Gamma (n)$ , colo que llogremos una rellación de recurrencia:

\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)

.

Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:

\Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,

\Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,

\Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,

\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!

Propiedaes

De la representación integral llógrase:

$\lim _{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty$ .

Otres ecuaciones funcionales importantes de la función Gamma son la fórmula de reflexón de Euler

$\Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!$

y la fórmula de duplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!$

La fórmula de duplicación ye un casu especial del teorema de multiplicación

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!$

Una propiedá básica y bien útil de la función Gamma , que puede llograse a partir de la definición por aciu productos infinitos de Euler ye:

${\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!$

Delles llendes útiles p'aproximamientos asintóticas:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$

Quiciabes el valor más conocíu de la función Gamma con argumentu non enteru ye:

$\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!$

La cual puede llograse faciendo $z=1/2$ na fórmula de reflexón o na fórmula de duplicación, usando la rellación de la función Gamma cola función beta dada más embaxo con $x=y=1/2$ o faciendo la sustitución $o={\sqrt {t}}$ na definición integral de la función Gamma, colo que se llogra una integral Gaussiana. Polo xeneral, pa valores impares de $n$ tiense:

$\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}$ ( $n$ impar)

onde $n$ !! denota al doble factorial. Les derivaes de la función Gamma vienen daes pola función poligamma. Por casu:

$\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).\,\!$

A partir de la representación integral de la función Gamma, llógrase que la so derivada $n$ -ésima ye:

${d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}y^{-t}\ln ^{n}t\,dt.$

La función Gamma tien un polu d'orde 1 en $z=-n$ pa tou númberu enteru non negativu . El residuu en cada polu ye:

$\operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!$

El teorema de Bohr-Mollerup diz que, ente toles funciones que xeneralicen el factorial de los númberos naturales a los reales, namái la función Gamma ye logarítmicamente convexa, esto ye, el llogaritmu natural de la función Gamma ye una función convexa.

El desenvolvimientu en Serie de Laurent de $\Gamma (z)$ pa valores 0 < $z$ < 1 ye:

$\Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots$

Onde $\zeta (n)$ ye la función zeta de Riemann.

Función Pi

Gauss introdució una notación alternativa de la función Gamma denominada función Pi, qu'en términos de la función Gamma ye:

\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!

Asina, la rellación d'esta función Pi col factorial ye abondo más natural que nel casu de la función Gamma:

\Pi (n)=n!.\!

La fórmula de la reflexón toma la siguiente forma:

\Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!

Onde sinc ye la función sinc normalizada, el teorema de la multiplicación escríbese asina:

\Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!

Dacuando atópase la siguiente definición

\pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!

onde $\pi (z)$ ye una función entera, definida pa tou númberu complexu, pos nun tien polos. La razón d'ello ye que la función Gamma y, poro, la función Pi, nun tienen ceros.

Rellación con otres funciones

Na representación integral de la función Gamma, tantu la llende cimera como l'inferior de la integración tán fitos. La función gamma incompleta cimera $\gamma (a,x)$ ya inferior $\Gamma (a,x)$ llógrense modificando les llendes d'integración cimera o inferior respeutivamente.

\Gamma (a,x)=\int _{x}^{\infty }t^{a-1}\,y^{-t}\,dt.\,\!

\gamma (a,x)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,y^{-t}\,dt.\,\!

La función Gamma ta rellacionada cola función beta pola siguiente fórmula

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!

La derivada logarítmica de la función Gamma ye la función digamma $\psi ^{(0)}(z)$ . Les derivaes de mayor orde son les funciones poligamma $\psi ^{(n)}(z)$ .

\psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}

\psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)

L'análogu de la función Gamma sobre un cuerpu finito o un aniellu finito son les sumas gaussianas, un tipu de suma esponencial.
La función gamma inversa ye la inversa de la función gamma, que ye una función entera.
La función Gamma apaez na definición integral de la función zeta de Riemann $\zeta (z)$ :

\zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {o^{z-1}}{y^{o}-1}}\;\mathrm {d} o\,\!.

Fórmula válida namái si $\operatorname {Re} (z)>1$ . Tamién apaez na ecuación funcional de $\zeta (z)$ :

\pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).

Valores de la función Gamma

{\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}

Aproximamientos

La función Gamma puede calculase numbéricamente con precisión arbitraria usando la fórmula de Stirling, l'aproximamientu de Lanczos o l'aproximamientu de Spouge.

P'argumentos que sían múltiplos enteros de 1/24, la función Gamma puede ser evaluada rápido usando iteraciones de medies aritméticu xeométriques (vease Valores de la función Gamma).

Por cuenta de que tantu la función Gamma como'l factorial crecen bien rápido p'argumentos moderadamente grandes, munchos programes de computación inclúin funciones que devuelven el llogaritmu de la función Gamma. Este crez más amodo, y en cálculos combinatorios ye bien útil, pos se pasa de multiplicar y estremar grandes valores a sumar o restar los sos llogaritmos.

Aplicaciones de la función gamma

Cálculo fraccionariu

La $n$ -ésima derivada de $ax^{b}$ (onde n ye un númberu natural) puede vese de la siguiente manera:

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}

como $n!=\Gamma (n+1)$ entós

{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}

onde $n$ puede ser cualquier númberu onde gamma tea definíu o pueda definise por aciu llendes. D'esta manera puede calculase por casu, la 1/2 derivada de $x$ , de $x^{2}$ y inclusive d'una constante $c=cx^{0}$ :

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}

{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}

Ver tamién

Referencies

↑ George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Bibliografía utilizada

Artin, Emil (2006). escritu en Providence, RI. Rosen, Michael. ed. The Gamma function. «Exposition by Emil Artin: a selection». History of Mathematics (American Mathematical Society) (30).
Davis, Philip J. (1959). «Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function». Am. Math. Monthly (66): páxs. 849-869.
Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). «Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers». Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Archivado del original el 2006-06-30. https://web.archive.org/web/20060630101024/http://www.informatik.tu-darmstadt.de/TI/Mitarbeiter/papanik/ps/TI-97-7.dvi. Consultáu'l 2018-06-10.
Havil, Julian (2003). Gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9.
Sebah, Pascal. «Introduction to the Gamma Function».Formatu HTML

Bibliografía adicional

(1972) Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. Nueva York: Dover.
Arfken, G.; Weber, H. (2000). «Chapter 10», Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press.
Hochstadt, Harry (1986). «Chapter 3», The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover.
Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). «Section 6.1», Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
Murray R. Spiegel: Tresformaes de Laplace, ediciones Schaumm.
Makárenko, Krasnov y Kiselev: Funciones de variable complexa, Cálculu operacional, Teoría de la estabilidá, editorial Mir.

Enllaces esternos

Sitio web

Exemplos de problemes qu'arreyen a la Función Gamma en Exampleproblems.com Archiváu 2016-10-02 en Wayback Machine (n'inglés).
Cephes - Llibrería de funciones especiales matemátiques de C y C++ (n'inglés).
Fast Factorial Functions - Dellos algoritmos.
Approximation Formules - Aproximamientos.
Evaluador de la función Gamma de Wolfram con precisión arbitraria.
Volume of n-Spheres and the Gamma Function Archiváu 2008-05-09 en Wayback Machine en MathPages (n'inglés).
Ferramienta online pa llograr gráfiques de funciones que contién a la función Gamma.
Calculadora Función gamma

[1] George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

[1]