柯西中值定理

柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

内容

如果函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 满足

那么在 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi (a<\xi <b)$ ，使等式

{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}

或

(f(b)-f(a))g\,'(\xi )=(g(b)-g(a))f\,'(\xi )\,

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使f′(c) = g′(c) = 0,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

t\mapsto (t^{3},1-t^{2}),

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

首先，如果 $g(a)=g(b)$ ，由罗尔定理，存在一点 $x_{0}\in (a,b)$ 使得 $g'(x_{0})=0$ ，与条件3矛盾。所以 $g(a)\neq g(b)$ 。

令 $h(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g(x)$ 。那么

$h$ 在 $[a,b]$ 上连续，
$h$ 在 $(a,b)$ 上可导，
$h(a)=h(b)={\frac {f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)}}$ 。由罗尔定理，存在一点 $c\in (a,b)$ 使得 $h'(c)=0$ 。即 $f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\cdot g'(c)$ 。命题得证。