Algunas ideas sobre Geometr´ia no conmutativa

Algunas ideas sobre Geometrı́a no conmutativa Marta Macho Stadler Universidad del Paı́s Vasco-Euskal Herriko Unibertsitatea. Facultad de Ciencias. Departamento de Matemáticas. Apartado 644. 48080 Bilbao e-mail: mtpmastm@lg.ehu.es Abstract ... Einstein was always rather hostile to quantum mechanics. How can one understand this? I think it is very easy to understand, because Einstein had been proceeding of different lines, lines of pure geometry. He had been developing geometrical theories and had achieved enormous success. It is only natural that he should think that further problems of physics should be solved by further development of geometrical ideas. How to have a × b not equal to b × a is something that does not fit in very well with geometrical ideas; hence his hostility to it. P.A.M. Dirac, The Mathematical Intelligencer 11, 58, (1989). El descubrimiento de W. Heisenberg de la Mecánica de las Matrices (o Mecánica Cuántica) se apoya en resultados experimentales de la espectroscopia. La sustitución resultante del espacio de las fases por un espacio “no conmutativo” (más precisamente, del álgebra de las funciones sobre el espacio de fases, por el álgebra de matrices), es un paso conceptual de los más importantes. Existen además muchos ejemplos de espacios que surgen de manera natural (como el espacio de hojas de una variedad foliada), para los cuales las herramientas clásicas del Análisis no son adecuadas, pero que se corresponden de una manera muy natural con un álgebra no conmutativa. En este artı́culo, se dan algunos ejemplos de funcionamiento del “mundo no conmutativo”. 1 Introducción La “Geometrı́a no conmutativa” se apoya en los siguientes hechos esenciales: 1.- los espacios usados por los fı́sicos son no conmutativos en muchos casos: • en Mecánica Cuántica, donde el descubrimiento de W. Heisenberg de la “Mecánica de las Matrices” reemplaza el álgebra de funciones sobre el espacio de fases de la Mecánica Clásica, por un álgebra no conmutativa; 2 Geometrı́a no conmutativa • en Fı́sica del Estado Sólido (con el trabajo de J. Bellissard), el espacio de las energı́as-impulsión de un tal sistema se vuelve no conmutativo, en el sentido de que el álgebra de las funciones sobre este espacio se reemplaza por un álgebra no conmutativa; • con respecto a la Geometrı́a del “espacio-tiempo”, tal y como la revela la Fı́sica de las Partı́culas Elementales, bajo la forma del modelo de Weinberg-Salam. Esta geometrı́a es más sutil que la que se presupone siempre (una variedad de dimensión 4) y la geometrı́a no conmutativa permite, matizando la noción de forma diferencial y “desdoblando” el espacio-tiempo, dar un origen conceptual como bosones de capacidad pura a los bosones de Higgs del modelo standard; 2.- existen muchos ejemplos de espacios que surgen de manera natural (el espacio de universos de Penrose, el espacio de representaciones irreductibles de un grupo discreto, los espacios no simplemente conexos de grupo fundamental no abeliano, el espacio de hojas de una foliación, los grupos cuánticos, ...), para los cuales las herramientas clásicas del Análisis no son adecuadas, pero que corresponden de una manera muy natural a un álgebra no conmutativa; 3.- es posible reformular las herramientas clásicas del Análisis (como la teorı́a de la medida, la topologı́a, el cálculo diferencial, el cálculo diferencial métrico, ...), en términos algebraicos e hilbertianos, de modo que su marco natural se transforme en no conmutativo, el caso conmutativo no estando ni aislado ni cerrado en la teorı́a general. El “esquema” de funcionamiento de la Geometrı́a no conmutativa se puede resumir del siguiente modo: (i) dado un objeto geométrico “singular” G, se empieza eligiendo una “desingularización” adecuada G
de G, (ii) es de esperar que G
tenga suficiente estructura como, a partir de él, encontrar una C*-álgebra C ∗ (G), cuya complejidad refleje la naturaleza de G, (iii) utilizando métodos de Geometrı́a no conmutativa, se trata de investigar el anillo no conmutativo C ∗ (G). 3 Marta Macho Stadler En este trabajo no se pretende dar un repaso exhaustivo de técnicas o ejemplos de Geometrı́a no conmutativa. Está realizado desde el punto de vista de una persona que trabaja en Teorı́a de Foliaciones, y de aquı́ las referencias y el enfoque empleados. 2 Motivación fı́sica En Mecánica Clásica es necesario, para determinar la trayectoria ulterior de una partı́cula, conocer a la vez su posición y su velocidad iniciales. Los datos iniciales forman pues un conjunto de 6 parámetros, que son las 3 coordenadas de la posición y las 3 del momento. Si se trabaja con n partı́culas, aparece un conjunto de 6n parámetros, que es el espacio de fases M del sistema mecánico considerado. A partir de una función sobre este espacio, el hamiltoniano (que mide la energı́a), se establece un sistema de ecuaciones diferenciales, que determinan la trayectoria a partir de las condiciones iniciales. La estructura natural de M es la de una variedad simpléctica, cuyos puntos son los estados del sistema. Las funciones sobre M son las cantidades observables del sistema. El hamiltoniano H es una función sobre M , que interviene para especificar la evolución de toda cantidad fı́sica observable, por la ecuación d f = {H, f }, dt donde {} es el corchete de Poisson. En los buenos casos (por ejemplo, el modelo planetario del átomo de hidrógeno), el sistema dinámico obtenido es totalmente integrable, es decir, hay suficientes “constantes de movimiento” para que al especificarlas, se reduzca el sistema a un movimiento casi-periódico. La descripción de un tal sistema es muy simple: 1.- el álgebra de las cantidades observables es el álgebra conmutativa de las series casi-periódicas,  q(t) = qn1 ...nk e2πin,vt , donde ni ∈Z, las constantes vi ∈ R+ son las frecuencias fundamentales y n, v = ni vi ; 2.- la evolución en el tiempo está dada por la translación de la variable t. Ası́, los principales objetos de la Mecánica Clásica en el formalismo hamiltoniano, son: (i) el espacio de fases, una variedad simpléctica de clase C ∞ , M ; 4 Geometrı́a no conmutativa (ii) los observables, funciones reales sobre M , que pueden considerarse como elementos de un álgebra (por ejemplo, la energı́a es un observable), (iii) los estados, que son funcionales lineales sobre los observables; (iv) la dinámica de un observable está definida por un hamiltoniano H y una d ecuación diferencial f = {H, f }; dt (v) las simetrı́as del sistema fı́sico actúan sobre observables o estados, vı́a transformaciones canónicas de M . Los observables, la dinámica y la simetrı́a son objetos primarios, mientras que el espacio de fases y los estados pueden recuperarse a partir éstos primeros. En el modelo clásico, el conjunto de las frecuencias de las radiaciones emitidas es un subgrupo aditivo Γ de R. A cada frecuencia emitida le corresponden todos los múltiplos enteros o armónicos. El álgebra de las cantidades fı́sicas observables se lee directamente a partir de Γ: es el álgebra de convolución de este grupo de frecuencias. Como Γ es un grupo conmutativo, el álgebra también es conmutativa. Pero, de hecho, la espectroscopia y sus numerosos resultados experimentales muestran que este último resultado teórico está en contradicción con la experiencia. El conjunto de las frecuencias emitidas por un átomo no forma un grupo, es falso que la suma de dos frecuencias del espectro sea aún una de ellas. La experiencia dice que, en realidad, se está trabajando con un grupoide ∆ = {(i, j) : i, j ∈ I}, con la regla de composición (i, j).(j, k) = (i, k) (el llamado grupoide grosero). El principio de combinación de Ritz-Rydberg permite indicar las lı́neas espectrales por ∆. Dos frecuencias vij y vkl se componen si y sólo si j = k, y entonces vil = vij + vjl . El álgebra de convolución tiene aún sentido cuando se pasa de un grupo a un grupoide: es el álgebra de matrices. Al reemplazar el grupo Γ por el grupoide ∆ dictado por la experiencia, W. Heisenberg reemplaza la Mecánica Clásica (teorı́a en la cual las cantidades observables conmutan dos a dos), por la Mecánica de las Matrices, en la cual las cantidades observables (tan importantes como la posición y el momento) ya no conmutan. Pero W. Heisenberg no entendió enseguida que el álgebra con la que estaba trabajando era ya conocida por los matemáticos (el álgebra de matrices), las reglas de cálculo algebraico de Heisenberg le fueron impuestas por los resultados experimentales de la espectroscopia, y más adelante Jordan y Born identificaron éste álgebra. Ası́, en la Mecánica de Matrices, una cantidad fı́sica observable está dada por sus coeficientes {q(i, j) : (i, j) ∈ ∆}. 5 Marta Macho Stadler La evolución en el tiempo de un observable está dada por el homomorfismo v : ∆ → R, que lleva cada lı́nea espectral (i, j) en su frecuencia vij . Y se obtiene la fórmula (similar a la clásica), q(i,j) (t) = q(i, j)e2πivij t . Para obtener el análogo de la ley de evolución de Hamilton, se define una cantidad fı́sica particular, H, que juega el papel de la energı́a clásica y está dada por sus coeficientes H(i,j) , donde  0 si i = j H(i,j) = 2πhvi si i = j donde vij = vi − vj y h es la constante de Planck. Se ve que H está unı́vocamente determinada, salvo adición de un múltiplo de la matriz identidad. Esta fórmula es equivalente a d i f = [H, f ], dt h donde [H, f ] = Hf − f H, que es parecida a la de Hamilton, que utiliza los corchetes de Poisson. Por analogı́a con la Mecánica Clásica (donde h = 0), se impone a los observables q de posición y p de momento, verificar la ecuación [p, q] = ih. La forma algebraica de la energı́a clásica como función de p y q, da entonces la ecuación de Schrödinger. El principio de incertidumbre de Heisenberg, que estipula que la posición y la cantidad de movimiento de una partı́cula no pueden conocerse simultáneamente con grados de precisión independientes, es precisamente una consecuencia de la no conmutatividad. Ası́, los principales objetos de la Mecánica Cuántica son: (i) el espacio de fases, un espacio proyectivo P (H), donde H es un espacio de Hilbert; (ii) los observables, operadores auto-adjuntos sobre H; (iii) los estados del sistema fı́sico, que están definidos por un vector unitario ξ ∈ H; (iv) la dinámica de un observable f está definida por un operador autoadjunto d i H, vı́a la ecuación de Heisenberg f = [H, f ]; dt h (v) las simetrı́as del sistema fı́sico actúan sobre observables o estados vı́a operadores unitarios sobre H. 6 Geometrı́a no conmutativa Se puede empezar desde el álgebra de observables, y realizar los estados y el espacio de Hilbert H a través de la construcción de Gelfand-Naimark-Segal. Observar la similitud existente entre las descripciones clásica y cuántica, con correspondencia entre el corchete de Poisson y el conmutador. Precisamente, este paralelismo hace muy tentadora la construcción de una aplicación Q, la cuantización de Dirac, tal que: 1.- Q transforma una función f en un operador Q(f ), es decir, lleva observables clásicos en observables cuánticos; 2.- Q tiene la propiedad algebraica {Q(f1 ), Q(f2 )} = [fˆ1 , fˆ2 ], es decir, lleva los corchetes de Poisson en conmutadores, 3.- Q(1) = I, es decir, la imagen de la función idénticamente igual a uno es el operador identidad I. Desafortunadamente, Q no existe, incluso para casos muy simples. 3 Fundamentos matemáticos Si M es un espacio localmente compacto, el álgebra C0 (M ) = {f : M → C, ∀ǫ > 0, ∃Kǫ compacto ⊂ X y |f (x)| < ǫ, si x ∈ Kǫ }, provista de la involución f ∗ (x) = f (x), para x ∈ M , es una C*-álgebra conmutativa (una C*-álgebra A es un álgebra de Banach compleja, provista de una involución, ∗ : A → A, verificando, respecto a la norma de espacio de Banach, la relación a∗ a = a 2 . Toda C*-álgebra puede pensarse como una subálgebra autoadjunta y cerrada para la norma de B(H), donde H es un espacio de Hilbert). El teorema central de esta teorı́a es: Teorema de Gelfand: Toda C*-álgebra conmutativa es de la forma C0 (M ), para algún espacio localmente compacto y separado M , es decir, la categorı́a de las C*-álgebras conmutativas y ∗-homomorfismos, es dual de la categorı́a de espacios localmente compactos y aplicaciones continuas propias. La herramienta más potente de la Topologı́a es la K-teorı́a, definida por M. Atiyah, que utiliza fibrados vectoriales, que pueden verse como módulos proyectivos de tipo finito, lo cual permite generalizar la noción de K-teorı́a a álgebras de funciones. Los grupos de K-teorı́a aparecen naturalmente como 7 Marta Macho Stadler generadores de invariantes sobre espacios topológicos. El más clásico entre ellos es el caracter de Chern: si M es una variedad diferenciable, se dispone de las aplicaciones ch0 : K 0 (M ) → H par (M ) = ∞  H 2n (X) y n=0 1 ch1 : K (M ) → H impar (M ) = ∞  H 2n+1 (X), n=0 donde H n (M ) es la cohomologı́a de DeRham de M . Los componentes de la escuela rusa (fundamentalmente, G. Kasparov y A.S. Mishchenko), prueban que la K-teorı́a de C*-álgebras juega también un papel crucial en la solución de problemas clásicos en la teorı́a de variedades no simplemente conexas. Para tales espacios, un invariante homotópico básico es la π1 (M )-signatura equivariante de su revestimiento universal, σ. Este invariante σ, vive en el K-grupo K0 (C ∗ (π1 (M )). Se dispone en la actualidad de un análogo no conmutativo de las distribuciones de DeRham y de la homologı́a, gracias a la cohomologı́a cı́clica, introducida por A. Connes, que aparece como un receptáculo natural para definir el caracter de Chern de las clases de K-homologı́a y del cálculo diferencial cuánticos. Esta teorı́a permite formular en términos homológicos el teorema del ı́ndice para familias de operadores elı́pticos (Dx )x∈X , donde cada Dx es un operador elı́ptico ordinario sobre una variedad, y donde el conjunto X de los parámetros es un “espacio cuántico”. La cohomologı́a cı́clica retiene una de las caracterı́sticas esenciales, a saber, el aspecto de linearización infinitesimal de la Geometrı́a Diferencial. Pero, esta caracterı́stica no se manifiesta ya a nivel del “espacio”, sino al nivel de los “campos” correspondientes, es decir, al nivel del álgebra de funciones A sobre el espacio que se estudia. Por ejemplo, hay resultados conocidos (debidos a J.L. Loday, D. Quillen y B.L. Tsigan), que prueban que la cohomologı́a cı́clica es la “parte indescomponible” de la cohomologı́a del álgebra de Lie del grupo GL(A). El paso de A a su álgebra de Lie, es precisamente la “linearización infinitesimal” de esta estructura algebraica. Los grupos cuánticos juegan el papel de los grupos de Lie de la Geometrı́a Diferencial Clásica, y se utilizan sobre todo en la Fı́sica de Partı́culas Elementales. Queda el problema de la “auténtica” geometrı́a, es decir, la geometrı́a riemanniana. Se aborda a través del operador de Dirac. Este operador juega en relatividad general, el papel que las representaciones del grupo de Poincaré 8 Geometrı́a no conmutativa juegan en la relatividad restringida. Además, la K-homologı́a, teorı́a dual de la K-teorı́a, clarifica (salvo homologı́a) la construcción del operador de Dirac como generador. Queda por especificar de manera más precisa este generador, minimizando un funcional de acción. Esto es posible gracias a una traza introducida por J. Dixmier en 1966, y que permite comprender mucho mejor el papel de las divergencias logarı́tmicas de la teorı́a perturbativa de los campos. En resumen, todas las propiedades de un espacio localmente compacto M pueden leerse a través de propiedades de su álgebra de funciones. He aquı́ un diccionario (no exhaustivo): Conmutativo No conmutativo M ≡ C0 (M ) A no commutativo aplicación propia homeomorfismo abierto en M punto en M abierto denso en M cerrado en M medida µ y L∞ (M, µ) compacto en M compactificación CII conexión fibrado vectorial sobre M forma diferencial de grado k morfismo automorfismo ideal en A ideal maximal en A ideal esencial en A cociente en A estado sobre A y álgebra de Von Neumann unitario de A adjunción de unidad separabilidad no existencia de idempotente no trivial módulo proyectivo de tipo finito sobre A ciclo de Hochschild de dimensión k corriente de DeRham de dimensión k cociclo de Hochschild de dimensión k homologı́a de DeRham cohomologı́a cı́clica de A Las diferentes lı́neas de desarrollo de la Geometrı́a no Conmutativa en los últimos años, se pueden resumir en: 9 Marta Macho Stadler (i) estudio de K y KK-teorı́a, teoremas del ı́ndice para operadores diferenciales con coeficientes no conmutativos, teoremas del ı́ndice para operadores diferenciales sobre variedades foliadas (conjetura de BaumConnes), conjeturas de Novikov,... (ii) introducción de la cohomologı́a cı́clica, complejos de DeRham no conmutativos, clases caracterı́sticas no conmutativas, ... (iii) noción de grupo cuántico, ... 4 Un ejemplo sencillo Para θ ∈ R, las curvas integrales del campo de vectores X= ∂ ∂ +θ , ∂x1 ∂x2 definen una foliación Fθ sobre el toro T2 . Si θ ∈ Q, cada hoja es una circunferencia. En otro caso, cada hoja es densa, de hecho, una copia de R, “puesta de manera densa” en el toro, y la foliación inducida es la llamada foliación de Kronecker Fθ . El espacio de hojas de esta foliación, T2 /Fθ , es un espacio indiscreto, sin ningún interés. Pero existe la C*-álgebra asociada a la foliación, C ∗ (T2 /Fθ ), que es no trivial y que describe las propiedades topológicas de este espacio de hojas: sea Aθ la C*-álgebra universal engendrada por dos generadores unitarios u y v, con la relación de conmutación (que es la forma unitaria de la relación de conmutación de Heisenberg [p, q] = ih de la Mecánica Cuántica): uv = e−2iπθ vu. Es el álgebra de rotación irracional, toro no conmutativo o toro cuántico, que generaliza al álgebra de funciones sobre el toro de dimensión dos. Para definirla, observamos que toda función f ∈ C ∞ (T2 , C) puede escribirse por transformada de Fourier de la forma  f (t, s) = ckl uk v l , k,l∈Z con u = exp2πit y v = exp2πis , donde los coeficientes ckl son de decrecimiento rápido, y de tal forma que las semi-normas f m = sup |ckl |(1 + |k| + |l|)m k,l∈Z 10 Geometrı́a no conmutativa sean todas finitas para cada m ∈ N. El álgebra no conmutativa que generaliza este álgebra, se construye suprimiendo la conmutatividad entre u y v de la manera anteriormente indicada. Este álgebra se escribe también como un producto cruzado C(S1 ) ×α Z, donde Z actúa sobre C(S1 ) ≃ C ∗ (v) por la rotación de ángulo θ en S1 , es decir, αn (f )(z) = f (e−2iπnθ z), para z ∈ S1 . Esta es justamente C ∗ (T2 /Fθ ). Un elemento genérico de Aθ es  amn um v n , n,mf inito y la familia de estos elementos forman una subálgebra densa en Aθ . Este álgebra es mucho más complicada que C(T2 ) (cuyos elementos son funciones continuas): 1.- C(T2 ) tiene muchos ideales, Aθ es simple; 2.- C(T2 ) es conmutativa y Aθ no. De hecho, su centro está formado justamente por los escalares, 3.- Aθ tiene una única aplicación traza y C(T2 ) (a diferencia de las álgebras de matrices Mn (C)) posee muchas trazas normalizadas: τ (f ) =  0 1 1 f (e2πis , e2πit )g(e2πis , e2πit )dsdt, 0 con g función de probabilidad sobre T2 , es decir, es una función positiva   1 1 sobre T2 tal que 0 g(e2πis , e2πit )dsdt = 1; 0 4.- Aθ tiene muchos proyectores y C(T2 ) sólo dos (0 y 1). Ası́, tenemos la familia de álgebras de operadores {Aθ : θ ∈ I}, ¿cómo clasificarlas?, ¿son todas distintas?, ¿cuáles son isomorfas?. Para resolver este problema hay que recurrir a la estructura proyectiva, es decir, a K0 (Aθ ), y calcular las trazas de estos proyectores, que son un “código” para Aθ . En 1980, M. Pimsner y D. Voiculescu prueban que K0 (Aθ ) es isomorfo a Z ⊕ Z. En ese mismo año, M. Rieffel demuestra que existe un proyector eθ ∈ Aθ , tal que τ (eθ ) = θ, y lo construye imponiendo la condición eθ = v ∗ g(u) + f (u) + g(u)v, donde f y g son funciones apropiadas para que e2θ = eθ = e∗θ ; y entonces Marta Macho Stadler τ (eθ ) =  11 1 f (t)dt = θ. De este modo, se deduce la propiedad de Pimsner- 0 Rieffel-Voiculescu: τ (P roy(Aθ )) = (Z ⊕ Zθ) ∩ [0, 1], donde τ es la única aplicación traza normalizada. Ası́, ésto proporciona el invariante más algebraico, a saber, τ∗ (K0 (Aθ )) = Z ⊕ Zθ. De todo lo anterior, se deduce que las álgebras Aθ no son todas iguales: si Aθ ≃ Aθ′ (para 0 < θ, θ′ < 1), entonces Z ⊕ Zθ = Z ⊕ Zθ′ con lo que θ = θ′ ó θ′ = 1 − θ. Observar que si se relaciona θ con la constante de Plank por h = 2πθ, este álgebra es muy distinta si se hacen pequeñas variaciones o aproximaciones de h! La cohomologı́a cı́clica permite en particular definir el ciclo fundamental de T2 /Fθ . El toro no conmutativo ha permitido a J. Bellisard modelizar el efecto de Hall cuántico. Y aparece también en otros contextos, como en estructuras periódicas en campos magnéticos, modelos matriciales de teorı́a de cuerdas, juega un papel universal en la teorı́a de representación de grupos de Lie y proporciona un armazón conveniente para el estudio de los operadores de Schrödinger con potenciales casi-periódicos. 5 Otro ejemplo “no conmutativo”: la conjetura de Baum-Connes Este ejemplo proviene de la teorı́a de foliaciones, y en él se observa claramente el “esquema” de funcionamiento de la Geometrı́a no conmutativa descrito anteriormente. Como se ha mencionado previamente, para cada espacio localmente compacto M , la C*-álgebra C0 (M ) de las funciones continuas nulas en el infinito, permite “reconstruir” M , y existe un isomorfismo entre la K-teorı́a topológica de M y la K-teorı́a analı́tica de C0 (M ). La conjetura de Baum-Connes, independientemente de su significado en el marco de la teorı́a del ı́ndice, busca establecer un análogo de este isomorfismo para ciertos espacios “singulares”: los espacios de hojas de foliaciones. De manera más precisa, si F es una foliación de clase C ∞ sobre una variedad M , como M/F es un mal cociente en muchos casos, para obtener información sobre la estructura transversa de la foliación, es preciso usar otro tipo de objetos: 12 Geometrı́a no conmutativa (i) la dinámica de F viene descrita por su grupoide de holonomı́a G, que es un grupoide de Lie, que se puede considerar como una desingularización del espacio de las hojas M/F. A G, como a todo grupoide de Lie, se le ∗ (G), que se interpreta como el asocia una C*-álgebra de funciones Cred “espacio de las funciones continuas nulas en el infinito” sobre M/F. Y la K-teorı́a analı́tica del espacio de hojas, Kan (M/F), se define como la ∗ (G)); de esta C*-álgebra, K∗ (Cred (ii) por otro lado, procediendo por analogı́a con el caso de grupos, se puede construir para G un espacio clasificante BG, sobre el cual G actúa libre y propiamente, pero que no es en general una variedad (y ni siquiera posee el tipo de homotopı́a de una variedad!). BG debe pensarse como el espacio de las hojas, módulo homotopı́a. En [1], se introduce una K-teorı́a G-equivariante generalizada asociada a este objeto, K∗,τ (BG), que se define como la K-teorı́a topológica, Ktop (M/F), del espacio de hojas. Intuitivamente, G, C ∗ (M, F) y BG son objetos completamente determinados por F y portadores de la misma “información”. Los operadores elı́pticos proporcionan una aplicación entre los dos grupos de K-teorı́a arriba descritos, µ : Ktop (M/F) → Kan (M/F). La conjetura de Baum-Connes afirma que µ es un isomorfismo de grupos, cuando los grupos de holonomı́a son libres de torsión. La prueba de la conjetura proporcionarı́a una relación entre la información dada por la estructura transversa de la foliación (a través de G) y la geometrı́a dada por BG, en otras palabras, darı́a una interpretación geométrica del objeto ∗ (G)). analı́tico K∗ (Cred De momento, se ha resuelto únicamente en algunos ejemplos de foliaciones. Se recomiendan las referencias [2], [3], [7], [8], [9], [11] y [12]. Agradecimientos Trabajo parcialmente subvencionado por UPV127.310-EA146/98. References [1] P. Baum and A. Connes, preprint, (1982). Marta Macho Stadler 13 [2] A. Connes, Advances in Mathematics 39, 31-55, (1981). [3] A. Connes, Proc. Symp. in Pure Maths. 38, 521-628, (1982). [4] A. 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