ESTIMACIÓN DEL PITCH EN SEÑALES MONOFÓNICAS DE VOZ
CANTADA
ANDRÉS EDUARDO COCA SALAZAR
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Facultad de Ingenierı́a y Arquitectura
Departamento de Electricidad, Electrónica y Computación
Manizales
2004
ESTIMACIÓN DEL PITCH EN SEÑALES MONOFÓNICAS DE VOZ
CANTADA
ANDRÉS EDUARDO COCA SALAZAR
Trabajo de Grado para optar al tı́tulo de
Ingeniero Electrónico
Director
Ph.D Germán Castellanos
Universidad Nacional de Colombia
Sede Manizales
Facultad de Ingenierı́a y Arquitectura
Departamento de Electricidad, Electrónica y Computación
Manizales
2004
Dedicado con mucho cariño a:
Mi Padre por creer siempre en mı́.
Mi Madre por su gran amor.
Ángela por estar a mi lado.
La música por ser mi gran inspiración.
Andrés Eduardo Coca S.
AGRADECIMIENTOS
El autor expresa sus agradecimientos a:
Ph.D. Cesar German Castellanos, por proponerme este tema y de esta forma introducirme
en el mundo del pitch.
Maestro Hector Fabio Torres C. por sus grandes enseñanzas y a los estudiantes de Lic. en
Música de la Universidad de Caldas: Natalia, Andrea, Nelly, Diana, Carlos y Oscar.
M.sc. Franklin A. Sepulveda, Ing. Ricardo Alzate, Ing. Alexander Cerquera y toda la gente
del GC&P DS.
A mis amigos: Cristina Valencia, Gustavo Lagos, Felipe Orozco, Luis F.Posada, Juan P.Ovalle,
Julio A.Betancourth y demás compañeros de estudio.
Lina Marı́a Izasa, Felipe Perdomo, Gustavo López, Juan Pablo Castaño; por la amistad y
las alegrı́as y tristezas en las noches de bohemia compartidas. Y por último un cariñoso
agradecimiento a toda mi familia.
“Solo cuando se han marchado los dı́as sabemos lo triste y hermoso que han dejado en nuestras
vidas; que alegrı́a saber que lo maravilloso esta aun por llegar. . . ”
Gracias Universidad Nacional
Tabla de Contenido
Tabla de contenido
III
Lista de Figuras
V
Lista de Tablas
VI
Resumen
VII
Abstract
VIII
Objetivos
IX
Glosario
X
1. Estado del arte en la estimación del pitch
1
1.1. Parámetros acústicos de la voz cantada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.1. Formantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2. Pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.3. Parámetros de perturbación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Caracterı́sticas del canto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.1. Impostación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2.2. El formante del canto en la soprano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.3. Clasificación musical de la voces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.4. Diferencias entre la voz cantada y la voz hablada . . . . . . . . . . . .
8
2. Algoritmos para la estimación del pitch
9
2.1. Algoritmos en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.1.1. Autocorrelación con center clipping (AUTOC) . . . . . . . . . . . . .
10
i
TABLA DE CONTENIDO
ii
2.1.2. Autocorrelación del error de predicción (FAEP) . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.3. Cepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.4. Simplified Inverse Filter Technique (SIFT) . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.1.5. Separación y acumulación armónica (SAA) . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2. Algoritmo de estimación en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.1. Harmonic Product Spectrum (HPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.2. Maximum Likelihood (ML) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2.3. Multiplicidad de armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3. Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.1. Segmentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.2. Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.3. Filtro de mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3. Pruebas y Resultados
3.1.
34
Base de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.1. Señales musicales de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.1.2. Caracterı́sticas de las muestras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2. Resultados de la estimación del pitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.1. Segmentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.2. Resultados con señales musicales de prueba . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2.3. Resultados con señales de voz cantada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3. Análisis Estadı́stico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.1. Prueba de hipótesis aplicada a la estimación del pitch . . . . . . . . .
43
3.3.2. Prueba de hipótesis para la estimación con ruido . . . . . . . . . . . .
44
Conclusiones
46
Observaciones
48
Bibliografı́a
50
A. Conceptos Musicales
54
A.1. Nomenclatura de la notas musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.2. Frecuencias de las notas musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.2.1. El pentagrama musical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.3. Efectos usados en el canto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
A.4. Definición de algunos términos musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
A.5. Clasificación de los comienzos y finales de la frase musical . . . . . . . . . . .
57
B. Test de Kolmogorov-Smirnov
58
B.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
B.2. Ajuste de bondad del test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . .
58
B.3. Hipótesis nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
B.4. Ventajas y desventajas del test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
C. Prueba de hipótesis
62
D. Estimación del pitch para diferentes registros
63
D.1. Estimaciones con el algoritmo AUTOC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
D.2. Estimaciones con el algoritmo FAEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
D.3. Estimaciones con el algoritmo ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
D.4. Estimaciones para la primera frase de la obra “Nel cor più non mi sento”. . .
65
D.5. Estimaciones para la primera frase de la obra “Bella prova e d’alma forte”. .
66
D.6. Estimaciones para la primera frase del Réquiem de Mozart . . . . . . . . . . .
67
D.6.1. Estimación con el algoritmo AUTOC y SIFT. . . . . . . . . . . . . . .
67
D.6.2. Estimación con el algoritmo ML configurado para diferentes microtonalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E. Tabla de muestras de pitch con ruido y sin ruido
67
69
E.1. Tablas para los algoritmos en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . . . .
69
E.2. Tablas para los algoritmos en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . .
73
iii
Lista de Figuras
1.1. Modelo del tracto vocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Modelo de la producción de la voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Clasificación musical de las voces en el pentagrama . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1. Señal de voz con center clipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2. Técnica center clipping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3. Diagrama en bloques del algoritmo FAEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4. Diagrama en bloques del algoritmo SIFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5. Diagrama de flujo para el criterio de sonoridad de SIFT . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Escala de los armónicos para C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.7. Primera etapa del algoritmo SAA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.8. Segunda etapa del algoritmo SAA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.9. Representación gráfica del algoritmo HPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.10. Diagrama en bloques del algoritmo HPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.11. Representación gráfica del algoritmo ML . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.12. Diagrama en bloques del algoritmo ML
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.13. Diagrama en bloques del algoritmo MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.1. Melodı́a cantada por una mezzo-soprano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.2. Segmentación para una señal de voz cantada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3. Resultado algoritmo AUTOC para A5 = 880 Hz . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.4. Resultado algoritmo FAEP para A3 = 220 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.5. Resultado algoritmo Cepstrum C6 = 1046 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.6. Contorno del pitch de SIFT para D3 = 146,83 Hz . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.7. Resultado algoritmo SAA para E4 = 329,63 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.8. Resultado algoritmo HPS para G♯2 = 103,83 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
iv
3.9. Resultado algoritmo ML para C7 = 2093 Hz
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.10. Resultado algoritmo MA para B5 = 987,77 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.11. Estimación del pitch con el algoritmo ML para la primera frase del Réquiem
en D menor de Mozart interpretada por una contralto. . . . . . . . . . . . . .
41
3.12. Partitura del Réquiem de Mozart para contralto. . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.13. Estimación del pitch con SIFT para el arpegio de E mayor interpretado por
un tenor.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.14. Partitura del arpegio de E mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.15. Estimación del pitch con FAEP para la escala en E mayor interpretada por
una soprano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.16. Partitura de la escala de E mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.17. Gráfica de las funciones de distribución acumulativas. . . . . . . . . . . . . .
44
A.1. Pentagrama de la escala cromática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
D.1. Estimación del arpegio de E mayor interpretado por un bajo. . . . . . . . . .
63
D.2. Estimación del arpegio de C mayor interpretado por una mezzo-soprano. . . .
63
D.3. Estimación del arpegio de E mayor interpretado por una soprano. . . . . . . .
64
D.4. Estimación de un intervalo de 2a menor interpretado por un barı́tono. . . . .
64
D.5. Estimación de la escala y el arpegio de E mayor interpretado por una soprano. 64
D.6. Estimación con ML para intervalos interpretados por una bajo. . . . . . . . .
65
D.7. Estimación de la obra “Nel cor più non mi sento” con ML. . . . . . . . . . .
65
D.8. Partitura de la obra “Nel cor più non mi sento”. . . . . . . . . . . . . . . . .
66
D.9. Estimación de la obra “Nel cor più non mi sento” con AUTOC y SIFT. . . .
66
D.10.Estimación de la obra “Bella prova e d’alma forte” con SIFT. . . . . . . . . .
66
D.11.Partitura de la obra “Bella prova e d’alma forte”. . . . . . . . . . . . . . . .
67
D.12.Estimación del Réquiem de Mozart con el algoritmo AUTOC y SIFT. . . . .
67
D.13.Estimación con ML configurado para tercios de tono (λ = 13 ). . . . . . . . . .
68
D.14.Estimación con ML configurado para cuartos de tono (λ = 41 ). . . . . . . . . .
68
D.15.Estimación con ML configurado para sextos de tono (λ = 61 ). . . . . . . . . .
68
v
Lista de Tablas
1.1. Caracterı́sticas de los formantes de la voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Clasificación musical de la voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1. Valores de λ para el sistema de afinación usado en ML.
. . . . . . . . . . . .
29
3.1. Caracterı́sticas musicales de las muestras de canto. . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2. Frecuencias de las notas usadas en la primera frase del Réquiem de Mozart. .
41
3.3. Frecuencias del Arpegio de E mayor en la tercera octava . . . . . . . . . . . .
41
3.4. Frecuencias de las notas de la escala de E mayor. . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.5. Resultados del test de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.6. Resultados de la prueba de hipótesis para ruido de 20 dB . . . . . . . . . . .
45
A.1. Cifrado de las notas musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
A.2. Frecuencia de las notas musicales del sistema temperado . . . . . . . . . . . .
55
B.1. Frecuencias relativas acumuladas para el test de Kolmogorov-Smirnov . . . .
59
E.1. Tabla de muestras de pitch para los algoritmos en el dominio del tiempo . . .
70
E.2. Tabla de muestras de pitch para los algoritmos en el dominio de la frecuencia
74
vi
Resumen
Se describen los fundamentos teóricos de diferentes algoritmos para la estimación de la frecuencia fundamental con un enfoque especial para señales monofónicas de voz cantada y señales
musicales en general. Se usa el ajuste de bondad no paramétrico de Kolmogorov-Smirnov para
contrastar las muestras de pitch de los algoritmos implementados, con los resultados obtenidos por medio de software especializado para análisis de voz; que se toman como referencia.
También se aplica una prueba de inmunidad ante el ruido con el estadı́stico t-student para
determinar el comportamiento de cada uno de los algoritmos al adherir ruido gaussiano a
la señal de entrada. Además se describen las ventajas y desventajas encontradas para cada
algoritmo, se estudian algunos parámetros acústicos de la voz y las principales caracterı́sticas
de la voz cantada.
Palabras claves: Pitch, Música, Canto, SAA, ML, SIFT.
vii
Abstract
The theoretical foundations of different algorithms, used to estimate the fundamental frequency with a special approach for monophonic signals of sung voice and musical signals in
general are described. The non-parametric adjustment of kindness of Kolmogorov-Smirnov
is used, in order to contrast the samples of pitch of the implemented algorithms, with the
results obtained by software means of specialized for voice analysis; that they are taken like
reference. A test of immunity to noise is also applied through a statistical t-student in order
to state the behavior of each one of the algorithms when adding gaussiano noise to the input signal. Besides that, the advantages and disadvantages found for each of the algorithms
are described. In addition to that, some acoustic parameters of voice, as well as the main
characteristics of the sung voice are studied.
Keywords: Pitch, Music, Sing, SAA, ML, SIFT.
viii
Objetivos
General
Implementar un algoritmo que permita la estimación del pitch en señales de voz cantada sin
acompañamiento musical y en condiciones de grabación con niveles aceptables de ruido de
fondo.
Especı́ficos
1.
Implementación de un método de segmentación de voz cantada sobre palabras de contenido conocido.
2.
Implementación del procedimiento de estimación del contorno del pitch sobre algunos
métodos de representación de señales de voz, tanto acústicas como sin interpretación
fı́sica.
ix
Glosario
PPQ (Pitch Period Perturbation Quotient): El cociente de perturbación del perı́odo
tonal es una evaluación de la variabilidad del ciclo tonal de la muestra con un factor de
nivelación de cinco perı́odos [22].
sPPQ (smoothed PPQ): El cociente de perturbación del perı́odo tonal nivelado (sPPQ)
entrega una evaluación de la variabilidad de corto y largo alcance de los perı́odos tonales
de la muestra [22].
APQ (Amplitude Perturbation Quotient): El cociente de variación de la amplitud da
una evaluación de la variabilidad de la amplitud de la muestra de voz con un factor de
nivelación de 11 perı́odos [22].
sAPQ (smoothed APQ): El cociente de perturbación de la amplitud nivelada entrega
una evaluación de corto o largo alcance de la variabilidad de la amplitud de la muestra
de voz [22].
RAP (Relative Average Perturbation): La perturbación promedio relativa da una
evaluación de la variabilidad de corto alcance del ciclo tonal de la muestra con un
factor de nivelación de tres perı́odos [22].
ShdB (Shimmer deciBells ): Corresponde a una evaluación de la variabilidad a muy
corto alcance de la amplitud, pico a pico, de la muestra de voz. Se trata de una medición
absoluta en términos de decibeles (dB) [22].
Shim: El shimmer porcentual da una evaluación de la variabilidad de la amplitud, pico
a pico, de la muestra de voz. Representa, en términos relativos, la variabilidad a muy
corto alcance de la amplitud [22].
vAm: Variación de amplitud.
x
Capı́tulo 1
Estado del arte en la estimación del
pitch
Un paso decisivo en la historia de la evolución musical, fue la necesidad para el músico de
contar con un sistema preciso para la afinación, la correcta creación de los instrumentos
musicales y la entonación de las voces humanas usadas en el canto. Gracias a una exacta
afinación se desarrolló el proceso de creación, dirección y montaje de las obras musicales;
porque sin ello la música carecerı́a de interés.
Para la detección de la frecuencia fundamental, el músico se debı́a sustentar únicamente en la
percepción auditiva de la frecuencia de las notas, lo cual es poco preciso. Indudablemente para
hacer esto se tenı́a que tener un buen desarrollo auditivo y algunos conocimientos musicales,
buena preparación y algo de talento; siendo tales caracterı́sticas de una minorı́a.
Para facilitar este procedimiento en 1711 el laudı́sta inglés John Shore inventó un instrumento
llamado diapasón [9], el cual al ser golpeado produce un tono puro que sirve como referencia
a los músicos para encontrar las demás notas. El uso del diapasón facilita la detección del
pitch pero continua siendo una tarea para personas con altos conocimientos de solfeo y canto.
La habilidad de una persona para determinar la frecuencia de la señal musical valiéndose
del oı́do y con un tono de referencia se llama oı́do relativo, pero para algunas personas no
es necesario escuchar previamente un sonido de referencia dando lugar a lo que se denomina
oı́do absoluto [39].
El primer detector del pitch manual en el dominio de la frecuencia fue posible con la creación
del primer espectrógrafo mecánico en 1946 [39].
Desde el siglo pasado, con el desarrollo de la tecnologı́a, se crearon detectores electrónicos
1
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
2
y se empezaron a desarrollar algoritmos para la detección automática por computador. La
detección del pitch fue primeramente estudiada por B.Gold en 1962 y a finales de la década
de los 60, A.M Noll, M.Schroeder y M.Sondhi incluyeron mejoras [16].
Con el desarrollo de nuevas tecnologı́as, la estimación del pitch se ha desarrollado, se ha automatizado y se hizo necesaria para multiples aplicaciones como en los algoritmos de codificación
de voz usados en telecomunicaciones y el uso en dispositivos técnicos con la introducción del
protocolo MIDI [39].
Las ultimas investigaciones en este tema se han centrado en la estimación de la frecuencia
fundamental para intervalos y acordes en música homofónica y polifónica (multi-pitch) [10].
1.1.
1.1.1.
Parámetros acústicos de la voz cantada
Formantes
El tracto vocal esta compuesto por varias cavidades de resonancia, cada una con su respectiva
frecuencia denominada formante. Partiendo de este concepto el tracto vocal se puede modelar
como un banco de filtros pasa banda; dado que las frecuencias que coinciden con las frecuencias
de resonancia de los filtros, en este caso, los órganos que componen el conducto vocal, son
menos atenuadas que las que no coinciden con dicha frecuencia de resonancia. Entonces estas
frecuencias no atenuadas se emiten con mayor amplitud que las demás, es decir, a mayor
diferencia entre la frecuencia del armónico y la frecuencia de resonancia menor amplitud
en la emisión del armónico; modificando ası́ el timbre de los sonidos producidos. El timbre
vocálico varı́a para cada vocal que tiene sus zonas caracterı́sticas de formantes [20].
En total son cuatro o cinco formantes dependiendo de la función que este cumpliendo la
voz, es decir, si es voz hablada solo se contará con cuatro pero si se trata de voz cantada
serán cinco porque se incluye el formante del canto. Los formantes modifican la envolvente
del espectro introduciendo picos en las frecuencias de resonancia, produciéndose ası́ sonidos
inteligibles al hablar.
El tracto vocal se puede modelar como un tubo sonoro cerrado en el que la vibración es debida
a la formación de una onda estacionaria [38]. En un tubo sonoro el punto de excitación no
puede ser un nodo pero no necesariamente un vientre, entonces el vientre de la onda estará en
la glotis y el nodo en los labios. Ası́ un tubo de longitud L produce un sonido de frecuencia
fundamental Fo con una longitud de onda λ = 4L, y solamente los armónicos Fn de orden
impar [12]: 3F o, 5F o, 7F o...
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
3
Figura 1.1: Modelo del tracto vocal
Fn = (2n − 1).
Vs
4.L
(1.1)
Donde L es la longitud aproximada del tracto vocal y Vs es la velocidad del sonido igual a
350m/sg (35o C), entonces:
Fn = 500, 1500, 2500, 3000Hz
N o Formante
Órgano Articulado
F1
F2
(1.2)
Frecuencia (Hz)
Armónico
Apertura de la mandı́bula
500
1
Dorso de la lengua
1.5 k
3
F3
Ápice de la lengua
2.5 k
5
F4
Pos.Ları́nge. Long. T.Vocal
3k
7
Tabla 1.1: Caracterı́sticas de los formantes de la voz
Si la longitud del conducto vocal desde la glotis hasta los labios es de 17,5 cms, en el caso
de un adulto varón, entonces las frecuencias de corte del primero, segundo, tercero y cuarto
formante estarán ubicadas alrededor de: 500 Hz (λ/4), 1.5 kHz (3λ/4), 2.5 kHz (5λ/4) y 3.5
kHz (7λ/4).
Estas frecuencias de resonancia son directamente proporcionales a la longitud del conducto
vocal de cada individuo y depende del sexo, la edad y otros factores; como la modificación de
la longitud del conducto vocal por causa de los órganos articulados que desplazan la frecuencia
de algunos formantes [27].
La mandı́bula puede reducir el conducto en la zona cercana a la glotis y ampliarlo en la
región de los labios, modificando el valor del primer formante que es proporcional al tamaño
de la abertura de la mandı́bula. La frecuencia del segundo formante es sensible a la forma del
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
4
cuerpo de la lengua y la del tercer formante es sensible a la posición de la punta de la lengua
[38].
La belleza de la voz, el timbre y la amplitud dependen más de la calidad de los resonadores
que del aparato fonador [24].
1.1.2.
Pitch
La frecuencia fundamental de la voz (pitch), se produce por la vibración de las cuerdas vocales
cuando la presión de aire de los pulmones pasa por la glotis (fuerza de Bernoulli) [38]. El
tracto vocal se puede modelar como un filtro variable en el tiempo cuyas señales de entrada
pueden ser de dos tipos de excitación: para señales sonoras la excitación será un tren de
impulsos de frecuencia controlada mientras que para las señales no sonoras la excitación es
ruido aleatorio [16], como se muestra en la figura 1.2.
Figura 1.2: Modelo de la producción de la voz
Edad y género
Dentro de los factores que interfieren en la variación paulatina de la frecuencia fundamental
de la voz humana están, la edad y el genero. La frecuencia fundamental promedio y la altura
de los formantes de los humanos esta bastante ligada con la edad, el sexo y la respiración [4].
En la niñez la extensión de la voz puede tener más de dos octavas indiferente del sexo, en
la adolescencia disminuye en los hombres y asciende en las mujeres, pero en el periodo senil
ocurre el proceso contrario [27]. La altura de los formantes en los niños decrece con la edad y
en la niñas es un 10 % mayor [4]. La voz del hombre es más grave que la de la mujer debido
al grosor de los ligamentos vocales [27].
5
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
1.1.3.
Parámetros de perturbación
Los parámetros de perturbación nos indican el nivel de variación en el valor de un parámetro
de la señal de voz. Entre los más representativos encontramos el jitter y el shimmer, éstos
son medidas subjetivas de la calidad de la voz. El jitter es una medida de la variación entre
periodos sucesivos mientras que el shimmer es una variación de la amplitud ciclo a ciclo.
Tanto el pitch como la amplitud de la señal pueden variar lentamente aún en sonidos sostenidos, aumentando el valor de medida del jitter o el shimmer que no refleja un aumento
real en las perturbaciones. Una forma de evitar estos incrementos se logra con la utilización
de la formula genérica del cociente de perturbación PQ (Perturbation Quotient), de la cual
se derivan las funciones RAP (Relative Average Perturbation), PPQ (Pitch Period Perturbation Quotient), sPPQ (smoothed PPQ) para la medición del jitter y el APQ (Amplitude
Perturbation Quotient), sAPQ (smoothed APQ) para la medición del shimmer entre otras
[13].
Existen muchos métodos para cuantificar estos parámetros, por ejemplo, para medir la perturbación de amplitud a través de los ciclos de la voz podemos encontrar: ShdB, Shim y vAm.
Pero el método más usado para la medición del jitter y del shimmer se basa en el coeficiente
de perturbación (PQ) dado por:
1
N −k+1
P Q (x, k) =
N −k+1
P
n=1
1
k
k
P
r=1
1
N
x (n + r − 1) − x (n + m)
N
P
(1.3)
x (n)
n=1
Tomando más o menos (k) periodos en torno al actual para el cálculo. Donde m = 0,5·(k − 1),
k es un número impar, y x(n) es la secuencia de parámetros a medir.
Jitter
Altas variaciones del periodo fundamental To en señales de voz hablada, indican problemas o
disfunciones del aparato fonador. Pero en voz cantada esto es necesario e inevitable; porque
el valor de la frecuencia fundamental debe cambiar para poder producir la melodı́a, formando
secuencias de intervalos de una forma consciente y controlada. Se demuestra fácilmente que
si la diferencia en valor absoluto entre los periodos vecinos hallados para el jitter absoluto
(termino superior de la ecuación 1.4) es grande, entonces éste será alto y por lo tanto el jitter
también. Partiendo de la ecuación del PQ con k, m y r iguales a cero, el jitter se halla con la
6
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
ecuación 1.4 [7]:
1
N −1
Jitter =
NP
−1
i=1
|To (i) − To (i − 1)|
1
N
N
P
To (i)
· 100 %
(1.4)
i=1
Donde To (i) es la secuencia de periodos de la señal y N es la longitud de la misma.
Shimmer
En la música para lograr mayor expresión, se varı́a la amplitud de las señal musical, esto es
necesario porque el relieve de amplitud que se genera; evita la monotonı́a, da mayor belleza
a la obra y crea mayor expresión y técnica. Ası́ que altos porcentajes en los resultados del
shimmer para la voz cantada son normales y necesarios. Para hallar al valor porcentual del
shimmer se usa la ecuación [7], donde A(i) es la secuencia de amplitudes de la señal y N es
su tamaño.
1
N −1
Shimmer =
NP
−1
i=1
|A(i) − A(i − 1)|
1
N
1.2.
1.2.1.
N
P
A(i)
· 100 %
(1.5)
i=1
Caracterı́sticas del canto
Impostación
La parte aguda del espectro sonoro entre 2.8-3.5 kHz, no es importante para el reconocimiento
de las vocales, pero si lo es para el canto [38]. Por tal motivo los cantantes de música clásica
modifican intuitivamente su voz cuando cantan, lo que se llama como impostación [24, 19].
La distribución acústica de la energı́a en el espectro de la señal cantada muestra una energı́a
espectral mayor entre 2.5 kHz y 3 kHz (ver tabla 1.1), esta región en el espectro se denomina
formante del canto y se encuentra entre el tercero y cuarto formante. El formante del canto
se produce cuando la superficie de la sección de la laringe que penetra en la faringe es de un
sexto de su longitud transversal, esto sucede cuando se baja la laringe; haciendo coincidir su
frecuencia de resonancia con el formante del canto [38].
La energı́a media espectral de los cantantes debe ser mayor a la de la orquesta para que
su voz no sea opacada, entonces al incorporar el formante del canto, se logra aumentar
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
7
la distribución media exactamente en la parte donde la energı́a del sonido de la orquesta
disminuye, sin perder el control musical [38].
Por el principio de resonancia se economiza esfuerzo al incrementar la amplitud de la voz,
pero los sonidos vocálicos se desvı́an, perdiendo su brillo caracterı́stico [38].
La impostación desde el punto de vista musical consiste en apoyar la voz para economizar
energı́a, lograr mayor amplitud, tener mayor potencia sin necesidad de esforzar la voz [24] y
poder ser escuchado sin el uso del micrófono; aunque la orquesta este sonando en el fondo
con su maxima potencia musical (forte, fortissimo) [38].
1.2.2.
El formante del canto en la soprano
Dado que en el registro femenino agudo algunas frecuencias emitidas son mayores a la frecuencia del primer formante, éstas pierden amplitud. Para evitar esto las sopranos instintivamente
modifican la frecuencia del primer formante, aumentando la apertura de la mandı́bula para
acercar la frecuencia del primer formante al valor del pitch. De esta forma la soprano logra
continuar en resonancia y mantener una variación mı́nima en la intensidad de las notas de la
melodı́a [38].
1.2.3.
Clasificación musical de la voces
Las voces cantadas se clasifican según el genero en: masculinas o femeninas. La voz se clasifica
por la tesitura y por el timbre más que por su extensión [24]. Según el registro y el género
surgen las siguientes clasificaciones para la voz: soprano, mezzo-soprano y contralto para las
femeninas; tenor, barı́tono y bajo para las masculinas [24, 19].
Las notas más graves y más agudas del rango de frecuencias de la tabla 1.2, requieren de
mayor dificultad y esfuerzo para el cantante; se llama tesitura al rango de frecuencias que el
cantante puede producir sin esfuerzo y con claridad, por lo general son las notas medias del
registro.
Dentro de estas clasificaciones se aceptan subdivisiones al observasen diferencias de carácter,
volumen, timbre, tesitura o extensión; que se usan según el repertorio de las obras musicales a
interpretar, algunas de estas subdivisiones son: soprano ligera, mezzo-soprano lı́rica...,etc [24].
Además de estos tipos de voz, también se pueden encontrar las voces de los niños profesionales
y de los antiguos castratis.
El rango de frecuencias aproximado que el cantante puede producir se llama registro, en la
tabla 1.2 se pueden apreciar los diferentes registros según su clasificación y además el valor
CAPÍTULO 1. ESTADO DEL ARTE EN LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
8
Figura 1.3: Clasificación musical de las voces en el pentagrama
1) Soprano 2) Mezzo-soprano 3) Contralto 4) Tenor 5) Barı́tono 6)Bajo
de la frecuencia de la nota inferior (Ninf ) y de la superior (Nsup ) 1 .
Género
Femenino
Masculino
Registro
Ninf
Nsup
Ninf (Hz)
Nsup (Hz)
Soprano
C4
A5
523,25
880
Mezzo-soprano
B3
G5
246,94
783,99
Contralto
G3
E5
196
659,26
Tenor
C3
A4
130,81
440
Barı́tono
A2
F4
110
349,23
Bajo
F2
D4
87,31
293,66
Tabla 1.2: Clasificación musical de la voz
1.2.4.
Diferencias entre la voz cantada y la voz hablada
1.
El canto requiere aproximadamente dos octavas y el habla menos de una.
2.
La intensidad de la voz hablada está entre 40-60 dB, la cantada popular entre 70-80 dB
y la lı́rica clásica hasta 120 dB [27].
3.
La frecuencia fundamental de la voz hablada oscila alrededor de una frecuencia fundamental media. En el canto esto no es posible por los intervalos usados en la melodı́a.
4.
El espectro presenta una pendiente más pronunciada cuando se habla bajo, que cuando
se canta bajo [38].
5.
La voz cantada requiere control sobre el pitch (estimulación cortical), en la hablada el
pitch es involuntario (estimulación diancefálica).
1
ver observación 1 pag.48
Capı́tulo 2
Algoritmos para la estimación del
pitch
La estimación de la frecuencia fundamental ha sido uno de los estudios más importantes
desde que se comenzó el análisis de las señales de voz [16].
Existen varios factores que dificultan la extracción del pitch:
La vibración de las cuerdas vocales no necesariamente es completamente periódica,
especialmente al principio y al final de los sonidos hablados.
Es difı́cil extraer la señal de las cuerdas vocales de la onda hablada separadamente de
los efectos del tracto vocal.
El rango dinámico de la frecuencia fundamental es muy largo.
Encontramos otros factores como: las variaciones en el tiempo del tracto vocal, las transiciones de sonoridad de voz o no voz (V-UV, Voiced-Unvoiced ) y los ruidos acústicos
de fondo [18].
El estudio de la estimación de la frecuencia fundamental ha abierto el camino a nuevos temas
de investigación como la posibilidad de extraer la periodicidad de señales cuasi-periódicas,
extraer correctamente el pitch debido a los disturbios de periodicidad y de cómo remover los
efectos del tracto vocal. Los errores en la extracción del pitch se clasifican en: doble-pitch y
medios-pitch. Estos ocurren cuando la frecuencia hallada es el doble o la mitad de la esperada
respectivamente, y el tipo de error depende del método de estimación usado [16].
Existen tres tipos de estimación de la frecuencia fundamental dependiendo del dominio en
9
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
10
el que trabaje el algoritmo utilizado: estimación en el dominio del tiempo, estimación en el
dominio de la frecuencia y estimación mixta, es decir, tanto en el dominio temporal como en
el dominio de la frecuencia. En esta ultima clasificación se encuentran los algoritmos basados
en la trasformada wavelets (WT) [2]. Últimamente se han venido desarrollando métodos
estadı́sticos de detección [41] basados en histogramas [10].
Los métodos en el dominio del tiempo son clasificados en tres grupos [16]: algoritmos que
parten de la forma de onda, algoritmos basados en la función de autocorrelación y algoritmos
de procesamiento cepstral.
2.1.
2.1.1.
Algoritmos en el dominio del tiempo
Autocorrelación con center clipping (AUTOC)
Los métodos más antiguos y populares para la detección de la frecuencia fundamental en el
dominio del tiempo, son los que se basan en la función de autocorrelación (FAC) [25]. Esta
función nos indica el nivel de correlación que tiene una señal con ella misma, es decir, que
tanta dependencia posee con sus valores pasados [15, 11]. La FAC R(τ ) para señales discretas
se define como:
R(τ ) =
N −1
1 X
x(n)x(n + τ )
N
(2.1)
n=0
Donde τ es un factor de retardo, x(n) la señal que se desea autocorrelacionar y N su longitud.
En [35, 25], se propone hallar la FAC por medio de la transformada discreta de Fourier (TDF)
partiendo de una variación de la función cepstrum, lo cual trae como beneficio, la disminución
del costo computacional.
Una función derivada de la FAC es Average Magnitude Difference Function (AMDF). La
AMDF produce valles donde la FAC produce picos, porque no se basa en el producto de la
señal con una versión retrasada de ella misma sino en la diferencia. Con esto se logra que la
AMDF sea computacionalmente menos costosa que la FAC.
La FAC presenta un pico máximo cuando τ = 0, correspondiente a la energı́a de la señal,
además este pico está en la posición central ya que la función es simétrica. Debido a que una
señal periódica correlaciona fuertemente con ella misma, la posición del segundo pico nos da
una estimación del perı́odo fundamental.
La función FAC es insensible al ruido aditivo, pero sensible al efecto de los formantes [35].
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
11
Figura 2.1: Señal de voz con center clipping
Por tal razón antes de aplicar la autocorrelación se usa una técnica de distorsión no lineal en
el dominio del tiempo llamada center clipping (CC) [16]. El objetivo de esta función es crear
una nueva señal solo con los valores absolutos de la señal original que superen un umbral
predefinido (fig.2.1), este valor de umbral por lo general se toma como un porcentaje del
máximo valor de amplitud de la señal (generalmente del 30 %). La señal con center clipping
y[n], para x[n], con un nivel de umbral CL se define ası́:
x[n] − sgn(x[n])C |x[n]| > C
L
L
y[n] =
0
∼
(2.2)
Esta función adicional también ayuda a blanquear el espectro eliminando las influencias del
tracto vocal como el primer formante [16], pero el beneficio que más se aprovecha es que hace
más periódica la señal y se logran picos más sobresalientes en la señal autocorrelacionada;
haciendo de esta forma más fácil la detección del segundo pico [16].
Valores altos de center clipping definen mejor la periodicidad pero con el riesgo de perder
periodos enteros, y valores bajos producen pocos efectos (ver figura 2.1). Por tal razón se
debe aplicar un método para la selección adecuada del porcentaje de CL , que depende de los
parámetros propios de la señal. Dentro de los métodos usados se encuentran:
1. Primer Método:
Se halla el máximo del primer tercio y del último tercio de la trama.
Se halla el mı́nimo de estos dos máximos (min1 ).
Se halla el mı́nimo del primer y ultimo tercio.
Se halla el máximo de estos dos mı́nimos (max1 ).
Si el máximo mı́nimo es mayor o igual a la media µ, éste será el máximo mı́nimo
que se aplicará en la determinación de CL . Y si el mı́nimo máximo es menor o
igual a la media, se establece éste como el único mı́nimo máximo necesario.
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
12
Se halla el nivel de clipping positivo CL (+) con los valores hallados y un porcentaje
p preestablecido:
CL (+) = [
p
∗ (max1 − µ)] + µ
100
(2.3)
Se halla el nivel de clipping negativo CL (−):
CL (−) = −[
p
∗ (µ − min1 )] + µ
100
(2.4)
Criterio de decisión
Si la amplitud de cada uno de los elementos de la señal es mayor al nivel de center
clipping positivo CL (+), o en caso contrario, si es menor al nivel de center clipping
negativo CL (−), se asigna este valor a la nueva señal, y sino se cumple con ninguna
de estas dos condiciones, se asigna la media µ.
Figura 2.2: Técnica center clipping
2. Segundo Método:
Se halla el máximo del valor absoluto del vector x[n].
Se halla el nivel de clipping CL , con un porcentaje p predefinido.
CL =
p%
100
· máx (x[n])
(2.5)
Criterio de decisión
Si el valor absoluto de cada elemento del vector es mayor al nivel del center clipping,
a éste elemento sin valor absoluto se le resta el umbral pero con el signo del
elemento actual de análisis.
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
2.1.2.
13
Autocorrelación del error de predicción (FAEP)
Es conveniente depurar la señal de entrada por medio de un filtro inverso, cuyos coeficientes
son los coeficientes de predicción lineal (LPC). Se aplica una distorsión espectral lineal por
filtrado inverso [35, 25] que cancela la función de trasferencia del tracto vocal y reconstruye
la señal de excitación 1.2 [35].
Con la separación de la señal de excitación de los efectos del tracto vocal, nos quedamos
únicamente con la información necesaria que proporciona la estimación del pitch. Si se aplica
la función de autocorrelación al error residual obtenida en el proceso de filtrado inverso del
error de predicción, se reduce la complejidad en la detección del pico que se encuentra en la
posición del perı́odo fundamental [15].
Además como ventaja adicional, los coeficientes del filtro nos dan una estimación de la respuesta frecuencial del tracto vocal.
Figura 2.3: Diagrama en bloques del algoritmo FAEP
2.1.3.
Cepstrum
La función de transferencia del tracto vocal x(t), según el modelo de producción de la voz
mostrado en la figura 1.2, es la convolución de la secuencia de excitación g(τ ) con la respuesta
impulso del tracto vocal h(t) [16, 18, 20]:
x(t) =
Zt
0
g(τ )h(t − τ )dτ
(2.6)
Por la propiedad de la trasformada de Fourier, la ecuación 2.6 en el dominio de la frecuencia
corresponde a una multiplicación de los espectros. Una de las caracterı́sticas especiales del
cepstrum es que permite la separación de la envolvente espectral de la secuencia de excitación,
y para ello se vale de la propiedad de los logaritmos log AB = log A + log B. Este proceso
de separación se llama liftering [16] o deconvolución homomórfica [15].
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
14
Las correspondientes transformaciones al dominio de la frecuencia de la función de transferencia del tracto vocal de la señal de excitación y de la respuesta impulso, convierten la
ecuación 2.7 en:
log |X(ω)| = log |G(ω)H(ω)| = log |G(ω)| + log |H(ω)|
(2.7)
Convergiendo de nuevo al dominio del tiempo:
F −1 log |X(ω)| = F −1 log |G(ω)| + F −1 log |H(ω)|
(2.8)
La primera función al lado derecho indica la formación de un pico en la región de alta
frecuencia, la cual se puede extraer el perı́odo fundamental. Y el segundo pico representa
una concentración en la región de baja frecuencia, que permite la extracción de la envolvente
espectral [16].
En consecuencia el cepstrum de una señal x(t), se define como la transformada inversa del
logaritmo de la amplitud del espectro [16, 15]:
cepstrum (x (t)) = F −1 {log |F {x(t)}|}
(2.9)
La ecuación 2.9, produce un pico máximo en el perı́odo fundamental. El algoritmo de decisión
consiste en elegir el primer pico que supere un umbral de energı́a predefinido.
La función cepstrum es insensible a los fuertes formantes en los armónicos altos pero sensible
al ruido aditivo [35].
2.1.4.
Simplified Inverse Filter Technique (SIFT)
El algoritmo SIFT es algoritmo es una versión simplificada de la técnica de filtrado inverso
que reúne las ventajas de los métodos de la autocorrelación y cepstrum [25]. Fue propuesto
por J.D Markel en 1972.
El rango dinámico del perı́odo fundamental en la secuencia de autocorrelación, es usualmente
inferior a 10 dB, un valor relativamente bajo con relación a los estimadores que parten de
la forma de onda de la señal cuyo rango dinámico es superior a 30 dB. La técnica de la
autocorrelación tiene dos desventajas [25]:
La detección del pico no es fácil.
Errores debido a los efectos de la respuesta impulso del tracto vocal.
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
15
El cepstrum resuelve los efectos de la respuesta impulso del tracto vocal, usando el hecho
de que éste se encuentra en los primeros milisegundos de la señal de cepstrum. Es decir la
técnica cepstrum resuelve el problema de la interacción entre los formantes y la frecuencia
fundamental. Pero como inconveniente se encuentra que una decisión de V-UV no es posible
y la difı́cil detección del pico continúa. Desafortunadamente por causa de la no linealidad
logarı́tmica dos problemas se presentan [25]:
El pico en el origen no puede ser usado como una referencia de normalización.
La amplitud actual del pico es una función no solo del número de perı́odo del pitch
dentro de la ventana, sino también de la forma cepstral.
Si el segmento de análisis es completamente sonoro, los anteriores problemas son irrelevantes. Sin embargo, se convierten en inconvenientes cuando se desea determinar una decisión
automática de sonoridad. La técnica de filtro inverso combina las caracterı́sticas de cepstrum
y autocorrelación, además resuelve también sus desventajas; pero todo esto a cambio de una
costosa carga computacional. El SIFT remueve esta desventaja y conserva las propiedades
del filtrado inverso. Las mayores diferencias son [25]:
El pico es ligeramente ensanchado.
Los términos de alta frecuencia son suprimidos.
Los armónicos del perı́odo del pitch son más aparentes.
La relación de picos de señal deseados sobre picos de ruido no deseados es alta.
El algoritmo SIFT consta de varias etapas las cuales se muestran en la figura 2.3, y se
describen a continuación [25]:
1. Prefiltrado: La mayorı́a de las componentes de frecuencia de la señal de voz se encuentran en el rango de 0 - 1 kHz. Por tal razón es evidente que la señal debe ser limitada
con una frecuencia de corte de 1 kHz. Los efectos extremos innecesarios que trae el filtro
como la fase y el retardo, no son crı́ticos [25].
2. Decimación: En el análisis digital de señales de voz se usa una frecuencia de muestreo
alta para asegurar que todas las componentes de la señal sean exactamente representadas. Derivando un teorema de muestreo que corresponde a una forma de interpolación
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
16
Figura 2.4: Diagrama en bloques del algoritmo SIFT
trigonométrica, la estimación de la frecuencia fundamental puede ser posible tan solo con la cuarta parte de la frecuencia de muestreo fs usada para el análisis. Usando
esta frecuencia de muestreo baja se reduce en un factor de 4 el número necesario de
operaciones [25].
3. Preénfasis: Para hacer el procesamiento de la señal menos susceptible a truncamientos
y aplanarla espectralmente, se pasa la señal digitalizada de voz a través de un filtro de
bajo orden. Este filtro puede tener coeficientes fijos o ser adaptativo y ayuda a aumentar
los niveles de las frecuencias agudas para que no sean despreciadas cuando se calculen
las caracterı́sticas de la señal [40].
Para hacer el preénfasis se usa un filtro todo polos H(z) de primer orden:
H(z) = 1 − α · z −1
(2.10)
Donde α es el factor de preénfasis que puede tomar los valores:
0,9 ≤ α ≤ 1
(2.11)
La salida del sistema de preénfasis S̃(n), esta relacionada a la entrada del sistema S(n)
por la siguiente ecuación de diferencias [40]:
S̃(n) = S(n) − α · S(n − 1)
(2.12)
17
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
4. Filtro inverso: El filtro inverso puede ser considerado como un filtro de pre-blanqueamiento
el cual ayuda a limpiar el espectro de entrada para eliminar las tendencias caracterı́sticas o la forma espectral, debido predominantemente a la resonancia del tracto vocal o
a los formantes; mientras retiene la fina estructura de los pulsos glotales [25].
La forma general de un filtro inverso A(z) es:
A(z) = 1 +
M
X
ai z −i
(2.13)
i=1
Para determinar los coeficientes ai , se usan los coeficientes de predicción lineal (LPC)
de orden 4.
5. Autocorrelación: Si se aplica la función de autocorrelación a la salida del filtro inverso
se logra resaltar más la periodicidad de la excitación [25].
6. Interpolación trigonométrica: Para la estimación de la frecuencia fundamental se
requiere aproximadamente un tiempo de resolución entre 0 - 0.15 ms (0 - 6.66 Hz)
[25]. Debido a que se escogió un perı́odo de muestreo cuatro veces menor al perı́odo de
muestreo de la señal fs , el máximo error de cuantización se incrementa en un factor de
4, lo cual se puede demostrar analizando la siguiente ecuación que describe el error de
cuantización eq en términos del perı́odo de muestreo Ts y el perı́odo fundamental To ;
fo es la frecuencia fundamental:
eq =
fo
Ts
=
2 · To
2 · fs
(2.14)
∧
Con la aplicación de la decimación la nueva frecuencia de muestreo es: fs =
∧
eq =
fo
∧
2 · fs
= 4 · eq
fs
4,
entonces:
(2.15)
El error de cuantización se incrementa en un factor de cuatro, que supera el tiempo de
resolución requerido, volviéndose absolutamente sensible en voces sintéticas, además se
incrementa el tiempo de computación y se hace necesario un gran filtro para eliminar
los efectos de resonancia de los formantes más altos. Una solución simplificada a este
problema se obtiene si se aplica una función de interpolación trigonométrica para la
secuencia de autocorrelación obtenida del filtro inverso.
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
18
La interpolación trigonométrica se puede realizar por medio de la transformada rápida
de Fourier (FFT, Fast Fourier Transformation) [25], pero en este trabajo se usa una
interpolación parabólica que genera mayor simplicidad [17]:
β = R(To + 1) − R(To − 1)
(2.16)
γ = 2R(To ) − R(To + 1) − R(To − 1)
(2.17)
Donde R(T ) es la secuencia de valores resultantes de aplicar la función FAC a la señal
∧
filtrada. El pico interpolado Y se obtiene con:
∧
Y =
(2.18)
β2
8γ
(2.19)
β
To +
2γ
∧
Y su posición X es:
∧
X = R(To ) +
7. Decisión de sonoridad: Para asegurar que la probabilidad de muestras ruidosas en la
secuencia de autocorrelación sea menor a un valor especificado, se asume que el ruido
es de naturaleza gausiana y se halla un valor de umbral teniendo en cuenta el número
N de muestras usadas. Si se usan 64 muestras (tramas de 32ms) y una probabilidad de
0.001, el valor de umbral es 0.378 [25].
Si la salida del filtro inverso es modelada como un tren de deltas de Kronecker periodicos, la secuencia de autocorrelación normalizada es descrita por una función lineal del
∧
perı́odo con pendiente negativa, dada por: Xp = −0,03 X +0,9. El periodo fundamental
se limita en el intervalo de 2 ≤ To ≤ 16ms (62.5 - 500 Hz), y el valor de umbral se fija
en 0.4.
Además se puede aprovechar lo anterior para realizar una decisión de sonoridad V-UV.
Si el pico interpolado supera el valor de umbral preestablecido la trama se define como
sonora, en caso contrario como sorda. Si la trama se define como sorda estando entre
dos tramas sonoras, ocurre una anomalı́a, ya que esta combinación no es posible y se
debe a que la trama está levemente por debajo del valor de umbral.
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
19
También puede ocurrir que debido a cualquier variación considerable en los valores del
periodo fundamental o a variaciones fonéticas dentro de la ventana; tramas sonoras se
definan como sordas, entonces si la trama se define como sorda se prueba si las dos
tramas anteriores no lo son, en tal caso se reduce el valor de umbral en un 25 % y
nuevamente se toma una decisión de sonoridad con este nuevo valor de umbral para la
trama actual, pero si las dos tramas anteriores no son sonoras indica que realmente la
trama es sorda.
Se reduce el valor de umbral porque cuando ocurren cambios rápidos en el periodo
fundamental dentro de la ventana, el valor del pico correlacionado puede ser reducido
del 15 al 20 %. En la figura 2.5, se muestra el algoritmo de decisión usado con todas las
especificaciones necesarias.
Figura 2.5: Diagrama de flujo para el criterio de sonoridad de SIFT
2.1.5.
Separación y acumulación armónica (SAA)
El análisis de Fourier de señales periódicas, en este caso las señales musicales, muestra como
la energı́a de la señal se concentra en las frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
20
fundamental {fo,2fo,3fo,...nfo}; formando ası́ la serie armónica [29].
El valor en frecuencia de este conjunto discreto coincide con los valores de las frecuencias
fundamentales de algunas notas musicales de la escala temperada y forman una relación
interválica con la nota fundamental. En música a esta serie se le da el nombre de escala de
los armónicos [12] y es el principio fundamental usado en el algoritmo SAA [36].
Figura 2.6: Escala de los armónicos para C2
El algoritmo SAA es especial para aplicaciones musicales, porque no pretende hallar el valor
del pitch directamente, sino el nombre de la nota musical y su número de octava [36]. Luego
partiendo de estos resultados y con un post-proceso, se halla el valor de la frecuencia exacta
de la trama de análisis actual. Para lograr encontrar el valor del pitch el algoritmo requiere
de tres etapas.
En la música los valores de frecuencia de las notas son conocidas y estandarizadas mundialmente desde 1939. En esta fecha, se realizó en Paris una conferencia para asignar la frecuencia
de 440 Hz al A4 (ver tabla de cifrados A.1) [14].
En el sistema occidental se usan doce notas por octava, que conforman la escala cromática;
pero algunos compositores de música clásica del siglo XX como Alois Haba, y alguna música
folclórica oriental, usan más. Creando ası́, sistemas microtonalı́stas como: los cuartos, tercios,
sextos y doceavos de tono entre otros. Se tiene como único limite el mı́nimo umbral de
sensibilidad del oı́do humano para diferenciar dos intervalos, que es aproximadamente 20
cents.
Los valores de las frecuencias de las notas musicales de la escala temperada partiendo de una
frecuencia inicial f0 , se obtienen multiplicando la frecuencia anterior por 1,0595, o de forma
general con la ecuación de Chladni [12]:
fi = f0 ·
√
12
2i
(2.20)
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
21
Sabiendo el nombre de la nota y su número de octava, se pasa a hallar su respectiva frecuencia.
Desde luego la fuente sonora que produce el sonido musical debe emitir frecuencias discretas
que correspondan a las de la escala por medios de tono o escala cromática, y la afinación
debe ser exacta. Los instrumentos de teclado como el piano, órgano, sintetizador...etc, son
ideales para este algoritmo; pero los instrumentos de cuerda y las voces no son completamente
apropiadas debido a que pueden producir frecuencias microtonales.
Este algoritmo está basado en el sistema afinación estándar occidental; que es la escala
cromática [36].
Procedimiento:
Etapa 1: Hallar el nombre de la nota.
1.
Se crean las doce señales musicales de la escala cromática. Las señales se construyen en
el dominio temporal con la función seno, cubriendo el rango de seis octavas [36].
Nk (t) =
6
X
k=1
sen(2 · π · fn · t)
(2.21)
Para hallar la frecuencia de la octava n de fi se usa 1 :
fn = 2(n−1) ∗ fi
n≥1
(2.22)
Donde fi se obtiene a partir de la ecuación 2.20:
fi = 110 ·
√
12
2i
(2.23)
Se usa f0 = 110 Hz que corresponde a la frecuencia de A2, para conservar la afinación
estandarizada de A4 (440 Hz):
2.
Se multiplica cada una de las doce señales por la trama de audio (convolución en
frecuencia). La convolución desplaza al origen las partes espectrales del sonido que
poseen igual valor, acumulando la energı́a del espectro [36].
Xn (t) = S(t) · Nk (t)
1
Ver observación 3 en la pág.49
(2.24)
22
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
3.
Se halla la energı́a de cada una de las señales resultantes de la multiplicación para lograr
una representación espectral que los armónicos aportan a cada nota musical [36]. La
energı́a de la señal resultante se halla con la ecuación 2.25:
En =
X
|Xk (t)|2
(2.25)
Donde Xk (t) es la señal resultante de la multiplicación de la señal musical k por la
trama de audio.
4. Valor de energı́a más significativo: Es el valor de energı́a que más diferencia de
amplitud tiene con sus respectivos vecinos locales, no necesariamente es el valor máximo.
Este peso corresponde con un armónico de la señal [36].
Para que al primero y el último elemento del vector de los pesos se le pueda hallar
la diferencia del que lo precede y del posterior, se convierte el vector en “circular”
duplicando el primer elemento y poniendo la copia al final, y la copia del último al
principio.
Vector “circularizado” con los valores de energı́a de cada multiplicación:
E=
h
B C C# D D# E F
F # G G# A A# B C
i
(2.26)
Ecuación para hallar los pesos γn :
γn = |En − E(n−1) | + |En − E(n+1) |
(2.27)
Vector con los pesos de las doce señales:
γn =
h
C C# D D# E F
F # G G# A A# B
i
(2.28)
Obteniéndose el valor del peso más significativo δn del vector γn :
δn = máx(γn )
5.
(2.29)
Se busca que posición ocupa el valor más significativo (armónico) en la escala de la
serie armónica. El algoritmo funciona correctamente teniendo sólo en cuenta cuatro
posibilidades en cuatro combinaciones posibles [36].
23
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
Se prueban los primeros nueve armónicos de la serie armónica, sin repetir los que son
iguales (2,4,6,8), estas notas forman el acorde de novena de dominante D9 2 . Se prueba
el peso más significativo cómo si fuera la tónica, la tercera mayor, la quinta justa o la
séptima menor; pero siempre conservando su frecuencia. Es decir se halla el peso total
de cuatro acordes de novena de dominante. Luego se busca el mayor de estos pesos,
el que mayor peso tenga es el que contiene la posición correcta. Sabiendo la posición
se conoce el nombre de la fundamental de dicho acorde y se pasa a buscar el número
de octava. Cumpliendo con el principio de la conmutación de un proceso aditivo no
importa el estado del acorde (fundamental, primera o segunda inversión).
Se busca la posición ρn , del peso más significativo δn :
ρn = pos(δn )
(2.30)
Tónica: Se prueba si el valor más significativo es el primer armónico de la escala,
es decir, si es la fundamental del acorde de novena de dominante. Se suma el valor
de energı́a de cada una de las notas del acorde, pero sin tener en cuenta el peso
de la nota en cuestión. Por no tener en cuenta la fundamental del acorde en este
proceso, se puede considerar como un acorde de séptima de sensible:
ψ1 = δρn +7 + δρn +4 + δρn +10 + δρn +2
(2.31)
Donde ψn es la suma de las energı́as de las notas del acorde en cuestión y:
δρn +7 : es la quinta justa de δn , que corresponde a la tercera nota de la escala de
los armónicos.
δρn +4 : es la tercera mayor de δn , y quinta nota de la escala de los armónicos.
δρn +10 : es la séptima menor de δn , y séptima nota de la escala de los armónicos.
δρn +2 : es la novena mayor de δn , y novena nota de la escala de los armónicos.
Quinta Justa: Se prueba si el valor de energı́a más significativo hallado corresponde al tercer armónico de la escala, es decir, si es la quinta de la fundamental
de otro acorde de D9 . Se suman los valores de los primeros nueve armónicos sin
contar los que se repiten, ni el peso más significativo de prueba.
ψ2 = δρn +5 + δρn +9 + δρn +3 + δρn +7
2
ver definición en el anexo A
(2.32)
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
24
Tercera Mayor: Probar si es el quinto armónico. Éste armónico es la tercera de
la fundamental del acorde de D9 . Se sigue un procedimiento igual a los anteriores.
ψ3 = δρn +8 + δρn +3 + δρn +6 + δρn +10
(2.33)
Séptima Menor: Probar si es séptimo armónico, es decir, si es la séptima menor
de acorde de novena de dominante correspondiente.
ψ4 = δρn +2 + δρn +9 + δρn +6 + δρn +4
(2.34)
El número que se le suma a ρn corresponde a la cantidad de semitonos de separación
entre ρn y el intervalo buscado para formar el acorde.
6.
El valor máximo de estas cuatro combinaciones indica a que acorde pertenece el peso máximo de prueba. Sabiendo que posición ocupa éste se halla su respectiva nota
fundamental, que corresponde con nombre de la nota buscada.
Se halla cual de las sumas ψn , de los cuatro acordes de D9 es mayor.
σ = pos (máx (ψn ))
(2.35)
Sabiendo el valor máximo se halla su posición σ, que indica que acorde contiene el peso
buscado para luego encontrar su fundamental. De tal forma que:
1, δ (ρn )
2, δ (ρ
n+5 )
σ=
3, δ (ρn+8 )
4, δ (ρn+2 )
El nombre de la nota buscada se indica por medio de:
δ(ρn ) = posición de la fundamental (tónica).
δ(ρn+5 ) = posición de la cuarta ascendente (quinta descendente).
δ(ρn+8 ) = posición de la tercera mayor (sexta menor ascendente).
δ(ρn+2 ) = posición de la séptima menor (segunda mayor ascendente).
(2.36)
25
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
Figura 2.7: Primera etapa del algoritmo SAA.
Etapa 2: Hallar el número de octava.
1.
Después de hallar el nombre de la nota, se encuentra el valor de su frecuencia en la
octava inferior usada y se crean cinco señales (Nn (t)) con éste valor para cada una de
las seis octavas [36].
Nn (t) = sin (2 · π · fn · t)
(2.37)
Para hallar la frecuencia de la octava n de fi .
fn = 2(n−1) .fi ,
n≥1
(2.38)
Donde:
fi = 110 ·
√
12
2i
(2.39)
Para comenzar la escala cromática en C, sabiendo que las señales se están creando a
partir de A, se debe hacer un ajuste ası́:
> 9, ϕ − 9
ϕ=
< 9, ϕ + 3
(2.40)
2.
Se multiplica cada una de estas seis señales por la trama de audio (ecuación 2.24).
3.
Se halla la energı́a de cada una de las señales resultantes de la multiplicación (ecuación
2.25).
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
4.
26
Se halla el valor de energı́a más significativo de las seis señales resultantes. La posición
de este valor corresponde al número de octava.
Figura 2.8: Segunda etapa del algoritmo SAA.
Etapa 3: Hallar la frecuencia final de la trama actual.
Como la variable más importante que se busca es el valor de la frecuencia, y el algoritmo,
como se escribió anteriormente da como respuesta el nombre de la nota musical y su octava.
Con esta información se puede hallar el valor en frecuencia de la nota musical ası́:
fo (Hz) = Fx · 4(
2+a
24
) · 2(b−1)
(2.41)
Donde a es el valor numérico en semitonos de la nota en la escala cromática, resultado de la
etapa 1. Y b es el número de octava del nombre de la nota hallada, resultado de la etapa 2.
La constante Fx , es la frecuencia de un A en una octava grave, se usa el valor de 55 Hz (A1)
para conservar la afinación estándar.
2.2.
2.2.1.
Algoritmo de estimación en el dominio de la frecuencia
Harmonic Product Spectrum (HPS)
Una señal acústica esta compuesta por una serie de picos con componentes armónicas múltiplos enteros de la frecuencia fundamental; entonces si se comprime el espectro en un factor
n, el pico n del espectro comprimido se alinea con el pico de la frecuencia fundamental del
espectro original, es decir, el primer pico en el espectro original coincide con el segundo pico,
si el espectro se comprime en un factor de dos, el cual coincide con el tercer pico en el espectro
comprimido por un factor de tres, y ası́ sucesivamente [2].
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
27
Cuando todos los espectros comprimidos y el espectro original se multiplican, el espectro
resultante tendrá un pico máximo en la frecuencia fundamental [11].
Figura 2.9: Representación gráfica del algoritmo HPS
Por lo anterior se concluye que el algoritmo HPS mide la máxima coincidencia de los armónicos
para cada trama spectral X(ω). Para aplicar el producto de los armonicos Y (ω) se usa [11]:
Y (ω) =
N
Y
r=1
|X (ωr)|
(2.42)
Donde N es el número de armónicos empleados. El pico máximo en la frecuencia fundamental
del espectro resultante se obtiene por [11]:
∧
Y = máx {Y (ωi )}
(2.43)
ωi
Figura 2.10: Diagrama en bloques del algoritmo HPS
Para hallar el valor en Hz de la frecuencia fundamental, se debe hacer una conversión de la
forma:
fo (Hz ) =
i
NFFT
· fs
(2.44)
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
28
Donde i es la posición del pico máximo hallado, fs es la frecuencia de muestreo y N F F T es
el número de puntos usado en la FFT.
Un problema común de este algoritmo son los errores de octava o errores de doble-pitch y
para corregirlos se debe hacer un post-proceso. Una solución que se plantea en [11], es escoger
el pico de la octava más baja como el pitch de la trama actual, SI la amplitud del segundo
pico es aproximadamente la mitad del pico máximo Y si la razón de amplitudes supera un
umbral (0.2 para 5 armónicos).
Pero esta forma de corrección propuesta debe ser modificada para que la detección del segundo
pico no coincida con los bordes del pico máximo. Entonces se halla un pico en el ±20 % del
pico máximo y separado del pico inicial a una distancia entre 0.4 y 0.6. Se toma éste como
nuevo pico fundamental corregido, si la razón de amplitudes es mayor a 0.2.
2.2.2.
Maximum Likelihood (ML)
Este algoritmo busca en un conjunto de espectros ideales predefinidos, el que mayor similitud
tenga con el espectro de la trama de análisis. Estos espectros ideales están conformados por
un tren de pulsos [11] que se pueden forman con ondas cosenos, cuyas frecuencias ω, son
las frecuencias de las notas musicales de la escala cromática (sistema de afinación usado por
defecto) para el número de octavas requerido.
Si el error E(ω) de la diferencia entre estos dos espectros es mı́nimo, significa que el espectro
de prueba posee gran similitud con la trama en cuestión y su frecuencia que es conocida de
antemano, se asignará como el valor de la frecuencia fundamental de la trama de análisis
actual. Como se indica en la ecuación 2.45 [11].
E(ω) = kY − Yω k2 = kY k2 + kYω k2 − 2Y YωT
(2.45)
Donde Y es el espectro de la trama actual y Yω es el espectro de prueba con frecuencia
localizada en ω. Dado que el termino kY k2 es constante y kYω k2 también permanece constante
para todas las frecuencias ω de interés, el termino kY − Yω k2 (error entre Y y Yω ) se hace
∧
mı́nimo cuando el producto Y de los dos espectros es máximo [11]:
∧
T
Y = mı́n {E(ω)} = máx Y Yω
ω
ω
(2.46)
Se asigna como valor de pitch, la frecuencia ω de la señal que tenga el producto máximo
con la ventana de análisis. La frecuencia ω, que es previamente conocida, corresponde a la
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
29
frecuencia de la nota musical buscada dentro del sistema especificado λ.
Figura 2.11: Representación gráfica del algoritmo ML
Estas señales ideales de prueba se crean en el dominio del tiempo y después de convolucionar
con la señal ventana, su espectro se multiplica con el espectro de la trama de entrada [11].
Figura 2.12: Diagrama en bloques del algoritmo ML
Creación de las señales musicales de prueba:
Partiendo de la frecuencia mı́nima f1 y la frecuencia máxima f2 necesarias, se halla el número
de notas (tren de pulsos). Además para hacer una generalización del sistema usado y lograr
mayor precisión en el valor de la frecuencia, se debe tener en cuenta el tipo de sistema de
afinación usado, según el factor λ mostrado en la tabla 2.1.
Sistema
λ
Escala cromática
1/
2
Tercios de tono
1/
3
Cuartos de tono
1/
4
Sextos de tono
1/
6
Eneavos de tono
1/
n
Tabla 2.1: Valores de λ para el sistema de afinación usado en ML.
Para hallar las frecuencias de las notas musicales fi , partiendo de la frecuencia inicial f0 y
generalizando con el sistema de afinación especificado (factor λ), se emplea la ecuación de
Chladni (ec. 2.47) en el rango de una octava:
λ
fi = f0 · 2( 6 )·i
(2.47)
30
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
Si se necesita usar más de doce frecuencias de prueba, no se puede usar la ecuación de
Chladni 2.20. Porque cuando se van a hallar las frecuencias de las notas superiores a
6
λ
(más
de una octava), el valor del factor de la progresión geométrica cambia porque para estos
casos el numerador del exponente de 2 es mayor al denominador; modificando los valores de
las frecuencias de las notas siguientes. Por tal razón se debe hacer una corrección a dicha
ecuación ası́:
i
fi+1 = f1 · x( 6·k )·λ ,
i = 1, 2, 3...N
(2.48)
Donde x = 2k y k es igual al número de octavas que se usan, este debe ser superior al número
de notas N .
Para hallar el número k de octavas entre dos frecuencias f1 y f2 , siendo f2 > f1 se emplea la
ecuación 2.49 [14]:
k=
Logf2 − Logf1
Log2
(2.49)
Y el número de notas entre dos frecuencias teniendo en cuenta el sistema de afinación musical
usado (factor λ), se halla con:
log ff 12
√
N=
6 λ
log
2
(2.50)
En consecuencia la señales musicales Sn (t) se crean a partir de:
Sn (t) =
N
X
n=1
fi
cos 2 · π ·
·t·h
fs
(2.51)
Donde h es el número de armónicos empleados, por lo general 4.
La ventaja de tener una respuesta de frecuencia exacta debido a la asignación de la frecuencia
de prueba preestablecida ω, es aprovechada para hallar el nombre y el número de octava de
la nota musical de la frecuencia de salida. Para la incorporación de esta nueva función se usa
el formato MIDI (Musical Instrument Digital Interface), que discretiza las frecuencias de las
notas musicales en el rango de 0 - 127, donde C0 = 0 y G9 = 127.
Se convierte el valor de la frecuencia de salida, a su correspondiente valor en el formato MIDI
(NM IDI ):
NM IDI = 69 + 12 · log2
fo
12
(2.52)
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
31
Se halla el número de octava Nv :
Nv = 8 −
131 − NM IDI
12
(2.53)
Se halla la posición de la nota en la escala cromática (C = 0 - B = 11):
N ota = NM IDI − 12 · (Nv + 2)
(2.54)
Sabiendo la posición de la nota en la escala cromática, fácilmente se determina su nombre.
Este procedimiento se realiza únicamente para el sistema cromático (factor λ = 12 ), porque en
otro sistema los nombres de las notas son más de doce y además no son exactamente iguales.
2.2.3.
Multiplicidad de armónicos
Con las frecuencias halladas para los primeros n armónicos del espectro de la trama de análisis,
se puede hacer una estimación de la frecuencia fundamental [23] si se halla el promedio de la
diferencia de los máximos locales de los n − 1 armónicos. Como lo indica la ecuación 2.55:
fo =
n−2
P
i=0
f(n−i) − f(n−1)−i
n−i
(2.55)
Donde fn es un vector que contiene las frecuencias de los n máximos de la trama de análisis
actual.
Figura 2.13: Diagrama en bloques del algoritmo MA
2.3.
2.3.1.
Otras funciones
Segmentación
Es necesario en el proceso de análisis digital de señales, diferenciar las tramas de la señal que
contiene información de las que no contienen información, es decir, se debe saber cuales son
32
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
las tramas sonoras y cuales no. Se realizar un algoritmo de segmentación para detectar el
inicio y el fin de cada palabra (V-UV). En cuanto a las señales de voz cantada, la segmentación
se realiza a las frases musicales que incluyen secuencias de notas.
El algoritmo para realizar esta tarea se basa en la energı́a y la densidad de cruces por cero
de la señal ZCR (Zero Cross Rate) [40].
La energı́a E(n), de la señal X(n), se define como [4]:
E (n) =
N
X
n=1
|X (n)|2
(2.56)
La densidad de cruces por cero indica el número de veces que la señal pasa por eje x, para
determinar esta cantidad se cuentan los cambios de signo ascendentes y descendentes de la
señal [4]. Aproximadamente corresponde a la frecuencia de mayor componente espectral [16].
N
1 X
|sgn (X(n)) − sgn (X(n − 1))|
ZCR(n) =
N
(2.57)
n=1
Teniendo presente que la energı́a de la señal y la densidad de cruces por cero es mayor en
la tramas sonoras que en las sordas. Se realiza un criterio de decisión basado en un umbral,
el cual al ser superado indica el comienzo de una trama sonora, y el fin de sonoridad se
determina cuando la energı́a y la ZCR de la tramas de análisis, son inferiores al umbral.
Para hallar el umbral Ue , se tiene en cuenta la media µ y la desviación estándar σ de la trama
actual de análisis:
Ue = µ + 3 · σ
2.3.2.
(2.58)
Contorno
La representación gráfica de la evolución del pitch se obtiene hallando un estimado de la
frecuencia fundamental para cada una de las tramas de voz obtenidas, lográndose una representación de tramas vs frecuencia. Esta representación no proporciona información directa a
cerca del tiempo de duración de cada frecuencia estimada.
El contorno (pitch vs tiempo) posee más información de la estimación del pitch en señales
de voz hablada y mucho más en señales de voz cantada; dado que la música se desarrolla a
lo largo de la variable tiempo.
La gráfica del contorno se obtiene haciendo una interpolación lineal o polinomial de alto
orden [20] sobre los puntos del pitch obtenidos. La graficación puede ser en frecuencia lineal
33
CAPÍTULO 2. ALGORITMOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL PITCH
o logarı́tmica.
Para realizar el contorno solo basta con hacer un cambio de variable en el eje de las abscisas,
convirtiendo el número de muestras a la variable tiempo. Es indispensable conocer la frecuencia de muestreo debido a que el tiempo total (ttotal ) que dura una señal se calcula de la
siguiente forma [4]:
ttotal =
V
fs
(2.59)
Donde fs , es la frecuencia de muestreo y V el número de ventanas que caben en la señal.
2.3.3.
Filtro de mediana
Tramas consecutivas no siempre generan igual valor de pitch, creándose en la gráfica de la
evolución de la frecuencia fundamental picos esporádicos que no son verdaderos valores de
pitch sino errores transitorios. La solución que se plantea para suavizar la señal y eliminar
los picos es aplicar un filtro de mediana de orden 5.
Si se define L como la longitud del vector de entrada a filtrar, entonces el filtro de mediana de
orden n, halla la mediana de L subconjuntos de n elementos seleccionados desde el primero
hasta L − (n − 1). Previamente se debe hacer un ajuste añadiendo un determinado número
de ceros al inicio y al final del vector de entrada, para que el primero y el último elemento
del vector no sean excluidos de la operación.
Si el orden del filtro es un número par, el filtro halla la media aritmética de los números
centrales [37, 26], los cuales se encuentran en la posición n2 y n2 + 1 del subconjunto actual.
El número de ceros a la izquierda y a la derecha del vector de entrada para que el primer
elemento y el último se tengan en cuenta es n2 y n2 − 1 respectivamente.
En cambio, si n es impar, el número de ceros a la izquierda y a la derecha para que el primero
y el ultimo elemento sean el único número central del conjunto de análisis, y por consiguiente
la respectiva mediana buscada es
(n−1)
2 .
El vector de salida tendrá el mismo tamaño del vector de entrada, lo que confirma que el
número de subgrupos de análisis es igual a la longitud del vector de entrada [26].
Capı́tulo 3
Pruebas y Resultados
3.1.
Base de datos
Se usaron dos tipos de bases de datos de señales musicales, una de tipo instrumental y la otra
de voz cantada.
También se usó la base de datos de vocales sostenida propiedad de la Universidad Nacional
de Colombia para realizar una prueba de hipótesis estadı́stica, dado que aún no se cuenta
con una base de datos de señales de voz cantada apropiada para este tipo de pruebas.
3.1.1.
Señales musicales de prueba
En el proceso de implementación, corrección y edición de los diferentes algoritmos se usaron
las señales de las notas musicales de una trompeta sintetizada por un teclado marca Yamaha
PSR-620 en el rango de 5 octavas, desde el C2 = 65.41 Hz hasta C7 = 2096 Hz y de forma
sostenida durante aproximadamente 2 segundos.
El uso de estas señales de prueba facilitó el trabajo de implementación y corrección de los algoritmos, porque la frecuencia fundamental de cada una de éstas es conocida con anterioridad
(ver tabla A.2 en los anexos).
Además se tomaron muestras de voz para seis cantantes cubriendo todo el registro necesario.
3.1.2.
Caracterı́sticas de las muestras
Las muestras obtenidas por medio del software Mirla, están compuestas por una escala
mayor y su respectivo arpegio, cuya tonalidad depende de la tesitura de cada cantante. En
conjunto forman el acorde de C Mayor. Para la escala y el arpegio mayor, se pidió al cantante
34
35
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
que interpretara lo pedido de tres formas diferentes, tomando tres muestras para cada una de
las formas: en piano, en f orte, y crescendo ascendente - decrescendo descendente. Además
se grabaron los intervalos diatónicos de la escala de forma separada y se concluyó cada sesión
con el fragmento de una obra musical a selección del cantante dependiendo del gusto y la
capacidad. El contenido de las muestras, se resume en tabla 3.1.
Registro
Escala y Arpegio
Intervalos
Obra (Fragmento)
Autor
Soprano
E Mayor
Diatónicos
Nel cor più non mi sento
G. Paisiello
Mezzo-soprano
C Mayor
Diatónicos
Ejercicio de calentamiento
...
Contralto
G Mayor
Diat. y Cromáticos
Réquiem en Dm K.626 (Introito)
Mozart
Tenor
E Mayor
Diat. y Cromáticos
Bella prova e d’alma forte
Nicola Vaccaj
Barı́tono
C Mayor
Diat. y Cromáticos
Opera Aida
Giuseppe Verdi
Diatónicos
a
Beethoven
Bajo
E Mayor
Motivo 5 Sinfonia
Tabla 3.1: Caracterı́sticas musicales de las muestras de canto.
Las muestras se tomaron con un micrófono Shure SM58 dinámico unidireccional especial para
cantantes. Con filtro esférico para eliminar los ruidos del aliento, los ruidos del viento y el
seseo. Y dispersion polar de cardiode para aislar la fuente sonora principal y reducir ruidos
de fondo. La distancia entre el cantante y el micrófono es de aproximadamente 10-15 cms.
Las caracterı́sticas de los archivos de audio recolectadas son las siguientes:
Formato: *.wav
Frecuencia de muestreo: 22.050 Hz
Bits por muestra: 16 Bits.
Canales: 1 canal monofónico.
3.2.
3.2.1.
Resultados de la estimación del pitch
Segmentación
En el proceso de segmentación se uso la energı́a de la señal y la densidad de cruces por cero,
pero esta última función no produjo resultados satisfactorios y representativos de las tramas
sordas, dando lugar a su omisión y encontrándose que con el uso de un umbral dependiente
de la energı́a de la señal es suficiente.
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
36
En señales de voz hablada se segmenta con el fin de economizar tiempo computacional al no
tener que procesar información superflua, adoptándose inicialmente esta idea en la segmentación de señales de voz cantada, los resultados demostraron que las tramas sordas son parte
importante en la música; porque representan silencios musicales necesarios en la obra.
Para evitar excluir los silencios y asegurar que no afecten el análisis por la presencia de ruido
que estos conllevan, se convirtieron las tramas sordas en ceros; depurando de esta forma el
ruido para crear una señal semejante a la original.
Luego con la señal depurada el algoritmo de estimación es obligado a dar el valor de cero a
la frecuencia cuando encuentra tramas con valores consecutivos de ceros.
Sin embargo no todos los silencios son necesarios, ya que solo una parte de estos situados al
principio y al final de la señal de voz cantada hacen parte de la melodı́a, encontrándose el
problema de tener que discriminar cual de estos es realmente importante. La primera parte de
un frase musical (prótasis), contiene silencios cuando es protética (anacrúsica) o procataléctica
(acéfala), y no es necesario que la última parte (apódosis), sea ı́ctica o postı́ctica para termina
con silencios en el ultimo compás 1 . Para efectos del presente trabajo, se utilizó la solución
sencilla de dejar únicamente silencios de 1 segundo al principio y al final; suponiendo que
hacen parte del compás 2 .
Figura 3.1: Melodı́a cantada por una mezzo-soprano
3.2.2.
Resultados con señales musicales de prueba
Para la implementación de los diferentes algoritmos, se uso la herramienta Matlab 6. Esta
herramienta permite compilar en un lenguaje de programación simulado.
Las gráficas de los resultados con estas señales son muy aproximadas y constantes porque la
fuente sonora es de una afinación muy precisa.
1
2
ver definiciones en el anexo A
ver observación 2 pag.48
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
37
Figura 3.2: Segmentación para una señal de voz cantada
Estimación del pitch en el dominio del tiempo
Los resultados de la estimación de la frecuencia fundamental en el dominio del tiempo de
los algoritmos AUTOC, FAEP, Cepstrum, SIFT y SAA; se muestras en las figuras 3.3 - 3.7
respectivamente.
Figura 3.3: Resultado algoritmo AUTOC para A5 = 880 Hz
El algoritmo SIFT muestra como resultado el valor del pitch en la parte superior de la figura
3.6 y el vector binario del algoritmo de segmentación implı́cito en la parte inferior de la
misma. Varios autores coinciden en que SIFT es bastante bueno para la estimación de la
frecuencia fundamental de la voz hablada [18].
Se observa que el resultado del algoritmo para la detección del tono (SAA), es un vector
discreto que indica el número de nota y el número de octava. Estos valores discretos sirven
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
38
Figura 3.4: Resultado algoritmo FAEP para A3 = 220 Hz
Figura 3.5: Resultado algoritmo Cepstrum C6 = 1046 Hz
Figura 3.6: Contorno del pitch de SIFT para D3 = 146,83 Hz
como entradas a la ecuación 2.41, para obtener el valor de la frecuencia. En la figura 3.7, se
aprecia el resultado del algoritmo SAA para un E4.
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
39
Figura 3.7: Resultado algoritmo SAA para E4 = 329,63 Hz
Estimación del pitch en el dominio de la frecuencia
Los resultados de la estimación de la frecuencia fundamental en el dominio de la frecuencia,
para los algoritmos HPS, ML y MA; se muestras en las figuras 3.8 - 3.10 respectivamente.
Figura 3.8: Resultado algoritmo HPS para G♯2 = 103,83
El resultado del algoritmo ML, es exactamente al valor de la frecuencia esperada porque se
asigna la frecuencia de prueba de la la señal que posee mayor similitud con la trama de audio.
Además la fuente sonora de entrada, tiene una afinación muy aproximada, por provenir de
un dispositivo electrónico (indudablemente con un pequeño margen de error). La respuesta
del nombre de la nota musical también es el la correcta: C7.
El algoritmo multiplicidad de armónicos tiene buenos resultados a pesar de su sencillez, pero
hay que reiterar que los resultados son mejores para altas frecuencias; como la frecuencia de
entrada de B5 igual a 987, 77Hz, que se puede observar en la figura 3.10.
40
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
Figura 3.9: Resultado algoritmo ML para C7 = 2093 Hz
Figura 3.10: Resultado algoritmo MA para B5 = 987,77 Hz
3.2.3.
Resultados con señales de voz cantada
El resultado de la estimación del pitch con el algoritmo ML para la sección de la contralto
interpretando la primera frase del introito del Réquiem en D menor K.626 de Mozart, se
muestra en la figura 3.11 y su respectiva partitura
3
en la figura 3.12.
Para constatar los resultados obtenidos en la figura 3.11, en la tabla 3.2 se encuentran los
valores de frecuencias de las notas mostradas en la partitura de la figura 3.12. Se demuestra
que los resultados son satisfactorios, sin embargo la frecuencia de B♭3 no concuerda con el
valor esperado; esto se debe a una leve desafinacion de la cantante la cual se aproxima más
a B♮3. Y las oscilaciones en el A3 se deben a un vibrato natural de semitono descendente, es
decir, entre A3 y G♯3. En la última columna de la tabla se muestra la frecuencia de B♮3 y de
G♯3 4 .
3
4
El signo al final del fragmento significa que la obra continua. Similar a los puntos suspensivos.
En el anexo D se muestra la estimación con otros algoritmos y con ML configurado para diferentes
microtonalidades
41
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
Figura 3.11: Estimación del pitch con el algoritmo ML para la primera frase del Réquiem en
D menor de Mozart interpretada por una contralto.
Figura 3.12: Partitura del Réquiem de Mozart para contralto.
D4
C♯4
C♮4
B♭3
E4
A3
F4
F♯4
B♮3
G♯3
293, 66
277, 18
261, 62
233, 08
329, 63
220
349, 23
369, 99
246, 94
207, 65
Tabla 3.2: Frecuencias de las notas usadas en la primera frase del Réquiem de Mozart.
Los resultados de la estimación del pitch para un cantante tenor interpretando el arpegio de
E mayor ascendente y descendente usando el algoritmo SIFT, se muestra en la figura 3.13.
La partitura del arpegio de E mayor para este registro escrita en clave de DO, se observa en
la figura 3.14 y las respectivas frecuencias de las notas en la tabla 3.3.
E3
G♯3
B3
E4
164, 81
207, 65
246, 94
329, 63
Tabla 3.3: Frecuencias del Arpegio de E mayor en la tercera octava
En la figura 3.15, se muestran los resultados de la estimación del pitch con el algoritmo FAEP
para la escala de E mayor interpretada por una soprano. La notación musical de la escala
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
42
Figura 3.13: Estimación del pitch con SIFT para el arpegio de E mayor interpretado por un
tenor.
Figura 3.14: Partitura del arpegio de E mayor.
en el pentagrama y sus valores de frecuencia se muestran en la figura 3.16 y la tabla 3.4
respectivamente.
Figura 3.15: Estimación del pitch con FAEP para la escala en E mayor interpretada por una
soprano.
43
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
Figura 3.16: Partitura de la escala de E mayor.
E4
F♯4
G♯4
A4
B4
C♯5
D♯5
E5
329, 63
369, 99
415, 30
440
493, 88
554, 36
622, 25
659, 26
Tabla 3.4: Frecuencias de las notas de la escala de E mayor.
3.3.
3.3.1.
Análisis Estadı́stico
Prueba de hipótesis aplicada a la estimación del pitch
Encontrando en promedio una respuesta aparentemente óptima según las señales de prueba,
se pasó a determinar de una forma objetiva y cientı́fica el algoritmo que mejor desempeño
proporciona tomando como referencia los resultados obtenidos con el software PRAAT. Este
software es un analizador de voz de libre distribución del Institute of Phonetic Sciences de la
universidad de Amsterdam.
Las señales de prueba usadas son las contenidas en la base de datos Mirla propiedad de la UN.
La base de datos de prueba consta de 455 voces, divididas en cinco grupo correspondientes a
las cinco vocales del alfabeto español y cada grupo contiene 91 muestras de la vocal en forma
sostenida.
Con el valor medio de la frecuencia fundamental para cada uno de los algoritmos incluyendo
el algoritmo PRAAT y el Childers [8], y excluyendo el algoritmo SAA y ML debido a que
sus respuestas son discretas y además tienen como requisito una fuente musical de entrada
exacta. Se halló cada una de las distribuciones de probabilidad acumulativa (FDA) de las
poblaciones obtenidas, con el fin de aplicar el test estadı́stico de Kolmogorov-Smirnov,
que permite comparar dos distribuciones de probabilidad de datos continuos univariados.
Como hipótesis nula H0 , se tiene:
H0 = Las muestras tiene igual distribución de probabilidad.
En la figura 3.17, solo se muestran las distribuciones de probabilidad acumulativa para los
algoritmos que más se asemejan a la distribución acumulativa de referencia.
44
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
Figura 3.17: Gráfica de las funciones de distribución acumulativas.
Para los niveles de significación α más comúnmente usados 0.05 y 0.01, se obtienen los
resultados mostrados en la tabla 3.5.
Método
α=0.05
α=0.01
AUTOC
Rechaza
No rechaza
Cepstrum
Rechaza
Rechaza
FAEP
Rechaza
Rechaza
SIFT
Rechaza
No rechaza
HPS
Rechaza
Rechaza
MA
Rechaza
Rechaza
Childers
Rechaza
Rechaza
Tabla 3.5: Resultados del test de Kolmogorov-Smirnov
3.3.2.
Prueba de hipótesis para la estimación con ruido
Para determinar el nivel de sensibilidad de cada uno de los algoritmos de estimación del
pitch ante ruido ambiente de fondo, se obtuvieron muestras de valores de pitch para las notas
musicales de prueba con sonido de trompeta, en el rango de 5 octavas (61 notas en forma
45
CAPÍTULO 3. PRUEBAS Y RESULTADOS
cromática). Las muestras se obtuvieron sin ruido y con ruido gaussiano aditivo para un SNR
de 20dB, con el cual se simula el ruido ambiente de fondo.
Se aplico una prueba de hipótesis con el estadı́stico t-student, bajo el nivel de significación
de 0.05 y 0.01. La hipótesis nula planteada Ho es:
H0 = µ (x1 − x2 ) = 0
Donde x1 es el conjunto de datos de los valores de pitch sin ruido y x2 los valores de pitch
con ruido aditivo de 20 dB. El número n de observaciones es igual a 61 para todos los
algoritmos, excepto para SIFT con el cual únicamente se obtuvieron 36 muestras, porque su
rango dinámico de operación es de 3 octava (36 notas).
Los resultados obtenidos con la prueba de hipótesis se pueden apreciar en la tabla 3.6.
Algoritmo
α=0.05
α=0.01
AUTOC
No rechaza
No Rechaza
FAEP
No rechaza
No Rechaza
Cepstrum
Rechaza
Rechaza
SIFT
Rechaza
No Rechaza
SAA
No rechaza
No Rechaza
HPS
Rechaza
Rechaza
ML
No Rechaza
No Rechaza
MA
Rechaza
No Rechaza
Tabla 3.6: Resultados de la prueba de hipótesis para ruido de 20 dB
Conclusiones
La estimación de la frecuencia fundamental con el algoritmo ML produce muy buenos
resultados, siempre y cuando la frecuencia buscada se encuentre en el vector de frecuencias de las señales musicales de prueba. De lo contrario se hace una aproximación a la
frecuencia musical más cercana. Por esta razón obviamente es más recomendable realizar la estimación para instrumentos de afinación exacta como el piano, la guitarra...etc;
y no para señales de voz cantada porque pueden producir frecuencias de notas musicales no discretas. Se planteó la solución de poner como entrada al algoritmo el sistema
de afinación musical usado para dar mayor precisión, pero se incrementa el tiempo de
computo.
El algoritmo SAA trabaja bien para señales musicales de afinación exacta, pero únicamente para el sistema cromático; sin poderse hacer una generalización de la afinación
debido a su misma esencia de operación. Además produce errores esporádicos, en especial en la primera etapa. Se pudo remediar hallando y aplicando la moda a todo
el vector, pero esta solución solo es útil cuando se halla una sola frecuencia a la vez;
impidiendo que se puedan hallar pitch para secuencias de notas (melodı́a) porque se
pierden los valores que menos se repiten por la imposición de la moda.
La resolución de los resultados de detección del algoritmo HPS, es tan buena como la cantidad de puntos que sean usados para hallar la FFT, pero es ineludible un
post-proceso de corrección de octava. Los algoritmos cepstrum y FAEP tienen buen
desempeño. El algoritmo MA a pesar de ser el más sencillo produce buenos resultados,
pero son mejores y más exactos cuando se detectan altas frecuencias. Sin embargo,
se demuestra estadı́sticamente en la tabla 3.5 y en la figura 3.17, que los algoritmos
SIFT y AUTOC son mejores al aceptar la hipótesis nula Ho al nivel de significación
de α=0.01.
46
El principio fundamental de SIFT está basado en el modelo del tracto vocal, por
tal razón es totalmente apropiado para voces más que para instrumentos musicales.
Además posee implı́citamente una función de segmentación. Tiene la desventaja de
trabajar únicamente en el rango de (62, 5 − 500 Hz); excluyendo ası́ el análisis para los
registros agudos.
En el proceso de segmentación de señales de voz cantada se debe evitar eliminar las
tramas sordas entre notas, porque éstas corresponden a silencios musicales de la obra
que contienen información musical importante. También hay que tener cuidado de no
eliminar la totalidad de los silencios iniciales y finales, porque como pueden ser tramas
transitorias con ruido, también pueden ser parte indispensable de la melodı́a. Para estar
seguro de la función de los silencios de la melodı́a y tomar decisión sobre ellos se plantea
realizar un proceso de discriminación más complejo.
Al nivel de significación de 0.05, SIFT y MA rechazan la hipótesis nula para la prueba
de inmunidad ante el ruido gaussiano aditivo. HPS y Cepstrum no superan la prueba
para ninguno de los dos niveles de significación usados. Por lo tanto AUTOC, FAEP,
SAA y ML son más resistentes al ruido de fondo.
47
Observaciones
Al termino del presente trabajo se hacen las siguientes observaciones que pueden servir como
información adicional, o como recomendaciones que surgieron de la experiencia adquirida en
la detección y corrección de problemas que se presentaron en el desarrollo del mismo. También
se pueden considerar como problemas planteados, o como ideas para futuras investigación en
el tema.
1.
Se podrı́a pensar apresuradamente que entre más aguda sea la voz mayor es el rango de
frecuencia, por consiguiente mayor “ancho de banda” (ver tabla 1.2). Pero este cálculo
no es posible y se comete un error de concepto matemático debido a que el valor de
frecuencia de las notas musicales provienen de una progresión geométrica con factor 2,
por ejemplo, para hallar el valor de frecuencia de alguna de las octavas superior de una
nota inicial, se debe elevar 2 el número de veces indicado y multiplicar por la frecuencia
inicial. Es decir, es una operación logarı́tmica con base dos y el hecho de sustraer la
frecuencia inferior de la frecuencia superior para hallar el “ancho de banda”, implica
una incompatibilidad por ser la sustracción una operación lineal.
2.
En el proceso de segmentación de señales musicales (frases melódicas), como se escribió en el capitulo 3, existe el problema de tener que hallar la información importante
en los silencios iniciales y finales. Una mejora que se propone es la realización de un
proceso de discriminación, en el cual se detecte el tempo de la señal, el tipo de compás
y los tiempos fuertes (ictus). Luego con esta información, encontrar si el comienzo de la
frase es tético, protético o procataléctico. Si el comienzo es protético o procataléctico,
se calcula el número de figuras en silencio y su valor en tiempo. De esta forma solo se
incluye en el análisis la información de tramas sodas necesarias.
48
3.
Las ecuaciones 2.22, 2.26-2.36, 2.40, 2.41, 2.50, 2.55, fueron deducida especialmente por
el autor en el desarrollo de este trabajo. La ecuaciones 2.47 y 2.48, son generalizaciones
de la ecuación de Chladni; la primera para el sistema de afinación microtonal usado y
la segunda para hallar los valores de las frecuencias superiores a una o más octavas.
La conceptualización con armonı́a musical del algoritmo SAA y la mejora de obtener a
partir de la respuesta en frecuencia de ML el nombre de la nota y su octava, también
fueron mejoras que surgieron en el proceso de la realización del mismo.
49
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cse.ohio-state.edu/~mwu/Public/IJCNNHandOutPaper.pdf.
53
Anexo A
Conceptos Musicales
A.1.
Nomenclatura de la notas musicales
Los nombres de las notas musicales reciben varias abreviaturas para referirse fácilmente a
ellas. En la tabla A.1, se muestran las nomenclaturas usadas en diferentes escuelas musicales:
Escuela
DO
RE
MI
FA
SOL
LA
SI bemol
SI
Española - Italiana
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
–
Si
Francesa
Ut
Re
Mi
Fa
Sol
La
–
Si
Inglesa
C
D
E
F
G
A
–
B
Alemana
C
D
E
F
G
A
B
H
Tabla A.1: Cifrado de las notas musicales
A.2.
Frecuencias de las notas musicales
La música tradicional clásica o popular occidental usa la escala temperada de 12 notas por
octava, es decir, con 12 divisiones exactas llamadas semitonos para formar la escala cromática.
A cada nota musical le corresponde una frecuencia según la tabla A.2.
A.2.1.
El pentagrama musical
La correspondencia de cada nota musical en el pentagrama, se muestra en la figura A.1. Donde
el sı́mbolo (♯) se llama sostenido y significa que a la nota que lo precede se le incrementa un
semitono. El sı́mbolo (♭) se llama bemol y tiene el efecto contrario al sostenido. Una nota
puede tener igual frecuencia pero diferente nombre, lo que se denomina como enarmónico,
54
55
ANEXO A. CONCEPTOS MUSICALES
Nombre
Orden de Octava
Nota
1
2
3
4 (Central)
5
6
7
8
9
C
32, 70
65, 41
130, 81
261, 62
523, 25
1046, 50
2093
4186
8372, 02
C♯
34, 65
69, 30
138, 59
277, 18
554, 36
1108, 73
2217, 46
4434, 92
D
36, 71
73, 42
146, 83
293, 66
587, 33
1174, 66
2349, 32
4698, 64
D♯
38, 89
77, 78
155, 56
311, 13
622, 25
1244, 51
2489, 01
4978, 03
E
41, 20
82, 41
164, 81
329, 63
659, 26
1318, 51
2637, 02
5274, 04
F
43, 65
87, 31
174, 61
349, 23
698, 46
1396, 91
2793, 82
5587, 65
F♯
46, 25
92, 50
185
369, 99
739, 99
1479, 98
2959, 95
5919, 90
G
49
98
196
392
783, 99
1661, 22
3135, 96
6270, 93
G♯
51, 91
103, 83
207, 65
415, 30
830, 61
1661, 22
3322, 44
6644, 87
A
55
110
220
440
880
1760
3520
7040
A♯
58, 27
116, 54
233, 08
466, 16
932, 33
1864, 65
3729, 31
7458, 62
B
61, 74
123, 47
246, 94
493, 88
987, 77
1975, 53
3951, 06
7902, 13
Tabla A.2: Frecuencia de las notas musicales del sistema temperado
por ejemplo, Re sostenido (D♯) es el enarmónico de mi bemol (E♭) y viceversa.
Las notas musicales se representan en el pentagrama como si éste fuera un “plano cartesiano”,
donde el eje horizontal es el tiempo y el vertical la frecuencia.
Figura A.1: Pentagrama de la escala cromática.
A.3.
Efectos usados en el canto
Para dar mayor expresión al canto se usan algunos efectos, éstos tienen la función de alterar
de forma consciente y momentánea algún atributo de la señal como: la frecuencia, la amplitud
ANEXO A. CONCEPTOS MUSICALES
56
o el tiempo de duración. El uso de estos efectos en la voz cantada hace más difı́cil la detección
del pitch.
Vibrato: Desplazamiento rápido alrededor de una nota [24, 19]. Corresponde a una
modulación FM a baja frecuencia [14].
Apoyatura: Nota musical de corta duración que se antepone a una nota real. Se ejecuta
apoyando dicho sonido con una excitación nerviosa en la criba [19].
Grupeto: Ejecución de notas rápidas alrededor de la nota real sin perder su valor y
manteniendo el ritmo [19].
Glissando: Deslizamiento de forma continua entre dos o más notas [19].
Picado: Ejecución corta y golpeada de una nota musical [19].
Rubato: Aceleración y desaceleración de tiempo musical en un fragmento determinado
de la obra [19].
Trino: Sucesión continua de dos notas rápidamente. Pueden ser de semitono, de tono o
de tercera [19]. Es el efecto más difı́cil de ejecutar y se efectúa en la garganta provocando
una sacudida repetida de la laringe [24].
A.4.
Definición de algunos términos musicales
Crescendo: Variación dinámica del sonido en un fragmento musical de forma gradual
desde suave a fuerte, se indica con (cresc) y la forma inversa se denomina decrescendo
(decres).
Piano: Indicación de expresión suave en el nivel de volumen de un fragmento de la
obra musical.
Forte: Indicación de expresión fuerte en el nivel de volumen de un fragmento de la obra
musical.
Cromática: Escala musical compuesta de 12 notas por octava con separaciones equidistantes de semitono.
ANEXO A. CONCEPTOS MUSICALES
57
Acorde de dominante: Union simultanea de la quinta, la séptima y la segunda nota
de la escala musical. Cuando incluye la cuarta nota de la escala se llama acorde de
dominante con séptima y cuando contiene la sexta, acorde de dominante con novena.
Motivo: Elemento primario y fundamental de una composición musical. La union de
dos o más motivos componen la semifrase [33].
Frase: Unión de dos o más semifrases. Por lo general es de ocho compases [33].
Prótasis: Semifrase que se encuentra en los primeros cuatro compases de la frase musical [32].
Apódosis: Semifrase que se encuentra en los últimos cuatro compases de la frase musical
[32].
Ictus: Primer tiempo fuerte del compás [33].
A.5.
Clasificación de los comienzos y finales de la frase musical
Clasificación según el comienzo: Según su posición con respecto al ictus inicial, se tienen:
Tético: Cuando el comienzo de la frase se encuentra en el primer ictus [33].
Protético: Cuando la frase comienza antes del primer ictus. El conjunto de notas
anteriores al ictus se denomina anacrusa. También recibe el nombre de anacrúsico [32,
33].
Procataléctico: El comienzo se halla inmediatamente después del ictus. Este comienzo
también es llamado acéfalo [32, 33].
Clasificación según el final: Según su posición con respecto al ictus final, la apódosis se
puede clasificar ası́:
Íctico: Cuando la frase termina exactamente con en el ictus. Generalmente se le conoce
como terminación masculina y puede o no dar lugar a silencios [32, 33].
Postı́ctico: La terminación se da después del ictus. Generalmente se le conoce como
terminación femenina y puede o no dar lugar a silencios [32, 33].
Anexo B
Test de Kolmogorov-Smirnov
B.1.
Introducción
En la década de 1930 los matemáticos rusos Andrei M. Kolmogorov y Vladimir I. Smirnov, desarrollaron un test estadı́stico de ajuste de bondad [21] para muestras continuas que permite
determinar si una muestra empı́rica dada proviene de una distribución teórica especifica [6, 3].
La distribución acumulada relativa teórica generalmente es la distribución normal [34]; aunque también pueden ser utilizada la distribución de Weibull, la exponencial o log-normal
[30]. Pero en muchos casos es necesarios probar como referencia una distribución desconocida
cuando se tienen dos muestras independientes [5, 6].
El test de Kolmogorov-Smirnov (K-S) es no-paramétrico [1], entonces no es necesario hacer suposiciones de la normalidad de las muestras, ni de la homogeneidad de las varianzas.
Además esta caracterı́stica permite que no sea necesario el conocimiento del tipo de variable,
ni la independencia de los datos.
B.2.
Ajuste de bondad del test de Kolmogorov-Smirnov
Para determinar si razonablemente se puede aceptar que las mediciones muéstrales provienen de una población que tiene una distribución teórica dada, se compara la distribución de
frecuencia acumulativa de la distribución teórica con la distribución de frecuencia acumulativa observada. Se determina el punto donde estas dos distribuciones muestran la mayor
divergencia [6].
58
59
ANEXO B. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
La distribución relativa acumulada de las muestras observadas F1 (x) y la distribución relativa acumulada de la muestra teórica F2 (x), se hallan ordenando los datos de las muestras
observadas f1 (x) y de las muestras teóricas f2 (x), para organizarlas por clases. Para obtener
la tabla B.1, teniendo en cuenta que [30, 31]:
Ft (n) =
n
P
f (xi )
i=1
,
N
i≤n
(B.1)
Donde t es el número del conjunto de las muestras, N es el tamaño de los datos y k es el
número de clases. Esta función incrementa por pasos de 1/N el valor de cada punto de los
datos [30, 31].
La maxima distancia entre las dos distribuciones de frecuencias relativas acumuladas se halla
con [3]:
D1 = máx |F1 (x) − F2 (x)|
(B.2)
D2 = máx |F2 (x) − F1 (x)|
(B.3)
D = máx{D1 , D2 }
(B.4)
En la tabla B.1, se muestran las dos distribuciones y su diferencia. Donde el primer ı́ndice
corresponde al número de la clase y el segundo al orden de la muestra.
Clases
F1 (x)
F2 (x)
F1 (x) − F2 (x)
1
F1 (1)
F2 (2)
F1 (1) − F2 (2)
2
F1 (2)
F2 (2)
F1 (2) − F2 (2)
...
...
...
...
k
F1 (k)
F2 (k)
F1 (k) − F2 (k)
Tabla B.1: Frecuencias relativas acumuladas para el test de Kolmogorov-Smirnov
B.3.
Hipótesis nula
Según el nivel de significación α, el tamaño de las muestras N y la tabla de ajuste de bondad
del test de K-S; se rechaza la hipótesis nula H0 , si D ≥ Dtabla con el nivel de confiabilidad
asumido [3, 5, 34]. La hipótesis nula y la hipótesis alternativa para este test son las siguientes
60
ANEXO B. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
[30, 6]:
H0 = Las muestras provienen de la misma distribución.
H1 = Las muestras proviene de diferentes distribuciones.
Cuando no se dispone de las tablas de ajuste de bondad del test K-S, es preferible hallar un
valor de umbral p-valor p(k), que depende de la longitud del vector de la población de prueba
n1 y el tamaño de la población de referencia n2 :
n=
λ = max
√
n1 · n2
n1 + n2
0,11
n + 0,12 + √
n
(B.5)
·D
(B.6)
El p-valor p(k), se halla con:
p(k) = 2
+∞
X
k=1
2 2
(−1)k−1 · e(−2·λ ·k )
(B.7)
El nivel de significación α, tiene que ser menor que el p-valor p(k) para que se acepte la
hipótesis nula H0 . Si se acepta la hipótesis nula, se concluye que los conjuntos de datos no
difieren significativamente y provienen de la misma función de distribución acumulativa.
B.4.
Ventajas y desventajas del test
Ventajas
Admite que los tamaños de las muestras no sean iguales [6].
No es necesario conocer el tipo de distribución [30].
No hace suposición acerca de la distribución de los datos.
Desventajas
Es menos sensible a las observaciones de los extremos y más sensible a los puntos cerca
de la mediana [34, 30].
La distribución debe ser completamente especificada estimando los parámetros de los
datos [5, 30].
ANEXO B. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
61
Solo se aplica a distribuciones continuas [30].
Tiene muy poca potencia con alta probabilidad de un error de tipo II (no encontrar
una diferencia cuando la hay).
El test de ajuste de bondad de Anderson-Darling, resuelve las dos primeras limitaciones [30].
Sin embargo solo es disponible para unas pocas distribuciones especificas [34, 1].
El test de Kolmogorov-Smirnov para muestras suficientemente grandes esta distribuido según
χ2 (chi-cuadrado) con dos grados de libertad [6, 3]:
χ2 =
4D2 (n1 n2 )
n1 + n2
(B.8)
El test de Kolmogorov-Smirnov es siempre más potente que su prueba alternativa [6].
El contraste de Kolmogorov-Smirnov para muestras muy pequeñas es más potente que el de
la U de Mann-Whitney, pero para muestras de tamaño grande ocurre lo contrario [6].
Anexo C
Prueba de hipótesis
Intervalo de confianza para la media de una distribución normal con varianza
desconocida
Se supone que x es una variable aleatoria normal, con media µ y varianza σ 2 , ambas desconocidas. A partir de una muestra aleatoria de n observaciones, se calculan la media muestral
x̄ y la varianza muestral S 2 . Entonces, un intervalo de confianza bilateral al 100(1 − α) %
para la media verdadera es [28]:
s
s
x̄ − t( α ,n−1) √ ≤ µ ≤ x̄ + t( α ,n−1) √
2
2
n
n
(C.1)
El termino (1 − α) %, se denomina coeficiente de confianza y t(α/ ,n−1) representa el punto
2
porcentual de la distribución t con n − 1 grados de libertad [28].
La media y la desviación estándar muestrales se calculan a partir de [28]:
n
1X
x̄ =
xi
n
(C.2)
i=1
S=
v
u
u n
uP 2
u
t i=1 xi −
n
P
i=1
n−1
62
xi
2
n
(C.3)
Anexo D
Estimación del pitch para diferentes
registros
D.1.
Estimaciones con el algoritmo AUTOC
Figura D.1: Estimación del arpegio de E mayor interpretado por un bajo.
Figura D.2: Estimación del arpegio de C mayor interpretado por una mezzo-soprano.
63
ANEXO D. ESTIMACIÓN DEL PITCH PARA DIFERENTES REGISTROS
64
Figura D.3: Estimación del arpegio de E mayor interpretado por una soprano.
Figura D.4: Estimación de un intervalo de 2a menor interpretado por un barı́tono.
D.2.
Estimaciones con el algoritmo FAEP
En la figura D.5, se muestra la estimación de la frecuencia fundamental de la escala y el
arpegio de E mayor, interpretados por una soprano.
Figura D.5: Estimación de la escala y el arpegio de E mayor interpretado por una soprano.
ANEXO D. ESTIMACIÓN DEL PITCH PARA DIFERENTES REGISTROS
D.3.
65
Estimaciones con el algoritmo ML
Con el algoritmo ML se estima la frecuencia fundamental para el intervalo de 5a justa (E2
- B2) y 3a mayor (E2 - G♯2), interpretado por un bajo. Los resultados se muestran en las
figura D.6.
Figura D.6: Estimación con ML para intervalos interpretados por una bajo.
D.4.
Estimaciones para la primera frase de la obra “Nel cor
più non mi sento”.
En las figura D.7, se muestra el resultado de la estimación con el algoritmo ML de la primera
frase de la obra “Nel cor più non mi sento” de Giovanni Paisiello (1741-1816), interpretada
por una soprano, y en la figura D.8, la partitura.
Figura D.7: Estimación de la obra “Nel cor più non mi sento” con ML.
ANEXO D. ESTIMACIÓN DEL PITCH PARA DIFERENTES REGISTROS
66
Figura D.8: Partitura de la obra “Nel cor più non mi sento”.
Figura D.9: Estimación de la obra “Nel cor più non mi sento” con AUTOC y SIFT.
D.5.
Estimaciones para la primera frase de la obra “Bella prova e d’alma forte”.
En la figura D.10 y D.11, se muestran respectivamente, el resultado de la estimación con el
algoritmo SIFT y la partitura de la primera frase de la obra “Bella prova e d’alma forte” de
Nicola Vaccaj (1790-1848), interpretada por un tenor.
Figura D.10: Estimación de la obra “Bella prova e d’alma forte” con SIFT.
ANEXO D. ESTIMACIÓN DEL PITCH PARA DIFERENTES REGISTROS
67
Figura D.11: Partitura de la obra “Bella prova e d’alma forte”.
D.6.
Estimaciones para la primera frase del Réquiem de Mozart
D.6.1.
Estimación con el algoritmo AUTOC y SIFT.
Para despejar dudas en cuanto al resultado obtenido para B♭3 en la estimación de la primera
frase del Introito del Réquiem en D menor K.626 de Mozart mostrada en el capitulo 3; en la
figura D.12, se muestra la estimación con otros algoritmos.
Figura D.12: Estimación del Réquiem de Mozart con el algoritmo AUTOC y SIFT.
D.6.2.
Estimación con el algoritmo ML configurado para diferentes microtonalidades
Es importante aclarar que los signos utilizados para indicar las alteraciones de las notas
en los sistemas microtonalı́stas, no son los mismo que se usan en la escala cromática. Para
mayor comprensión y facilidad de comparación, en las figuras D.13-D.15, se usan los signos
tradicionales.
ANEXO D. ESTIMACIÓN DEL PITCH PARA DIFERENTES REGISTROS
Figura D.13: Estimación con ML configurado para tercios de tono (λ = 31 ).
Figura D.14: Estimación con ML configurado para cuartos de tono (λ = 14 ).
Figura D.15: Estimación con ML configurado para sextos de tono (λ = 16 ).
68
Anexo E
Tabla de muestras de pitch con
ruido y sin ruido
E.1.
Tablas para los algoritmos en el dominio del tiempo
69
Nº de
Octava
Nombre
AUTOC
FEP
CEPSTRUM
SIFT
SAA
Nota Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido
Octava 2
Octava 3
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
64,65
68,9
73,01
77,36
81,65
86,81
91,87
97,56
103,52
109,7
116,05
65,23
68,69
73,01
77,35
81,93
86,18
91,91
96,71
103,02
109,15
116,04
64,66
68,9
72,77
77,35
81,66
86,81
91,87
97,13
103,03
109,15
115,44
65,23
68,69
73,01
77,36
81,76
86,47
91,96
97,13
103,02
109,15
116,65
64,66
68,69
73,01
77,64
81,7
86,14
91,49
97,13
103,02
109,15
116,65
0
0
73,25
77,35
81,89
86,46
91,55
96,71
103,03
109,15
116,66
64,85
68,9
72,72
77,64
82,27
86,12
91,87
98,43
104
110,24
114,84
64,85
68,9
73,5
77,64
82,27
87,5
91,87
98,43
104
110,25
114,84
65,41
69,3
73,42
77,78
82,41
87,31
92,5
49
103,83
110
116,54
65,41
69,3
73,42
77,78
82,41
87,31
92,5
49
103,83
110
116,54
121,82
121,88
122,5
121,82
122,5
122,5
122,5
122,5
123,47
123,47
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
130,45
137,81
146,02
154,19
163,32
173,62
183,75
195,13
206,07
218,31
232,1
128,94
136,95
146,02
154,19
163,33
173,62
183,74
195,13
206,06
218,31
232,1
129,7
137,81
146,02
154,19
163,32
173,62
183,74
195,13
206,07
218,31
232,1
129,7
137,81
145,06
154,19
163,32
173,62
183,75
195,13
206,06
218,31
232,1
129,7
136,95
145,05
154,18
163,33
173,62
183,74
195,13
206,07
218,31
232,1
129,7
136,95
146,02
154,19
163,33
173,62
183,75
195,13
206,07
218,31
232,1
131,25
137,81
145,06
153,12
162,13
172,25
183,74
196,85
204,16
220,5
229,65
131,25
137,81
145,06
153,12
162,13
172,26
183,75
196,76
204,16
220,5
229,68
130,81
138,59
146,83
155,56
164,81
174,61
185
196
207,65
220
233,08
130,81
138,59
146,83
155,56
164,81
174,61
185
196
207,65
220
233,08
245
245
245
245
245
245
250,55
250,56
246,94
246,94
Nº de
Octava
Nombre
AUTOC
FEP
CEPSTRUM
SIFT
SAA
Nota Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido
Octava 4
Octava 5
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
275,62
275,62
275,62
275,62
275,62
275,62
275,62
275,62
261,62
261,62
290,13
290,13
290,13
290,13
290,13
290,13
290,12
290,13
277,18
277,18
310,56
310,55
310,55
306,25
310,55
310,55
306,25
306,24
293,66
293,66
329,1
324,25
329,1
324,26
324,26
324,26
324,25
324,26
311,13
311,13
350
350
344,53
344,52
344,53
344,53
344,53
344,53
329,63
329,63
367,5
367,5
367,5
367,5
367,5
367,5
367,5
367,5
349,23
349,23
195,13
195,13
386,84
386,84
386,84
386,84
393,75
393,75
369,99
369,99
408,33
408,33
408,33
408,33
408,33
408,33
431,56
459,37
392
392
441
218,31
441
441
441
441
445,38
459,37
415,3
415,3
459,37
459,37
459,37
459,37
459,36
459,35
459,35
459,37
440
440
B
490
490
490
490
490
490
482,52
501,13
466,16
466,16
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
525
525
525
525
525
525
493,16
493,16
551,25
551,25
551,24
551,25
551,25
551,25
523,25
523,25
580,25
580,25
580,26
580,25
580,26
580,26
554,36
554,36
310,56
310,56
612,5
612,5
612,5
612,5
587,33
587,33
218,31
218,31
648,52
648,52
648,52
648,52
622,25
622,25
344,53
232,1
689,06
689,05
689,06
689,06
659,26
659,26
735
735
735
735
735
735
698,46
698,46
259,41
259,41
787,5
787,5
787,5
787,5
739,99
739,99
816,66
816,66
816,65
816,66
816,66
816,65
783,99
783,99
290,13
290,13
882
882
882
882
830,61
830,61
310,56
310,56
918,75
918,75
918,74
918,75
880
880
A#
Nº de
Octava
Octava 6
7
Nombre
AUTOC
FEP
CEPSTRUM
SIFT
SAA
Nota Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C
Medidas de
dispersión
1102,5
1102,5
1102,5
1102,5
1102,5
1102,5
1046,5
1046,5
1160,52
1160,52
1160,52
1160,52
1160,52
1160,52
1108,73
1108,73
1225
1225
0
0
1225
306,24
1174,66
1174,66
1297,04
1297,05
0
0
1297,05
648,52
1244,51
1244,51
1378,12
1378,12
0
0
1378,12
689,06
1318,51
1318,51
1470
1470
0
0
1470
0
1396,91
1396,91
1575
1575
0
0
1575
0
1479,98
1479,98
329,1
329,1
0
0
1696,15
816,66
1567,98
1567,98
580,26
580,26
0
0
1696,15
580,26
1661,22
1661,22
1837,5
1837,5
0
0
1837,5
0
1760
1760
648,53
648,52
0
0
2004,54
2004,54
1864,65
1864,65
689,05
689,05
0
0
2005,54
689,06
1975,53
1975,53
AUTOC
FEP
CEPSTRUM
SIFT
SAA
Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido Sin ruido Con ruido
Media
446,378689 440,736721 322,243443 322,09377 587,470492
413,98
212,9105556 214,648889 592,486721 592,486721
Varianza
178399,509 179866,32 99185,4696 99184,6791 298736,265 137772,2321 15333,97166 16149,3646 306490,671 306490,671
Desv. estándar 422,37366 424,106496 314,937247 314,935992 546,567713 371,1768205 123,8304149 127,08015 553,615996 553,615996
ANEXO E. TABLA DE MUESTRAS DE PITCH CON RUIDO Y SIN RUIDO
E.2.
Tablas para los algoritmos en el dominio de la
frecuencia
73
Nº de
Octava
Nombre
Nota
Octava 2
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
Octava 3
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
HPS
ML
MA
Sin ruido
Con ruido
Sin ruido
Con ruido
Sin ruido
Con ruido
86,1
86,13
110
110
114,84
114,84
96,89
96,89
116,54
116,54
143,54
143,55
107,65
107,65
123,47
123,47
129,19
129,19
118,43
118,43
130,82
130,82
129,19
129,19
107,65
129,19
138,59
138,59
186,62
186,62
139,96
139,96
87,31
87,31
143,55
143,55
64,59
150,73
92,5
92,5
157,91
157,91
75,36
161,49
98
98
100,48
100,48
86,13
86,13
103,82
103,82
129,19
129,19
96,9
96,9
110
110
143,54
143,54
96,9
96,9
116,54
116,54
157,91
157,91
107,66
107,66
123,47
123,47
157,91
157,91
118,43
118,43
130,82
130,82
172,26
172,25
118,43
258,39
277,19
277,19
186,62
186,62
129,19
129,19
293,68
293,68
186,62
186,62
140
140
311,14
311,14
200,96
200,97
150,73
150,73
329,64
329,64
215,32
215,33
161,48
161,49
349,24
349,24
229,68
229,68
172,26
172,26
370,014
370,014
244,04
244,04
183,03
183,03
392,016
392,016
258,38
258,39
183,03
193,79
415,32
415,32
272,75
272,75
204,56
204,56
440,02
440,02
287,1
287,1
215,33
215,33
466
466,18
301,46
301,46
226,09
226,09
494
493,91
330,15
330,17
Nº de
Octava
Nombre
HPS
ML
MA
Nota Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido
Octava 4
Octava 5
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
236,86
247,63
261,64
261,64
344,53
344,53
258,39
258,39
554,39
554,39
373,24
373,24
269,16
279,93
293,68
293,68
387,59
488,08
290,69
290,69
311,14
311,14
301,45
301,45
301,46
312,23
329,64
329,64
430,66
545,5
322,99
333,76
349,24
349,24
344,53
574,21
344,52
355,29
370,01
370,01
358,88
488,08
366,06
376,83
784,03
784,03
387,59
387,59
387,59
398,36
415,32
415,32
545,5
545,5
409,12
419,89
440,02
440,02
445,01
445,01
430,66
441,43
932,37
932,37
459,37
459,37
462,95
473,73
493,91
493,91
488,08
488,08
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
484,45
495,26
523,28
523,28
516,79
516,79
495,26
527,56
554,39
554,39
545,5
545,5
538,33
559,86
587,36
587,36
588,55
588,57
581,39
592,16
622,28
622,28
617,25
617,28
613,65
635,22
659,29
659,29
660,35
660,35
656,76
667,52
698,49
698,49
689,06
689,06
689,06
699,82
740,029
740,029
732,12
732,12
732,12
753,66
784,03
784,03
775,18
775,19
785,96
796,72
830,65
830,65
832,61
832,61
829,02
838,79
880,04
880,04
875,68
875,68
882,86
893,62
932,37
932,37
933,1
933,1
936,69
947,46
987,82
987,82
976,17
976,17
Nº de
Octava
Nombre
HPS
ML
MA
Nota Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido
Octava 6
7
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
1001,29
1012,06
1046,6
1046,6
1047,94
1047,94
1065,85
1055,12
1108,08
1108,08
1105,37
1105,37
1119,72
1119,72
1174,7
1174,7
1177,14
1177,14
1195,09
1195,09
1244,6
1244,6
1234,56
1234,57
1270,45
1270,45
1318,6
1318,6
1320,7
1320,7
1345,82
1345,82
1397
1397
1392,48
1392,48
1431,95
1431,95
1480,1
1480,1
1478,61
1478,61
1518,05
1518,09
1568,1
1568,1
1564,74
1564,74
1593,45
1593,45
1661,3
1661,3
1650,85
1650,85
1711,88
1701,12
1760,1
1760,1
1751,36
1751,36
1819,55
1819,55
1864,8
1864,8
1851,84
1851,84
1927,22
1927,22
1975,6
1975,6
1966,69
1966,69
C
2045,65
2045,65
2093,12
2093,12
2081,54
2081,54
Medidas de
dispersión
Media
Varianza
Desviación estándar
HPS
ML
MA
Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido Con ruido
566,209016
576,433607 649,9729344 649,972934 619,865902 629,281148
287340,241
281906,171 277867,2792 277867,279 281135,907 277910,432
536,041268
530,94837 527,1311784 527,131178 530,222507 527,172108