INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA • FRACTAL - são objetos geométricos cuja a dimensão de Haussdorf-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica e possuem estruturas em todas as suas escalas de ampliação, comumente com alguma similaridade entre elas • Invariância por transformação de escala - partes semelhantes ao todo que pode ser por: AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca) • A extensão do objeto, Md, depende do tamanho da régua de medida utilizada, , isto é, Md() = Mdod-D se D = d  Md() = Mdo. • fator de escala = lo/Lo . • . Medida de uma área de dimensão D = 2, feita com diversos padrões de medida uD = 1, 2, 3. 0 para   D  M D ( )M Do para   D  para   D  • Comparação entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. D, d e Df representam as dimensões topológica, euclidiana e fractal, de um ponto, de um segmento, de uma superfície plana e de um cubo, respectivamente. Modelo Fractal de Estruturas • Padrão geométrico auto-similar construido a partir da iteração de padrões geométricos com estruturas em escalas sucessivas de ampliação • Fractais ramificados, mostrando os elementos de estrutura, ou as unidades geometricas elementares, de dois fractais. a) Fractal matemático auto-similar b) Fractal físico estatisticamente auto-similar. Tipos de Escalonamento • Construção matemática de um fractal, seguindo uma regra básica de preencimento do espaço a) Coalescência: lrk = variável , Lo = cte, b) Fragmentação: lrk = variável, Lo = cte c) Crescimento: lo = cte, Lrk = variável.  Auto-Similaridade Fractal auto- similar Dx = Dy = Dz = D; d  D  d+1 ; Dx + Dy + Dz = d+1 d = dimensão de projeção ; d+ 1 = dimensão de imersão  Auto-Afinidade Fractal auto- afim Dx = Dy  H d  D  d+1 Dx + Dy + H = d+1 d = dimensão de projeção d+ 1 = dimensão de imersão INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL DE MEDIDA • FRACTAL - são objetos geométricos cuja a dimensão de Haussdorf-Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica e possuem estruturas em todas as suas escalas de ampliação, comumente com alguma similaridade entre elas • Invariância por transformação de escala - partes semelhantes ao todo que pode ser por: AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE. (Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca) • A extensão do objeto, Md, depende do tamanho da régua de medida utilizada, , isto é, Md() = Mdod-D se D = d  Md() = Mdo. • fator de escala = lo/Lo . • Fractais ramificados, mostrando os elementos de estrutura, ou as unidades geometricas elementares, de dois fractais. a) Fractal matemático auto-similar b) Fractal físico estatisticamente auto-similar. Tipos de Escalonamento • Construção matemática de um fractal, seguindo uma regra básica de preencimento do espaço a) Coalescência: lrk = variável , Lo = cte, b) Fragmentação: lrk = variável, Lo = cte c) Crescimento: lo = cte, Lrk = variável.  Auto-Similaridade Fractal auto- similar Dx = Dy = Dz = D; d  D  d+1 ; Dx + Dy + Dz = d+1 d = dimensão de projeção ; d+ 1 = dimensão de imersão  Auto-Afinidade Fractal auto- afim Dx = Dy  H d  D  d+1 Dx + Dy + H = d+1 d = dimensão de projeção d+ 1 = dimensão de imersão O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFÍCIE DE FRATURA • Diferentes tipos de defeitos presentes num material que agem como concentradores de tensão e influenciam na formação da superfície de fratura. • Diferentes níveis hierárquicos estruturais de uma fratura em função da escala de observação a) nível atômico b) nivel cristalino (degraus de clivagem) c) nível microestrutural (microsuperfícies de fratura) e d) nível macroestrutural da superfície de fratura  Modelo matemático autoafim (Dx = Dy  H)  lo  Lo L 1    2  Lo  2 H 2  lo  1  (2  H )  Lo  dL   dLo   l  2 H 1   2 1   o    Lo   2 H 2 • Superfície ou perfil de fratura (triaxialidade, x, y, z, ou deformação plana, KIC = cte) • Diferentes níveis hierárquicos estruturais de uma fratura em função da escala de observação a) nível atômico b) nivel cristalino (degraus de clivagem) c) nível microestrutural (microsuperfícies de fratura) e d) nível macroestrutural da superfície de fratura Modelagem de Superfícies Rugosas • Superfícies de Fratura • Níveis Hierárquicos de Estruturas para Modelagem Téorica • Simulação da Fratura Rugosa em Materiais Simulação de uma fratura em um meio frágil com concentradores de tensão distribuido aleatóriamente sobre o material Método Gráfico de Medida de uma Linha ou Superfície Rugosa • Modelos de Superfícies de Fratura  = Lo/lo Lo 2 2 H L  Lo 1  ( } lo dL dL o L o 22H 1  ( 2  H )( ) lo  L o 22H 1  ( ) lo O MODELAMENTO FRACTAL DA SUPERFÍCIE DE FRATURA  Modelo matemático autoafim (Dx = Dy  H)  lo  Lo L 1    2  Lo  2 H 2  lo  1  (2  H )  Lo  dL   dLo   l  2 H 1   2 1   o    Lo   2 H 2 • Superfície ou perfil de fratura (triaxialidade, x, y, z, ou deformação plana, KIC = cte) • Levantamento de Perfis de Fratura em Cimento Perfil de fratura levantado a partir da imagem da superfície de fratura da argamassa de cimento Modelo Fractal do Comprimento Rugoso 6000 Comprimento rugoso L (pixels) • Ajuste dos Resultados Experimentais com o Modelo Fractal L 5000 4000 3000 Data: Data1_B Model: Self-afine Lucas com Ho Chi^2 = 5397.90527 a 0.67427 ±311.22001 Ho 4.555 ±1706.52065 H 0.18569 ±0.12576 2000 1000 0 0 500 • Trinca em Cimento 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Comprimento projetado Lo (pixels) L Comprimento rugoso L (pixels) 6000 5000 4000 3000 Data: Data1_B Model: Self-afine Lucas com Ho Chi^2 = 3559.72309 a 1.77038 ±2871.48876 Ho 5.36687 ±7921.55055 H 0.08547 ±0.22948 2000 1000 0 0 500 1000 1500 2000 2500 Comprimento projetado Lo (pixels) 3000 3500 • Levantamento de Perfis de Fratura em Argila Perfil de fratura levantado a partir da imagem da superfície de fratura da argila vermelha Modelo Fractal do Comprimento Rugoso • Ajuste dos Resultados Experimentais com o Modelo Fractal Comprimento rugoso L (pixels) 5000 L 4000 3000 2000 Data: Data1_B Model: Self-afine Lucas com Ho Chi^2 = 9119.67022 a 0.11897 ±46.98883 Ho 7.78943 ±2039.48912 H 0.33511 ±0.04644 1000 0 0 400 600 800 1000 1200 1400 Comprimento Projetado Lo (pixels) 5000 Comprimento rugoso L (pixels) • Trinca em Cerâmica Vermelha 200 L 4000 3000 2000 Data: Data1_B Model: Self-afine Lucas com Ho Chi^2 = 12670.99992 a 0.45482 ±1376.97283 Ho 3.2094 ±8661.56972 H 0.10448 ±0.20991 1000 0 0 200 400 600 800 1000 1200 Comprimento projetado Lo (pixels) 1400 1600