Ejercicios de costos de producción

Ejercicios de costos de producción 1. Un empresario desea producir 240 unidades por hora del bien X, y su función de producción es: PT = 2KL. Siendo: PT = producto total (unidades producidas por hora) K = capital (maquinas alquiladas por hora) L = Trabajo (obreros contratados por hora) R = $ 150 (precio pagado por el alquiler de una maquina por hora) W = $ 5 (salario pagado a un obrero por hora) a. Cuál es la combinación óptima de las cantidades de capital y trabajo con la cual el empresario minimiza el costo total de producir las 240 unidades del bien X b. Cuál es el costo total de producir las 240 unidades por hora del bien X c. Muestre gráficamente la combinación óptima de los factores de producción con el cual se minimiza el costo total. Desarrollo a. La combinación optima de los insumos capital y trabajo con la cual el productor minimizara su costo, es aquella donde la tasa marginal de sustitución técnica se iguala a la relación de precios de los factores de producción. Es decir, cuando: 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐿𝐾 = Siendo: 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐿𝐾 = 𝑃𝑀𝑔𝐿 𝑃𝑀𝑔𝐾 = 𝑤 𝑟 𝜕(𝑃𝑇) 𝜕𝐿 𝜕(𝑃𝑇) 𝜕𝐾 ….....................…….. Expresión (a) = 𝜕(2𝐾𝐿) 𝜕𝐿 𝜕(2𝐾𝐿) 𝜕𝐾 = 2𝐾 2𝐿 = 𝐾 𝐿 ……. Expresión (b) De las expresiones (a) y (b) tenemos: 𝐾 𝐿 = 𝑤 𝑟 ……. Expresión (c) Despejando K en la expresión (c): K= 𝑤𝐿 𝑟 ……. Expresión (d) Se reemplaza K de la expresión (d) en la función de producción: 𝑤𝐿 𝑃𝑇 = 2𝐾𝐿 = 2 ( ) 𝐿 𝑟 Reemplazando los valores de w = $ 5 y r = $ 150 (datos del problema) en la expresión anterior: 𝑃𝑇 = 2 ( Despejando L, tenemos: 5𝐿 150 )𝐿 = 𝐿2 = 15 PT 2 30 → 𝐿2 𝐿 = √15𝑃𝑇 Por lo tanto, para una producción de: PT = 150 unidades/hora la cantidad de trabajo que se empleara será: 𝐿 = √15(240) = 60 obreros/hora Para calcular la cantidad de capital a utilizarse, se reemplaza el valor de: L = 60 obreros/día en la expresión (d) 𝐾= 𝑤𝐿 𝑟 = 5𝐿 150 = 5(60) 150 = 2 Máquinas / hora Entonces, para producir 240 unidades por hora del bien X el productor deberá contratar 60 obreros por hora y alquilar 2 máquinas por hora. b. El costo total mínimo para producir 240 unidades por hora del bien X será el siguiente: c. 𝐶𝑇𝑚𝑖𝑛 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 = ($ 5)(60) + ($ 150)(2) = $ 600 La presentación grafica de la combinación óptima de los factores de producción, con el cual el empresario minimiza el costo total para la producción de 240 unidades del bien X, se presenta en la siguiente figura. La combinación óptima se determina en la intersección (llamado punto óptimo) de la isocuanta con el isocosto.