Apuntes de Estadística Inferencial
Francisco Juárez García
Jorge A. Villatoro Velázquez
Elsa Karina López Lugo
Primera Edición, 2002.
© 2002 Francisco Juárez García
Instituto Nacional de Psiquiatría Ramón de la Fuente,
Dirección de Investigación Epidemiológicas y Psicosociales
Calzada México Xochimilco 101,
Col. San Lorenzo Huipulco,
14370 México, D. F.
Tel.: 56 55 28 11 ext. 202 fax: 55 13 34 46
e-mail: pacojg@imp.edu.mx
Reservados todos los derechos
ISBN: 968-7652-41-1
Impreso en México / Printed in Mexico
Agradeceremos todos los comentarios relativos a esta guía, estos deben ser enviados a la dirección
arriba mencionada.
El presente trabajo debe ser citado como sigue:
Juárez, F., Villatoro, J. A. y López, E. K. (2002). Apuntes de Estadística Inferencial. México, D. F.:
Instituto Nacional de Psiquiatría Ramón de la Fuente.
Apuntes de Estadística Inferencial
Contenido
Presentación ................................................................................................................................ i
Agradecimientos ......................................................................................................................... ii
Índice de Tablas ........................................................................................................................ iii
Conceptos Básicos ...................................................................................................................... 1
Medición ............................................................................................................................. 2
Niveles de Medición ........................................................................................................... 2
Estadística Descriptiva ....................................................................................................... 4
Curvas de Distribución de Frecuencias ........................................................................ 5
Distribución Normal o Curva Normal (Campana de Gauss) ....................................... 5
Calificaciones z o estandarizadas ................................................................................. 6
Estadística Inferencial ......................................................................................................... 8
Estadística Inferencial Univariada ............................................................................... 8
Tipos de problema .................................................................................................. 8
Estadística Multivariada ............................................................................................... 9
Estadística Paramétrica ................................................................................................ 10
Estadística No Paramétrica ........................................................................................... 10
Planteamiento de hipótesis estadística ......................................................................... 10
Hipótesis de Problemas de Comparación ............................................................... 10
Hipótesis de Problemas de Asociación .................................................................. 11
Construcción de hipótesis de acuerdo al nivel de medición ................................... 12
¿Cuál es el sentido del nivel de significancia o la probabilidad? ................................. 13
Decisión estadística ...................................................................................................... 13
Grados de libertad ........................................................................................................ 15
Reglas de decisión ........................................................................................................ 15
Estadística Inferencial Univariada: Pruebas Estadísticas Seleccionadas ................................. 17
Cómo Presentar Resultados Análisis Estadísticos ............................................................. 17
Criterios importantes para seleccionar el tipo de prueba en un estudio ............................. 18
Pruebas de Comparación .................................................................................................... 19
Prueba t de Student ....................................................................................................... 19
Prueba t de Student para grupos independientes .................................................... 19
La prueba t para muestras independientes en el paquete estadístico SPSS ...... 21
Reporte de resultados de la prueba t ................................................................. 22
Prueba t de Student para muestras relacionadas ..................................................... 23
La prueba t de Student para muestras relacionadas en
el paquete estadístico SPSS .............................................................................. 25
Reporte de resultados de la prueba t para muestras relacionadas .................... 25
Prueba U de Mann-Whitney ......................................................................................... 27
La prueba U de Mann-Whitney en el paquete estadístico SPSS ............................ 29
Reporte de resultados de la prueba U de Mann Whitney ....................................... 30
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Prueba de Wilcoxon ...................................................................................................... 31
La prueba de Wilcoxon en el paquete estadístico SPSS ......................................... 33
Reporte de resultados de la prueba de Wilcoxon .................................................... 34
Prueba de Chi Cuadrada (X2) ........................................................................................ 35
Prueba de Chi cuadrada para una tabla de 2 X 2 .................................................... 37
La Chi cuadrada en el paquete SPSS ...................................................................... 38
Restricciones de la Chi cuadrada ............................................................................ 40
Reporte de resultados de la prueba X2 .................................................................... 40
Prueba del Cambio de McNemar de dos Mediciones Dicotómicas ............................. 41
McNemar en el paquete SPSS ................................................................................ 42
Reporte de resultados de la prueba de McNemar ................................................... 43
Análisis de Varianza (Prueba F) ................................................................................... 45
Comparaciones Posteriores a F .............................................................................. 48
La prueba F de una vía en el paquete estadístico SPSS ......................................... 49
Pruebas post hoc ............................................................................................... 49
Reporte de resultados de la prueba F ...................................................................... 50
Análisis de Varianza Unifactorial por Rangos de Kruskal-Wallis ............................... 51
Comparaciones múltiples entre tratamientos .......................................................... 54
La prueba de Kruskal-Wallis en el paquete estadístico SPSS ................................ 55
Reporte de resultados de la prueba de Kruskal-Wallis ........................................... 56
Análisis de Varianza de dos Clasificaciones por Rangos de Friedman ........................ 57
Comparaciones múltiples entre mediciones ........................................................... 60
La prueba de Friedman en el paquete estadístico SPSS ......................................... 61
Reporte de resultados de la prueba de Friedman .................................................... 61
La Prueba de Q de Cochran .......................................................................................... 63
Q de Cochran en el paquete SPSS .......................................................................... 64
Reporte de resultados de la prueba Q de Cochran .................................................. 65
Pruebas de Asociación ........................................................................................................ 67
Coeficiente de Correlación Producto-Momento de Pearson ........................................ 69
La prueba de Pearson en el paquete estadístico SPSS ............................................ 70
Reporte de resultados de la correlación Pearson .................................................... 71
Coeficiente de Correlación de Spearman de Rangos Ordenados ................................. 73
La prueba de Spearman en el paquete estadístico SPSS ......................................... 76
Reporte de resultados de la correlación Spearman ................................................. 76
Coeficiente de Correlación Phi ..................................................................................... 77
La correlación Phi en el paquete SPSS ................................................................... 78
Reporte de resultados de la correlación Phi ............................................................ 79
Referencias Bibliográficas ........................................................................................................ 81
Apuntes de Estadística Inferencial
Presentación
El presente trabajo va dirigido a psicólogos en formación y para todos
aquellos interesados en la investigación en psicología y áreas afines,
donde la estadística es una de las principales herramientas.
Fue escrito para servir de apoyo al profesor en cursos introductorios
estadística inferencial, sin embargo, está diseñado como una guía
autoaprendizaje y material de consulta, ya que se explica la forma
seleccionar la prueba estadística de acuerdo con los problemas
investigación que se plantean en las áreas psicológica y social.
de
de
de
de
Se exponen además los pasos necesarios para obtener diversas pruebas
estadísticas univariadas e interpretar los resultados conseguidos, de
manera que sea posible responder a las preguntas de investigación
planteadas. Se incluyen ejemplos de los datos que brinda el paquete
estadístico SPSS versión 10 y una sección sobre cómo reportar los
hallazgos.
Espero que este esfuerzo sea de especial utilidad para quienes inician su
formación y para los profesores que los introducen en esta área.
Francisco Juárez
Diciembre de 2001
i
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Agradecimientos
Al grupo del Seminario de Estadística de la maestría y del doctorado en
Ciencias de la Salud Mental Pública (febrero a agosto de 2001), de la
Facultad de Medicina, UNAM e Instituto Nacional de Psiquiatría Ramón
de la Fuente Muñiz, del maestro Jorge Villatoro, por su aportación a la
sección de Conceptos Básicos:
Consuelo García Andrade, José Javier Elizalde González, Juan Luis
Durán Casas, María de Lourdes Eriksen Persson, María Elena Rivera
Heredia, María Teresa Espinosa Meléndez, Martha Cordero
Oropeza, Nivaldo Linares Pérez y Yara Amelia Brom Valladares.
A las Psicólogas Pamela Verónica Esquivel Reyes y Daniela Verderi
Muñuzuri, integrantes del grupo 33 de Estadística Inferencial, de la
Licenciatura en Psicología (agosto a diciembre de 2001), Universidad
Intercontinental, por sus contribuciones al mejoramiento del material.
A la maestra Elsa Karina López Lugo, la licenciada Nora Angélica
Martínez Vélez y la licenciada Lucía Vázquez Pérez, por brindar su
tiempo al hacer la revisión de este documento y ofrecer sus ideas para ser
incluidas en el mismo.
Muy especialmente al maestro Jorge Ameth Villatoro Velázquez, por sus
conocimientos y comentarios, que forman parte de estos apuntes.
ii
Apuntes de Estadística Inferencial
Índice de Tablas*
Tabla de Valores Críticos para la Prueba t ...............................................................................
Tabla de Valores Críticos para U .............................................................................................
Valores críticos de T+ para la prueba de rangos asignados de Wilcoxon de una cola ..............
Valores críticos de Chi Cuadrada a los Niveles de significancia de 0.05 y 0.01 .....................
Valores críticos de 5% y 1 % para la distribución de F ...........................................................
Valores críticos para el análisis de varianza unifactorial por rangos
de Kruskal-Wallis (KW) ...........................................................................................................
Valores críticos de z para el número de comparaciones múltiples
con hipótesis bidireccional .......................................................................................................
Valores críticos para la prueba estadística de análisis de varianza
de dos clasificaciones por rangos de Friedman (Fr) .................................................................
Valores críticos de z para el número de comparaciones múltiples
con hipótesis bidireccional .......................................................................................................
Valores críticos de r para diferentes niveles de significancia ..................................................
Valores críticos del coeficiente de correlación de Spearman (rS)
de rangos ordenados, para una prueba bidireccional ................................................................
*
21
29
32
37
47
53
54
59
60
70
75
Se presentan sólo ejemplos de cómo localizar los valores críticos para cada prueba, para revisar las tablas completas se
puede acudir a:
Downie, M. y Heath, R. (1973). Métodos estadísticos aplicados. México: Harper & Row Latinoamericana.
Siegel, S. (1990). Estadística no paramétrica (3ra. ed.). México: Editorial Trillas.
iii
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
iv
Apuntes de Estadística Inferencial
Conceptos Básicos
La estadística es un conjunto de procedimientos para reunir, clasificar, codificar, procesar, analizar y
resumir información numérica adquirida sistemáticamente (Ritchey, 2002). Permite hacer inferencias
a partir de una muestra para extrapolarlas a una población.
Aunque normalmente se asocia a muchos cálculos y operaciones aritméticas, y aunque las
matemáticas están involucradas, en su mayor parte sus fundamentos y uso apropiado pueden
dominarse sin hacer referencia a habilidades matemáticas avanzadas. De hecho se trata de una forma
de ver la realidad basada en el análisis cuidadoso de los hechos (Ritchey, 2002). Es necesaria sin
embargo la sistematización para reducir el efecto que las emociones y las experiencias individuales
puedan tener al interpretar esa realidad.
De esta manera la estadística se relaciona con el método científico complementándolo como
herramienta de análisis y, aunque la investigación científica no requiere necesariamente de la
estadística, ésta valida muchos de los resultados cuantitativos derivados de la investigación.
La obtención del conocimiento debe hacerse de manera sistemática por lo que deben planearse todos
los pasos que llevan desde el planteamiento de un problema, pasando por la elaboración de hipótesis
y la manera en que van a ser probadas; la selección de sujetos (muestreo), los escenarios, los
instrumentos que se utilizarán para obtener los datos, definir el procedimiento que se seguirá para
esto último, los controles que se deben hacer para asegurar que las intervenciones son las causas más
probables de los cambios esperados (diseño); hasta la elección del plan de análisis idóneo para el tipo
de datos que se están obteniendo, es aquí donde la estadística entra en el estudio, aunque pueden
existir otras herramientas de análisis si se está haciendo una investigación de corte cualitativo.
Una buena planeación permitirá que los resultados puedan ser reproducidos, mediante la
comprobación empírica, por cualquier investigador interesado en refutar o comprobar las
conclusiones que se hagan del estudio. De esta manera también se logrará la predicción de los
fenómenos que se están estudiando, ayudando a conocer y prevenir los problemas sociales e
individuales que forman parte del objeto de estudio de la psicología.
El tratamiento de los datos de la investigación científica tiene varias etapas:
En la etapa de recolección de datos del método científico, se define a la población de interés y se
selecciona una muestra o conjunto de personas representativas de la misma, se realizan experimentos
o se emplean instrumentos ya existentes o de nueva creación, para medir los atributos de interés
necesarios para responder a las preguntas de investigación. Durante lo que es llamado trabajo de
campo se obtienen los datos en crudo, es decir las respuestas directas de los sujetos uno por uno, se
codifican (se les asignan valores a las respuestas), se capturan y se verifican para ser utilizados en las
siguientes etapas.
1
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
En la etapa de recuento, se organizan y ordenan los datos obtenidos de la muestra. Esta será descrita
en la siguiente etapa utilizando la estadística descriptiva, todas las investigaciones utilizan estadística
descriptiva, para conocer de manera organizada y resumida las características de la muestra.
En la etapa de análisis se utilizan las pruebas estadísticas (estadística inferencial) y en la
interpretación se acepta o rechaza la hipótesis nula.
En investigación, el fenómeno en estudio puede ser cualitativo que implicaría comprenderlo y
explicarlo, o cuantitativo para compararlo y hacer inferencias. Se puede decir que si se hace análisis
se usan métodos cuantitativos y si se hace descripción se usan métodos cualitativos.
Medición
Para poder emplear el método estadístico en un estudio es necesario medir las variables.
Medir: es asignar valores a las propiedades de los objetos bajo ciertas reglas, esas reglas son los
niveles de medición
Cuantificar: es asignar valores a algo tomando un patrón de referencia. Por ejemplo, cuantificar es ver
cuántos hombres y cuántas mujeres hay.
Variable: es una característica o propiedad que asume diferentes valores dentro de una población de
interés y cuya variación es susceptible de medirse.
Las variables pueden clasificarse de acuerdo al tipo de valores que puede tomar como:
Discretas o categóricas.- en las que los valores se relacionan a nombres, etiquetas o
categorías, no existe un significado numérico directo
Continuas.- los valores tienen un correlato numérico directo, son continuos y
susceptibles de fraccionarse y de poder utilizarse en operaciones aritméticas
De acuerdo a la cantidad de valores
Dicotómica.- sólo tienen dos valores posibles, la característica está ausente o presente
Policotómica.- pueden tomar tres valores o más, pueden tomarse matices diferentes, en
grados, jerarquías o magnitudes continuas.
En cuanto a una clasificación estadística
Aleatoria.- Aquella en la cual desconocemos el valor porque fluctúa de acuerdo a un
evento debido al azar
Determinística.- Aquella variable de la que se conoce el valor
Independiente.- aquellas variables que son manipuladas por el investigador. Define los
grupos
Dependiente.- son mediciones que ocurren durante el experimento o tratamiento
(resultado de la independiente), es la que se mide y compara entre los grupos
Niveles de Medición
Nominal
Las propiedades de la medición nominal son:
1) Exhaustiva: implica a todas las opciones
2) A los sujetos se les asignan categorías, por lo que son mutuamente excluyentes. Es decir, la
variable está presente o no; tiene o no una característica
2
Apuntes de Estadística Inferencial
Ordinal
Las propiedades de la medición ordinal son:
1) El nivel ordinal posee transitividad, por lo que se tiene la capacidad de identificar que “esto
es mejor o mayor que aquello”, en ese sentido se pueden establecer jerarquías
2) Las distancias entre un valor y otro no son iguales
Intervalar
1) El nivel de medición intervalar requiere distancias iguales entre cada valor. Por lo general
utiliza datos cuantitativos. Por ejemplo: temperatura, atributos psicológicos (CI, nivel de
autoestima, pruebas de conocimientos, etc.)
2) Las unidades de calificación son equivalentes en todos los puntos de la escala. Una escala de
intervalos implica: clasificación, magnitud y unidades de tamaños iguales (Brown, 2000).
3) Se pueden hacer operaciones aritméticas
4) Cuando se le pide al sujeto que califique una situación del 0 al 10 puede tomarse como un
nivel de medición intervalar, siempre y cuando se incluya el 0
Razón
1) La escala empieza a partir del 0 absoluto, por lo tanto incluye sólo los números por su valor
en sí, por lo que no pueden existir los números con signo negativo. Por ejemplo: Peso
corporal en kg., edad en años, estatura en cm.
2) Convencionalmente los datos que son de nivel absoluto o de razón son manejados como los
datos intervalares.
Nivel
Nominal
Ordinal
Intervalar
Razón o
proporción
Propiedades
Medidas de
tendencia central y
dispersión
Compara
=ó≠
moda, porcentaje
Proporciones
≠, =, >, <
moda, porcentajes,
mediana
moda, porcentajes,
mediana, media,
Distancias
desviación estándar
iguales, =, ≠,
varianza, curtósis,
>, <, 0 relativo
sesgo, rango, decíles,
cuartiles, percentiles
Igual a
intervalar, 0
igual a intercalar
absoluto
Medianas
Análisis
Inferencial no paramétrica:
X², McNemar, Coeficiente
Phi
Inferencial no paramétrica:
U de Mann Whitney.
Kolmogorov Smirnoff,
Friedman, Wilcoxon, prueba
de los signos, correlación
Spearman
Ejemplo
Presencia de estrés
(si o no), Religión
Calidad (Buena,
mediana, mala),
Nivel
socioeconómico
(alto, medio, bajo)
Medias
Inferencial paramétrica: t de
Student, ANOVA, regresión,
correlación Pearson
Temperatura,
atributos
psicológicos
Igual a
intervalar
Igual a intervalar
Altura, Peso, Edad
en años, Grados
Kelvin
Las variables intervalares y de razón se pueden incluir en operaciones aritméticas y para efectos de
análisis estadísticos se consideran con las mismas propiedades y se clasifican en un rubro general
llamado nivel escalar.
Las variables ordinales, por otro lado, aparentemente no se pueden sumar, pero cuando se tiene una
escala con reactivos calificados en un nivel ordinal, al ser sumados el resultado de esta suma puede
ser considerado como intervalar, ya que matemáticamente se comporta como tal.
3
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Al hacer análisis estadísticos en necesario determinar las unidades de medición y las unidades de
análisis:
La unidad de medición es el atributo que se va a medir o variable dependiente.
La unidad de análisis son los sujetos, es decir a quién mido o a qué mido, está definida por la
variable independiente. Para muestras independientes, es decir cuando la unidad de medición es
registrada una sola vez en la unidad de análisis, se refiere a los grupos a comparar (ej. Hombres vs.
Mujeres, Grupo control vs. Grupo experimental, Fumadores vs. No fumadores, etc.), en el caso de
muestras relacionadas, en que la unidad de medición es medida más de una ocasión en la unidad de
análisis, son las diferentes mediciones hechas (ej. Evaluaciones Pre-test vs. Post-test vs. seguimiento,
hermanos gemelos, grupos apareados durante la selección de sujetos).
La forma más directa de tener muestras relacionadas o apareadas es hacer mediciones antes - después
con los mismos sujetos, sin embargo, el aprendizaje puede ser una variable que pueda afectar la
ejecución de una persona, en esos casos se usan grupos equivalentes, a uno se le hace la primera
medición y al otro se le aplica el tratamiento y la segunda medición, en este caso siguen manteniendo
las características de muestras relacionadas.
La idea de apareamiento o muestras relacionadas es que un sujeto tenga un equivalente en el otro
grupo, las características que se igualan depende de las variables que se desean controlar en una
investigación, por ejemplo: mismo sexo, misma edad, mismo grado escolar, mismo barrio,
condiciones similares de una enfermedad, etc., es imposible tener sujetos iguales, pero entre más
características de interés para el estudio compartan, serán considerados equivalentes.
Otra forma de tener muestras relacionadas de manera natural es trabajar con gemelos idénticos (igual
ambiente familiar, misma carga genética, mismo ambiente cultural, etc.), aunque si por
requerimientos de una investigación no comparten una característica, importante para el estudio,
dejarían de considerarse como relacionados (por ejemplo, si se desea probar un tratamiento para
disminuir la hiperactividad y se tiene a gemelos que fueron adoptados por diferentes familias y se
sabe que los estilos educativos de los padres influyen sobre la hiperactividad, el hecho de provenir de
familias adoptivas diferentes cancela la equivalencia).
La metodología estadística puede considerarse según sus dos planteamientos como descriptiva y
deductiva o inferencial.
Estadística Descriptiva
Permite la organización de datos desestructurados de tal manera que sean más fáciles de interpretar y
de conocer las características de una muestra de forma rápida y resumida.
Incluye:
Tablas de frecuencias y porcentajes con las que se registran cuantos sujetos en la muestra
respondieron a las diferentes opciones o categorías de las variables del estudio
Métodos de resumen o numéricos que se dividen en:
Medidas de tendencia central:
Media ( X ). Promedio aritmético de una distribución o conjunto de valores
Mediana (Md). Valor que divide a la distribución por la mitad
Moda (Mo). Categoría o puntuación que ocurre con mayor frecuencia
4
Apuntes de Estadística Inferencial
Medidas de dispersión:
Rango. Es la diferencia entre la puntuación mayor y la menor en una distribución y se
obtiene restándole a la puntuación mayor, la menor
Desviación estándar (s). Es el promedio de desviaciones de las puntuaciones con
respecto a la media. Se emplea para variables medidas por intervalos o de razón. Es un
indicador de la dispersión de las puntuaciones respecto de la media
Varianza (s2). Es la desviación estándar elevada al cuadrado. La varianza se divide en:
sistemática, es decir las variaciones debidas a los efectos de la variable independiente
o tratamiento, y de error o no explicada o residual, que es debida al azar y a los
problemas de control (s2 = sS2 sE2 )
Gráficos que son una representación visual de los datos (medias, porcentajes, distribuciones
de frecuencias, etc.) se pueden hacer gráficas de barras, de sectores o pastel, de líneas, etc.
Tablas de frecuencias y porcentajes
Descriptiva
Gráficas
Medidas de tendencia central
Medidas de dispersión
Estadística
Univariada
(una VI y una VD)
Asociación o correlacional (no
necesariamente hay VI y VD),
eventos que se relacionan
Comparación: Prueba de Hipótesis
Inferencial
Multivariada
Métodos de comparación: análisis de
varianza (ANOVA, MANOVA)
Métodos de agrupamiento (análisis de
conglomerados, análisis factorial)
Modelos de predicción: Regresión,
discriminante, regresión logística
Curvas de Distribución de Frecuencias
Las curvas de distribución de frecuencias derivan de histogramas o polígonos de frecuencias que se
sustituyen por una curva suavizada, el área bajo la curva representa al total de los casos en la
población y es igual a una proporción de 1 o un porcentaje igual al 100% (Ritchey, 2002).
Distribución Normal o Curva Normal (Campana de Gauss)
La curva normal es un modelo teórico o ideal sobre cómo debe comportarse la distribución de las
variables en una muestra, se obtuvo de una ecuación matemática.
Representa una curva de distribución de frecuencias en la que la mediana, la moda y la media de una
variable son iguales entre sí, tiene forma de campana (Ritchey, 2002). Su utilidad puede ayudarnos a
entender situaciones reales.
Muchas variables relacionadas a atributos psicológicos, como la inteligencia medida en términos de
Coeficiente Intelectual (CI), se distribuyen en la población tomando la forma de la curva normal, en
que la mayoría de los casos se encuentran en el centro (Moda), existiendo pocos casos en los
5
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
extremos, siguiendo el ejemplo del CI, existen pocos sujetos con inteligencia muy baja por un lado y
pocos genios por el otro, esto es lo que da a la curva normal su característica forma de campana
(Ritchey, 2002).
Media,
Mediana,
Moda
Calificaciones z o estandarizadas
La desviación estándar proporciona una unidad de medida común (estándar) que permite comparar
variables con medidas observadas diferentes (Ritchey, 2002). Supóngase que se tienen dos escalas
para medir autoestima, la primera se califica con un puntaje entre 0 y 20, y la segunda tiene
calificaciones entre 0 y 50, si se compararan las calificaciones obtenidas por una y otra, los puntajes
crudos muy probablemente serían mayores en la segunda escala. Sin embargo, si se considera la
media de cada escala y las desviaciones estándar, es posible conocer en términos de desviaciones
estándar que puntuación se encuentra por arriba de la media o por debajo de la misma, al comparar a
dos personas.
Por ejemplo, el grupo calificado con la primera escala tiene una media de 15 y una desviación
estándar de 4, para el segundo la media es de 35 con una desviación estándar igual a 6. Supóngase
que una persona tiene una calificación de 19 en el primer caso y otra con 29 en el segundo caso. La
primera se encuentra por arriba de la media una desviación estándar y la segunda una desviación
debajo de la media, es decir, la primera persona tiene un nivel de autoestima mayor que el de la
segunda persona.
Las calificaciones brutas se transforman con frecuencia a otro tipo de puntuaciones, para facilitar el
análisis y la interpretación. Estas calificaciones son derivadas o transformadas. Un tipo de
calificación derivada, la calificación estándar z resulta particularmente útil.
Calificación o Puntuación z: Es una puntuación estandarizada. Su sentido es poder hacer
comparaciones dentro o entre sujetos, cuando han sido medidos con diferentes escalas.
La distribución de puntuaciones z tiene una media de cero y una desviación estándar de 1.
La X de la z es 0
La s de la z es 1
Ventajas:
Miden una escala de intervalos, en términos de unidades de desviación estándar.
Permite comparar calificaciones de varias pruebas en forma directa, incluso cuando se tienen
medias y desviaciones estándar diferentes
6
Apuntes de Estadística Inferencial
X X
s
Es decir, qué tanto se aleja la puntuación del sujeto de la media, y luego se compara con la desviación
estándar, en otras palabras, se estandariza.
La calificación z se calcula como sigue:
z
Al analizar la curva normal en términos de puntuaciones z, y recordando que el área bajo la curva
representa el 100% de los casos, una desviación estándar tomada a cada lado de la media incluye un
área de 68.26% de la total. Toda el área incluida por 2 unidades de desviación estándar a ambos lados
de la media comprenden el 95.44% de los casos, si se continúa a la tercer desviación estándar a cada
lado de la media, se toma otra parte igual a 2.15% del área total. La suma de todas las áreas abarcadas
por estas 6 unidades de desviación estándar es igual a 99.74% del total. El 95% del área bajo la curva,
está entre 1.96 y –1.96 desviaciones estándar, el 99% entre -2.58 y 2.58 y el 99.9% entre –3.90 y
3.90, estos tres grupos de desviaciones son particularmente importantes en la estadística inferencial
como se verá más adelante.
Para interpretar el área bajo la curva.
El área bajo la curva representa el 100%. La mitad representa el 50% de cada lado
El área bajo la curva es igual a 1 (convertida en términos de proporción)
Para conocer el área bajo la curva se necesitan las puntuaciones z
34.13%
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
68.26%
95%
99%
Utilizando esta información se puede calcular el área comprendida entre dos puntos con base en las
puntuaciones crudas. Por ejemplo: Una población de 1000 sujetos, tiene una media de edad de 75
años y una desviación estándar de 8, ¿cuantas personas tienen entre 67 y 75 años?
34.13%
341
51
59
67
75
83
91
99
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Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Sustituyendo la media (75) en el centro y las desviaciones estándar a la izquierda o negativas (-8) y a
la derecha o positivas (+8), la respuesta es el 34.13% del total de la población es decir 341 sujetos
tienen entre 67 y 75 años.
Estadística Inferencial
Su propósito principal es estimar los atributos de la población a partir de una muestra de casos. Se
pueden probar relaciones entre variables, comparar grupos con respecto a cierta característica y hacer
inferencias.
Al clasificar a la estadística inferencial de acuerdo al número de variables dependientes se
tiene:
Estadística Inferencial Univariada
Según la definición clásica, requiere de:
2 tipos de variables: Puede haber una o varias variables independientes, y solo una variable
dependiente.
Según la definición práctica hay una variable dependiente y una independiente. Para la elección de
las pruebas se tomará el aspecto práctico.
En la estadística inferencial univariada existen dos tipos de problema:
COMPARACIÓN
Muestras relacionadas:
Muestras independientes:
Cuando la variable
Cuando la variable dependiente
dependiente es medida más
de interés es medida sólo una
de una ocasión en la unidad
vez en la unidad de análisis
de análisis
ASOCIACIÓN
Aquí se puede o no tener una
variable dependiente, pero eso no
es relevante pues sólo se busca
saber la relación existente entre
dos variables
a) Asociación.- En este tipo de problemas sólo hay dos eventos que se relacionan o asocian
(correlación)
b) Comparación.- También llamada prueba de hipótesis. Se comparan grupos o mediciones e
intervienen dos tipos de variables
Variable dependiente (V. D.), es el fenómeno o proceso que se va a medir, sus variaciones
dependen de la variable independiente
Variable independiente (V. I.), es la variable que identifica los tratamientos empleados para
influir sobre la variable dependiente, esta variable define los grupos que van a ser comparados
¿Cómo saber si el problema es de asociación o comparación?
1) ¿Se tienen grupos?
Si la respuesta es: NO, entonces es poco probable que sea de comparación, pero no imposible.
Si la respuesta es: SI, se está comparando.
2) ¿Hay Tratamientos (Tx)? (¿Se hace un experimento o intervención?)
Si la respuesta es SI: se está comparando
Si la respuesta es NO: casi seguro es de asociación
8
Apuntes de Estadística Inferencial
Puntos clave para hacer la identificación del tipo de problema:
1.- Objetivo del estudio:
Aclarar semántica y conceptualmente cual es el objetivo del estudio.
2.- Identificar diseño:
Existen 3 diseños básicos:
Una muestra para relacionar: Asociación
Grupos: Muestras independientes
Seguimiento: Muestras relacionadas
3.- Identificar la variable dependiente y la independiente
4.- Identificar Unidad de Análisis (definida por la variable independiente)
Hay que ver cuantas veces se midió a la variable dependiente.
Es importante distinguir entre asociación conceptual y estadística, puede estarse asociando
conceptualmente (puede plantearse como un problema de asociación), pero estar comparando
estadísticamente. La diferencia está en identificar si hay grupos o no.
Ejemplo:
Problema: ¿Es igual la proporción de fumadores entre estudiantes de secundaria hombres y
mujeres?
Población: estudiantes de secundaria
Variable dependiente: fumar
Variable independiente: sexo
Atributos de la variable independiente: hombres y mujeres
La V. D. se mide sólo una vez en cada grupo (definidos por el sexo), por lo que se trata de un
problema de comparación de dos muestras o grupos independientes (hombres y mujeres).
Hay que tener cuidado de no confundir la variable dependiente, es decir qué atributo se mide en la
unidad de análisis.
Estadística Multivariada
Según la definición clásica: 2 o más variables dependientes, no importa el número de variables
independientes.
Según la definición práctica: 2 o más variables independientes y 2 o más variables dependientes. Para
la elección de las pruebas se tomará el aspecto práctico.
Tiene dos grandes grupos
a) Métodos de agrupamiento.- Se realiza mediante:
análisis factorial exploratorio
análisis de cúmulos (clusters)
b) Métodos de clasificación.- Se realiza mediante:
análisis de regresión
análisis discriminante
análisis de regresión logística
9
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
La estadística también se puede clasificar como: paramétrica y no paramérica
Estadística Paramétrica: Está basada en dos
supuestos: estimadores que son medidas referentes a la
muestra como la media ( X ) o la varianza s2 y
parámetros que son los equivalentes poblacionales de
los estimadores, como la media poblacional () y la
varianza poblacional (2).
Estadística Inferencial
No paramétrica
Paramétrica
La estadística paramétrica necesita cumplir con cuatro requisitos para poderse aplicar:
1. La variable dependiente debe distribuirse normalmente (campana de Gauss) o muy similar
2. Homocedasticidad u homogeneidad de varianzas o varianzas iguales: que cuando se comparan
grupos estos tengan la misma dispersión con respecto a la media de la variable dependiente
3. Asignación y Selección aleatoria de los grupos (muestreo completamente al azar)
4. Que la variable dependiente esté medida a nivel intervalar o de razón
Estos requisitos deben ser cubiertos para poder generalizar con base en los estimadores y hacer
conclusiones de una muestra a la población.
Por otro lado, la Estadística No Paramétrica:
1. Está libre de curva, no necesita distribuirse como la curva normal
2. Se basa en frecuencias, porcentajes, modas y rangos
3. Su nivel de medición es ordinal o nominal
Planteamiento de la hipótesis estadística
La Hipótesis es la respuesta tentativa para la solución de la pregunta de investigación.
Al realizar inferencias estadísticas, se acostumbra adoptar un modelo de decisión. Este modelo consta
de cuatro elementos:
Hipótesis nula (H0)
Hipótesis alterna (H1)
Nivel de significancia que ha de utilizarse en la prueba estadística
Regla de decisión
Hipótesis para Problemas de Comparación
En la prueba de hipótesis se trabaja con dos hipótesis estadísticas que deben enunciarse
explícitamente: la hipótesis que debe probarse o hipótesis nula que se establece con el propósito de
ser rechazada, y la hipótesis alterna que es la conclusión a la que se espera llegar.
Con un nivel intervalar o de razón de la V. D. se comparan medias, la hipótesis nula plantea que las
dos medias son iguales:
H0: X 1 = X
2
y la hipótesis alterna plantea que las medias son diferentes:
H1: X 1 ≠ X
10
2
Apuntes de Estadística Inferencial
Otro planteamiento sería:
H0: X 1 – X 2 = 0
Cuando se tienen medianas (nivel ordinal de la V. D.), entonces:
H0: Md1 = Md2
H1: Md1 Md2
O con proporciones o porcentajes (nivel nominal de la V. D.):
H0: P1 = P2
H1: P1 P2
Hipótesis para Problemas de Asociación
Cuando se tiene un problema de asociación la hipótesis nula niega la correlación:
H0: r = 0
La hipótesis alterna afirma que hay correlación:
H1: r 0
Construcción de hipótesis de acuerdo al nivel de medición
Las hipótesis estadísticas tienen que incluir la variable dependiente en primer lugar y la
independiente en seguida. Para la redacción de dichas hipótesis se toma en cuenta el nivel de
medición utilizado de las variables del estudio.
Para los problemas de comparación:
Nivel NOMINAL: Aquí se habla de proporciones y / o categorías.
¿Cómo es la relación entre fumar o no y morir por cáncer pulmonar?
H0: La proporción de sujetos que mueren por cáncer pulmonar es igual entre fumadores y no
fumadores.
H1: La proporción de sujetos que mueren por cáncer pulmonar es diferente entre fumadores y no
fumadores
Nivel ORDINAL: Aquí se habla de jerarquías y / o niveles.
¿Cómo es el nivel de creatividad entre los niños de comunidades rurales, urbanas e indígenas?
H0: El nivel de creatividad es igual entre niños de comunidades rurales, urbanas e indígenas.
H1: El nivel de creatividad es diferente entre niños de comunidades rurales, urbanas e indígenas.
Nivel INTERVALAR: Se comparan las medias y también se habla de niveles.
Se desea conocer cómo el nivel de estrés de los sujetos afecta su nivel de irritabilidad hacia sus
compañeros de trabajo. Para ello se conformaron tres grupos, bajo estrés, estrés regular y alto estrés,
con 7 profesionistas cada uno, a quienes se les evaluó su nivel de irritabilidad preguntándoles en una
escala de 0 a 10 que indique: “cotidianamente ¿qué tan irritable se muestra con sus compañeros de
trabajo?”
H0: El nivel de irritabilidad hacia los compañeros de trabajo es igual entre los tres grupos de estrés.
H1: El nivel de irritabilidad hacia los compañeros de trabajo es diferente entre los tres grupos de
estrés.
11
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Para el caso de los problemas de asociación se identifica la relación entre las variables, y el
concepto de asociación o relación se debe incluir en las hipótesis.
¿Qué relación hay entre la edad en años de los sujetos y su inteligencia?
H0: No hay asociación lineal entre la edad y la inteligencia.
H1: Hay asociación lineal entre la edad y la inteligencia.
NOTA: La hipótesis alterna no se acepta ni se rechaza, es la hipótesis nula la que se somete a prueba.
Los planteamientos anteriores se refieren a pruebas de dos colas, que son problemas en los que no es
posible anticipar la dirección de las diferencias, es decir, no se sabe cual grupo es el que tendrá el
nivel o la proporción de casos mayor, o cual es el sentido de la relación entre variables.
Sin embargo, pueden existir hipótesis alternas en las que se puede anticipar cual grupo presenta una
desviación mayor o menor con respecto al otro. Este tipo se refiere a problemas de una cola o
dirección.
En estos casos, con un nivel intervalar o de razón de la V. D., la hipótesis nula plantea que las dos
medias son iguales:
H0: X 1 = X
2
y la hipótesis alterna plantea que un grupo tiene una media mayor o menor que otro u otros:
H1: X 1 > X
2
H1: X 1 < X
2
Cuando se tienen medianas (nivel ordinal de la V. D.), entonces:
H0: Md1 = Md2
H1: Md1 > Md2
ó H1: Md1 < Md2
O con proporciones o porcentajes (nivel nominal de la V. D.):
H0: P1 = P2
H1: P1 > P2
ó H1: P1 < P2
Para esta guía se presentarán únicamente planteamientos para hipótesis de dos colas.
¿Cuál es el sentido del nivel de significancia o la probabilidad?
La probabilidad (p) de que un evento ocurra oscila entre 0 y 1, donde 0 significa la imposibilidad de
ocurrencia y 1 la certeza de que ocurra el fenómeno. Al lanzar al aire una moneda no cargada, la
probabilidad de que salga “águila” es de 0.5 y la probabilidad de que la moneda caiga en “sol”
también es de 0.5. Con un dado, la probabilidad de obtener cualquiera de sus lados al lanzarlo es de
1/6=0.1667. La suma de probabilidades siempre es de 1.
Aplicando el concepto de la probabilidad a la distribución muestral, el área de ésta corresponde a la
probabilidad total (p = 1), y consecuentemente, cualquier área (porcentaje bajo la curva) comprendida
12
Apuntes de Estadística Inferencial
entre dos puntos de la distribución corresponderá a la probabilidad de la distribución al convertirla a
proporciones (por ejemplo 25% = 0.25).
Para probar hipótesis inferenciales utilizando la media, el investigador debe evaluar si es alta o baja la
probabilidad de que la media de la muestra esté cerca de la media de la distribución poblacional. Si es
baja, el investigador dudará de generalizar a la población. Si es alta el investigador podrá hacer
generalizaciones. Es aquí donde entra el nivel de significancia o nivel . El nivel es la probabilidad
de equivocarse al probar las hipótesis estadísticas.
El nivel de significancia de 0.05, implica que el investigador tiene un 95% de seguridad para
generalizar sin equivocarse y sólo 5% en contra. Este es el más utilizado en investigación en
Psicología, aunque se pueden utilizar niveles más bajos (0.01 o 0.001) cuando se requiere un
mayor grado de certeza.
Decisión estadística
La decisión e interpretación de un análisis estadístico se basa en la aceptación o rechazo de la
hipótesis nula, están estrechamente relacionados con la curva normal y las puntuaciones z, una vez
elegida la prueba estadística adecuada al nivel de medición y haber redactado la hipótesis nula, se
debe establecer un nivel de significancia o de certeza para rechazar esta última sin cometer el error
llamado del tipo I o , que se refiere a rechazar la hipótesis nula siendo verdadera. En psicología
normalmente se establece el nivel de significancia de 0.05 que, como se mencionó anteriormente,
representa un 95% de certeza de generalizar los resultados sin equivocarse. En este sentido, la
decisión estadística es una decisión probabilística. Si se desea mayor certeza, se debe utilizar otro
nivel de significancia, como puede ser a 0.01 que proporciona una certeza de 99% para generalizar
los resultados sin error, o a 0.001 que equivale al 99.9%.
Existe otro tipo de error el tipo II o , que al contrario del error I se refiere a aceptar la hipótesis nula
siendo falsa, en términos de decisión estadística es más grave cometer el error tipo I, ya que
afirmaríamos que hay diferencias entre los grupos cuando esto no es verdad. Es una situación a la que
es fácil llegar pues normalmente se espera que la intervención que se haga sea la causa de las
diferencias entre grupos.
Al representar el nivel de significancia bajo la curva normal se tienen un área de aceptación de la
hipótesis nula y una zona de rechazo, para una hipótesis de colas se reparte la significancia entre los
dos extremos de la curva y para la de una cola se considera sólo el extremo positivo o negativo
dependiendo de cuál es el grupo que se espera que tenga un nivel o proporción mayor.
Al traducir las áreas a probabilidad, se tiene que hay un 0.05 de posibilidad para equivocarse al
rechazar la hipótesis nula. Entre menor sea el área de rechazo se tendrá más certeza para generalizar
los resultados a la población.
Para una prueba de dos colas, en términos de puntajes z, a 1.96 desviaciones estándar se tiene el 95%
del área bajo la curva en la región de aceptación de la hipótesis nula y el 5% o 0.05 de significancia
() en la zona de rechazo, en 2.58 desviaciones el 99% ( = 0.01) y en de 3.90 desviaciones el 99.9%
( = 0.001)
13
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Zona de Aceptación al
95% para una prueba de
dos colas
2.5 %
2.5 %
Zona de rechazo (5%)
Para una prueba de una cola, a 1.64 desviaciones estándar en sentido negativo o positivo, se tiene el
95% del área bajo la curva en la región de aceptación de la hipótesis nula y el 5% o 0.05 de
significancia () en la zona de rechazo, en 2.32 desviaciones el 99% ( = 0.01) y en 3.70
desviaciones el 99.9% ( = 0.001)
Zona de Aceptación al 95%
para una prueba de una cola
en sentido positivo
5%
Zona de rechazo (5%)
5%
Zona de Aceptación al 95%
para una prueba de una cola
en sentido negativo
Para conocer si el valor de una prueba estadística permite rechazar la hipótesis nula, se tiene que
entre mayor sea este valor se entra más a la zona de rechazo de la hipótesis nula, sin embargo, para la
mayoría de las pruebas se debe considerar además en la decisión a los grados de libertad, el número
de casos o se compara la probabilidad directamente.
14
Apuntes de Estadística Inferencial
Grados de libertad
Son la libertad de variaciones que puede tener una variable, suponiendo que se tuvieran 4
puntuaciones cuya media es igual a 10 al tener los valores de las tres primeras, la última estará
determinada por las primeras, por ejemplo: 7, 12, 15, la última puntuación necesariamente es 6. La
cantidad de comparaciones independientes se determina a partir de los grados de libertad, que
normalmente se calcula teniendo el tamaño de la muestra menos uno (gl = n – 1). Sin embargo los
grados de libertad se obtienen de manera diferente para cada prueba, por lo que se debe estar atento a
cada uno de los procedimientos.
Reglas de decisión
El valor de las pruebas estadísticas se debe comparar con uno obtenido, con relación al nivel de
significancia y los grados de libertad, de una tabla de valores críticos. La regla de decisión en estos
casos es: el valor de la prueba debe ser mayor o igual al de la tabla para rechazar la hipótesis
nula. Esta regla puede cambiar, por lo que es necesario revisar la regla de decisión especifica de cada
procedimiento.
Los paquetes estadísticos presentan los valores de cada prueba junto con algunos datos necesarios
para el cálculo de ésta (medias o porcentajes, el número de casos, los grados de libertad, etc.) y el
nivel de significancia o probabilidad, éste representa la posición del valor del estadístico en el área de
rechazo, o aceptación, de la hipótesis nula.
Como regla de decisión, observando los resultados del paquete estadístico, a un nivel de
significancia establecido en 0.05: Si la probabilidad o nivel de significancia es menor o igual a
0.05 se rechaza la hipótesis nula.
15
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
16
Apuntes de Estadística Inferencial
Estadística Inferencial Univariada: Pruebas Estadísticas Seleccionadas
En este apartado se revisarán algunas pruebas para el análisis inferencial univariado y la presentación
de los resultados obtenidos, se tienen por ejemplo: pruebas paramétricas de comparación de dos
muestras independientes (t de Student para Muestras Independientes) y de dos muestras relacionadas
(t de Student para Muestras Relacionadas), así como pruebas no paramétricas de comparación de dos
muestras independientes como la Chi Cuadrada (X2) y la U de Mann-Whitney y pruebas no
paramétricas de comparación de dos muestras relacionadas como la prueba de McNemar y la de
Wilcoxon.
Para comparaciones de más de dos grupos se estudiarán, para grupos independientes: al Análisis de
Varianza de una Vía entre las pruebas paramétricas; X2 y Kruskal Wallis de las no paramétricas. En el
caso de comparación de tres o más grupos relacionados se analizará el uso de las pruebas no
paramétricas Q de Cochran y Friedman.
Finalmente serán revisadas las pruebas de asociación de la familia producto momento: el coeficiente
de correlación de Pearson, el Coeficiente de correlación de Spearman y el coeficiente de correlación
Phi.
Además se incluirán ejemplos de la forma adecuada para reportar resultados para cada prueba.
Cómo Presentar Resultados de Análisis Estadísticos
Los gráficos se pueden utilizar para una mejor explicación de los datos que hemos encontrado. Una
gráfica de barras, por ejemplo, se usa para ver cual es el grupo que tiene un promedio mayor y cual el
menor, o si no hay diferencias entre ellos. También se pueden comparar porcentajes con este tipo de
gráficas.
Al hacer un análisis estadístico se tienen, además de los valores resultantes de cada prueba, elementos
que se utilizan para hacer una gráfica, por ejemplo: medias en las pruebas de hipótesis de nivel
intervalar, o porcentajes en las hipótesis de nivel nominal. Las gráficas o tablas que se realicen para
reportar resultados de pruebas de hipótesis deben estar acompañadas, además, de los valores de la
prueba estadística que se utilizó y el nivel de significancia con que se rechaza, o acepta, la hipótesis
nula.
En la descripción de la gráfica se resaltarán las diferencias entre los grupos, o ausencia de éstas, y se
aclarará si son estadísticamente significativas de acuerdo con la prueba utilizada (la conclusión de si
la hipótesis nula fue rechazada o aceptada).
A continuación se muestran, a manera de ejemplo, diferentes tipos de presentación de resultados:
Tablas: Características
de la muestra
(frecuencias y
porcentajes)
Una gráfica de líneas
permite observar las
variaciones entre
mediciones
Barras o Columnas:
comparar grupos
(porcentajes,
medianas, medias)
100
80
60
40
20
0
1er trim.
2do trim.
3er trim.
4to trim.
Para la distribución de variables
en una muestra usamos una
gráfica XY o de dispersión, este
tipo de gráficas se usa para
representar correlaciones
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
17
Determinar si son muestras independientes o
relacionadas
¿Cuál es el nivel de medición de las
variables a relacionar?
Muestras independientes: Cuando la variable
dependiente de interés es medida sólo una vez en
la unidad de análisis
Muestras relacionadas: Cuando la variable
dependiente es medida más de una ocasión en
la unidad de análisis
Más de dos
grupos
U de Mann
Whitney
t de
Student
Análisis de
Varianza
X2
X2
KruskallWallis
Wilcoxon
t de Student
para muestras
relacionadas
McNemar
(dicotómica)
Escalar
Nominal
¿Cuál es el nivel de
medición de la variable
dependiente?
Ordinal
¿Cuál es el nivel de
medición de la variable
dependiente?
Nominal
Más de dos
mediciones
Ordinal
Nominal
Ordinal
¿Cuál es el nivel de
medición de la variable
dependiente?
Escalar
Nominal
Ordinal
Escalar
¿Cuál es el nivel de
medición de la variable
dependiente?
Spearman
(rs)
Dos
mediciones
Escalar
Dos grupos
Variable 1
Escalar
¿Cuántas mediciones hay? (V. I.)
¿Cuántos grupos hay? (V. I.)
Friedman
Análisis de
varianza para
medidas
repetidas
Q de
Cochran
(dicotómica)
Variable 2
Escalar
Variable 1
Ordinal
Variable 2
Ordinal
Variable 1
Dicotómica
Correlación
Biserial
Puntual
(rbp)
Variable 2
Dicotómica
Variable 2
Escalar u ordinal
Pearson
(rp)
Spearman
(rs)
Coeficiente
Phi
Criterios importantes para seleccionar el tipo de prueba en un estudio*
Esta guía fue elaborada con base en datos proporcionados por el Mtro. Jorge Ameth Villatoro Velázquez, Instituto Nacional de Psiquiatría
de asociación: aquí se puede o no tener una variable
dependiente, pero eso no es relevante pues sólo se busca
saber la relación existente entre dos variables
de comparación: se comparan grupos o mediciones, se tiene
una variable independiente y una variable dependiente
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
*
18
Determinar el tipo de problema que tenemos
Apuntes de Estadística Inferencial
Pruebas de Comparación
Prueba t de Student
La prueba t de Student es una prueba paramétrica de comparación de dos muestras, es decir necesita
cumplir las siguientes características:
Selección completamente aleatoria de los grupos
Homocedasticidad (homogeneidad de las varianzas de la variable dependiente en ambos
grupos)
Distribución normal de la variable dependiente en los dos grupos
Nivel intervalar de la variable dependiente
Su función es comparar dos grupos de puntuaciones (medias aritméticas) y determinar que la
diferencia no se deba al azar (que las diferencia sea estadísticamente significativa).
Esta prueba tiene dos modalidades, una para muestras independientes y otra para grupos
relacionados.
La prueba t para muestras independientes se calcula mediante la siguiente fórmula:
x x
t 1 2
sDx
dónde:
x1 , x2 = medias de los grupos
sDx = error estándar de la diferencia entre medias
Para calcular el error estándar de la diferencia entre medias:
x12 x22 1 1
sDx
n1 n2 2 n1 n2
Para calcular la suma de cuadrados de X:
x
Para calcular los grados de libertad:
2
X
X
2
2
n
gl = n1 + n2 –2
Problema para explicar el procedimiento para calcular la prueba t para muestras independientes:
Se desea probar dos métodos de enseñanza del idioma inglés (método tradicional y método
multimedia), para lo cual al final de cada uno de los cursos se aplicó una prueba de conocimientos.
Los puntajes obtenidos por los sujetos asistentes a cada uno de los cursos se muestran a continuación,
donde X1 son las calificaciones del primer grupo (método tradicional) y X2 las del segundo (método
multimedia):
19
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
X1
26
24
18
17
18
20
18
X1 = 141
n1 = 7
x1 = 20.14
X
X2
38
26
24
24
30
22
2
= 164
n2 = 6
x2 = 27.33
X 12
676
576
324
289
324
400
324
X12 = 2913
X 22
1444
676
576
576
900
484
X
2
2
= 4656
Procedimiento:
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se va a probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
2 grupos independientes
Nivel de medición intervalar
H0: El nivel de conocimientos del idioma inglés es igual entre el grupo del curso tradicional
(grupo 1) y el grupo del curso multimedia (grupo 2)
Prueba estadística: Prueba t para grupos independientes
2. Se deben elevar al cuadrado los puntajes obtenidos por el grupo 1 (X1) y los del grupo 2 (X2) y
escribirlos en la columna X 12 para los puntajes elevados al cuadrado del grupo 1 y X 22 para los
puntajes elevados al cuadrado del grupo 2.
3. Sumar los puntajes obtenidos por el grupo 1 ( X 1 ) y por el grupo 2 ( X 2 ), así como los
X ).
Calcular la suma de cuadrados de X para cada grupo ( x y x
puntajes elevados al cuadrado de cada grupo ( X 12 y
4.
x12 2913
2
2
2
1
2
2
)
1412
19881
2913 2840.14 = 72.86
2913
7
7
1642
26896
2
4656
x
4656 4482.67 = 173.33
4656
2
6
6
x12 = 73
x22 = 173
5. Obtener el error estándar de la diferencia entre medias ( sDx )
sDx
20
73 173 1 1
246
0.143 0.167
11
7 6 27 6
22.36360.3100
6.9327 = 2.63
Apuntes de Estadística Inferencial
6. Determinar las medias para los puntajes de ambos
grupos ( x1 y x2 )
Tabla de Valores Críticos para la
Prueba t
7. Obtener el valor de t y los grados de libertad
20.14 27.33 7.19
t
2.73
2.63
2.63
gl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
gl = 7 + 6 - 2 = 11
8. Buscar el valor de t en la tabla de valores críticos de
t, al nivel de significancia preestablecido y con los
grados de libertad calculados. El valor de t obtenida
debe compararse con el valor de tabla. La regla de
decisión es: si el valor calculado es mayor o igual
que el valor en tabla se debe rechazar la H0.
0.05
12.706
4.303
3.182
2.776
2.571
2.447
2.365
2.306
2.262
2.228
2.201
2.179
2.160
2.145
2.131
2.120
2.110
2.101
2.093
0.01
63.657
9.925
5.841
4.604
4.032
3.707
3.499
3.355
3.250
3.169
3.106
3.055
3.012
2.977
2.947
2.921
2.898
2.878
0.001
636.619
31.598
12.941
8.610
6.859
5.959
5.405
5.041
4.781
4.587
4.437
4.318
Para estos datos con 11 grados de libertad, al nivel de
significancia establecido en el valor de 0.05, se tiene
un valor t en tabla de 2.201, el valor de t calculado es
mayor al de tabla (el signo no debe ser tomado en
cuenta) por lo tanto se rechaza H0, entonces: el nivel de conocimientos del idioma inglés es
diferente entre el grupo del curso tradicional y el grupo del curso multimedia.
Por otro lado, la prueba t para muestras independientes en el paquete estadístico SPSS se
encuentra en el menú Analizar / Comparar medias / Prueba T para muestras independientes, los
resultados para el ejemplo anterior se presentarían de la siguiente manera:
Prueba T
En la primera sección se describen los grupos a comparar:
Estadísticos de grupo
Calif icación de la prueba
de conocimient os
Método de enseñanza
Tradicional
Mult imedia
N
7
6
Media
20.14
27.33
Desv iación
típ.
3.48
5.89
Error típ. de
la media
1.32
2.40
En la siguiente sección se tiene a la prueba estadística propiamente dicha:
Inicialmente se hace una prueba de homogeneidad de varianzas entre los dos grupos a comparar, que
es uno de los requisitos de las pruebas paramétricas como la prueba t. Se debe decidir si hay o no
varianzas iguales probando la siguiente H0: s12 s22 . Esto se hace mediante la prueba F de Levene
para homogeneidad de varianzas, cuyos valores se muestran en la tabla siguiente encerrados en un
óvalo. La regla de decisión es: si el nivel de significancia calculado es menor o igual () a 0.05 se
debe rechazar la H0. En el ejemplo se tiene un valor de F de 1.342 con un nivel de significancia de
0.271 que al ser mayor que 0.05, no permite rechazar la H0 y se asume que hay varianzas iguales.
Una vez superado este punto, se tienen dos renglones de valores, el superior en el que se asumen
varianzas iguales (ver datos encerrados en el rectángulo) y el inferior en que no se asumen varianzas
iguales (ver datos encerrados en el hexágono). Siguiendo el ejemplo: se probó que hay varianzas
21
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
iguales, se debe seguir la primer línea donde se observa un valor de t de –2.732 con 11 grados de
libertad y un nivel de significancia de 0.02 (ver datos encerrados en el rectángulo), siguiendo la
regla de decisión: si el nivel de significancia calculado es menor o igual () a 0.05 se debe
rechazar la H0, este valor es menor a 0.05 por lo que se debe rechazar la H0, entonces se tiene que
afirmar que: el nivel de conocimientos del idioma inglés es diferente entre el grupo del curso
tradicional y el grupo del curso multimedia.
Prueba de muestras independientes
Prueba de Lev ene
para la igualdad de
v arianzas
F
Calif icación de la prueba
de conocimient os
Se han asumido
v arianzas iguales
No se han asumido
v arianzas iguales
1.342
Sig.
.271
Prueba T para la igualdad de medias
t
gl
Sig. (bilateral)
Dif erencia
de medias
Error típ. de
la dif erencia
95% Interv alo de
conf ianza para la
dif erencia
Inf erior
Superior
-2.732
11
.020
-7.19
2.63
-12.98
-1.40
-2.623
7.862
.031
-7.19
2.74
-13.53
-.85
Reporte de resultados de la prueba t
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con las medias, es importante mencionar los
valores de la prueba estadística, grados de libertad y el nivel de significancia con que se está
rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o
simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis.
Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
Promedio de Calificaciones en la
Prueba de Conocimientos del Idioma
Inglés por Método de Estudio*
30
25
Media
En lo que respecta a los métodos de enseñanza, se
encontraron diferencias en el nivel de conocimientos del
idioma inglés entre el grupo del curso tradicional y el
grupo del curso multimedia (t = -2.732, gl = 11,
p < 0.05). Como puede observarse en la gráfica, el grupo
que llevó el curso multimedia tuvo un promedio más alto
en la prueba (27.33), al compararlo con el grupo asistente
al método tradicional (20.14).
27.33
20.14
20
15
10
5
0
Esta descripción será la base para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio.
22
Curso Tradicional Curso Multimedia
* t = -2.732, gl = 11, p = 0.02
Apuntes de Estadística Inferencial
La prueba t para muestras relacionadas se calcula mediante la siguiente fórmula:
D
t
sD
dónde:
D = diferencia media
sD = error estándar de la diferencia media
sD
sD
n 1
Para calcular la desviación estándar de las diferencias:
sD
d
2
n
D
d D n
Para calcular la suma de cuadrados de D:
2
2
2
Para calcular los grados de libertad:
gl = n - 1
Problema para explicar el procedimiento para calcular la prueba t para muestras relacionadas:
Se desea saber si un taller es efectivo para cambiar el nivel de autoestima de un grupo de pacientes,
para ello se evalúa la autoestima antes de iniciar el taller y al finalizar el mismo. Los datos obtenidos
se muestran a continuación, donde X son los puntajes de la primera medición y Y corresponde a la
segunda medición, D son las diferencias entre los puntajes de las 2 mediciones:
X
Y
D
D2
18
20
-2
4
16
22
-6
36
18
24
-6
36
12
10
2
4
20
25
-5
25
17
19
-2
4
18
20
-2
4
20
21
-1
1
22
23
-1
1
20
20
0
0
10
10
0
0
8
12
-4
16
20
22
-2
4
12
14
-2
4
16
12
4
16
16
20
-4
16
18
22
-4
16
20
24
-4
16
18
23
-5
25
21
17
4
16
2
D = -40
X = 340
Y = 380
D = 244
x = 17
y = 19
D = -2
n = 20
23
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Procedimiento:
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se debe probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
2 grupos relacionados
Nivel de medición intervalar
H0: El nivel de autoestima es igual entre la medición de inicio y la medición hecha al
finalizar el taller
Prueba estadística: Prueba t para grupos relacionados
2. Obtener las diferencias (D) entre los puntajes obtenidos en la primera medición y la segunda
medición (datos de la columna X menos los datos de la columna Y).
3. Elevar las diferencias al cuadrado (D2)
4. Sumar las diferencias ( D ) y las diferencias elevadas al cuadrado ( D )
2
5. Calcular la suma de cuadrados de las diferencias
402
1600
d 244 20 244 20 244 80 164
2
6. Obtener la desviación estándar de las diferencias
sD
164
8.2 2.864
20
7. Determinar el error estándar de la diferencia media
sD
2.864
2.864 2.864
0.657
4.359
20 1
19
8. Calcular el valor de t y los grados de libertad
t
2
3.04
0.657
gl = 20 - 1 = 19
9. Buscar el valor de t en tabla con el nivel de significancia de 0.05 y con los grados de libertad
calculados. El valor de t obtenido de las operaciones debe compararse con ese valor de tabla (ver
tabla en la página 21). La regla de decisión es: si el valor calculado es mayor o igual que el
valor en tabla se debe rechazar la H0.
Para este ejercicio, con 19 grados de libertad, al nivel de significancia establecido en el valor de
0.05, se tiene un valor en tabla de 2.093, el valor de t calculado es mayor al de tabla (el signo no
debe ser tomado en cuenta) por lo tanto se rechaza H0, entonces: el nivel de autoestima es
diferente entre la primera y segunda mediciones.
24
Apuntes de Estadística Inferencial
La prueba t de Student para muestras relacionadas en el paquete estadístico SPSS se encuentra
en Analizar / Comparar medias / Prueba T para muestras relacionadas, se presentarían los
siguientes resultados para el ejemplo anterior:
Prueba T
En la primer sección se describen las mediciones a comparar y se presenta la correlación entre las
mismas:
Estadísticos de muestras relacionadas
Par 1
Medición 1
Medición 2
Media
17.00
19.00
N
20
20
Desv iación
típ.
3.80
4.82
Error típ. de
la media
.85
1.08
Correlaciones de muestras relacionadas
N
Par 1
Medición 1 y Medición 2
20
Correlación
.793
Sig.
.000
En la siguiente sección se tiene a la prueba estadística propiamente dicha en la que se describen la
diferencia media, la desviación estándar de las diferencias, el error estándar de las diferencias, y
finalmente la prueba t:
La regla de decisión es: si el nivel de significancia calculado es menor o igual () a 0.05 se debe
rechazar la H0. Siguiendo el ejemplo se observa un valor de t de –3.04 con 19 grados de libertad y
un nivel de significancia de 0.007 (ver los datos en el óvalo), este valor de significancia es menor que
0.05 por lo que se debe rechazar la H0, entonces se tiene que afirmar que: el nivel de autoestima es
diferente entre la primera y la segunda mediciones.
Prueba de muestras relacionadas
Dif erencias relacionadas
Par 1
Medición 1 - Medición 2
Media
-2.00
Desv iación
típ.
2.94
Error típ. de
la media
.66
95% Interv alo de
conf ianza para la
dif erencia
Inf erior
Superior
-3.38
-.62
t
-3.044
gl
19
Sig. (bilateral)
.007
Reporte de resultados de la prueba t para muestras relacionadas
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con las medias, aunque es más recomendable
una gráfica de líneas para ver las variaciones entre las mediciones, es importante mencionar los
valores de la prueba estadística, grados de libertad y el nivel de significancia con que se está
rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o
simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis.
Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
25
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Nivel de Autoestima Antes y Después
del Taller*
20
16
Media
En cuanto a la efectividad del taller para modificar la
autoestima en un grupo de pacientes, se encontraron
diferencias en el nivel de autoestima antes y después de
asistir al taller (t = -3.044, gl = 19, p < 0.01). Como puede
observarse en la gráfica, la media de autoestima es mayor
al finalizar el taller (19) que al inicio del mismo (17).
19
17
12
8
4
Esta descripción será la base para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio.
0
Autoestima Antes
del Taller
Autoestima Despues
del Taller
* t = -3.044, gl = 19, p = 0.007
26
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba U de Mann-Whitney
La prueba U de Mann-Whitney pertenece a las pruebas no paramétricas de comparación de dos
muestras independientes, es decir:
Es libre de curva, no necesita una distribución específica
Nivel ordinal de la variable dependiente
Se utiliza para comparar dos grupos de rangos (medianas) y determinar que la diferencia no se
deba al azar (que la diferencia sea estadísticamente significativa).
Se calcula mediante la siguiente fórmula:
U n1n2
dónde:
n x n x 1
Rx
2
n1, n2 = número de casos de cada grupo
Rx = suma de rangos de cada grupo
nx
= número de casos de cada grupo
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea probar si hay diferencias en el nivel de estrés entre enfermeras de terapia intensiva (X1) y las
de urgencias (X2), el nivel de estrés se midió en una escala de 0 = nada, 1 = bajo, 2 = medio, 3 = alto,
4 = muy alto, las calificaciones se muestran a continuación:
X1
3
2
1
1
0
2
1
n1 = 7
X2
4
3
2
2
1
2
n2 = 6
R1
11.5
8
3.5
3.5
1
8
3.5
R1 = 39
R2
13
11.5
8
8
3.5
8
R
2
= 52
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se debe probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
2 grupos independientes
Nivel de medición ordinal
H0: El nivel de estrés es igual entre enfermeras de terapia intensiva (grupo 1) y enfermeras de
urgencias (grupo 2)
Prueba estadística: Prueba U de Mann Whitney
27
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
2. En primer lugar se debe asignar un rango a cada calificación ordenándolas como si se tratara de
un solo conjunto de datos (se juntan los grupos).
Valor
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
Rango
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
12
4
13
3.5
8
11.5
al valor más pequeño el rango 1, el valor más pequeño posible es el 0
el rango para los 1 es igual a
23 45
3.5
En el caso de que existan valores
4
repetidos
(llamados
también
para el 2 debe considerarse que empates), el rango que les
en el orden sigue es el 6:
corresponde es igual al promedio
6 7 8 9 10
de los rangos, es decir: la suma de
8
los lugares asignados de manera
5
secuencial entre el número de veces
y para 3, empezando con el 11: que se repite cada número
11 12
11.5
2
el último rango respetando la secuencia es el 13, que le corresponde
al valor 4
3. Cada uno de los rangos se debe colocar en la columna correspondiente, R1 para el grupo 1 y R2
para el segundo grupo. Una vez asignados los rangos se deben sumar para cada grupo por
separado ( R1 .y R2 ).
Esta operación puede verificarse mediante la siguiente fórmula:
N N 1
R1 R2 2
39 52
1314
2
91 = 91
4. A continuación debe calcularse el valor de U para cada grupo:
78 39 42 56 39 42 28 39 31
7(7 1)
U1 7 6
39 42
2
2
2
U 2 7 6
67 52 42 42 52 42 21 52 11
6(6 1)
52 42
2
2
2
5. Se debe encontrar el valor crítico de U en la tabla que se presenta en la página siguiente, con un
nivel de significancia establecido a 0.05 para una prueba de 2 colas, utilizando el número de casos
de cada grupo (n1 y n2). Una vez hecho ésto, se debe elegir el valor de U más bajo y compararlo
con el valor de U en tabla. La regla de decisión es: si el valor de U calculado es menor o igual
al de tabla, se rechaza la hipótesis nula.
En este caso con n1 = 7 y n2 = 6, se tiene un valor de U en tabla = 6, el valor obtenido (11) es
mayor a este valor por lo que no se puede rechazar la hipótesis nula, se concluye que: el nivel de
estrés es igual entre enfermeras de terapia intensiva y enfermeras de emergencia.
28
Apuntes de Estadística Inferencial
1a. Si alguno de los grupos en la muestra tiene
más de 20 sujetos, no es posible utilizar esta
tabla, para estas situaciones se asume que
muestras grandes tienden a distribuirse
normalmente y se convierte el valor de U a
puntuación z. Esto se hace mediante la
siguiente fórmula, en la que se puede usar
cualquiera de las dos U que se calcularon,
esto no afecta el valor de z, sólo cambia su
signo dependiendo de la que se utilice:
nn
U 1 2
2
z
n1n2 n1 n2 1
12
Tabla de Valores Críticos para U de Mann
Whitney
n2
n1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-
0
0
0
0
1
1
2
2
3
0
1
2
3
4
4
0
1
2
3
5
6
7
8
1
2
3
5
6
8
10
1
3
5
6
8
10
12
0
2
4
6
8
10
13
0
2
4
7
0
3
0
76
Con la U más pequeña la z es:
z
11
10
10 10
11 21
2
1.43
7
767 6 1
4214
588
49
12
12
12
2a. La regla de decisión es: si la calificación z es mayor o igual a 1.96 (sin tomar en cuenta el
signo) se rechaza la hipótesis nula, esto es porque este valor equivale al 95% del área bajo la
curva normal (nivel de significancia de 0.05). Con un valor menor no podemos rechazar la
hipótesis nula.
En este caso, al tener una z de –1.43 menor a 1.96 se acepta la hipótesis nula, por lo que: el nivel
de estrés es igual entre los dos grupos de enfermeras.
La prueba U de Mann-Whitney en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar /
Pruebas no paramétricas/2 muestras independientes, los resultados para el ejemplo anterior serían
los siguientes:
Pruebas no paramétricas
Prueba de Mann-Whitney
Rangos
Niv el de estrés
Grupo
Enf ermeras de
terapia intensiv a
Emf ermeras de
urgencias
Total
Rango
promedio
N
Suma de
rangos
7
5.57
39.00
6
8.67
52.00
13
En primer lugar, se presenta una
descripción de los grupos comparados,
la suma de rangos y un valor que
representa cual grupo tiene una
mediana mayor, este dato es el rango
promedio, que se obtiene de dividir la
suma de rangos de cada grupo entre la
cantidad de casos en el grupo.
29
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Estadísticos de contrasteb
U de Mann-Whitney
W de Wilcoxon
Z
Sig. asintót. (bilat eral)
Sig. exacta [2*(Sig.
unilat eral)]
Niv el de
estrés
11.000
39.000
-1.494
.135
a
.181
a. No corregidos para los empates.
Finalmente, se presentan los valores de la U de MannWhitney y de la razón z (ver datos en los óvalos), así como
el nivel de significancia de la prueba, se utiliza el de
significancia bilateral (ver el número en el hexágono), se
debe recordar que en el paquete estadístico la regla de
decisión es: si el nivel de significancia es menor o igual
a 0.05 se tiene que rechazar la hipótesis nula, en este
caso es mayor por lo que al no poder rechazar la hipótesis
nula debemos concluir que: el nivel de estrés es igual entre
los 2 grupos de enfermeras.
b. Variable de agrupación: Grupo
Reporte de resultados de la prueba U de Mann Whitney
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con las medianas, aunque se puede utilizar el
rango promedio, obtenido de dividir la suma de rangos de cada grupo entre la cantidad de casos en el
grupo, sin embargo este dato es de difícil interpretación. Se deben mencionar los valores de la prueba
estadística (U o z), y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis
nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor,
al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis.
Nivel de Estrés entre Enfermeras de
Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por
Terapia Intensiva y de Urgencias*
ejemplo:
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior de
los resultados encontrados en el estudio
2
2
Mediana
El nivel de estrés es igual entre enfermeras de terapia
intensiva y de urgencias (z = -1.494, p > 0.05). (ver
gráfica).
1.5
1
1
0.5
0
Terapia intensiva
Urgencias
* z = -1.494, p = 0.135
30
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba de Wilcoxon
La prueba de rangos asignados de Wilcoxon pertenece a las pruebas no paramétricas de comparación
de dos muestras relacionadas, es decir:
Es libre de curva, no necesita una distribución específica
Nivel ordinal de la variable dependiente
Se utiliza para comparar dos grupos relacionados de rangos (medianas) y determinar que la diferencia
no se deba al azar (que la diferencia sea estadísticamente significativa).
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea probar si hay diferencias en el nivel de estrés laboral de los trabajadores de una empresa
antes y después de la implementación de un programa de mejoramiento del ambiente laboral; el nivel
de estrés se midió en una escala de 0 = nada, 1 = bajo, 2 = medio, 3 = alto, 4 muy alto, las
calificaciones se muestran a continuación:
X
3
3
2
2
2
2
1
Y
4
2
1
1
0
2
3
n=7
D
-1
1
1
1
2
0
-2
Rangos positivos
Rangos negativos
2.5
2.5
2.5
2.5
5.5
Empate, n = 7-1 = 6
5.5
+
T = 13
T- = 8
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se debe probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
2 grupos relacionados
Nivel de medición ordinal
H0: El nivel de estrés laboral de los trabajadores es igual antes y después de implementar el
programa de mejoramiento del ambiente laboral.
Prueba estadística: Wilcoxon
Rango
Ordenar las
2. Se debe obtener la diferencia (D) entre los
En el caso de que existan valores repetidos, el
diferencias
puntajes de inicio (X) y de la segunda medición mayores a 0 rango que les corresponde es igual a la suma de los
lugares asignados entre el número de veces que se
(Y), es decir: restar a las calificaciones de la
D
repite cada uno*
primera medición los de la segunda. A estas
-1
1
para los 1:
diferencias se les debe asignar un rango
1
2
1 2 3 4
ordenando los datos sin considerar el signo de la
2.5
1
3
diferencia, deberá empezarse con el valor más
4
1
4
pequeño dándole el rango 1, no deben
-2
5
56
considerarse las diferencias iguales a 0
para el 2:
5.5
2
6
2
(empates), cuando esto sucede se debe ajustar el
* Ver el tratamiento de rangos en la prueba U de Mann
número de sujetos a: n –1, por cada empate.
Whitney para una explicación más detallada
31
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
3. Una vez asignados los rangos se deben acomodar los correspondientes a las diferencias positivas
y los de diferencias negativas en la columna respectiva y después sumarlos para obtener T+ y T-.
4. Se debe encontrar el valor de probabilidad asociado a T+ (c) con el número de casos ajustado (N),
en la tabla de valores críticos de T+. En ésta se muestra la probabilidad asociada para una prueba
de una cola, para obtener la probabilidad de dos colas se debe dividir el valor correspondiente
entre 2. Como regla de decisión: esta probabilidad debe ser menor o igual a 0.05 para
rechazar la hipótesis nula.
En este caso con T+ igual a 13, al buscar este valor en los renglones y la N ajustada (6) en las
columnas, se tiene una probabilidad de 0.3438 que dividida entre 2, para obtener la probabilidad
asociada para una prueba de dos colas, da como resultado 0.1719, esta probabilidad al ser mayor a
0.05 no permite rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto: el nivel de estrés laboral de los
trabajadores es igual antes y después de implementar el programa de mejoramiento del ambiente
laboral.
La tabla sin embargo no permite la
comparación con más de 15 casos (N
ajustada), para estas situaciones, asumiendo
que muestras más grandes tienden a
distribuirse normalmente, se convierte el
valor de T+ a calificación z calculando lo
siguiente:
1. En primer lugar se debe obtener la
media de T+ con la siguiente fórmula
(usando la N ajustada):
N N 1
4
T T
2. Calcular la desviación estándar de T+
(usando la N ajustada):
N N 1(2 N 1)
24
T
Valores críticos de T+ para la prueba de rangos
asignados de Wilcoxon de una cola
Las entradas de la tabla para una N dada es P[T+ c], la
probabilidad de que T+ sea mayor o igual a la suma de c.
N
c
3
4
3
0.6250
4
0.3750
5
0.2500
0.5625
6
0.1250
0.4375
5
7
0.3125
8
0.1875
0.5000
9
0.1250
0.4063
10
0.0625
0.3125
6
11
0.2188
0.5000
12
0.1563
0.4219
13
0.0938
0.3438
14
0.0625
0.2813
15
0.0313
0.2188
3. Calcular la z con:
z
T T
T
Sustituyendo valores se tiene:
T 13
T
66 1
42
13
13 10.5 2.5
4
4
66 1(2)(6) 1 4213
24
24
z
32
2.5
0.53
4.77
546
22.75 4.77
24
7
0.5313
8
Apuntes de Estadística Inferencial
La regla de decisión es: si la calificación z es mayor o igual a 1.96 (sin tomar en cuenta el signo)
se rechaza la hipótesis nula, esto es porque este valor equivale al 95% del área bajo la curva normal
(nivel de significancia de 0.05). Con un valor menor no podemos rechazar la hipótesis nula.
En este caso, al tener una z de 0.53 menor a 1.96, no se puede rechazar la hipótesis nula, por lo que:
el nivel de estrés laboral de los trabajadores es igual antes y después de implementar el programa de
mejoramiento del ambiente laboral.
Por otro lado, la prueba de Wilcoxon en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar /
Pruebas no paramétricas/2 muestras relacionadas, los resultados que se presentan para el ejemplo
anterior son los siguientes:
Pruebas no paramétricas
Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon
Rangos
N
Estrés laboral al iniciar el
programa - Estrés
laboral
al finalizar el programa
Rangos negativos
Rangos positivos
Empates
Total
a
2
4b
1c
7
Rango
promedio
4.0
0
3.2
5
Suma de
rangos
8.0
0
13.0
0
a. Estrés laboral al iniciar el programa < Estrés laboral al finalizar el programa
En primer lugar se muestra la
asignación de rangos positivos,
negativos y empates, así como
la suma de rangos positivos y
negativos.
b. Estrés laboral al iniciar el programa > Estrés laboral al finalizar el programa
c. Estrés laboral al finalizar el programa = Estrés laboral al iniciar el programa
Estadísticos de contrasteb
Estrés
allaboral
iniciar
el
programa
- Estrés
al laboral
finalizar
elprograma
-.541 a
Z
Sig. asintót.
.589
(bilateral)
a. Basado en los rangos
negativos.
b. Prueba de los rangos con signo de
Wilcoxon
Posteriormente se presenta la prueba estadística
en este caso el valor de la razón z, así como el
nivel de significancia de la prueba (ver valores
en el óvalo). La regla de decisión es: si valor
de significancia es menor o igual a 0.05 se
debe rechazar la hipótesis nula. En este caso
no se puede rechazar H0 porque el nivel de
significancia de 0.589 es mayor a 0.05, por lo
tanto: el nivel de estrés laboral de los
trabajadores es igual antes y después de
implementar el programa de mejoramiento del
ambiente laboral.
33
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Nivel de Estrés Laboral Antes y
Después del Programa*
Reporte de resultados de la prueba de Wilcoxon
2.5
Mediana
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras o
líneas (más adecuada para ver variaciones entre mediciones)
con las medianas. Se deben mencionar los valores de la
prueba estadística y el nivel de significancia con que se está
rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el
valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es
menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba
de hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la que
se llega. Por ejemplo:
2
2
2
1.5
1
0.5
0
Estrés laboral antes
del programa
Estrés laboral
después del
programa
* z = -0.541, p = 0.589
Como puede apreciarse en la gráfica, es igual el nivel de
estrés laboral de los trabajadores antes y después de
implementar el programa de mejoramiento del ambiente laboral (z = -0.541, p > 0.05).
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior de los resultados encontrados en el estudio
34
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba de Chi Cuadrada (X2)
La prueba de Chi cuadrada o Ji cuadrada (X2) pertenece a las pruebas no paramétricas de
comparación de dos o más muestras independientes:
No se distribuye normalmente, se utiliza la distribución asintótica de Chi cuadrada
Nivel nominal de la variable dependiente
Se usa para comparar dos o más grupos independientes de proporciones organizadas en una tabla de
contingencia y determinar que las diferencias no se deban al azar (que las diferencias sean
estadísticamente significativas).
La formula para calcular la X2 es la siguiente:
X2
fo fe 2
fe
Donde fo son las frecuencias observadas para cada una de las celdas de la tabla y fe son las
frecuencias esperadas para cada una de estas celdas.
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea saber si las prácticas de crianza son diferentes entre padres de una orientación política
conservadora y padres de orientación política liberal, las prácticas de crianza están clasificadas como
no rígida, moderada y autoritaria:
Es un problema de Comparación
2 grupos independientes
Nivel de medición de la variable dependiente: nominal
H0: La proporción de padres que emplean prácticas de crianza no rígida, moderada y autoritaria es
igual entre los que tienen una orientación política conservadora y los que tienen una orientación
liberal.
Prueba estadística: Chi cuadrada
1. En primer lugar debe generarse una tabla de contingencia en la que por regla general los grupos
son representados en las columnas y las categorías de la variable dependiente estarán
representadas en los renglones. La tabla siguiente, representa los datos cruzados del tipo de
orientación política (Variable Independiente en las columnas) por el tipo de práctica de crianza
que llevan a cabo (Variable Dependiente en los renglones). En cada celdilla se captura las
frecuencias observadas (fo), obtenidas de las respuestas de los padres según su orientación política
(ver las frecuencias en cursivas).
No rígida
Moderada
Autoritaria
Total
Conservadores
6
13.8
13
12.9
21
13.3
40
Liberales
24
16.2
15
15.1
8
15.7
47
Total
30
28
29
N = 87
2. A continuación se deben sumar los totales marginales por cada renglón, por cada columna y
obtener el número total de casos (N).
35
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
3. Se debe obtener la frecuencia esperada (fe) multiplicando los totales marginales del renglón y de
la columna que corresponden a cada celdilla, y dividirlos entre el total de casos. Por ejemplo: el
total marginal del renglón para la primer celda (con frecuencia observada = 6) es igual a 30 y el
total marginal de las columnas es igual a 40, el total de sujetos es 87, entonces la frecuencia
3040 13.8
esperada para la primer celda es: f e
87
Las frecuencias restantes serían: para la segunda celda (con frecuencia observada = 24):
3047 16.2 , para la tercera celda (con frecuencia observada = 13): f 2840 12.9 ,
fe
e
87
87
2847 15.1 , la quinta (con frecuencia
la cuarta celda (con frecuencia observada = 15): f e
87
2940
observada = 21): f e
13.3 y finalmente para la sexta (con frecuencia observada = 8):
87
2947 15.7 (las frecuencias esperadas son los números en negritas en la tabla).
fe
87
4.
5.
Calcular el valor de X2:
2
2
2
2
2
2
6 13.8 24 16.2 13 12.9 15 15.1 21 13.3 8 15.7
2
X
13.8
16.2
12.9
15.1
13.3
15.7
2
2
2
2
2
2
7.8 7.8 0.1 0.1 7.7 7.7
X2
13.8
16.2
12.9
15.1
13.3
15.7
60.8 60.8 0.01 0.01 59.29 59.29
X2
4.4 3.8 0 0 4.5 3.8 16.5
13.8 16.2 12.9 15.1 13.3
15.7
Calcular grados de libertad con la siguiente fórmula:
gl = (r –1)(c – 1)
donde r es el número de renglones y c el número de columnas
gl = (3 – 1)(2 – 1) = (2)(1) = 2
6. Buscar en la tabla el valor crítico de Chi cuadrada utilizando los grados de libertad y un nivel de
significancia de 0.05 (ver la tabla de valores críticos de Chi cuadrada). La regla de decisión es:
para rechazar la hipótesis nula el valor obtenido debe ser mayor o igual a la chi cuadrada
en la tabla.
En el presente ejemplo se tienen 2 grados de
libertad con un nivel de significancia
establecido en 0.05, para los que corresponde
un valor de X2 en tabla igual a 5.991. En este
ejercicio, al tener una X2 = 16.5 mayor a la de
tabla, se rechaza la hipótesis nula, entonces: la
proporción de padres que emplean prácticas de
crianza no rígida, moderada y autoritaria es
diferente entre los que tienen una orientación
política conservadora y los que tienen una
orientación liberal
36
Valores críticos de Chi Cuadrada a los
Niveles de significancia de 0.05 y 0.01
gl
1
2
3
4
5
6
7
0.05
3.841
5.991
7.815
9.488
11.070
12.592
14.067
0.01
6.635
9.210
11.345
13.277
15.086
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba de Chi cuadrada para una tabla de 2 X 2
Para la Chi cuadrada con tablas de contingencia de dos por dos, mismas que tienen un grado de
libertad, la fórmula varía además incorporando una corrección de continuidad que mejora la
aproximación a la distribución muestral de X2. Las celdas se enumeran como sigue:
A
B
C
D
La fórmula a utilizar es la siguiente:
N
N AD BC
2
X2
A B C D A C B D
2
Para este caso siempre se tiene que: gl = 1
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea saber si el consumir alcohol influye sobre las recaídas en fumadores:
Es un problema de Comparación
2 grupos independientes
Nivel de medición de la variable dependiente: nominal (dicotómica)
H0: La proporción de fumadores que recayeron en el consumo de tabaco es igual entre bebedores y
no bebedores.
Prueba estadística: Chi cuadrada
Los datos se resumen en la siguiente tabla:
No
Bebedor
bebedor
Total
No fumaron
96
13
109
Fumaron
48
20
68
Total
144
33
N = 177
177
177 9620 1348
2
2
1771920 624 88.5
1771296 88.5
2
2
X
96 1348 2096 4813 20
1096814433
35221824
2
1771458056.25 258075956.25 7.33
1771207.5
X
35221824
35221824
35221824
2
2
37
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Se debe buscar el valor en tabla (ver página 36) con un grado de libertad al nivel de significancia
elegido para probar H0. La regla de decisión es: para rechazar la hipótesis nula el valor obtenido
debe ser mayor o igual a la chi cuadrada en la tabla.
Con 1 grado de libertad al nivel de significancia de 0.05 se tiene un valor de X2 en tabla de 3.841 (ver
la tabla de valores críticos de Chi cuadrada en la página 36), en este caso, al tener una chi cuadrada
(7.33) mayor a la de la tabla, se rechaza la hipótesis nula, entonces: la proporción de fumadores que
recayeron en el consumo de tabaco es diferente entre bebedores y no bebedores.
La Chi cuadrada en el paquete SPSS
En el paquete estadístico la Chi cuadrada se encuentra en Analizar / Estadísticos descriptivos /
Tablas de contingencia, la variable independiente o de agrupación se coloca siempre en las
columnas y la variable dependiente en los renglones, se debe elegir en la sección de estadísticas la
prueba de Chi cuadrada, se presentan resultados como los siguientes:
Tablas de contingencia
Tabla de contingencia Tipo Practicas de crianza * Orientación política de los padres
Tipo Practicas
de crianza
No rígida
Moderada
Autoritaria
Total
38
Recuent o
% de Tipo Pract icas
de crianza
% de Orientación
política de los padres
% del total
Recuent o
% de Tipo Pract icas
de crianza
% de Orientación
política de los padres
% del total
Recuent o
% de Tipo Pract icas
de crianza
% de Orientación
política de los padres
% del total
Recuent o
% de Tipo Pract icas
de crianza
% de Orientación
política de los padres
% del total
Orientación política de los
padres
Conserv ador
Liberal
6
24
Total
30
20.0%
80.0%
100.0%
15.0%
51.1%
34.5%
6.9%
13
27.6%
15
34.5%
28
46.4%
53.6%
100.0%
32.5%
31.9%
32.2%
14.9%
21
17.2%
8
32.2%
29
72.4%
27.6%
100.0%
52.5%
17.0%
33.3%
24.1%
40
9.2%
47
33.3%
87
46.0%
54.0%
100.0%
100.0%
100.0%
100.0%
46.0%
54.0%
100.0%
La primera parte es la tabla
de contingencia con las
frecuencias, los porcentajes
respecto a los renglones, a las
columnas y al total, estos
datos nos ayudan a describir
las distribuciones de las
proporciones.
Apuntes de Estadística Inferencial
Finalmente, se tiene a la prueba estadística de
chi cuadrada, donde se debe considerar el valor
Sig. asintótica
de la Chi cuadrada de Pearson (ver los
(bilateral)
Valor
gl
Chi-cuadrado de Pearson
16.313a
2
.000
resultados en el rectángulo), siguiendo con el
Razón de v erosimilitud
17.184
2
.000
primer ejemplo, se tiene un valor de X2 de
Asociación lineal por
16.125
1
.000
16.313 con gl = 2 y una significancia = 0.000,
lineal
N de casos v álidos
87
recordando la regla de decisión: el nivel de
a. 0 casillas (.0%) tienen una f recuencia esperada inf erior a 5.
significancia debe ser menor o igual a 0.05
La f recuencia mínima esperada es 12.87.
para rechazar la hipótesis nula; encontramos
que la significancia es igual 0.000 menor a 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula. Entonces, la
proporción de padres que emplean prácticas de crianza no rígida, moderada y autoritaria es diferente
entre los que tienen una orientación conservadora y los que tienen una orientación liberal.
Pruebas de chi -cuadrado
Para una tabla de contingencia de dos por dos, los resultados son similares.
Tablas de contingencia
Tabla de contingencia Recayó con el cigarro * Bebedores
Recay ó con
el cigarro
No
Si
Total
Recuent o
% de Recay ó
con el cigarro
% de Bebedores
% del total
Recuent o
% de Recay ó
con el cigarro
% de Bebedores
% del total
Recuent o
% de Recay ó
con el cigarro
% de Bebedores
% del total
Bebedores
No
Si
96
13
Total
109
88.1%
11.9%
100.0%
66.7%
54.2%
48
39.4%
7.3%
20
61.6%
61.6%
68
70.6%
29.4%
100.0%
33.3%
27.1%
144
60.6%
11.3%
33
38.4%
38.4%
177
81.4%
18.6%
100.0%
100.0%
81.4%
100.0%
18.6%
100.0%
100.0%
Primero la tabla con frecuencias y
porcentajes, siguiendo el segundo
problema planteado se tiene
Seguida de la prueba
estadística, sin embargo,
Sig. asintótica
Sig. exacta
Sig. exacta
se agregan dos conjuntos
(bilateral)
(bilateral)
(unilateral)
Valor
gl
Chi-cuadrado de Pearson
8.441b
1
.004
de valores, la corrección
Corrección por
a
7.327
1
.007
de continuidad y la prueba
continuidad
exacta de Fisher, se debe
Razón de v erosimilitud
8.223
1
.004
Estadíst ico exacto de
recordar que la corrección
.005
.004
Fisher
por continuidad se calcula
Asociación lineal por
8.393
1
.004
lineal
para una interpretación
N de casos v álidos
177
más exacta, por ello se
a. Calculado sólo para una tabla de 2x2.
debe usar ese valor para
b. 0 casillas (. 0%) tienen una f recuencia esperada inf erior a 5. La f recuencia mínima esperada
tomar una decisión (ver
es 12.68.
datos encerrados en el
2
rectángulo), en este caso X de 7.327 con gl = 1 y una significancia = 0.007, la regla de decisión
indica que el nivel de significancia debe ser menor o igual a 0.05 para rechazar la hipótesis
nula, como vemos la significancia obtenida (0.007) es menor que 0.05, por lo que se rechaza la
hipótesis nula, entonces: la proporción de fumadores que recayeron en el consumo de tabaco es
diferente entre bebedores y no bebedores.
Pruebas de chi-cuadrado
39
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Restricciones de la Chi cuadrada
Cuando se tiene un 20% de celdillas con frecuencias esperadas menores a 5, no se puede llevar a cabo
la prueba de Chi cuadrada, lo mismo sucede si se tienen celdillas con frecuencias iguales a 0.
Reporte de resultados de la prueba X2
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con los porcentajes por columna que suman el
100% en cada grupo, es importante mencionar los valores de la prueba estadística, grados de libertad
y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner
el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos
elegido para la prueba de hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Tomando
el ejemplo de la tabla de contingencia de 2 x 2:
Se encontraron diferencias en la proporción de fumadores
que recayeron en el consumo de tabaco entre bebedores y
no bebedores (X2 = 7.327, gl = 1, p < 0.01). Como puede
observarse en la gráfica, los bebedores recayeron en el
consumo de tabaco en mayor proporción (60.6%) que los
no bebedores (33.3%).
Porcentaje de Personas que Volvieron
a Fumar entre Bebedores y no
Bebedores*
70
60.6
60
50
%
40
33.3
30
20
Esta descripción será la base para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio.
10
0
No bebedores
Bebedores
* X2 = 7.327, gl = 1, p = 0.007
40
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba del Cambio de McNemar de dos Mediciones Dicotómicas
La prueba de McNemar es una prueba no paramétrica de comparación de dos muestras relacionadas:
Es libre de la curva normal, se ajusta a la distribución de Chi cuadrada
Nivel nominal (sólo variables dicotómicas) de la variable dependiente
Se utiliza para comparar dos grupos relacionados de proporciones organizadas en una tabla que
representa los cambios en las respuestas de los sujetos entre una primera medición y una posterior, y
determinar que las diferencias no se deban al azar (que las diferencias sean estadísticamente
significativas).
Los datos se organizan en una tabla como la siguiente:
Después
-
+
-
A
B
+
C
D
Antes
Los signos + y – representan las dos categorías de la variable en cada medición, obsérvese que las
respuestas que se mantienen en ambas mediciones se encuentran en la celdilla A (- y -) y en la D (+ y
+), las celdas donde hay cambio (-, + y +, -) son la B y la C.
La formula para calcular la X2 es la siguiente:
B C 1
2
BC
Para la prueba de McNemar siempre se tiene un grado de libertad (gl = 1)
X
2
Donde B y C son las celdillas en las que se esperan los cambios, esta fórmula incluye una corrección
de continuidad que mejora la estimación de la X2, esto se hace, como se aprecia en la fórmula, al
restar 1 al valor absoluto de la resta de B – C (quitando el signo resultante de la resta).
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea saber si cambió la preferencia por Fox o Cárdenas después del debate televisado, para ello
se preguntó a un grupo de posibles votantes por cuál candidato votaría antes del día del debate, al día
siguiente del debate se volvió a preguntar a los mismos sujetos por quién votarían, los resultados se
muestran a continuación:
Es un problema de Comparación
2 grupos relacionados
Nivel de medición de la variable dependiente: nominal (dicotómica)
H0: La proporción de posibles votantes que prefieren a Fox o a Cárdenas es igual antes y después
del debate.
Prueba estadística: McNemar
41
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
1. En primer lugar deben organizarse las respuestas en una tabla como la siguiente. En cada celdilla
se capturan la cantidad de sujetos que mantienen su respuesta (Fox – Fox o Cárdenas - Cárdenas)
y los que cambian (de Fox a Cárdenas o de Cárdenas a Fox):
Después
Fox
Cárdenas
Fox
20
26
Cárdenas
8
23
Antes
2. Calcular la Chi cuadrada:
X
2
26 8 1
26 8
2
17 2 289
8.5
34
34
Se debe buscar el valor crítico de X2 en la tabla de valores de Chi cuadrada (ver página 36) con un
grado de libertad y al nivel de significancia establecido para probar la H0, La regla de decisión para
rechazar la hipótesis nula es: el valor obtenido debe ser mayor o igual a la chi cuadrada en la
tabla.
El valor de X2 en tabla con 1 grado de libertad al nivel de significancia igual a 0.05 es 3.841. En este
ejemplo se encontró que la X2 es igual a 8.5, mayor a la de tabla, por esa razón se rechaza la hipótesis
nula, entonces: la proporción de posibles votantes que prefieren a Fox o a Cárdenas es diferente antes
y después del debate televisado.
McNemar en el paquete SPSS
En el paquete estadístico se tiene la prueba de McNemar en Analizar / Pruebas no paramétricas / 2
muestras relacionadas se presentan resultados como los siguientes:
Prueba de McNemar
Tablas de contingencia
Preferencias antes del debate y
Preferencias después del debate
Pref erencias
antes del debate
1
2
42
Pref erencias después
del debate
1
2
20
26
8
23
La primera parte es la tabla de frecuencias que se mantienen
y que cambian.
Apuntes de Estadística Inferencial
Estadísticos de contrasteb
N
Chi-cuadrado a
Sig. asintót.
Pref erencias
antes del
debate y
Pref erencias
después del
debate
77
8.500
.004
Finalmente se presenta el valor de Chi cuadrada y la significancia
asociada (ver datos encerrados en el óvalo), la regla de decisión es:
el nivel de significancia debe ser menor o igual a 0.05 para
rechazar la hipótesis nula. Se tiene que, al tener una significancia
de 0.004, menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula. Entonces: la
proporción de posibles votantes que prefieren a Fox o a Cárdenas es
diferente antes y después del debate televisado.
a. Corregido por continuidad
b. Prueba de McNemar
Reporte de resultados de la prueba de McNemar
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras o líneas (más adecuada para ver variaciones
entre mediciones) con los porcentajes obtenidos en cada medición. Se deben mencionar los valores de
la prueba estadística y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis
nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor,
al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la
que se llega. Por ejemplo:
Se encontró que la proporción de posibles votantes que
prefieren a Fox o a Cárdenas es diferente antes y después
del debate televisado (X2 = 8.5, p < 0.01).
Como puede apreciarse en la gráfica, aumentó el
porcentaje de posibles votantes por Cárdenas entre la
primera y segunda medición, mientras que disminuyó la
proporción de posibles votantes por Fox.
Preferencias Electorales Antes y
Después del Debate Televisado*
80
60
% 40
36.4
40.3
20
Fox
Cárdenas
0
Antes del debate
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior de
los resultados encontrados en el estudio
63.6
59.7
Después del
debate
* X2 = 8.5, p = 0.004
43
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
44
Apuntes de Estadística Inferencial
Análisis de Varianza (Prueba F)
Uno de los usos del análisis de varianza (ANOVA por sus iniciales en inglés) es el comparar tres o
más grupos independientes, es una prueba paramétrica, es decir necesita cumplir las siguientes
características:
Selección completamente aleatoria de los grupos
Homocedasticidad (homogeneidad de las varianzas de los grupos en todos los grupos)
Distribución normal de la variable dependiente en todos los grupos
Nivel intervalar de la variable dependiente
El análisis de varianza agrupa una variedad de métodos para análisis de datos de diseños estadísticos
muy complicados, tanto que han merecido la publicación de diversos libros en que se describen esos
métodos y sus aplicaciones prácticas. En este caso, se presenta la utilización más simple de esta
prueba: ANOVA de una vía o factor (una sola variable independiente) para probar una hipótesis
basada en las medias de tres o más grupos independientes.
La prueba F se calcula mediante la siguiente fórmula:
F
CM int er
CM int ra
dónde CMinter es el cuadrado medio intergrupos y CMintra es el cuadrado medio intragrupos, para
calcular ambos datos se deben obtener los siguientes valores:
1. Suma de cuadrados total (SCT):
SCT X
2. La suma de cuadrados intergrupal (SCinter):
SCint er
X
2
2
N
X X
2
n
2
N
3. La suma de cuadrados intragrupal (SCintra):
SCint ra SCT SCint er
4. Calcular los cuadrados medios (CM) intra e intergrupos:
SCint er
SCint ra
CM int er
CM int ra
glint er
glint ra
5. Calcular los grados de libertad intergrupos, itragrupos y total:
glinter = número de grupos (k) menos 1 (k – 1)
glintra = suma de casos en cada grupo menos 1: (n1 – 1) + (n2 – 1) + ... (nk – 1)
glT = número total de casos (N) menos 1 (N – 1)
45
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Problema para explicar el procedimiento para Análisis de Varianza de una Vía:
Se desea probar el efecto del empleo de tres métodos de enseñanza de biología: uno multimedia, uno
tradicional y uno combinando ambos métodos, para ello se asignó al azar a 21 alumnos en tres grupos
de 7 personas cada uno, en cada uno de estos se curso un plan de estudios basado en los diferentes
métodos y al final de cada uno de los cursos se aplicó una prueba de conocimientos, los puntajes
obtenidos por los sujetos asistentes a cada uno de los cursos se muestran a continuación:
Es un problema de Comparación, 3 grupos independientes, Nivel de medición intervalar, Prueba
estadística: Análisis de Varianza
H0: El nivel de conocimientos adquiridos en biología es igual entre el grupo del curso
multimedia (X1), el grupo del curso tradicional (X2) y el grupo del curso que emplea ambos
métodos (X3).
X1
X2
X3
X 32
X 12
X 22
6
4
14
4
6
12
14
X 1 = 82 X 2 = 60
18
17
16
18
12
17
10
X
3 = 108
X 1 = 11.71 X 2 = 8.57
X 3 = 15.43
12
18
16
8
6
12
10
n1 = 7
n2 = 7
n3 = 7
X =250
N = 21
144
324
256
64
36
144
100
X 12 = 1068
36
16
196
16
36
144
196
X
22 = 640
325
289
256
324
144
289
100
X
32 = 1727
X
2
=3435
X T =11.9
Pasos a seguir para el cálculo de F
X 22 y X 32 ), se deben sumar los puntajes por grupo ( X 1 ,
X
X
1. Una vez que se tienen los puntajes (X1, X2 y X3) se deben elevar al cuadrado para cada grupo ( X 12 ,
estas sumatorias ( X ), posteriormente sumar los puntajes elevados al cuadrado por grupo
( X 12 ,
X
2
2
y
X
2
3
2
y
3
) y hacer un total de
) y también hacer un total de estas sumatorias ( X 2 )
2. Determinaremos el número de casos por grupo (n1, n2 y n3) y la suma de casos total (N) para
X )
después obtener las medias por grupo ( X 1 , X 2 y X 3 ) y el promedio total ( X T
N
3. Teniendo los datos anteriores se deben obtener los valores necesarios para calcular la prueba F
utilizando las fórmulas descritas anteriormente:
46
SCT 3435
250 2
62500
3435
3435 – 2976.2 = 458.8
21
21
82 2 60 2 108 2 250 2 6724 3600 11664 62500
SCint er
7
7
21 7
7
7
21
7
= 960.6 + 514.3 + 1666.3 – 2976.2 = 3141.2 – 2976.2 = 165
SCint ra 458.8 – 165 = 293.8
CM int er
165
82.5
2
CM int ra
293.8
16.3
18
Apuntes de Estadística Inferencial
glinter = 3 – 1 = 2
glintra = (7 – 1) + (7 – 1) + (7 – 1) = 6 + 6 + 6 = 18
glT = 21 – 1 = 20
Para finalmente calcular el valor de F:
F
82.5
5.06
16.3
Los datos calculados deben ser organizados en una tabla como la siguiente:
Fuentes de Variación
gl
Suma de Cuadrados Cuadrado medio
Intergrupos
2
165
82.5
Intragrupos
18
293.8
16.3
Total
20
458.8
F
5.06
Valores críticos de 5% (tipo claro) y 1 % (tipo negro) para la distribución de F
f1 Grados de libertad (para una media cuadrada mayor)
f2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
20
24
30
40
50
75
100
200
500
1
161
4.052
200
4.999
216
5.403
225
5.625
230
5.764
234
5.859
237
5.928
239
5.981
241
6.022
242
6.056
243
6.082
244
6.106
245
6.142
246
6.169
248
6.208
249
6.234
250
6.258
251
6.286
252
6.302
253
6.323
253
6.334
254
6.352
254
6.361
254
6.366
1
2
18.51
98.49
19.00
99.00
19.16
99.17
19.25
99.25
19.30
99.30
19.33
99.33
19.36
99.34
19.37
99.36
19.38
99.38
19.39
99.40
19.40
99.41
19.41
99.42
19.42
99.43
19.43
99.44
19.44
99.45
19.45
99.46
19.46
99.47
19.47
99.48
19.47
99.48
19.48
99.49
19.49
99.49
19.49
99.49
19.50
99.50
19.50
99.50
2
3
10.13
34.12
9.55
30.82
9.28
29.46
9.12
28.71
9.01
28.24
8.94
27.91
8.88
29.67
8.84
27.49
8.81
27.34
8.78
27.23
8.76
27.13
8.74
217.05
8.71
26.92
8.69
26.83
8.66
26.69
8.64
26.60
8.62
26.50
8.60
26.41
8.58
26.35
8.57
26.27
8.56
26.23
8.54
26.18
8.54
26.14
8.53
26.12
3
4
7.71
21.20
6.94
18.00
6.59
16.69
6.39
15.98
6.26
15.52
6.16
15.21
6.09
14.98
6.04
14.80
6.00
14.66
5.96
14.54
5.93
14.45
5.91
14.37
5.87
14.24
5.84
14.15
5.80
14.02
5.77
13.93
5.74
13.83
5.71
13.74
5.70
13.69
5.68
13.61
5.66
13.57
5.65
13.52
5.64
13.48
5.63
13.46
4
5
6.61
16.26
5.79
13.27
5.41
12.06
5.19
11.39
5.05
10.97
4.95
10.67
4.88
10.45
4.82
10.27
4.78
10.15
4.74
10.05
4.70
9.96
4.68
9.89
4.64
9.77
4.60
9.68
4.56
9.55
4.53
9.47
4.50
9.38
4.46
9.29
4.44
9.24
4.42
9.17
4.40
9.13
4.38
9.07
4.37
9.04
4.36
9.02
5
6
5.99
13.74
5.14
10.92
4.76
9.78
4.53
9.15
4.39
8.75
4.28
8.47
4.21
8.26
4.15
8.10
4.10
7.98
4.06
7.87
4.03
7.79
4.00
7.72
3.96
7.60
3.92
7.52
3.87
7.39
3.84
7.31
3.81
7.23
3.77
7.14
3.75
7.09
3.72
7.02
3.71
6.99
3.69
6.94
3.68
6.90
3.67
6.88
6
7
5.59
12.25
4.74
9.55
4.35
8.45
4.12
7.85
3.97
7.46
3.87
7.19
3.79
7.00
3.73
6.84
3.68
6.71
3.63
6.62
3.60
6.54
3.57
6.47
3.52
6.35
3.49
6.27
3.44
6.15
3.41
6.07
3.38
5.98
3.34
5.90
3.32
5.85
3-29
5.78
3.28
5.75
3.25
5.70
3.24
5.67
3.23
5.65
7
8
5.32
11.26
4.46
8.65
4.07
7.59
3.84
7.01
3.69
6.63
3.58
6.37
3.50
6.19
3.44
6.03
3.39
5.91
3.34
5.82
3.31
5.74
3.28
5.67
3.23
5.56
3.20
5.48
3.15
5.36
3.12
5.28
3.08
5.20
3.05
5.11
3.03
5.06
3.00
5.00
2.98
4.96
2.96
4.91
2.94
4.88
2.93
4.86
8
9
5.12
10.56
4.26
8.02
3.86
6.99
3.63
6.42
3.48
6.06
3.37
5.80
3.29
5.62
3.23
5.47
3.18
5.35
3.13
5.26
3.10
5.18
3.07
5.11
3.02
5.00
2.98
4.92
2.93
4.80
2.90
4.73
2.86
4.64
2.82
4.56
2.80
4.51
2.77
4.45
2.76
4.41
2.73
4.36
2.72
4.33
2.71
10
4.96
10.04
4.10
7.56
3.71
6.55
3.48
5.99
3.33
5.64
3.22
5.39
3.14
5.21
3.07
5.06
3.02
4.95
2.97
4.85
2.94
4.78
2.91
4.71
2.86
4.60
2.82
4.52
2.77
4.41
2.74
4.33
2.70
4.25
2.67
4.17
2.64
4.12
2.61
4.05
2.59
4.01
2.56
3.96
2.55
3.93
11
4.84
9.65
3.98
7.20
3.59
6.22
3.36
5.67
3.20
5.32
3.09
5.07
3.01
4.88
2.95
4.74
2.90
4.63
2.86
4.54
2.82
4.46
2.79
4.40
2.74
4.29
2.70
4.21
2.65
4.10
2.61
4.02
2.57
3.94
2.53
3.86
2.50
3.80
2.47
3.74
2.45
3.70
2.42
3.66
2.41
12
4.75
9.33
3.88
6.93
3.49
5.95
3.26
.5.41
3.11
5.06
3.00
4.82
2.92
4.65
2.85
4.50
2.80
4.39
2.76
430
2.72
4.22
2.69
4.16
2.64
4.05
2.60
3.98
2.54
3.86
2.50
3.78
2.46
3.70
2.42
3.61
2.40
3.56
2.36
3.49
2.35
3.46
2.32
3.41
13
4.67
9.07
3.80
6.70
3.41
5.74
3.18
5.20
3.02
4.86
2.92
4.62
2.84
4.44
2.72
4.30
2.77
4.19
2.63
4.10
2.63
4.02
2.60
3.96
2.55
3.85
2.51
3.78
2.46
3.67
2.42
3.59
2.38
3.51
2.34
3.42
2.32
3.37
2.28
3.30
2.26
3.27
14
4.60
8.86
3.74
6.51
3.34
5.56
3.11
5.03
2.96
4.69
2.85
4.46
2.77
4.28
2.70
4.14
2.65
4.03
2.60
3.94
2.56
3.86
2.53
3.80
2.48
3.70
2.44
3.62
2.39
3.51
2.35
3.43
2.31
3.34
2.27
15
4.54
8.68
3.68
6.36
3.29
5.42
3.06
4.89
2.90
4.56
2.79
4.32
2.70
4.14
2.64
4.00
2.59
3.89
2.55
3.80
2.51
3.73
2.48
3.67
2.43
3.56
2.39
3.48
2.33
16
4.49
8.53
3.63
6.23
3.24
5.29
3.01
4.77
2.85
4.44
2.74
4.20
2.66
4.03
2.59
3.89
2.54
3.78
2.49
3.69
2.45
3.61
2.42
17
4.45
8.40
3.59
6.11
3.20
5.18
2.96
4.67
2.81
4.34
2.70
4.10
2.62
3.93
2.55
3.79
2.50
3.68
2.45
3.59
2.41
18
4.41
8.28
3.55
6.01
3.16
5.09
2.93
4.58
2.77
4.25
2.66
4.01
2.58
3.85
2.51
3.71
2.46
19
4.38
8.18
3.52
5.93
3.13
5.01
2.90
4.50
2.63
2.55
20
4.35
8.10
3.49
2.87
4.43
4. Se debe encontrar el valor crítico de F en la tabla, para ello se tiene que identificar, entre el
cuadrado medio intergrupos y el cuadrado medio intragrupos, cuál es el mayor; en las columnas
se debe buscar con los grados de libertad correspondientes al cuadrado medio mayor y en los
renglones los grados de libertad del cuadrado medio menor. Se debe elegir un valor de acuerdo
con el nivel de significancia elegido para la prueba de la H0. La regla de decisión para Análisis
de Varianza es: si el valor calculado es mayor o igual al valor de tabla, se rechaza la
hipótesis nula.
47
f2
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
El cuadrado medio mayor en este caso es el de intergrupos (CMinter = 82.5) con glinter = 2, y para
el cuadrado medio menor es el de intragrupos (CMintra = 16.3) con glintra = 18, buscando en la
tabla se tiene, para 2 grados en las columnas y 18 grados de libertad en los renglones, a un nivel
de significancia de 0.05, un valor de F = 3.55. El valor de F es mayor al de tabla por lo que se
rechaza la hipótesis nula, entonces: el nivel de conocimientos adquiridos en biología es diferente
entre el grupo del curso multimedia, el grupo del curso tradicional y el grupo del curso que
emplea ambos métodos.
Comparaciones Posteriores a F
Cuando se ha determinado que existen diferencias significativas entre los grupos, se debe especificar
dónde se encuentran las diferencias, para ello se analizan los grupos por pares, para hacerlo existen
varios métodos, más o menos estrictos, diseñados para evitar el error Tipo I debido al efecto
Bonferroni.
El efecto Bonferroni se refiere al hecho de que al hacer las diferentes comparaciones entre los grupos
organizados por parejas, por ejemplo con la prueba t, el efecto acumulativo sobre el nivel de
significancia, del empleo de cada grupo más de una vez para hacer todas las comparaciones (0.05
para la primera, aproximadamente 0.1 para la segunda, aproximadamente 0.15 para la tercera, etc.),
nos hace rechazar la hipótesis nula cuando ésta no debería ser rechazada.
Uno de los métodos es el diseñado por Scheffe, en que se utiliza la siguiente fórmula:
2
X1 X 2
F
n n2
CM int ra 1
n1 n2
Para nuestro ejemplo, al comparar el grupo 1 y el grupo 2, la F es igual a:
2
11.71 8.57
3.14 2
9.8596
9.8596
F
2.12
7 7
14 16.30.2857 4.6571
16.3
16.3
77
49
Para el grupo 1 y el grupo 3, la F es:
2
11.71 15.43
3.72 2
13.8384
9.8596
F
2.97
7 7
14 16.30.2857 4.6571
16.3
16.3
77
49
Para el grupo 2 y el grupo 3, la F es:
2
8.57 15.43
6.86 2
47.0596
47.0596
F
10.1
7 7
14 16.30.2857 4.6571
16.3
16.3
77
49
Se debe hacer un ajuste sobre el nivel de significancia, para corregir el efecto Bonferroni,
multiplicando el valor de F en tabla, encontrado para la prueba general, por el número de grupos
menos 1 (k – 1), para este caso el valor en tabla es 3.55 para el nivel de significancia de 0.05 con 2 y
18 grados de libertad, el ajuste se haría como sigue:
Ftabla ajustado = (3.55)(3 – 1) = (3.55)(2) = 7.1
Las hipótesis nulas que se están probando son: X 1 = X 2 , X 1 = X 3 y X 2 = X 3 . La regla de
decisión es: el valor de F de cada comparación debe ser mayor o igual al valor de tabla ajustado
para rechazar la hipótesis nula. Como se puede apreciar, sólo el valor de F para la comparación
entre el grupo 2 y el grupo 3 es mayor al valor de tabla ajustado, por lo que el nivel de conocimientos
48
Apuntes de Estadística Inferencial
adquiridos en biología es diferente entre el grupo del curso tradicional y el grupo del curso que
emplea ambos métodos y podemos decir que las diferencias en el Análisis de Varianza son debidas a
este resultado.
Por otro lado, la prueba F de una vía en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar /
Comparar medias / ANOVA de un Factor, se presentarían los siguientes resultados para el ejemplo
que estamos utilizando:
ANOVA de un factor
Descriptivos
Calif icación en el Examen de Conocimientos
N
Mult imedia
Tradicional
Ambos
Total
7
7
7
21
Media
11.71
8.57
15.43
11.90
Desv iación
típica
4.23
4.58
3.15
4.78
Error típico
1.60
1.73
1.19
1.04
Interv alo de conf ianza para
la media al 95%
Límite
Límite inf erior
superior
7.80
15.63
4.34
12.80
12.51
18.35
9.73
14.08
Calif icación en el Examen de Conocimientos
gl1
gl2
2
18
6
4
10
4
Máximo
18
14
18
18
Lo siguiente es la prueba de homogeneidad de
varianzas entre los grupos, H0: s12 s 22 s32 , la
regla de decisión es: si el nivel de significancia
es menor o igual al establecido se rechaza la
H0, en este caso el nivel de significancia (0.306)
es mayor a 0.05, por lo que no se rechaza H0,
entonces: las varianzas de los
grupos son iguales.
Prueba de homogeneidad de varianzas
Estadí st ico
de Lev ene
1.264
Mínimo
En primer lugar se
presentan las estadísticas descriptivas
para los grupos.
Sig.
.306
ANOVA
Calif icación en el Examen de Conocimientos
A continuación se muestran los
resultados de la prueba F (suma
Inter-grupos
2
de
cuadrados, grados de libertad,
Intra-grupos
18
cuadrados medios), el valor de F
Total
20
y la significancia que son los
datos que se utilizan para la regla de decisión (ver datos en el óvalo), la regla es: si el nivel de
significancia encontrado es menor o igual a 0.05 se rechaza H0.
Suma de
cuadrados
164.952
292.857
457.810
Media
cuadrática
82.476
16.270
gl
F
5.069
Sig.
.018
La significancia de la prueba F ( = 0.018) es menor a 0.05 por lo que se rechaza H0, entonces: el
nivel de conocimientos adquiridos en biología es diferente entre el grupo del curso multimedia, el
grupo del curso tradicional y el grupo del curso que emplea ambos métodos.
Pruebas post hoc
Comparaciones múltiples
Variable dependient e: Calif icación en el Examen de Conocimientos
Bonf erroni
(I) Mét odo de Enseñanza
Mult imedia
Tradicional
Ambos
(J) Método de Enseñanza
Tradicional
Ambos
Mult imedia
Ambos
Mult imedia
Tradicional
Dif erencia de
Error típico
medias (I-J)
3.14
2.16
-3.71
2.16
-3.14
2.16
-6.86*
2.16
3.71
2.16
6.86*
2.16
*. La dif erencia entre las medias es signif icativ a al niv el .05.
Sig.
.486
.306
.486
.016
.306
.016
Interv alo de conf ianza al
95%
Límite
Límite inf erior
superior
-2.55
8.83
-9.40
1.98
-8.83
2.55
-12.55
-1.17
-1.98
9.40
1.17
12.55
Para
finalizar
se
presentan los resultados de las comparaciones posteriores,
primero la comparación del grupo 1 con el
grupo 2 y 3, después el
2 con el 1 y el 3, y al
último el 3 con el 1 y 2
(ver flechas).
49
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Esta organización presenta comparaciones redundantes (en este caso se repiten dos veces cada una),
únicamente invirtiendo el orden de los grupos, se puede utilizar cualquiera no importando cual grupo
se pone primero y cual después, teniendo cuidado de tomar los valores de significancia de todas las
comparaciones posibles.
Las hipótesis nulas que se prueban son: X 1 = X 2 , X 1 = X 3 y X 2 = X 3 . La regla de decisión para
cada comparación es: si el nivel de significancia es menor o igual a 0.05 se rechaza la hipótesis
nula.
Como se puede observar la significancia de la comparación del grupo 1 (multimedia) y 2 (tradicional)
es de 0.486 (ver recuadro), del 1 con el 3 (ambos) es 0.306 (ver datos en el hexágono) y del 2 y 3 de
0.016 (ver datos en el óvalo), siguiendo la regla de decisión, la única comparación con diferencias
estadísticamente significativas es la correspondiente al grupo 2 (tradicional) vs. el grupo 3 (ambos),
entonces: el nivel de conocimientos adquiridos en biología es diferente entre el grupo del curso
tradicional y el grupo del curso que emplea ambos métodos y podemos decir que las diferencias en el
Análisis de Varianza son debidas a este resultado.
Reporte de resultados de la prueba F
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con las medias de cada grupo, es importante
mencionar los valores de la prueba estadística, grados de libertad y el nivel de significancia con que
se está rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o
simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis.
Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
Promedio de Calificaciones en Biología
por Método de Estudio*
Media
En lo que respecta a los métodos de enseñanza, se
encontraron diferencias en el nivel de conocimientos
adquiridos en biología entre el grupo del curso
multimedia, el grupo del curso tradicional y el grupo del
curso que emplea ambos métodos (F = 5.069; gl = 2, 18;
p < 0.05). Este resultado se debe a que se encontraron
diferencias en el nivel de conocimientos de biología entre
el grupo del curso tradicional y el que emplea ambos
métodos (p < 0.05), no observándose diferencias en las
otras comparaciones.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
15.43
11.71
8.57
Curso
Curso
Multimedia Tradicional
Ambos
* F = 5.069; gl = 2, 18; p = 0.018
Como puede observarse en la gráfica, el grupo en que se
Curso tradicional < Ambos, p = 0.016
emplearon ambos métodos tuvo el promedio más alto
(15.43), seguido del curso multimedia (11.71),
obteniendo la media más baja el grupo del método tradicional (8.57).
Esta descripción será la base para hacer la discusión posterior de los resultados encontrados en el
estudio.
50
Apuntes de Estadística Inferencial
Análisis de Varianza Unifactorial por Rangos de Kruskal-Wallis
La prueba de Kruskal Wallis pertenece a las pruebas no paramétricas de comparación de tres o más
muestras independientes, es decir:
Es libre de la curva normal, se usa la distribución de chi cuadrada
Nivel ordinal de la variable dependiente
Se utiliza para comparar tres o más grupos de rangos (medianas) y determinar que las diferencias no
se deban al azar (que las diferencias sean estadísticamente significativas).
Se calcula mediante la siguiente fórmula:
12
KW
nR 2 3N 1 ................................... (1)
N N 1
dónde:
N = número total de casos
n=
número de casos de cada grupo
=
promedio
de rangos de cada grupo
R
Sin embargo, si cuando se hace la asignación de rangos hay observaciones empatadas, se debe hacer
una corrección a la fórmula anterior como sigue:
12
nR 2 3N 1
N N 1
.................................. (2)
KW
T
1 3
N N
T t3 t
dónde:
dónde:
t = número de empates en cada conjunto de rangos repetidos
Problema para explicar el procedimiento:
En un hospital, se desea probar si hay diferencias en el nivel de estrés entre enfermeras de terapia
intensiva (X1), las de cirugía (X2) y las de urgencias (X3); el nivel de estrés se midió en una escala de
0 = nada, 1 = bajo, 2 = medio, 3 = alto, 4 = muy alto, las calificaciones se muestran a continuación:
X1
3
2
1
1
0
2
1
n1 = 7
X2
3
3
4
4
2
2
1
n2 = 7
N = 20
X3
4
3
2
4
3
4
n3 = 6
R1
13
8
3.5
3.5
1
8
3.5
R1 = 40.5
R2
13
13
18
18
8
8
3.5
R2 = 81.5
R1 = 5.79
R2 = 11.64
R3
18
13
8
18
13
18
R
3
= 88
R3 = 14.67
51
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se debe probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
3 grupos independientes
Nivel de medición ordinal
H0: El nivel de estrés es igual entre enfermeras de terapia intensiva (grupo 1), enfermeras de
cirugía (grupo 2) y enfermeras de urgencias (grupo 3)
Prueba estadística: Kruskal-Wallis
2. En primer lugar se debe ordenar cada calificación como si se tratara de un solo conjunto de datos
(se juntan los datos de todos los grupos) para asignar rangos.
Valor
0
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
Rango
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
al valor más pequeño el rango 1, el valor más bajo posible es el 0
3.5
8
13
18
el rango para los 1 es igual a
23 45
3.5
4
para el 2 debe considerarse que
en el orden sigue es el 6:
En el caso de que existan valores
6 7 8 9 10
repetidos
(llamados
también
8
empates), el rango que les
5
corresponde es igual al promedio
para 3, empezando con el rango de los rangos, es decir: la suma de
los lugares asignados de manera
11 12 13 14 15
11:
13 secuencial entre el número de veces
5
que se repite cada número
para 4, empezando con el lugar
16 17 18 19 20
16:
18
5
2a. Se considera a cada número repetido como un conjunto de observaciones empatadas y el número
de veces que se repiten es el valor t, como vemos en la tabla anterior el primer conjunto es el
correspondiente a los unos, con un rango empatado igual a 3.5, éstos se repiten 4 ocasiones por lo
que le valor t para el conjunto de unos es igual a 4. Siguiendo este procedimiento, t para el rango
8 correspondiente a la calificación 2 es 5, después el del rango 13 de la puntuación igual a 3 es 5
y finalmente el rango 18 para los 4 tiene un valor t igual a 5.
Se pueden resumir estos datos, obtener el valor de T y
Conjunto
t
t3
T t3 t
52
1 (3.5)
4
64
60
2 (8)
5
125
120
T , como sigue:
3 (13)
5
125
120
4 (18)
5
125
120
T
= 420
Apuntes de Estadística Inferencial
3. Los rangos obtenidos se sustituyen en la columna correspondiente en R1 los asociados a las
observaciones del primer grupo, en R2 a los del segundo y en R3 a los del tercero, se deben sumar
los rangos para cada grupo por separado ( R1 , R2 y R3 ) y obtener el promedio de rangos
para cada grupo, dividiendo la suma de rangos entre el número de sujetos en el grupo ( R1 , R2 y
R3 ).
4. A continuación debe calcularse el valor de KW, si no hubo rangos empatados se debe utilizar la
fórmula (1) y si hay rangos empatados, como es el caso del presente ejercicio, la fórmula (2):
12
7 5.792 7 11.642 614.672 320 1
2020 1
KW
420
1 3
20 20
12
733.52 7 135.49 6215.21 321
2021
KW
420
1
8000 20
12
234.64 948.43 1291.26 63 0.02862474.33 63 70.77 63 7.77
KW 420
420
1 0.053
0.95
0.95
1
7980
= 8.18
5. Se debe buscar el valor crítico de KW en tabla
correspondiente, para ello se utiliza el número
de sujetos de cada grupo y se selecciona el valor
crítico de acuerdo al nivel de significancia que
se desea utilizar. Sin embargo la tabla no es útil
cuando se tiene un grupo con más de 5 casos o
se comparan más de tres grupos. En este caso se
debe utilizar la tabla de valores críticos de Chi
cuadrada (ver página 36) pues podemos asumir
que la distribución es similar a la de chi
cuadrada. Para esta tabla se necesitan calcular
los grados de libertad con gl = k – 1, donde k es
el número de grupos y establecer el nivel de
significancia deseado para probar la hipótesis
nula. La regla de decisión es: si el valor
obtenido es mayor o igual al de tabla, se debe
rechazar la H0.
En este ejemplo se tienen más de 5 sujetos en
todos los grupos por lo que se debe buscar el
valor crítico en la tabla de X2 con gl = 3 - 1 = 2
y el nivel de significancia establecido para
probar la hipótesis nula.
Valores críticos para el análisis de
varianza unifactorial por rangos de
Kruskal-Wallis (KW)
Tamaño de los
grupos
n1
n2
n3
3
2
2
3
3
1
3
3
2
3
3
3
4
2
2
4
3
1
4
3
2
4
3
3
0.05
4.71
5.14
5.36
5.60
5.33
5.21
5.44
5.73
0.01
5
5
5
3
5
5
4
5
5
5
Muestras grandes
5.34
5.71
5.64
5.78
5.99
7.27
7.54
7.77
7.98
9.21
7.20
6.44
6.75
El valor en la tabla de chi cuadrada al nivel de significancia de 0.05 es igual a 5.991. KW obtenida
es igual a 8.18, mayor a la de tabla por lo que se rechaza la H0, entonces: el nivel de estrés es
diferente entre enfermeras de terapia intensiva, enfermeras de cirugía y enfermeras de urgencias.
53
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
5a. Si se tienen 5 casos o menos en todos los grupos, se debe usar la tabla de valores críticos para KW
para rechazar o aceptar la H0, el número de casos de cada grupo sirve para obtener el valor en la
tabla al nivel de significancia deseado. La regla de decisión es: si el valor obtenido es mayor o
igual al de tabla, se debe rechazar la H0.
Aunque en nuestro ejemplo tenemos más de cinco casos por grupo, podemos usar la tabla con el
valor para muestras grandes, ya que se están comparando sólo tres grupos, en ésta encontramos,
al nivel de significancia de 0.05, un valor de KW de 5.99, que es igual al de la tabla de chi
cuadrada. Al comparar KW obtenida (8.18), encontramos que es mayor al valor de tabla, por lo
que se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto: el nivel de estrés es diferente entre enfermeras de
terapia intensiva, enfermeras de cirugía y enfermeras de urgencias.
Comparaciones múltiples entre tratamientos
Cuando se ha determinado que existen diferencias significativas entre los grupos, se debe especificar
dónde se encuentran las diferencias, para ello se analizan los grupos por pares, se calcula el valor
absoluto de las diferencias entre los promedios de rangos de cada comparación posible, en este caso
son 3: grupo 1 vs. grupo 2, grupo 1 vs. grupo 3 y grupo 2 vs. grupo 3. El número de comparaciones
por hacer está determinado por:
#c
k k 1 33 1 32 6 3
2
2
2
2
donde k es el número de grupos a comparar (3 para el presente ejemplo)
Las diferencias entre los promedios de los rangos para las tres comparaciones son:
R1 R2 5.79 - 11.64 - 5.85 5.85
R1 R3 5.79 - 14.67 - 8.88 8.88
R2 R3 11.64 - 14.67 - 3.03 3.03
Para probar la hipótesis nula de que el nivel de estrés es igual entre cada pareja de grupos a comparar,
debe calcularse el valor crítico de la diferencia con la siguiente fórmula, que debe evaluarse para cada
pareja de grupos comparada:
z / k k 1
N N 1 1
1
12 nu nv
donde:
z/k(k – 1) es el valor de z para k(k – 1) al nivel de
significancia establecido
N
es el total de casos de todos los grupos
nu
es el número de casos en el primer grupo en la
comparación
nv
es el número de casos en el segundo grupo en
la comparación
Valores críticos de z para el número
de comparaciones múltiples con
hipótesis bidireccional
Número de
comparaciones (#c)
1
2
3
4
5
6
7
0.05
1.960
2.241
2.394
2.498
2.576
2.638
2.690
El valor de z puede ser tomado de la tabla de valores críticos de z, usando el número de
comparaciones que tienen que hacerse, donde podemos observar que, para el nivel de significancia de
0.05, con tres comparaciones se tiene un valor de 2.394.
54
Apuntes de Estadística Inferencial
Para cada comparación la hipótesis a probar es si el nivel de estrés es igual entre los dos grupos
comparados. La regla de decisión es: si la diferencia encontrada entre los grupos comparados es
mayor o igual al valor crítico calculado se rechaza la hipótesis nula.
Sustituyendo en la fórmula para obtener el valor crítico de la diferencia entre los promedios de rangos
de los grupos 1 y 2 es el siguiente, se prueba la hipótesis nula de que el nivel de estrés es igual entre
el grupo 1 y 2:
2021
2020 1 1 1
0.143 0.143 2.394 420 0.286 2.394 350.286
2.394
2.394
12
12
12
7 7
2.394 10.01 2.3943.164 7.58
Para las diferencias entre el grupo 1 y 3, así como para las del 2 y 3, se usa el mismo valor crítico ya
que nu es igual a 7 y nv es igual a 6 para ambas comparaciones, las hipótesis nulas son: Md1 = Md2 y
Md2 = Md3:
2021
2020 1 1 1
0.143 0.167 2.394 420 0.31 2.394 350.31
2.394
2.394
12
12
12
7 6
2.394 10.85 2.3943.294 7.89
Como se puede apreciar, sólo la diferencia de los promedios de los rangos entre el grupo 1 y el grupo
3 (8.88) es mayor al valor crítico de la diferencia para la comparación entre esos grupos (7.89), por lo
que podemos decir que el nivel de estrés es diferente entre estos grupos. Las diferencias encontradas
en la prueba de Kruskal-Wallis son debidas a este resultado.
La prueba de Kruskal-Wallis en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar / Pruebas
no paramétricas / k muestras independientes, los resultados para el ejemplo anterior serían los
siguientes:
Prueba de Kruskal-Wallis
Rangos
Niv el de estrés
Grupo
Enf ermeras de terapia
intensiv a
Enf ermeras de cirugía
Enf ermeras de
emergencias
Total
Estadísticos de contrastea,b
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
Niv el de
estrés
8.109
2
.017
a. Prueba de Kruskal-Wallis
b. Variable de agrupación: Grupo
Rango
promedio
N
7
5.79
7
11.64
6
14.67
En primer lugar, se presentan los grupos
comparados, con el número de casos y los
rangos promedio, que se obtienen de
dividir la suma de rangos de cada grupo
entre la cantidad de casos en el grupo.
20
Finalmente, se presentan los valores de la chi cuadrada, así como
los grados de libertad y el nivel de significancia de la prueba (ver
datos en el círculo), se debe recordar que en el paquete
estadístico la regla de decisión es: si la significancia es menor
o igual a 0.05 se debe rechazar la hipótesis nula, en este caso
tenemos una significancia de 0.017, menor a 0.05, por lo que se
rechaza la hipótesis nula y debemos concluir que: el nivel de
estrés es diferente entre enfermeras de terapia intensiva,
enfermeras de cirugía y enfermeras de urgencias.
55
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Nota: Las comparaciones múltiples se pueden hacer mediante U de Mann Whitney, pero se debe
recordar ajustar el nivel de significancia que se obtenga en el análisis, multiplicándolo por el
número de grupos menos 1: (k –1), si el nivel de significancia después de este ajuste, es menor
a 0.05 se rechazará la hipótesis nula de la comparación correspondiente.
Reporte de resultados de la prueba de Kruskal-Wallis
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras con las medianas, aunque se puede utilizar la
media rango, obtenida de dividir la suma de rangos de cada grupo entre la cantidad de casos en el
grupo, aunque este dato es de difícil interpretación. Se deben mencionar los valores de la prueba
estadística y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se
puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor, al valor
que hayamos elegido para la prueba de hipótesis. Además se
Nivel de Estrés entre Enfermeras de
debe describir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
Como se puede apreciar en la gráfica, las enfermeras en
urgencias presentan el nivel de estrés más alto, seguidas
de las enfermeras de cirugía y las que tienen el nivel más
bajo de estrés son las de terapia intensiva.
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior de
los resultados encontrados en el estudio
56
3.5
Mediana
Se observaron diferencias en el nivel de estrés entre
enfermeras de terapia intensiva, enfermeras de cirugía y
enfermeras de urgencias (X2 = 8.109, gl = 1, p < 0.05).
Terapia Intensiva, de Cirugía y de
Urgencias*
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
3
1
Terapia
intensiva
Cirugía
Urgencias
* X2 = 8.109, gl = 1, p = 0.17
Apuntes de Estadística Inferencial
Análisis de Varianza de dos Clasificaciones por Rangos de Friedman
La prueba de Friedman pertenece a las pruebas no paramétricas de comparación de tres o más
muestras relacionadas, es decir:
Es libre de la curva normal, se usa la distribución de chi cuadrada
Nivel ordinal de la variable dependiente
Se utiliza para comparar tres o más grupos de rangos (medianas) relacionados y determinar que las
diferencias no se deban al azar (que las diferencias sean estadísticamente significativas).
Se calcula mediante la siguiente fórmula:
12
Fr
R 2 3N k 1 ..................................... (1)
Nk k 1
dónde:
N = número total de casos
k=
número de mediciones
R = suma de rangos de cada medición
Sin embargo, si cuando se hace la asignación de rangos hay observaciones empatadas, se debe hacer
una corrección a la fórmula anterior como sigue:
2
12 R 2 3N 2 k k 1
.............................................. (2)
Fr
Nk t 3
Nk k 1
k 1
dónde:
t = número de empates en cada conjunto de rangos iguales por cada sujeto, se incluyen los
conjuntos con rangos únicos (empates = 1).
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea probar si hay diferencias en el nivel de estrés laboral en trabajadores de una empresa antes y
después de un taller sobre manejo del estrés en el trabajo, además se realizó medición de seguimiento
un mes después de finalizado taller; el nivel de estrés se midió en una escala de 0 = nada, 1 = bajo, 2
= medio, 3 = alto, 4 = muy alto, las calificaciones se muestran a continuación:
X
3
3
2
4
3
3
1
Y
2
1
1
2
1
0
2
N=7
Z
3
2
1
2
2
1
4
Rangos para X Rangos para Y Rangos para Z
2.5
1
2.5
3
1
2
3
1.5
1.5
3
1.5
1.5
3
1
2
3
1
2
1
2
3
RX = 18.5
RY = 9
RZ = 14.5
RZ2 = 210.25
RY2 = 81
R X2 = 342.25
R
2
= 633.5
57
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
1. Para cada problema específico se debe determinar el tipo de problema, los grupos a comparar, si
son independientes o relacionados, el nivel de medición, la prueba estadística que debe utilizarse
y plantear la hipótesis nula que se debe probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de problema
correspondiente.
Es un problema de Comparación
3 grupos relacionados
Nivel de medición ordinal
H0: El nivel de estrés laboral en trabajadores es igual antes del taller para el manejo del
estrés en el trabajo, después del taller y en el seguimiento.
Prueba estadística: Friedman
2. Se deben ordenar los datos observados de las mediciones por sujeto y asignar un rango a cada
calificación:
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
Ordenamiento de las mediciones por
sujeto de la calificación menor a la
mayor en el sentido de la flecha
2
1
1
2
1
0
1
3
2
1
2
2
1
2
3
3
2
4
3
3
4
Sujeto
1
2
3
4
5
6
7
Asignar rangos a las calificaciones de
cada sujeto de acuerdo al orden
establecido, al valor más pequeño de
cada sujeto se le otorga el rango 1,
siendo el 0 el valor mas bajo posible
1
1
1.5
1.5
1
1
1
2.5
2
1.5
1.5
2
2
2
2.5
3
3
3
3
3
3
Para los datos del presente ejercicio se tienen 3 mediciones por lo que el rango mínimo por
asignar a las calificaciones por sujeto es 1 y el máximo es el 3. Sin embargo, cuando existen
observaciones repetidas (empates), el rango que les corresponde es igual al promedio de los
rangos, es decir: la suma de los lugares asignados de manera secuencial entre el número de veces
que se repite cada número, por ejemplo: para el sujeto 1 existe un empate con el 3 que se repite 2
23
veces en las posiciones 2 y 3 por lo que el rango debe ser:
2.5 ; para el tercer sujeto el 1 se
2
repite 2 ocasiones en los lugares 1 y 2, el rango correspondiente debe calcularse como sigue:
1 2
1.5 . Finalmente para el cuarto caso el 2 se repite 2 ocasiones en las posiciones 1 y 2, el
2
1 2
rango correspondiente es:
1.5 (estos son los rangos sombreados en la tabla de arriba).
2
2a. Se considera a cada número repetido como observaciones empatadas y el número de veces que se
repiten es el valor t, que representa un conjunto de empates por sujeto: el primer conjunto es el
del rango 2.5 del caso 1, que se repite 2 veces, por lo que para este conjunto t es igual a 2; el
segundo conjunto es el correspondiente al rango empatado igual a 1.5 del sujeto 3, que se repite 2
veces, por lo que t para este conjunto es igual a 2 y el tercer conjunto es el correspondiente al
sujeto 4 en el rango 1.5, que se repite 2 veces, con un valor t igual a 2. Es decir, existen tres
conjuntos de empates, cada uno con t igual a 2.
Para esta prueba es necesario considerar además a todos los rangos no repetidos como un
conjunto con t igual a 1, pues se deben incluir en el ajuste de la fórmula.
58
Apuntes de Estadística Inferencial
t
Se pueden resumir estos datos como sigue, escribiendo el valor de t y calculando t3 y
Conjunto
t
t
3
Caso 1
3 (2.5)
Caso 3
1 (1.5)
Caso 4
2 (1.5)
Para los 15 rangos
sin repetición
2
2
2
1
8
8
8
1
3
t
t
3
:
t13 t 23 t33 ... t c3
8 8 8 (15)(1)
siendo c el número total de conjuntos
3
t
3
= 39
3. Una vez obtenidos los rangos, se deben colocar en la columna correspondiente a rangos para X, Y
y Z considerando la posición original, antes del ordenamiento, de las calificaciones por sujeto. Por
ejemplo, para el sujeto 1: la calificación en X es 3 y el rango asignado a X para este sujeto es 2.5,
la calificación en Y es 2 y el rango asignado a Y es 1, finalmente la calificación en Z es 3 y el
rango asignado a Z para este sujeto es 2.5. Esto debe hacerse para cada caso.
4. Teniendo acomodados los rangos, éstos se deben sumar por columna, es decir para cada medición
( R X , RY y RZ ) y elevar esas sumas al cuadrado ( R X2 , RY2 y RZ2 ).
5. A continuación debe calcularse el valor de
Friedman, si no hubo rangos empatados se debe
utilizar la fórmula (1) y si hay rangos empatados,
como es el caso del presente ejercicio, la fórmula
(2):
12633.5 372 33 12
Fr
733 1 73 39
3 1
2
7602 34934
7 34 21 39
2
7602 349316 7602 7056 546
7.28
18
84 9
75
84
2
Valores críticos para el prueba
estadística de análisis de varianza de
dos clasificaciones por rangos de
Friedman (Fr)*
k
3
N
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.05
6.00
6.50
6.40
7.00
7.14
6.25
6.22
6.20
6.54
6.17
6.00
0.01
8.00
8.40
9.00
8.86
9.00
8.67
9.60
8.91
8.67
9.39
6. Una vez hecho lo anterior, se debe buscar el valor
crítico para la prueba de Friedman en la tabla, para
5.99
9.21
obtener este valor se usa el número de mediciones
4
2
6.00
(k) y el número de sujetos (N), además del nivel de
7.40
significancia que se elija para probar la H0. La regla
de decisión es: si el valor de Fr obtenido es mayor o igual al valor en tabla se rechaza la
hipótesis nula.
Para este ejercicio, con 3 mediciones y 7 casos, usando un nivel de significancia de 0.05, el valor
de tabla es 7.14, el valor de Fr obtenido (7.28) es mayor por lo que H0 se rechaza, por lo tanto: el
nivel de estrés laboral de los trabajadores es diferente antes del taller para el manejo del estrés en
el trabajo, después del taller y en el seguimiento.
6a. Si se tienen más casos de los que pueden encontrarse en la tabla de Friedman, se puede asumir
que la distribución es similar a la de Chi cuadrada, por lo que se debe usar esa tabla (ver página
36) para encontrar el valor crítico para probar la hipótesis nula. Los grados de libertad se calculan
con: gl = k – 1, donde k es el número de mediciones. La regla de decisión es: si el valor
obtenido es mayor o igual al de tabla, se debe rechazar la H0.
59
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Comparaciones múltiples entre mediciones
Cuando se ha determinado que existen diferencias significativas entre mediciones, se debe especificar
donde se encuentran las diferencias, para ello se analizan las mediciones por pares calculando el valor
absoluto de las diferencias entre las sumas de los rangos ( R X , RY y RZ ) de cada comparación posible,
en este caso son 3: R X vs. RY , R X vs. RZ y RY vs. RZ . El número de comparaciones por hacer está
determinado por:
k k 1 33 1 32 6 3
#c
2
2
2
2
donde k es el número de mediciones (3 para el presente ejemplo)
Las diferencias entre los rangos son:
RX RY 18.5 - 9 9.5 9.5
RX RZ 18.5 - 14.5 4 4
RY RZ 9 - 14.5 - 5.5 5.5
Estas diferencias entre cada pareja de mediciones, deben de compararse con el valor crítico de la
diferencia, obtenido de la siguiente fórmula:
Nk k 1
z / k k 1
6
donde:
z/k(k – 1) es el valor de z para k(k – 1) al nivel de significancia establecido
N
es el total de casos
k
es el número de mediciones
El valor de z puede ser tomado de la tabla de valores críticos de z, donde podemos observar que para
el nivel de significancia de 0.05 para tres comparaciones, se tiene un valor de 2.394.
El valor crítico de la diferencia, se obtiene al sustituir los valores en la fórmula:
2.394
733 1 2.394
6
84
2.394 14 2.3943.742 8.958
6
Se deben de probar las siguientes hipótesis nulas: MdX =
MdY, MdX = MdZ y MdY = MdZ, la regla de decisión es: si
el valor de las diferencias entre las mediciones
comparadas es mayor o igual al valor crítico se rechaza
la hipótesis nula.
Como se puede apreciar, sólo la diferencia entre la suma de
rangos de la medición X y la medición Y (9.5) es mayor al
valor crítico de la diferencia (8.958), por lo que sólo en
este caso se rechaza la hipótesis nula y podemos decir que:
el nivel de estrés laboral de los trabajadores es diferente
entre estos grupos. Las diferencias significativas
encontradas en la prueba de Friedman son debidas a este
resultado.
60
Valores críticos de z para el número de
comparaciones múltiples con hipótesis
bidireccional
Número de
comparaciones (#c)
1
2
3
4
5
6
0.05
1.960
2.241
2.394
2.498
2.576
2.638
Apuntes de Estadística Inferencial
La prueba de Friedman en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar / Pruebas no
paramétricas / k muestras relacionadas, los resultados para el ejemplo anterior serían los
siguientes:
Pruebas no paramétricas
Rangos
Rango
promedio
Niv el de estrés antes
del Programa
Niv el de estrés
despues del Programa
Niv el de estrés en el
seguimiento
Estadísticos de contrastea
N
Chi-cuadrado
gl
Sig. asintót.
7
7.280
2
.026
a. Prueba de Friedman
2.64
En primer lugar, se presentan los rangos promedio, que se
obtienen de dividir la suma de rangos entre la cantidad de casos.
1.29
2.07
Finalmente, se presentan los valores de la chi cuadrada, así como los
grados de libertad y el nivel de significancia de la prueba (ver datos en
el círculo), se debe recordar que en el paquete estadístico la regla de
decisión es: si la significancia es menor o igual a 0.05 se debe
rechazar la hipótesis nula.
En este ejemplo es de 0.026, menor a 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula y debemos concluir
que: el nivel de estrés laboral de los trabajadores es diferente antes del taller para el manejo del estrés
en el trabajo, después del taller y en el seguimiento.
Nota: Las comparaciones múltiples se pueden hacer mediante la prueba de Wilcoxon, pero se debe
recordar ajustar el nivel de significancia que se obtenga en el análisis, multiplicándolo por el
número de mediciones menos 1: (k –1), si el nivel de significancia, después de este ajuste, es
menor a 0.05 se rechazará la hipótesis nula de la comparación correspondiente.
Reporte de resultados de la prueba de Friedman
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras o líneas (más adecuada para ver variaciones
entre mediciones) con las medianas, aunque se puede utilizar la media rango, obtenida de dividir la
suma de rangos en cada medición entre la cantidad de sujetos, aunque este dato es de difícil
interpretación. Se deben mencionar los valores de la prueba estadística y el nivel de significancia con
que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad
obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de
hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
61
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Como puede apreciarse en la gráfica, el nivel de
estrés laboral disminuyó después del taller y tuvo
un incremento en el seguimiento, aunque sin
llegar al nivel de estrés al inicio del estudio.
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión
posterior de los resultados encontrados en el estudio
62
Nivel de Estrés Laboral entre las Tres
Mediciones*
4
Mediana
Con relación al efecto del taller para el manejo del
estrés en el trabajo, se encontraron diferencias en
el nivel de estrés laboral antes del programa,
después del programa y en el seguimiento (X2 =
7.28, gl = 2, p < 0.05).
3
3
2
2
1
1
0
Estrés
laboral
antes del
taller
Estrés
laboral
después del
taller
Seguimiento
* X2 = 7.28, gl = 2, p = 0.026
Apuntes de Estadística Inferencial
Prueba Q de Cochran
La prueba Q de Cochran es una prueba no paramétrica de comparación de tres o más muestras
relacionadas:
Es libre de la curva normal, se ajusta a la distribución de Chi cuadrada
Nivel nominal (sólo variables dicotómicas) de la variable dependiente
Se utiliza para comparar tres o más grupos relacionados de proporciones y determinar que las
diferencias no se deban al azar (que las diferencias sean estadísticamente significativas).
k 1k G 2 G 2
La formula para calcular la Q de Cochran es la siguiente:
Q
dónde:
L=
G=
k=
k L L
2
número “aciertos” (respuestas afirmativas) por sujeto
número “aciertos” (respuestas afirmativas) en cada medición
número de mediciones
Problema para explicar el procedimiento:
Se desea evaluar la efectividad de un programa para eliminar el consumo en usuarios de drogas, para
ello se registra si los usuarios consumen drogas al finalizar el programa (X), y se hace un seguimiento
a 3 (Y) y 6 meses (Z) en que se les vuelve a preguntar si consumen drogas, los datos se muestran a
continuación, donde 0 significa que no es usuario de drogas y 1 que si las consume:
X
Y
Z
L
L2
0
0
0
0
0
1
1
0
2
4
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
2
4
1
1
0
2
4
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
3
9
1
1
1
3
9
1
1
0
2
4
1
1
0
2
4
1
1
0
2
4
1
1
1
3
9
1
1
0
2
4
1
1
0
2
4
L 29
L2 63
GX = 13
GY = 13
GZ = 3
29
G
G X2 169
GY2 169
GZ2 9
G
2
347
63
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
Es un problema de Comparación
3 grupos relacionados
Nivel de medición de la variable dependiente: nominal (dicotómica)
H0: La proporción de usuarios de drogas es igual al finalizar el programa para eliminar el
consumo y en los seguimientos a 3 y 6 meses.
Prueba estadística: Q de Cochran
1. En primer lugar deben contarse los aciertos por sujeto (L), es decir, cuántos unos hay por renglón,
y elevar L al cuadrado (L2)
2. Sumar L y L2 ( L .y
L
2
)
3. Contar los aciertos por medición (G1, G2 y G3), es decir, cuántos unos hay por columna, y elevar
G al cuadrado ( G12 , G 22 y G32 )
4. Sumar G y G2 ( G .y
Nota: La
G
L y de G
2
)
son iguales porque ambas se refieren al total de aciertos.
3 1
3347 29 2 23347 841 21041 - 841 2200 400
16.667
Q
329 63
87 - 63
24
24
24
5. Calcular la Q
6. Se tiene que encontrar el valor crítico en la tabla de valores críticos de Chi cuadrada (ver página
36) ya que la distribución de esta prueba es similar a la de chi cuadrada, para ellos se tienen que
calcular los grados de libertad que se van a utilizar en la tabla con: gl = k – 1, donde k es el
número de mediciones, además de elegir el nivel de significancia para probar la hipótesis nula. La
regla de decisión establece que: si el valor de Q es mayor o igual al valor de la tabla se debe
rechazar la hipótesis nula.
En la tabla, al nivel de significancia de 0.05, con gl = 3 - 1 = 2 para el presente ejemplo, se tiene
un valor igual a 5.991. Q es igual a 16.667, mayor al valor de tabla, por lo que se rechaza la H0,
entonces: la proporción de usuarios de drogas es diferente al finalizar el programa para eliminar el
consumo y en los seguimientos a 3 y 6 meses.
Q de Cochran en el paquete SPSS
En el paquete estadístico se tiene la prueba Q de Cochran está en Analizar / Pruebas no
paramétricas / k muestras relacionadas. Se presentan resultados como los siguientes:
Pruebas no paramétricas
Prueba de Cochran
Frecuencias
Valor
0
Usa drogas (1era. medición)
Usa drogas (2da. medición)
Usa drogas (3era. medición)
64
1
5
5
15
13
13
3
La primera parte describe la frecuencia de las
respuestas por cada medición.
Apuntes de Estadística Inferencial
Estadísticos de contraste
N
Q de Cochran
gl
Sig. asintót .
18
16.667a
2
.000
a. 0 se trata como un éxito.
Finalmente se presenta el valor de Q, con los grados de libertad y la
significancia asociados (ver datos en el círculo), la regla de decisión
establece que si el nivel de significancia es menor o igual a 0.05 se
rechaza la hipótesis nula, en los resultados obtenidos se tiene una
significancia de 0.000, al ser menor a 0.05 se rechaza la hipótesis
nula, entonces: la proporción de usuarios de drogas es diferente al
finalizar el programa para eliminar el consumo y en los seguimientos
a 3 y 6 meses.
Reporte de resultados de la prueba Q de Cochran
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de barras o líneas (más adecuada para ver variaciones
entre mediciones) con los porcentajes obtenidos en cada medición. Se deben mencionar los valores de
la prueba estadística y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis
nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor,
al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la
que se llega. Por ejemplo:
Se encontraron diferencias en la proporción de
usuarios de drogas al finalizar el programa para
eliminar el consumo y en los seguimientos a 3 y 6
meses (X2 = 16.667, gl = 2, p < 0.001).
Como puede apreciarse en la gráfica, la proporción de
usuarios se mantuvo a los 3 meses del seguimiento y
disminuyó en la siguiente medición a los 6 meses.
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio
Proporción de Usuarios de Drogas al
Finalizar el Programa y en los
Seguimientos a 3 y 6 Meses*
80
72.2
72.2
60
% 40
20
16.7
0
Final del
programa
Seguimiento 3
meses
Seguimiento 6
meses
* X2 = 16.667, gl = 2, p = 0.000
65
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
66
Apuntes de Estadística Inferencial
Pruebas de Asociación
La correlación refleja si existe relación o asociación entre dos variables, no se habla de causalidad por
lo que no hay una variable dependiente y una independiente, aunque puede suceder que una variable
sea antecedente de otra.
El coeficiente de correlación puede adquirir valores de –1 a 1, incluyendo el cero, sus características
son:
El signo indica el sentido de la relación, una correlación negativa representa una asociación
inversamente proporcional, es decir, a medida que una variable se incrementa, la otra
disminuye; por otro lado, en una correlación positiva o directamente proporcional, a medida
que aumenta una, la otra también se incrementa.
La magnitud de la relación esta dada por el valor del coeficiente y se interpreta como sigue:
de 0 hasta 0.299 no hay asociación lineal entre las variables, desde 0.3 hasta antes de 0.499 es
baja, desde 0.5 hasta antes de 0.799 es moderada y desde 0.8 a 1 hay una correlación alta
entre las variables.
La ausencia de asociación lineal no significa necesariamente que las variables no tengan
relación entre sí. Existen muchas variables con una correlación de tipo curvilíneo y debe ser
evaluada de otra manera.
Una forma gráfica de ver la relación entre variables son las gráficas de dispersión, donde cada punto
representa el lugar en que se cruzan las calificaciones de la primera variable (X) y la segunda variable
(Y) para cada sujeto. Si se traza una línea que cruce la mayoría de los puntos se puede apreciar el tipo
de relación (ver la siguiente figura). En las relaciones curvas, para algunas magnitudes de X, Y
incrementa, pero disminuye en otros valores de X.
Tipos de Correlación
Y
Y
X
Y
X
Directamente proporcional
X
Inversamente proporcional
Sin relación
Y
Y
X
Correlación curvilínea
X
Correlación curvilínea
67
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
68
Apuntes de Estadística Inferencial
Coeficiente de Correlación Producto-Momento de Pearson
La función de la correlación de Pearson es determinar si existe una relación lineal entre dos variables
a nivel intervalar y que esta relación no sea debida al azar (que la relación sea estadísticamente
significativa).
La correlación de Pearson se calcula mediante la siguiente fórmula:
N XY X Y
rP
2
2
N X 2 X N Y 2 Y
dónde:
N = número de sujetos
X, Y = calificaciones de las variables a relacionar
Problema para explicar el procedimiento para calcular la correlación de Pearson:
Se desea saber si existe relación entre la autoestima y la depresión en estudiantes de preparatoria.
Para ello, un investigador aplica una escala de depresión (X) en la que los estudiantes con
calificaciones más altas tienen mayor depresión; también utiliza una escala de autoestima (Y) en la
que los puntajes mayores indican mayor autoestima. Los resultados se muestran a continuación:
X
26
24
18
17
18
7
15
20
18
X = 163
X
2
= 26569
Y
8
12
26
29
30
31
19
18
28
Y = 201
Y
2
= 40401
X2
676
576
324
289
324
49
225
400
324
X 2 = 3187
Y2
64
144
676
841
900
961
361
324
784
2
Y = 5055
XY
208
288
468
493
540
217
285
360
504
XY = 3363
N=9
Procedimiento:
1. Se debe determinar el tipo de problema, el nivel de medición, la prueba estadística que debe
utilizarse y plantear la hipótesis nula que va a probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de
problema correspondiente.
Es un problema de Asociación
Nivel de medición intervalar para ambas variables
H0: No hay relación lineal entre el puntaje de depresión y el de autoestima en estudiantes de
preparatoria.
Prueba estadística: Correlación Pearson
69
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
2. Se deben elevar al cuadrado los puntajes obtenidos para la primer variable (X) y los de la segunda
(Y) y escribirlos en las columnas X2 y Y2. Multiplicar las dos calificaciones y colocar los
resultados en la columna correspondiente (XY).
3. Sumar los puntajes de las variables, así como los puntajes elevados al cuadrado de cada variable
2
2
( X 2 y Y 2 ), y elevar las sumas de las calificaciones al cuadrado ( X y Y ).
93363 163201
30267 32763
- 2496
93187 2656995055 40401 28683 2656945495 40401 21145094
4. Calcular la correlación de Pearson:
rp
- 2496
- 2496
-0.761
10768716 3281.572
5. Se debe buscar el valor crítico para la correlación Pearson,
para ello se calculan los grados de libertad (gl = N – 1) y
establecer el nivel de significancia para probar la H0, la regla
de decisión es: si el coeficiente calculado es mayor o igual
al de tabla se rechaza la hipótesis nula.
En este caso con 9 casos: gl = 9 – 1 = 8, por lo que r de tabla
al nivel de significancia de 0.05 es 0.6319. Observando el
coeficiente obtenido de -0.761, éste es mayor al compararlo
con el de tabla (no se debe considerar el signo) por lo que la
hipótesis nula se rechaza, entonces: existe una asociación
lineal entre el puntaje de depresión y el de autoestima en
estudiantes de preparatoria. Además esta relación es
moderada (está en el rango de 0.05 a 0.8) e inversamente
proporcional (tiene signo negativo).
Valores de r para diferentes
niveles de significancia
gl
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.05
.99692
.95000
.8783
.8114
.7545
.7067
.6664
.6319
.6021
.5760
.5529
.5324
5139
.1973
0.01
.999877
.990000
.95873
.91720
.8745
.8343
.7977
.7646
.7348
.7079
.6835
.6614
.6411
.6226
0.001
.9999988
.99900
.99116
.97406
.95074
.92493
.8982
.8721
.8471
.8233
.8010
La prueba de Pearson en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar / Correlaciones /
Bivariadas, los resultados para el ejemplo anterior serían los siguientes:
En el paquete estadístico siempre se presenta una matriz de correlación, en ésta se tienen todas las
variables incluidas en el análisis en los renglones y se repiten en las columnas, en el lugar en que se
cruza cada par de variables se tiene el coeficiente de Pearson y el nivel de significancia obtenido,
además del número de casos (ver datos en el círculo), como puede verse en la tabla de resultados, esta
organización nos presenta información redundante (la correlación entre la pareja de variables siempre
se repite dos veces, se pueden tomar los resultados de cualquiera de las dos). La regla de decisión
es: si el nivel de significancia es menor o igual a 0.05, se rechaza la hipótesis nula,
En el presente ejemplo se tiene una significancia de 0.017, menor a 0.05, por lo que se rechaza la
hipótesis nula, entonces: existe una asociación lineal entre el puntaje de depresión y el de autoestima
en estudiantes de preparatoria.
Además esta relación es moderada (está en el rango de 0.05 a 0.8) e inversamente proporcional (tiene
signo negativo).
70
Apuntes de Estadística Inferencial
Correlaciones
Correlaciones
Puntaje de depresión
Puntaje de autoestima
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Correlación de Pearson
Sig. (bilateral)
N
Puntaje de
depresión
1.000
.
9
-.761*
.017
9
Puntaje de
autoestima
-.761*
.017
9
1.000
.
9
*. La correlación es signif icante al niv el 0,05 (bilateral).
Reporte de resultados de la correlación Pearson
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de dispersión poniendo los valores de la primer variable
en X y los de la segunda variable en Y (forma 1), aunque se puede hacer también un diagrama ligando
ambas variables con una flecha doble (forma 2). En cualquiera de las dos formas se deben mencionar
el valor de la prueba estadística y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la
hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o
mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de
hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la que
Forma 1: Relación entre los Puntajes de
se llega. Por ejemplo:
Depresión y Autoestima*
Se encontró una asociación lineal estadísticamente
significativa, moderada e inversamente proporcional,
entre el puntaje de depresión y el de autoestima en
estudiantes de preparatoria (rP = -0.761, p < 0.05) (ver
gráfica o diagrama).
35
30
25
20
15
10
* r P = -0.761, p = 0.017
5
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio
0
7
15
17
18
18
18
20
24
26
Forma 2: Relación entre los Puntajes de
Depresión y Autoestima*
rP = -0.761*
Depresión
Autoestima
* p < 0.05
71
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
72
Apuntes de Estadística Inferencial
Coeficiente de Correlación de Spearman de Rangos Ordenados
La función de la correlación de Spearman es determinar si existe una relación lineal entre dos
variables a nivel ordinal, y que esta relación no sea debida al azar (que la relación sea
estadísticamente significativa). Aunque una de las variables pueda estar medida a nivel intervalar, de
cualquier manera se utiliza esta prueba si una de las dos está medida a nivel ordinal.
La correlación de Spearman se calcula mediante la siguiente fórmula:
6 d 2
.................................................................... (1)
rS 1 3
N N
dónde:
N = número de sujetos
d2 = diferencias entre los rangos asignados a las variables elevadas al cuadrado
Sin embargo, cuando al asignar los rangos hay valores repetidos en alguna de las variables se debe
hacer una corrección y usar la fórmula que sigue:
T TY
N 3 N 6 d 2 X
2
...................... (2)
r
S
dónde:
dónde:
N
3
N
T
2
X
TY N 3 N TX TY
T t3 t
t = número de empates en cada conjunto de rangos iguales para cada variable
Problema para explicar el procedimiento para calcular la correlación de Spearman:
Se desea saber si existe relación entre la actitud hacia el psicólogo (X) y la actitud hacia la
psicoterapia (Y), en un grupo de padres de familia. La actitud es evaluada como sigue: 1 = muy
desfavorable hasta 7 = muy favorable. Los resultados se muestran a continuación:
X
Y
RX
RY
d
d2
6
7
8
9
-1
1
7
5
9
7
2
4
5
4
7
6
1
1
3
2
5
2.5
2.5
6.25
4
6
6
8
-2
4
2
3
3
4.5
-1.5
2.25
2
3
3
4.5
-1.5
2.25
1
2
1
2.5
-1.5
2.25
2
1
3
1
2
4
N=9
d 2 27
Procedimiento:
1. Se debe determinar el tipo de problema, el nivel de medición, la prueba estadística que debe
utilizarse y plantear la hipótesis nula que se va a probar de acuerdo al nivel de medición y tipo de
problema correspondiente.
Es un problema de Asociación
Nivel de medición ordinal para ambas variables
H0: No hay relación lineal entre la actitud hacia el psicólogo y la actitud hacia la
psicoterapia, en padres de familia.
Prueba estadística: Correlación Spearman
73
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
2. En primer lugar se deben ordenar los datos de cada variable de la calificación menor a la mayor y
asignarles un rango:
Datos
ordenados de la
Variable 1 (X)
Rango
1
2
2
1
2
3
2
4
3
4
5
6
7
5
6
7
8
9
Datos
ordenados de la
Variable 2 (Y)
3
al valor más pequeño el rango 1, el valor más bajo posible es el 0
En el caso de que existan valores
el 2 que se repite 3 veces:
repetidos (llamados también
23 4
empates), el rango que les
3
3
corresponde es igual al promedio
al 3 le corresponde el lugar 5 de los rangos, es decir: la suma
al 4 le corresponde el lugar 6 de los lugares asignados de
al 5 le corresponde el lugar 7 manera secuencial entre el
al 6 le corresponde el lugar 8 número de veces que se repite
al 7 le corresponde el lugar 9 cada número
Rango
1
2
1
2
2
3
3
4
3
5
4
5
6
7
6
7
8
9
al valor más pequeño el rango 1, el valor más bajo posible es el 0
el 2 que se repite 2 veces en las En el caso de que existan valores
repetidos (llamados también
2.5
23
posiciones 2 y 3:
2.5 empates), el rango que les
2
corresponde es igual al promedio
al 3 repetido 2 veces:
de los rangos, es decir: la suma
45
4.5
de los lugares asignados de
4.5
2
manera secuencial entre el
al 4 le corresponde el lugar 6 número de veces que se repite
al 5 le corresponde el lugar 7 cada número
al 6 le corresponde el lugar 8
al 7 le corresponde el lugar 9
2a. Si se tuvieron observaciones empatadas, como en este caso, se debe determinar t para cada
conjunto de observaciones repetidas para cada variable por separado, t es el número de veces que
se repite cada calificación, y T la sumatoria de t3 - t. Al observar los empates por variable, se tiene
para X un conjunto de observaciones repetidas en la calificación 2 que tienen el rango 3, este se
repite 3 veces por lo que t para este conjunto es igual 3. Para la variable Y, hay dos conjuntos de
tangos empatados, uno en la calificación 2 con rango asignado igual a 2.5, éste se repite dos veces
por lo que t para este conjunto es igual a 2; el segundo es para la calificación 3 con rango 4.5
repetido dos veces, por lo que t para este conjunto es igual a 2.
Se pueden resumir estos datos y obtener el valor de T para cada variable como sigue:
Conjuntos
Conjuntos
2 (3)
2 (2.5)
3 (4.5)
de X
de Y
t
3
t
2
2
t3
27
t3
8
8
3
3
TX = 24
TY = 12
24
6
6
t t
t t
Es importante considerar que, si sólo una de las variables presenta rangos empatados, el valor de
T para la variable sin empates debe ser igual a 0 (T = 0).
74
Apuntes de Estadística Inferencial
3. Calcular la correlación de Spearman, en este caso, como hay empates en los rangos asignados a
las variables, debe utilizarse la fórmula (2):
rS
9
9
3
3
9 627
24 12
2
9 24 12 93 9 2412
2
729 9 162 - 36
720 162 18
2
729 92 36729 9 288 720 2 36720 288
540
540
540
0.769
518400 25920 288
492768 701.974
4. Se debe buscar el valor crítico del coeficiente Spearman en
la tabla, para ello se utiliza el número de casos (N) y el
nivel de significancia elegido para probar la hipótesis nula.
La regla de decisión es: si el coeficiente Spearman
calculado es mayor o igual al de la tabla se rechaza la
hipótesis nula.
Valores críticos del coeficiente
de correlación de Spearman
(rS) de rangos ordenados, para
una prueba bidireccional
N
5
6
7
8
9
10
11
12
0.05
1.000
0.886
0.786
0.738
0.700
0.648
0.618
0.587
0.01
0.001
1.000
0.929
0.881
0.833
0.794
0.755
0.727
1.000
0.976
0.933
0.903
0.873
0.860
El coeficiente en la tabla de valores críticos de correlación Spearman, con 9 casos al 0.05 de
significancia, es igual a 0.700, el coeficiente Spearman obtenido (0.769) es mayor al de tabla por
lo que se rechaza la hipótesis nula, entonces: existe relación lineal entre la actitud hacia el
psicólogo y la actitud hacia la psicoterapia, en padres de familia.
Esta relación es moderada (está en el rango entre 0.5 y 0.8) y directamente proporcional (tiene
signo positivo).
Muestras grandes
Cuando la cantidad de sujetos llega a 20 casos y más, se puede verificar la significancia de la prueba
convirtiendo el coeficiente de correlación a calificaciones z pues se asume que muestras grandes se
distribuyen normalmente:
z rS N 1
Por ejemplo, para el presente ejercicio:
z .769 9 1 .769 8 .7692.828 2.175
Recuérdese que la z es significativa al nivel de 0.05, cuando es mayor o igual a 1.96, por lo que la
regla de decisión es: si el valor de z es mayor o igual a 1.96 se rechaza la hipótesis nula. En
nuestro ejemplo la z (2.175) es mayor a 1.96, entonces: existe relación lineal entre la actitud hacia el
psicólogo y la actitud hacia la psicoterapia, en padres de familia. Además la correlación es moderada
(está en el rango entre 0.5 y 0.8) y directamente proporcional (tiene signo positivo).
75
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
La prueba de Spearman en el paquete estadístico SPSS se encuentra en Analizar / Correlaciones
/ Bivariadas, los resultados para el ejemplo anterior serían los siguientes:
En el paquete estadístico siempre se presenta una matriz de correlación, en ésta se tienen todas las
variables incluidas en el análisis en los renglones y se repiten en las columnas, en el lugar en que se
cruza cada par de variables se tiene el coeficiente de Spearman y el nivel de significancia obtenido,
además del número de casos (ver resultados en el círculo), esta organización presenta información
redundante ya que las correlaciones por cada pareja de variables se repiten siempre 2 veces. La regla
de decisión es: si el nivel de significancia es menor o igual a 0.05 se rechaza la hipótesis nula.
En el presente ejemplo, el nivel de significancia (0.015) es menor a 0.05, por lo que se rechaza la
hipótesis nula, entonces: existe relación lineal entre la actitud hacia el psicólogo y la actitud hacia la
psicoterapia, en padres de familia. Además la correlación es moderada (está en el rango entre 0.5 y
0.8) y directamente proporcional (tiene signo positivo).
Correlaciones no paramétricas
Correlaciones
Actitud hacia
el psicólogo
Rho de Spearman
Actitud hacia el psicólogo
Actitud hacia la
psicoterapia
Coef iciente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
Coef iciente de
correlación
Sig. (bilateral)
N
1.000
.
9
.769*
.015
9
Actitud hacia
la
psicoterapia
.769*
.015
9
1.000
.
9
*. La correlación es signif icativ a al niv el 0,05 (bilateral).
Reporte de resultados de la correlación Spearman
Para esta prueba se puede utilizar una gráfica de dispersión poniendo los valores de la primer variable
en X y los de la segunda variable en Y, aunque se puede hacer también un diagrama ligando ambas
variables con una flecha doble, esta forma es la que se va a usar para ejemplificar los resultados de la
correlación Spearman. En cualquiera de las dos opciones se deben mencionar el valor de la prueba
estadística y el nivel de significancia con que se está rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se
puede poner el valor de probabilidad obtenido o simplemente decir que es menor, o mayor, al valor
que hayamos elegido para la prueba de hipótesis. Además se debe escribir la conclusión a la que se
llega. Por ejemplo:
Se encontró una relación lineal estadísticamente
significativa, moderada y directamente proporcional,
entre la actitud hacia el psicólogo y la actitud hacia la
psicoterapia, en padres de familia (rS = 0.769, p =
0.015) (ver diagrama).
Estos datos se utilizarán para hacer la discusión posterior
de los resultados encontrados en el estudio
76
Relación entre la Actitud Hacia el
Psicólogo y la Actitud Hacia la
Psicoterapia*
Actitud hacia
el Psicólogo
* p < 0.05
rS = 0.769*
Actitud
hacia la
psicoterapia
Apuntes de Estadística Inferencial
Coeficiente de Correlación Phi
La función de la correlación Phi es determinar si existe una relación entre dos variables a nivel
nominal con dos valores cada una (dicotómicas) y que esta relación no sea debida al azar (que la
relación sea estadísticamente significativa).
La correlación Phi se calcula mediante la siguiente fórmula:
BC AD
r
A B C D A C B D
dónde:
A, B, C y D son las frecuencias observadas en una tabla de contingencia de 2 x 2
A
B
A+B
C
D
C+D
A+C
B+D
N
Problema para explicar el procedimiento para calcular la correlación Phi:
Se desea saber si existe relación entre el consumo de alcohol del padre y el consumo de alcohol de
estudiantes de preparatoria. Los resultados se resumen en la siguiente tabla de contingencia:
Consumo de alcohol
del padre
No bebedor Bebedor
Consumo de No bebedor
alcohol de
Bebedor
estudiantes de
Preparatoria Total
Total
80
30
110
9
21
30
89
51
N = 140
Procedimiento:
1. Se debe determinar el tipo de problema, el nivel de medición, la prueba estadística que debe
utilizarse y plantear la hipótesis nula que va a ser probada de acuerdo al nivel de medición y tipo
de problema correspondiente.
Es un problema de Asociación
Nivel de medición nominal (dicotómico) para ambas variables
H0: No hay relación entre el consumo de alcohol del padre y el consumo de alcohol de
estudiantes de preparatoria.
Prueba estadística: Correlación Phi
2. Se tiene que organizar la información en una tabla de contingencia de dos por dos y obtener los
totales por renglón y por columna (A + B, C + D, A + C y B + D).
3. Calcular la correlación Phi:
930 8021 270 1680
- 1410
1410
r
0.364
110308951 14978700 3870.233 3870.233
77
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
4. El coeficiente Phi está relacionado con la prueba de Chi cuadrada, por esa razón debe calcularse
la Chi cuadrada de 2 x 2 (fórmula de la página 37) y comparar el resultado con la tabla de valores
críticos que se encuentra en la misma página, la regla de decisión para rechazar la hipótesis
nula al depender de la prueba de Chi cuadrada es: si se rechaza la H0 relacionada con la
prueba de Chi cuadrada, también debe ser rechazada la hipótesis nula de la correlación Phi.
4a. Calcular la chi cuadrada:
140
1408021 309
1401680 - 270 702 14013402 1401795600
2
X2
110308951
14978700
14978700
14978700
251384000
X2
16.783
14978700
2
Recuérdese que se tiene que comparar la Chi cuadrada obtenida con el valor de tabla de valores
críticos de Chi cuadrada (ver la tabla en la página 36), este valor se busca utilizando un grado de
libertad y el nivel de significancia elegido para probar la hipótesis nula. La regla de decisión es:
si el valor de X2 obtenido es mayor o igual al de tabla se rechaza la hipótesis nula.
Con 1 grado de libertad al nivel de significancia de 0.05 se tiene un valor de X2 en tabla de 3.841,
el valor obtenido de X2 (16.783) es mayor al de tabla por lo que se rechaza la hipótesis nula, por
lo tanto la hipótesis nula de la prueba Phi se rechaza también, entonces: existe relación entre el
consumo de alcohol del padre y el consumo de alcohol de estudiantes de preparatoria. Además
esta relación es baja (está en el rango de 0.3 a 0.5) y directamente proporcional (tiene signo
positivo).
La correlación Phi en el paquete SPSS
En el paquete estadístico la Phi se encuentra en Analizar / Estadísticos descriptivos / Tablas de
contingencia, no es tan importante determinar cuál de las variables va en las columnas y cuál en los
renglones ya que no hay variable dependiente e independiente. Se debe elegir en la sección de
estadísticas la Phi. Se presentan resultados como los siguientes:
Tablas de contingencia
Tabla de contingencia Consumo de alcohol del estudi ante * Consumo de
alcohol del padre
Recuent o
Consumo de alcohol
del estudiant e
Total
78
No bebedor
Bebedor
Consumo de alcohol del
padre
No bebedor
Bebedor
80
30
9
21
89
51
Total
110
30
140
La primera parte es la tabla de
contingencia con la distribución de
frecuencias.
Apuntes de Estadística Inferencial
Medidas simétricas
Nominal por
nominal
Phi
V de Cramer
N de casos v álidos
Valor
.364
.364
140
Sig.
aproximada
.000
.000
Finalmente, se tiene al coeficiente de
correlación Phi y el nivel de significancia
(ver datos en el recuadro). La regla de
decisión es: si el nivel de significancia es
menor o igual a 0.05 se rechaza la
hipótesis nula.
a. Asumiendo la hipótesis alternativ a.
b. Empleando el error típico asintótico basado en la hipót esis
nula.
En este ejemplo con un coeficiente Phi de
0.364 y una significancia igual a 0.000,
este nivel de significancia es menor a 0.05 por lo que se rechaza la hipótesis nula, es así que: existe
relación entre el consumo de alcohol del padre y el consumo de alcohol de estudiantes de
preparatoria. Además esta relación es baja (está en el rango de 0.3 a 0.5) y directamente proporcional
(tiene signo positivo)
Reporte de resultados de la correlación Phi
Para esta prueba se puede utilizar un diagrama ligando ambas variables con una flecha doble, además
se deben mencionar el valor de la prueba estadística y el nivel de significancia con que se está
rechazando, o aceptando, la hipótesis nula. Se puede poner el valor de probabilidad obtenido o
simplemente decir que es menor, o mayor, al valor que hayamos elegido para la prueba de hipótesis.
Además se debe escribir la conclusión a la que se llega. Por ejemplo:
Se
encontró
una
relación
estadísticamente
significativa, baja y directamente proporcional, entre
el consumo de alcohol del padre y el consumo de
alcohol de estudiantes de preparatoria. (r = 0.364, p =
0.000) (ver diagrama).
Estos datos sirven para hacer la discusión posterior de los
resultados encontrados en el estudio
Relación entre el Consumo de Alcohol del
Padre y el Consumo de Alcohol de
Estudiantes de Preparatoria*
Consumo de
Alcohol del
Padre
r = 0.364*
Consumo de
Alcohol de
Estudiantes de
Preparatoria
* p < 0.001
79
Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
80
Apuntes de Estadística Inferencial
Referencias Bibliográficas
Brown, F. G. (2000). Principios de la medición en psicología y educación (1ra. ed.). México: El
Manual Moderno.
Daniel, W. (1999). Bioestadística. Bases para el análisis de las ciencias de la salud. México: Ed.
Noriega.
Downie, M. y Heath, R. (1973). Métodos estadísticos aplicados. México: Harper & Row
Latinoamericana.
Ferrán, M. (1996). SPSS para Windows: Programación y análisis estadístico. Madrid: Mc Graw Hill.
Levin, J. (1979). Fundamentos de estadística en la investigación social (2da. ed.). México: Editorial
Harla.
Ritchey, F. J. (2002). Estadística para las Ciencias Sociales: El Potencial de la Imaginación
Estadística. México: Mc Graw Hill.
Paquete Estadístico para las Ciencias Sociales (SPSS) para Windows versión 10.0.7 en español
[Software de computadora]. (2000). Chicago, E. U.: SPSS, Inc.
Siegel, S. (1990). Estadística no Paramétrica (3ra. ed.). México: Editorial Trillas.
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Francisco Juárez, Jorge A. Villatoro y Elsa Karina López
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