X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
FUNÇÃO QUADRÁTICA – ANÁLISE DAS ALTERAÇÕES GRÁFICAS
MEDIANTE A MODIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DA EXPRESSÃO
ALGÉBRICA
Elisabete Rambo Braga
Colégio Farroupilha/POA
erambo@ibest.com.br
Lorí Viali
Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul
Universidade Federal do Rio Grande de Sul
viali@pucrs.br
Resumo: O presente artigo é resultado de uma pesquisa desenvolvida durante uma
dissertação de Mestrado. A referida investigação objetivou a analise das potencialidades
da planilha na compreensão do conceito de função quadrática por meio da coordenação
dos registros de representação algébrico, tabular e gráfico. Com base na teoria dos
Registros de Representações Semióticas de Raymond Duval são discutidas e analisadas
sete atividades que evidenciam a possibilidade de transferência entre esses registros.
Fez-se a apreciação dos dados coletados mediante a categorização das respostas dos
participantes às questões feitas nos roteiros. Constatou-se que esse aplicativo permite a
análise das modificações ocorridas em uma função a partir da alteração dos seus
parâmetros, transformando a planilha em um bom recurso pedagógico, uma vez que os
alunos detêm sua atenção na interpretação de suas ações.
Palavras-chave: Função Quadrática; Registros de Representação Semióticas; Planilha.
INTRODUÇÃO
Neste início de milênio, vivemos a Era da Tecnologia e da Comunicação.
Acessar e utilizar adequadamente as informações possibilita aos indivíduos a formação
de uma “bagagem” cultural adequada ao exercício da cidadania consciente. Levando em
consideração a velocidade das descobertas tecnológicas, se faz necessária uma educação
permanente, que vise ao desenvolvimento de habilidades para obtenção e utilização das
informações.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
1
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Nessa perspectiva, este trabalho se propôs a investigar a compreensão do
conceito de função quadrática, com a utilização da planilha, permitindo a
experimentação, a coordenação e a visualização conjunta de suas representações
analítica, tabular e gráfica.
Além disso, objetivou-se a exploração de um determinado modelo de função nas
condições mais diversas, de forma a facilitar a apreensão dessa noção por meio da
modificação de seus parâmetros e da análise das consequências dessas alterações.
A COMPREENSÃO DE UM CONCEITO MATEMÁTICO E A TEORIA DE DUVAL
Como aporte teórico, optou-se pela Teoria dos Registros de Representações
Semióticas de Raymond Duval1. Nessa concepção, é dado enfoque à coordenação dos
registros de representações semióticas2 de um mesmo objeto de estudo, a fim de que
esse seja compreendido em sua totalidade.
A atividade matemática consiste na mudança das representações, de forma
intrínseca, por meio de dois tipos de transformações: tratamento e conversão (DUVAL,
2003; 2006). O tratamento se estabelece internamente a um determinado tipo de
registro, enquanto a conversão ocorre entre os registros, de forma a conservar a
totalidade ou parte do objeto matemático estudado DAMM (2008).
Damm (2008) sublinha que inúmeras pesquisas em Educação Matemática
constataram a dificuldade do discente na compreensão de determinado conceito
matemático é decorrência da não transposição de uma representação para outra. A
referida autora afirma que: “Ele consegue fazer tratamentos em diferentes registros de
representação de um mesmo objeto matemático, porém, é incapaz de fazer as
conversões necessárias para a apreensão desse objeto.” (DAMM, 2008, p. 168).
O pensamento matemático requer, portanto, a ativação em paralelo de dois ou
três registros, mesmo que apenas um pareça ser o suficiente sob o ponto de vista
1
Filósofo e Psicólogo francês, seus estudos são direcionados à Psicologia Cognitiva, enfatizando a
atividade matemática e os problemas referentes à sua aprendizagem.
2
Denominação utilizada para a ciência geral do signo; semiologia.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
matemático (DUVAL, 1999). De acordo com a essa teoria, Damm (2008) enfatiza que
não há construção de um determinado conhecimento matemático sem que haja
mobilização entre seus registros. É imprescindível a articulação entre duas
representações de um mesmo tópico a fim de que haja apreensão dos conceitos. A
mudança de registro, portanto, não implica apenas a alteração da forma de tratamento de
um mesmo objeto, mas, para haver a articulação entre esses aspectos, é necessário
explicitar suas propriedades e diferenças, sendo essa uma condição essencial para a
compreensão de um conceito (DUVAL, 2003).
A PLANILHA E A COMPREENSÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA
Sob a perspectiva que considera o educando construtor do próprio conhecimento
matemático, existem programas que permitem fazer conjecturas, testar hipóteses,
estabelecer relações e mesmo generalizar.
Em consonância com essa concepção, Morgado (2003) subdivide esses
programas em dois subgrupos. Na primeira categoria, encontram-se os softwares
projetados para fins educacionais e que podem ser utilizados como ferramentas
pedagógicas. No segundo grupo, encontram-se os aplicativos produzidos com
finalidades mais amplas, os quais podem ser explorados com fins educativos: são os
construtores e transformadores gráficos, calculadores numéricos, enfim, os programas
que viabilizam a criação e a manipulação de bancos de dados apresentados em
planilhas.
A planilha possibilita a escrita de equações em sintaxe simples, a execução de
cálculos com rapidez e propagação das atualizações e das alterações de forma
automática. Em decorrência dessas facilidades, é possível que o usuário se concentre no
assunto principal sem perder o foco em outras tarefas auxiliares e paralelas. O software
permite a construção gráfica, viabilizando a coordenação das múltiplas representações
de uma função e, consequentemente, possibilitando a compreensão de tal conceito.
Além disso, alguns aspectos, como a translação e a simetria de funções, podem ser
facilmente construídos, com base nas vantagens mencionadas anteriormente.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
3
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Assim, esse trabalho fez uso da planilha de cálculo na apreensão do
conhecimento sobre função quadrática, tendo em vista que essa ferramenta possibilita a
exploração simultânea das representações algébrica, tabular e gráfica, permitindo,
também, a transferência entre esses registros, conforme ilustra a Figura 1:
Representação
Algébrica
Representação
Gráfica
Representação
Tabular
Figura 1 – Possibilidades de transferência de registros ao utilizar a planilha
METODOLOGIA
Os pressupostos teóricos dessa pesquisa foram definidos a partir de teorias
ideográficas, visto que, nessa concepção, a realidade é construída através da interação
pesquisador - objeto de pesquisa e pesquisador - co-pesquisadores. A investigação
valeu-se da descrição dos dados coletados e analisados através do estabelecimento dos
avanços teóricos ocorridos, procurando, desse modo, buscar uma compreensão mais
aprofundada desses elementos, identificando unidades de significado para, então,
organizá-las em categorias emergentes.
Para Gomes (1998) a categorização está associada à idéia de classificar ou de
seriar, por meio do agrupamento de elementos, de idéias ou de expressões que
explicitem características comuns referentes a um determinado conceito. Fiorentini e
Lorenzato (2006, p. 135) afirmam que essas classes “[...] são obtidas, mediante um
processo interpretativo, diretamente do material de campo”.
A referida pesquisa foi desenvolvida com 29 alunos da 8ª série do ensino
fundamental de uma escola particular da capital gaúcha.
APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DE ATIVIDADES REALIZADAS
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
4
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
As atividades apresentadas a seguir visaram, a partir da apreciação gráfica e
paramétrica, o reconhecimento, por parte dos discentes, de pontos notáveis da parábola:
vértice, intersecção com o eixo das ordenadas e abscissas, bem como à análise da
variação do sinal das funções. As situações propostas objetivaram a observação e a
descrição das características dos gráficos e das expressões algébricas.
O roteiro iniciou com apresentação da definição de função quadrática. A partir
disso, foi solicitada a construção de seis diferentes gráficos de função de 2º grau, com
base em tabelas pré-definidas.
Optou-se por determinar alguns pontos do domínio para que os discentes
calculassem, com auxílio do software, as respectivas imagens e, então, pudessem
visualizar nos gráficos os pontos notáveis das referidas funções.
a) Utiliza o Excel para construir os gráficos das seguintes funções, a partir das
respectivas tabelas.
2x 2
a1) y
8
a2 ) y
x2
6 x 11
a3) y
x 2 10 x 25
a4)
y
x2
6x
a5 ) y
x2
6x 9
a6 ) y
a4 ) y
x2
2x 2 1
6 x a5 )
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
5
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
x2
y
x2
a4) y
a4 ) y
x2
6x 9
6x
6x
a5 )
y
x2
6x 9
a4)
y
x2
6x
a4) y
x2
6x
a5 ) y
x2
6x 9
a6 ) y
2x 2 1
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
6
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
De maneira geral,
os
discentes
realizaram a primeira
tarefa com facilidade.
Apenas, na tarefa de
determinação
da
fórmula para calcular
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
7
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
as imagens do gráfico
do item a3, na sintaxe
da planilha, os alunos
solicitaram
visto
auxílio,
que
era
necessário
colocar
parênteses
na
variável quadrática, a
fim de que o software
calculasse,
primeiramente,
o
x2
para,
valor de
então, multiplicar por
1,
respeitando,
dessa forma, a ordem
das
operações
matemáticas.
De maneira geral, os
discentes realizaram
a primeira tarefa com
facilidade.
na
Apenas,
tarefa
de
determinação
da
fórmula para calcular
as imagens do gráfico
do item a3, na sintaxe
da planilha, os alunos
solicitaram
visto
que
necessário
auxílio,
era
colocar
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
8
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
parênteses
na
variável quadrática, a
fim de que o software
calculasse,
primeiramente,
o
x2
para,
valor de
então, multiplicar por
1,
respeitando,
dessa forma, a ordem
das
operações
matemáticas.
geral,
De
maneira
os
discentes
realizaram a primeira
tarefa com facilidade.
Apenas, na tarefa de
determinação
da
fórmula para calcular
as imagens do gráfico
do item a3, na sintaxe
da planilha, os alunos
solicitaram
visto
auxílio,
que
era
necessário
colocar
parênteses
na
variável quadrática, a
fim de que o software
calculasse,
primeiramente,
o
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
9
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
valor de
x2
para,
então, multiplicar por
1,
respeitando,
dessa forma, a ordem
das
operações
matemáticas.
De maneira geral, os discentes realizaram a primeira tarefa com facilidade.
Apenas, na tarefa de determinação da fórmula para calcular as imagens do gráfico do
item a3, na sintaxe da planilha, os alunos solicitaram auxílio, visto que era necessário
colocar parênteses na variável quadrática, a fim de que o software calculasse,
primeiramente, o valor de x 2 para, então, multiplicar por
1, respeitando, dessa forma,
a ordem das operações matemáticas.
b) Denominamos vértice da parábola o ponto que a separa em duas partes: uma
sempre crescente e outra sempre decrescente. Em cada uma das funções acima, analisa
o gráfico construído e determina as coordenadas do vértice.
A maioria dos discentes identificou com facilidade o vértice de cada uma das
parábolas, utilizando os recursos da planilha (cursor) e reconheceu que, dependendo da
concavidade da mesma, esse é o ponto máximo ou mínimo da função. Esse último
aspecto foi percebido, por meio das discussões feitas no grupo, durante a realização
dessa questão. Responderam corretamente todos os itens dessa questão 79,3% dos
participantes, os demais responderam de forma correta a algumas categorias requeridas
pelas perguntas.
c) Existe algum eixo de simetria nas parábolas construídas anteriormente? Em
caso afirmativo, explica qual é esse eixo.
As respostas foram categorizadas, conforme mostra a Tabela 1:
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
10
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Tabela 1 – Distribuição das respostas do item c
Categorias
Alunos
Percentual (%)
A – Definiram o eixo de simetria como uma reta que intercepta
o vértice e é paralela ao eixo das ordenadas
14
48,3
B – Definiram o eixo de simetria como uma reta que intercepta
o vértice e é perpendicular ao eixo das abscissas
2
6,9
C – Identificaram que o eixo de simetria intercepta o vértice
6
20,7
D – Reconheceram que o eixo de simetria intercepta a parábola
e é paralelo ao eixo das ordenadas
1
3,4
E – Reconheceram que o eixo de simetria é paralelo ao eixo
das ordenadas
2
6,9
F – Responderam de forma incorreta
4
13,8
Total
29
100,0
A maioria dos estudantes reconheceu a existência de um eixo de simetria na
parábola, no entanto, o que variou nas respostas foi a forma de defini-lo. Nas duas
primeiras categorias, a definição foi escrita de forma precisa. A seguir, na Figura 2, são
apresentados dois exemplos de respostas das Categorias A e B, respectivamente.
Figura 2 – Protocolo de registro de alunos – item c –
Categorias A e B
Verificou-se que 51,7% dos
participantes apresentaram, em seus registros em
língua natural, dificuldades em elaborar uma
definição precisa do eixo de simetria de uma
parábola, apresentando, em 37,9% dos registros
escritos, descrições incompletas.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
11
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Verificou-se que 51,7% dos participantes apresentaram, em seus registros em
língua natural, dificuldades em elaborar uma definição precisa do eixo de simetria de
uma parábola, apresentando, em 37,9% dos registros escritos, descrições incompletas.
d) Tu deves ter verificado que a parábola sempre intercepta o eixo das
ordenadas em apenas um ponto. Determina, em cada gráfico do item a, as coordenadas
do ponto de intersecção da parábola com o eixo y .
Ao resolver o primeiro item dessa questão, os discentes perceberam que o ponto
de interseção com o eixo das ordenadas era o mesmo que o do vértice e, vários deles,
fizeram uma conjectura: esses pontos tinham as mesmas coordenadas para todas as
funções. Em decorrência desse fato, os estudantes foram questionados, pela professorapesquisadora, se, na segunda função, a partir da análise de seu respectivo gráfico
também esses pontos iriam coincidir. Ao identificarem que os pontos não eram iguais,
os alunos analisaram as demais representações gráficas de cada uma das funções
propostas. 72,4% desses discentes acertaram todos os itens da referida questão; 10,3%
ainda determinaram, erroneamente, as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo
y como sendo as coordenadas do vértice nos itens a2, a3, a4 e a5.
Outros 10,3% responderam de forma incorreta apenas para a função
y
x 2 10 x 25 , visto que sua representação gráfica não permitia a visualização
desse ponto. E, finalmente, 7% dos respondentes analisaram de forma incorreta as
funções a3 e a5, apresentando, nesses casos, as coordenadas do ponto de tangência com
o eixo das abscissas.
e) O que as coordenadas do ponto de intersecção da parábola com o eixo y
têm em comum?
Dos vinte e nove protocolos de registros apreciados, 70% reconheceram que a
parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto 0; c . Já 20,7% identificaram que a
abscissa desse ponto de interseção é sempre zero e não fizeram menção a sua ordenada.
Responderam de forma incorreta 10,3% dos discentes.
f) A parábola pode interceptar o eixo das abscissas em dois ou, em um ponto
ou, ainda, não interceptar esse eixo. Esses pontos de intersecção com o eixo das
abscissas são denominados de zeros da função
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
12
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Determina os zeros de cada uma das funções do item a, caso ele(s) exista(m).
Essa questão foi respondida por 75,8% dos participantes mediante a análise
gráfica. Desses 59% responderam corretamente todos os itens da questão, enquanto
4,5% afirmaram erroneamente que as funções dos itens a3 e a5 não interceptavam o eixo
das abscissas. Com efeito, as referidas funções são tangentes ao eixo x .
Ocorreram uma ou duas respostas incorretas em 27,5% dos protocolos
analisados, e 9% dos estudantes responderam incorretamente a todos os itens. Já 24,1%
fizeram uso da conversão da representação gráfica para a algébrica, resolvendo as
equações para
f x
0 . Desse grupo que estabeleceu a conversão, 14,2% não
conseguiram concluir a questão, faltando três dos itens propostos, e os demais foram
respondidos corretamente.
g) Além disso, a parábola pode ter sua concavidade ou abertura voltada para
cima ou para baixo. Observa os gráficos construídos e responde: a concavidade de
uma parábola depende do quê?
Segue, na Tabela 2, a distribuição das respostas segundo as categorias.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
13
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Outros 10,3% responderam de forma incorreta apenas para a função
y
x 2 10 x 25 , visto que sua representação gráfica não permitia a visualização
desse ponto. E, finalmente, 7% dos respondentes analisaram de forma incorreta as
funções a3 e a5, apresentando, nesses casos, as coordenadas do ponto de tangência com
o eixo das abscissas.
e) O que as coordenadas do ponto de intersecção da parábola com o eixo y
têm em comum?
Dos vinte e nove protocolos de registros apreciados, 70% reconheceram que a
parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto 0; c . Já 20,7% identificaram que a
abscissa desse ponto de interseção é sempre zero e não fizeram menção a sua ordenada.
Responderam de forma incorreta 10,3% dos discentes.
f) A parábola pode interceptar o eixo das abscissas em dois ou, em um ponto
ou, ainda, não interceptar esse eixo. Esses pontos de intersecção com o eixo das
abscissas são denominados de zeros da função
Determina os zeros de cada uma das funções do item a, caso ele(s) exista(m).
Essa questão foi respondida por 75,8% dos participantes mediante a análise
gráfica. Desses 59% responderam corretamente todos os itens da questão, enquanto
4,5% afirmaram erroneamente que as funções dos itens a3 e a5 não interceptavam o eixo
das abscissas. Com efeito, as referidas funções são tangentes ao eixo x .
Ocorreram uma ou duas respostas incorretas em 27,5% dos protocolos
analisados, e 9% dos estudantes responderam incorretamente a todos os itens. Já 24,1%
fizeram uso da conversão da representação gráfica para a algébrica, resolvendo as
equações para
f x
0 . Desse grupo que estabeleceu a conversão, 14,2% não
conseguiram concluir a questão, faltando três dos itens propostos, e os demais foram
respondidos corretamente.
g) Além disso, a parábola pode ter sua concavidade ou abertura voltada para
cima ou para baixo. Observa os gráficos construídos e responde: a concavidade de
uma parábola depende do quê?
Segue, na Tabela 2, a distribuição das respostas segundo as categorias.
Tabela 2 – Distribuição das respostas do item g
Categorias
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Alunos
Percentual
(%) 14
Comunicação
Científica
A – Determinaram para quais valores de a a parábola tem sua
concavidade voltada para cima ou para baixo
B – Reconheceram que a concavidade da parábola depende do
13
44,8
7
24,2
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
Essas atividades proporcionaram aos estudantes situações de aprendizagem que
objetivaram a análise das regularidades na função quadrática, bem como a comunicação
dessas por meio da linguagem natural escrita e oral. Lopes (2003, p. 91) corrobora essa
idéia, ao afirmar que: “A procura de regularidades, a compreensão e a forma de
comunicação dessas regularidades são tarefas importantes no estudo dos mecanismos
que ocorrem na natureza.”
CONSIDERAÇÕES FINAIS
De acordo com o referencial teórico adotado, as atividades realizadas na planilha
objetivaram o trabalho concomitante com as diferentes representações das funções de 2º
grau. Essa ferramenta proporciona a construção gráfica vinculada às expressões
algébricas e às representações tabulares, permitindo a exploração, por parte dos
usuários, das modificações ocorridas nos gráficos e nas tabelas, mediante as alterações
dos parâmetros das funções.
O referido aspecto pôde ser observado no desenvolvimento das atividades
apresentadas. A partir da apreciação dos protocolos escritos, verificou-se que os
discentes descreviam as alterações gráficas ocorridas com maior detalhamento à medida
que avançavam na realização das atividades.
Conclui-se, então, que, a utilização da planilha, de modo geral, com esse grupo
de alunos, facilitou a compreensão do conceito de função na perspectiva de um trabalho
que enfatizasse a conversão entre os registros de representação algébrico, tabular e
gráfico, conforme preconiza a Teoria dos Registros de Representação Semióticos
Raymond Duval.
REFERÊNCIAS
DAMM, Regina Flemming. Registros de Representação In: MACHADO, Sílvia Dias
Alcântara (org.). Educação matemática: Uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC,
2008. p. 167-188.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
15
X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
DUVAL, Raymond. Representation, vision and visualization: Cognitive functions in
mathematical thinking. Basic issues for learning. The Psycology of Mathematics
Education v.1, n. 1, p.2-26, Oct. 1999.
______. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da
Compreensão em Matemática. In: MACHADO, Sílvia Dias Alcântara (org.).
Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. Campinas:
Papirus, 2003. p. 11-33.
______. A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of
mathematics. Educational Studies in Mathematics, v. 61, n. 1, p. 103-131, Feb. 2006.
FIORENTINI, DARIO; LORENZATO, Sergio. Investigação em educação matemática:
percursos teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
GOMES, Romeu. A análise de dados em pesquisa qualitativa. In: MINAYO, Maria
Cecília de Souza (Org.). Pesquisa Social: teoria método e criatividade. Petrópolis:
Vozes 1998. p. 67-80.
LOPES, Wagner Sanches. A importância da utilização de múltiplas representações no
desenvolvimento do conceito de função: uma proposta de ensino. 2003. 106 f.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - PUC, São Paulo, 2003.
MORGADO, Maria José Lenharo. Formação de professores de matemática para o uso
pedagógico de planilhas eletrônicas de cálculo de análise de um curso a distância via
internet. 2003. 284 f. Tese (Doutorado em Educação) - UFSC, Florianópolis, 2003.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática
Comunicação Científica
16