Newton metodu

Sayısal analizde, Newton-Raphson yöntemi olarak da bilinen ve adını Isaac Newton ve Joseph Raphson'dan alan Newton metodu, gerçel değerli bir fonksiyonun köklerine (veya sıfırlarına) art arda daha iyi yaklaşımlar üreten bir kök bulma algoritmasıdır . En temel versiyonu, tek bir gerçek değişkenli x için tanımlı olan f fonksiyonu, fonksiyonun türevi f ′ ve f 'in bir kökü için bir x₀ başlangıç tahmini ile başlar. Fonksiyon yeterli ön kabulleri karşılıyorsa ve ilk tahmin yakınsa, o zaman

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

x₀, kök için daha iyi bir yaklaşımıdır. Geometrik olarak, (x₁, 0) noktası f 'in grafiğine (x₀, f (x₀)) noktasında çizilen teğet ile x ekseninin kesişimi : yani, geliştirilmiş tahmin, önceki noktadaki doğrusal yaklaşımın bir köküdür. Yeterince yakın bir değere ulaşılana kadar işlem şu şekilde tekrarlanır:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

bu algoritma Householder'ın yöntemleri sınıfında ilk olup, Halley'in yöntemiyle takip edilir. Yöntem ayrıca karmaşık fonksiyonlara ve denklem sistemlerine genişletilebilir.

f fonksiyonu mavi, teğet doğru ise kırmızı ile gösterilmiştir.x_{n + 1}'in x_n'den daha iyi bir kök yaklaşımı olduğunu görüyoruz.

Buradaki fikir, gerçek köke makul ölçüde yakın olan bir ilk tahminle başlamak, daha sonra kalkülüs kullanarak teğet doğrusuna göre fonksiyonu yakınsamak ve son olarak da bu teğet doğrunun x ekseniyle kesişimini temel cebir ile hesaplamaktır. x ekseniyle yapılan yeni kesişim, genel olarak ana fonksiyonun köküne ilk tahminden daha iyi bir yaklaşım olacaktır ve yöntem yinelenebilir .

Daha resmi olarak, varsayalım f : (a, b) → ℝ,türevlenebilir, (a, b) aralığında tanımlı gerçel sayı değerli bir fonksiyon olsun ve en güncel yaklaşımımız x_n olsun . Daha sonra sağdaki diyagrama bakarak daha iyi bir x_{n + 1} yaklaşımı için bir formül çıkartabiliriz. y = f (x) eğrisine x = x_n değerindeki teğet doğrunun denklemi

$y=f'(x_{n})\,(x-x_{n})+f(x_{n})$