Hoppa till innehållet

Tangentfyrhörning

Från Wikipedia

Exempel på en tangentfyrhörning

En tangentfyrhörning eller en omskriven fyrhörning är en fyrhörning i vilken en cirkel kan inskrivas, alltså en cirkel som invändigt tangerar alla fyra sidorna.^[1] Medelpunkten hos denna cirkel ligger i skärningspunkten för bisektriserna till de fyra hörnvinklarna. Dessa bisektriser skär inte varandra i en punkt i alla fyrhörningar, utan endast i de fyrhörningar som kan ha en inskriven cirkel. Att bisektrisernas skär varandra är således ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en fyrhörning ska ha en inskriven cirkel.^[2]

Exempel på tangentfyrhörningar är drake, romb och kvadrat. En fyrhörning är en tangentfyrhörning om och endast om dess konsekutiva sidor a, b, c och d uppfyller a + c = b + d (se figuren till höger), vilket kallas Pitots sats.^[2]

De viktigaste storheterna hos en tangentfyrhörning uttrycks inte i sidornas längder utan i de fyra tangentlängderna.^[3] Med tangentlängderna menas avstånden från de fyra hörnen till de punkter på sidorna där den inskrivna cirkeln tangerar sidorna. De fyra tangentlängderna som utgår ifrån hörnen A, B, C, D betecknas e, f, g, h respektive (se nedre figuren till höger). Då gäller formlerna nedan.

Area

[redigera | redigera wikitext]

En tangentfyrhörning med tangentlängderna e, f, g, h har arean^[4]

K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.

Inskrivna cirkelns radie

[redigera | redigera wikitext]

Tangentlängderna och inskrivna cirkelns radie

Den i en tangentfyrhörning inskrivna cirkeln har en radie som ges av^[4]^[5]^{:Lemma 2}

r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Vinklar

[redigera | redigera wikitext]

Hörnvinklarna i en tangentfyrhörning ABCD kan uttryckas i tangentlängderna e, f, g, h som^[3]^{:Theorem 8}

\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},

\sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},

\sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},

\sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.

Diagonaler

[redigera | redigera wikitext]

Längderna på diagonalerna p = AC och q = BD i en tangentfyrhörning ABCD ges av^[5]^{:Lemma 3}

\displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},

\displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Cyklisk fyrhörning

Referenser

[redigera | redigera wikitext]

^ Kevius, Bruno, Fyrhörning, Matematik minimum, [1], hämtat 2018-05-13
^ [a b] Andreescu, Titu och Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, sid. 64–68.
^ [a b] Josefsson, Martin (2010), ”Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral”, Forum Geometricorum 10: 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf Arkiverad 13 augusti 2011 hämtat från the Wayback Machine..
^ [a b] Casey, John, A Treatise on Plane Trigonometry, Figgis, Dublin, 1888, sid. 188.
^ [a b] Hajja, Mowaffaq (2008), ”A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic”, Forum Geometricorum 8: 103–106, http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf Arkiverad 26 november 2019 hämtat från the Wayback Machine..

Hämtad från ”https://sv.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangentfyrhörning&oldid=55932685”

Polygoner