Relasjon er innen matematikk et forhold mellom to (eller flere) matematiske objekter. Relasjoner spiller en viktig rolle innen alle områder av matematikken. Noen eksempler på enkle relasjoner som brukes i forbindelse med tall er «større enn», «mindre enn» og «er lik». For eksempel betyr \(a > b\) at tallet \(a\) er større enn tallet \(b\).
Noen eksempler på viktige relasjoner innen mengdelære er «er delmengde av», som uttrykkes ved symbolet \(\subseteq\), og «er element i», som uttrykkes ved symbolet \(\in\).
Alle de ovennevnte relasjonene sier noe om forholdet mellom to objekter. Dette kalles binære relasjoner. En binær relasjon \(R\) er fullstendig bestemt når man vet hvilke par \((a,b)\) av objekter \(a\) og \(b\) den stemmer for, og den kan derfor uttrykkes som mengden av alle de parene \((a,b)\) der \(aRb\) gjelder. \(aRb\) betyr her det samme som «\(a\) står i relasjon \(R\) til \(b\)». Dette kan vi også skrive som \(R(a,b)\). En binær relasjon \(R\) på en mengde \(M\) kan sees på som en delmengde av produktmengden \(M \times M\), det vil si mengden av alle par \(a,b\) der \(a\in M\) og \(b \in M\) og der to par \(a_1, b_1\) og \(a_2,b_2\) ansees som identiske hvis \(a_1 = a_2 \) og \(b_1 = b_2\).
Binære relasjoner klassifiseres blant annet ved hjelp av følgende egenskaper:
- \(R\) er refleksiv hvis \(aRa\) for alle \(a \in M\)
- \(R\) er symmetrisk hvis \(aRb\) medfører \(bRa\)
- \(R\) er transitiv hvis \(aRb\) og \(bRc\) medfører \(aRc\)
En binær relasjon som har alle disse tre egenskapene, kalles en ekvivalensrelasjon. Det enkleste eksempelet på en ekvivalensrelasjon er relasjonen «er lik».
En binær relasjon som er transitiv, refleksiv og antisymmetrisk (det vil si at \(aRb\) og \(bRa\) impliserer \(a = b\)) kalles ofte en (partiell) ordningsrelasjon. En partiell ordning er total dersom det for alle \(a \in M\) og \(b\in M\) enten er slik at \(aRb\) eller \(bRa\).
Relasjoner mellom mer enn to objekter opptrer også. Et eksempel er relasjonen «\(x\) ligger mellom \(2\) og \(4\)».
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.