norm (matematikk)

Norm er et tall som uttrykker en egenskap ved en matematisk størrelse. For eksempel er normen til en todimensjonal vektor det samme som lengden til vektoren.

Mer presist: Normen til en størrelse er et ikke-negativt tall, vanligvis reelt, som er knyttet til størrelser som komplekse tall, algebraiske tall, vektorer og så videre.

Generelt kan en (reell) norm, \(|| . ||\) defineres på et vektorrom \(V\) ved at for enhver \(x\in V\) så er \(||x||\) et reelt tall, og normen må tilfredsstille følgende krav:

1. \( ||x||\geq 0\) (normen kan ikke være negativ)
2. \( ||x||=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0\) (normen er bare 0 hvis x er 0)
3. \( ||x-y||\leq ||x-z||+||z-y||\) for alle \(x,y,z\in V\) (trekantulikheten)

Eksempel: I det vanlige tredimensjonale rommet, \(\mathbb{R}^3\), kan normen for en vilkårlig vektor \(\vec{v}=(x,y,z)\) defineres som

\[ ||\vec{v}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]